Fonds Grothendieck, cote n° 87, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)87
Polyèdres convexes : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/87.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Géométrie des convexes
le titre est de sa main, souligné, en tête de la page 2. Ses rubriques
ouvertes par un astérisque sont rendues ici en liste sur cette page, puis en
sous-sections à partir de la page 3
Partie convexe d'un espace affine réel : définition, stabilité par
intersection, partie convexe engendrée — description en termes de
combinaisons barycentriques, en termes de simplexes, comparaison avec
espace affine engendré. Enveloppe convexe d'uneréun. famille d'ens. convexes. Stabilité par images
inv. et directes par appl. affines, par sommes.
Cas de \mathbf{R} droite : parties convexes sont les
intervalles. Une partie convexeC d'un
espace espace affine réel E est convexe ssi son intersection
avec toute droite est un intervalle de ladite.
Dimension d'un convexe.
Intérieur d'un convexe (engendrant E affinement) i.e. de
dim E\mathring{C} \neq \emptysetSi x \in \mathring{C}, alors
\mathring{C} = \bigcap_{\substack{D \text{ droite de } E \\ \text{passant par } x}} \operatorname{int}_D (D \cap C)\dot{C} = \bigcap_D \operatorname{bnd}_D (D \cap C)\overline{C} = \bigcap_D \overline{D \cap C}à droite de ces formules, un croquis : une région C hachurée
par deux familles de droites parallèles. Le signe devant
\operatorname{bnd}_D est bien une intersection sur la page, là où
l'on attendrait une réunionSi C, C' convexes compacts engendrant E, x \in
\mathring{C}, x' \in \mathring{C}', \exists homéom. unique
h : C \simeq C' avec h(x) = x', h étant linéaire
affine sur les demi-droites issues de x et les transformant en
demi-droites parallèles.
Facettes d'un convexe
R(x,y) : (x = y ou x et y sont intérieurs à D_{x,y} \cap C) est une
relation d'équivalence. Une partie F de C est dite une facette si
\forall x \in F, on a F = \{ y \in C \mid R(x,y) \}
— on exclutdonc les F \neq \emptysetfacettes — F est une classe suivant R. Notations
E_C, E_Fsous-espaces affines engendrés ; l'indice du premier E
est un C appuyé. L'ensemble des facettes est noté par une abréviation lue
\mathrm{Fac}(C) dans tout le lot.
Point extrémalx : facette réduite à\{x\} est facette
\Leftrightarrow\forall D droite passant par x, x n'est pas intérieur
à D \cap C dans D.
(1) Supposons C de dim finie d. \exists ! facette de dim d, c'est
\operatorname{int}_{E_C}(C).
(2) Soit F \in \mathrm{Fac}(C). AlorsE_F \cap C est une réunion
de facettes de C, et les facettes de C contenues dans
E_F \cap C sont les facettes de E_F \cap C. Si E de dim finie, on a
E_F \cap C = \overline{F} \cap C (= \overline{F} si C fermé), et
F = \operatorname{int}_{E_F}(E_F \cap C), Pour deux
(3) Pour deux facettes F, F', conditions équivalentes :
\begin{array}{ll}
E_{F'} \subset E_F & \\
E_{F'} \cap C \subset E_F \cap C & (\text{ou } E_{F'} \cap C \subset E_F) \\
F' \subset E_F \cap C & (\text{ou } F' \subset E_F) \\
F' \subset \overline{F} \cap C & (\text{ou } F' \subset \overline{F}) \\
\overline{F'} \subset \overline{F} &
\end{array}une accolade réunit les deux dernières lignes, avec « si E de dim
finie »
C'est là une relation d'ordre dans l'ens. \mathrm{Fac}(C) des
facettes de C. Si x, y \in C, F_x \prec F_y \Leftrightarrow
\bigl[ x = y \text{ ou } x \neq y \text{ et }
y \in \operatorname{Int}_{D_{xy}} (D_{xy} \cap C) \bigr]un mot est noirci devant F_x
(4) Soient (x_i)_{i \in I} une famille finie de pts de C,
(\lambda_i)_{i \in I} avec \lambda_i > 0, \sum \lambda_i = 1, donc
x = \sum \lambda_i x_i \in C. Ceci dit, on a
F_x = \sup F_{x_i}.
(Par suite, dans \mathrm{Fac}(C) les sup finis existent — donc les sup
quelconques aussipourvu que \dim C < +\infty).
(5) Soit C' \subset C une partie de C réunion de facettes, et soit
\Phi \subset \mathrm{Fac}(C) défini par
\Phi = \{ F \in \mathrm{Fac}(C) \mid F \subset C' \}
Pour que C' soit convexe, il faut et suffit que \Phi soit stable par sup
finis ; pour que C' soit convexe et fermé relat. dans
C (car dim E < \infty) il faut et suffit que \Phisoit stable
par sup finis et qu'avec une facette il contienne celles qui sont
majorées. (5) (Dim finie), (6) Pour que C' soit de la
forme \overline{F} \cap C (F \in \mathrm{Fac}(C)) il faut et suffit que
\Phi soit fermé, convexe et soitréunion de facettes. L'ens. des facettes relat.fermées de C est stable par intersections
quelconques (donc il y a des inf quelconques dans l'ens. des facettes de C).
(7) Supposons Cde dim finie compact. Alors C est l'enveloppe
convexe de l'ens. de ses pts extrémaux.
(8) Supposons C partie polyédrale dans E de dim finie (i.e. C réunion
finie de simplexes \Leftrightarrow réunion finie d'enveloppes convexes de
parties finies de E). Alors l'ens. des facettes de C est fini.
Cor. Polyèdres convexes : parties convexes compactes telles que
\mathrm{Fac}(C) (ou \mathrm{Fac}_0(C), ens. des pts extrémaux) soit fini.
Polaires
Polaires
E, E' espaces vectoriels duals l'un de l'autre. Pour partie A de E,
on pose
A^\circ = \{ x' \in E' \mid \langle x, x' \rangle \geq -1 \ \forall x \in A \}
= \bigcap_{x \in A} H(x)
\qquad (\text{où } H(x) = \{ x' \in E' \mid \langle x, x' \rangle \geq -1 \})
De même on définit A'^\circ \subset E pour A' \subset E'.
Th. 1 Pour A \subset E, … A^{\circ\circ} = env. conv. fermée
de A \cup \{0\}.
CorollaireA \mapsto A^\circ et A' \mapsto A'^\circ sont des appl.
bijectives inv. l'une de l'autre entre l'ens. des parties convexes fermées de
E contenant 0, et l'ens. analogue
pour E'. En De plus, pour de telles parties
A_1 \subset A_2 \Longleftrightarrow A_2^\circ \subset A_1^\circ
(i.e. la bijection précédente renverse l'ordre)
Cor\overline{\mathrm{Env}}(A_1, A_2) = A_1^\circ \cap A_2^\circ(A_1 \cap A_2)^\circ = \overline{\mathrm{Env}}(A_1, A_2)ainsi sur la page : aucun signe de polaire sur le membre de gauche de
la première formule ni sur les arguments du second membre de la seconde
Le théorème est conséquence du théo. est équivalent :)
la ligne est marquée à gauche d'un grand crochet
Théorème 1' Soit C une partie de E. Pour que C soit convexe et
fermé, il faut et suffit que C soit intersection de demi-espaces fermés.
Résulte du
Théorème 1'' (Hahn-Banach) Soit U une partie convexe ouverte
de l'espace vectoriel réel E de dim finie, F \subsetneq E un sous-espace
vectoriel de E tel que F \cap U = \emptyset, alors \exists hyperplan H
de E contenant F, tel que H \cap U = \emptyset.
RésultatsDém. : remplaçant U par
\bigcup_{\lambda > 0} \lambda U, OPS U un cône (i.e. stable par
multiplication par \lambda > 0) Il suffit de prouver que si F n'est pas
un hyperplan, \exists F' \supset F, F de codim 1 dans F' i.e.
\dim F' = \dim F + 1. OPS \dim E = \dim F + 2. : passant au
quotient par F, on se ramène au cas \dim E = 2, F = 0. OPS
U \neq \emptyset.le même mot, non lu, ouvre les deux phrases
On montre alors que ou bien U est un demi-espace ouvert, ou bien \exists
base e_1, e_2 telle que
U = \{ \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 \mid \lambda_1, \lambda_2 > 0 \}dans la marge gauche, deux axes perpendiculaires issus d'un point
Dans les deux cas on gagne …
Secteurs polyédraux
Prop. Soit C partie de E (espace affine de dim finie) Conditions
équivalentes :
C intersection finie de demi-espaces fermésC enveloppe convexe fermée d'un ens. fini de pts et de
demi-droites fermées (qu'on peut supposer partantissuesd'une origine un pt x \in C donné à
l'avance …)(si compact) C est un polyèdre convexe
Dém. Si C = \emptyset les deux conditions sont satisfaites. Donc OPS
C \neq \emptyset. Soit x \in C, on le prend comme origine OPS
C convexe fermé, et OPS C = C^{\circ\circ}, C' =
C^\circC engendre E (car on voit que les deux
conditions sur Cne changent pas si on remplace E par E_C).
Soit x \in \mathring{C}, on le prend comme origine, on aura
C = C'^\circ, \quad C' = C^\circ.
D'où C' est compact.
suit un long passage, encadré et barré de traits
obliques, qui commence par « a) \Rightarrow b) » et où se lisent
« convexe fermée d'un ens. fini de pts et de demi-droites fermées », « b)
\Rightarrow a) », « enveloppe convexe », « d'un ens. fini de pts »,
« intersection d'un ens. fini de demi-espaces fermés » et « on gagne par
polarité » ; il est remplacé par ce qui suit et par la page 9
b) \Rightarrow a) Si b) est vrai pour C, alors par polarité C' est
int. finie de \frac{1}{2}-espaces fermés, donc (lemme ci-dessous) étant
compact, c'est un polyèdre convexe, i.e. env. conv. finie de d'un
ens. fini de E', d'où a) par polarité.
a) \Rightarrow b) On sait (par polarité) que C' est env.
conv. fermée d'un ens. fini de pts, donc d'après ce qui précède,
il est intersection finie de demi-espaces fermés
donc par polarité on trouve b) pour E, sous forme précisée.
dans la marge gauche, un croquis : une bande entre deux droites
parallèles, un point marqué sur l'une, et une ligne brisée en zigzag entre
les deux
Lemme Soit Ccompact intersection finie de
demi-espaces fermés. Alors C est un polyèdre convexe
l'ens. des pts extrémaux de C est fini (donc C est un polyèdre convexe
s'il est compact). En d'autres termes, C est fini de
pts extrémaux.
Récurrence sur \dim E (trivial si \dim E = 0) puis sur le
nb de demi-espaces qui entrent. Trivial si
\nu = 0, 1(n = 1) Supposonsle \nu renvoie à une
ligne barrée, « sur \nu = n + \dim E » On est ramené au cas d'un convexe
C_1 n'ayant qu'un nb fini de pts extrémaux, et où on a
C = C_1 \cap H
\qquad (H \text{ demi-espace fermé, limité par l'hyperplan } H_0)
Soit x \in Cun pt extrémal. Si x \notin H_0, alors x est pt
extrémal de C ssi il est pt extrémal de C_1. Si x \in H_0,
alorsx est pt extrémal de C, ssi il est pt extrémal de
C_1H_0 \cap C. On gagne.
DéfinitionSecteur polyédral : partie satisfaisant aux
conditions équivalentes précédentes.
Prop.E, E' vectoriels de dim finie en dualité. Alors par
A \mapsto A^\circ, A' \mapsto A'^\circ on trouve des correspondances 1-1
inverses l'une de l'autre entre secteurs polyédraux de Econtenant l'origine, et sect. pol. de E' contenant l'origine.
Polarité et facettes
E, E' vectoriels de dim finie en dualité. Correspondance biunivoque
entre sous-espaces affines F de E ne contenant pas l'origine, et
sous-espaces affines F' de E' ne contenant pas l'origine, avec
\dim F + \dim F^{0} = n - 1 \qquad (n = \dim E = \dim E')Notations F^{0},l'exposant de F^{0} est un petit rond
ouvert, tracé autrement que le ^\circ des polaires ; il est rendu ^{0}
ici et page 11
Correspondance caractérisée par les propriétés :
Renverse la relation d'incidenceÀ x \in E - \{0\} correspond
\{x\}^{0} = H(x)^{\bullet} = (\{x\}^\circ)^{\bullet}le point en exposant désigne sans doute le bord, comme
\dot{C} page 2
Terminologie Variété d'appui d'un convexe C = variété affine de la
forme E_F. Les variétés d'appui sont en corr. 1-1 avec les facettes,
relation d'ordre et relation d'incidence
Th Soit C, C' deux secteurs polyédraux polaires l'un de l'autre de
E, E' resp.t Alors il existe une unique application
\varphi de l'ens. des facettes F de C telles que 0 \notin
\overline{F} (i.e. 0 \in E_F) dans l'ens. des facettes F' de C' telles
que 0 \notin \overline{F'} (i.e. 0' \in E_{F'}), caractérisée par la
propriété que si F' = \varphi(F)E_{\varphi(F) = F'} = (E_F)^{0}les deux « i.e. » portent \in et non \notin sur la page. Devant
la formule, un mot et un E sont barrés
Cette application est bijective, et renverse la relation d'ordre entre
facettes
Cor. 1 L'ens. des facettes d'un secteur polyédral est fini (prendre
l'origine intérieure au secteur polyédral, et appliquer dualité)
Cor. 2 Supposons C, C' cpts i.e. E0_E, 0_{E'} intérieurs à C, C' resp.t, i.e. C, C' des polyèdres.
Alors \varphi : \mathrm{Fac}(C) \simeq \mathrm{Fac}(C')
(antiisomorphisme d'ens. ordonnés).
Corollaire 3 Soit \Phi un polyèdre combinatoire strict. Alors
\Phi^\circ est un pol. combinatoire strictSi x, y \in \Phi, avec x \leq y, alors l'ens. ordonné
\Phi_{x,y} = \{ z \in \Phi \mid x \leq z \leq y \} est un polyèdre
combinatoire strict.
la notion de polyèdre combinatoire strict n'est pas définie sur ces
feuillets
Dém. a) Résulte de Cor. 2. On sait que \Phi_{0,x} est un polyèdre
combinatoire strict, (0 plus petit élt) donc par dualité aussi \Phi_{x,1}
(1 plus grand él.) = (\Phi^\circ_{0,x})^\circ. Appliquant ce dernier
résultat à x \in \Phi_{0,y}, on trouve que \Phi_{xy} est un polyèdre
combinatoire strict.
Cor. 4 Soient x, y deux facettes
Cor. 4 Soit F une facette d'un p. C un polyèdre convexe, F une
facette dudit, i \in \mathbf{Z} tel que -1 \leq i \leq d = \dim F. Alors
\exists facette de F' incidente à F telle que \dim F' =
Si d = -1 ou d = 0, c'est évident. Supposons d \geq 1, i.e.
F \neq \emptyset, on sait que \overline{F} est l'enveloppe convexe de
l'ens. de ses pts extrémaux, donc \exists F' \in \mathrm{Fac}(C) avec
\dim F' = 0, et F' \leq F, F' < F.ce passage et le
corollaire barré de la page 12 sont encadrés et barrés de traits obliques ;
l'énoncé revient page 14 comme Cor. 6
Application à la fonction dimension
Cor. 4 Soient C un polyèdre convexe, F_1, F_2 \in \mathrm{Fac}(C)
avec F_1 < F_2. Pour que F_2 soit un successeur de F_1 (i.e.
qu'il n'existe pas F tel que F_1 < F < F_2) il faut et suffit qu'on ait
\dim F_2 = \dim F_1 + 1
Comme \dim F est fonction strictement croissante sur
\mathrm{Fac}(C), la suffisance est claire. Pour la nécessité,
dans \dim F OPS (dualité)
F_2 =\mathring{C}1 (plus grande facette), et F_2
puis en passant aux polaires (échangeant les rôles de F_1 et F_2) que
F_1 =\emptyset0 (plus petite facette), et :
à nouveauF_2 = 1. Donc l'assertion devient maintenant : Pour
qu'il n'existe aucune facette distincte de \mathring{C} et de la facette
vide, il faut et suffit que \dim C \uncertain{=} 0 ou -1 i.e. que Cvideréduit à un pt.
(trivial, en effet, on prend pts extrémaux !)
Cor. 5 La fonction d : F \mapsto \dim F sur \mathrm{Fac}(C) (du
cor. 4) est caractérisée par les conditions :
d(F_2) = d(F_1) + 1 si F_2 est un successeur de F_1d(\emptyset) = -1 (\emptyset plus petit él.). De plus d est
str. croissant
Cor. 6 Soit F \in \mathrm{Fac}(C) (C polyèdre convexe) Alors pour
tout -1 \leq i \leq d = \dim F, existe F' \leq F telle que
\dim F' = i.
Clair si d = -1 ou 0, sinon Récurrence sur d,
clair si d = -1, 0. Si d > 0, \exists F' tel que F' \neq \emptyset,
F, \emptyset < F' < F (cor. 4) Donc \dim F' = d' < d. Si i \leq d'
on gagne par hyp. de récurrence appliquée à F' sinon on gagne par
l'hyp. de récurrencebloc encadré et barré de traits obliques
Formel à partir du cor. 5, qui implique que si x \leq y,
x, y \in \mathrm{Fac}(C), alors \exists chaîne
x_0 = x < x_1 < \cdots < x_n = y, avec x_{i+1} succ. de x_i
(0 \leq i \leq n-1), et qu'alors d(y) - d(x) = nd(x_i) - d(x_0) = i i.e. d(x_i) = d(x_0) + i.
[On prend y = F, x = \emptyset …]
Cor. 7 Soit \Phi un polyèdre combinatoire strict, d une fonction
dimension sur \Phi (cf cor. 5) Soient x, y \in \Phi, x < y,
d(y) = d(x) + 2. Alors l'ens. des z \in \Phi tels que x < z < y est de
cardinal 2.
\Phi_{xy} est un polyèdre combinatoire strict de dim (-1) + 2 = 1, donc
provient d'un polyèdre convexe de dim 1, i.e. d'un segment. Celui-ci a
exactement 2 extrémités !
Cubes
« Cubes », à l'encre, est le seul mot de sa main sur la couverture de
papier brun qu'est la page 15 ; elle porte aussi, au crayon et entourée, la
mention « (13 p.) »
Caractérisation intrinsèque d'un n-cube, déterminée par un ens.
\Phi \subset \mathrm{Espaff}(E)la notation est lue « \mathrm{Espaff} » avec doute
de sous-espaces affines d'un espace affine sur k :
\Phia un plus petit et un plus grand élément, et
contient \emptyset et E (qui sont donc un plus petit et un plus grand
élément), et dans \Phi^{**} = \Phi - \{ 0_\Phi, 1_\Phi \} (\Phi privé
de son plus petit et plus grand élément) tout élément est intersection
d'éléments maximaux (pour la rel. d'ordre).l'exposant de
\Phi^{**} est fait de deux petits signes, lus **Pour tout élément maximal F de \Phi^{**}, \exists ! él.
maximal F' tel que \operatorname{Inf}_{\Phi^{**}}(F, F') = \emptyset
[i.e. (F, F') non minoré dans \Phi^{**} i.e. F \cap F' ne contient
aucun él. de \Phi différent de \emptyset] [Ainsi l'ens. B des él.
maximaux de \Phi^{**} est muni d'une involution : F \mapsto F' ss pt
fixe …]Si : à toutV \in \Phi^{**}V \neq \emptyset on associe l'ens. B_V des
b \in B qui le majorent, on trouve une partie A de B telle que
b \in A \Rightarrow \sigma b \notin A (i.e. une section partielle
définie de B sur I = B/\sigma). Ceci posé, l'application
\Phi \setminus \{\emptyset\} \longrightarrow \Gamma_{\mathrm{part}}(B/I)
ainsi définie, qui est injective par b), est bijection.
NB a), b), c) signifient que l'ens. ordonné \Phi est un cube
combinatoireSi n = \dim \mathrm{comb}\, \Phi, on a En =\dim E = \frac{1}{2} \operatorname{card} B et
\forall V \in \Phi, \dim_\Phi V = \dim_E V,
[a) : dit implique que la\operatorname{Inf}dans\Phid'une partie minorée de
\Phi \setminus \{0\} est aussi son intersection (en tant
qu'ens. de points de E) et que les hyperplans \in \Phi. Mais cela n'implique pas que le
la fin de la page, écrite serrée et en partie en surcharge, n'est lue
que par fragments
\operatorname{Inf} d'une partie de \Phi (dans \Phi) est \emptyset,
i.e. si son intersection ne contient pas d'él. de
\Phi \setminus \{\emptyset\}, que cette intersection soit vide. Ex : un
quadrilatère qui n'est pas un parallélogrammesuit un
petit croquis d'un quadrilatère dont deux côtés se coupent hors de lui.
L'axiome qui suit assure qu'il en est pourtant ainsi …]
Si b, b' sont des él. maximaux de \Phi^{**}
(i.e. b, b' \in B) dont l'inf est \emptyset (i.e. b' = \sigma b),
alors b \cap b' = \emptyset (i.e., par
d), b, b' sont des parallèles i.e.
hyperplans affines parallèles …).
Dans l'espace des translations T de V, les espaces
directeurs \mathbb{H}_i (i \in I) des 2
sous-espaces hyperplans b \in B sont lin. indép.,
et correspondent donc à une décomposition
T \simeq \prod T_i \qquad (T_i = T/\mathbb{H}_i)
de T en produit de droites. La donnée du T-torseur E revient à la
donnée d'une famille (E_i)_{i \in I} de T_i-torseurs,
E_i \simeq E/\mathbb{H}_i. De plus, dans chaque E_i il y a
une partie de deux pts distincts, B_i,
(isom. à la fibre de B/I en i \in I). Or on vérifie que la donnée
d'une (pour ila lettre rendue \mathbb{H} est un H
barré de traits verticaux
fixé) d'un T_i, E_i, B_i \subset E_i équivaut en fait à la donnée de
B_i (comme torseur sous \pm 1 !) en prenant
T_i = \operatorname{Ker}(k^{B_i} \xrightarrow{\varepsilon} k), \quad
E_i = \varepsilon^{-1}(1)
Donc la donnée des d'une famille (T_i, E_i, B_i)_{i \in I}
(\operatorname{card} I = n) équivaut à la donnée d'une de
n-cube. Montrons que cette donnée permet de reconstruire le n-cube,
comme le produit de la famille (indexée par I) de 1-cubes …
On a aussi
T = \operatorname{Ker}(k^B \xrightarrow{\mathrm{tr}} k^I), \qquad
E = \mathrm{tr}^{-1}(1)« trace » est écrit au-dessus de la flèche, relié à « tr »