Fonds Grothendieck, cote n° 87, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)87
Polyèdres convexes : notes manuscrites (s.d.)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/87.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Soit n un entier, k un anneau comm.le mot est récrit
au-dessus de la ligne où 2 inv. ds k.
C_n catégorie formée des
k-module Eun « 1 » souligné est écrit au-dessus du mot
biffé(E_i)_{i\in I} de sous-modules libres de E\forall\, i \in I, partie B_i de E_i ;
avec axiomes
E somme directe des E_i ;\operatorname{card} B_i = 2 — (\forall\, i \in I)\forall\, b \in B_i, \{b\} base de E_iB_i = -B_i.
\mathcal{D}_n catégorie formée des ens. B de card. 2n, munis d'une
relation d'équiv. R à orbites de cardinal 2 (donc B/R = I de card. n)
épure de n-cubecombinatoire — ou encore des ens. de card. 2n, avec
\{\pm 1\} opérant librement i.e. avec une involution sans pts
fixes.
Mais on a aussi
\mathcal{D}_n \longrightarrow C_n \quad \text{en prenant} \quad
E = \coprod_{i\in I} B_i \wedge_{\{\pm 1\}} k
où \{\pm 1\} opère sur k par homothéties. Donc les deux catégories sont
équivalentes.
0 \to E \to k^{B} \to k^{I} \to 0entouré, à gauche de la formuleou aussi E \subset k^{(B)} formé des \sum_{b\in B} \lambda_b e_b
avec \lambda_{-b} = -\lambda_b
En fait, le E ainsi associé a nécessairement une forme
quadratique canonique, sur chaque B_i \wedge_{\{\pm 1\}} k : la forme
bilinéairede produit scalaire(x,y) = xy.
Je dis qu'on a un isom. canonique
\omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i\in I} B_i .
En effet, par la formule d'associativité on a
\omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i\in I} \omega_{E_i}
et d'autre part
\omega_{E_i} \simeq \struck{\ill{}}\, B_i .
vérifier :[On a en effet, comme B_i \subset
ens. des bases sur \mathbb{R}un petit « R » est écrit sous la
ligne après « bases » de E_i, B_i \to \omega_{E_i}, et on voit que c'est inj,
donc bijectif ……]
épure de n-cube Cube combinatoire orientéà droite,
en bas de la page, souligné comme un titre
Polyèdre combinatoire associé à un polyèdre convexe : l'ens. des
facettes \neq l'unique facette maxim. ?ajout
interlinéaire, ordonné par F \subset \overline{F'}.
[La dim d'une facette se retrouve sur le polyèdre combinatoire comme une dim.
combinatoire (d'un él. d'un ens. ordonné) : sup des longueurs des chaînes
croissantesF_0 \lneq F_1 \lneq \cdots \lneq F_n = F
— ou longueur commune des chaînes maximales …]
\Phi_0 \quad \Phi_1 \quad \ldots \quad \Phi_{n-1}\struck{\ill{}}
\qquad (n = \dim C)
où \Phi_i = ens. des facettes de dim. i.
Entre \Phi_i et \Phi_{i+1} (0 \leq i \leq n) relation d'incidence R_i.
La relation d'ordre sur \Phi = \coprod_{0\leq i\leq n} \Phi_i se reconstitue à
partir des R_i.
Proposition Les facettes \neq \emptyset du cube
C(B,\mathcal{R}) sont en corr. biunivoque avec l'ens. des sections
partielles de \mathcal{B} sur I = B/\mathcal{R}. Si
\sigma : J \subset I \to \mathcal{B} est une telle section, la facette
fermée (ouverte) associée est l'ens. des
\sum_{b\in B} \lambda_b . b \quad \text{avec} \quad
\lambda_{-b} = -\lambda_b, \quad \lambda_{\sigma(j)} = +1, \quad \text{et}|\lambda_b| \leq 1 (resp. |\lambda_b| < 1) pour b \in I \setminus J.
Soient \lambda = \sum_{b\in B} \lambda_b e_b, \mu = \sum_{b\in B} \mu_b e_b
deux éléments de C (\lambda_{-b} = -\lambda_b, |\lambda_b| \leq 1, idem
pour \mu) quand a-t-on R(\lambda,\mu) (relation d'équiv. des facettes ?)
Si \lambda \neq \mu, on veut que \exists\, t \in \mathbb{R}, t\lambda + (1-t)\mu \in C, avec au choix t < 0,
ou t > 1. On veut t\lambda_b donc
|t\lambda_b + (1-t)\mu_b| \leq 1. Si \lambda_b = \mu_b, aucun pb, si
|\lambda_b|, |\mu_b| < 1, non plus ; le seul pb si \lambda_b \neq \mu_b,
et \lambda_b ou \mu_b = \pm 1.
Il faut donc |\lambda_b| = 1 \Leftrightarrow |\mu_b| = 1\underset{-1}{\bullet} \!\!\!\longrightarrow\!\!\!
\underset{\lambda_b}{\bullet} \!\!\!\longrightarrow\!\!\!
\underset{+1 = \mu_b}{\bullet}
\qquad \Longrightarrow \qquad \lambda_b = \mu_b \quad \text{donc}le croquis est un segment de -1 à +1 portant \lambda_b à
l'intérieur et \mu_b à l'extrémité +1 ; il est rendu ici par des points
alignés
Donc a) L'ens. J(\lambda) des \lambda
Soit J(\lambda) = \{\, b \in B \mid \lambda_b = \pm 1 \,\}. On veut
J(\lambda) = J(\mu), soit JSi j \in J, on veut \lambda_b = \mu_b
La proposition s'ensuit.
Corollaire La relation d'ordre entre facettes de C = C(B,R) est
inverse de la relation de prolongement entre sections partielles de B sur
I = B/\mathcal{R}.
La facette maximale correspond à la section partielle vide (J = \emptyset).
Les facettes sous-maximales correspondent aux éléments de B. Deux facettes
sous-maximales distinctes neajout interlinéaire se
rencontrent pas (« sont /\!/ ») ssi elles correspondent à des élts x, y de
B qui sont conjugués par R.
Exercice Soit B \xrightarrow{p} I une application surjective« surjective » est écrit au-dessus de la lignetelle que \forall\, i \in I, \operatorname{card} p^{-1}(i) \geq 2.
Soit \mathcal{P} l'ens. des sections partielles définies de B sur (des
parties de) I, ordonné par la relation de prolongement.
Montrons que les Ainsi l'ens. des él. maximaux et de
\mathcal{P} s'identifie à
C = \prod_{i\in I} B_i \qquad \bigl(B_i = p^{-1}(i)\bigr)
l'ens. des éléments sous-minimauxrécrit au-dessus d'un mot biffé
s'identifie à B. Pour tt b \in B, soit C_b \subset C l'ens. des él.
maximaux tels que qui majorent b, i.e. l'ens. des sections \sigma
de B sur I telles que \sigma(p(b)) = b. Soient b, b' \in B,
b \neq b', alors
C_b \cap C_{b'} = \emptyset \iff p(b) = p(b') .
Donc si b, b' \in B, on a
\bigl(p(b) = p(b')\bigr) \iff \bigl(b = b' \ \text{ou}\ C_b \cap C_{b'} = \emptyset\bigr)
Cela nous permet de reconstruire B et la relation d'équivalence R définie
par p (donc I = B/R et p), à isom. près, en termes de
\mathcal{P}.
Cor. La cat. des B \xrightarrow{p} I (p surjectif) (pour les isos)
équivalente à une s-catégorie pleine de celle des ens. ordonnés en associant :
à p\mathcal{P}(p) ci-dessus.
Cube
(A)la lettre est entouréePt de vue géométrie desconvexes
(sur \mathbb{R})
Cube standard (réel) :
C_n \subset \mathbb{R}^n, \qquad
C_n = \bigl\{\, x = (x_i)_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^n \bigm| |x_i| \leq 1 \,\bigr\}Cube C d'un vectoriel espace affine réel E (de dim
finie n) : partie telle qu'il existe isom. affu : \mathbb{R}^n
\xrightarrow{\sim} E avec u(C_n) = C.Catégorie des n-cubes de dim n convexes (dans
vectoriels\mathbb{R}-espaces affines de dim. n) : c'est une
groupoïde connexe avec objet marqué (\mathbb{R}^n, C_n), donc équivalent à
la catégorie des torseurs sous
W_n = \operatorname{Aut}_{\text{affin.}}(\mathbb{R}^n, C_n)
explicitons en termes de B \xrightarrow{p} I = B/\mathcal{R} :
E = \operatorname{Hom}_{\{\pm 1\}}(B, \mathbb{R}),
C = \{\, \lambda \in \operatorname{Hom}_{\{\pm 1\}}(B, \mathbb{R}) \mid
|\lambda(b)| \leq 1 \ \forall\, b \in B \,\}encadré, écrit en long dans
la marge gauche, en regard de la propositionProp Soit
B_n = \{\, \pm e_i \mid 1 \leq i \leq n \,\} \subset \mathbb{R}^n. Alors
\operatorname{Aut}_{\text{aff}}(\mathbb{R}^n, C_n) = \operatorname{Aut}_{\text{vect}}(\mathbb{R}^n, B_n)
\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(B_n, \uncertain{\sigma_n})
où \sigma_n est l'involution b \mapsto -b de B_n. relat
Dém Dém. laissée comme exercice. [pas évident, mais pas dur : fait
\subset ; on peut noter que B_n est l'ens. des pts extrémaux du
convexe C_n …]
Corollaire Catégorie des n-cubes convexes équivalente à la catégorie
des épures de« épures de » est écrit au-dessus de la lignen-cubes
combinatoires.
Corollaire Cat. des n-cubes orientés \approx cat. des épuresmême
ajout interlinéairen-cubes combinatoires orientés.
Facettes d'un ens. convexe C (dans vectoriel réel) : partie
non vide F de C telle que
[x \in F, y \in C - F implique que xou y soit une
extrémité de C \cap D_{xy} (D_{xy} = la droite qui passe par x et y,
i.e. l'ens. des tx + (1-t)y (t \in \mathbb{R}))]le passage entre
crochets est encadré et barré de traits obliques ; les deux ajouts
interlinéaires qui le suivent, « ou y \in F si » et « ou y », se
rapportent à la même rédaction convexe : pour x \in F,
y \in C - \{x\}, si x est une extrémité de
C \cap D_{xy} (i.e. s'il existe x', y' \in C \cap D_{xy} tels que
\underset{x'}{\bullet}\!-\!\underset{x}{\bullet}\longrightarrow y \longrightarrow y'x, y soientx, y soient intérieurs entre x' et y') alors
y \in F. On peut l'exprimer aussi en disant que tt intervalle ouvert
\subset C qui rencontre F est contenu ds F.
Prop. Toute facette de C est convexe. C est réunion disjointe de ses
facettes (non vides).
Considérons la relation dans CR(x,y) : \ (x = y) \ \text{\emph{ou}} \ \bigl(x \text{ ni } y \text{ ne sont extrémités de } C \cap D_{xy}\bigr)
i.e. x, y \in intervalle ouvert \subset C ; c'est une
relation d'équivalence : symétrieréflexivité et symétrie
évidents ; transitivité facile. Il en découle aussi que
\underset{x'}{\bullet}\,\underset{x}{\bullet} \ \ldots \ \underset{y''}{\bullet}\,\underset{y}{\bullet}\,\underset{y'}{\bullet} \ \ldots \ \underset{z}{\bullet}\,\underset{z'}{\bullet}le croquis est un triangle de sommets approximatifs x', y', z',
chaque sommet précédé d'un point intérieur x, y, z, avec y'' près de y ;
il illustre la transitivité et n'est donné ici que par ses étiquettes
\forall\, x \in C, l'ens. des y \in C tels que R(x,y)restitution
approximative : la ligne commence par un mot biffé, puis « x \in C » est
l'unique facette qui contient x.
ou encore : int. finie de demi-espaces fermés …Prop. Soit C un polyèdre convexe (i.e. un ens.
convexe qui est réunion finie d'ensembles convexes de partie
finie de l'espace affine E) alors : (1)les numéros de cette proposition sont entourés sur la page l'ens. des facettes est
fini. (2) \exists unique facette maximale \Phi, qui est
l'intérieur de C dans son espaceengendré parC.
(3) Pour tt facette F, \overline{F} est une réunion de
facettes, et F est l'unique facette \subset \overline{F} de dimension max
(= \dim \overline{F})\overline{E} = \overline{F}(F, F' facettes) … F = F' (4) Si \dim F = d,
\exists facette \subset \overline{F} de dim d-1 ; si F, F' sont des
facettes, \overline{F} = \overline{F'} \Rightarrow F = F'(5) C est l'env. convexe de la réunion des facettes
minimales, i.e. des pts extrémaux (6) bar. des
l'ens. des caractériseles deux articles
(5) et (6) sont écrits en oblique dans le coin
inférieur gauche, serrés, et se lisent mal au-delà de leurs premiers mots
Relation d'ordre entre facettes
C \subset E, C partie polyédrale de l'espace affine E,
\dim C = d
A_C = \operatorname{Aff}(C) espace affine engendré par C
C^0 = \operatorname{Int}_{A_C}(C) est la facette maximale (de dim maximale),
C = \overline{C^0}.
Les autres facettes ferméessont les intersections H \cap C
avec C d'hyperplans H de A_C ne rencontrant pas C^0.
Les facettes ferméestelles que de dim d-1 correspondent
1-1 aux H tels que l'intérieur de H \cap C dans H soit
\neq \emptyset, et les intérieurs en question sont les facettes
ouvertes de dim d-1. Soit C^1 leur réunion.
Les facettes fermées de dim \leq d-2 sont les int. avec C de
sous-espaces affines de dim d-2 de A_C ne rencontrant pas
C^0 \cup C^1 \ldots
Les facettes fermées de dim \leq d-i sont les int. F \cap C avec
C des sous-espaces affines F de A_C de dim d-i(i.e. codim. i) ne rencontrant pas C^0 \cup C^1 \cup \cdots \cup C^{i-1}.
Les facettes fermées de dim d-i sont en corr. 1-1 avec les F tels que
\operatorname{int}_F F \cap C \neq \emptyset, et les
\operatorname{int}_F F \cap C sont les facettes de dim d-i.
Intersection de deux facettes fermées est une facette fermée [c'est une partie
convexe de C et c'est une réunion de facettes, il reste à prouver).
Prop Les facettes fermées de C sont les réunions de facettes qui
sont convexes et fermées.
Soit
F facette, alors
F = \operatorname{int}_{A_F} \overline{F} (A_F = A_{\overline{F}}),
\overline{F} = A_F \cap C = facettes,F' \subset C alors
\underbrace{F' \text{ facette de } F}_{\Updownarrow}F' facette de C, F' \subset F
[\Rightarrow \overline{F} réunion de facettes]Soit K \subset C. Pour que K soit une facette
fermée, il faut et s. que K soit convexe, fermé et une réunion de
facettes. (\Rightarrow une intersection de deux facettes est une facette) Soit \operatorname{Fac}(C) = \Pi, l'ens.
ordonné des facettes. Alors\Pi^{\circ} (l'ens. ordonné opposé) est
isomorphe à un ens. \operatorname{Fac}(C'), où C' est
une partie polyédraleconvexe dans E de
= dim.Soient F', F'' \in \Pi, avec F' < F'',
\Pi_{F',F''} l'ens. ordonné des F \in \Pi tels que
F' \leq F \leq F''. Alors \Pi_F est \simeq à un ens.
ordonné de la forme \operatorname{Fac}(K), où K un
polyèdre convexe de dim \delta = \dim F'' - \dim F' - 1
Cor Si \dim F'' - \dim F' = 2, alors
card l'ens. des F tels que F' < F < F'' est de card. 2.
à gauche, un petit croquis : quatre segments issus d'un
point, dans un cercle, deux d'entre eux repassés à l'encrePolyèdre combinatoire : ens. ordonné fini I satisfaisant les
conditions
I a des inf et des sup finis [plus petit et plus grand élément,
et i \wedge j et i \vee j]I satisfait condition des chaînesSi i < j < k et si j succ. immédiat de i, k succ.
de j
alors \exists\, j' \in I tel que j' \neq j, j' succ. de i, k succ. de
j'
\forall\, i \in I,
i non minimali = \sup\,(\, j \in I \mid j < i \,) ;
i non max-imal\Rightarrowi = \operatorname{Inf}\,(\, j \in I \mid j > i \,)
la condition d) est reliée par une flèche à la condition c), dont elle
découle ; les deux ajouts « i non minimal », « i non maximal » remplacent
une incise biffée où se lit « plus petit »
dim -1 — I a un seul élément (0 = 1).
dim 0 — I a deux éléments distincts (0 et 1, 0 \neq 1)
dim 1 — I a trois quatre éléments 0, 1 et deux
incomp. x, y(x \neq y)
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& 1 & \\
x \arrow[ur, no head] & & y \arrow[ul, no head] \\
& 0 \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}
dim 2
dim -1 — 0dim 0 — x_0 \ x_1 \ldots x_{n-1}dim 1dim 2 — 1 — contours dont les comp. connexes ont au moins
3 sommets
à droite, deux polygones dessinés, un hexagone dont un sommet est
marqué et un pentagone
dim 3 — On voudrait que si x est un sommet les y > x,
y \neq 1, forment un contour convexe et si x
est une face les y < x, y \neq 0, forment un contour
(\uncertain{\pi_0 = 0})
-1 — 00 — sommets1 — arêtes2 — faces3 — 1
dim 4
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \vec{A} \arrow[dl] \arrow[dr] & & A^{\uparrow} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
S = \mathfrak{X}_0 & & A = \mathfrak{X}_1 & & F = \mathfrak{X}_2
\end{tikzcd}
sur la page, les égalités S = \mathfrak{X}_0, A = \mathfrak{X}_1,
F = \mathfrak{X}_2 sont écrites verticalement sous S, A, F ; la lettre
rendue \mathfrak{X} est un X cursif, et A^{\llcorner\!\to} ci-dessous
rend un exposant qui réunit la flèche verticale de A^{\uparrow} et la
flèche horizontale de \vec{A}
\vec{A} \hookrightarrow S \times A, \forall\vec{A} \to A de rang 2A^{\uparrow} \hookrightarrow A \times F, A^{\uparrow} \to A
de rang 2A^{\llcorner\!\to} = \vec{A} \times_A A^{\uparrow} \to S \times F
est de rang 2 sur son image\forall\, s \in S, l'ens \mathfrak{X}_{\geq s} des a \in A et
f \in F incidents à s (qui est un graphe de sommets A,
d'arêtes F, grâce à b), et un contour grâce à a')) est un
polygone (i.e. est un contour \neq \emptysetconnexe)\forall\, f \in F, l'ens \mathfrak{X}_{\leq f} des a \in A
et s \in S incidents à f (qui est un graphe … grâce à a), et un
contour grâce à b)) est un polygone (i.e. est un contour
\neq \emptysetconnexe)
Version commune (en introduisant \mathfrak{X}_{-1} = \{\emptyset\},
\mathfrak{X}_3 = \{1\} (plus grand et plus petit élément))
Si -1 \leq i < j \leq 3, avec\delta =j - i \geq 2,
et (i,j) \neq (-1,3), si x_i \in \mathfrak{X}_i,
y_j \in \mathfrak{X}_j, et \mathfrak{X}_{\,]x_i,y_j[} est l'ens ordonné
des x \in \mathfrak{X} tels que x_i < x < y_j, alors la réalisation
topologique de \mathfrak{X}_{\,]x_i,y_j[} est homéomorphe à
S^{\delta-1} (sphère de dim \delta - 1). [Se généralise aux
polyèdres lisses de dim quelconque, cf plus bas …]
« \delta = » est entouré, et « avec » écrit au-dessus ; l'indice de
\mathfrak{X}, deux fois, est lu d'après la définition qui le suit
Les conditions a), a'), b) permettent de définir sur A^{\llcorner\!\to} les
opérations \sigma_1, \sigma_2 et \varepsilon [avec
\sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1, soit \sigma, et
\sigma_1, \sigma_2, \varepsilon étant des involutions,
\sigma_1, \sigma_2, \sigma, \varepsilon étant ss pts fixes —] les conditions
c), c') assurent que S, F « sont » bien les ens de sommets et des faces de
la carte lisse combinatoire ainsi définie …
On trouve ensuite
\widetilde{S} = A^{\llcorner\!\to}/\rho_s \simeq ens des couples
(s,\omega), s \in S, \omega une orientation du
polygone \mathfrak{X}_{\geq s} des a \in A et f \in F incidents à
s [i.e. un des 2 ordres circulaires sur l'ens des a \in A
incidents à s, qui définissent sa structure polygonale]\widetilde{F} = A^{\llcorner\!\to}/\rho_f : ens des couples
(f,\varpi), f \in F, \varpi une orientation du polygone
\mathfrak{X}_{\leq f} des a \in A et s \in S
incidents à f, [i.e. un des 2 ordres circ. sur l'ens. des a \in A
incidents à f, qui définissent sa structure polygonale]\widetilde{A} = A^{\llcorner\!\to}/\sigma = ens des couples
(a,u), a \in A, u \in \vec{A}(a) \wedge A^{\uparrow}(a), où
\vec{A}(a) (A^{\uparrow}(a)) est l'ens des arcs tang. (ou
transverses) portés par l'arête a.
A^{\wedge} = \operatorname{Im}(A^{\llcorner\!\to} \to S \times F)
= \text{rel. d'incidence entre $S$ et $F$}
A^{\llcorner\!\to} s'identifie aux rel. d'incidence entre (S, A, F)
simultanées
entre \widetilde{S}, \widetilde{A},entre \widetilde{A}, \widetilde{F},entre \widetilde{S}, \widetilde{F},
Explicitons l'axiome
D) Toute partie minorée \neq \emptyset de
\mathfrak{X}_{**} = \mathfrak{X}_0 \cup \mathfrak{X}_1 \cup \mathfrak{X}_2
admet un inf, (\Leftrightarrow toute partie majorée \neq \emptyset
de \mathfrak{X}_{**} admet un sup).
Comme il résulte de ce que les él. minimaux de \mathfrak{X}_{**}
sont les él. de S, les parties minorées de \mathfrak{X}_{**} sont
celles contenues dans un (ou plus petit él.)\mathfrak{X}_{\geq s}.
Or comme un ordonné est un polygone, et dans un polygone
satisfait la condition d'existence de borne inférieure ses
est \geq 3 (dans le cas excluant alors n = 2
ici …) Donc la condition D se réduit :ce paragraphe est encadré et
barré de traits obliques
d) \forall\, s \in S, il y a au moins trois arêtes a \in A
incidentes à s.
Il suffit d'exprimer que deux él. distincts minimaux distincts
majorés de \mathfrak{X}_{**} ont un inf. Si l'un des
deux est \in \mathfrak{X}_0 (i.e. est minimal) c'est trivialement
satisfait. Il reste : 3 cas
Deux arêtes : on trouve que 2 arêtes qui ont
sommets sont égales, i.e. (S, A, \vec{A}) est un graphe strictDeux faces : on trouve qu'elles que les deux faces distinctes de (F, A, A^{\uparrow})qui
ont en commun deux sommets, elles-mêmes ceux-ci sont liés
par l'arête qui les joint, faitet l'un d'eux sommetUne arête a et une face fnon incidentes
— mais ayant un sommet commun : il faut exprimer que le deuxième
sommet de a n'est pas dans f, ou encore : si f est
incidente aux deux sommets d'une arête, elle est incidente à l'arête.
Regroupons, on trouve
toute arête est le sup de l'ens. de ses 2 extrémitésen
regard de d_1) et d_2), qu'une accolade réunit
Une arête est déterminée par ses deux l'ens de ses
extrémitésUne face contenant les 2 extr. d'une arête contient celle-ci
toute arête est le Inf de l'ens des deux faces incidentesen
regard de d'_1) et d'_2), qu'une accolade réunit
Une arête est déterminée par l'ens des deux faces incidentesLes deux faces incidentes à une arête n'ont d'autre sommet
incident commun que ses extrémités
[\mathfrak{X} un ordonné, A \subset \mathfrak{X}, B l'ens des
b \in \mathfrak{X} qui majorent A Par définition,
\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A existe ssi B a un plus petit élément
\beta, et on pose \operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A = \beta.
Si p. ex. A est vide, B = \mathfrak{X}, et
\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} \emptyset existe ssi \mathfrak{X} a un
plus petit élément (qui est alors \operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} \emptyset).
On définit dualement \operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} A \ldots
Prop 1 Si A a un plus grand élément \alpha, il a un sup, et c'est
\alpha (Trivial)la Prop 1 est écrite serrée entre les lignes, au-dessus
de la Prop 2
Prop 2 Pour que \operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A existe, i.e. B
ait un plus petit él., il f. et s. que \operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} B
existe, et alors \operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} B = \operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A.
C'est évidemment néc. d'après prop. 1. Suff ? Soit
\widetilde{A} l'ens des a \in \mathfrak{X} qui minorent B. Donc
A \subset \widetilde{A} < B. Par hypothèse (B admet un Inf) \widetilde{A} a
un plus grand él. \alpha, et que majorant de \widetilde{A} et a fortiori
majorant de A, donc \alpha \in B, et étant dans
\widetilde{A} il minore B, donc il est un plus petit él. de B, cqfd.
Cor Si tte partie de \mathfrak{X} admet un Inf, alors tte partie de
\mathfrak{X} admet un Sup, et réciproquement. conj.
Si tte partie minorée de \mathfrak{X} admet un
Inf, alors tte partie non vide (majorée) de \mathfrak{X} admet un Sup, et
réciproquement. Donc pour que tte partie min. non vide de \mathfrak{X}
admette un Inf, il f. et s. que tte partie majorée non vide de
\mathfrak{X} admette un Sup.]
Montrons que l'axiome D = d) + d') implique
Corollaire 1 (moyennant l'axiome D) pour tt s \in S,
p(s) = \operatorname{Card}\bigl(A\{s\} = \{\, a \in A \mid a \geq s \,\}\bigr) \geq 3,
et pour tout f \in F,
q(f) = \operatorname{Card}\bigl(A\{f\} = \{\, a \in A \mid a \leq f \,\}\bigr) \geq 3.
En effet, on auraitp(s) \neq 0, en vertu de c). Si on avait
p(s) = 1, on aurait par c) une unique seule face incidente à l'arête
a incidente à s, contrairement à b). Si on avait p(s) = 2, en vertu de
c) les deux arêtes issues de s seraient incidentes simultanément aux deux
faces incidentes à s, contrairement à d'_1). Donc p(s) \geq 3. La relation
q(f) \geq 3 s'établit de même.
NBp(s) \geq 2 est indépendant de D, de même
q(f) \geq 2.
Corollaire 2 (moyennant l'axiome D) : toute face f \in F est le sup
de l'ens de ses sommets, et le sup de l'ens de ses arêtes. Tout sommet est le
inf de l'ens des faces qui y sont incidentes, et le inf de l'ens des arêtes
incidentes.
Soit \mathfrak{X} un ens. ordonné fini (on ne suppose pas qu'il ait un plus
petit ou plus grand élément). On note |\mathfrak{X}| =
réal.(\mathfrak{X}) sa réalisation topologique (avec sa décomposition
canonique, permettant d'identifier \mathfrak{X} à un ens. ordonné de parties
fermées de \mathfrak{X}recouvrant \mathfrak{X}). Pour tt
x \in \mathfrak{X}, soit
\mathfrak{X}_{<x} = \struck{\ill{}}\ \{\, y \mid y \in \mathfrak{X},\ y < x \,\}.
Faisons l'hypothèse :
(R) \forall\, x \in \mathfrak{X}, |\mathfrak{X}_{<x}| est une sphère
topologique.
Soit \delta(x) = \dim |\mathfrak{X}_{<x}| + 1 = \dim |\mathfrak{X}_{\leq x}|.
On trouve
Proposition Si x < y, on a \delta(x) < \delta(y) (i.e.
\delta : \mathfrak{X} \to \mathbb{N} est strictement croissante). Pour qu'on
ait \delta(y) = \delta(x) + 1 il f. et s. que y soit un
successeur de x.
Première assertion claire, compte tenu que \dim \underbrace{C(X)}_{\text{cône sur } X} = \dim X + 1,
et \dim est une fonction croissante … L'assertion « il faut » en
résulte, prouvons « il suffit ». Supposons que y soit un successeur de x.
Considérons S = |\mathfrak{X}_{<y}| sphère de dim
d = \delta(y) - 1 \geq \delta(x), contenant |\mathfrak{X}_{\leq x}|, qui
est une facette maximale, donc de dim = d, donc \delta(x) = \delta(y) - 1,
cqfd. [Pour qu'on ait \delta(y) = \delta(x) + 1, il suffit que y soit
succ. de x et |\mathfrak{X}_{<y}| une variété topologique]
vérifier en général pour variété
Cor Moyennant (R), \mathfrak{X} satisfait la condition des chaînes, et
\delta est l'unique fonction \mathfrak{X} \to \mathbb{N} telle que
\delta(y) = \delta(x) + 1 si y est un successeur de x\delta(x) = 0 si x élément minimal de \mathfrak{X}.
Prop(Moyennant R) Soit x < y, alors
|\mathfrak{X}_{x<\cdot<y}| est une sphère topologique de dim.
\delta(y) - \delta(x) - 2 (on convient de considérer l'espace vide comme
sphère top. de dim. -1)dans la marge gauche, en regard de cette
proposition et du lemme qui suit, deux signes serrés que l'on ne lit pas
Ceci résulte du
Lemme Soit \mathfrak{Y} un ens ordonné fini tel que |\mathfrak{Y}|
est une d-variété topologique. Alors
\forall\, x \in \mathfrak{Y}, |\mathfrak{Y}_{>x}| est une sphère
top. de dim d - \delta(x) - 2\forall\, x \in \mathfrak{Y}, |\mathfrak{Y}_{<x}| est une sphère
top. de dim \delta(x) - 1 (i.e. \mathfrak{Y} satisfait la condition
(R))\forall\, z, x \in \mathfrak{Y}, z < x, |\mathfrak{Y}_{z<\cdot<x}|satisfait est une sphère topologique de dim
\delta(x) - \delta(z) - 2.
\mathfrak{X} un ordonné fini. On suppose qu'il satisfait la condition
\overline{\mathfrak{X}} = \mathfrak{X} \cup plus petit él.
(\Sigma) Soient x \in \overline{\mathfrak{X}}, y un successeur de x,
z un successeur de y. Alors il existe un unique y' \in \mathfrak{X}, tel
que y' \neq y, x < y' < z ;
y' est un successeur de x et minimal de
\mathfrak{X}, z un successeur, \exists\, y' \in \mathfrak{X} tel que
y' < z et y' est minimal et z un successeur de y'deux
lignes et demie barrées, avec un ajout interlinéaire lui-même barré, où se lit
« si y est un él. »
Le y' en question (noté \sigma_{x,z}(y)) est un successeur de x, et z
en est un successeur. En effet, si on avait p. ex.x < y'' < y', on
aurait x < y'' < z, donc (comme y'' \neq y') y'' = y donc
y < y' < z, contrairement à l'hyp. que z est un succ. de y.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& y' \arrow[dr] & \\
x \arrow[ur] \arrow[dr] & & z \\
& y \arrow[ur] &
\end{tikzcd}
croquis en marge gauche ; au-dessus, un premier croquis du même
losange, raturé
On suppose pour x \in \mathfrak{X} les chaînes
issues de x maximales
toutes de longueur n.écrit en long dans la marge
gauche, en regard de ce qui suit
Un repère de \mathfrak{X}(n \geq 0) : suite
x_0, x_1, \ldots, x_n d'éléments de \mathfrak{X}, tels que
x_0 pt minimal de \mathfrak{X}\forall\, 0 \leq i \leq n-1, x_{i+1} est un successeur de x_i.
Les \sigma_i sont des involutions (n \geq 1)Soit n \geq 3, et 0 \leq i < j \leq n-1, avec j \neq i+1,
alors \sigma_i et \sigma_j commutent (dans R_n).Soit 0 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_\nu \leq n-1, (\nu \geq 1)
avec i_{\alpha+1} \neq i_\alpha + 1\forall\, \alpha = 1, \ldots, \nu-1.
Alors \sigma_{i_1}\sigma_{i_2}\cdots\sigma_{i_\nu} (qui est une
involution de R_n) est sans pt fixe.R_n \xrightarrow{p_n \cdots p_{p+1}} R_p commute à
\sigma_{n-1}, \ldots, \sigma_{p+1} et \sigma_{p-1}, \ldots, \sigma_0
la moitié supérieure de la page, jusqu'à « 2 sommets … », est
barrée de trois longs traits obliques ; elle se lit néanmoins et est donnée
ici. En marge, plusieurs petits croquis de sommets et d'arêtes, dont un
losange, un éventail hachuré et un faisceau de flèches, qui ne sont pas
reproduits
\mathfrak{X}_0 = S, \mathfrak{X}_1 = A, \mathfrak{X}_2 = Fles égalités sont écrites verticalement, chaque
\mathfrak{X}_i au-dessus de sa lettre
x_0 \ldots x_p\ x_{p+1} \ldots x_{n-1}\ x_ny_1 - y_2 \ldots y_nx_0 - x_1 - x_2 \ldots - x_nen
haut à droite, trois suites superposées dans cet ordre ; une accolade est
tracée sous x_{p+1} \ldots, et la suite des y_i se raccorde par un trait
à x_0
a) \forall\, f \in F, les s \in S et a \in A incidents : F forme
un polygone, donc a) si a < f (a \in A) a a exactement 2 sommets b) si
s < f (s \in S) il y a exactement 2 arêtes entre s et f) c) Condition
de connexité
On trouve aussi que les arêtes incidentes à une face ( ou autour
de |\mathfrak{X}| des pts au voisinage desquels |\mathfrak{X}| est de dim
1 !) et on conclut que les arêtes a exactement 2
sommets …
… en faisant que \sigma_{n-1}, \ldots, \sigma_{p+1} triviales sur R_p(n > p \geq 0)cette ligne, non barrée, paraît compléter l'article d)
de la page 39