Fonds Grothendieck, cote n° 85, pages 81–97 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-27
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)85
2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Pages 81 à 97 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 5 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/85.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
Opérations sur systèmes de Schwartz
ces mots sont de sa main, à l'encre, en haut à droite d'un feuillet de couverture (page 81), qui ne porte rien d'autre ; « Schwartz » est ainsi orthographié. En haut, au crayon, « (12 p) », qui compte les douze feuillets suivants (pages 82 à 93). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page
première page de la série annoncée par la couverture (page 81) ; les générateurs sont soulignés, et le sont jusqu'à la fin de la série
Soit \mathcal{T}(H)\subset H^3 l'ens. de ces triples ; \mathrm{Sch}(H) \subset \mathcal{T}(H)
Soit \Pi_0 le groupe engendré par les générateurs \underline{\ell}_0, \underline{\ell}_1, \underline{\ell}_2, soumis :
\underline{\ell}_0\, \underline{\ell}_1\, \underline{\ell}_2 = 1
et soit \widehat{\Pi} son complété profini. Un hom. de \Pi_0 dans un groupe H (ou de \widehat{\Pi} dans un groupe H fini) équivaut : à la donnée de \rho_0, \rho_1, \rho_2 \in H satisfaisant \rho_0 \rho_1 \rho_2 = 1. L'hom. \Pi_0 \to H (\widehat{\Pi} \to H) est surjectif ssi (\rho_0, \rho_1, \rho_2) est un syst. de Schwartz.
au-dessus du chapeau de \widehat{\Pi}, ici et plus bas, deux ou trois petites lettres, biffées la première fois, que nous ne lisons pas ; nous écrivons partout \widehat{\Pi}
Soit \Pi le groupe des\begin{array}{l}
\Omega_0 = \mathrm{Aut}(\Pi_0) \\
\downarrow \\
\Omega = \mathrm{Aut}(\widehat{\Pi})
\end{array}
Alors \Omega_0 (resp. \Omega, si H fini) opère à droite sur \underline{\mathrm{Hom}}(\Pi_0, H)(\simeq \mathcal{T}(H)) (\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\widehat{\Pi}, H) si H fini) et sur le sous-ensemble \mathrm{Schw}(H). On a
\begin{array}{l}
1 \longrightarrow \Pi_0 \longrightarrow \Omega_0 \longrightarrow \widetilde{\Omega}_0 \longrightarrow 1, \qquad \widetilde{\Omega}_0 = \mathrm{Autext}(\Pi_0) \\[4pt]
1 \xrightarrow{\ ?\ } \widehat{\Pi} \longrightarrow \Omega \longrightarrow \widetilde{\Omega} \longrightarrow 1, \qquad \widetilde{\Omega} = \mathrm{Autext}(\widehat{\Pi})
\end{array}le « ? » est écrit au-dessus de la première flèche de la seconde suite
et deux éléments de \underline{\mathrm{Hom}}(\Pi_0, H)\mathcal{T}(H) (\widehat{\Pi}) sont conjugués sous \Pi dans H — l'inverse étant vrai pour les élts de \mathrm{Schw}(H). Ainsi \widetilde{\Omega}_0 (\widetilde{\Omega}) opère sur \widetilde{\mathcal{T}}(H) = \mathcal{T}(H)/H et sur \widetilde{\mathrm{Sch}}(H) = \mathrm{Sch}(H)/H = \mathrm{Sch}(H)/\Pi_0\widehat{\Pi}.
« \widehat{\Pi} » est écrit sous « \Pi_0 », en variante
Dans une des syst. de Schwartz relatifs à H, il convient de tenir compte des opérations () de \Omega_0, ou \Omega — et par \widetilde{\Omega}_0, \widetilde{\Omega}grâce\widetilde{\mathrm{Sch}}(H).
une ligne de formule biffée ferme la page
\mathfrak{S}_3 opère [fidèlement] sur \Pi_0resp.\widehat{\Pi}, par
\sigma(\underline{\ell}_i) =
\begin{cases}
\ell_{\sigma(i)} & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_3^{+} \\
\ell_{\sigma(i)}^{-1} & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_3^{-}
\end{cases}
On a donc des injections
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{S}_3 \hookrightarrow \Omega_0 & \qquad & \mathfrak{S}_3 \hookrightarrow \widetilde{\Omega}_0 \\
\searrow \ \ \downarrow & \text{d'où} & \searrow \ \ \downarrow \\
\Omega & & \widetilde{\Omega}
\end{array}deux triangles : \mathfrak{S}_3 s'envoie par une injection (flèche à crochet) dans \Omega_0 (resp. \widetilde{\Omega}_0), puis par la flèche verticale dans \Omega (resp. \widetilde{\Omega}) ; la diagonale part aussi de \mathfrak{S}_3 avec un crochet
[l'injectivité \mathfrak{S}_3 \to \widetilde{\Omega} se vérifie immédiatement]
Soit
\gamma_0 = \mathbb{Z}^{*}, \qquad \gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*}
On va définir trois op. de \gamma_0 \times \gamma_0 sur \Omega_0, et de \gamma \times \gamma sur \Omega, notées \rhoi.e.\varepsilon, \varepsilon' \in \gamma_0 \times \gamma_0 ou \gamma \times \gamma, par \rho_{\cdot\varepsilon,\varepsilon'}, \rho_{\varepsilon\cdot\varepsilon'}, \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot} les de (\varepsilon, \varepsilon') par ces trois opérations. On pose donc\left\lbrace
\begin{array}{lll}
\rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_0) = \ell_0^{\varepsilon}, & \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_1) = \ell_1^{\varepsilon'}, & \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_2) = \ell_1^{-\varepsilon'}\ell_0^{-\varepsilon} \\[3pt]
\rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_1) = \ell_1^{\varepsilon}, & \rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_2) = \ell_2^{\varepsilon'}, & \rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_0) = \ell_2^{-\varepsilon'}\ell_2^{-\varepsilon} \\[3pt]
\rho_{\varepsilon\cdot\varepsilon}(\ell_2) = \ell_2^{\varepsilon}, & \rho_{\varepsilon'\cdot\varepsilon}(\ell_0) = \ell_0^{\varepsilon'}, & \rho_{\varepsilon'\cdot\varepsilon}(\ell_1) = \ell_0^{-\varepsilon'}\ell_2^{-\varepsilon}
\end{array}
\right.la place du point dans les indices, qui dit sur quel générateur l'opération agit trivialement, se lit mal et n'est pas toujours la même d'une ligne à l'autre ; nous la donnons telle que nous la voyons, sans l'uniformiser. Le « donc » est écrit au-dessus de la troisième colonne. Deuxième ligne, troisième colonne : on lit deux fois \ell_2, où l'on attendrait \ell_2^{-\varepsilon'}\ell_1^{-\varepsilon} ; nous transcrivons tel quel
On définit aussi, si I est une partie à deux él. de \lbrace 0, 1, 2\rbrace
De façon plus intrinsèque, si I est une partie à 2 él. de \lbrace 0,1,2\rbrace = \Delta_2, on définit des hom.
\begin{array}{rcl}
\rho_0^{I} : \gamma_0^{I} & \longrightarrow & \Omega_0 \\
\downarrow & & \downarrow \\
\rho^{I} : \gamma^{I} & \longrightarrow & \Omega
\end{array} un \varepsilon = (\varepsilon_i)_{i \in I}\Omega_0 (resp. \Omega) par l'action de \varepsilon.\rho_0^{I}(\varepsilon)(\underline{\ell}_i) = \underline{\ell}_i^{\,\varepsilon_i} \qquad (i \in I)et qui \Omega_0 \simeq \mathbb{Z}^{(*I)} — puissancelibre.
Les relations entre les de \mathfrak{S}_3 et les \rho^{I}
s'expriment comme suit : si \sigma \in \mathfrak{S}_3, et \widetilde{\sigma}_{\Omega} est l'op. sur \Omega_0 (ou \Omega), …
« s'expriment » est écrit au-dessus des mots biffés ; la phrase continue celle qui termine la page 83\left\lbrace
\begin{array}{l}
\widetilde{\sigma}_{\Omega}\, \rho^{I}(\varepsilon)\, \sigma_{\Omega}^{-1} = \rho^{\sigma I}(\sigma\varepsilon) \qquad \text{\uncertain{i.e.}} \\[3pt]
\sigma_{\Omega}\, \rho^{I}(\varepsilon) = \rho^{\sigma I}(\sigma\varepsilon)\, \sigma_{\Omega}
\end{array}
\right.
Ceci montre que le s/groupe des \Omega_0 (resp.\widetilde{\Omega}_0, … \Omega, … \widetilde{\Omega}) engendré par \mathfrak{S}_3 et \rho^{I}(\gamma_0^{I}) (resp. \rho^{I}(\gamma^{I}))
[il suffit = \ill{}\mathfrak{S}_3 et des \rho^{I}(\gamma_0^{(i)}) ( possibilités)] par \mathfrak{S}_3 et , les 3 \rho^{I}(\gamma_0^{I}) (resp. \rho^{I}(\gamma^{I})) =, notés\Omega_0^{+}, \widetilde{\Omega}_0^{+}, \Omega^{+}, \widetilde{\Omega}^{+} ;
et engendré par les \rho^{I}(\gamma_0^{I}) (\rho^{I}(\gamma^{I})) s/-groupe \mathbb{E}\mathrm{l}_0, \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}_0, \mathbb{E}\mathrm{l}, \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}(groupe des « éliminations »)les quatre noms \mathbb{E}\mathrm{l}_0, \ldots sont écrits au-dessus de la ligne ; la note marginale, en regard, dit d'où vient le nom. La lecture « éliminations » est la nôtre, le mot est entre guillemets sur la page un groupe quotient \mathfrak{S}_3 à priori, mais qu'il [ :] \mathfrak{S}_3, fait d'un produit ½ direct de \mathfrak{S}_3 et de :
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\Omega_0^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}_0 & \qquad \widetilde{\Omega}_0^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}_0 \\[3pt]
\Omega^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l} & \qquad \widetilde{\Omega}^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}
\end{array}
\right.il écrit le produit semi-direct \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} G, un point avec « ½ » en indice ; nous gardons son écriture dans toute la série
QuestionsConstruction Soient \mathfrak{S}, \gamma deux groupes. Considérons le produit libre \mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma. On a un hom.
\mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma \longrightarrow \mathfrak{S}\mathcal{L} = dont le noyau est le ss-groupe normal de \mathfrak{S} * \gamma engendré par 1 * \gamma \subset \mathfrak{S} * \gamma. une section \mathfrak{S} \hookrightarrow \mathcal{L}, « Construction » est souligné deux fois, sous « Questions » biffé
une décomposition en produit ½ direct
\mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma \simeq \mathfrak{S} \cdot_{1/2} \mathcal{E}
On va interpréter \mathcal{E} un hom. ()
\gamma \overset{\rho}{\hookrightarrow} \mathcal{E}
et une op. de \mathfrak{S} sur \mathcal{E}, d'où pour \sigma \in \mathfrak{S} un hom.
\gamma \xrightarrow{\ {}^{\sigma}\!\rho\ } \mathcal{E} \qquad {}^{\sigma}\!\rho = \sigma_{\mathcal{E}} \circ \rho \quad \struck{\ill{}}
La famille des hom. permet de définir un hom.
\gamma^{(*\mathfrak{S})} \longrightarrow \mathcal{E}(prod.libre)
et une op. de D'ailleurs l'op. de \mathfrak{S} sur \mathfrak{S} permet de faire opérer \mathfrak{S} sur le prod. libre \gamma^{(*\mathfrak{S})}, et que l'hom. précédent est compatible . En fait, au-dessus de la ligne biffée, deux mots (« D. … », « … ») que nous ne lisons pas\mathfrak{S} \cdot_{1/2} \bigl(\gamma^{(*\mathfrak{S})}\bigr) \longrightarrow \mathcal{L} \simeq \mathfrak{S} \cdot_{1/2} \mathcal{E}
On voit de suite que cet hom. est un iso (cf. propriété universelle) donc
\gamma^{(*\mathfrak{S})} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{E} \qquad \emph{iso}le second « iso » est souligné deux fois
En prenant \mathfrak{S} = \mathfrak{S}_3, \gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*}, on trouve donc
On peutprendre au sensprofini…\begin{array}{c}
\mathfrak{S}_3 * \gamma \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \gamma^{(*\mathfrak{S}_3)} \\
\Big\downarrow \ \text{\small via l'op.\ de $\mathfrak{S}_3$ sur $\Omega$ et $\rho_{\varepsilon 1\cdot}$} \\
\Omega
\end{array}
Cet hom. n'est pas injectif — des relations, notamment exprimant la commutation des \rho_{\varepsilon 1 \cdot} et \rho_{1\varepsilon'\cdot} = \pi \rho_{\varepsilon 1\cdot} \pi^{-1} (\pi = \pi_{01} transposition de 0 et 1) dont on va définir un groupe quotient par les relations exprimant
\rho^{\pi}_{\varepsilon} \ \text{\uncertain{commutent}} : \quad \rho^{1}(\varepsilon\varepsilon') \qquad (\varepsilon, \varepsilon' \in \gamma)ligne serrée et peu lisible ; la formule de gauche porte sous \rho un indice surchargé
On trouve
\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathcal{E}, \qquad \mathcal{E} \simeq (\gamma^2 * \gamma^2 * \gamma^2) = (\gamma^2)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi)} \quad (\uncertain{produit})la flèche « \simeq » part de \mathcal{E}, écrit sous le produit semi-direct
où \mathcal{E} est le produit libre des trois copies de \gamma^2, permutées transitivement entre elles par les op. de \mathfrak{S}_3, et un hom.
\gamma_0 = \lbrace \pm 1\rbracedans les deux diagrammes la flèche verticale part de \Omega^{+} (resp. \Omega_0^{+}), et une inclusion « \cap » relie aussi \Omega à \widetilde{\Omega} au-dessus du second terme ; le « \sim » est écrit sur la flèche \Omega_0 \to \widetilde{\Omega}_0. La note « \gamma_0 = \lbrace\pm 1\rbrace » est dans le coin inférieur gauche
?
Par exemple, = de \Omega^{+}, il est clair que les images sont les \Omega^{+} (mais \Omega^{+} = \Omega ?) L'image de \mathcal{E}= (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} (resp.\mathcal{E}_0) est évidemment \mathbb{E}\mathrm{l} (resp. \mathbb{E}\mathrm{l}_0)…
On a un hom. d'inclusion \gamma_0 \to \gamma, définissant
\begin{array}{ccc}
(\gamma_0 \times \gamma_0)^{*(\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} & \longrightarrow & (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \\
\| & & \| \\
\mathcal{E}_0 & & \mathcal{E}
\end{array}
et :
On a :
\begin{array}{ccccccc}
\gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} & \longrightarrow & (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^{*} & \xrightarrow{\ \sim\ } & (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{*} & \simeq & \pm 1 \\
\uparrow & & \uparrow \chi_2 & & & & \\
\gamma_0 = \mathbb{Z}^{*} & & \chi_0 = \ill{} & & & &
\end{array}schéma remanié : sous \gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} une double flèche verticale, en partie surchargée, le relie à \gamma_0 = \mathbb{Z}^{*} ; sous (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^{*} une flèche marquée \chi_2 ; de \gamma_0 partent un long trait souligné et deux flèches obliques vers \pm 1, l'une barrée de gribouillis ; l'expression « \chi_0 = \ldots » est surchargée hom. \gamma \to \gamma_0inverse à g. de \gamma_0 \hookrightarrow \gamma,
\begin{array}{llll}
\text{d'où} & \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{E}_0 & \ill{} & \text{inv.\ à g.\ de } \mathcal{E}_0 \to \mathcal{E} \\
\text{d'où} & \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E} \longrightarrow \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E}_0 & &
\end{array} : . faut considérer
\overline{\Pi}(6) = \text{quotient de } \Pi \text{ par \struck{\ill{}} \uncertain{relations}} \ g^{6} = 1 \ (g \in \Pi_0) \qquad (\ill{})les mots « (\ill{}) » sont au-dessus de la fin de la ligne ; « g^{6} = 1 (g \in \Pi_0) » est écrit en dessous, après un mot biffé
Et
\begin{array}{l}
\Omega(6) = \mathrm{Aut}(\Pi(6)) \\
\widetilde{\Omega}(6) = \mathrm{AutExt}(\Pi(6))
\end{array}
on sait qu'on a des hom. induits
se factorise la flèche oblique descend de la source vers \mathfrak{S}_3 \cdot (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})}, d'où une flèche remonte vers \Omega(6)
, au , i.e. les op. « » , qui dans \Pi(6) de \Pi. dire que si H est un groupe Hd'exposant divisant 6 (p.ex.H \simeq \mathfrak{A}_4) alors l'op. de \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l} \simeq \Omega^{+} sur l'ens. \mathcal{T}(H)\mathrm{Sch}(H) se fait par de \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \simeq \Omega_0^{+} — par l'intermédiaire de
\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} .
Ce groupe est engendré par \mathfrak{S}_3 et 6 éléments\rho_{\sigma} (\sigma \in \mathfrak{S}_3) \rho_{\sigma} = \sigmaavecrelations\left\lbrace
\begin{array}{lll}
\rho_{\sigma} = \sigma \rho_1 \sigma^{-1} & (\sigma \in \mathfrak{S}_3) & \bigl[\text{donc } \rho_{\tau\sigma} = \tau \rho_{\sigma} \tau^{-1} \quad (\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_3)\bigr] \\[3pt]
\rho_1^{2} = 1 & & \bigl[\Longrightarrow \rho_{\sigma}^{2} = 1\bigr] \\[3pt]
\rho_1 \rho_{\pi} = \rho_{\pi} \rho_1 & & (\pi = \pi_{01} \text{ transposition de } 0, 1) \\[3pt]
& & \bigl[\Longrightarrow \rho_{\sigma} \rho_{\sigma\pi} = \rho_{\sigma\pi} \rho_{\sigma}\bigr]
\end{array}
\right.les deux parenthèses « (\sigma \in \mathfrak{S}_3) » et « (\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_3) » sont au-dessus de la première ligne et y sont rattachées par des traits
Le groupe (des « opérations élémentaires ») sur l'ens. des \mathrm{Sch}(H) systèmes de Schwartz d'un groupe H (\simeq \mathfrak{A}_4), sur l'ens. \widetilde{\mathrm{Sch}}(H)72 + 24 = 96 \ \text{\uncertain{syst.}\ de \ill{}}
formé de 8 éléments \bigl[(3,3,2)^{+}, (3,3,2)^{-} et les \mathfrak{S}_3^{+}, (3,3,3)^{+} et (3,3,3)^{-}\bigr], l'ens. 4 él., les classes ,
explicit\widetilde{H} = \mathrm{Aut}(H) (\simeq \mathfrak{S}_4), formé de (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3), et de (3,3,3).
la ligne « 72 + 24 = 96 … » est dans le corps du texte, à gauche, entre « groupe » et « tétr… » ; nous la mettons en formule. Dans la liste (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3) le deuxième triple est surchargé
Comme explicité l'action de \mathfrak{S}_3 sur , il l'action de \mathcal{E}_0, , \rho_1\rho_{-1,1}. L'exercice ce qui a été vu . Il serait intéressant d'expliciter les groupes finis de \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E}_0 qui sur les précédents…
le texte s'arrête sur des points de suspension
NB Si on s'intéresse aux groupes H (finis) dans lesquels chaque él. est d'ordre fini divisant un certain N fixé (N = 6 pour le groupe tétraédral, N = 12 pour celui \mathfrak{S}_4 de l'octaèdre, N = 30 pour celui \mathfrak{A}_5 de l'icosaèdre), on est amené à remplacer \Pi par le quotient correspondant \Pi(N), \Omega par \Omega(N) = \mathrm{Aut}(\Pi(N)), et\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l} par \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}(N), quotient de \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma(N) \times \gamma(N))\left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \bigl(\gamma(N) \times \gamma(N)\bigr)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \\[3pt]
\text{où} \quad \gamma(N) = (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{*}
\end{array}
\right.\Bigl[\ \gamma(N) \simeq
\begin{cases}
\pm 1 & \text{pour } \mathfrak{A}_4 \\
(\pm 1) \times (\pm 1) & \text{pour } \mathfrak{S}_4 \\
(\pm 1) \times (\mathbb{Z}/4) & \text{pour } \mathfrak{A}_5 \\
(\pm 1) \times (\pm 1) \times (\mathbb{Z}/4) & \text{pour } \mathfrak{S}_5
\end{cases}
\quad \text{etc.}« NB » est souligné. Il écrit les groupes alternés d'une lettre qui ressemble à un G ; nous la rendons par \mathfrak{A}, comme page 88 (H \simeq \mathfrak{A}_4). Le crochet ouvert devant \gamma(N) n'est pas refermé. Le reste du feuillet est vide
page de calculs, sans phrases ; la lettre des opérations, un \xi bouclé, n'est pas le \rho des pages précédentes, et nous la rendons par \xi\begin{array}{l}
\xi_1 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0^{-1}, \ell_1, \ell_1^{-1}\ell_0 = \ell_2 \ell_0^{2}) \\
\phantom{\xi_1 : (\ell_0, \ell_1,} \| \\
\phantom{\xi_1 : (\ell_0,} \ell_1^{-1}\ell_0^{-1} \\[4pt]
\xi_2 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0, \ell_1^{-1}, \ell_1 \ell_0^{-1} = \ell_1^{2}\ell_2) \\[4pt]
\xi'_1 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_2^{-1}\ell_1, \ell_1^{-1}, \ell_2) = \\[4pt]
\xi'_2 \\[4pt]
\xi''_1 \\[4pt]
\xi''_2 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0^{-1}, \ell_0 \ell_2^{-1}, \ell_2^{\ill{}})
\end{array}« \| \ \ell_1^{-1}\ell_0^{-1} » est écrit sous \ell_2, dans la première ligne ; \xi'_2 et \xi''_1 restent sans formule ; l'exposant de \ell_2 à la dernière ligne est surchargé\begin{array}{lllll}
\rho_1 = \xi_1 \xi''_2 : & \ell_0 \longmapsto \ell_0^{-1} & \longmapsto \ell_0 & & \\
& \ell_1 \longmapsto \ell_0 \ell_2^{-1} & \longmapsto \ell_0^{-1} \ell_0^{-1} \ell_1 & = \ell_0^{-2}\ell_1 & \\
& \ell_2 \longmapsto \ell_2 & \longmapsto \ell_1^{-1}\ell_0 & = \ell_2 \ell_0^{2} & \\[6pt]
\xi''^{-1}_2 \xi_1^{-1} : & \ell_0 \longmapsto \ell_0^{-1} & \longmapsto \ell_0 & & \\
& \ell_1 \longmapsto \ell_1 & \longmapsto \ell_0 \ell_2^{-1} & = \ell_0^{2}\ell_1 & \\
& \ell_2 \longmapsto \ell_1^{-1}\ell_0 & \longmapsto \ell_2^{\ill{}}\ell_0^{-1}\ell_0^{-1} & = \ell_2 \ell_0^{-2} &
\end{array}dans « \rho_1 = \xi_1\xi''_2 » le second facteur surcharge un \rho ; dans le second tableau les flèches sont tracées vers la gauche (\longleftarrow), sauf deux, et nous les redressons ; l'exposant de \ell_2 à la dernière ligne est surchargé(\rho_1 \rho''_2)^{2} \qquad\qquad x,le bas de la page est un brouillon d'algèbre linéaire, que nous ne donnons qu'en partie : \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z} avec \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3 et « V(\mathbb{Z}) » ; (x_0, x_1, x_2) \longmapsto (-x_0, x_1, x_0 - x_1) ; la base e_0, e_1, e_2, puis e_1 - e_0, e_2 - e_0 ; un petit dessin de trois demi-droites issues d'un point, avec e_2 = -e_0 - e_1 ; un second \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}^3 (e_1 \mapsto e_2 - e_3, e_2 \mapsto), sous « \sqrt{I} » ; enfin trois paires d'applications entre crochets, en partie biffées, dont nous lisons (e_0, e_1, e_2) \longmapsto (e_0, e_1 ; e_0 - e_1), (e_1, e_2, e_3) \longmapsto (e_0, e_1 ; e_2 - e_0), (e_0, e_1, e_2) \longmapsto (2e_1 + e_0 - e_1 ; e_2), (e_0, e_1, e_2) \longmapsto (-e_0 - 2e_1, e_1 ; -e_2), les deux dernières images étant en partie encadrées et surchargées
page de brouillon, sans phrases suivies. En haut à gauche, un petit dessin de tétraèdre, sommets marqués s (en haut) et s' (à droite), une face hachurée ; nous ne le redessinons pas\begin{array}{llll}
\beta \quad \Sigma_r & (\rho_f, \rho_s, \rho_a) & r \ \emph{\uncertain{direct}} & (3,3,2)^{+} \\
& (\rho'_f, \rho'_s, \rho'_a) & r \ \emph{\uncertain{inverse}} & (3,3,2)^{-} \\[4pt]
& (\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''}) & (s, s', s'') \ \text{direct \ill{} \ill{} \ill{}} & (3,3,3)^{+} \\
& (\rho'_s, \rho'_{s'}, \rho'_{s''}) & s, s', s'' \ \text{\ill{} \ill{} \ill{} \ill{}} & (3,3,3)^{-} \\
& \ \ \| & & \\
& \rho_f,\ \rho_{f'},\ \rho_{f''} & &
\end{array}les deux mots après r sont soulignés ; « direct » et « inverse » sont des lectures\begin{array}{lll}
\struck{(\rho_f^{-1}, \rho_s, ?)} & (3,3,2)^{+} \longleftrightarrow (3,3,3)^{+} & (\rho_{s'}^{-1}, \rho_{f'}^{-1}, \rho_{\ill{}}^{-1}) \\
\rho_{s'} & (3,3,2)^{-} \longleftrightarrow (3,3,3)^{-} & \ \ \|\qquad \|\qquad \| \\
(\rho_f, \rho_s^{-1}, ?) & & \ \rho_{f'} \ \ \rho_{s'} \ \ \rho_{\ill{}} \\
\ \ \| & (3,3,2)^{+} \longleftarrow (3,3,3)^{-} & \\
\ \ \rho_{f'} & (3,3,2)^{-} \longleftarrow (3,3,3)^{+} &
\end{array}\begin{array}{ccc}
\Sigma_r & & \Sigma'_r \\
\mathfrak{S}_3^{+} \times R & \Big\backslash & \struck{\ill{}}\ \mathfrak{S}_3 \times R \\
72 & & 24
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{cc}
\sigma\ \Sigma_r & \Big| \ \Sigma'_r \\
\mathfrak{S}_3^{+} \ \ R &
\end{array}\boxed{\ \sigma \cdot [r] \qquad \lbrace r^{-1} \rbrace\ }
\qquad
\tau\sigma[r] = \sigma^{\tau}\,\tau[r] \qquad \tau[r] = \Bigl\lbracela dernière accolade reste vide. Les nombres 72 et 24 reprennent la somme 72 + 24 = 96 de la page 89\mathfrak{S}_3 \cdot \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \qquad\qquad \ell_0 \quad \ell_0 \ell_1 \ell_0^{-1} \quad \ell_0 \ell_1 \ell_0^{-1}en bas à gauche, un schéma : \Pi_0 \hookrightarrow \Omega_0 (flèche marquée « inv. », c'est-à-dire automorphismes intérieurs), sous \Omega_0 une flèche vers \mathfrak{S}_3, et un trait oblique relie \mathbb{E}\mathrm{l}_0 à \Omega_0 ; à côté, « \mathbb{E}\mathrm{l} »\begin{array}{l}
\rho_1 \qquad \rho_{\sigma} = \sigma \rho \sigma^{-1} \\
\struck{\rho_1 \rho_{\pi} \quad \rho'_1 \rho'_1} \\
\rho_1 \rho_2 \quad \rho'_1 \rho_2 \quad \rho''_1 \rho''_2 \\
\struck{\rho_1 : \ell_0 \longmapsto \ell_0^{\ill{}} \ \ldots} \quad \rho_1 \\
(-1,1,1)\ (1,-1,1)\ (1,-1,1)\ (1,1,-1)\ (0,0,1)\ (-1,0,0) \\
\ \ \rho_1 \qquad\quad \rho_2 \qquad\quad \rho'_1 \qquad\quad \rho'_2 \qquad \rho''_1 \qquad \rho''_2
\end{array}au-dessus des trois paires \rho_1\rho_2, \rho'_1\rho_2, \rho''_1\rho''_2 il trace des doubles flèches \longleftrightarrow ; à droite, les mêmes paires \rho_1\rho''_2, \rho'_1\rho_2, \rho''_1\rho'_2 sont entourées, et un segment gradué « -1 \ \ 1 » est dessiné ; sous les six triples, une accolade les rattache aux \rho. En bas à gauche, un calcul inachevé : « x + y + z = 0 », « -x + y + \ldots ». Les signes de plusieurs triples sont surchargés et se lisent avec doute
dernière page de la série de douze annoncée par la couverture (pages 82 à 93) : un brouillon en colonnes, dont nous donnons les formules et les quelques mots. En haut, « \ell_0\ \ell_1\ \ell_2 \longrightarrow » suivi de symboles biffés ; en dessous à gauche, un tétraèdre, sommets s (en haut) et s' (à droite), une arête a et une face f marquées, arêtes cachées en pointillé ; nous ne le redessinons pas\begin{array}{ll}
\overset{3\quad 3\quad 2}{(\rho_f, \rho_s, \rho_a)} & \mathfrak{S}_3 \\[4pt]
\rho_{s'} = \rho_f^{-1} \rho_s & \rho_{-1,1\cdot} \ \big| \ (3,3,2) \longleftrightarrow (3,3,3)^{-} \\
\rho_f\, \rho_s^{-1} = \rho_{f'} & \rho_{1,-1\cdot} \ \big| \ \struck{\ill{}} \\
\struck{\rho_f}\ \rho_s^{-1}\, \rho_a = \rho_{f'}\, \rho_{a'} & \rho_{\cdot\,-1,1} \\[4pt]
& \left\lbrace
\begin{array}{ll}
(3,3,2)^{+} & (3,3,2)^{-} \\
(3,3,3)^{+} & (3,3,3)^{-}
\end{array}
\right.
\end{array}dans la colonne de gauche, \rho_f \rho_s^{-1} et \rho_s^{-1}\rho_a sont reliés par des « \| » à \rho_{f'} et \rho_{a'}, écrits en dessous ; les chiffres « 3\ 3\ 2 » sont au-dessus du triple\mathfrak{S}_3 : 8 él.
Classes de ss-groupes de \mathfrak{S}_5 et de ses sous-groupes
inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de couverture jaune (page 94), qui ne porte rien d'autre ; en haut, au crayon, « (3 p) », qui compte les trois feuillets suivants (pages 95 à 97). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page
feuille de schémas, en encre bleue et au crayon, en regard de la liste qui l'ouvre ; nous donnons le texte et les formules, et décrivons les figures sans les redessiner
Les ss-groupes , \mathbb{Z}_3 = \mathfrak{A}_3, \mathbb{Z}_6, \mathfrak{S}_2, \mathfrak{S}_3, \mathbb{D}_3, \mathbb{D}_6, correspondent 1-1 aux triangles de T, \boxed{\mathrm{Tr}(T)}
les ss-groupes \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_4, , \mathfrak{S}_{22}, \mathbb{D}_4 correspondent 1-1 aux carrés de T, \boxed{\mathrm{Car}\,T}
— \mathbb{D}_2, \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4 — pts de T\boxed{T}
— \mathbb{Z}_5, \mathbb{D}_5 — pent. de T\boxed{\mathrm{Pent}(T)}
— 1, \mathfrak{A}_5, \mathfrak{S}_5 sont invariants
Il y a 160 ss-groupes \neq 1, \mathfrak{S}_5les tirets reprennent, ligne à ligne, « les ss-groupes » et « correspondent 1-1 aux » ; T est l'ensemble à cinq éléments sur lequel opère \mathfrak{S}_5. Il écrit \mathfrak{A}_n d'une lettre en forme de G, comme page 90
déterminer les automorphismes extérieurséléments des groupes \mathfrak{S}_nnote encerclée d'un trait, à droite ; le troisième mot se lit mal
\begin{array}{rl}
\text{\emph{NB} de ss-groupes} & 6 \times 10 = 60 \\
+ & 4 \times 15 = 60 \\
+ & 3 \times 5 = 15 \\
+ & 2 \times 12 = 24 \\
+ & 3 \times 1 = 3 \\ \hline
& 162
\end{array}le « 12 » de la quatrième ligne est entouré et porte un petit indice ; le total 162 compte aussi 1 et \mathfrak{S}_5, d'où les 160 annoncés plus haut
\boxed{
\begin{array}{l}
\mathbb{Z}_2 \simeq \mathfrak{S}_2 \\
\mathbb{D}_2 \simeq \mathfrak{S}_{2,2} \\
\mathbb{D}_3 \simeq \mathfrak{S}_3
\end{array}}
\qquad
\widetilde{\mathfrak{S}}_3 = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}'_2figures. En haut à gauche, un treillis au crayon et à l'encre, en forme de losanges, dont les flèches montent de gauche à droite ; au-dessous et au milieu, un grand treillis encadré d'une courbe fermée, dont les sommets sont \mathfrak{A}_2 = 1, \mathbb{Z}_2, \mathfrak{S}_2, \mathfrak{S}'_2, \mathfrak{S}''_2, \mathfrak{S}_{22}, \mathfrak{S}^{*}_{22}, \mathfrak{A}_3, \mathbb{D}_3, \mathfrak{S}_3, \mathfrak{S}'_3, \mathbb{D}'_3, \mathbb{Z}_6, \mathbb{Z}'_6, \widetilde{\mathfrak{S}}_3, \widetilde{\mathfrak{S}}'_3, \mathfrak{A}_5, \mathfrak{S}_5, avec à gauche un petit losange \mathbb{D}_4, \mathbb{Z}_4, \mathbb{D}_2, \mathbb{E}_2 et en dessous \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathbb{D}_2, \mathbb{D}_4 ; certaines flèches sont en pointillé. Au milieu, un octaèdre au crayon. À droite, un diagramme d'ensembles : les points 1, 2, 3, 4, 5 dans des ovales marqués \mathfrak{S}_2 (autour de 1, 2), \mathfrak{S}'_2 (autour de 4, 5), \mathfrak{S}_3 et \mathfrak{S}'_3en bas, un treillis en perspective, plus soigné, dont les sommets encadrés sont les représentants des classes : \mathbb{D}_4 (« (\mathrm{Car}(T), 15) »), \mathfrak{S}_4 (« (T, 5) »), \mathbb{D}_6 (« (\mathrm{Tr}(T), 10) »), \mathfrak{S}_5 (« 1 »), \mathbb{D}_5 (« (\mathrm{Pent}(T), 12) »), \mathfrak{A}_2 = 1 ; les autres sommets sont \mathfrak{S}_{22}, \mathbb{Z}_4, \mathbb{D}_2, \mathfrak{S}_2 \simeq \mathfrak{S}'_2, \mathbb{E}_2, \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_3, \mathbb{Z}_6, \mathbb{D}_3, \mathfrak{A}_3 = \mathbb{Z}_3, \mathfrak{A}_5, \mathbb{Z}_5 ; des arêtes portent les indices 2, 3, 5, 6, 10\begin{array}{c|ccccc}
\mathbb{Z}_1 & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_3 & \mathbb{Z}_4 & \mathbb{Z}_5 & \mathbb{Z}_6 \\
& \mathbb{D}_2 & \mathbb{D}_3 & \mathbb{D}_4 & \mathbb{D}_5 & \mathbb{D}_6 \\
& \mathfrak{S}_2 & \mathfrak{S}_3 & \mathfrak{S}_4 & \mathfrak{S}_5 & \\
\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}_2 & & \mathfrak{A}_3 & \mathfrak{A}_4 & \mathfrak{A}_5 &
\end{array}tableau en bas à droite : tous les noms sont soulignés ; un trait sépare les colonnes, un cadre entoure \mathbb{D}_3, \ldots, \mathfrak{S}_5 ; « \mathfrak{A}_3 » est répété au-dessus de \mathbb{Z}_3 avec des guillemets ditto. Dessous, en partie biffé : \mathfrak{S}_{22}, \mathfrak{S}''_2 \times \mathbb{Z}_2, \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}_2. À gauche, une colonne biffée (\mathbb{Z}_2 \ldots \mathbb{Z}_6, \mathbb{D}_2 \ldots \mathbb{D}_5, \mathfrak{S}_{22}, …) préparait le même tableau
feuille de dessins au crayon, sans texte : en haut à gauche une bipyramide triangulaire (deux tétraèdres accolés par une face) ; en bas à droite un assemblage de tétraèdres autour d'un sommet commun, esquissé et repassé ; au milieu, quelques traits effacés. Nous ne les redessinons pas
Les 18sous-groupesclasses de ss-groupes de \mathfrak{S}_5dont 9abéliens\begin{array}{rl}
[9] & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{A}_5 \\
11 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{S}_4 \\
5 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{A}_4 \\
4 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{S}_3 \\
7 & \text{classes de ss-groupes de } \mathbb{D}_4 \\
10 & \text{--- \quad } \widetilde{\mathfrak{S}}_3
\end{array}« classes de » est écrit au-dessus de « sous-groupes », biffé ; la note encerclée à gauche est reliée par un trait au nombre 18, qui surcharge un autre chiffre ; le [9] et le 11 sont repassés. Sous le 10, trois traits obliques
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathbb{F}_2 = \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4) = \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4, \mathfrak{S}_4) \\
\mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2, \mathfrak{S}_4) \\[4pt]
\mathbb{F}_2 = 2\cdot\mathbb{Z}_4 = {}_2(\mathbb{Z}_4) \\
\mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{Z}_4, \mathfrak{S}_4) \\[4pt]
\mathbb{Z}_4 = \text{groupe engendré par \ill{} \ill{} des 2 él.\ d'ordre 4 de } \mathbb{D}_4 \\[4pt]
\mathfrak{S}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2^{2}, \mathfrak{S}_5) \\
\mathbb{F}_2^{2} = \text{seul sous-groupe invariant de } \mathfrak{S}_4 \text{ d'indice } 6
\end{array}
\right.\mathfrak{Z} : centre (ou centralisateur) ; \mathcal{N} : normalisateur. Dans « \mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2, \mathfrak{S}_4) » la virgule surcharge un signe. Nous lisons « \mathbb{F}_2^{2} » le groupe de Klein, écrit d'un \mathbb{F} double avec un exposant 2
figures. En haut à gauche, un grand treillis en perspective des classes de sous-groupes de \mathfrak{S}_5, repris de la page 95 et mis au net, dont les sommets sont \mathfrak{A}_2 = 1, \mathfrak{S}_2, \mathbb{F}_2, \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}'_2 = \mathfrak{S}_2 \times \mathbb{F}_2, \mathbb{D}_2 = \mathbb{F}_2^{2}, \mathbb{Z}_4, \mathbb{D}_4, \mathfrak{S}_3, \mathbb{Z}_6, \mathbb{D}_3, \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}''_2, \mathfrak{A}_3 = \mathbb{Z}_3, \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5, \mathfrak{S}_5, \mathbb{D}_5, \mathbb{Z}_5 ; les arêtes portent des indices (2, 3, 5), certaines en pointillé, et une bande ombrée longe le chemin de \mathfrak{A}_3 à \mathfrak{A}_5. En bas à gauche, des correspondances marquées de doubles flèches : \mathbb{F}_2 \leftrightarrow \mathbb{Z}/4 \leftrightarrow \mathbb{D}_4 \leftrightarrow \mathfrak{S}_4 \times \mathbb{F}_2, \mathbb{D}_2 \leftarrow \mathfrak{A}_4 \leftrightarrow \mathfrak{S}_4, \mathbb{D}_3 \leftrightarrow \mathfrak{S}_3 \leftrightarrow \mathbb{D}_3 \leftrightarrow \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}''_2, \mathbb{D}_5 \leftrightarrow \mathbb{Z}_5, \mathbb{Z}_6, avec des groupes entourés et une ligne biffée ; tout en bas, deux petits schémas : \mathfrak{S}_3 au-dessus de \mathfrak{A}_3, et un rectangle \mathfrak{S}_2 – \mathfrak{S}_3 – \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}'_3, \mathfrak{A}_3 – \mathbb{D}_3