Cote n° 86 · pages 1–32 · Lecture modernisée · [Polyèdres réguliers] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–32

Le fil du dossier, et les conventions

Trois chemises (pages 1, 9 et 17) portent les titres de sa main, « Polyèdres réguliers I », « II » et « Cours — Polyèdres réguliers III » ; le titre de l'inventaire en vient vraisemblablement. Il n'y a pas de pagination de sa main ; la page 10 renvoie à une « p. 1 » qui est vraisemblablement la page 2.

• Pages 2 à 4 (I) : polyèdres combinatoires. Un ensemble ordonné \(S \sqcup A \sqcup F\), quatre axiomes ; le quatrième est une condition de treillis. Toute facette est la borne supérieure de ses sommets ; toute face a au moins trois côtés.
• Page 5 : un plan de cours sur l'icosaèdre.
• Pages 6 à 8 : trois descriptions de l'icosaèdre, adaptées à un axe passant par deux sommets, deux faces, deux arêtes opposés.
• Pages 10 à 16 (II) : géométries d'incidence et ensembles à opérateurs. Drapeaux, trois involutions, un théorème de pleine fidélité ; connexité, régularité, stabilisateurs.
• Pages 18 à 25 (III) : les trièdres distingués et le groupe alterné. La permutation \(\rho\), les cinq trièdres, l'isomorphisme \(G^{+} \simeq \operatorname{Alt}_T\).
• Pages 26 à 30 : reconstruction de l'icosaèdre gauche à partir de l'ensemble orienté des cinq trièdres.
• Pages 31 et 32, d'une autre encre : un tableau des ensembles de drapeaux de l'icosaèdre gauche, et les trois involutions écrites comme permutations de cinq lettres.

Les dossiers voisins. La partie II est le cadre dans lequel la lecture du dossier 88 (« Cartes standards ») est écrite : les mêmes involutions \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) sur les repères, le même groupe, noté là \(\widehat{\Gamma}\), les mêmes rotations \(\sigma_1\sigma_2\) autour d'un sommet et \(\sigma_0\sigma_1\) autour d'une face, et l'icosaèdre y est la carte standard \(C_{5,3}\). Les polygones combinatoires dont les pages 2 et 15 font les « entourages » des sommets et des faces sont ceux des pages 19 et 20 du dossier 89.

Conventions, valables pour tout le dossier. \(\Phi = S \sqcup A \sqcup F\) est l'ensemble ordonné des facettes (sommets, arêtes, faces), \(E = \operatorname{Rep}(\Pi)\) l'ensemble des drapeaux maximaux — ses « repères » —, et \[ \widehat{\Gamma} = \bigl\langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \bigm| \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = 1 \bigr\rangle , \] qu'il note d'un grand \(\mathfrak{S}\) gothique d'indice \(2\), qui n'est pas le groupe symétrique¹ . \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\) ; \(D_n\) est le groupe diédral d'ordre \(2n\). L'antipodisme de l'icosaèdre, qu'il note d'un \(a\) souligné, est noté ici \(\iota\), pour laisser la lettre \(a\) aux arêtes.

Deux sens du mot « orientation ». Dans la troisième partie, une orientation d'un ensemble fini \(X\) de cardinal \(\geq 2\) est une orbite du groupe alterné \(\operatorname{Alt}_X\) sur les numérotations de \(X\) ; il y en a deux. Pour un polygone, ce n'est pas la même chose que l'orientation des pages 19 et 20 du dossier 89, qui est le choix de l'un des deux sens de parcours : les deux sens de parcours d'un pentagone définissent la même orientation de l'ensemble de ses sommets (page 21). Pour un triangle, les deux notions coïncident, et la page 23 écrit \(\operatorname{Or}(f)\) pour l'ensemble des deux ordres circulaires.

2–4

I. Polyèdres combinatoires (pages 2 à 4)

2–2

Les axiomes

On se donne des ensembles finis \(S\), \(A\), \(F\) (sommets, arêtes, faces) et des relations d'incidence \(R \subset S \times A\), \(R' \subset A \times F\). Elles font de \(\Phi = S \sqcup A \sqcup F\) un ensemble ordonné, où \(s < a\) signifie \((s, a) \in R\), \(a < f\) signifie \((a, f) \in R'\), et \(s < f\) signifie qu'il existe \(a\) avec \(s < a < f\) : \(R'' = R \circ R'\). Les axiomes sont :

1. 1)toute arête a exactement deux sommets et est bordée par exactement deux faces ;
2. 2)(propriété du losange) si \(s < f\), il y a exactement deux arêtes \(a\) avec \(s < a < f\) ;
3. 3)pour toute face \(f\), l'ensemble ordonné \(\Phi_{<f}\) est connexe ;
4. 3')pour tout sommet \(s\), l'ensemble ordonné \(\Phi_{>s}\) est connexe ;
5. 4)dans \(\Phi\), deux éléments qui ont un majorant commun ont une borne supérieure.

Par 1) et 2), \(\Phi_{<f}\) est un graphe biparti où chaque sommet et chaque arête sont de degré \(2\), c'est-à-dire une réunion disjointe de polygones ; 3) dit que c'est un seul polygone combinatoire, à \(q(f) \geq 2\) côtés. De même, \(\Phi_{>s}\) est un polygone à \(p(s) \geq 2\) côtés, dont les « sommets » sont les arêtes issues de \(s\) et les « côtés » les faces qui contiennent \(s\)² . Aujourd'hui, 1) à 3') définissent un polyèdre abstrait — un polytope abstrait de rang \(3\), au sens par exemple du livre de McMullen et Schulte (2002) —, et 4) demande que \(\Phi\), augmenté d'un plus petit et d'un plus grand élément, soit un treillis³ .

L'axiome 4), symétrique et explicité. Pour un ensemble ordonné fini, 4) équivaut à l'énoncé dual, « deux éléments qui ont un minorant commun ont une borne inférieure » : l'un et l'autre disent que \(\widehat{\Phi} = \Phi \sqcup \{\hat 0, \hat 1\}\) est un treillis, et un ensemble ordonné fini qui a toutes les bornes supérieures de deux éléments et un plus petit élément a aussi toutes les bornes inférieures. Explicitement, sous 1) à 3'), l'axiome 4) équivaut à la conjonction de

1. (i)une arête est déterminée par ses deux sommets : \(A \to \mathfrak{P}_2(S)\) est injective ;
2. (ii)deux faces distinctes ont en commun, comme facettes inférieures, soit rien, soit un sommet, soit une arête et ses deux sommets.

En effet, deux éléments distincts qui ont un minorant commun sont deux arêtes, une arête et une face, ou deux faces, et leurs minorants communs sont leurs sommets communs (et, pour deux faces, leurs arêtes communes). La borne inférieure existe si et seulement si cet ensemble a un plus grand élément : pour deux arêtes, il faut qu'elles aient au plus un sommet commun, ce qui est (i) ; pour deux faces, c'est (ii). Reste le cas d'une arête \(a = \{s, s'\}\) et d'une face \(f\) qui ne la contient pas, dont les sommets communs doivent être au plus un : s'ils étaient \(s\) et \(s'\), la face \(f'\) qui borde \(a\) rencontrerait \(f\) en \(s, s'\), donc, par (ii), en une arête de sommets \(s, s'\), distincte de \(a\), contre (i)⁴ .

2–4

Les premières conséquences

Corollaire 3 (page 4). Toute face a au moins trois côtés ; dualement, de tout sommet partent au moins trois arêtes (page 3). Une face à deux côtés aurait deux arêtes de mêmes extrémités, contre (i).

Corollaire 2 (page 4, « Cor. Main 2 »). Toute facette est la borne supérieure des sommets qu'elle majore. C'est clair pour un sommet. Pour une arête \(a = \{s, s'\}\) : \(a\) majore \(s\) et \(s'\), et tout autre majorant commun est une face qui contient \(s\) et \(s'\), donc l'arête de sommets \(s, s'\) par (ii), c'est-à-dire \(a\) par (i) ; donc \(a = \operatorname{Sup}(s,s')\). Pour une face \(f\) : la borne supérieure de deux arêtes distinctes de \(f\) est une face majorée par \(f\), donc \(f\), et, \(f\) ayant au moins deux arêtes⁵ , \[ \operatorname*{Sup}_{s < f} s \;=\; \operatorname*{Sup}_{a<f}\, \operatorname*{Sup}_{s<a} s \;=\; \operatorname*{Sup}_{a<f} a \;=\; f \] .

Corollaire 1 (pages 2 à 4). L'application \(\alpha : \Phi \to \mathfrak{P}(S)\), qui envoie une facette sur l'ensemble des sommets qu'elle majore, est un plongement d'ensembles ordonnés : \(\alpha(x) \subset \alpha(y)\) si et seulement si \(x \leq y\). Son image, augmentée de \(\varnothing\), est stable par intersection. Si \(\alpha(x) \subset \alpha(y)\), \(y\) majore tous les sommets de \(x\), donc leur borne supérieure, qui est \(x\) par le corollaire 2. Si \(x\) et \(y\) ont un minorant commun, ils ont un sommet commun, et \(\alpha(x) \cap \alpha(y) = \alpha(\operatorname{Inf}(x, y))\) ; sinon \(\alpha(x) \cap \alpha(y) = \varnothing\)⁶ . Dualement (Corollaire 4, page 4), un sommet est la borne inférieure des faces qui le contiennent, et \(S \to \mathfrak{P}(F)\) est injective⁷ .

Remarque (page 3). Pour l'icosaèdre, tout se lit sur le graphe \((S, A)\), \(A \subset \mathfrak{P}_2(S)\) : les faces sont exactement les triangles du graphe, \(F = \{f \in \mathfrak{P}_3(S) \mid \mathfrak{P}_2(f) \subset A\}\), et \(\operatorname{Aut}(\Pi)\) est le groupe des permutations de \(S\) qui envoient arêtes sur arêtes, c'est-à-dire qui conservent la distance combinatoire⁸ .

5–5

Un plan de cours sur l'icosaèdre (page 5)

La page 5 est un plan, sous le titre « Icosaèdre ». 1. Une description concrète, par un modèle ou un dessin. 2. Le dénombrement : \(12\) sommets, \(30\) arêtes, \(20\) faces, \(p = 5\) arêtes en chaque sommet, \(q = 3\) côtés à chaque face, et \(2 \cdot 30 = 5 \cdot 12 = 3 \cdot 20\). Les propriétés polyédrales, comme géométrie d'incidence et comme polyèdre combinatoire. 3. Les distances combinatoires et l'existence des bornes⁹ . 4. Les « perspectives », dont la première, par un couple de sommets opposés, a pour groupe de symétrie \(D_5\) ou \(\mathbf{Z}/2 \times D_5\) ; une parenthèse sur les groupes d'automorphismes des polygones combinatoires — les groupes diédraux. Puis la transitivité de \(G\) sur les sommets, sur les couples \(s < a\), sur les triplets \(s < a < f\) : l'icosaèdre est un polyèdre combinatoire régulier. Un NB ajoute qu'il y en a une infinité d'autres, mais que parmi eux seuls quelques-uns sont réalisables comme polyèdres convexes de l'espace de dimension \(3\) ; une note marginale propose d'interpréter l'antipodisme comme automorphisme combinatoire¹⁰ .

6–8

Trois descriptions de l'icosaèdre (pages 6 à 8)

Chacune est adaptée à un axe passant par deux éléments opposés ; elle donne l'ensemble des sommets, les arêtes par types avec leur nombre, et le groupe des symétries qui conservent l'axe, d'ordre \(120\) divisé par le nombre d'axes du type. Les figures qui les accompagnent — vues le long de l'axe, projections, un icosaèdre inscrit dans un cube — ne sont pas reproduites.

6–6

(A) Par deux sommets opposés

\(S = \{o\} \sqcup \Pi \sqcup \Pi' \sqcup \{o'\}\), où \(\Pi\) et \(\Pi'\) sont les pentagones des voisins de \(o\) et de \(o'\), et \(s \mapsto s'\) l'antipodisme, qui échange \(\Pi\) et \(\Pi'\). Les arêtes sont les \(\{o, s\}\), \(s \in \Pi\), et \(\{o', s'\}\) (\(10\)) ; les côtés des deux pentagones (\(10\)) ; et les \(\{s, t\}\), \(s \in \Pi\), \(t \in \Pi'\), avec \(\delta(t, s') = 2\), \(\delta\) étant la distance combinatoire (\(10\)) : chaque sommet d'un pentagone est relié aux deux sommets de l'autre qui ne sont ni l'antipode du sien ni ses voisins¹¹ . Groupe de symétrie \(\mathbf{Z}/2 \times D_5\), d'ordre \(20 = 120/6\), \(6 = 12/2\) étant le nombre d'axes par deux sommets.

7–8

(B) Par deux faces opposées

\(S = \Delta \sqcup \Delta_1 \sqcup \Delta'_1 \sqcup \Delta'\) : deux faces opposées \(\Delta\) et \(\Delta'\), et deux couches de trois sommets, avec des bijections \(t \mapsto t_1 \mapsto t'_1\) et \(t \mapsto t'\), où \(t_1\) est le troisième sommet de la face qui borde le côté de \(\Delta\) opposé à \(t\)¹² . Arêtes : \(\mathfrak{P}_2(\Delta)\) et \(\mathfrak{P}_2(\Delta')\) (\(6\)) ; \(\{t, u\}\), \(t \in \Delta\), \(u \in \Delta_1\), \(u \neq t_1\), et de même en primant (\(12\)) ; \(\{t_1, u\}\), \(u \in \Delta'_1\), \(u \neq t'_1\) (\(6\)) ; \(\{t, t'_1\}\) et \(\{t', t_1\}\) (\(6\)) ; au total \(30\)¹³ . Groupe de symétrie \(\mathbf{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3\), d'ordre \(12 = 120/10\), \(10 = 20/2\).

8–8

(C) Par deux arêtes opposées

Soit \(e = \{s, t\}\) une arête, \(\varphi = \{u, v\}\) les troisièmes sommets des deux faces qui la bordent, et \(e'\), \(\varphi'\) leurs antipodes. Pour \(x \in e\), \(y \in \varphi\), notons \(\Pi_{x,y}\) le voisin de \(x\) qui est adjacent à \(y\) et distinct de l'autre extrémité de \(e\). Les quatre sommets restants sont les \(\Pi_{x,y}\), et la même construction faite à partir de \(e'\) donne les mêmes : \(\Pi_{s',u'} = \Pi_{t,v}\), \(\Pi_{s',v'} = \Pi_{t,u}\), etc. D'où \[ S = e \sqcup \varphi \sqcup e' \sqcup \varphi' \sqcup \bigl[(e \times \varphi) \sqcup (e' \times \varphi')\bigr] / (\mathbf{Z}/2) , \] où l'élément non trivial de \(\mathbf{Z}/2\) envoie \((x, y)\) sur \(((\varepsilon x)', (\varepsilon y)')\), \(\varepsilon\) échangeant les deux éléments de \(e\) et de \(\varphi\) ; l'antipodisme agit sur les \(\Pi_{x,y}\) par \((x, y) \mapsto (\varepsilon x, \varepsilon y)\)¹⁴ . Les arêtes : \[ \begin{array}{lr} e,\ e' & 2 \\ \{x, y\},\ \{x', y'\} \quad (x \in e,\ y \in \varphi) & 8 \\ \{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\},\ \{\Pi_{t,u}, \Pi_{t,v}\} & 2 \\ \{y, \Pi_{x,y}\},\ \{y', \Pi_{x',y'}\} & 8 \\ \{x, \Pi_{x,y}\},\ \{x', \Pi_{x',y'}\} & 8 \\ \{u, v'\},\ \{v, u'\} & 2 \end{array} \] au total \(30\)¹⁵ . Groupe de symétrie \(\mathbf{Z}/2 \times (\mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2)\), d'ordre \(8 = 120/15\), \(15 = 30/2\).

La notation \(\Pi_{x,y}\) reviendra pages 18 à 20 : \(\{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}\) y sera l'image de l'arête \(e\) par la permutation \(\rho\).

10–16

II. Géométries d'incidence et ensembles à opérateurs (pages 10 à 16)

10–12

Drapeaux, repères, et le théorème de pleine fidélité

Soit \(\Pi = (S, A, F ; R, R')\) une géométrie d'incidence de dimension \(2\), c'est-à-dire, ici, des données comme à la page 2 satisfaisant au moins les axiomes 1) et 2)¹⁶ . Un drapeau est une partie non vide totalement ordonnée de \(\Phi\), de longueur son cardinal moins un ; la longueur maximale est \(2\), et les drapeaux de longueur \(2\) sont les repères \[ E = \operatorname{Rep}(\Pi) = \{(s, a, f) \in S \times A \times F \mid s < a < f\}. \] Les drapeaux de longueur \(0\) sont les facettes, ceux de longueur \(1\) les éléments de \(R\), \(R'\), \(R''\). Les trois applications d'oubli \(E \to R'\), \(E \to R''\), \(E \to R\), qui oublient respectivement le sommet, l'arête, la face, sont de degré \(2\) par les axiomes 1) et 2) ; elles définissent trois involutions sans point fixe \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) de \(E\), où \(\sigma_i\) change la composante de dimension \(i\) du repère et garde les deux autres. On a \[ \sigma_0\sigma_2(s, a, f) = \sigma_2\sigma_0(s, a, f) = (s', a, f'), \] \(s'\) étant l'autre sommet et \(f'\) l'autre face de \(a\), de sorte que \(\sigma_0\) et \(\sigma_2\) commutent et que \(\sigma_0\sigma_2\) est aussi sans point fixe. L'ensemble \(E\) devient ainsi un ensemble à opérateurs sous le groupe \(\widehat{\Gamma}\) des conventions¹⁷ .

Théorème (page 12). Sur les géométries d'incidence qui satisfont 1) à 3'), le foncteur \(\Pi \mapsto \operatorname{Rep}(\Pi)\), des géométries avec leurs isomorphismes vers les \(\widehat{\Gamma}\)-ensembles où \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_0\sigma_2\) opèrent sans point fixe avec leurs isomorphismes, est pleinement fidèle. On reconstitue en effet \(\Pi\) à partir de \(E\) : \[ E/\langle \sigma_1, \sigma_2 \rangle \xrightarrow{\ \sim\ } S, \qquad E/\langle \sigma_0, \sigma_2 \rangle \xrightarrow{\ \sim\ } A, \qquad E/\langle \sigma_0, \sigma_1 \rangle \xrightarrow{\ \sim\ } F . \] La flèche médiane est bijective parce que \(\langle \sigma_0, \sigma_2 \rangle \simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2\) opère librement sur la fibre d'une arête, qui a quatre éléments. La fibre d'un sommet \(s\) est l'ensemble des drapeaux du polygone \(\Phi_{>s}\), et ses orbites sous \(\langle \sigma_1, \sigma_2 \rangle\) sont les composantes connexes de ce polygone : la première flèche est bijective exactement par 3'), et la dernière par 3). Enfin \(R\) et \(R'\) sont les images de \(E\) dans \(S \times A\) et \(A \times F\)¹⁸ .

Ce codage d'un polyèdre par l'action de trois involutions sur ses drapeaux est celui qu'utilisent aujourd'hui la théorie des cartes et celle des polytopes abstraits¹⁹ .

13–14

Automorphismes, connexité, régularité

Corollaire. \(\operatorname{Aut}(\Pi) = \operatorname{Aut}_{\widehat{\Gamma}}(\operatorname{Rep}(\Pi))\).

Corollaire. Pour \(\Pi\) non vide, conditions équivalentes : a) deux sommets sont toujours reliés par une chaîne d'arêtes ; a') deux faces sont toujours reliées par une chaîne de faces adjacentes le long d'arêtes ; b) \(\Pi\) n'est pas somme disjointe de deux géométries non vides ; c) \(\widehat{\Gamma}\) opère transitivement sur \(E\). On dit alors que \(\Pi\) est connexe²⁰ .

Corollaire. Si \(\Pi\) est connexe, \(\operatorname{Aut}(\Pi)\) opère librement sur \(\operatorname{Rep}(\Pi)\) : un automorphisme d'un espace homogène qui fixe un point est l'identité. Donc, \(\Pi\) étant fini, \(\operatorname{Card}\operatorname{Aut}(\Pi)\) divise \(\operatorname{Card}\operatorname{Rep}(\Pi)\). C'est ce que la lecture du dossier 81 appelle la rigidité d'un objet repéré.

Re-corollaire. Soit \(\Pi\) connexe, \(r \in E\), \(H \subset \widehat{\Gamma}\) son stabilisateur et \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\). Conditions équivalentes :

1. a)\(G\) est transitif sur \(E\) ;
2. b)\(H\) est distingué dans \(\widehat{\Gamma}\) ;
3. c)(\(\Pi\) fini) \(\operatorname{Card} G = \operatorname{Card} E\) ;
4. d)pour tout \(g \in \widehat{\Gamma}\), il existe \(\bar g \in G\) avec \(g \cdot r = \bar g \cdot r\) ;
5. d')pour \(i = 0, 1, 2\), il existe \(\bar\sigma_i \in G\) avec \(\sigma_i \cdot r = \bar\sigma_i \cdot r\).

Pour \(E = \widehat{\Gamma}/H\), le groupe des automorphismes est \(N(H)/H\), d'où a) \(\Leftrightarrow\) b) ; c) \(\Leftrightarrow\) a) parce que l'action est libre ; d) n'est que a) puisque \(E = \widehat{\Gamma} r\) ; et d') entraîne d) parce que les automorphismes commutent aux \(\sigma_i\) : si \(h r = \bar h r\), alors \(\sigma_i h r = \bar h \sigma_i r = \bar h \bar\sigma_i r\). On dit alors que \(\Pi\) est régulière, ou que c'est un polyèdre combinatoire régulier.

Corollaire. Si \((\Pi_0, r_0)\) est un polyèdre régulier muni d'un repère et \(\Pi\) un polyèdre isomorphe, \(\operatorname{Isom}(\Pi_0, \Pi) \to \operatorname{Rep}(\Pi)\), \(\varphi \mapsto \varphi(r_0)\), est bijective : un polyèdre régulier repéré est défini à isomorphisme unique près.

Le groupe. Dans un polyèdre régulier, \(\bar g\) est unique, et \(g \mapsto \bar g\) est un anti-homomorphisme surjectif \(\widehat{\Gamma} \to G\) de noyau \(H\) : \(\overline{hg} = \bar g\,\bar h\), car \(\bar g \bar h r = \bar g h r = h \bar g r = h g r\). Composé avec \(x \mapsto x^{-1}\), c'est un homomorphisme ; ainsi \(G \simeq \widehat{\Gamma}/H\), et les \(\bar\sigma_i\) engendrent \(G\)²¹ .

15–16

Les stabilisateurs d'un polyèdre régulier

Deux blocs barrés précèdent l'énoncé. Le premier définit une orientation d'une géométrie comme une partie \(R^{+} \subset E\) telle que chaque \(\sigma_i\) l'échange avec son complémentaire \(R^{-}\) — de façon équivalente, \(R^{+}\) s'envoie bijectivement sur chacun des trois ensembles de drapeaux de longueur \(1\) —, ses éléments étant les repères directs. Le second annonce que le stabilisateur d'un sommet est diédral²² .

Proposition (pages 15 et 16, marquée « Exer »). Soit \(\Pi\) un polyèdre combinatoire régulier connexe, \(E = \operatorname{Rep}(\Pi)\), \(G = \operatorname{Aut}(\Pi)\).

1. a)Soit \(p\) l'ordre de \(\sigma_1\sigma_2\) et \(q\) celui de \(\sigma_0\sigma_1\) sur \(E\). Par tout sommet passent exactement \(p\) arêtes, et toute face a exactement \(q\) côtés. En effet, \(\langle \sigma_1, \sigma_2 \rangle\) opère sur les \(2p(s)\) repères de sommet \(s\) comme le groupe diédral du polygone \(\Phi_{>s}\), où \(\sigma_1\sigma_2\) est une rotation d'ordre \(p(s)\) ; la régularité rend \(p(s)\) constant. Par le corollaire 3 et son dual, \(3 \leq p, q\), et \(p, q \leq \infty\) si l'on admet des polyèdres infinis²³ .
2. b)Pour \(s \in S\), l'homomorphisme \(G_s \to \operatorname{Aut}(\Phi_{\geq s})\) est un isomorphisme ; en particulier \(G_s \simeq D_p\).
3. b')Pour \(f \in F\), \(G_f \to \operatorname{Aut}(\Phi_{\leq f})\) est un isomorphisme ; \(G_f \simeq D_q\).
4. c)Pour \(a \in A\), soit \(\sigma\) l'ensemble de ses deux sommets et \(\varphi\) celui de ses deux faces. Alors \(G_a \to \mathfrak{S}_\sigma \times \mathfrak{S}_\varphi \simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2\) est un isomorphisme.

Dans les trois cas, le stabilisateur opère librement et transitivement sur les repères qui contiennent la facette, et le groupe d'arrivée aussi : l'injection est une bijection²⁴ .

18–25

III. Les trièdres distingués et le groupe alterné (pages 18 à 25)

18–19

La permutation \(\rho\) des directions d'arêtes

Sous la chemise « Cours », \(\Pi\) est l'icosaèdre combinatoire, et \(\iota \in G\) son antipodisme — l'automorphisme qui envoie chaque sommet sur l'unique sommet à distance \(3\) —, sans point fixe sur \(S\), \(A\), \(F\). Les quinze paires \(\bar a = \{a, \iota a\}\) sont les directions d'arêtes : \(\bar A = A/\iota\).

Soit \(a = \{s, t\}\) une arête, et \(u, v\) les troisièmes sommets des deux faces qui la bordent. Les cinq voisins de \(s\) forment un pentagone \(t, u, \Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}, v\), où \(\Pi_{s,u}\) est le voisin de \(s\) adjacent à \(u\) autre que \(t\) (comme page 8) ; le côté de ce pentagone opposé à \(t\) est l'arête \(\{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}\). Partant de \(t\) au lieu de \(s\), on trouve \(\{\Pi_{t,u}, \Pi_{t,v}\}\), qui en est l'antipode. D'où une application \(\rho_0 : A \to \bar A\), compatible avec les automorphismes, en particulier avec \(\iota\), qui opère trivialement sur \(\bar A\) ; elle passe donc au quotient en \[ \rho : \bar A \longrightarrow \bar A . \] On calcule \(\rho^2(\bar a) = \overline{\{u, \iota v\}} = \overline{\{v, \iota u\}}\), puis \(\rho^3(\bar a) = \bar a\)²⁵ . Donc \(\rho^3 = \mathrm{id}\), \(\rho\) est une permutation sans point fixe, toutes ses orbites ont trois éléments, et il y en a cinq. Une orbite s'appelle un trièdre distingué²⁶ ; deux directions sont orthogonales si elles sont distinctes et dans le même trièdre, c'est-à-dire si \(\beta = \rho\alpha\) ou \(\alpha = \rho\beta\). Chaque direction a exactement deux directions orthogonales ; la relation d'orthogonalité est symétrique, la relation \(\beta = \rho\alpha\) ne l'est pas. On note \(T\) l'ensemble des cinq trièdres, \(\operatorname{tr} : \bar A \to T\) la projection, et l'on voit \(T\) aussi comme une partition de \(A\) en cinq parties de six arêtes, stables par \(\iota\).

Dans l'icosaèdre régulier, \(\{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}\) est orthogonale à \(\{s, t\}\) au sens euclidien, et un trièdre distingué est un repère orthogonal de l'espace formé de trois axes d'arêtes ; ce sont les axes des cinq octaèdres dont les sommets sont les milieux de six arêtes de l'icosaèdre, ou encore les axes de coordonnées des cinq façons d'écrire ses sommets \((0, \pm 1, \pm \phi)\) et permutations circulaires, \(\phi\) étant le nombre d'or²⁷ .

20–21

Les cinq arêtes d'un sommet

Proposition. Deux arêtes orthogonales n'ont pas de sommet commun. Les quatre arêtes orthogonales à \(\{s, t\}\) sont \(\{\Pi_{s,u}, \Pi_{s,v}\}\), \(\{\Pi_{t,u}, \Pi_{t,v}\}\), \(\{u, \iota v\}\) et \(\{v, \iota u\}\) ; aucune ne rencontre \(\{s, t\}\).

Ainsi chaque classe de \(T\) est un ensemble de six arêtes deux à deux sans sommet commun, couvrant les douze sommets : la partition \(T\) est une coloration propre des arêtes en cinq couleurs, chaque sommet voyant les cinq couleurs²⁸ .

Corollaire. Pour tout \(s \in S\), si \(P(s)\) est l'ensemble des cinq arêtes issues de \(s\), \(a \mapsto \operatorname{tr}(\bar a)\) est une bijection \(P(s) \xrightarrow{\sim} T\) : deux arêtes issues de \(s\) ne sont ni de même direction ni orthogonales, et les deux ensembles ont cinq éléments.

Corollaire. Le groupe \(G_s^{+} \simeq \mathbf{Z}/5\) des rotations fixant \(s\) — les automorphismes fixant \(s\) qui induisent une rotation du pentagone \(\Phi_{\geq s}\) — fait de \(T\) un torseur ; un générateur opère sur \(T\) par une permutation circulaire, et \(G_s^{+}\) opère par permutations paires, un cycle de longueur impaire étant pair.

Le cas de tout \(G_s\) (pages 20 et 21). Plus généralement, les automorphismes d'un polygone combinatoire à \(n \equiv 1 \pmod 4\) côtés induisent des permutations paires de ses sommets et de ses côtés : pour \(n\) impair, une rotation est une puissance d'un \(n\)-cycle, et une symétrie fixe un sommet et un côté et échange les autres par \((n-1)/2\) transpositions, nombre pair exactement quand \(n \equiv 1 \pmod 4\). Par conséquent, pour un tel polygone, toutes les numérotations de ses sommets obtenues en le parcourant à partir d'un repère définissent la même orientation de l'ensemble de ses sommets : un pentagone oriente canoniquement ses cinq sommets²⁹ . Appliqué au pentagone \(\Phi_{\geq s}\) et transporté par \(P(s) \simeq T\), cela munit \(T\) d'une structure pentagonale \(\pi_s\), invariante par \(G_s \simeq D_5\), et d'une orientation \(\omega_s\) ; \(G_s\) opère fidèlement sur \(T\), par permutations paires.

21–22

L'orientation canonique de \(T\)

Fixons un repère \(r = (s, a, f)\) ; les automorphismes \(\bar\sigma_0, \bar\sigma_1, \bar\sigma_2\) de la page 14 engendrent \(G\). Les deux derniers fixent \(s\), donc opèrent sur \(T\) par permutations paires ; \(\bar\sigma_0\) fixe \(a\) et \(f\) en échangeant les extrémités de \(a\), donc fixe le troisième sommet \(w\) de \(f\), et opère aussi par une permutation paire³⁰ .

Corollaire. \(G\) opère sur \(T\) par permutations paires : on a un homomorphisme \(G \to \operatorname{Alt}_T\).

Corollaire. Les orientations \(\omega_s\), \(s \in S\), sont toutes égales. En effet \(\omega_{g(s)} = g(\omega_s)\) pour \(g \in G\), \(G\) est transitif sur \(S\), et une permutation paire conserve chaque orientation. On obtient une orientation canonique \(\varpi\) de \(T\), conservée par \(G\).

23–25

Une face, une arête, et l'image de \(G\)

Proposition (page 23)³¹ . Soit \(f = \{u, v, w\}\) une face, et \(u_1\), \(v_1\), \(w_1\) les troisièmes sommets des faces qui bordent respectivement les côtés \(\{v, w\}\), \(\{w, u\}\), \(\{u, v\}\).

1. a)Les directions \(\overline{\{u, v_1\}}\), \(\overline{\{v, w_1\}}\), \(\overline{\{w, u_1\}}\) forment un trièdre distingué \(t_\omega\), et \(\overline{\{u, w_1\}}\), \(\overline{\{v, u_1\}}\), \(\overline{\{w, v_1\}}\) un autre, \(t_{\omega'}\) ; la rotation d'ordre \(3\) autour de \(f\) les permute circulairement. Ils correspondent aux deux ordres circulaires \(\omega = (u\,v\,w)\) et \(\omega' = (u\,w\,v)\) de \(f\) : \(t_\omega\) est formé des directions \(\overline{\{x, \omega(x)_1\}}\).
2. b)Les trièdres \(t_u = \operatorname{tr}\overline{\{v, w\}}\), \(t_v = \operatorname{tr}\overline{\{w, u\}}\), \(t_w = \operatorname{tr}\overline{\{u, v\}}\), \(t_\omega\) et \(t_{\omega'}\) sont distincts.

Pour b), \(t_u, t_v, t_w\) sont distincts par le corollaire de la page 20 appliqué aux sommets de \(f\), et \(t_u \neq t_\omega = \operatorname{tr} \overline{\{w, u_1\}}\), \(t_u \neq t_{\omega'} = \operatorname{tr}\overline{\{v, u_1\}}\) par le même corollaire appliqué à \(w\) et à \(v\) ; de même pour \(t_v\), \(t_w\).

Corollaire. On a une bijection canonique \[ T \simeq f \sqcup \operatorname{Or}(f), \] qui envoie un sommet \(x\) de \(f\) sur le trièdre du côté opposé et un ordre circulaire \(\omega\) sur \(t_\omega\). Elle est compatible à l'action de \(G_f \simeq D_3 = \mathfrak{S}_3\), qui opère sur \(f\) tautologiquement et sur \(\operatorname{Or}(f)\) par la signature. Donc \(G_f\) opère fidèlement sur \(T\) — une transposition de \(f\) y devient un produit de deux transpositions, ce qui redonne la parité — et son image dans \(\operatorname{Alt}_T\) est un sous-groupe diédral d'ordre \(6\). L'image de \(G\) dans \(\operatorname{Alt}_T\) a donc un ordre multiple de \(6\), et, par \(G_s\), de \(10\) : multiple de \(30\).

Proposition (page 24). Soit \(a = \{s, t\}\) une arête et \(\varphi = \{u, v\}\) les troisièmes sommets des faces qui la bordent. Les cinq trièdres \(\operatorname{tr}\overline{\{x, y\}}\) (\(x \in a\), \(y \in \varphi\)) et \(\operatorname{tr}\bar a\) sont distincts, d'où une bijection canonique \[ T \simeq \{\operatorname{tr}\bar a\} \sqcup (a \times \varphi). \] C'est le corollaire précédent appliqué à la face \(\{s, t, u\}\) : ses côtés donnent \(\operatorname{tr}\overline{\{t,u\}}\), \(\operatorname{tr} \overline{\{s,u\}}\), \(\operatorname{tr}\bar a\), et ses deux trièdres \(t_\omega\), \(t_{\omega'}\) contiennent \(\overline{\{s, v\}}\) et \(\overline{\{t, v\}}\), \(v\) étant le troisième sommet de la face voisine le long de \(a\)³² . Le groupe \(G_a \simeq \mathfrak{S}_a \times \mathfrak{S}_\varphi \simeq (\mathbf{Z}/2)^2\) (page 16) opère fidèlement sur \(a \times \varphi\), donc sur \(T\), par des doubles transpositions : l'ordre de l'image de \(G\) est aussi multiple de \(4\), donc de \(60 = \operatorname{Card}\operatorname{Alt}_T\).

Théorème (page 25). L'homomorphisme canonique \(G = \operatorname{Aut}(\Pi) \to \mathfrak{S}_T\), de l'ensemble des trièdres distingués de l'icosaèdre, a pour image \(\operatorname{Alt}_T\) et pour noyau le sous-groupe \(\mathfrak{z}\) d'ordre \(2\) engendré par l'antipodisme. Le noyau a \(120/60 = 2\) éléments et contient \(\iota\), qui fixe chaque direction.

Soit \(G^{+}\) le sous-groupe d'indice \(2\) des automorphismes qui conservent l'orientation de l'icosaèdre, c'est-à-dire chacune des deux classes \(R^{+}\), \(R^{-}\) de repères de la page 15. L'antipodisme est central et renverse l'orientation ; donc \(G = \mathfrak{z} \times G^{+}\), et :

Corollaire (page 26). \(G^{+} \to \operatorname{Alt}_T\) est un isomorphisme : le groupe des rotations de l'icosaèdre est le groupe alterné de ses cinq trièdres distingués.³³

26–30

Reconstruction de l'icosaèdre gauche par l'ensemble orienté \(T\) (pages 26 à 30)

Le titre de la page 26 annonce la reconstruction de l'icosaèdre orienté ; ce qui est fait est celle de l'icosaèdre gauche \(\bar\Pi = \Pi/\iota\), quotient de l'icosaèdre par l'antipodisme : \(6\) sommets, \(15\) arêtes, \(10\) faces, \(60\) repères³⁴ . Dans tout ce qui suit, \((T, \varpi)\) est l'ensemble des cinq trièdres muni de son orientation canonique, et \(G\) opère sur tout à travers \(\operatorname{Alt}_T\).

26–27

Les sommets, les arêtes, les faces

Sommets. Il y a \(\frac12 \cdot 4! = 12\) structures pentagonales sur \(T\). Chacune oriente canoniquement \(T\) (page 21) ; les permutations impaires échangent les deux paquets, et \(\operatorname{Alt}_T\), qui contient le stabilisateur \(D_5\) de chacune, opère transitivement sur chaque paquet de \(6\). Soit \(\operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\) le paquet associé à \(\varpi\). L'application \(s \mapsto \pi_s\) est compatible avec \(G\) et ne change pas quand on remplace \(s\) par \(\iota s\) ; son image est dans \(\operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\) par définition de \(\varpi\). Elle est surjective par transitivité, donc bijective, les deux ensembles ayant \(6\) éléments : \[ S/\iota \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi). \]

Arêtes. Soit \(\mathbb{A}(T)\) l'ensemble des triplets \((t, \gamma, \alpha)\), où \(t \in T\), \(\gamma\) est une structure de carré sur \(T \smallsetminus \{t\}\), et \(\alpha\) l'une des deux paires de côtés opposés de \(\gamma\) ; il a \(5 \cdot \frac12 (4-1)! \cdot 2 = 30\) éléments³⁵ . Si \(\varphi\) est l'autre paire de côtés opposés, chaque sommet du carré est sur un côté de \(\alpha\) et un côté de \(\varphi\), d'où une bijection \(T \smallsetminus \{t\} \simeq \alpha \times \varphi\), donc \[ T \simeq \{t\} \sqcup (\alpha \times \varphi), \] comme pour une arête page 24. Cette bijection oriente \(T\) : on numérote \(t\), puis \(\alpha \times \varphi\) dans l'ordre lexicographique, et changer l'ordre de \(\alpha\) ou celui de \(\varphi\) revient à une double transposition. Ainsi \(\mathbb{A}(T)\) se partage en deux paquets de \(15\), échangés par les permutations impaires, sur chacun desquels \(\operatorname{Alt}_T\) opère transitivement. L'application qui envoie une arête \(a\) de \(\Pi\) sur le triplet \((\operatorname{tr}\bar a, \gamma, \alpha)\) obtenu par la bijection de la page 24, \(\alpha\) étant la paire de côtés de \(a \times \varphi\) le long desquels l'extrémité dans \(a\) est fixe, est compatible avec \(G\) et invariante par \(\iota\) ; son image est donc un des deux paquets, que l'on note \(\mathbb{A}^{+}(T, \varpi)\)³⁶ , et, comme pour les sommets, \[ A/\iota \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{A}^{+}(T, \varpi). \]

Faces. La face \(f\) s'envoie sur la paire \(\Omega_f = \{t_\omega, t_{\omega'}\}\) de la page 23, et \(\iota f\) sur la même. Comme \(\operatorname{Alt}_T\) est transitif sur les dix parties à deux éléments, \[ F/\iota \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{P}_2(T). \] Le complémentaire \(T \smallsetminus \Omega_f = \{t_u, t_v, t_w\}\) est l'image des sommets de \(f\) : c'est sous cette forme, par des parties à trois éléments, que la page 31 décrira les faces.

28–30

Les incidences et les repères

On écrit \(\bar s \leftrightarrow \pi\), \(\bar a \leftrightarrow (t, \gamma, \alpha)\), \(\bar f \leftrightarrow \Omega\).

Proposition (pages 28 et 29).

1. a)\(\bar s\) et \(\bar a\) sont incidents si et seulement si \(\gamma\) se déduit de \(\pi\) en \(t\) : si \(u, v\) sont les voisins de \(t\) dans \(\pi\), \(\tilde u \neq t\) le voisin de \(u\) et \(\tilde v \neq t\) celui de \(v\), \(\gamma\) est le carré de diagonales \(\{u, \tilde u\}\), \(\{v, \tilde v\}\), de côtés \(\{u, v\}\), \(\{v, \tilde u\}\), \(\{\tilde u, \tilde v\}\), \(\{\tilde v, u\}\), et \(\alpha = \bigl\{\{u, v\}, \{\tilde u, \tilde v\}\bigr\}\). Par suite, les couples sommet-arête incidents s'identifient aux couples \((\pi, t)\) : \(\vec A(\bar\Pi) \simeq S(\bar\Pi) \times T\).
2. b)\(\bar a\) et \(\bar f\) sont incidents si et seulement si \(t \notin \Omega\) et \(\Omega\) est un côté de \(\gamma\) qui n'est pas dans \(\alpha\). Une arête est ainsi sur deux faces, et une face a trois côtés, un par élément \(\tau \notin \Omega\). Les couples arête-face incidents s'identifient aux couples \((\Omega, \Omega')\) de parties à deux éléments disjointes, \(\Omega'\) étant le côté opposé à \(\Omega\) dans \(\gamma\).
3. c)\(\bar s\) et \(\bar f\) sont incidents si et seulement si \(\Omega\) est une diagonale — une « anti-arête » — de \(\pi\) ; les couples sommet-face incidents sont les structures pentagonales munies d'une diagonale.
4. d)Les repères de \(\bar\Pi\) correspondent aux triplets \((\pi, \tau, \Omega)\) avec \(\pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\), \(\tau \in T\), \(\Omega\) une diagonale de \(\pi\) ne contenant pas \(\tau\) et contenant exactement un voisin de \(\tau\) : pour \(\pi\) et \(\tau\) donnés (\(6 \cdot 5\) choix), il y a deux telles \(\Omega\), d'où les \(60\) repères. L'arête est \((\tau, \gamma, \alpha)\), avec \(\gamma\) et \(\alpha\) déduits de \(\pi\) en \(\tau\) comme en a).

Pour b), étant donnés \(\Omega\) et \(\tau \notin \Omega\), il y a exactement deux structures de carré sur \(T \smallsetminus \{\tau\}\) ayant \(\Omega\) et son complémentaire \(\Omega'\) pour côtés opposés — elles correspondent aux deux bijections de non-adjacence entre \(\Omega\) et \(\Omega'\) —, et les deux orientations qu'elles définissent, avec pour \(\alpha\) l'autre paire de côtés, sont opposées : une seule donne un élément de \(\mathbb{A}^{+}(T, \varpi)\)³⁷ .

Les repères comme numérotations (page 30). Un repère \((\pi, \tau, \Omega)\) définit une numérotation \(T = \{t_0, t_1, t_2, t_3, t_4\}\) : \(t_0 = \tau\), \(t_1\) l'élément de \(\Omega\) adjacent à \(\tau\), et l'on parcourt \(\pi\) dans ce sens, de sorte que \(\Omega = \{t_1, t_3\}\). Elle est compatible avec \(\varpi\), puisque \(\pi \in \operatorname{Pent}^{+}(T, \varpi)\) et que tout parcours d'un pentagone définit son orientation canonique. Réciproquement, une numérotation compatible avec \(\varpi\) donne \(\pi = (t_0\,t_1\,t_2\,t_3\,t_4)\), \(\tau = t_0\), \(\Omega = \{t_1, t_3\}\). Les \(60\) repères de l'icosaèdre gauche sont ainsi les \(60\) numérotations de \(T\) compatibles avec \(\varpi\)³⁸ .

Ce qui reste. La page 30 s'achève sur un programme : expliciter, en termes de \((T, \varpi)\) et pour \(\Pi\) orienté, les ensembles \(\tilde S(\bar\Pi) \simeq S(\Pi)\), \(\tilde A(\bar\Pi) \simeq A(\Pi)\), \(\tilde F(\bar\Pi) \simeq F(\Pi)\) — c'est-à-dire remonter de l'icosaèdre gauche à l'icosaèdre —, et décrire directement \(\bar\Pi\) comme polyèdre quotient. Le premier point reçoit, pour les ensembles, la réponse du tableau de la page 31 ; les incidences de \(\Pi\) ne sont pas écrites.

31–32

Le tableau des drapeaux de l'icosaèdre gauche (pages 31 et 32)

Ces deux pages, d'une autre encre et d'une main plus posée, reprennent le résultat dans un cadre abstrait : \(E\) est un ensemble à cinq éléments, \(\omega\) une orientation de \(E\)³⁹ . Un diagramme range les ensembles de drapeaux par type, \(D^{0} = S\), \(D^{1} = A\), \(D^{2} = F\), \(D^{01} = \vec A\), \(D^{12} = A^{\uparrow}\), \(D^{02} = A^{\wedge}\), \(D^{012} = A^{\uparrow\to}\), avec au-dessus \(\tilde S\), \(\tilde A\), \(\tilde F\) ; le tableau en donne les descriptions, dont on vérifie les cardinaux⁴⁰ : \[ \begin{array}{lll} S \simeq \operatorname{Pent}_\omega(E) & \text{pentagones compatibles avec } \omega & 6 \\ A \simeq \operatorname{Car}(E) & \text{partitions de type } (2,2,1) & 15 \\ F \simeq \operatorname{Tr}_3(E) & \text{parties à trois éléments} & 10 \\ \vec A \simeq \operatorname{Pent}^{s}_\omega(E) & \text{pentagones à sommet marqué} & 30 \\ A^{\uparrow} & \text{triangles pointés} & 30 \\ A^{\wedge} \simeq \operatorname{Pent}^{a}_\omega(E) & \text{pentagones à arête marquée} & 30 \\ A^{\uparrow\to} \simeq \operatorname{Rep}_\omega(E) & \text{ordres totaux compatibles avec } \omega & 60 \\ \tilde S & \text{permutations circulaires compatibles avec } \omega & 12 \\ \tilde A & \text{carrés orientés} & 30 \\ \tilde F & \text{triangles orientés} & 20 \end{array} \] Les trois dernières lignes ont les cardinaux de \(S(\Pi)\), \(A(\Pi)\), \(F(\Pi)\) : elles décrivent l'icosaèdre lui-même. On peut lire \(\tilde S\), \(\tilde A\), \(\tilde F\) comme les quotients de l'ensemble des repères de \(\bar\Pi\) par les rotations \(\sigma_2\sigma_1\), \(\sigma_0\sigma_2\), \(\sigma_1\sigma_0\) — un sommet de \(\Pi\) est un sommet de \(\bar\Pi\) muni d'un sens de rotation autour de lui —, ce qui fait de \(\Pi\) le revêtement d'orientation de \(\bar\Pi\)⁴¹ .

Les involutions. Un repère étant un ordre total \((a_1, \ldots, a_5)\) compatible avec \(\omega\), la page donne \[ \begin{aligned} \sigma_0(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_4, a_5, a_2, a_3), \\ \sigma_1(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_2, a_1, a_5, a_4, a_3), \\ \sigma_2(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) &= (a_1, a_5, a_4, a_3, a_2), \end{aligned} \] trois doubles transpositions des places, et, page 32, en composant de droite à gauche, \[ \begin{aligned} \rho_f = \sigma_1\sigma_0 &: (a_1, \ldots, a_5) \mapsto (a_4, a_1, a_3, a_2, a_5), \\ \rho_s = \sigma_2\sigma_1 &: (a_1, \ldots, a_5) \mapsto (a_2, a_3, a_4, a_5, a_1), \\ \sigma_0\sigma_2 &: (a_1, \ldots, a_5) \mapsto (a_1, a_3, a_2, a_5, a_4), \end{aligned} \] d'ordres \(3\), \(5\) et \(2\) : ce sont les relations du groupe \(\widehat{\Gamma}\) et le type \((p, q) = (5, 3)\). Les trois permutations engendrent une action simplement transitive sur les \(60\) ordres compatibles avec \(\omega\), isomorphe à l'action des \(\sigma_i\) sur les repères de l'icosaèdre gauche⁴² . Le dossier s'arrête là ; le reste de la page 32 est blanc.