Cote n° 87, pages 21–40

Cote n° 87 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Polyèdres convexes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Soit $n$ un entier, $k$ un anneau comm.le mot est récrit au-dessus de la ligne où $2$ inv. ds $k$.

$C_n$ catégorie formée des

$k$-module $E$
[…]un « 1 » souligné est écrit au-dessus du mot biffé $(E_i)_{i\in I}$ de sous-modules libres de $E$
$\forall\, i \in I$, partie $B_i$ de $E_i$ ;

avec axiomes

a)$E$ somme directe des $E_i$ ;
b)$\operatorname{card} B_i = 2$ — ($\forall\, i \in I$)
c)$\forall\, b \in B_i$, $\{b\}$ base de $E_i$
d)$B_i = -B_i$.

$\mathcal{D}_n$ catégorie formée des ens. $B$ de card. $2n$, munis d'une relation d'équiv. $R$ à orbites de cardinal $2$ (donc $B/R = I$ de card. $n$) épure […] de $n$-cube combinatoire — ou encore des ens. de card. $2n$, avec […] $\{\pm 1\}$ opérant librement i.e. avec une involution sans pts fixes.

\[ C_n \longrightarrow \mathcal{D}_n \qquad \text{par} \quad \bigl(E, (E_i), (B_i)_{i\in I}\bigr) \longmapsto \Bigl\{\textstyle\bigcup B_i, \ldots\Bigr\} \]

Mais on a aussi \[ \mathcal{D}_n \longrightarrow C_n \quad \text{en prenant} \quad E = \coprod_{i\in I} B_i \wedge_{\{\pm 1\}} k \] où $\{\pm 1\}$ opère sur $k$ par homothéties. Donc les deux catégories sont équivalentes.

$0 \to E \to k^{B} \to k^{I} \to 0$entouré, à gauche de la formule ou aussi $E \subset k^{(B)}$ formé des $\sum_{b\in B} \lambda_b e_b$ avec $\lambda_{-b} = -\lambda_b$ […]

En fait, le $E$ ainsi associé a nécessairement une forme quadratique canonique, sur chaque $B_i \wedge_{\{\pm 1\}} k$ : la forme bilinéaire [de produit scalaire] $(x,y) = xy$.

Je dis qu'on a un isom. canonique \[ \omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i\in I} B_i . \] En effet, par la formule d'associativité on a \[ \omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i\in I} \omega_{E_i} \] et d'autre part \[ \omega_{E_i} \simeq \struck{\ill{}}\, B_i . \]

[…] vérifier :[On a en effet, comme $B_i \subset$ ens. des bases [sur $\mathbb{R}$]un petit « $R$ » est écrit sous la ligne après « bases » de $E_i$, $B_i \to \omega_{E_i}$, et on voit que c'est inj, donc bijectif ……]

épure de $n$-cube Cube combinatoire orientéà droite, en bas de la page, souligné comme un titre

Polyèdre combinatoire associé à un polyèdre convexe : l'ens. des facettes [$\neq$ l'unique facette maxim. ?]ajout interlinéaire, […] ordonné par $F \subset \overline{F'}$.

[La dim d'une facette se retrouve sur le polyèdre combinatoire comme une dim. combinatoire (d'un él. d'un ens. ordonné) : sup des longueurs des chaînes croissantes \[ F_0 \lneq F_1 \lneq \cdots \lneq F_n = F \] — ou longueur commune des chaînes maximales …]

\[ \Phi_0 \quad \Phi_1 \quad \ldots \quad \Phi_{n-1}\struck{\ill{}} \qquad (n = \dim C) \] où $\Phi_i$ = ens. des facettes de dim. $i$.

Entre $\Phi_i$ et $\Phi_{i+1}$ ($0 \leq i \leq n$) relation d'incidence $R_i$.

La relation d'ordre sur $\Phi = \coprod_{0\leq i\leq n} \Phi_i$ se reconstitue à partir des $R_i$.

Proposition Les facettes $\neq \emptyset$ du […] cube $C(B,\mathcal{R})$ sont en corr. biunivoque avec l'ens. des sections partielles de $\mathcal{B}$ sur $I = B/\mathcal{R}$. Si $\sigma : J \subset I \to \mathcal{B}$ est une telle section, la facette fermée (ouverte) associée est l'ens. des \[ \sum_{b\in B} \lambda_b . b \quad \text{avec} \quad \lambda_{-b} = -\lambda_b, \quad \lambda_{\sigma(j)} = +1, \quad \text{et} \] $|\lambda_b| \leq 1$ (resp. $|\lambda_b| < 1$) pour $b \in I \setminus J$.

Soient $\lambda = \sum_{b\in B} \lambda_b e_b$, $\mu = \sum_{b\in B} \mu_b e_b$ deux éléments de $C$ ($\lambda_{-b} = -\lambda_b$, $|\lambda_b| \leq 1$, idem pour $\mu$) quand a-t-on $R(\lambda,\mu)$ (relation d'équiv. des facettes ?)

Si $\lambda \neq \mu$, on veut que […] $\exists\, t \in \mathbb{R}$, $t\lambda + (1-t)\mu \in C$, avec au choix $t < 0$, ou $t > 1$. […] On veut $t\lambda_b$ donc $|t\lambda_b + (1-t)\mu_b| \leq 1$. Si $\lambda_b = \mu_b$, aucun pb, si $|\lambda_b|, |\mu_b| < 1$, non plus ; le seul pb si $\lambda_b \neq \mu_b$, et $\lambda_b$ ou $\mu_b = \pm 1$.

Il faut donc $|\lambda_b| = 1 \Leftrightarrow |\mu_b| = 1$ \[ \underset{-1}{\bullet} \!\!\!\longrightarrow\!\!\! \underset{\lambda_b}{\bullet} \!\!\!\longrightarrow\!\!\! \underset{+1 = \mu_b}{\bullet} \qquad \Longrightarrow \qquad \lambda_b = \mu_b \quad \text{donc} \] le croquis est un segment de $-1$ à $+1$ portant $\lambda_b$ à l'intérieur et $\mu_b$ à l'extrémité $+1$ ; il est rendu ici par des points alignés

Donc a) L'ens. $J(\lambda)$ des $\lambda$

a)Soit $J(\lambda) = \{\, b \in B \mid \lambda_b = \pm 1 \,\}$. On veut $J(\lambda) = J(\mu)$, soit $J$
b)Si $j \in J$, on veut $\lambda_b = \mu_b$

La proposition s'ensuit.

Corollaire La relation d'ordre entre facettes de $C = C(B,R)$ est inverse de la relation de prolongement entre sections partielles de $B$ sur $I = B/\mathcal{R}$.

La facette maximale correspond à la section partielle vide ($J = \emptyset$). Les facettes sous-maximales correspondent aux éléments de $B$. Deux facettes sous-maximales distinctes neajout interlinéaire se rencontrent pas (« sont $/\!/$ ») ssi elles correspondent à des élts $x, y$ de $B$ qui sont conjugués par $R$.

Exercice Soit $B \xrightarrow{p} I$ une application surjective« surjective » est écrit au-dessus de la ligne telle que $\forall\, i \in I$, $\operatorname{card} p^{-1}(i) \geq 2$. Soit $\mathcal{P}$ l'ens. des sections partielles définies de $B$ sur (des parties de) $I$, […] ordonné par la relation de prolongement. Montrons que les Ainsi l'ens. des él. maximaux et […] de $\mathcal{P}$ s'identifie à \[ C = \prod_{i\in I} B_i \qquad \bigl(B_i = p^{-1}(i)\bigr) \] l'ens. des éléments sous-minimauxrécrit au-dessus d'un mot biffé s'identifie à $B$. Pour tt $b \in B$, soit $C_b \subset C$ l'ens. des él. maximaux tels que qui majorent $b$, i.e. l'ens. des sections $\sigma$ de $B$ sur $I$ telles que $\sigma(p(b)) = b$. Soient $b, b' \in B$, $b \neq b'$, alors \[ C_b \cap C_{b'} = \emptyset \iff p(b) = p(b') . \] Donc si $b, b' \in B$, on a \[ \bigl(p(b) = p(b')\bigr) \iff \bigl(b = b' \ \text{ou}\ C_b \cap C_{b'} = \emptyset\bigr) \] Cela nous permet de reconstruire $B$ et la relation d'équivalence $R$ définie par $p$ […] (donc $I = B/R$ et $p$), à isom. près, en termes de $\mathcal{P}$.

Cor. La cat. des $B \xrightarrow{p} I$ ($p$ surjectif) (pour les isos) équivalente à une s-catégorie pleine de celle des ens. ordonnés en associant : à $p$ […] $\mathcal{P}(p)$ ci-dessus.

Cube

(A)la lettre est entourée Pt de vue géométrie des […] convexes (sur $\mathbb{R}$)

(a)Cube standard (réel) : \[ C_n \subset \mathbb{R}^n, \qquad C_n = \bigl\{\, x = (x_i)_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^n \bigm| |x_i| \leq 1 \,\bigr\} \]
(b)Cube $C$ d'un vectoriel espace affine réel $E$ (de dim finie $n$) : partie telle qu'il existe isom. aff $u : \mathbb{R}^n \xrightarrow{\sim} E$ avec $u(C_n) = C$.
(c)Catégorie des $n$-cubes de dim $n$ convexes (dans vectoriels $\mathbb{R}$-espaces affines de dim. $n$) : c'est une groupoïde connexe avec objet marqué $(\mathbb{R}^n, C_n)$, donc équivalent à la catégorie des torseurs sous \[ W_n = \operatorname{Aut}_{\text{affin.}}(\mathbb{R}^n, C_n) \]

explicitons en termes de $B \xrightarrow{p} I = B/\mathcal{R}$ : $E = \operatorname{Hom}_{\{\pm 1\}}(B, \mathbb{R})$, $C = \{\, \lambda \in \operatorname{Hom}_{\{\pm 1\}}(B, \mathbb{R}) \mid |\lambda(b)| \leq 1 \ \forall\, b \in B \,\}$encadré, écrit en long dans la marge gauche, en regard de la propositionProp Soit $B_n = \{\, \pm e_i \mid 1 \leq i \leq n \,\} \subset \mathbb{R}^n$. Alors \[ \operatorname{Aut}_{\text{aff}}(\mathbb{R}^n, C_n) = \operatorname{Aut}_{\text{vect}}(\mathbb{R}^n, B_n) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(B_n, \uncertain{\sigma_n}) \] où $\sigma_n$ est l'involution $b \mapsto -b$ de $B_n$. relat

Dém Dém. laissée comme exercice. [pas évident, mais pas dur : fait $\subset$ ; on peut noter que $B_n$ est l'ens. des pts extrémaux du convexe $C_n$ …]

Corollaire Catégorie des $n$-cubes convexes équivalente à la catégorie des épures de« épures de » est écrit au-dessus de la ligne $n$-cubes combinatoires.

Corollaire Cat. des $n$-cubes orientés $\approx$ cat. des épuresmême ajout interlinéaire $n$-cubes combinatoires orientés.

Facettes d'un ens. convexe $C$ (dans vectoriel réel) : partie […] non vide $F$ de $C$ telle que [$x \in F$, $y \in C - F$ implique que $x$ [ou $y$] soit une extrémité de $C \cap D_{xy}$ ($D_{xy}$ = la droite qui passe par $x$ et $y$, i.e. l'ens. des $tx + (1-t)y$ ($t \in \mathbb{R}$))]le passage entre crochets est encadré et barré de traits obliques ; les deux ajouts interlinéaires qui le suivent, « ou $y \in F$ si » et « ou $y$ », se rapportent à la même rédaction […] convexe : pour $x \in F$, $y \in C - \{x\}$, […] si $x$ […] est une extrémité de $C \cap D_{xy}$ (i.e. s'il existe $x', y' \in C \cap D_{xy}$ tels que \[ \underset{x'}{\bullet}\!-\!\underset{x}{\bullet}\longrightarrow y \longrightarrow y' \] $x, y$ soient $x, y$ soient [intérieurs] entre $x'$ et $y'$) alors $y \in F$. On peut l'exprimer aussi en disant que tt intervalle ouvert $\subset C$ qui rencontre $F$ est contenu ds $F$.

Prop. Toute facette de $C$ est convexe. $C$ est réunion disjointe de ses facettes [(non vides)].

Considérons la relation dans $C$ \[ R(x,y) : \ (x = y) \ \text{\emph{ou}} \ \bigl(x \text{ ni } y \text{ ne sont extrémités de } C \cap D_{xy}\bigr) \] i.e. $x, y \in$ […] intervalle ouvert $\subset C$ ; c'est une relation d'équivalence : symétrie réflexivité et symétrie évident[s] ; transitivité facile. Il en découle aussi que

\[ \underset{x'}{\bullet}\,\underset{x}{\bullet} \ \ldots \ \underset{y''}{\bullet}\,\underset{y}{\bullet}\,\underset{y'}{\bullet} \ \ldots \ \underset{z}{\bullet}\,\underset{z'}{\bullet} \] le croquis est un triangle de sommets approximatifs $x', y', z'$, chaque sommet précédé d'un point intérieur $x, y, z$, avec $y''$ près de $y$ ; il illustre la transitivité et n'est donné ici que par ses étiquettes

$\forall\, x \in C$, l'ens. des $y \in C$ tels que $R(x,y)$restitution approximative : la ligne commence par un mot biffé, puis « $x \in C$ » est l'unique facette qui contient $x$.

ou encore : int. finie de demi-espaces fermés … Prop. […] Soit $C$ un polyèdre convexe (i.e. un ens. convexe qui est réunion finie d'ensembles […] convexes de partie finie de l'espace affine $E$) alors : (1)les numéros de cette proposition sont entourés sur la page l'ens. des facettes est fini. (2) $\exists$ unique facette maximale $\Phi$, qui est l'intérieur de $C$ dans son espace engendré par $C$. (3) Pour tt facette $F$, $\overline{F}$ est une réunion de facettes, et $F$ est l'unique facette $\subset \overline{F}$ de dimension max $(= \dim \overline{F})$ […] $\overline{E} = \overline{F}$ $(F, F'$ facettes$)$ … $F = F'$ (4) Si $\dim F = d$, $\exists$ facette $\subset \overline{F}$ de dim $d-1$ ; si $F, F'$ sont des facettes, $\overline{F} = \overline{F'} \Rightarrow F = F'$ (5) $C$ est l'env. convexe de la réunion des facettes minimales, i.e. des pts extrémaux (6) […] bar. des […] l'ens. des […] caractérise […]les deux articles (5) et (6) sont écrits en oblique dans le coin inférieur gauche, serrés, et se lisent mal au-delà de leurs premiers mots Relation d'ordre entre facettes

$C \subset E$, $C$ partie polyédrale de l'espace affine $E$, $\dim C = d$

$A_C = \operatorname{Aff}(C)$ espace affine engendré par $C$

$C^0 = \operatorname{Int}_{A_C}(C)$ est la facette maximale (de dim maximale), $C = \overline{C^0}$.

Les autres facettes [fermées] sont les intersections [$H \cap C$ avec $C$] d'hyperplans $H$ de $A_C$ ne rencontrant pas $C^0$ […]. Les facettes fermées telles que de dim $d-1$ correspondent [1-1] aux $H$ tels que l'intérieur de $H \cap C$ dans $H$ soit $\neq \emptyset$, et les intérieurs en question sont les facettes [ouvertes] de dim $d-1$. Soit $C^1$ leur réunion.

Les facettes fermées de dim $\leq d-2$ sont les int. avec $C$ de sous-espaces affines de dim $d-2$ de $A_C$ ne rencontrant pas $C^0 \cup C^1 \ldots$

Les facettes fermées de dim $\leq d-i$ sont les int. [$F \cap C$] avec $C$ des sous-espaces affines $F$ de $A_C$ de dim $d-i$ [(i.e. codim. $i$)] […] ne rencontrant pas $C^0 \cup C^1 \cup \cdots \cup C^{i-1}$. Les facettes fermées de dim $d-i$ sont en corr. 1-1 avec les $F$ tels que $\operatorname{int}_F F \cap C \neq \emptyset$, et les $\operatorname{int}_F F \cap C$ sont les facettes de dim $d-i$.

Intersection de deux facettes fermées est une facette fermée [c'est une partie convexe de $C$ et c'est une réunion de facettes, il reste à prouver).

Prop Les facettes [fermées] de $C$ sont les réunions de facettes qui sont convexes et fermées.

Soit

$F$ facette, alors […]

a)$F = \operatorname{int}_{A_F} \overline{F}$ ($A_F = A_{\overline{F}}$), $\overline{F} = A_F \cap C$ = […] facettes,
b)$F' \subset C$ alors $\underbrace{F' \text{ facette de } F}_{\Updownarrow}$ $F'$ facette de $C$, $F' \subset F$ [$\Rightarrow \overline{F}$ réunion de facettes]
c)Soit […] $K \subset C$. Pour que $K$ soit une facette fermée, il faut et s. que $K$ soit convexe, fermé et une réunion de facettes. ($\Rightarrow$ une intersection de deux facettes est une facette)
d)[…] Soit $\operatorname{Fac}(C) = \Pi$, [l'ens. ordonné des facettes]. Alors

1°)$\Pi^{\circ}$ (l'ens. ordonné opposé) est isomorphe à un ens. $\operatorname{Fac}(C')$, où $C'$ est une [partie polyédrale] convexe […] dans $E$ de $=$ dim.
2°)Soient $F', F'' \in \Pi$, [avec $F' < F''$], $\Pi_{F',F''}$ l'ens. ordonné des $F \in \Pi$ tels que $F' \leq F \leq F''$. Alors $\Pi_F$ est [$\simeq$ à un ens. ordonné] de la forme […] $\operatorname{Fac}(K)$, où $K$ un [polyèdre] convexe de dim $\delta = \dim F'' - \dim F' - 1$

Cor Si […] $\dim F'' - \dim F' = 2$, alors card l'ens. des $F$ tels que $F' < F < F''$ est de card. $2$.

[…]à gauche, un petit croquis : quatre segments issus d'un point, dans un cercle, deux d'entre eux repassés à l'encre Polyèdre combinatoire : ens. ordonné fini $I$ satisfaisant les conditions

a)$I$ a des inf et des sup finis [plus petit et plus grand élément, et $i \wedge j$ et $i \vee j$]
b)$I$ satisfait condition des chaînes
c)Si $i < j < k$ et si $j$ succ. immédiat de $i$, $k$ succ. de $j$

alors $\exists\, j' \in I$ tel que $j' \neq j$, $j'$ succ. de $i$, $k$ succ. de $j'$

$\Rightarrow$ d)[…] $\forall\, i \in I$, [$i$ non minimal] […] $i = \sup\,(\, j \in I \mid j < i \,)$ ; [$i$ non max-imal] $\Rightarrow$ $i = \operatorname{Inf}\,(\, j \in I \mid j > i \,)$

la condition d) est reliée par une flèche à la condition c), dont elle découle ; les deux ajouts « $i$ non minimal », « $i$ non maximal » remplacent une incise biffée où se lit « plus petit »

dim $-1$ — $I$ a un seul élément ($0 = 1$).

dim $0$ — $I$ a deux éléments distincts ($0$ et $1$, $0 \neq 1$)

dim $1$ — $I$ a trois quatre éléments $0$, $1$ et deux incomp. $x, y$ ($x \neq y$ […])

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & 1 & \\
  x \arrow[ur, no head] & & y \arrow[ul, no head] \\
  & 0 \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

dim $2$

dim $-1$ — $0$
dim $0$ — $x_0 \ x_1 \ldots x_{n-1}$
dim $1$
dim $2$ — $1$ — contours dont les comp. connexes ont au moins $3$ sommets

à droite, deux polygones dessinés, un hexagone dont un sommet est marqué et un pentagone

dim $3$ — On voudrait que si $x$ est un sommet les $y > x$, […] [$y \neq 1$], forment un contour convexe et si $x$ est une face les $y < x$, $y \neq 0$, forment un contour ($\uncertain{\pi_0 = 0}$)

$-1$ — $0$
$0$ — sommets
$1$ — arêtes
$2$ — faces
$3$ — $1$

dim $4$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & \vec{A} \arrow[dl] \arrow[dr] & & A^{\uparrow} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
  S = \mathfrak{X}_0 & & A = \mathfrak{X}_1 & & F = \mathfrak{X}_2
\end{tikzcd}

sur la page, les égalités $S = \mathfrak{X}_0$, $A = \mathfrak{X}_1$, $F = \mathfrak{X}_2$ sont écrites verticalement sous $S$, $A$, $F$ ; la lettre rendue $\mathfrak{X}$ est un $X$ cursif, et $A^{\llcorner\!\to}$ ci-dessous rend un exposant qui réunit la flèche verticale de $A^{\uparrow}$ et la flèche horizontale de $\vec{A}$

a)$\vec{A} \hookrightarrow S \times A$, $\forall$ $\vec{A} \to A$ de rang $2$
a')$A^{\uparrow} \hookrightarrow A \times F$, $A^{\uparrow} \to A$ de rang $2$
b)$A^{\llcorner\!\to} = \vec{A} \times_A A^{\uparrow} \to S \times F$ est de rang $2$ sur son image
c)$\forall\, s \in S$, l'ens $\mathfrak{X}_{\geq s}$ des $a \in A$ et $f \in F$ incidents à $s$ (qui est un graphe de sommets $A$, d'arêtes $F$, grâce à b), et un contour grâce à a')) est un polygone (i.e. est un contour [$\neq \emptyset$] connexe)
c')$\forall\, f \in F$, l'ens $\mathfrak{X}_{\leq f}$ des $a \in A$ et $s \in S$ incidents à $f$ (qui est un graphe … grâce à a), et un contour grâce à b)) est un polygone (i.e. est un contour [$\neq \emptyset$] connexe)

Version commune (en introduisant $\mathfrak{X}_{-1} = \{\emptyset\}$, $\mathfrak{X}_3 = \{1\}$ (plus grand et plus petit élément))

Si $-1 \leq i < j \leq 3$, [avec] $\delta =$ $j - i \geq 2$, et […] $(i,j) \neq (-1,3)$, si $x_i \in \mathfrak{X}_i$, $y_j \in \mathfrak{X}_j$, et $\mathfrak{X}_{\,]x_i,y_j[}$ est l'ens ordonné des $x \in \mathfrak{X}$ tels que $x_i < x < y_j$, alors la réalisation topologique de $\mathfrak{X}_{\,]x_i,y_j[}$ est homéomorphe à […] $S^{\delta-1}$ (sphère de dim $\delta - 1$). [Se généralise aux polyèdres lisses de dim quelconque, cf plus bas …] « $\delta =$ » est entouré, et « avec » écrit au-dessus ; l'indice de $\mathfrak{X}$, deux fois, est lu d'après la définition qui le suit

Les conditions a), a'), b) permettent de définir sur $A^{\llcorner\!\to}$ les opérations $\sigma_1, \sigma_2$ et $\varepsilon$ [avec $\sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1$ […], soit $\sigma$, et $\sigma_1, \sigma_2, \varepsilon$ étant des involutions, $\sigma_1, \sigma_2, \sigma, \varepsilon$ étant ss pts fixes —] les conditions c), c') assurent que $S$, $F$ « sont » bien les ens de sommets et des faces de la carte lisse combinatoire ainsi définie …

On trouve ensuite

$\widetilde{S} = A^{\llcorner\!\to}/\rho_s \simeq$ ens des couples $(s,\omega)$, $s \in S$, $\omega$ une orientation du […] polygone $\mathfrak{X}_{\geq s}$ des $a \in A$ et $f \in F$ incidents à $s$ [i.e. un [des 2] ordres circulaires sur l'ens des $a \in A$ incidents à $s$, qui définissent sa structure polygonale]
$\widetilde{F} = A^{\llcorner\!\to}/\rho_f$ : ens des couples $(f,\varpi)$, $f \in F$, $\varpi$ une orientation du polygone $\mathfrak{X}_{\leq f}$ des […] $a \in A$ et $s \in S$ incidents à $f$, [i.e. un des 2 ordres circ. sur l'ens. des $a \in A$ incidents à $f$, qui définissent sa structure polygonale]
$\widetilde{A} = A^{\llcorner\!\to}/\sigma$ = ens des couples $(a,u)$, $a \in A$, $u \in \vec{A}(a) \wedge A^{\uparrow}(a)$, où $\vec{A}(a)$ ($A^{\uparrow}(a)$) est l'ens des arcs tang. (ou transverses) portés par l'arête $a$.

\[ A^{\wedge} = \operatorname{Im}(A^{\llcorner\!\to} \to S \times F) = \text{rel. d'incidence entre $S$ et $F$} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & & A^{\llcorner\!\to} \arrow[dll, "\rho_S"'] \arrow[dl, "\uncertain{\sigma_2}"'] \arrow[d, "\sigma"] \arrow[dr, "\sigma_1"] \arrow[drr, "\rho_F"] & & \\
  \widetilde{S} \arrow[d, "\sigma_1"'] & \vec{A} \arrow[dl] \arrow[dr, "\sigma_1"] & \widetilde{A} & A^{\uparrow} \arrow[dl, "\sigma_2"'] \arrow[dr] & \widetilde{F} \arrow[d, "\sigma_2"] \\
  S & & A & & F
\end{tikzcd}

sous $\widetilde{A}$ est écrit « $\sigma_1 \updownarrow \sigma_2$ », sans flèche qui le rattache au reste du diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & A^{\llcorner\!\to} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
  \widetilde{S} \arrow[d] & A^{\wedge} \arrow[dl] \arrow[dr] & \widetilde{F} \arrow[d, no head] \\
  S & & F
\end{tikzcd}

le trait de $\widetilde{F}$ à $F$ n'a pas de pointe sur la page

\[\begin{align*} A^{\llcorner\!\to} &\simeq \widetilde{S} \times_S \vec{A} \simeq \struck{\ill{}}\, A^{\uparrow} \times_F \widetilde{F} \\ &\simeq \vec{A} \times_A A^{\uparrow} \\ &\simeq \vec{A} \times_A \widetilde{A} \simeq \widetilde{A} \times_A A^{\uparrow} \\ &\simeq \widetilde{S} \times_S A^{\wedge} \simeq A^{\wedge} \times_F \widetilde{F} \end{align*}\]

$A^{\llcorner\!\to}$ s'identifie aux rel. d'incidence entre $(S, A, F)$ simultanées

entre $\widetilde{S}$, $\widetilde{A}$,
entre $\widetilde{A}$, $\widetilde{F}$,
entre $\widetilde{S}$, $\widetilde{F}$,

Explicitons l'axiome

D) Toute [partie] […] minorée [$\neq \emptyset$] […] de $\mathfrak{X}_{**} = \mathfrak{X}_0 \cup \mathfrak{X}_1 \cup \mathfrak{X}_2$ admet un inf, ($\Leftrightarrow$ toute partie majorée [$\neq \emptyset$] de $\mathfrak{X}_{**}$ admet un sup).

Comme il résulte de ce que les él. minimaux de $\mathfrak{X}_{**}$ sont les él. de $S$, les parties minorées de $\mathfrak{X}_{**}$ sont celles contenues dans un [(ou plus petit él.)] $\mathfrak{X}_{\geq s}$. Or comme un ordonné […] est un polygone, et dans un polygone satisfait la condition [d'existence] de borne inférieure ses […] […] […] est $\geq 3$ (dans le cas excluant alors $n = 2$ ici …) Donc la condition D se réduit :ce paragraphe est encadré et barré de traits obliques

d) $\forall\, s \in S$, il y a au moins trois arêtes [$a \in A$] incidentes à $s$.

Il suffit d'exprimer que deux él. distincts [minimaux distincts majorés] de $\mathfrak{X}_{**}$ […] ont un inf. Si l'un des deux est $\in \mathfrak{X}_0$ (i.e. est minimal) c'est trivialement satisfait. Il reste : 3 cas

1°)Deux arêtes : on trouve que 2 arêtes qui ont […] sommets sont égales, i.e. $(S, A, \vec{A})$ est un graphe strict
2°)Deux faces : on trouve qu'elles […] que les deux faces distinctes de $(F, A, A^{\uparrow})$ [qui ont en commun deux sommets], elles-mêmes ceux-ci sont liés […] par l'arête qui les joint, [[…] fait] et l'un d'eux […] sommet
3°)Une arête [$a$] et une face [$f$] non incident[e]s — mais ayant un sommet commun : il faut exprimer que le deuxième sommet de $a$ n'est pas dans $f$, ou encore […] : si $f$ est incidente aux deux sommets d'une arête, elle est incidente à l'arête.

Regroupons, on trouve

toute arête est le sup de l'ens. de ses 2 extrémitésen regard de d$_1$) et d$_2$), qu'une accolade réunit

d$_1$)Une arête est déterminée par ses deux l'ens de ses extrémités
d$_2$)Une face contenant les 2 extr. d'une arête contient celle-ci

toute arête est le Inf de l'ens des deux faces incidentesen regard de d$'_1$) et d$'_2$), qu'une accolade réunit

d$'_1$)Une arête est déterminée par l'ens des deux faces incidentes
d$'_2$)Les deux faces incidentes à une arête n'ont d'autre sommet incident commun que ses extrémités

[$\mathfrak{X}$ un ordonné, $A \subset \mathfrak{X}$, $B$ l'ens des $b \in \mathfrak{X}$ qui majorent $A$ […] Par définition, $\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A$ existe ssi $B$ a un plus petit élément $\beta$, et on pose […] $\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A = \beta$. Si p. ex. $A$ est vide, $B = \mathfrak{X}$, et $\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} \emptyset$ existe ssi $\mathfrak{X}$ a un plus petit élément (qui est alors $\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} \emptyset$). On définit dualement $\operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} A \ldots$

Prop 1 Si $A$ a un plus grand élément [$\alpha$], il a un sup, et c'est $\alpha$ (Trivial)la Prop 1 est écrite serrée entre les lignes, au-dessus de la Prop 2

Prop 2 Pour que $\operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A$ existe, i.e. $B$ ait un plus petit él., il f. et s. que $\operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} B$ existe, et alors $\operatorname{Inf}_{\mathfrak{X}} B = \operatorname{Sup}_{\mathfrak{X}} A$.

C'est évidemment néc. d'après prop. 1. Suff ? Soit $\widetilde{A}$ l'ens des $a \in \mathfrak{X}$ qui minorent $B$. Donc $A \subset \widetilde{A} < B$. Par hypothèse (B admet un Inf) $\widetilde{A}$ a un plus grand él. $\alpha$, et que majorant de $\widetilde{A}$ et a fortiori majorant de $A$, donc $\alpha \in B$, et étant dans $\widetilde{A}$ il minore $B$, donc il est un plus petit él. de $B$, cqfd.

Cor Si tte partie de $\mathfrak{X}$ admet un Inf, alors tte partie de $\mathfrak{X}$ admet un Sup, et réciproquement. [conj. […]] Si tte partie […] minorée [de $\mathfrak{X}$] admet un Inf, alors tte partie non vide (majorée) de $\mathfrak{X}$ admet un Sup, et réciproquement. Donc pour que tte partie min. non vide de $\mathfrak{X}$ admette un Inf, il f. et s. que tte partie majorée non vide de $\mathfrak{X}$ admette un Sup.]

Montrons que l'axiome $D = $ d) + d') implique

Corollaire 1 (moyennant l'axiome D) pour tt $s \in S$, […] $p(s) = \operatorname{Card}\bigl(A\{s\} = \{\, a \in A \mid a \geq s \,\}\bigr) \geq 3$, et pour tout $f \in F$, $q(f) = \operatorname{Card}\bigl(A\{f\} = \{\, a \in A \mid a \leq f \,\}\bigr) \geq 3$.

En effet, on aurait $p(s) \neq 0$, en vertu de c). Si on avait $p(s) = 1$, on aurait par c) une [unique] seule face incidente à l'arête $a$ incidente à $s$, contrairement à b). Si on avait $p(s) = 2$, en vertu de c) les deux arêtes issues de $s$ seraient incidentes simultanément aux deux faces incidentes à $s$, contrairement à d$'_1$). Donc $p(s) \geq 3$. La relation $q(f) \geq 3$ s'établit de même. NB $p(s) \geq 2$ est indépendant de D, de même $q(f) \geq 2$.

Corollaire 2 (moyennant l'axiome D) : toute face $f \in F$ est le sup de l'ens de ses sommets, et le sup de l'ens de ses arêtes. Tout sommet est le inf de l'ens des faces qui y sont incidentes, et le inf de l'ens des arêtes incidentes.

Soit $\mathfrak{X}$ un ens. ordonné fini (on ne suppose pas qu'il ait un plus petit ou plus grand élément). On note [$|\mathfrak{X}| =$] réal.$(\mathfrak{X})$ sa réalisation topologique (avec sa décomposition […] canonique, permettant d'identifier $\mathfrak{X}$ à un ens. ordonné de parties fermées de $\mathfrak{X}$ [recouvrant $\mathfrak{X}$]). Pour tt $x \in \mathfrak{X}$, soit $\mathfrak{X}_{<x} = \struck{\ill{}}\ \{\, y \mid y \in \mathfrak{X},\ y < x \,\}$. Faisons l'hypothèse :

(R) $\forall\, x \in \mathfrak{X}$, $|\mathfrak{X}_{<x}|$ est une sphère topologique.

Soit $\delta(x) = \dim |\mathfrak{X}_{<x}| + 1 = \dim |\mathfrak{X}_{\leq x}|$. On trouve

Proposition Si $x < y$, on a $\delta(x) < \delta(y)$ (i.e. $\delta : \mathfrak{X} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante). Pour qu'on ait […] $\delta(y) = \delta(x) + 1$ il f. et s. que $y$ soit un successeur de $x$.

Première assertion claire, compte tenu que $\dim \underbrace{C(X)}_{\text{cône sur } X} = \dim X + 1$, et $\dim$ est une fonction croissante … L'assertion « il faut » en résulte, prouvons « il suffit ». Supposons que $y$ soit un successeur de $x$. Considérons $S = |\mathfrak{X}_{<y}|$ sphère de dim $d = \delta(y) - 1 \geq \delta(x)$, contenant $|\mathfrak{X}_{\leq x}|$, qui est une facette maximale, donc de dim $= d$, donc $\delta(x) = \delta(y) - 1$, cqfd. [Pour qu'on ait $\delta(y) = \delta(x) + 1$, il suffit que $y$ soit succ. de $x$ et $|\mathfrak{X}_{<y}|$ une variété topologique] vérifier en général pour variété

Cor Moyennant (R), $\mathfrak{X}$ satisfait la condition des chaînes, et $\delta$ est l'unique fonction $\mathfrak{X} \to \mathbb{N}$ telle que

a)$\delta(y) = \delta(x) + 1$ si $y$ est un successeur de $x$
b)$\delta(x) = 0$ si $x$ élément minimal de $\mathfrak{X}$.

Prop [(Moyennant R)] Soit $x < y$, alors $|\mathfrak{X}_{x<\cdot<y}|$ est une sphère topologique de dim. $\delta(y) - \delta(x) - 2$ (on convient de considérer l'espace vide comme sphère top. de dim. $-1$)dans la marge gauche, en regard de cette proposition et du lemme qui suit, deux signes serrés que l'on ne lit pas

Ceci résulte du

Lemme Soit $\mathfrak{Y}$ un ens ordonné fini tel que $|\mathfrak{Y}|$ est une $d$-variété topologique. Alors

a)$\forall\, x \in \mathfrak{Y}$, $|\mathfrak{Y}_{>x}|$ est une sphère top. de dim $d - \delta(x) - 2$
b)$\forall\, x \in \mathfrak{Y}$, $|\mathfrak{Y}_{<x}|$ est une sphère top. de dim $\delta(x) - 1$ (i.e. $\mathfrak{Y}$ satisfait la condition (R))
c)$\forall\, z, x \in \mathfrak{Y}$, $z < x$, $|\mathfrak{Y}_{z<\cdot<x}|$ satisfait est une sphère topologique de dim $\delta(x) - \delta(z) - 2$.

$\mathfrak{X}$ un ordonné fini. On suppose qu'il satisfait la condition [$\overline{\mathfrak{X}} = \mathfrak{X} \cup$ plus petit él.]

($\Sigma$) Soient $x \in \overline{\mathfrak{X}}$, $y$ un successeur de $x$, $z$ un successeur de $y$. Alors il existe un unique $y' \in \mathfrak{X}$, tel que $y' \neq y$, $x < y' < z$ ; […] $y'$ est un successeur de $x$ et […] minimal de $\mathfrak{X}$, $z$ un successeur, $\exists\, y' \in \mathfrak{X}$ tel que $y' < z$ […] et $y'$ est minimal et $z$ un successeur de $y'$deux lignes et demie barrées, avec un ajout interlinéaire lui-même barré, où se lit « si $y$ est un él. »

Le $y'$ en question (noté $\sigma_{x,z}(y)$) est un successeur de $x$, et $z$ en est un successeur. En effet, si on avait [p. ex.] $x < y'' < y'$, on aurait $x < y'' < z$, donc (comme $y'' \neq y'$) $y'' = y$ donc $y < y' < z$, contrairement à l'hyp. que $z$ est un succ. de $y$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & y' \arrow[dr] & \\
  x \arrow[ur] \arrow[dr] & & z \\
  & y \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche ; au-dessus, un premier croquis du même losange, raturé

On suppose pour $x \in \mathfrak{X}$ les chaînes […] [issues de $x$] […] maximales […] toutes de longueur $n$.écrit en long dans la marge gauche, en regard de ce qui suit Un repère de $\mathfrak{X}$ [($n \geq 0$)] : suite $x_0, x_1, \ldots, x_n$ d'éléments de $\mathfrak{X}$, tels que

a)$x_0$ pt minimal de $\mathfrak{X}$
b)$\forall\, 0 \leq i \leq n-1$, $x_{i+1}$ est un successeur de $x_i$.

Soit $R_n(\mathfrak{X})$ l'ens des $n$-repères.

Structures

a)$R_n \xrightarrow{p_n} R_{n-1}$ — ($n \geq 1$)
b)Opérations $\sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ — (si $n \geq 1$)

Propositions

a)Les $\sigma_i$ sont des involutions ($n \geq 1$)
b)Soit $n \geq 3$, et $0 \leq i < j \leq n-1$, avec $j \neq i+1$, alors $\sigma_i$ et $\sigma_j$ commutent […] (dans $R_n$).
c)Soit $0 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_\nu \leq n-1$, [($\nu \geq 1$)] avec $i_{\alpha+1} \neq i_\alpha + 1$ $\forall\, \alpha = 1, \ldots, \nu-1$. Alors $\sigma_{i_1}\sigma_{i_2}\cdots\sigma_{i_\nu}$ (qui est une involution de $R_n$) est sans pt fixe.
d)$R_n \xrightarrow{p_n \cdots p_{p+1}} R_p$ commute à $\sigma_{n-1}, \ldots, \sigma_{p+1}$ et $\sigma_{p-1}, \ldots, \sigma_0$

la moitié supérieure de la page, jusqu'à « 2 sommets … », est barrée de trois longs traits obliques ; elle se lit néanmoins et est donnée ici. En marge, plusieurs petits croquis de sommets et d'arêtes, dont un losange, un éventail hachuré et un faisceau de flèches, qui ne sont pas reproduits

$\mathfrak{X}_0 = S$, $\mathfrak{X}_1 = A$, $\mathfrak{X}_2 = F$les égalités sont écrites verticalement, chaque $\mathfrak{X}_i$ au-dessus de sa lettre

$x_0 \ldots x_p\ x_{p+1} \ldots x_{n-1}\ x_n$$y_1 - y_2 \ldots y_n$$x_0 - x_1 - x_2 \ldots - x_n$en haut à droite, trois suites superposées dans cet ordre ; une accolade est tracée sous $x_{p+1} \ldots$, et la suite des $y_i$ se raccorde par un trait à $x_0$

a) $\forall\, f \in F$, les $s \in S$ et $a \in A$ incidents : $F$ forme un polygone, donc a) si $a < f$ ($a \in A$) $a$ a exactement 2 sommets b) si $s < f$ ($s \in S$) il y a exactement 2 arêtes entre $s$ et $f$) c) Condition de connexité

On trouve aussi que les arêtes incidentes à une face ([…] ou autour de $|\mathfrak{X}|$ des pts au voisinage desquels $|\mathfrak{X}|$ est de dim 1 !) et […] on conclut que les arêtes a exactement 2 sommets …

… en faisant que $\sigma_{n-1}, \ldots, \sigma_{p+1}$ triviales sur $R_p$ $(n > p \geq 0)$cette ligne, non barrée, paraît compléter l'article d) de la page 39