Cote n° 87 · pages 1–40 · Lecture modernisée · Polyèdres convexes : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–40

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

1. I.Géométrie des convexes (pages 2 à 14), sous ce titre de sa main. Le programme (page 2) ; les facettes d'un convexe, leur ordre, les points extrémaux (pages 3 à 5) ; les polaires et le théorème de Hahn–Banach (pages 5 à 7) ; les secteurs polyédraux (pages 7 à 10) ; polarité et facettes (pages 10 à 12) ; la fonction dimension et le losange (pages 12 à 14).
2. II.Cubes (pages 15 à 26), sous le titre de la couverture de la page 15. Caractérisation intrinsèque d'un cube et reconstruction comme produit de segments (pages 17 à 19) ; épures de \(n\)-cubes (pages 21 et 22) ; facettes du cube (pages 23 à 25) ; le cube réel et son groupe (page 26).
3. III.Facettes, seconde rédaction, et polyèdres combinatoires (pages 27 à 30) : les facettes reprises sans la facette vide (pages 27 à 29), puis une définition axiomatique du polyèdre combinatoire et le recensement des petites dimensions (pages 29 et 30).
4. IV.La dimension 2 (pages 32 à 36) : le bord d'un polyèdre combinatoire de dimension 3 comme « carte lisse combinatoire », ses drapeaux, l'axiome D.
5. V.Ensembles ordonnés à intervalles sphériques (pages 37 et 38).
6. VI.Le losange et les repères (pages 39 et 40).

La couverture de la page 15 porte aussi, au crayon et entourée, la mention « (13 p.) », qui n'est pas sûrement de sa main ; c'est le nombre des feuillets écrits 17 à 19 et 21 à 30, ce qui peut n'être qu'une coïncidence. Il n'y a nulle part de pagination de sa main.

Deux rédactions des facettes, gardées distinctes

Les facettes d'un convexe sont définies deux fois : page 3, comme classes d'une relation d'équivalence, la facette vide étant admise et servant de plus petit élément ; page 27, comme parties non vides, avec une relation d'équivalence formulée autrement. Les énoncés de la page 29 sur l'ensemble ordonné des facettes, et les axiomes qui suivent, demandent de nouveau la facette vide. On garde les deux rédactions séparées, et l'on dit à chaque fois laquelle est en jeu ; \(\mathrm{Fac}(C)\) contient toujours la facette vide.

Conventions

Facettes. Le mot est le sien, et on le garde, mais il faut le lire avec soin : une facette d'un convexe \(C\) est ici l'intérieur relatif d'une face de \(C\) — une « face ouverte » —, de n'importe quelle dimension, et non une face de codimension 1, que la langue d'aujourd'hui appelle facette.¹ Une face de codimension 1 est dite ici facette sous-maximale, comme il le fait page 24. Une facette fermée est l'adhérence d'une facette dans \(C\), c'est-à-dire une face.

Polyèdres. Un polyèdre convexe, chez lui, est compact : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui un polytope convexe. Un secteur polyédral est une intersection finie de demi-espaces fermés, bornée ou non : un polyèdre convexe au sens d'aujourd'hui. On garde ses deux mots.

Ensembles ordonnés. \(0\) et \(1\) désignent le plus petit et le plus grand élément ; \(y\) est un successeur de \(x\) si \(x < y\) sans élément intermédiaire (on dit aujourd'hui que \(y\) couvre \(x\)) ; \(\Phi_{x,y}\) est l'intervalle fermé \(\{z \mid x \leq z \leq y\}\) et \(\mathfrak{X}_{x < \cdot < y}\) l'intervalle ouvert.

Polarité. Le polaire est le sien, \(A^{\circ} = \{x' \mid \langle x, x' \rangle \geq -1 \ \forall x \in A\}\), opposé de celui qu'on utilise d'ordinaire (\(\leq 1\)) ; les deux conventions donnent les mêmes énoncés. La correspondance entre sous-espaces affines de la page 10, qu'il marque d'un petit rond ouvert distinct du \(^{\circ}\), est notée ici \(F \mapsto F^{\vee}\).

Cubes. \(B\) est un ensemble à \(2n\) éléments muni d'une involution sans point fixe \(\sigma\), notée aussi \(b \mapsto -b\), et \(I = B/\sigma\) ; pour \(i \in I\), \(B_i\) est la fibre, à deux éléments.

Cartes. Aux pages 32 à 36, \(S\), \(A\), \(F\) sont les sommets, arêtes et faces ; \(\vec{A} \subset S \times A\) et \(A^{\uparrow} \subset A \times F\) les incidences sommet–arête et arête–face ; \(\mathrm{Dr} = \vec{A} \times_{A} A^{\uparrow}\) l'ensemble des drapeaux² ; \(\sigma_{1}\), \(\varepsilon\), \(\sigma_{2}\) changent respectivement le sommet, l'arête, la face d'un drapeau.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

• Le « polyèdre combinatoire strict » des pages 12 et 14 n'est défini sur aucun feuillet. La page 29 définit, sans le mot « strict », un polyèdre combinatoire par des axiomes, et la page 30 montre aussitôt qu'en dimension 2 ces axiomes admettent des réunions disjointes de polygones, qui ne viennent d'aucun polyèdre convexe. On lit donc « strict » comme « isomorphe à l'ensemble ordonné des facettes d'un polyèdre convexe » — la seule lecture sous laquelle la démonstration de la page 12 a un sens — et le polyèdre combinatoire de la page 29 comme la notion plus large.
• La propriété du losange — exactement deux éléments entre deux éléments de dimensions distantes de 2 — est démontrée pour les polyèdres convexes page 14 et page 29, déduite d'une hypothèse topologique page 38, et posée en axiome page 39 sous le nom (\(\Sigma\)). L'axiome c) de la page 29 n'en est que la moitié (« il existe »), et le recensement de la page 30 a besoin de l'autre.
• Le modèle du cube par les coordonnées barycentriques, page 19, et le module de la marge de la page 21 sont un même objet : le noyau de \(k^{B} \to k^{I}\).
• Pour \(n = 2\), l'épure de la page 21 est le « carré combinatoire » du dossier 89 (page 13), lu sur les côtés plutôt que sur les sommets — le carré étant son propre dual. Les « contours » et « polygones » des pages 30 à 33 sont les polygones combinatoires du dossier 89 (pages 19 et 20), connexité comprise ou non ; les drapeaux et leurs involutions, pages 32, 33, 39 et 40, sont ceux du dossier 88 (pages 6 à 8 et 10), où ils engendrent le groupe cartographique.

2–14

I. Géométrie des convexes (pages 2 à 14)

2–2

Le programme (page 2)

La page 2 est une table des matières : parties convexes d'un espace affine réel, stabilité par intersection, enveloppe convexe décrite par les combinaisons barycentriques ou par les simplexes, comparée au sous-espace affine engendré ; stabilité par images directes et réciproques affines et par sommes ; sur une droite, les convexes sont les intervalles, et une partie est convexe si et seulement si sa trace sur toute droite est un intervalle ; dimension d'un convexe. Puis l'intérieur. Soit \(C\) un convexe de dimension finie qui engendre \(E\) affinement. Alors :

1. a)\(\mathring{C} \neq \emptyset\) ;
2. b)si \(x \in \mathring{C}\), et si \(D\) parcourt les droites passant par \(x\), \[ \mathring{C} = \bigcup_{D} \operatorname{int}_{D}(D \cap C), \qquad \partial C = \bigcup_{D} \partial_{D}(D \cap C), \qquad \overline{C} = \bigcup_{D} \overline{D \cap C} ; \]
3. c)si \(C\) et \(C'\) sont des convexes compacts qui engendrent \(E\), et \(x \in \mathring{C}\), \(x' \in \mathring{C}'\), il existe un unique homéomorphisme \(h : C \to C'\) tel que \(h(x) = x'\), qui envoie chaque demi-droite issue de \(x\) sur la demi-droite parallèle et de même sens issue de \(x'\), et qui soit affine sur chacune.³

3–5

Facettes d'un convexe (pages 3 à 5)

Soit \(C\) un convexe d'un espace affine réel \(E\). Pour \(x, y \in C\), notons \(D_{x,y}\) la droite qui les joint et posons \[ R(x,y) \iff x = y \ \text{ou} \ x \text{ et } y \text{ sont intérieurs à } D_{x,y} \cap C \text{ dans } D_{x,y}, \] c'est-à-dire : \(x\) et \(y\) appartiennent à un même segment ouvert contenu dans \(C\). C'est une relation d'équivalence. Une facette de \(C\) est une partie \(F\) telle que \(F = \{y \in C \mid R(x,y)\}\) pour tout \(x \in F\) : les facettes sont les classes de \(R\), et la partie vide, qui satisfait vacuement la condition.⁴ Les facettes non vides sont exactement les intérieurs relatifs des faces non vides de \(C\) ; elles forment une partition de \(C\).⁵ On note \(F_{x}\) la facette de \(x\), \(E_{F}\) le sous-espace affine engendré par \(F\), et \(\mathrm{Fac}(C)\) l'ensemble des facettes.⁶

Un point \(x\) est extrémal si \(\{x\}\) est une facette, c'est-à-dire si \(x\) n'est intérieur à \(D \cap C\) pour aucune droite \(D\) passant par \(x\).

1. (1)Si \(C\) est de dimension finie \(d\), il a une unique facette de dimension \(d\), son intérieur relatif \(\operatorname{int}_{E_{C}}(C)\).
2. (2)Pour \(F \in \mathrm{Fac}(C)\), \(E_{F} \cap C\) est une réunion de facettes de \(C\), qui sont les facettes du convexe \(E_{F} \cap C\). En dimension finie, \(E_{F} \cap C = \overline{F} \cap C\) — c'est la face de \(C\) dont \(F\) est l'intérieur relatif — et \(F = \operatorname{int}_{E_{F}}(E_{F} \cap C)\).
3. (3)Pour deux facettes \(F\), \(F'\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(E_{F'} \subset E_{F}\) ; \(E_{F'} \cap C \subset E_{F} \cap C\) ; \(F' \subset E_{F}\) ; et, en dimension finie, \(F' \subset \overline{F}\) ; \(\overline{F'} \subset \overline{F}\). On note alors \(F' \leq F\) : c'est une relation d'ordre sur \(\mathrm{Fac}(C)\), et pour \(x, y \in C\), \[ F_{x} \leq F_{y} \iff x = y \ \text{ou} \ y \in \operatorname{int}_{D_{x,y}}(D_{x,y} \cap C). \]

En effet, \(y\) intérieur au segment \(D_{x,y} \cap C\) signifie \(y \in \,]x,z[\) pour un \(z \in C\), et alors \(x\) est dans la face de \(y\).⁷

1. (4)Si \(x = \sum \lambda_{i} x_{i}\) est une combinaison barycentrique d'un nombre fini de points de \(C\), à coefficients \(\lambda_{i} > 0\), alors \(F_{x} = \sup_{i} F_{x_{i}}\) dans \(\mathrm{Fac}(C)\). Les bornes supérieures finies existent donc ; en fait toute famille a une borne supérieure, et \(\mathrm{Fac}(C)\) est un treillis complet, puisque les faces sont stables par intersections quelconques.⁸
2. (5)Soit \(C' \subset C\) une réunion de facettes, et \(\Phi = \{F \in \mathrm{Fac}(C) \mid F \subset C'\}\). Alors \(C'\) est convexe si et seulement si \(\Phi\) est stable par sup finis. Si \(C'\) est fermé dans \(C\), \(\Phi\) contient, avec une facette, toutes celles qui sont plus petites ; la réciproque est vraie quand \(\mathrm{Fac}(C)\) est fini.⁹
3. (6)(En dimension finie.) \(C'\) est de la forme \(\overline{F} \cap C\), \(F \in \mathrm{Fac}(C)\), si et seulement si c'est une réunion de facettes, convexe et fermée dans \(C\) ; en termes de \(\Phi\) : si et seulement si \(\Phi\) a un plus grand élément \(F\) et est l'ensemble des facettes \(\leq F\). Les facettes fermées sont stables par intersections quelconques.¹⁰
4. (7)Si \(C\) est compact de dimension finie, \(C\) est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses points extrémaux.¹¹
5. (8)Si \(C\) est une partie convexe polyédrale de \(E\) de dimension finie — réunion finie de simplexes, ou, ce qui revient au même, d'enveloppes convexes de parties finies — alors \(\mathrm{Fac}(C)\) est fini.

Corollaire. Les polyèdres convexes sont les convexes compacts \(C\) tels que \(\mathrm{Fac}(C)\) soit fini, ou, ce qui revient au même, tels que l'ensemble \(\mathrm{Fac}_{0}(C)\) de leurs points extrémaux soit fini.

5–7

Polaires et théorème de Hahn–Banach (pages 5 à 7)

Soient \(E\) et \(E'\) deux espaces vectoriels réels de dimension finie en dualité par \(\langle\, ,\rangle\).¹² Pour \(A \subset E\), posons \[ A^{\circ} = \{x' \in E' \mid \langle x, x' \rangle \geq -1 \ \ \forall x \in A\} = \bigcap_{x \in A} H(x), \qquad H(x) = \{x' \mid \langle x, x' \rangle \geq -1\}, \] et de même pour les parties de \(E'\).

Théorème 1 (des bipolaires). Pour \(A \subset E\), \(A^{\circ\circ}\) est l'enveloppe convexe fermée de \(A \cup \{0\}\).

Corollaires. \(A \mapsto A^{\circ}\) est une bijection, qui renverse l'ordre, de l'ensemble des convexes fermés de \(E\) contenant \(0\) sur l'ensemble analogue de \(E'\), d'inverse \(A' \mapsto A'^{\circ}\). Pour de tels convexes, \[ \bigl(\overline{\mathrm{Env}}(A_{1} \cup A_{2})\bigr)^{\circ} = A_{1}^{\circ} \cap A_{2}^{\circ}, \qquad (A_{1} \cap A_{2})^{\circ} = \overline{\mathrm{Env}}(A_{1}^{\circ} \cup A_{2}^{\circ}), \] où \(\overline{\mathrm{Env}}\) désigne l'enveloppe convexe fermée ; et \[ 0 \in \operatorname{int}(A) \iff A^{\circ} \text{ est compact}, \qquad A \text{ est compact} \iff 0 \in \operatorname{int}(A^{\circ}). \] Ces deux critères supposent \(A\) convexe fermé contenant \(0\).¹³

Le théorème 1 équivaut au suivant :¹⁴

Théorème 1'. Une partie de \(E\) est convexe et fermée si et seulement si elle est intersection de demi-espaces fermés.

Il résulte du

Théorème 1'' (Hahn–Banach). Soient \(U\) une partie convexe ouverte de \(E\) et \(F \subsetneq E\) un sous-espace vectoriel tel que \(F \cap U = \emptyset\). Il existe un hyperplan \(H \supset F\) tel que \(H \cap U = \emptyset\).

Démonstration (page 7). Remplaçant \(U\) par le cône \(\bigcup_{\lambda > 0} \lambda U\), qui est encore convexe, ouvert et disjoint de \(F\), on peut supposer que \(U\) est un cône ouvert. Il suffit, si \(F\) n'est pas un hyperplan, de trouver \(F' \supset F\) avec \(\dim F' = \dim F + 1\) et \(F' \cap U = \emptyset\), puis d'itérer. Pour cela on se place dans un sous-espace \(G \supset F\) de dimension \(\dim F + 2\), et, passant au quotient par \(F\), on est ramené au cas où \(\dim E = 2\) et \(F = 0\), avec \(U \neq \emptyset\). Un cône convexe ouvert du plan qui ne contient pas l'origine est alors ou bien un demi-plan ouvert, ou bien un secteur \(\{\lambda_{1} e_{1} + \lambda_{2} e_{2} \mid \lambda_{1}, \lambda_{2} > 0\}\) pour une base \((e_{1}, e_{2})\) ; dans les deux cas une droite de son bord convient.¹⁵

7–10

Secteurs polyédraux (pages 7 à 10)

Proposition. Soit \(C\) une partie d'un espace affine \(E\) de dimension finie. Conditions équivalentes :

1. a)\(C\) est une intersection finie de demi-espaces fermés ;
2. b)\(C\) est l'enveloppe convexe fermée d'un ensemble fini de points et de demi-droites fermées, qu'on peut prendre toutes issues d'un point \(x \in C\) donné à l'avance ;
3. b')(si \(C\) est compact) \(C\) est un polyèdre convexe.

C'est le théorème de Minkowski–Weyl.¹⁶

Démonstration (pages 8 et 9). Si \(C = \emptyset\), il n'y a rien à démontrer. Les deux conditions ne changent pas quand on remplace \(E\) par le sous-espace affine \(E_{C}\) engendré par \(C\) ; on peut donc supposer que \(C\) est convexe fermé et engendre \(E\), et prendre pour origine un point de \(\mathring{C}\). On pose \(C' = C^{\circ}\) ; alors \(C = C'^{\circ}\), et \(C'\) est compact.¹⁷

b) \(\Rightarrow\) a). Le polaire d'un point \(x\) est le demi-espace \(H(x)\), celui d'une demi-droite \(\mathbf{R}_{+} d\) issue de l'origine le demi-espace \(\{x' \mid \langle d, x'\rangle \geq 0\}\), et le polaire d'une réunion est l'intersection des polaires. Donc \(C'\) est une intersection finie de demi-espaces fermés ; étant compact, c'est un polyèdre convexe par le lemme ci-dessous, c'est-à-dire l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de \(E'\), et \(C = C'^{\circ}\) est l'intersection finie des polaires de ses points : a).

a) \(\Rightarrow\) b). Par polarité, \(C'\) est l'enveloppe convexe fermée d'un ensemble fini de points ; par ce qui précède, appliqué dans \(E'\) à \(C'\) avec une origine prise dans son intérieur relatif, c'est une intersection finie de demi-espaces fermés, qu'on peut écrire, puisque \(0 \in C'\), sous les formes \(\langle y_{j}, x'\rangle \geq -1\) et \(\langle d_{k}, x'\rangle \geq 0\). Donc \(C = C'^{\circ}\) est l'enveloppe convexe fermée des points \(y_{j}\) et des demi-droites \(\mathbf{R}_{+} d_{k}\) issues de l'origine : b), sous la forme précisée.¹⁸

Lemme (page 9). Une intersection finie de demi-espaces fermés n'a qu'un nombre fini de points extrémaux ; c'est donc un polyèdre convexe si elle est compacte.¹⁹

Par récurrence sur \(\dim E\), puis sur le nombre \(\nu\) de demi-espaces, le cas \(\nu \leq 1\) étant trivial. On est ramené à \(C = C_{1} \cap H\), où \(C_{1}\) n'a qu'un nombre fini de points extrémaux et \(H\) est un demi-espace fermé limité par l'hyperplan \(H_{0}\). Pour \(x \in C\) : si \(x \notin H_{0}\), \(x\) est extrémal dans \(C\) si et seulement s'il l'est dans \(C_{1}\), la propriété étant locale ; si \(x \in H_{0}\), \(x\) est extrémal dans \(C\) si et seulement s'il l'est dans \(H_{0} \cap C\), car un segment de \(C\) qui a un point intérieur sur \(H_{0}\) est contenu dans \(H_{0}\). Or \(H_{0} \cap C\) est une intersection finie de demi-espaces de \(H_{0}\), de dimension plus petite.²⁰

Définition. Un secteur polyédral est une partie satisfaisant aux conditions équivalentes de la proposition — un polyèdre convexe au sens d'aujourd'hui, borné ou non.

Proposition (page 10). Si \(E\) et \(E'\) sont de dimension finie et en dualité, \(A \mapsto A^{\circ}\) et \(A' \mapsto A'^{\circ}\) sont des bijections inverses l'une de l'autre entre secteurs polyédraux de \(E\) contenant l'origine et secteurs polyédraux de \(E'\) contenant l'origine.

10–12

Polarité et facettes (pages 10 à 12)

Soient \(E\), \(E'\) de dimension \(n\) en dualité. À un sous-espace affine non vide \(F\) de \(E\) ne contenant pas l'origine on associe \[ F^{\vee} = \{x' \in E' \mid \langle x, x'\rangle = -1 \ \ \forall x \in F\}, \] sous-espace affine de \(E'\) ne contenant pas l'origine, et l'on a \[ \dim F + \dim F^{\vee} = n - 1. \] C'est une bijection involutive, caractérisée par deux propriétés : elle renverse l'inclusion, et à un point \(x \neq 0\) elle associe l'hyperplan \(\{x\}^{\vee} = \partial H(x)\), bord du demi-espace polaire de \(x\).²¹

Une variété d'appui d'un convexe \(C\) est un sous-espace affine de la forme \(E_{F}\), \(F \in \mathrm{Fac}(C)\) ; les variétés d'appui sont en bijection avec les facettes, et cette bijection respecte l'ordre.

Théorème. Soient \(C \subset E\) et \(C' \subset E'\) deux secteurs polyédraux polaires l'un de l'autre. Il existe une unique application \(\varphi\) de l'ensemble des facettes non vides \(F\) de \(C\) telles que \(0 \notin \overline{F}\) — c'est-à-dire, puisque \(0 \in C\), telles que \(0 \notin E_{F}\) — dans l'ensemble analogue pour \(C'\), telle que \[ E_{\varphi(F)} = (E_{F})^{\vee}. \] Elle est bijective et renverse l'ordre.²²

Corollaire 1. Un secteur polyédral n'a qu'un nombre fini de facettes : prendre l'origine dans son intérieur relatif, et appliquer la dualité, le polaire étant alors compact.

Corollaire 2. Si \(C\) et \(C'\) sont compacts, c'est-à-dire si l'origine est intérieure à l'un et à l'autre, \(\varphi\) se prolonge, en échangeant la facette vide et la facette maximale, en un anti-isomorphisme d'ensembles ordonnés \(\mathrm{Fac}(C) \simeq \mathrm{Fac}(C')\).

C'est la dualité des polytopes : le polaire d'un polytope contenant l'origine en son intérieur est un polytope, et son treillis des faces est l'opposé de celui du premier.²³

12–14

Polyèdres combinatoires stricts et fonction dimension (pages 12 à 14)

Appelons polyèdre combinatoire strict un ensemble ordonné isomorphe à \(\mathrm{Fac}(C)\) pour un polyèdre convexe \(C\), et notons \(\Phi^{\circ}\) l'ensemble ordonné opposé de \(\Phi\).²⁴

Corollaire 3. Soit \(\Phi\) un polyèdre combinatoire strict.

1. a)\(\Phi^{\circ}\) est un polyèdre combinatoire strict.
2. b)Pour \(x \leq y\) dans \(\Phi\), l'intervalle \(\Phi_{x,y}\) est un polyèdre combinatoire strict ; si \(\Phi = \mathrm{Fac}(C)\), c'est \(\mathrm{Fac}(K)\) pour un polyèdre convexe \(K\) de dimension \(\dim y - \dim x - 1\).

a) résulte du corollaire 2. Pour b) : \(\Phi_{0,x} = \mathrm{Fac}(\overline{x})\) est strict ; donc aussi, par dualité, \(\Phi_{x,1} = \bigl((\Phi^{\circ})_{0,x} \bigr)^{\circ}\) ; et \(\Phi_{x,y}\) est l'intervalle \([x, 1]\) de \(\Phi_{0,y}\). La dimension se lit sur la formule \(\dim F + \dim F^{\vee} = n - 1\).²⁵

Suivent deux essais, encadrés et barrés, d'un corollaire sur l'existence de facettes de toutes dimensions, dont l'énoncé revient comme corollaire 6.

Corollaire 4. Soient \(C\) un polyèdre convexe et \(F_{1} < F_{2}\) dans \(\mathrm{Fac}(C)\). Pour que \(F_{2}\) soit un successeur de \(F_{1}\), il faut et il suffit que \(\dim F_{2} = \dim F_{1} + 1\).

La dimension étant strictement croissante sur \(\mathrm{Fac}(C)\), la condition est suffisante. Pour la nécessité, on se ramène par le corollaire 3 à \(F_{1} = 0\) (la facette vide) et \(F_{2} = 1\) (la facette maximale), et l'assertion devient : un polyèdre convexe non vide sans autre facette que la vide et la maximale est un point. En effet, s'il est de dimension \(\geq 1\), ses points extrémaux, qui existent par le théorème de Minkowski, sont des facettes intermédiaires.²⁶

Corollaire 5. La fonction \(d : F \mapsto \dim F\) sur \(\mathrm{Fac}(C)\) est l'unique fonction telle que \(d(F_{2}) = d(F_{1}) + 1\) quand \(F_{2}\) est un successeur de \(F_{1}\), et \(d(\emptyset) = -1\). Elle est strictement croissante.

Corollaire 6. Pour \(F \in \mathrm{Fac}(C)\) et \(-1 \leq i \leq \dim F\), il existe \(F' \leq F\) de dimension \(i\).

C'est formel à partir du corollaire 5 : une chaîne de successeurs \(\emptyset = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{m} = F\), qui existe dans un ensemble ordonné fini, vérifie \(d(x_{i}) = i - 1\).²⁷

Corollaire 7 (le losange). Soient \(\Phi\) un polyèdre combinatoire strict, \(d\) sa fonction dimension, et \(x < y\) avec \(d(y) = d(x) + 2\). Alors il y a exactement deux éléments \(z\) tels que \(x < z < y\).

En effet, \(\Phi_{x,y}\) est l'ensemble des facettes d'un polyèdre convexe de dimension 1, c'est-à-dire d'un segment, qui a exactement deux extrémités. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui la propriété du losange (diamond property).²⁸

17–19

II. Cubes (pages 15 à 26)

Caractérisation intrinsèque d'un cube (pages 15 à 19)

La couverture de la page 15 porte le seul mot « Cubes ». Les pages 17 à 19 cherchent à caractériser un \(n\)-cube d'un espace affine \(E\) sur un corps \(k\) par l'ensemble \(\Phi\) des sous-espaces affines engendrés par ses faces.²⁹ On note \(\Phi^{**}\) l'ensemble \(\Phi\) privé de son plus petit et de son plus grand élément,³⁰ et \(B\) l'ensemble des éléments maximaux de \(\Phi^{**}\). Les axiomes :

1. a)\(\Phi\) contient \(\emptyset\) et \(E\), qui sont donc son plus petit et son plus grand élément, et tout élément de \(\Phi^{**}\) est intersection d'éléments de \(B\).
2. b)Pour tout \(b \in B\) il existe un unique \(b' \in B\) tel que \(b\) et \(b'\) n'aient pas de minorant commun dans \(\Phi^{**}\), c'est-à-dire que \(b \cap b'\) ne contienne aucun élément non vide de \(\Phi\). On obtient ainsi une involution \(\sigma : b \mapsto b'\) de \(B\), sans point fixe ; soit \(I = B/\sigma\).
3. c)Pour \(V \in \Phi \setminus \{\emptyset\}\), l'ensemble \(B_{V}\) des \(b \in B\) qui majorent \(V\) ne contient jamais à la fois \(b\) et \(\sigma b\) (par b)) : c'est une section partielle de \(B \to I\). L'application \[ \Phi \setminus \{\emptyset\} \longrightarrow \Gamma_{\mathrm{part}}(B/I), \qquad V \longmapsto B_{V}, \] qui est injective par a), est bijective.
4. d)\(n = \frac{1}{2}\operatorname{card} B\) est la dimension combinatoire de \(\Phi\) et la dimension de \(E\), et pour tout \(V \in \Phi\) la dimension combinatoire de \(V\) dans \(\Phi\) est sa dimension affine.
5. e)Si \(b \in B\), alors \(b \cap \sigma b = \emptyset\) : par d), \(b\) et \(\sigma b\) sont deux hyperplans parallèles.

Une note en marge dit que a), b), c) expriment que l'ensemble ordonné \(\Phi\) est un cube combinatoire : l'ensemble des sections partielles de \(B\) sur \(I\), ordonné par l'inverse du prolongement, augmenté d'un plus petit élément.³¹ Une remarque entre crochets explique pourquoi e) est nécessaire : a) implique que la borne inférieure dans \(\Phi\) d'une partie minorée de \(\Phi \setminus \{\emptyset\}\) est son intersection, mais non qu'une partie dont la borne inférieure est \(\emptyset\) ait une intersection vide. Exemple : un quadrilatère qui n'est pas un parallélogramme, dont deux côtés opposés se coupent hors de lui.³²

Reconstruction. Pour \(i \in I\), les deux hyperplans de la fibre de \(B \to I\) en \(i\) ont une même direction \(\mathbb{H}_{i}\), hyperplan de l'espace des translations \(T\) de \(E\). Ces \(n\) hyperplans sont indépendants — un sommet du cube, élément minimal non vide de \(\Phi\), est de dimension \(0\) par d) et s'écrit comme intersection de \(n\) hyperplans, un par fibre —, d'où une décomposition de \(T\) en produit de droites \[ T \simeq \prod_{i \in I} T_{i}, \qquad T_{i} = T/\mathbb{H}_{i}, \] et une décomposition du \(T\)-torseur \(E\) en produit de \(T_{i}\)-torseurs \(E_{i} = E/\mathbb{H}_{i}\), droites affines. Chaque \(E_{i}\) contient l'image \(B_{i}\) de la fibre en \(i\), deux points distincts.³³ Or, \(i\) étant fixé, la donnée d'un triplet \((T_{i}, E_{i}, B_{i} \subset E_{i})\) — une droite affine et deux points distincts — équivaut à celle de l'ensemble à deux éléments \(B_{i}\), vu comme torseur sous \(\{\pm 1\}\) : on prend \[ T_{i} = \operatorname{Ker}\bigl(k^{B_{i}} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k\bigr), \qquad E_{i} = \varepsilon^{-1}(1), \] où \(\varepsilon\) est la somme des coordonnées, \(B_{i}\) s'envoyant sur les deux fonctions de Dirac. Ce sont les coordonnées barycentriques sur une droite relativement à deux points. Le \(n\)-cube est ainsi le produit de \(n\) cubes de dimension 1, et l'on a globalement \[ T = \operatorname{Ker}\bigl(k^{B} \xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } k^{I}\bigr), \qquad E = \mathrm{tr}^{-1}(1), \] où \(\mathrm{tr}\) somme les coordonnées sur chaque fibre et \(1\) est la fonction constante. La donnée d'une famille \((T_{i}, E_{i}, B_{i})_{i \in I}\) équivaut donc à celle de l'ensemble \(B\) muni de \(\sigma\).³⁴ La page s'interrompt sur « Si \(J \subset I\), on considère ».

21–22

Épures de \(n\)-cubes (pages 21 et 22)

Soit \(k\) un anneau commutatif où \(2\) est inversible.³⁵ On considère deux groupoïdes.

• \(\mathcal{C}_{n}\) : les \(k\)-modules \(E\) munis d'une décomposition en somme directe \(E = \bigoplus_{i \in I} E_{i}\), \(\operatorname{card} I = n\), et, pour chaque \(i\), d'une partie \(B_{i} \subset E_{i}\) à deux éléments, telle que chaque \(b \in B_{i}\) soit une base de \(E_{i}\) et que \(B_{i} = -B_{i}\).
• \(\mathcal{D}_{n}\) : les ensembles \(B\) à \(2n\) éléments munis d'une involution sans point fixe — d'une action libre de \(\{\pm 1\}\) —, que la marge appelle épures de \(n\)-cubes.

On passe de \(\mathcal{C}_{n}\) à \(\mathcal{D}_{n}\) par \(B = \bigcup_{i} B_{i}\), \(\sigma(b) = -b\), et en sens inverse par \[ E = \bigoplus_{i \in I} B_{i} \wedge_{\{\pm 1\}} k , \] où \(\{\pm 1\}\) opère sur \(k\) par homothéties et \(\wedge\) désigne le produit contracté : \(B_{i} \wedge_{\{\pm 1\}} k\) est un module libre de rang 1 dont \(B_{i}\) est l'ensemble de deux générateurs opposés. Les deux groupoïdes sont donc équivalents.³⁶

La marge donne une autre description : \(E\) est le sous-module de \(k^{(B)}\) formé des \(\sum_{b} \lambda_{b} e_{b}\) avec \(\lambda_{-b} = -\lambda_{b}\), d'où la suite exacte \[ 0 \to E \to k^{B} \xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } k^{I} \to 0 , \] \(b \in B\) correspondant à \(e_{b} - e_{-b}\). C'est exactement l'espace \(T\) des translations du cube de la page 19 ; et quand \(2\) est inversible, la bijection \(\lambda \mapsto \mu\), \(\mu_{b} = \lambda_{b} - \lambda_{-b}\), d'inverse \(\lambda_{b} = \frac{1}{2}(1 + \mu_{b})\), identifie le modèle barycentrique \(\mathrm{tr}^{-1}(1)\) de la page 19 au modèle antisymétrique des pages 23 et 26.³⁷

Structure euclidienne et orientation (page 22). \(E\) porte une forme bilinéaire canonique, somme orthogonale des formes \((x, y) \mapsto xy\) sur les \(B_{i} \wedge k\), pour laquelle chaque \(b \in B\) est de carré 1.³⁸ Sur \(k = \mathbf{R}\), notons \(\omega_{E}\) l'ensemble à deux éléments des orientations de \(E\) et \(\omega_{I}\) celui des orientations de l'ensemble fini \(I\) (ses ordres totaux à permutation paire près). On a un isomorphisme canonique de \(\{\pm 1\}\)-torseurs \[ \omega_{E} \simeq \omega_{I} \wedge \bigwedge_{i \in I} B_{i} . \] En effet, la formule d'associativité donne \(\omega_{E} \simeq \omega_{I} \wedge \bigwedge_{i} \omega_{E_{i}}\), et \(B_{i}\), ensemble de deux bases opposées de la droite \(E_{i}\), s'envoie injectivement, donc bijectivement, dans \(\omega_{E_{i}}\).³⁹ Une épure orientée est une épure munie d'un élément de ce torseur.

23–25

Facettes du cube (pages 23 à 25)

Le polyèdre combinatoire associé à un polyèdre convexe \(C\) de dimension \(n\) est l'ensemble de ses facettes, ordonné par \(F \leq F' \iff F \subset \overline{F'}\).⁴⁰ La dimension d'une facette s'y lit comme dimension combinatoire : la longueur commune des chaînes maximales \(F_{0} < F_{1} < \cdots < F_{m} = F\) partant d'un sommet. Si \(\Phi_{i}\) est l'ensemble des facettes de dimension \(i\), l'ordre se reconstitue à partir des seules relations d'incidence entre \(\Phi_{i}\) et \(\Phi_{i+1}\), puisque toute relation \(F < F'\) se raffine en une chaîne de successeurs.⁴¹

Le cube réel associé à une épure est \[ C(B, \sigma) = \Bigl\{ \lambda = \sum_{b \in B} \lambda_{b} e_{b} \Bigm| \lambda_{-b} = -\lambda_{b},\ |\lambda_{b}| \leq 1 \Bigr\} \] dans le module \(E\) ci-dessus, pour \(k = \mathbf{R}\).

Proposition. Les facettes non vides du cube \(C(B, \sigma)\) sont en bijection avec les sections partielles \(s : J \to B\) de \(B\) sur des parties \(J \subset I\). La facette fermée (ouverte) associée à \(s\) est l'ensemble des \(\lambda \in C(B, \sigma)\) tels que \(\lambda_{s(j)} = 1\) pour \(j \in J\) et \(|\lambda_{b}| \leq 1\) (resp. \(< 1\)) pour \(b\) au-dessus de \(I \setminus J\).

Démonstration (page 24). Soient \(\lambda \neq \mu\) dans le cube. Ils sont intérieurs à un même segment de \(C\) si et seulement si la droite qui les joint se prolonge un peu au-delà de chacun dans le cube, c'est-à-dire si, pour tout \(b\), \(|t\lambda_{b} + (1-t)\mu_{b}| \leq 1\) pour \(t\) un peu plus grand que 1 et un peu plus petit que 0. Aucune coordonnée ne fait obstacle si \(\lambda_{b} = \mu_{b}\), ni si \(|\lambda_{b}|, |\mu_{b}| < 1\) ; si \(\lambda_{b} \neq \mu_{b}\) et que l'un vaut \(\pm 1\), la droite sort du cube de ce côté. Donc \(R(\lambda, \mu)\) équivaut à : \(J(\lambda) = \{b \mid \lambda_{b} = 1\}\) est égal à \(J(\mu)\). La proposition s'ensuit : c'est le fait qu'un produit de segments a pour facettes les produits de facettes des segments.⁴²

Corollaire. L'ordre des facettes de \(C(B, \sigma)\) est l'inverse de la relation de prolongement entre sections partielles. La facette maximale correspond à la section vide, les facettes sous-maximales aux éléments de \(B\), et les adhérences de deux facettes sous-maximales distinctes sont disjointes — parallèles — si et seulement si elles correspondent à deux éléments conjugués \(b\), \(-b\).⁴³

Exercice (page 25). Soient \(p : B \to I\) une surjection quelconque et \(\mathcal{P}\) l'ensemble des sections partielles de \(p\), ordonné par prolongement. Ses éléments maximaux forment l'ensemble \(C = \prod_{i} p^{-1}(i)\) des sections, et les successeurs de la section vide s'identifient à \(B\). Pour \(b \in B\), soit \(C_{b}\) l'ensemble des sections qui prolongent \(b\), c'est-à-dire telles que \(s(p(b)) = b\). Pour \(b \neq b'\), \[ C_{b} \cap C_{b'} = \emptyset \iff p(b) = p(b'), \] de sorte que \(p(b) = p(b')\) si et seulement si \(b = b'\) ou \(C_{b} \cap C_{b'} = \emptyset\). On reconstruit ainsi \(B\), la relation d'équivalence définie par \(p\), donc \(I\) et \(p\), à isomorphisme près, à partir de l'ensemble ordonné \(\mathcal{P}\).⁴⁴

Corollaire. Le groupoïde des surjections \(B \to I\) est équivalent, par \(p \mapsto \mathcal{P}(p)\), à une sous-catégorie pleine du groupoïde des ensembles ordonnés.⁴⁵

26–26

Le cube réel et son groupe (page 26)

Du point de vue de la géométrie des convexes sur \(\mathbf{R}\) :

1. (a)le cube standard est \(C_{n} = \{x \in \mathbf{R}^{n} \mid |x_{i}| \leq 1 \ \forall i\}\) ;
2. (b)un cube d'un espace affine réel \(E\) de dimension \(n\) est une partie \(C\) telle qu'il existe un isomorphisme affine \(u : \mathbf{R}^{n} \to E\) avec \(u(C_{n}) = C\) ;
3. (c)les \(n\)-cubes convexes forment un groupoïde connexe, pointé par \((\mathbf{R}^{n}, C_{n})\), donc équivalent au groupoïde des torseurs sous \[ W_{n} = \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(\mathbf{R}^{n}, C_{n}). \]

Proposition. Soit \(B_{n} = \{\pm e_{i} \mid 1 \leq i \leq n\}\). Alors \[ \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(\mathbf{R}^{n}, C_{n}) = \operatorname{Aut}_{\mathrm{vect}}(\mathbf{R}^{n}, B_{n}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(B_{n}, \sigma_{n}), \] où \(\sigma_{n}\) est l'involution \(b \mapsto -b\).

La démonstration est « laissée comme exercice ». Un automorphisme affine du cube fixe son centre de symétrie, donc est linéaire ; il permute les facettes sous-maximales \(\{x_{i} = \pm 1\}\), dont les centres sont les \(\pm e_{i}\) ; et les automorphismes de \((B_{n}, \sigma_{n})\) sont les permutations signées, dont les matrices sont orthogonales. \(W_{n}\) est le groupe hyperoctaédral, d'ordre \(2^{n} n!\), groupe de Weyl des types \(B_{n}\) et \(C_{n}\).⁴⁶ En marge, la même chose en termes d'une épure quelconque : \(E = \operatorname{Hom}_{\{\pm 1\}}(B, \mathbf{R})\) et \(C = \{\lambda \mid |\lambda(b)| \leq 1 \ \forall b \in B\}\).

Corollaires. Le groupoïde des \(n\)-cubes convexes est équivalent à celui des épures de \(n\)-cubes ; le groupoïde des \(n\)-cubes convexes orientés est équivalent à celui des épures de \(n\)-cubes orientées.

Les deux groupoïdes sont connexes, et leurs groupes d'automorphismes sont \(W_{n}\) et \(\operatorname{Aut}(B_{n}, \sigma_{n})\), identifiés par la proposition. Pour les objets orientés, le sous-groupe des rotations du cube correspond au sous-groupe des automorphismes de l'épure qui opèrent trivialement sur \(\omega_{I} \wedge \bigwedge_{i} B_{i}\) : le déterminant d'une permutation signée est le produit de la signature de la permutation et des signes.

27–30

III. Facettes, seconde rédaction, et polyèdres combinatoires (pages 27 à 30)

27–29

Les facettes reprises (pages 27 à 29)

La page 27 reprend la définition des facettes d'un convexe \(C\) d'un espace vectoriel réel, cette fois comme parties non vides. Le critère qu'elle écrit — tout intervalle ouvert contenu dans \(C\) qui rencontre \(F\) est contenu dans \(F\) — caractérise les réunions de facettes ; les facettes sont les plus petites parties non vides qui le vérifient, et ce sont les classes de la relation \[ R(x,y) : \ x = y \ \text{ou} \ x \text{ et } y \text{ sont dans un même intervalle ouvert contenu dans } C, \] la relation de la page 3. La réflexivité et la symétrie sont évidentes, la transitivité facile, et l'on obtient que \(C\) est la réunion disjointe de ses facettes, qui sont convexes, la facette de \(x\) étant la classe de \(x\).⁴⁷

Proposition. Soit \(C\) un polyèdre convexe, c'est-à-dire un convexe réunion finie d'enveloppes convexes de parties finies. Alors :

1. (1)l'ensemble des facettes est fini ;
2. (2)il existe une unique facette maximale, l'intérieur de \(C\) dans le sous-espace affine qu'il engendre ;
3. (3)pour toute facette \(F\), \(\overline{F}\) est une réunion de facettes, et \(F\) est l'unique facette contenue dans \(\overline{F}\) de dimension maximale ;
4. (4)si \(\dim F = d \geq 1\), \(\overline{F}\) contient une facette de dimension \(d - 1\) ; et \(\overline{F} = \overline{F'}\) entraîne \(F = F'\) ;
5. (5)\(C\) est l'enveloppe convexe de la réunion des facettes minimales, c'est-à-dire de ses points extrémaux.

Ce sont les propriétés de la page 3, pour un polytope.⁴⁸

Les facettes fermées (page 28). Soient \(C\) polyédral de dimension \(d\), \(A_{C}\) le sous-espace affine qu'il engendre, \(C^{0}\) son intérieur dans \(A_{C}\) — la facette maximale —, de sorte que \(C = \overline{C^{0}}\). Les autres facettes fermées sont les \(H \cap C\), \(H\) hyperplan de \(A_{C}\) ne rencontrant pas \(C^{0}\) ; celles de dimension \(d - 1\) correspondent bijectivement aux \(H\) tels que \(H \cap C\) soit d'intérieur non vide dans \(H\), et ces intérieurs sont les facettes de dimension \(d - 1\). Soit \(C^{1}\) leur réunion, et ainsi de suite. Toute facette fermée de dimension \(\leq d - i\) est de la forme \(L \cap C\), \(L\) sous-espace affine de \(A_{C}\) de dimension \(d - i\) ne rencontrant pas \(C^{0} \cup \cdots \cup C^{i-1}\) ; et parmi ces \(L\), ceux pour lesquels \(L \cap C\) est d'intérieur non vide dans \(L\) correspondent bijectivement aux facettes de dimension \(d - i\), qui sont ces intérieurs.⁴⁹

L'intersection de deux facettes fermées est une facette fermée, et :

Proposition. Les facettes fermées de \(C\) sont les réunions de facettes qui sont convexes et fermées.

C'est l'énoncé (6) de la page 4. La page 29 rassemble : pour une facette \(F\),

1. a)\(F = \operatorname{int}_{A_{F}} \overline{F}\) et \(\overline{F} = A_{F} \cap C\), où \(A_{F} = A_{\overline{F}}\) ;
2. b)une partie \(F' \subset C\) est une facette de \(\overline{F}\) si et seulement si c'est une facette de \(C\) contenue dans \(\overline{F}\) ;
3. c)\(K \subset C\) est une facette fermée si et seulement si \(K\) est convexe, fermé, et réunion de facettes — d'où la stabilité par intersection ;
4. d)soit \(\Pi = \mathrm{Fac}(C)\), facette vide comprise. Alors 1° l'ensemble ordonné opposé \(\Pi^{\circ}\) est isomorphe à \(\mathrm{Fac}(C')\) pour un polyèdre convexe \(C'\) de même dimension ; 2° pour \(F' < F''\) dans \(\Pi\), l'intervalle \(\Pi_{F',F''}\) est isomorphe à \(\mathrm{Fac}(K)\) pour un polyèdre convexe \(K\) de dimension \(\dim F'' - \dim F' - 1\).

Ce sont les corollaires 2 et 3 des pages 11 et 12.⁵⁰

Corollaire. Si \(\dim F'' - \dim F' = 2\), il y a exactement deux facettes \(F\) telles que \(F' < F < F''\) — le losange du corollaire 7 de la page 14.

29–30

Le polyèdre combinatoire : axiomes et recensement (pages 29 et 30)

Définition. Un polyèdre combinatoire est un ensemble ordonné fini \(\Pi\) qui vérifie :

1. a)\(\Pi\) est un treillis : il a un plus petit et un plus grand élément, et deux éléments ont une borne inférieure et une borne supérieure ;
2. b)\(\Pi\) vérifie la condition des chaînes : deux chaînes maximales entre deux mêmes éléments ont même longueur ;
3. c)si \(i < j < k\), \(j\) successeur de \(i\) et \(k\) successeur de \(j\), il existe \(j' \neq j\) tel que \(j'\) soit successeur de \(i\) et \(k\) successeur de \(j'\).

La condition b) est la condition de Jordan–Dedekind.⁵¹

Le recensement qui suit demande davantage que c) : il faut que \(j'\) soit unique, c'est-à-dire qu'un intervalle de longueur 2 ait exactement deux éléments intermédiaires — le losange de la page 14, et la condition (\(\Sigma\)) de la page 39. Avec c) seul, un polyèdre combinatoire de dimension 1 pourrait avoir trois éléments incomparables ou plus entre \(0\) et \(1\). On lit donc c) sous cette forme forte.⁵²

Il en résulte : d) tout élément \(i\) de dimension \(\geq 1\) est la borne supérieure des éléments qui lui sont strictement inférieurs, et dualement tout élément de codimension \(\geq 2\) est la borne inférieure des éléments qui lui sont strictement supérieurs. En effet, si \(s = \sup\{j \mid j < i\}\) était \(< i\), \(s\) serait l'unique prédécesseur de \(i\), et, \(s\) n'étant pas \(0\), c) appliqué à un prédécesseur de \(s\) fournirait un second prédécesseur de \(i\).⁵³

Recensement, la dimension étant celle de \(1\), avec \(\dim 0 = -1\) :

• dimension \(-1\) : un seul élément, \(0 = 1\) ;
• dimension \(0\) : deux éléments, \(0 \neq 1\) ;
• dimension \(1\) : quatre éléments, \(0\), \(1\) et deux éléments incomparables \(x\), \(y\) — le segment ;
• dimension \(2\) : \(0\), des sommets, des arêtes, \(1\) ; les sommets et les arêtes forment un « contour » — chaque sommet sur deux arêtes, chaque arête sur deux sommets — dont les composantes connexes ont au moins trois sommets ;
• dimension \(3\) : \(0\), sommets, arêtes, faces, \(1\). On voudrait que, pour un sommet \(x\), les éléments \(y > x\), \(y \neq 1\), forment un polygone, c'est-à-dire un contour connexe, et de même, pour une face \(x\), les éléments \(y < x\), \(y \neq 0\) ;
• dimension \(4\) : le titre seul.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & 1 & \\
  x \arrow[ur, no head] & & y \arrow[ul, no head] \\
  & 0 \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

En dimension 2, les axiomes interdisent le digone — deux sommets sur les deux mêmes arêtes n'auraient pas de borne supérieure — mais pas la réunion disjointe de deux triangles : celle-ci est un polyèdre combinatoire qui n'est l'ensemble des facettes d'aucun polyèdre convexe, et c'est ce qui sépare cette notion de celle de polyèdre combinatoire strict. Les contours sont les polygones combinatoires du dossier 89 (pages 19 et 20), non nécessairement connexes.⁵⁴

32–36

IV. La dimension 2 : cartes lisses combinatoires (pages 32 à 36)

32–33

Drapeaux et involutions (pages 32 et 33)

Les pages 32 à 36 étudient un polyèdre combinatoire de dimension 3 par son bord : les ensembles \(S = \mathfrak{X}_{0}\) des sommets, \(A = \mathfrak{X}_{1}\) des arêtes, \(F = \mathfrak{X}_{2}\) des faces, et les incidences \(\vec{A} \subset S \times A\) (les « arcs tangents », un sommet et une arête qui en part) et \(A^{\uparrow} \subset A \times F\) (les « arcs transverses », une arête et une face qu'elle borde).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & \vec{A} \arrow[dl] \arrow[dr] & & A^{\uparrow} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
  S & & A & & F
\end{tikzcd}

Les axiomes :

1. a)\(\vec{A} \to A\) est un revêtement à deux feuillets : toute arête a deux extrémités ;
2. a')\(A^{\uparrow} \to A\) est un revêtement à deux feuillets : toute arête borde deux faces ;
3. b)l'application \(\mathrm{Dr} = \vec{A} \times_{A} A^{\uparrow} \to S \times F\) est à deux feuillets sur son image : entre un sommet et une face incidents, il y a exactement deux arêtes ;
4. c)pour \(s \in S\), l'ensemble \(\mathfrak{X}_{\geq s}\) des arêtes et des faces incidentes à \(s\) — un graphe, de sommets les arêtes et d'arêtes les faces grâce à b), et un contour grâce à a') — est un polygone, c'est-à-dire un contour non vide et connexe ;
5. c')dualement, pour \(f \in F\), l'ensemble \(\mathfrak{X}_{\leq f}\) des sommets et des arêtes incidents à \(f\) est un polygone.

Version commune. Adjoignons \(\mathfrak{X}_{-1} = \{0\}\) et \(\mathfrak{X}_{3} = \{1\}\). Les axiomes disent alors : pour \(-1 \leq i < j \leq 3\), \(j - i \geq 2\), \((i,j) \neq (-1, 3)\), \(x \in \mathfrak{X}_{i}\), \(y \in \mathfrak{X}_{j}\), \(x < y\), la réalisation topologique de l'intervalle ouvert \(\mathfrak{X}_{x < \cdot < y}\) est homéomorphe à la sphère \(S^{\,j - i - 2}\) — deux points pour \(j - i = 2\), un cercle pour \(j - i = 3\).⁵⁵ Le cas exclu \((-1, 3)\) est le bord tout entier, qui n'est pas supposé être une sphère : les conditions disent que sa réalisation est une surface fermée, sans point singulier — d'où, peut-on penser, le mot « lisse ». La page annonce que cela se généralise « aux polyèdres lisses de dimension quelconque ».⁵⁶

Les involutions. Par a), a') et b), un drapeau \((s, a, f)\) a un unique voisin qui ne diffère que par le sommet, par la face, par l'arête ; d'où trois involutions sans point fixe de \(\mathrm{Dr}\), \(\sigma_{1}\) (changer le sommet), \(\sigma_{2}\) (changer la face) et \(\varepsilon\) (changer l'arête), avec \(\sigma_{1}\sigma_{2} = \sigma_{2}\sigma_{1} =: \sigma\), elle aussi sans point fixe. Les conditions c) et c') assurent que \(S\) et \(F\) sont bien les sommets et les faces de la carte ainsi définie sur l'ensemble \(\mathrm{Dr}\).⁵⁷

Soient \(\rho_{s} = \varepsilon\sigma_{2}\) et \(\rho_{f} = \sigma_{1}\varepsilon\), les rotations autour d'un sommet et d'une face. On trouve (page 33) :

• \(\widetilde{S} = \mathrm{Dr}/\langle\rho_{s}\rangle\), l'ensemble des couples \((s, \omega)\), \(s \in S\), \(\omega\) l'un des deux ordres circulaires sur les arêtes issues de \(s\) qui définissent la structure de polygone de \(\mathfrak{X}_{\geq s}\) — les sommets orientés ;
• \(\widetilde{F} = \mathrm{Dr}/\langle\rho_{f}\rangle\), de même, les faces orientées ;
• \(\widetilde{A} = \mathrm{Dr}/\sigma\), l'ensemble des couples \((a, u)\), \(a \in A\), \(u \in \vec{A}(a) \wedge A^{\uparrow}(a)\), où \(\vec{A}(a)\) et \(A^{\uparrow}(a)\) sont les ensembles à deux éléments des arcs tangents et transverses portés par \(a\) — les arêtes orientées, au sens d'une orientation locale de la surface le long de \(a\).

Ce sont des revêtements doubles de \(S\), \(F\) et \(A\).⁵⁸ Soit enfin \(A^{\wedge} = \operatorname{Im}(\mathrm{Dr} \to S \times F)\), la relation d'incidence entre sommets et faces — les coins.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
  & & \mathrm{Dr} \arrow[dll, "\rho_{s}"'] \arrow[dl, "\sigma_{2}"'] \arrow[d, "\sigma"] \arrow[dr, "\sigma_{1}"] \arrow[drr, "\rho_{f}"] & & \\
  \widetilde{S} \arrow[d, "\sigma_{2}"'] & \vec{A} \arrow[dl] \arrow[dr, "\sigma_{1}"] & \widetilde{A} & A^{\uparrow} \arrow[dl, "\sigma_{2}"'] \arrow[dr] & \widetilde{F} \arrow[d, "\sigma_{1}"] \\
  S & & A & & F
\end{tikzcd}

Chaque flèche étiquetée est le quotient par l'involution, ou le groupe, qui la porte.⁵⁹

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
  & \mathrm{Dr} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
  \widetilde{S} \arrow[d] & A^{\wedge} \arrow[dl] \arrow[dr] & \widetilde{F} \arrow[d] \\
  S & & F
\end{tikzcd}

Un drapeau se projette ainsi sur un sommet orienté, un coin et une face orientée.⁶⁰

On a des isomorphismes canoniques \[ \mathrm{Dr} \simeq \widetilde{S} \times_{S} \vec{A} \simeq A^{\uparrow} \times_{F} \widetilde{F} \simeq \vec{A} \times_{A} A^{\uparrow} \simeq \vec{A} \times_{A} \widetilde{A} \simeq \widetilde{A} \times_{A} A^{\uparrow} \simeq \widetilde{S} \times_{S} A^{\wedge} \simeq A^{\wedge} \times_{F} \widetilde{F}. \] Par exemple, un sommet orienté et une arête qui en part déterminent la face qui suit l'arête dans l'orientation ; un coin \((s, f)\) et une orientation en \(s\) déterminent celle des deux arêtes du coin qui vient la première. Un drapeau est ainsi la même chose qu'un système d'incidences compatibles entre sommet, arête et face orientés.

34–35

L'axiome D (pages 34 et 35)

Axiome D. Toute partie non vide minorée de \(\mathfrak{X}_{**} = \mathfrak{X}_{0} \cup \mathfrak{X}_{1} \cup \mathfrak{X}_{2}\) a une borne inférieure ; de façon équivalente (lemme ci-dessous), toute partie non vide majorée a une borne supérieure. C'est dire que \(\mathfrak{X}\), augmenté de \(0\) et de \(1\), est un treillis : l'axiome a) de la page 29.

L'ensemble étant fini, il suffit que deux éléments minorés aient une borne inférieure. C'est automatique si l'un est un sommet, ou s'ils sont comparables. Restent trois cas.

1. 1°)Deux arêtes ayant un sommet commun : elles n'en ont qu'un, ou sont égales ; le graphe \((S, A)\) est simple.
2. 2°)Deux faces distinctes ayant un sommet commun : leurs minorants communs ont un plus grand élément, c'est-à-dire qu'elles ont en commun soit un seul sommet et aucune arête, soit une seule arête et ses seules extrémités.
3. 3°)Une arête \(a\) et une face \(f\) non incidentes ayant un sommet commun : la seconde extrémité de \(a\) n'est pas dans \(f\) ; autrement dit, une face incidente aux deux extrémités d'une arête est incidente à l'arête.

Regroupés, ces cas donnent les quatre conditions de la page :

1. d\(_{1}\))une arête est déterminée par l'ensemble de ses extrémités ;
2. d\(_{2}\))une face qui contient les deux extrémités d'une arête contient celle-ci ;
3. d\('_{1}\))une arête est déterminée par l'ensemble de ses deux faces ;
4. d\('_{2}\))les deux faces d'une arête n'ont pas d'autre sommet commun que ses extrémités ;

d\(_{1}\)) et d\(_{2}\)) disent que toute arête est la borne supérieure de ses deux extrémités, d\('_{1}\)) et d\('_{2}\)) qu'elle est la borne inférieure de ses deux faces. À quoi il faut ajouter la partie du cas 2° que ces quatre conditions ne couvrent pas :

1. d\(_{3}\))deux faces distinctes qui ont deux sommets communs ont une arête commune.

L'axiome D équivaut à d\(_{1}\)), d\(_{2}\)), d\('_{1}\)), d\('_{2}\)) et d\(_{3}\)).⁶¹

Lemme (page 35). Soient \(\mathfrak{X}\) un ensemble ordonné, \(A \subset \mathfrak{X}\), et \(B\) l'ensemble des majorants de \(A\). Par définition, \(\sup A\) existe si et seulement si \(B\) a un plus petit élément.

1. 1.Si \(A\) a un plus grand élément \(\alpha\), \(\sup A = \alpha\).
2. 2.\(\sup A\) existe si et seulement si \(\inf B\) existe, et alors \(\inf B = \sup A\).

La nécessité vient de 1, dualisé. Pour la suffisance, soit \(\widetilde{A}\) l'ensemble des minorants de \(B\) ; \(A \subset \widetilde{A}\), et \(\alpha = \inf B\) est le plus grand élément de \(\widetilde{A}\) ; il majore \(\widetilde{A}\), donc \(A\), donc \(\alpha \in B\), et il minore \(B\) : c'est le plus petit élément de \(B\).⁶²

Corollaire. Pour que toute partie minorée non vide de \(\mathfrak{X}\) ait une borne inférieure, il faut et il suffit que toute partie majorée non vide ait une borne supérieure. (Si \(A\) est non vide et majorée, \(B\) est non vide et minorée par les éléments de \(A\).)

36–36

Conséquences de l'axiome D (page 36)

Corollaire 1. Sous l'axiome D, tout sommet est extrémité d'au moins trois arêtes, et toute face a au moins trois arêtes.

Soit \(p(s)\) le nombre d'arêtes issues de \(s\). Par c), \(p(s) \neq 0\). Si \(p(s) = 1\), il n'y aurait entre \(s\) et une face incidente qu'une arête, contre b). Si \(p(s) = 2\), les deux arêtes issues de \(s\) seraient incidentes aux deux mêmes faces, contre d\('_{1}\)). De même pour les faces. L'inégalité \(p(s) \geq 2\) ne dépend pas de D.

Corollaire 2. Sous l'axiome D, toute face est la borne supérieure de l'ensemble de ses sommets, et de celui de ses arêtes ; tout sommet est la borne inférieure de l'ensemble des faces qui y aboutissent, et de celui des arêtes qui en partent.⁶³

37–38

V. Ensembles ordonnés à intervalles sphériques (pages 37 et 38)

Soit \(\mathfrak{X}\) un ensemble ordonné fini, sans hypothèse de plus petit ou de plus grand élément, et \(|\mathfrak{X}|\) sa réalisation topologique — le complexe simplicial des chaînes —, avec sa décomposition canonique en les parties fermées \(|\mathfrak{X}_{\leq x}|\), qui identifie \(\mathfrak{X}\) à un ensemble ordonné de parties fermées recouvrant \(|\mathfrak{X}|\). Hypothèse :

(R) pour tout \(x \in \mathfrak{X}\), \(|\mathfrak{X}_{< x}|\) est une sphère topologique,

l'espace vide comptant pour la sphère de dimension \(-1\). Posons \(\delta(x) = \dim |\mathfrak{X}_{<x}| + 1 = \dim |\mathfrak{X}_{\leq x}|\), la seconde réalisation étant le cône sur la première.⁶⁴

Proposition. \(\delta\) est strictement croissante, et \(\delta(y) = \delta(x) + 1\) si et seulement si \(y\) est un successeur de \(x\).

Si \(x < y\), \(|\mathfrak{X}_{\leq x}| \subset |\mathfrak{X}_{<y}|\), d'où \(\delta(x) < \delta(y)\) ; il en résulte que \(\delta(y) = \delta(x) + 1\) force \(y\) à être un successeur de \(x\). Inversement, si \(y\) est un successeur de \(x\), \(x\) est un élément maximal de \(\mathfrak{X}_{<y}\) ; une chaîne maximale de \(\mathfrak{X}_{\leq x}\) est alors une chaîne maximale de \(\mathfrak{X}_{<y}\), donc un simplexe maximal de la sphère \(|\mathfrak{X}_{<y}|\), de dimension \(d = \delta(y) - 1\) ; il est contenu dans \(|\mathfrak{X}_{\leq x}|\), d'où \(\delta(x) \geq d\), et \(\delta(x) = \delta(y) - 1\). L'argument n'utilise que la pureté des triangulations des variétés topologiques : il suffit que \(|\mathfrak{X}_{<y}|\) soit une variété.⁶⁵

Corollaire. Sous (R), \(\mathfrak{X}\) vérifie la condition des chaînes, et \(\delta\) est l'unique fonction \(\mathfrak{X} \to \mathbf{N}\) qui augmente de 1 d'un élément à un successeur et vaut \(0\) sur les éléments minimaux.

Proposition. Sous (R), pour \(x < y\), la réalisation de l'intervalle ouvert \(\mathfrak{X}_{x < \cdot < y}\) a l'homologie d'une sphère de dimension \(\delta(y) - \delta(x) - 2\).

Elle résulte du

Lemme. Soit \(\mathfrak{Y}\) un ensemble ordonné fini dont la réalisation est une variété topologique de dimension \(d\). Pour tous \(z < x\) de \(\mathfrak{Y}\), \(|\mathfrak{Y}_{>x}|\), \(|\mathfrak{Y}_{<x}|\) et \(|\mathfrak{Y}_{z < \cdot < x}|\) ont l'homologie de sphères de dimensions respectives \(d - \delta(x) - 1\), \(\delta(x) - 1\) et \(\delta(x) - \delta(z) - 2\).

En effet, le link du sommet \(x\) dans le complexe des chaînes est le joint \(|\mathfrak{Y}_{<x}| * |\mathfrak{Y}_{>x}|\), qui a l'homologie d'une sphère de dimension \(d - 1\), et un joint n'a l'homologie d'une sphère que si ses deux facteurs l'ont ; on applique ensuite le lemme à \(\mathfrak{Y} = \mathfrak{X}_{<y}\), de dimension \(\delta(y) - 1\). L'énoncé en sphères topologiques, celui de la page, demande davantage.⁶⁶

39–40

VI. Le losange et les repères (pages 39 et 40)

Soit \(\mathfrak{X}\) un ensemble ordonné fini, et \(\overline{\mathfrak{X}}\) l'ensemble obtenu en lui adjoignant un plus petit élément. On suppose :

(\(\Sigma\)) Si \(x \in \overline{\mathfrak{X}}\), \(y\) est un successeur de \(x\) et \(z\) un successeur de \(y\), il existe un unique \(y' \in \mathfrak{X}\), \(y' \neq y\), tel que \(x < y' < z\).

C'est la propriété du losange, sous sa forme forte : l'intervalle ouvert \(]x, z[\) est exactement \(\{y, y'\}\).⁶⁷ L'élément \(y'\), noté \(\sigma_{x,z}(y)\), est un successeur de \(x\), et \(z\) en est un successeur : si l'on avait \(x < y'' < y'\), on aurait \(x < y'' < z\) et \(y'' \neq y'\), donc \(y'' = y\), et \(y < y' < z\), contre l'hypothèse que \(z\) est un successeur de \(y\) ; de même de l'autre côté.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & y' \arrow[dr] & \\
  x \arrow[ur] \arrow[dr] & & z \\
  & y \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

Repères. Supposons de plus que les chaînes maximales issues d'un même élément aient toutes même longueur.⁶⁸ Un \(n\)-repère de \(\mathfrak{X}\) est une suite \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\) où \(x_{0}\) est un élément minimal et \(x_{i+1}\) un successeur de \(x_{i}\) ; soit \(R_{n}(\mathfrak{X})\) leur ensemble — ce sont des drapeaux. On a :

1. a)l'application d'oubli \(p_{n} : R_{n} \to R_{n-1}\), pour \(n \geq 1\) ;
2. b)des opérations \(\sigma_{0}, \ldots, \sigma_{n-1}\) sur \(R_{n}\), où \(\sigma_{i}\) remplace \(x_{i}\) par \(\sigma_{x_{i-1}, x_{i+1}}(x_{i})\), avec la convention que \(x_{-1}\) est l'élément adjoint.

Ce sont des drapeaux munis de leurs opérations élémentaires.⁶⁹

Propositions.

1. a)Les \(\sigma_{i}\) sont des involutions.
2. b)Si \(0 \leq i < j \leq n - 1\) et \(j \neq i + 1\), \(\sigma_{i}\) et \(\sigma_{j}\) commutent.
3. c)Si \(0 \leq i_{1} < \cdots < i_{\nu} \leq n - 1\), \(\nu \geq 1\), sans deux indices consécutifs, l'involution \(\sigma_{i_{1}} \cdots \sigma_{i_{\nu}}\) est sans point fixe.
4. d)Pour \(p < n\), la projection \(R_{n} \to R_{p}\) commute à \(\sigma_{0}, \ldots, \sigma_{p-1}\), et rend \(\sigma_{p+1}, \ldots, \sigma_{n-1}\) triviales sur \(R_{p}\).

Ces énoncés sont ceux de la page.⁷⁰ Les trois premiers énoncés viennent de ce que \(\sigma_{i}\) ne change que la \(i\)-ième place, et la change effectivement. Pour un polyèdre convexe et \(\mathfrak{X} = \mathrm{Fac}(C)\) privé de la facette vide, \(\sigma_{i}\) change la facette de dimension \(i\) du drapeau : ce sont les opérations du dossier 88 (pages 6 à 8) sur les repères du complexe de Coxeter, où les produits \(\sigma_{i}\sigma_{i+1}\) ont des ordres que les pages calculent ; ici rien n'est dit de ces produits. Pour retrouver la troisième involution \(\sigma_{2}\) des cartes de la page 32, qui change la face, il faut que \(\mathfrak{X}\) contienne son plus grand élément : les drapeaux de la carte sont alors les \(3\)-repères, qui finissent tous en \(1\), comme dans la « version commune » de la page 32.

La moitié supérieure de la page 40, barrée, revient aux cartes de dimension 2 : une arête a exactement deux sommets, entre un sommet et une face il y a exactement deux arêtes, et une condition de connexité ; en marge, des suites \(x_{0}, \ldots, x_{n}\) et quelques croquis de sommets et d'arêtes. Le dossier s'arrête là.