Cote n° 85, pages 81–97

Cote n° 85 · batch 5 · pages 81–97 · Transcription · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Opérations sur systèmes de Schwartz

ces mots sont de sa main, à l'encre, en haut à droite d'un feuillet de couverture (page 81), qui ne porte rien d'autre ; « Schwartz » est ainsi orthographié. En haut, au crayon, « (12 p) », qui compte les douze feuillets suivants (pages 82 à 93). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

82première page de la série annoncée par la couverture (page 81) ; les générateurs sont soulignés, et le sont jusqu'à la fin de la série

Soit $\mathcal{T}(H)$ ⌜$\subset H^3$⌝ l'ens. de ces triples ; $\mathrm{Sch}(H) \subset \mathcal{T}(H)$ Soit $\Pi_0$ le groupe engendré par les générateurs $\underline{\ell}_0, \underline{\ell}_1, \underline{\ell}_2$, soumis : \[ \underline{\ell}_0\, \underline{\ell}_1\, \underline{\ell}_2 = 1 \] et soit $\widehat{\Pi}$ son complété profini. Un hom. de $\Pi_0$ dans un groupe $H$ (ou de $\widehat{\Pi}$ dans un groupe $H$ fini) équivaut : à la donnée de $\rho_0, \rho_1, \rho_2 \in H$ satisfaisant $\rho_0 \rho_1 \rho_2 = 1$. L'hom. $\Pi_0 \to H$ ($\widehat{\Pi} \to H$) est surjectif ssi $(\rho_0, \rho_1, \rho_2)$ est un syst. de Schwartz. au-dessus du chapeau de $\widehat{\Pi}$, ici et plus bas, deux ou trois petites lettres, biffées la première fois, que nous ne lisons pas ; nous écrivons partout $\widehat{\Pi}$

Soit $\Pi$ le groupe des \[ \begin{array}{l} \Omega_0 = \mathrm{Aut}(\Pi_0) \\ \downarrow \\ \Omega = \mathrm{Aut}(\widehat{\Pi}) \end{array} \] Alors $\Omega_0$ (resp. $\Omega$, si $H$ fini) opère ⌜à droite⌝ sur $\underline{\mathrm{Hom}}(\Pi_0, H)$ ⌜$(\simeq \mathcal{T}(H))$⌝ ($\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\widehat{\Pi}, H)$ si $H$ fini) et sur le sous-ensemble $\mathrm{Schw}(H)$. On a \[ \begin{array}{l} 1 \longrightarrow \Pi_0 \longrightarrow \Omega_0 \longrightarrow \widetilde{\Omega}_0 \longrightarrow 1, \qquad \widetilde{\Omega}_0 = \mathrm{Autext}(\Pi_0) \\[4pt] 1 \xrightarrow{\ ?\ } \widehat{\Pi} \longrightarrow \Omega \longrightarrow \widetilde{\Omega} \longrightarrow 1, \qquad \widetilde{\Omega} = \mathrm{Autext}(\widehat{\Pi}) \end{array} \] le « ? » est écrit au-dessus de la première flèche de la seconde suite et deux éléments de $\underline{\mathrm{Hom}}(\Pi_0, H)$ ⌜$\mathcal{T}(H)$⌝ ($\widehat{\Pi}$) sont conjugués sous $\Pi$ dans $H$ — l'inverse étant vrai pour les élts de $\mathrm{Schw}(H)$. Ainsi $\widetilde{\Omega}_0$ ($\widetilde{\Omega}$) opère sur $\widetilde{\mathcal{T}}(H) = \mathcal{T}(H)/H$ et sur $\widetilde{\mathrm{Sch}}(H) = \mathrm{Sch}(H)/H = \mathrm{Sch}(H)/\Pi_0$ ⌜$\widehat{\Pi}$⌝. « $\widehat{\Pi}$ » est écrit sous « $\Pi_0$ », en variante

[…] Dans une […] des syst. de Schwartz relatifs à $H$, il convient de tenir compte des opérations ([…]) de $\Omega_0$, ou $\Omega$ — et […] […] […] […] par $\widetilde{\Omega}_0$, $\widetilde{\Omega}$ grâce […] […] $\widetilde{\mathrm{Sch}}(H)$. […] une ligne de formule biffée ferme la page

83$\mathfrak{S}_3$ opère [fidèlement] sur $\Pi_0$ resp. $\widehat{\Pi}$, par \[ \sigma(\underline{\ell}_i) = \begin{cases} \ell_{\sigma(i)} & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_3^{+} \\ \ell_{\sigma(i)}^{-1} & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_3^{-} \end{cases} \] On a donc des injections \[ \begin{array}{ccc} \mathfrak{S}_3 \hookrightarrow \Omega_0 & \qquad & \mathfrak{S}_3 \hookrightarrow \widetilde{\Omega}_0 \\ \searrow \ \ \downarrow & \text{d'où} & \searrow \ \ \downarrow \\ \Omega & & \widetilde{\Omega} \end{array} \] deux triangles : $\mathfrak{S}_3$ s'envoie par une injection (flèche à crochet) dans $\Omega_0$ (resp. $\widetilde{\Omega}_0$), puis par la flèche verticale dans $\Omega$ (resp. $\widetilde{\Omega}$) ; la diagonale part aussi de $\mathfrak{S}_3$ avec un crochet [l'injectivité $\mathfrak{S}_3 \to \widetilde{\Omega}$ se vérifie immédiatement]

Soit \[ \gamma_0 = \mathbb{Z}^{*}, \qquad \gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \] On va définir trois op. de $\gamma_0 \times \gamma_0$ sur […] $\Omega_0$, et de $\gamma \times \gamma$ sur $\Omega$, notées $\rho$ i.e. $\varepsilon, \varepsilon' \in \gamma_0 \times \gamma_0$ ou $\gamma \times \gamma$, […] par $\rho_{\cdot\varepsilon,\varepsilon'}$, $\rho_{\varepsilon\cdot\varepsilon'}$, $\rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}$ les […] de $(\varepsilon, \varepsilon')$ par ces trois opérations. On pose ⌜donc⌝ \[ \left\lbrace \begin{array}{lll} \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_0) = \ell_0^{\varepsilon}, & \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_1) = \ell_1^{\varepsilon'}, & \rho_{\varepsilon,\varepsilon'\cdot}(\ell_2) = \ell_1^{-\varepsilon'}\ell_0^{-\varepsilon} \\[3pt] \rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_1) = \ell_1^{\varepsilon}, & \rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_2) = \ell_2^{\varepsilon'}, & \rho_{\cdot\varepsilon\varepsilon'}(\ell_0) = \ell_2^{-\varepsilon'}\ell_2^{-\varepsilon} \\[3pt] \rho_{\varepsilon\cdot\varepsilon}(\ell_2) = \ell_2^{\varepsilon}, & \rho_{\varepsilon'\cdot\varepsilon}(\ell_0) = \ell_0^{\varepsilon'}, & \rho_{\varepsilon'\cdot\varepsilon}(\ell_1) = \ell_0^{-\varepsilon'}\ell_2^{-\varepsilon} \end{array} \right. \] la place du point dans les indices, qui dit sur quel générateur l'opération agit trivialement, se lit mal et n'est pas toujours la même d'une ligne à l'autre ; nous la donnons telle que nous la voyons, sans l'uniformiser. Le « donc » est écrit au-dessus de la troisième colonne. Deuxième ligne, troisième colonne : on lit deux fois $\ell_2$, où l'on attendrait $\ell_2^{-\varepsilon'}\ell_1^{-\varepsilon}$ ; nous transcrivons tel quel

On définit aussi, si $I$ est une partie à deux él. de $\lbrace 0, 1, 2\rbrace$ De façon plus intrinsèque, si $I$ est une partie à 2 él. de $\lbrace 0,1,2\rbrace = \Delta_2$, on définit des hom. \[ \begin{array}{rcl} \rho_0^{I} : \gamma_0^{I} & \longrightarrow & \Omega_0 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \rho^{I} : \gamma^{I} & \longrightarrow & \Omega \end{array} \] […] un […] $\varepsilon = (\varepsilon_i)_{i \in I}$ […] $\Omega_0$ (resp. $\Omega$) par l'action de $\varepsilon$. \[ \rho_0^{I}(\varepsilon)(\underline{\ell}_i) = \underline{\ell}_i^{\,\varepsilon_i} \qquad (i \in I) \] et […] […] qui […] […] […] […] $\Omega_0 \simeq \mathbb{Z}^{(*I)}$ — puissance libre. Les relations entre les […] de $\mathfrak{S}_3$ et les $\rho^{I}$

84[…] […] ⌜s'expriment⌝ comme suit : si $\sigma \in \mathfrak{S}_3$, et $\widetilde{\sigma}_{\Omega}$ est l'op. sur $\Omega_0$ (ou $\Omega$), … « s'expriment » est écrit au-dessus des mots biffés ; la phrase continue celle qui termine la page 83 \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \widetilde{\sigma}_{\Omega}\, \rho^{I}(\varepsilon)\, \sigma_{\Omega}^{-1} = \rho^{\sigma I}(\sigma\varepsilon) \qquad \text{\uncertain{i.e.}} \\[3pt] \sigma_{\Omega}\, \rho^{I}(\varepsilon) = \rho^{\sigma I}(\sigma\varepsilon)\, \sigma_{\Omega} \end{array} \right. \] Ceci montre que le ⌜s/⌝groupe […] […] des $\Omega_0$ (resp. $\widetilde{\Omega}_0$, … $\Omega$, … $\widetilde{\Omega}$) engendré par $\mathfrak{S}_3$ et […] […] $\rho^{I}(\gamma_0^{I})$ (resp. $\rho^{I}(\gamma^{I})$) [il suffit […] $= \ill{}$ […] $\mathfrak{S}_3$ et […] des $\rho^{I}(\gamma_0^{(i)})$ ([…] […] […] possibilités)] […] par $\mathfrak{S}_3$ et […], les 3 $\rho^{I}(\gamma_0^{I})$ (resp. $\rho^{I}(\gamma^{I})$) […] […] $=$, notés […] $\Omega_0^{+}$, $\widetilde{\Omega}_0^{+}$, $\Omega^{+}$, $\widetilde{\Omega}^{+}$ ; et […] […] […] ⌜engendré par les $\rho^{I}(\gamma_0^{I})$⌝ ($\rho^{I}(\gamma^{I})$) […] […] […] s/-groupe […] […] ⌜$\mathbb{E}\mathrm{l}_0$, $\widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}_0$, $\mathbb{E}\mathrm{l}$, $\widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}$⌝ (groupe des « éliminations ») les quatre noms $\mathbb{E}\mathrm{l}_0, \ldots$ sont écrits au-dessus de la ligne ; la note marginale, en regard, dit d'où vient le nom. La lecture « éliminations » est la nôtre, le mot est entre guillemets sur la page […] […] […] […] […] […] un […] groupe quotient […] $\mathfrak{S}_3$ à priori, mais […] […] […] qu'il […] […] [[…] :] $\mathfrak{S}_3$, […] fait d'un produit ½ direct de $\mathfrak{S}_3$ et de […] : \[ \left\lbrace \begin{array}{ll} \Omega_0^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}_0 & \qquad \widetilde{\Omega}_0^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}}_0 \\[3pt] \Omega^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l} & \qquad \widetilde{\Omega}^{+} \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \widetilde{\mathbb{E}\mathrm{l}} \end{array} \right. \] il écrit le produit semi-direct $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} G$, un point avec « ½ » en indice ; nous gardons son écriture dans toute la série

Questions Construction Soient $\mathfrak{S}$, $\gamma$ deux groupes. Considérons le produit libre $\mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma$. On a un hom. \[ \mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma \longrightarrow \mathfrak{S} \] ⌜$\mathcal{L} =$⌝ dont le noyau est le ss-groupe normal de $\mathfrak{S} * \gamma$ engendré par $1 * \gamma \subset \mathfrak{S} * \gamma$. […] […] […] une section […] $\mathfrak{S} \hookrightarrow \mathcal{L}$, […] « Construction » est souligné deux fois, sous « Questions » biffé

85une décomposition en produit ½ direct \[ \mathcal{L} = \mathfrak{S} * \gamma \simeq \mathfrak{S} \cdot_{1/2} \mathcal{E} \] On va interpréter $\mathcal{E}$ […] […] […] […] […] […] un hom. ([…]) \[ \gamma \overset{\rho}{\hookrightarrow} \mathcal{E} \] et une op. de $\mathfrak{S}$ sur $\mathcal{E}$, d'où pour $\sigma \in \mathfrak{S}$ un hom. \[ \gamma \xrightarrow{\ {}^{\sigma}\!\rho\ } \mathcal{E} \qquad {}^{\sigma}\!\rho = \sigma_{\mathcal{E}} \circ \rho \quad \struck{\ill{}} \] La famille des hom. […] […] permet de définir un hom. \[ \gamma^{(*\mathfrak{S})} \longrightarrow \mathcal{E} \] ⌜(prod. libre)⌝

et une op. de D'ailleurs l'op. de $\mathfrak{S}$ sur […] […] $\mathfrak{S}$ permet de faire opérer $\mathfrak{S}$ sur le prod. libre $\gamma^{(*\mathfrak{S})}$, et […] […] […] que l'hom. précédent est compatible […] […] […]. En fait, […] […] […] au-dessus de la ligne biffée, deux mots (« D. … », « … ») que nous ne lisons pas […] \[ \mathfrak{S} \cdot_{1/2} \bigl(\gamma^{(*\mathfrak{S})}\bigr) \longrightarrow \mathcal{L} \simeq \mathfrak{S} \cdot_{1/2} \mathcal{E} \] On voit de suite que cet hom. est un iso (cf. propriété universelle) donc \[ \gamma^{(*\mathfrak{S})} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{E} \qquad \emph{iso} \] le second « iso » est souligné deux fois

86En prenant $\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_3$, $\gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*}$ […] […], on trouve donc On peut prendre […] au sens profini… \[ \begin{array}{c} \mathfrak{S}_3 * \gamma \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \gamma^{(*\mathfrak{S}_3)} \\ \Big\downarrow \ \text{\small via l'op.\ de $\mathfrak{S}_3$ sur $\Omega$ et $\rho_{\varepsilon 1\cdot}$} \\ \Omega \end{array} \] Cet hom. n'est pas injectif — […] […] des relations, ⌜notamment⌝ […] exprimant la commutation des $\rho_{\varepsilon 1 \cdot}$ et $\rho_{1\varepsilon'\cdot} = \pi \rho_{\varepsilon 1\cdot} \pi^{-1}$ ($\pi = \pi_{01}$ transposition de $0$ et $1$) dont on va définir un […] groupe quotient […] par les relations exprimant \[ \rho^{\pi}_{\varepsilon} \ \text{\uncertain{commutent}} : \quad \rho^{1}(\varepsilon\varepsilon') \qquad (\varepsilon, \varepsilon' \in \gamma) \] ligne serrée et peu lisible ; la formule de gauche porte sous $\rho$ un indice surchargé On trouve \[ \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathcal{E}, \qquad \mathcal{E} \simeq (\gamma^2 * \gamma^2 * \gamma^2) = (\gamma^2)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi)} \quad (\uncertain{produit}) \] la flèche « $\simeq$ » part de $\mathcal{E}$, écrit sous le produit semi-direct où $\mathcal{E}$ est le produit libre des trois copies de $\gamma^2$, permutées transitivement entre elles par les op. de $\mathfrak{S}_3$, et un hom.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \arrow[r] \arrow[dr] & \Omega^{+} \subset \Omega \arrow[d] \\
  & \widetilde{\Omega}^{+} \subset \widetilde{\Omega}
\end{tikzcd}

Il serait intéressant d'examiner les propriétés d'inj. et surjectivité […] […] $=$ que […] […] […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \arrow[r] \arrow[dr] & \Omega_0^{+} \subset \Omega_0 \arrow[d, "\sim"] \\
  & \widetilde{\Omega}_0^{+} \subset \widetilde{\Omega}_0
\end{tikzcd}

$\gamma_0 = \lbrace \pm 1\rbrace$ dans les deux diagrammes la flèche verticale part de $\Omega^{+}$ (resp. $\Omega_0^{+}$), et une inclusion « $\cap$ » relie aussi $\Omega$ à $\widetilde{\Omega}$ au-dessus du second terme ; le « $\sim$ » est écrit sur la flèche $\Omega_0 \to \widetilde{\Omega}_0$. La note « $\gamma_0 = \lbrace\pm 1\rbrace$ » est dans le coin inférieur gauche

87? Par exemple, $=$ de $\Omega^{+}$ […], il est clair que les images sont les $\Omega^{+}$ […] (mais […] […] […] $\Omega^{+} = \Omega$ […] ?) L'image de $\mathcal{E}$ ⌜$= (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})}$⌝ (resp. $\mathcal{E}_0$) est évidemment $\mathbb{E}\mathrm{l}$ (resp. $\mathbb{E}\mathrm{l}_0$)…

On a un hom. d'inclusion $\gamma_0 \to \gamma$, définissant \[ \begin{array}{ccc} (\gamma_0 \times \gamma_0)^{*(\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} & \longrightarrow & (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \\ \| & & \| \\ \mathcal{E}_0 & & \mathcal{E} \end{array} \] et […] […] :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathcal{E}_0 \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E} \arrow[d] \\
  \Omega_0 \arrow[r] & \Omega
\end{tikzcd}

On a […] […] […] : \[ \begin{array}{ccccccc} \gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} & \longrightarrow & (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^{*} & \xrightarrow{\ \sim\ } & (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{*} & \simeq & \pm 1 \\ \uparrow & & \uparrow \chi_2 & & & & \\ \gamma_0 = \mathbb{Z}^{*} & & \chi_0 = \ill{} & & & & \end{array} \] schéma remanié : sous $\gamma = \widehat{\mathbb{Z}}^{*}$ une double flèche verticale, en partie surchargée, le relie à $\gamma_0 = \mathbb{Z}^{*}$ ; sous $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^{*}$ une flèche marquée $\chi_2$ ; de $\gamma_0$ partent un long trait souligné et deux flèches obliques vers $\pm 1$, l'une barrée de gribouillis ; l'expression « $\chi_0 = \ldots$ » est surchargée […] hom. $\gamma \to \gamma_0$ inverse à g. de $\gamma_0 \hookrightarrow \gamma$, \[ \begin{array}{llll} \text{d'où} & \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{E}_0 & \ill{} & \text{inv.\ à g.\ de } \mathcal{E}_0 \to \mathcal{E} \\ \text{d'où} & \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E} \longrightarrow \mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E}_0 & & \end{array} \] […] […] […] […] : […] […] […]. […] […] […] […] […] faut considérer \[ \overline{\Pi}(6) = \text{quotient de } \Pi \text{ par \struck{\ill{}} \uncertain{relations}} \ g^{6} = 1 \ (g \in \Pi_0) \qquad (\ill{}) \] les mots « ($\ill{}$) » sont au-dessus de la fin de la ligne ; « $g^{6} = 1$ ($g \in \Pi_0$) » est écrit en dessous, après un mot biffé

88Et \[ \begin{array}{l} \Omega(6) = \mathrm{Aut}(\Pi(6)) \\ \widetilde{\Omega}(6) = \mathrm{AutExt}(\Pi(6)) \end{array} \] on sait qu'on a des hom. induits

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \Omega \arrow[r] \arrow[d] & \Omega(6) \arrow[d] \\
  \widetilde{\Omega} \arrow[r] & \widetilde{\Omega}(6)
\end{tikzcd}

[…] […] […].

Ceci dit, l'hom. composé

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \mathfrak{S}_3 \cdot (\gamma \times \gamma)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \arrow[r] \arrow[dr] & \Omega \arrow[r] & \Omega(6) \\
  & \mathfrak{S}_3 \cdot (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

se factorise […] […] la flèche oblique descend de la source vers $\mathfrak{S}_3 \cdot (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})}$, d'où une flèche remonte vers $\Omega(6)$

[…] […] […], […] au […] […] […] […] […], i.e. les op. « […] » […] […] […], […] […] […] qui […] dans $\Pi(6)$ […] […] de $\Pi$. […] […] dire que si $H$ est un groupe […] $H$ […] d'exposant divisant $6$ (p.ex. $H \simeq \mathfrak{A}_4$) alors l'op. de $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l} \simeq \Omega^{+}$ sur l'ens. $\mathcal{T}(H)$ […] $\mathrm{Sch}(H)$ se fait par […] […] […] de $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \simeq \Omega_0^{+}$ — […] […] par l'intermédiaire de \[ \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} . \]

89Ce groupe est engendré par $\mathfrak{S}_3$ et 6 éléments $\rho_{\sigma}$ ($\sigma \in \mathfrak{S}_3$) $\rho_{\sigma} = \sigma$ avec relations \[ \left\lbrace \begin{array}{lll} \rho_{\sigma} = \sigma \rho_1 \sigma^{-1} & (\sigma \in \mathfrak{S}_3) & \bigl[\text{donc } \rho_{\tau\sigma} = \tau \rho_{\sigma} \tau^{-1} \quad (\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_3)\bigr] \\[3pt] \rho_1^{2} = 1 & & \bigl[\Longrightarrow \rho_{\sigma}^{2} = 1\bigr] \\[3pt] \rho_1 \rho_{\pi} = \rho_{\pi} \rho_1 & & (\pi = \pi_{01} \text{ transposition de } 0, 1) \\[3pt] & & \bigl[\Longrightarrow \rho_{\sigma} \rho_{\sigma\pi} = \rho_{\sigma\pi} \rho_{\sigma}\bigr] \end{array} \right. \] les deux parenthèses « ($\sigma \in \mathfrak{S}_3$) » et « ($\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_3$) » sont au-dessus de la première ligne et y sont rattachées par des traits Le groupe […] (des « opérations élémentaires ») […] […] sur l'ens. des ⌜$\mathrm{Sch}(H)$⌝ systèmes de Schwartz d'un groupe […] $H$ ($\simeq \mathfrak{A}_4$), […] sur l'ens. $\widetilde{\mathrm{Sch}}(H)$ \[ 72 + 24 = 96 \ \text{\uncertain{syst.}\ de \ill{}} \] formé de 8 éléments $\bigl[(3,3,2)^{+}$, $(3,3,2)^{-}$ et les […] […] $\mathfrak{S}_3^{+}$, $(3,3,3)^{+}$ et $(3,3,3)^{-}\bigr]$, […] […] l'ens. […] 4 él., les classes […], […] […] […] […] explicit[…] […] $\widetilde{H} = \mathrm{Aut}(H)$ ($\simeq \mathfrak{S}_4$), formé de $(3,3,2)$, $(3,2,3)$, $(2,3,3)$, et de $(3,3,3)$. la ligne « $72 + 24 = 96$ … » est dans le corps du texte, à gauche, entre « groupe » et « tétr… » ; nous la mettons en formule. Dans la liste $(3,3,2), (3,2,3), (2,3,3)$ le deuxième triple est surchargé Comme […] […] […] explicité l'action de $\mathfrak{S}_3$ sur […] […], il […] […] […] l'action de $\mathcal{E}_0$, […] […] […] […] […] […] […], […] $\rho_1$ […] $\rho_{-1,1}$. L'exercice […] […] […] […] […] ce qui a été vu […]. […] Il serait intéressant d'expliciter les groupes […] finis de $\mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E}_0$ qui […] […] sur les […] […] précédents… le texte s'arrête sur des points de suspension

90NB Si on s'intéresse aux groupes $H$ (finis) dans lesquels chaque él. est d'ordre fini divisant un certain $N$ fixé ($N = 6$ pour le groupe tétraédral, $N = 12$ pour celui $\mathfrak{S}_4$ de l'octaèdre, $N = 30$ pour celui $\mathfrak{A}_5$ de l'icosaèdre), on est amené à remplacer $\Pi$ par le quotient correspondant $\Pi(N)$, $\Omega$ par $\Omega(N) = \mathrm{Aut}(\Pi(N))$, et $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}$ par $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \mathbb{E}\mathrm{l}(N)$, quotient de $\mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} (\gamma(N) \times \gamma(N))$ \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \mathfrak{S}_3 \cdot_{1/2} \bigl(\gamma(N) \times \gamma(N)\bigr)^{(*\mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \\[3pt] \text{où} \quad \gamma(N) = (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{*} \end{array} \right. \] \[ \Bigl[\ \gamma(N) \simeq \begin{cases} \pm 1 & \text{pour } \mathfrak{A}_4 \\ (\pm 1) \times (\pm 1) & \text{pour } \mathfrak{S}_4 \\ (\pm 1) \times (\mathbb{Z}/4) & \text{pour } \mathfrak{A}_5 \\ (\pm 1) \times (\pm 1) \times (\mathbb{Z}/4) & \text{pour } \mathfrak{S}_5 \end{cases} \quad \text{etc.} \] « NB » est souligné. Il écrit les groupes alternés d'une lettre qui ressemble à un $G$ ; nous la rendons par $\mathfrak{A}$, comme page 88 ($H \simeq \mathfrak{A}_4$). Le crochet ouvert devant $\gamma(N)$ n'est pas refermé. Le reste du feuillet est vide

91page de calculs, sans phrases ; la lettre des opérations, un $\xi$ bouclé, n'est pas le $\rho$ des pages précédentes, et nous la rendons par $\xi$ \[ \begin{array}{l} \xi_1 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0^{-1}, \ell_1, \ell_1^{-1}\ell_0 = \ell_2 \ell_0^{2}) \\ \phantom{\xi_1 : (\ell_0, \ell_1,} \| \\ \phantom{\xi_1 : (\ell_0,} \ell_1^{-1}\ell_0^{-1} \\[4pt] \xi_2 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0, \ell_1^{-1}, \ell_1 \ell_0^{-1} = \ell_1^{2}\ell_2) \\[4pt] \xi'_1 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_2^{-1}\ell_1, \ell_1^{-1}, \ell_2) = \\[4pt] \xi'_2 \\[4pt] \xi''_1 \\[4pt] \xi''_2 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \longmapsto (\ell_0^{-1}, \ell_0 \ell_2^{-1}, \ell_2^{\ill{}}) \end{array} \] « $\| \ \ell_1^{-1}\ell_0^{-1}$ » est écrit sous $\ell_2$, dans la première ligne ; $\xi'_2$ et $\xi''_1$ restent sans formule ; l'exposant de $\ell_2$ à la dernière ligne est surchargé \[ \begin{array}{lllll} \rho_1 = \xi_1 \xi''_2 : & \ell_0 \longmapsto \ell_0^{-1} & \longmapsto \ell_0 & & \\ & \ell_1 \longmapsto \ell_0 \ell_2^{-1} & \longmapsto \ell_0^{-1} \ell_0^{-1} \ell_1 & = \ell_0^{-2}\ell_1 & \\ & \ell_2 \longmapsto \ell_2 & \longmapsto \ell_1^{-1}\ell_0 & = \ell_2 \ell_0^{2} & \\[6pt] \xi''^{-1}_2 \xi_1^{-1} : & \ell_0 \longmapsto \ell_0^{-1} & \longmapsto \ell_0 & & \\ & \ell_1 \longmapsto \ell_1 & \longmapsto \ell_0 \ell_2^{-1} & = \ell_0^{2}\ell_1 & \\ & \ell_2 \longmapsto \ell_1^{-1}\ell_0 & \longmapsto \ell_2^{\ill{}}\ell_0^{-1}\ell_0^{-1} & = \ell_2 \ell_0^{-2} & \end{array} \] dans « $\rho_1 = \xi_1\xi''_2$ » le second facteur surcharge un $\rho$ ; dans le second tableau les flèches sont tracées vers la gauche ($\longleftarrow$), sauf deux, et nous les redressons ; l'exposant de $\ell_2$ à la dernière ligne est surchargé \[ (\rho_1 \rho''_2)^{2} \qquad\qquad x, \] le bas de la page est un brouillon d'algèbre linéaire, que nous ne donnons qu'en partie : $\mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}$ avec $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3$ et « $V(\mathbb{Z})$ » ; $(x_0, x_1, x_2) \longmapsto (-x_0, x_1, x_0 - x_1)$ ; la base $e_0, e_1, e_2$, puis $e_1 - e_0$, $e_2 - e_0$ ; un petit dessin de trois demi-droites issues d'un point, avec $e_2 = -e_0 - e_1$ ; un second $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}^3$ ($e_1 \mapsto e_2 - e_3$, $e_2 \mapsto$), sous « $\sqrt{I}$ » ; enfin trois paires d'applications entre crochets, en partie biffées, dont nous lisons $(e_0, e_1, e_2) \longmapsto (e_0, e_1 ; e_0 - e_1)$, $(e_1, e_2, e_3) \longmapsto (e_0, e_1 ; e_2 - e_0)$, $(e_0, e_1, e_2) \longmapsto (2e_1 + e_0 - e_1 ; e_2)$, $(e_0, e_1, e_2) \longmapsto (-e_0 - 2e_1, e_1 ; -e_2)$, les deux dernières images étant en partie encadrées et surchargées

92page de brouillon, sans phrases suivies. En haut à gauche, un petit dessin de tétraèdre, sommets marqués $s$ (en haut) et $s'$ (à droite), une face hachurée ; nous ne le redessinons pas \[ \begin{array}{llll} \beta \quad \Sigma_r & (\rho_f, \rho_s, \rho_a) & r \ \emph{\uncertain{direct}} & (3,3,2)^{+} \\ & (\rho'_f, \rho'_s, \rho'_a) & r \ \emph{\uncertain{inverse}} & (3,3,2)^{-} \\[4pt] & (\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''}) & (s, s', s'') \ \text{direct \ill{} \ill{} \ill{}} & (3,3,3)^{+} \\ & (\rho'_s, \rho'_{s'}, \rho'_{s''}) & s, s', s'' \ \text{\ill{} \ill{} \ill{} \ill{}} & (3,3,3)^{-} \\ & \ \ \| & & \\ & \rho_f,\ \rho_{f'},\ \rho_{f''} & & \end{array} \] les deux mots après $r$ sont soulignés ; « direct » et « inverse » sont des lectures \[ \begin{array}{lll} \struck{(\rho_f^{-1}, \rho_s, ?)} & (3,3,2)^{+} \longleftrightarrow (3,3,3)^{+} & (\rho_{s'}^{-1}, \rho_{f'}^{-1}, \rho_{\ill{}}^{-1}) \\ \rho_{s'} & (3,3,2)^{-} \longleftrightarrow (3,3,3)^{-} & \ \ \|\qquad \|\qquad \| \\ (\rho_f, \rho_s^{-1}, ?) & & \ \rho_{f'} \ \ \rho_{s'} \ \ \rho_{\ill{}} \\ \ \ \| & (3,3,2)^{+} \longleftarrow (3,3,3)^{-} & \\ \ \ \rho_{f'} & (3,3,2)^{-} \longleftarrow (3,3,3)^{+} & \end{array} \] \[ \begin{array}{ccc} \Sigma_r & & \Sigma'_r \\ \mathfrak{S}_3^{+} \times R & \Big\backslash & \struck{\ill{}}\ \mathfrak{S}_3 \times R \\ 72 & & 24 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{cc} \sigma\ \Sigma_r & \Big| \ \Sigma'_r \\ \mathfrak{S}_3^{+} \ \ R & \end{array} \] \[ \boxed{\ \sigma \cdot [r] \qquad \lbrace r^{-1} \rbrace\ } \qquad \tau\sigma[r] = \sigma^{\tau}\,\tau[r] \qquad \tau[r] = \Bigl\lbrace \] la dernière accolade reste vide. Les nombres $72$ et $24$ reprennent la somme $72 + 24 = 96$ de la page 89 \[ \mathfrak{S}_3 \cdot \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \qquad\qquad \ell_0 \quad \ell_0 \ell_1 \ell_0^{-1} \quad \ell_0 \ell_1 \ell_0^{-1} \] en bas à gauche, un schéma : $\Pi_0 \hookrightarrow \Omega_0$ (flèche marquée « inv. », c'est-à-dire automorphismes intérieurs), sous $\Omega_0$ une flèche vers $\mathfrak{S}_3$, et un trait oblique relie $\mathbb{E}\mathrm{l}_0$ à $\Omega_0$ ; à côté, « $\mathbb{E}\mathrm{l}$ » \[ \begin{array}{l} \rho_1 \qquad \rho_{\sigma} = \sigma \rho \sigma^{-1} \\ \struck{\rho_1 \rho_{\pi} \quad \rho'_1 \rho'_1} \\ \rho_1 \rho_2 \quad \rho'_1 \rho_2 \quad \rho''_1 \rho''_2 \\ \struck{\rho_1 : \ell_0 \longmapsto \ell_0^{\ill{}} \ \ldots} \quad \rho_1 \\ (-1,1,1)\ (1,-1,1)\ (1,-1,1)\ (1,1,-1)\ (0,0,1)\ (-1,0,0) \\ \ \ \rho_1 \qquad\quad \rho_2 \qquad\quad \rho'_1 \qquad\quad \rho'_2 \qquad \rho''_1 \qquad \rho''_2 \end{array} \] au-dessus des trois paires $\rho_1\rho_2$, $\rho'_1\rho_2$, $\rho''_1\rho''_2$ il trace des doubles flèches $\longleftrightarrow$ ; à droite, les mêmes paires $\rho_1\rho''_2$, $\rho'_1\rho_2$, $\rho''_1\rho'_2$ sont entourées, et un segment gradué « $-1 \ \ 1$ » est dessiné ; sous les six triples, une accolade les rattache aux $\rho$. En bas à gauche, un calcul inachevé : « $x + y + z = 0$ », « $-x + y + \ldots$ ». Les signes de plusieurs triples sont surchargés et se lisent avec doute

93dernière page de la série de douze annoncée par la couverture (pages 82 à 93) : un brouillon en colonnes, dont nous donnons les formules et les quelques mots. En haut, « $\ell_0\ \ell_1\ \ell_2 \longrightarrow$ » suivi de symboles biffés ; en dessous à gauche, un tétraèdre, sommets $s$ (en haut) et $s'$ (à droite), une arête $a$ et une face $f$ marquées, arêtes cachées en pointillé ; nous ne le redessinons pas \[ \begin{array}{ll} \overset{3\quad 3\quad 2}{(\rho_f, \rho_s, \rho_a)} & \mathfrak{S}_3 \\[4pt] \rho_{s'} = \rho_f^{-1} \rho_s & \rho_{-1,1\cdot} \ \big| \ (3,3,2) \longleftrightarrow (3,3,3)^{-} \\ \rho_f\, \rho_s^{-1} = \rho_{f'} & \rho_{1,-1\cdot} \ \big| \ \struck{\ill{}} \\ \struck{\rho_f}\ \rho_s^{-1}\, \rho_a = \rho_{f'}\, \rho_{a'} & \rho_{\cdot\,-1,1} \\[4pt] & \left\lbrace \begin{array}{ll} (3,3,2)^{+} & (3,3,2)^{-} \\ (3,3,3)^{+} & (3,3,3)^{-} \end{array} \right. \end{array} \] dans la colonne de gauche, $\rho_f \rho_s^{-1}$ et $\rho_s^{-1}\rho_a$ sont reliés par des « $\|$ » à $\rho_{f'}$ et $\rho_{a'}$, écrits en dessous ; les chiffres « $3\ 3\ 2$ » sont au-dessus du triple $\mathfrak{S}_3$ […] […] […] […] : 8 él.

\[ \begin{array}{ll} (3,3,2)^{+} \longleftrightarrow (3,3,3)^{+} & \\ \quad \struck{\rho_{1,1\cdot}} & \Big|\ \rho_{-1,1\cdot} \\ (3,3,2)^{-} \longleftrightarrow (3,3,3)^{-} & \\[4pt] (3,3,2) & \Big|\ \rho_{1,-1\cdot} \\ 3, 3, 2 & \end{array} \qquad \tau_{01}\, \rho_{\alpha,1\cdot}\, \tau_{01}^{-1} = \rho_{1,\alpha\cdot} \] \[ \begin{array}{c} \mathfrak{S}_3 * \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \wr\| \\ \struck{\ill{}}\ \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{(*\mathfrak{S}_3)} \end{array} \qquad\qquad \rho^{\sigma}(\varepsilon) \] $\rho(\varepsilon)$ commute à $\rho^{\sigma}(\varepsilon)$, si $\sigma$ est une transposition ⌜de 2⌝ […] $\pi_{01}, \pi_{02}$ […]. « $\pi_{01}, \pi_{02}$ » est écrit au-dessus d'un mot biffé, en fin de phrase \[ \begin{array}{l} \struck{\rho_{\cdot}} \\ \rho_{\cdot}^{\lbrace 0,1\rbrace}\bigl((\varepsilon, 1)\bigr) \\ \rho^{\lbrace 0,1\rbrace}(\varepsilon, \varepsilon') \\ \struck{\rho_{\sigma} \ \ \rho} \\[4pt] \varepsilon_{\sigma} \quad (\sigma \in \mathfrak{S}_3) \\ \varepsilon_1 = \rho^{\lbrace 0,1\rbrace}\, \struck{\ill{}}\, (-1, 1) = \rho_{-1,1\cdot} \\ \pi\, \varepsilon_1\, \pi^{-1} = \rho_{1,-1\cdot} \qquad \pi = \pi_{01} \end{array} \]

Classes de ss-groupes de $\mathfrak{S}_5$ et de ses sous-groupes

inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de couverture jaune (page 94), qui ne porte rien d'autre ; en haut, au crayon, « (3 p) », qui compte les trois feuillets suivants (pages 95 à 97). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

95feuille de schémas, en encre bleue et au crayon, en regard de la liste qui l'ouvre ; nous donnons le texte et les formules, et décrivons les figures sans les redessiner Les ss-groupes […], $\mathbb{Z}_3 = \mathfrak{A}_3$, $\mathbb{Z}_6$, $\mathfrak{S}_2$, $\mathfrak{S}_3$, $\mathbb{D}_3$, $\mathbb{D}_6$, correspondent 1-1 aux triangles de $T$, $\boxed{\mathrm{Tr}(T)}$

les ss-groupes $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_4$, […], $\mathfrak{S}_{22}$, $\mathbb{D}_4$ correspondent 1-1 aux carrés de $T$, $\boxed{\mathrm{Car}\,T}$

— $\mathbb{D}_2$, $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$ — pts de $T$ $\boxed{T}$

— $\mathbb{Z}_5$, $\mathbb{D}_5$ — pent. de $T$ $\boxed{\mathrm{Pent}(T)}$

— $1$, $\mathfrak{A}_5$, $\mathfrak{S}_5$ sont invariants

Il y a $160$ ss-groupes $\neq 1, \mathfrak{S}_5$ les tirets reprennent, ligne à ligne, « les ss-groupes » et « correspondent 1-1 aux » ; $T$ est l'ensemble à cinq éléments sur lequel opère $\mathfrak{S}_5$. Il écrit $\mathfrak{A}_n$ d'une lettre en forme de $G$, comme page 90

déterminer les automorphismes extérieurs éléments des groupes $\mathfrak{S}_n$ note encerclée d'un trait, à droite ; le troisième mot se lit mal

\[ \begin{array}{rl} \text{\emph{NB} de ss-groupes} & 6 \times 10 = 60 \\ + & 4 \times 15 = 60 \\ + & 3 \times 5 = 15 \\ + & 2 \times 12 = 24 \\ + & 3 \times 1 = 3 \\ \hline & 162 \end{array} \] le « 12 » de la quatrième ligne est entouré et porte un petit indice ; le total $162$ compte aussi $1$ et $\mathfrak{S}_5$, d'où les $160$ annoncés plus haut

\[ \boxed{ \begin{array}{l} \mathbb{Z}_2 \simeq \mathfrak{S}_2 \\ \mathbb{D}_2 \simeq \mathfrak{S}_{2,2} \\ \mathbb{D}_3 \simeq \mathfrak{S}_3 \end{array}} \qquad \widetilde{\mathfrak{S}}_3 = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}'_2 \] figures. En haut à gauche, un treillis au crayon et à l'encre, en forme de losanges, dont les flèches montent de gauche à droite ; au-dessous et au milieu, un grand treillis encadré d'une courbe fermée, dont les sommets sont $\mathfrak{A}_2 = 1$, $\mathbb{Z}_2$, $\mathfrak{S}_2$, $\mathfrak{S}'_2$, $\mathfrak{S}''_2$, $\mathfrak{S}_{22}$, $\mathfrak{S}^{*}_{22}$, $\mathfrak{A}_3$, $\mathbb{D}_3$, $\mathfrak{S}_3$, $\mathfrak{S}'_3$, $\mathbb{D}'_3$, $\mathbb{Z}_6$, $\mathbb{Z}'_6$, $\widetilde{\mathfrak{S}}_3$, $\widetilde{\mathfrak{S}}'_3$, $\mathfrak{A}_5$, $\mathfrak{S}_5$, avec à gauche un petit losange $\mathbb{D}_4$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{D}_2$, $\mathbb{E}_2$ et en dessous $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathbb{D}_2$, $\mathbb{D}_4$ ; certaines flèches sont en pointillé. Au milieu, un octaèdre au crayon. À droite, un diagramme d'ensembles : les points $1, 2, 3, 4, 5$ dans des ovales marqués $\mathfrak{S}_2$ (autour de $1, 2$), $\mathfrak{S}'_2$ (autour de $4, 5$), $\mathfrak{S}_3$ et $\mathfrak{S}'_3$ en bas, un treillis en perspective, plus soigné, dont les sommets encadrés sont les représentants des classes : $\mathbb{D}_4$ (« $(\mathrm{Car}(T), 15)$ »), $\mathfrak{S}_4$ (« $(T, 5)$ »), $\mathbb{D}_6$ (« $(\mathrm{Tr}(T), 10)$ »), $\mathfrak{S}_5$ (« $1$ »), $\mathbb{D}_5$ (« $(\mathrm{Pent}(T), 12)$ »), $\mathfrak{A}_2 = 1$ ; les autres sommets sont $\mathfrak{S}_{22}$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{D}_2$, $\mathfrak{S}_2 \simeq \mathfrak{S}'_2$, $\mathbb{E}_2$, $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_3$, $\mathbb{Z}_6$, $\mathbb{D}_3$, $\mathfrak{A}_3 = \mathbb{Z}_3$, $\mathfrak{A}_5$, $\mathbb{Z}_5$ ; des arêtes portent les indices $2$, $3$, $5$, $6$, $10$ \[ \begin{array}{c|ccccc} \mathbb{Z}_1 & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_3 & \mathbb{Z}_4 & \mathbb{Z}_5 & \mathbb{Z}_6 \\ & \mathbb{D}_2 & \mathbb{D}_3 & \mathbb{D}_4 & \mathbb{D}_5 & \mathbb{D}_6 \\ & \mathfrak{S}_2 & \mathfrak{S}_3 & \mathfrak{S}_4 & \mathfrak{S}_5 & \\ \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}_2 & & \mathfrak{A}_3 & \mathfrak{A}_4 & \mathfrak{A}_5 & \end{array} \] tableau en bas à droite : tous les noms sont soulignés ; un trait sépare les colonnes, un cadre entoure $\mathbb{D}_3, \ldots, \mathfrak{S}_5$ ; « $\mathfrak{A}_3$ » est répété au-dessus de $\mathbb{Z}_3$ avec des guillemets ditto. Dessous, en partie biffé : $\mathfrak{S}_{22}$, $\mathfrak{S}''_2 \times \mathbb{Z}_2$, $\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}_2$. À gauche, une colonne biffée ($\mathbb{Z}_2 \ldots \mathbb{Z}_6$, $\mathbb{D}_2 \ldots \mathbb{D}_5$, $\mathfrak{S}_{22}$, …) préparait le même tableau

96feuille de dessins au crayon, sans texte : en haut à gauche une bipyramide triangulaire (deux tétraèdres accolés par une face) ; en bas à droite un assemblage de tétraèdres autour d'un sommet commun, esquissé et repassé ; au milieu, quelques traits effacés. Nous ne les redessinons pas

97Les $18$ sous-groupes ⌜classes de ss-groupes⌝ de $\mathfrak{S}_5$ dont 9 abéliens \[ \begin{array}{rl} [9] & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{A}_5 \\ 11 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{S}_4 \\ 5 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{A}_4 \\ 4 & \text{classes de ss-groupes de } \mathfrak{S}_3 \\ 7 & \text{classes de ss-groupes de } \mathbb{D}_4 \\ 10 & \text{--- \quad } \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \end{array} \] « classes de » est écrit au-dessus de « sous-groupes », biffé ; la note encerclée à gauche est reliée par un trait au nombre $18$, qui surcharge un autre chiffre ; le $[9]$ et le $11$ sont repassés. Sous le $10$, trois traits obliques

\[ \left\lbrace \begin{array}{l} \mathbb{F}_2 = \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4) = \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4, \mathfrak{S}_4) \\ \mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2, \mathfrak{S}_4) \\[4pt] \mathbb{F}_2 = 2\cdot\mathbb{Z}_4 = {}_2(\mathbb{Z}_4) \\ \mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{Z}_4, \mathfrak{S}_4) \\[4pt] \mathbb{Z}_4 = \text{groupe engendré par \ill{} \ill{} des 2 él.\ d'ordre 4 de } \mathbb{D}_4 \\[4pt] \mathfrak{S}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2^{2}, \mathfrak{S}_5) \\ \mathbb{F}_2^{2} = \text{seul sous-groupe invariant de } \mathfrak{S}_4 \text{ d'indice } 6 \end{array} \right. \] $\mathfrak{Z}$ : centre (ou centralisateur) ; $\mathcal{N}$ : normalisateur. Dans « $\mathbb{D}_4 = \mathcal{N}(\mathbb{F}_2, \mathfrak{S}_4)$ » la virgule surcharge un signe. Nous lisons « $\mathbb{F}_2^{2}$ » le groupe de Klein, écrit d'un $\mathbb{F}$ double avec un exposant $2$

figures. En haut à gauche, un grand treillis en perspective des classes de sous-groupes de $\mathfrak{S}_5$, repris de la page 95 et mis au net, dont les sommets sont $\mathfrak{A}_2 = 1$, $\mathfrak{S}_2$, $\mathbb{F}_2$, $\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}'_2 = \mathfrak{S}_2 \times \mathbb{F}_2$, $\mathbb{D}_2 = \mathbb{F}_2^{2}$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{D}_4$, $\mathfrak{S}_3$, $\mathbb{Z}_6$, $\mathbb{D}_3$, $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}''_2$, $\mathfrak{A}_3 = \mathbb{Z}_3$, $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$, $\mathfrak{S}_5$, $\mathbb{D}_5$, $\mathbb{Z}_5$ ; les arêtes portent des indices ($2$, $3$, $5$), certaines en pointillé, et une bande ombrée longe le chemin de $\mathfrak{A}_3$ à $\mathfrak{A}_5$. En bas à gauche, des correspondances marquées de doubles flèches : $\mathbb{F}_2 \leftrightarrow \mathbb{Z}/4 \leftrightarrow \mathbb{D}_4 \leftrightarrow \mathfrak{S}_4 \times \mathbb{F}_2$, $\mathbb{D}_2 \leftarrow \mathfrak{A}_4 \leftrightarrow \mathfrak{S}_4$, $\mathbb{D}_3 \leftrightarrow \mathfrak{S}_3 \leftrightarrow \mathbb{D}_3 \leftrightarrow \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}''_2$, $\mathbb{D}_5 \leftrightarrow \mathbb{Z}_5$, $\mathbb{Z}_6$, avec des groupes entourés et une ligne biffée ; tout en bas, deux petits schémas : $\mathfrak{S}_3$ au-dessus de $\mathfrak{A}_3$, et un rectangle $\mathfrak{S}_2$ – $\mathfrak{S}_3$ – $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}'_3$, $\mathfrak{A}_3$ – $\mathbb{D}_3$

Opérations sur systèmes de Schwartz

Classes de ss-groupes de \(\mathfrak{S}_5\) et de ses sous-groupes