Fonds Grothendieck, cote n° 86, pages 1–20

Polyèdres réguliers I

inscrit au crayon, en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre ; le « I » est souligné. La chemise ne reçoit pas de numéro de page. C'est vraisemblablement de là que vient le titre entre crochets de l'inventaire

Polyèdres combinatoires

titre souligné, de sa main, en tête de la page 2

S, A, F, R, R' finis, R \subset S \times A, R' \subset A \times F (« relations d'incidence ») \Rightarrow \Phi = S \amalg A \amalg F ens. ordonné ; R'' \subset S \times F, R'' = R \times_A R' = R \circ R'.

1)\forall a \in A, \operatorname{card} R(a) = \operatorname{card} \uncertain{F(a)} = 2 ; 2)\forall s \in S, \forall f \in F avec s < f, \operatorname{card}\{a \in A \mid s < a < f\} = 2 ; 3)\forall f \in F, l'ens. ordonné \Phi_{<f} = \{x \in \Phi \mid x < f\} (qui est un contour) est connexe, i.e. est un polygone combinatoire (à q(f) \geq 2 côtés) ; 3')\forall s \in S, l'ens. ordonné \Phi_{>s} = \{x \in \Phi \mid x > s\} (« id. ») est connexe, i.e. est un polygone combinatoire (à p(s) \geq 2 côtés) ; « id. » rend les guillemets de répétition qu'il met sous « (qui est un contour) » de la ligne précédente 4)

Dans \Phi les sup majorés existent (\Longleftrightarrow les inf minorés existent), i.e. x, y \in \Phi, x \not\leq y, y \not\leq x, x, y < f \in F \Rightarrow \operatorname{Sup}(x,y) existe,

i.e. a) Toute arête est déterminée par l'ens. \{s, s'\} de ses extrémités, et les faces qui majorent alors majorent l'arête.

b) Toute face f est connue quand on connaît une arête a de f et un sommet de f non incident, et bien connaît deux sommets de f non incidents à une même arête.

le bloc 1)–3') est embrassé à gauche par une accolade, le long de laquelle court une note verticale, non lue, qui se termine par « connexité » (?)

NB Indépendamment de 4), si s, s' \in S, s \neq s', s, s' < a \in A, ~~alors si~~

1°)\operatorname{Sup}(s,s') existe ssi a = \operatorname{Sup}(s,s') — i.e. ssi a) ce soit seule arête qui soit incidente à s, s' ; b) Toute face incidente à s, s' l'est à a). 2°)Si s, s' \in S, s, s' < f \in F, s, s' non incidents à une même arête, alors \operatorname{Sup}(s,s') existe \Longleftrightarrow f = \operatorname{Sup}(s,s') \Longleftrightarrow f l'unique face qui contient s, s'. 3°)Si s \in S, a \in A non incidents, et s, a < f \in F, alors \operatorname{Sup}(s,a) existe ssi f = \operatorname{Sup}(s,a), i.e. ssi f est l'unique face majorant s et a. 3°)Si a \in A, a' \in A, a \neq a', a, a' < f \in F, alors \operatorname{Sup}(a,a') existe ssi f = \operatorname{Sup}(a,a') i.e. ssi f est l'unique face majorant a, a'.

deux alinéas numérotés « 3°) » sur la page ; sous 2°) une ligne biffée commençant par « 3°) ». Les 1°)–3°) sont entourés d'un long trait

(et assertions duales) \Longleftrightarrow (b) Si f, f' \in F, f \neq f', alors l'ens. des facettes incidentes à f, f' est soit vide, soit réduit à un sommet, soit formé d'une arête et de ses deux sommets ; ou a \in A connu quand on connaît l'ens. de ses sommets, i.e. A \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(S). cette dernière phrase est dans un encadré à droite, relié au bloc 1°)–3°) par une double flèche ; l'ordre de ses deux membres est incertain

4') (équiv. à 4) a') Toute arête a est connue quand on connaît l'ens. \{f, f'\} des deux faces incidentes, et tt sommet qui est incident à celles-ci est incident à l'arête.

b') Un sommet s est connu quand on connaît une arête a et une face f ~~incidentes~~ de s, non incidentes …

On a aussi a') A \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(F), b') Si s, s' \in S, s \neq s', alors l'ens. des facettes est soit vide, soit note écrite en oblique dans la marge inférieure gauche, dualisant l'encadré (b) ; lecture d'ensemble douteuse

Pour un polyèdre combinatoire, …

Corollaire 1°) Si : toute facette est associée à l'ens. des sommets qu'elle majore, on trouve une application d'ens. ordonnés \Phi \longrightarrow \mathfrak{P}(S) qui est injective, et induit un iso. de \Phi sur la phrase se poursuit en haut de la page suivante

l'ens. d'un ordonné ~~linéaire~~ une partie de \mathfrak{P}(F) ordonnée par inclusion — partie stable par Sup de deux él. majorés … Pour tt sommet au moins trois arêtes et trois faces.

Notons aussi :

Cor Toute face est Sup des sommets — tt est Inf de ses .

Connexité d'un (par constr. de R''), par une suite de telles faces, on voit que \operatorname*{Sup}_{a<f} a \;=\; \operatorname*{Sup}_{a<f}\, \operatorname*{Sup}_{s<a} s \;=\; \operatorname*{Sup}_{s<f} s \;=\; f \qquad \text{cqfd} au-dessus du deuxième signe = : « cor. 2 » (plus dual …)

Remarque Dans le cas de l'icosaèdre, structure connaît S et A \subset \mathfrak{P}_2(S) — i.e. F \subset \mathfrak{P}_3(S) : partie de C', comme l'ens. des f \in \mathfrak{P}_3(S) tels que \mathfrak{P}_2(f) \subset A, et le groupe des automorph. de l'icosaèdre s'identifie au groupe des permutations u de S telles que u(A) = A (i.e. u transforme arête en arête — i.e. conserve la « distance combinatoire »). des arêtes icosaèdre note de quelques lignes écrite en diagonale dans la marge gauche, en regard de la Remarque ; non lue

un ens. de parties de S ordonné par inclusion.

b) ~~L'image~~ Cet ens. de parties est stable par intersection de deux parties majorées : \operatorname{Im}(\Phi \to \mathfrak{P}(S)).

Dém. b) résulte aussitôt de l'existence des Inf de deux él. minorés de \Phi. Pour a), et le fait que \alpha(x) \leq \alpha(y) \Rightarrow x \leq y résulte dans …

Cor. Main 2 Toute face est le Sup des ~~faces~~ sommets qu'elle majore.

Pour sommet c'est trivial, pour arête c'est cela résulte de 4 b) et de 4 a), pour face cela résulte de …

Corollaire 3 Toute face a au moins trois côtés (i.e. a au moins trois sommets).

En effet, s'il n'en avait que deux, les deux côtés auraient le même ens. de sommets, contrairement à 4 a).

NB Si on se intersection partie. Les arêtes de l'icosaèdre comme les parties les él. de \mathfrak{P}_2(S), les faces les él. de \mathfrak{P}_3(S). l'indice de ce dernier \mathfrak{P} peut se lire 5 ; 3 est ce qu'appelle la Remarque de la page 3

Dualement

Corollaire 4 Tt sommet est des faces qui . L'involution qui des faces qui l'entourent, définit une injection S \to \mathfrak{P}(F), induisant un

Icosaèdre ILa description concrète et ses premières propriétés

1. Description grossière par un modèle concret (ou dessin)

2. Énumération. NB des sommets s = 12 ; NB des arêtes a = 30, 2a = ps = qf ; NB des faces f = 20, p = 5, q = 3 trois lignes alignées sous « NB » sur la page le premier chiffre de ce « 2. » est surchargé ; la ligne suivante porte aussi « 2. »

2. Description des propriétés polyédrales

A) Description comme « géométrie d'incidence »

B) — « polyèdres combinatoires »

3. Distances combinatoires existence des Sup et Inf minorés, ~~propriétés des~~ des sommets, caractérisation de sommets ligne très surchargée : insertions interlinéaires et ratures enchevêtrées ; seuls « Distances combinatoires » et « Sup et Inf » sont sûrs

4. Perspectives

A) Par sommet un couple sommet opposé (groupe d'automorph. \mathbf{D}_5 ou \mathbf{Z}_2 \times \mathbf{D}_5)

Parenthèse Groupe des automorphismes des polygones combinatoires …

Transitivité des groupes des automorphismes sur sommets, … et = sur couples (s,a) (s<a) et = sur triples (s<a<f).

On dit que l'icosaèdre est un polyèdre combinatoire régulier (NB Il y a une infinité d'autres polyèdres combinatoires réguliers — mais parmi ceux-ci, seuls i.e. « réalisables » comme des polyèdres convexes dans l'espace de dimension 3 … Interprétation « antipodisme » comme automorphisme combinatoire polyèdre deux notes en diagonale dans la marge gauche ; la seconde, au niveau de A)–B), n'est pas lue. Au crayon, très pâle, un croquis d'icosaèdre derrière le bas de la page

(A) S = \{o\} \amalg \Pi \amalg \Pi' \amalg \{o'\} (\Pi, \Pi' deux pentagones combinatoires, \Pi \simeq \Pi', s \mapsto s') A = \begin{cases} \{o, s\}, & s \in \Pi \\ \{o', s'\}, & s' \in \Pi' \end{cases} \quad 10 \qquad A(\Pi),\ A(\Pi') \quad 10 \qquad \{s, t\},\ s \in \Pi,\ t \in \Pi' \quad 10 t incident à s', i.e. \delta(t, s') = 1 \bigl(= \delta(t', s)\bigr). « \delta(t',s) » est écrit sous « \delta(t,s') », rattaché par un signe d'égalité vertical

Groupe de symétrie \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{D}_5, d'ordre 20 = 120/6. NB 6 = 12/2.

la page est occupée pour l'essentiel par des figures. En haut, (A_1) : l'icosaèdre vu le long de l'axe o o', décagone de sommets s_0, \ldots, s_4 (autour de o, en trait plein) et s'_0, \ldots, s'_4 (autour de o', en tirets). Au milieu, (A_2), « ou » : deux pentagones emboîtés, s'_0, \ldots, s'_4 à l'extérieur et s_0, \ldots, s_4 à l'intérieur autour de o, les rayons issus des s'_i marqués de flèches « o' » (le sommet o' rejeté à l'infini). En bas, sous un trait horizontal, un petit icosaèdre en perspective et un second, plus grand, dont les sommets sont nommés a, a', a'', b, b', c, u, u', w, w' (lettres d'identification parfois douteuses)

(B)

Groupe de symétrie \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathfrak{S}_3, d'ordre 12 = 120/10. NB 10 = 20/2.

page de figures. En haut, (B_1) : l'icosaèdre en perspective, sommets nommés u_1, u', v'_1, w'_1 (?), v_1, w_1, u'_1, …, vu le long d'un axe passant par les centres de deux faces opposées. En bas, (B_2) : une construction en perspective de l'icosaèdre (sommets a, a', b, b', c, c', u, v, w), entourée de lignes de fuite, avec un triangle hachuré ; à gauche, dans un cercle, une projection sur le plan d'une face, sommets u', v', w' au bord, u_1, v_1, w_1, u'_1, v'_1, w'_1 à l'intérieur ; à droite, un icosaèdre inscrit dans un cube, à l'encre et au crayon, et un petit croquis de cercles entrelacés

en haut à gauche, (B_3) : la même projection que la figure circulaire de la page 7, au crayon, sommets u', v', w' aux coins d'un grand triangle, u_1, v_1, w_1, u'_1, v'_1, w'_1, u, v, w à l'intérieur ; au-dessus, un petit icosaèdre dans un cercle S = T \amalg T_1 \amalg T'_1 \amalg T' le dernier terme est surchargé \begin{array}{ccccc} t & \boxed{T \xrightarrow{\ \sim\ } T'} & t' \\ \wr & \wr \quad\ \wr & \wr \\ t_1 & T_1 \simeq T'_1 & t'_1 \end{array} (t \mapsto t', t_1 \mapsto t'_1) couple de 2 triangles en corr. 1-1.

A (arêtes) : \begin{array}{lll} \mathfrak{P}_2(T), \quad \mathfrak{P}_2(T') & & 6 \\[2pt] \{t, u\},\ t \in T,\ u \in T_1,\ u \neq t_1 & \{t', u'\},\ t' \in T',\ u' \in T'_1,\ u' \neq t'_1 & 12 \\[2pt] \{t_1, u\},\ t_1 \in T_1,\ u \in T'_1,\ u \neq t'_1 & & 6 \\[2pt] \{t, t'_1\}, \quad \{t', t_1\} & & 6 \end{array} la première lettre de « \{t_1, u\} » et de « \{t, t'_1\} » est surchargée ; les indices et accents de ces deux lignes sont incertains

(C) S = \sigma \amalg \varphi \amalg \sigma' \amalg \varphi' \amalg \bigl[\sigma \times \varphi \amalg \sigma' \times \varphi'\bigr] \big/ \uncertain{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}} ~~(s,u) \sim (t', v') si~~ , \sigma opérant par \sigma(s,u) = \bigl((\varepsilon s)', (\varepsilon u)'\bigr), antipodisme a(s,u) = (\varepsilon s, \varepsilon u) … (s,u) \in a \times b ou (s,u) \in (a' \times b'). le sens de \sigma (ensemble à deux éléments et opération) et le rôle de a \times b, a' \times b' restent douteux : la ligne est surchargée et l'appel qui les relie aux lignes au-dessus est une flèche

A : \begin{array}{lll} \sigma, \sigma' & & \uncertain{2} \\ \{s, u\},\ \{s', u'\} \quad (s \in \sigma,\ u \in \varphi) & & 8 \\ \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\},\ u \neq v & & 4 \\ \{u, \Pi_{s,u}\},\ \{u', \Pi_{s',u'}\} & & 8 \\ \{s, \Pi_{s,u}\},\ \{s', \Pi_{s',u'}\} & & 8 \\ \{u, v'\},\ u \neq v & & 2 \end{array} à droite de la ligne \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}, un mot noirci ; les deux premières lignes sont entourées et reliées par une flèche à la troisième

Automorph. \mathbf{Z}_2 \times (\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2), d'ordre 8 = 120/15. NB 15 = 30/2.

figures : (C_1), au crayon et à l'encre, l'icosaèdre vu le long d'un axe passant par les milieux de deux arêtes opposées, sommets u, v, u', v', s, t, \Pi_{s,u}, \Pi_{t,v}, … ; « ou » (C_2), la même vue en projection, sommets extérieurs s', u', v', t', points \Pi_{t,u} = \Pi_{s',v'} (?), \Pi_{t,v} = \Pi_{s',u'}, \Pi_{s,u} = \Pi_{t',v'}, \Pi_{s,v} = \Pi_{t',u'} ; (C_3), un schéma analogue plus petit, flèches vers t' et s'

Polyèdres réguliers II

inscrit au crayon sur la chemise (page 9), qui ne reçoit pas de numéro de page : à gauche « Polyèdres réguliers », et dessous « II » ; à droite « géométrie d'incidence et ens. à opérateurs … »

Géométries d'incidence et ensembles à opérateurs

Soit \Pi = (S, A, F ; R, R') une géométrie d'incidence de dim 2, ~~On appelle drapeau~~ (cf. p. 1 : ens. ordonné qu'il définit — de « dim. combinatoire » 2 —). On appelle drapeau de \Pi une partie tot. ordonnée non vide de \Pi — si son cardinal est l, on dit que le drapeau est de longueur l-1. Le maximum des longueurs des drapeaux est 2 — les drapeaux de longueur 2 sont appelés repères, leur ens. se note \operatorname{Rep}(\Pi) \operatorname{Rep}(\Pi) = \{(s, a, f) \in S \times A \times F \mid s < a < f\} « cf. p. 1 » est de lui ; sa page 1 est vraisemblablement la page 2 de cette liasse, où l'ensemble ordonné \Phi = S \amalg A \amalg F est introduit

Il y a des drapeaux des types suivants \begin{array}{lll|l} 0 & 1 & 2 & \text{drapeaux minimaux (de long.\ 0)} \\ S & A & F & \text{ou « facettes »} \\[4pt] (0,1) & (1,2) & (0,2) & \text{drapeaux de long.\ 1} \\ R \subset S \times A & R' \subset A \times F & R'' \subset S \times F & \\[4pt] (0,1,2) & & & \text{repères, ou drapeaux} \\ \operatorname{Rep} \subset S \times A \times F & & & \text{maximaux} \end{array}

Il y a des applications naturelles « d'oubli » (projections) entre ces ens. de drapeaux, en particulier

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \operatorname{Rep} \arrow[dl, "(\sigma_0)"'] \arrow[d, "(\sigma_1)"] \arrow[dr, "(\sigma_2)"] & \\ \operatorname{Drap}_{12} = R' & R'' = \operatorname{Drap}_{02} & R = \operatorname{Drap}_{01} \end{tikzcd}

avec R' \subset A \times F, R'' \subset S \times F, R \subset S \times A. à gauche du diagramme, un premier essai biffé (\operatorname{Rep}, R \subset S \times A, R' \subset …)

ce qui suit est un ajout de sa main, encadré en haut à droite de la page, entre crochets ; les « 2 » sont les degrés portés sur les flèches [En fait, on part de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & R \arrow[dl, "2"'] \arrow[dr, "2"] & & R' \arrow[dl, "2"'] \arrow[dr] & \\ S & & A & & F \end{tikzcd}

et … construit en dessus de ceux-ci E = R \times_A R' d'où :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & E = \operatorname{Rep} \arrow[dl, "2"'] \arrow[dr, "2"] & & \\ & R \arrow[dl, "2"'] \arrow[dr, "2"] & & R' \arrow[dl, "2"'] \arrow[dr, "2"] & \\ S & & A & & F \end{tikzcd}

(axiomes 1), 2))] sur la flèche R' \to F du premier schéma, un signe surchargé, non lu

Ces trois applications sont de degré 2 — d'où des involutions sans pt fixe dans \operatorname{Rep} notées \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 qui sont caractérisées par le fait de conserver les fibres des applications précédentes (NB \sigma_i change la facette composante de dim i d'un repère r = (s, a, f) et conserve les deux autres). On voit que \sigma_0 et \sigma_2 commutent : \sigma_0\sigma_2(s, a, f) = \sigma_2\sigma_0(s, a, f) = (s', a, f') où s' est l'unique sommet \neq s incident à a, f' l'unique face \neq f incidente à a.

On voit que \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 et \sigma_0\sigma_2 opèrent sur \operatorname{Rep} sans pt fixe.

Soit \mathfrak{S}_2 = \Bigl\{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \Bigm| \begin{array}{l} \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1 \\ \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0 \end{array} \Bigr\} la lettre du groupe est une grande lettre gothique, lue \mathfrak{S} ; l'indice 2 est sûr. Ce n'est pas le groupe symétrique \mathfrak{S}_2 : c'est le groupe défini par la présentation qui suit

Donc on a un foncteur \begin{array}{c} \text{Géom.\ d'incidence} \\ \text{(avec iso)} \end{array} \longrightarrow \begin{array}{l} \mathfrak{S}_2\text{-ens.\ où } \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \\ \text{et } \sigma_0\sigma_2 \text{ opèrent sans pts} \\ \text{fixes (avec iso)} \end{array} On va voir que le ce foncteur est pleinement fidèle — donc qu'on peut reconstruire (S, A, F, R, R') à partir de E = \operatorname{Rep} en tant que \mathfrak{S}_2-ens. « Thm » est écrit au-dessus de « ce foncteur », comme titre de l'énoncé Notons qu'on a \begin{align*} E/(\sigma_1, \sigma_2) &\longrightarrow S = \Phi_0 \\ E/(\sigma_0, \sigma_2) &\longrightarrow A = \Phi_1 \\ E/(\sigma_0, \sigma_1) &\longrightarrow F = \Phi_2 \end{align*} ~~qui sont des applications surjectives.~~ Il est clair que l'application médiane est un iso [\sigma_0, \sigma_2 engendrent un s.-groupe de \mathfrak{S}_2 \simeq \mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2, qui opère librement sur E , le quotient est \xrightarrow{\ \sim\ } A]. Or les axiomes 3), et 3') (connexité) expriment respectivement que la dernière et la première flèches sont bijectives. On peut donc exprimer S, A, F à partir de \uncertain{R}. un mot souligné puis biffé entre « dernière et la » et « première » ; la dernière phrase est d'une lecture douteuse

Quant à R, R', ce sont respectivement les images de E = \operatorname{Rep} dans S \times A et A \times F …

Corollaire ~~Les automorph. de~~ Le groupe \operatorname{Aut}(\Pi) s'identifie à \operatorname{Aut}_{\mathfrak{S}_2\text{-ens}}(\operatorname{Rep}(\Pi)).

Corollaire Conditions équivalentes

a)Deux sommets de \Pi sont toujours reliés par une chaîne d'arêtes a')Deux faces de \Pi sont toujours reliées par une chaîne d'arêtes b)\Pi \simeq \Pi' \amalg \Pi'' \Longrightarrow \Pi' = \emptyset ou \Pi'' = \emptyset c) \mathfrak{S}_2 opère transitivement dans E (= \operatorname{Rep}(\Pi)) (i.e. — si \Pi \neq \emptyset i.e. E \neq \emptyset — E est un espace homogène sous G_2).

« toujours » est deux fois une insertion interlinéaire (lue « tjs »). Le « G_2 » de c) est en caractères gras, et diffère du \mathfrak{S}_2 de la même ligne ; il est gardé tel quel

~~Corollaire~~ Déf On dit alors que \Pi est connexe.

Corollaire Si \Pi est connexe, \operatorname{Aut}\Pi opère librement dans \operatorname{Rep}(\Pi), i.e. si g \in \operatorname{Aut}(\Pi), r \in \operatorname{Rep}(\Pi), alors g \cdot r = r \Longrightarrow g = \mathrm{id} En effet, un automorphisme d'un espace homogène qui fixe un pt, ~~fixe chaque~~ est l'identité.

Corollaire (si \Pi fini :) \operatorname{Card}\operatorname{Aut}(\Pi) \mid \operatorname{Card}\operatorname{Rep}(\Pi)

Re-corollaire Conditions équivalentes pour \Pi connexe (et soit r \in E = \operatorname{Rep}(\Pi) fixé)

a)\operatorname{Aut}(\Pi) est transitif sur \operatorname{Rep}(\Pi) b)Le stabilisateur de r est un s.-groupe distingué de \mathfrak{S}_2 c)(Si \Pi est fini) \operatorname{Card}\operatorname{Aut}(\Pi) = \operatorname{Card}\operatorname{Rep}(\Pi) d)\forall g \in \mathfrak{S}_2, \exists\, \bar g \in G tel que g \cdot r = \bar g \cdot r d')\forall\, 0 \leq i \leq 2, \exists\, \bar\sigma_i \in G tel que \sigma_i \cdot r = \bar\sigma_i \cdot r

au-dessus de « \operatorname{Aut} » en a), un « G = » interlinéaire : G désigne \operatorname{Aut}(\Pi) dans d) et d') \bar\sigma_i r \neq r … \bar\sigma_i note serrée en marge droite de d)–d'), au plus petit module ; non lue au-delà du premier signe

Déf On dit alors que la géom. est régulière (on parle aussi de polyèdre combinatoire régulier …)

Cor. Soient (\Pi_0, r_0) polyèdre régulier avec repère, \Pi polyèdre régulier isom. à \Pi_0. Alors \operatorname{Isom}(\Pi_0, \Pi) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Rep}(\Pi), \qquad \varphi \longmapsto \varphi(r_0) En particulier : Un couple (\Pi_0, r_0), pour un type d'isomorphie donné de \Pi_0, est défini à isom. unique près …

~~Corollaire~~ ~~E/\sigma_0 \xrightarrow{\sim} \operatorname{Drap}_{12}(\Pi), E/\sigma_1 \xrightarrow{\sim} \operatorname{Drap}_{0,2}(\Pi), E/\sigma_2 \xrightarrow{\sim} \operatorname{Drap}_{0,1}(\Pi)~~ ~~Soit~~ Avec les notations de d) ci-dessus, g \mapsto \bar g est un hom. \to G, le « Corollaire » et ses trois isomorphismes sont barrés de croix ; la phrase qui leur est substituée court dans la marge droite et se perd au bas de la feuille

les deux blocs qui suivent, jusqu'à la Proposition, sont barrés de longues diagonales ; ils restent lisibles et sont donnés en entier, la biffure étant indiquée ici une fois pour toutes plutôt que ligne à ligne [Soit \Pi = (S, \ldots) une géométrie d'incidence, R^+ \subset E = \operatorname{Rep}, R^- = E \setminus R^+. Conditions équivalentes

a)\sigma_i R^+ = R^- (i = 0, 1, 2) b)R^+ \xrightarrow{\ \sim\ } \Psi_i := \prod_{j \neq i} \Phi_j (i = 0, 1, 2) où \Phi_0 = S, \Phi_1 = A, \Phi_2 = F

On dit alors que R^+ est une orientation, et les r \in R^+ sont les repères directs pour elle (ou appartenant à l'orientation), les r \in R^- les repères inverses] le \prod de b) est lu tel quel

Soit \Pi polyèdre régulier connexe de type (p,q). p = \operatorname{ordre}(\sigma_1\sigma_2)_E, q = \operatorname{ordre}(\sigma_0\sigma_1)_E Groupe des automorph. d'un polyèdre régulier \Pi qui fixent un sommet : c'est le groupe diédral \mathbf{D}_p (groupe des automorph. du polygone plus précis … polygone) ; les \bar\sigma engendrent G. ce second bloc est de plus encadré ; en marge gauche, un petit croquis de polygone, les repères marqués \sigma_0, \sigma_2

(Exer) Proposition Soit \Pi ~~polygone~~ polyèdre comb. régulier connexe, E = \operatorname{Rep}(\Pi), G = \operatorname{Aut}(\Pi), \Phi = ens. des facettes de \Pi …

a)Soit p = \operatorname{ordre}(\sigma_1\sigma_2)_E, q = \operatorname{ordre}(\sigma_0\sigma_1)_E. Alors par tt sommet de E\Pi passent exactement p arêtes, dans tte face il y a exactement q arêtes (NB 3 \leq p, q \leq +\infty). b)Soit s \in S(\Pi). Alors l'homom. du stabilisateur G_s de s dans G, dans \operatorname{Aut}(\Phi_{\geq s}) [où \Phi_{\geq s} est le polygone combinatoire à p côtés

« E\Pi » est écrit tel quel (le « E » semble ajouté devant « \Pi »)

formé des facettes incidentes à s] est un iso. En particulier, G_s \simeq \mathbf{D}_p.

b')Soit f \in F(\Pi). Alors G_f \to \operatorname{Aut}(\Phi_{\leq f}) (où \Phi_{\leq f} est le polygone combinatoire à q côtés des facettes incidentes à f) est un iso. En particulier, G_f \simeq \mathbf{D}_q. c)Soit a \in A(\Pi). ~~Alors~~ Soit \sigma (resp. \varphi) l'ens. des sommets (faces) incidents à a. — donc \sigma, \varphi sont des ens. de card. 2. Considérons G_a \longrightarrow \mathfrak{S}_\sigma \times \mathfrak{S}_\varphi = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} c'est un iso.

le « (p) » au-dessus de « \mathbf{D}_q » est une correction interlinéaire douteuse. Le début de b) sur la page 15 s'achève ainsi sur cette page

~~Exer Proposition Soit \Pi polyèdre régulier comb. connexe, s \in S,~~ deux lignes barrées de croix en bas de page ; le reste de la feuille est blanc

Cours — Polyèdres réguliers III

inscrit au crayon en haut à droite de la chemise (page 17), qui ne reçoit pas de numéro de page : « Cours » souligné, puis « Polyèdres réguliers », puis « III » (le chiffre souligné, lecture un peu douteuse)

\Pi = (S, A, F ; R, R', R'' ; E = \operatorname{Rep}) icosaèdre combinatoire

\underline{a} antipodisme, \underline{a} \in G = \operatorname{Aut}(\Pi), opère sans pts fixes sur S, A, F (et a fortiori sur R, R', R'', E) \bar A = A/\underline{a} \quad \text{ens.\ des paires « directions d'arêtes »} \ (\text{\uncertain{termes} \ill{} arêtes parallèles}) a \mapsto \bar a appl. canonique A \to \bar A.

On va définir une permutation canonique \rho : \bar A \longrightarrow \bar A Pour ceci, pour a \in A, soit s \in S incident à a = \{s, t\}, considérons les ~~deux~~ arêtes \{s, u\}, \{s, v\} ~~dans~~ de \Phi_{\geq s} adjacentes à a, considérons les deux arêtes \{s, \Pi_{s,u}\}, \{s, \Pi_{s,v}\} restantes parmi les cinq de \Phi_{\geq s}, donc \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\} est une arête de \Pi. [On peut dire que les cinq sommets adjacents à s forment un pentagone pour lequel un sommet distingué est le deuxième sommet t de a, et on prend le côté du pentagone opposé au sommet t.] Si on avait pris l'autre sommet t, on aurait trouvé l'arête \{\Pi_{t,u}, \Pi_{t,v}\} antipodique de \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}, d'où un unique élément \rho_0(a) \in \bar A. On trouve ainsi une application canonique A \longrightarrow \bar A qui commute aux automorphismes de \Pi, et en particulier à \underline{a}. Comme \underline{a} opère trivialement sur \bar A, \rho_0 se factorise en \bar A \longrightarrow \bar A On trouve \rho^2(\bar a) = \overline{\{u, v'\}} = \overline{\{v, u'\}} en marge gauche, un croquis : l'arête a = \{s, t\}, les sommets u, v, et les quatre sommets \Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}, \Pi_{t,u}, \Pi_{t,v} aux coins d'un rectangle. Les indices des \Pi sont serrés et parfois surchargés ; ils sont donnés tels que l'argument les appelle (cf. page 8, où apparaît la même notation \Pi_{s,u})

puis \rho^3(\bar a) = \bar a Donc \rho^3 = \mathrm{id}_{\bar A} En particulier, \rho est une permutation. Toutes ses orbites sont de cardinal 3. Donc il y a cinq telles orbites.

Une orbite de \rho s'appelle trièdre distingué (de directions d'arêtes) associé à \rho. Deux directions d'arêtes \alpha, \beta sont dites orthogonales si elles sont \neq et dans le même trièdre distingué (i.e. dans le même trièdre distingué), ce qui signifie aussi \beta = \rho\alpha \quad \text{ou} \quad \alpha = \rho\beta Pour toute direction d'arête, il y a deux exactement deux directions d'arêtes orthogonales. [On notera que la relation d'orthogonalité est symétrique par définition, mais la relation \beta = \rho\alpha entre \alpha et \beta ne l'est pas évidemment.] le mot lu « trièdre » s'écrit sans accent visible, en cinq ou six lettres ; relu au lot 2 (pages 23, 25, 26) comme « tri », un point pour l'accent et « dres », à la manière d'« icosaèdre », d'où « trièdre » dans les deux lots. « deux exactement deux » est sur la page ; l'insertion au-dessus de « relation » est de lecture douteuse. La ligne sous « dites orthogonales », « i.e. dans le même trièdre distingué », est interlinéaire

L'ens. des trièdres distingués est un ens. T quotient de cardinal 5 de \bar A, noté T. ~~On a~~ appl. canonique \bar A \xrightarrow{\ \mathrm{tri}\ } T. On peut le considérer comme un ens. quotient de A, formé de 5 parties de cardinal 6, chacune d'elles stable par \underline{a}. Interprétation concrète en termes de coloriage, terminologie : arêtes orthogonales la ligne s'arrête sur une virgule, au bas de la feuille ; la page suivante commence par une Proposition. Le « quotient » de l'avant-dernière phrase est à cheval sur une note marginale écrite en oblique

Proposition Deux arêtes orthogonales n'ont pas de sommet en commun.

En effet, les quatre arêtes orthogonales à \{s, t\} sont \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}, et \{\Pi_{t,u}, \Pi_{t,v}\} d'une part, \{u, v'\} et \{v, u'\} d'autre part, elles ne rencontrent pas \{s, t\}.

Corollaire Pour tt s \in S, si P(s) est l'ens. des arêtes incidentes à s, ~~des t \in S adjacents à s,~~ l'application a \mapsto \operatorname{tr}(\bar a) induit une bijection P(s) \longrightarrow T En effet, c'est une application injective entre deux ens. de cardinal 5.

Corollaire Soit G_s^+ le groupe des rotations de \Pi fixant s (i.e. les automorph. fixant s, et induisant sur \Phi_{\geq s} une rotation …) Alors T est un torseur sous G_s^+ — donc si on fixe un gén. u_s de G_s^+, u_s est une permutation circulaire sur T.

Comme T est de card. impair, on en conclut que G_s^+ opère par permutations paires.

NB Plus généralement, on voit que les automorph. d'un polygone combinatoire de long. ~~impaire est dans~~ \equiv 1\ (4) (p.ex. d'un pentagone) induisent la phrase se poursuit au-delà de ce batch (page 21)