Cote n° 85 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Hyperpolygônes réguliers (suite)

Les pages 61 à 73 continuent la suite ouverte par la couverture de la page 57 (lot 3), « Hyperpolygônes réguliers », dont le compte au crayon « (16 p) » couvre les pages 58 à 73. La page 61 reprend au milieu du calcul.

61\[ \beta = c\,\frac{\cdots}{\cdots} = c\,\frac{(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1)}{(\kappa_1 - 1)} = \xi\,(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1) = \xi\,\mu_0\mu_1, \qquad \xi = \frac{c}{\kappa_1 - 1} \in \mathbb{R} \] \[ \kappa_i = \mathrm{Tr}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}\,\lambda_i = \lambda_i + \overline{\lambda}_i = \lambda_i + \lambda_i^{-1} \qquad (\lambda_i \overline{\lambda}_i = 1) \] NB \(\det \tau_0\tau_1 = \lambda_0\lambda_1\), \(\mathrm{Tr}\,\tau_0\tau_1 = \) La première égalité est surchargée ; le quotient qui suit \(c\), noté ici par des points, ne se lit pas ([…]).

\(\xi\) satisfait à l'équation \[ \frac{(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1)}{\lambda_0\lambda_1} \Bigl[\xi^2 + 2\,\frac{\lambda_0 + \lambda_1}{(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1)}\,\xi + \frac{\lambda_0^2 + \lambda_1^2}{(\lambda_0 - 1)^2(\lambda_1 - 1)^2}\Bigr] = \kappa \in \lbrace -2, -1, 0, \alpha, \alpha' \rbrace \] qui exprime que \(\tau_0^{C}\tau_1^{C}\) est d'ordre 2, 3, 4 ou 5. [\(u = \tau_0\tau_1\) a comme trace \(\lambda_0 + \lambda_1 + \beta\), comme déterminant \(\lambda_0\lambda_1\)], et \[ \kappa = \kappa(u) = \frac{(\mathrm{Tr}\, u)^2}{\det u} - 2 \] Le facteur devant le crochet est écrit dans la marge gauche ; sa lecture et celle du dernier terme sont incertaines.

NB si \(\lambda = \exp i\theta\), \(\lambda' = \exp i\theta'\), alors \[ |\lambda + \lambda'| = 2\Bigl|\cos\frac{\theta' - \theta}{2}\Bigr|,\quad |\lambda^2 + \lambda'^2| = 2|\cos(\theta' - \theta)|, \] \[ |\lambda - 1|^2 = 2 - \kappa(\lambda),\quad \kappa(\lambda) = \mathrm{Tr}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}\,\lambda = 2\cos\theta,\quad |\lambda - 1| = 2\Bigl|\sin\frac{\theta}{2}\Bigr| \] \[ 2\,\frac{\lambda + \lambda'}{(\lambda - 1)(\lambda' - 1)} = -\,\frac{\cos\frac{\theta' - \theta}{2}} {\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta'}{2}}, \qquad \frac{(\lambda_0 - 1)^2(\lambda_1 - 1)^2}{\lambda_0\lambda_1} = 16\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2} \] \[ \frac{\lambda^2 + \lambda'^2}{(\lambda - 1)^2(\lambda' - 1)^2} = \frac{2\cos(\theta' - \theta)}{16\sin^2\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta'}{2}} = \frac{1}{8}\,\frac{\cos(\theta' - \theta)}{\sin^2\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta'}{2}}, \qquad 0 < \theta_0, \theta_1 \leq \pi \] d'où \[ \xi^2 - \frac{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}}{\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}}\,\xi + \frac{1}{8}\Bigl(\frac{2\cos(\theta_1 - \theta_0) - \kappa} {\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}}\Bigr) = 0 \] \[ \Delta(\kappa) = \frac{1}{2}\,\frac{\cdots}{\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}} \Bigl[\underbrace{2\cos^2\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} - \cos(\theta_1 - \theta_0)}_{1} + \frac{1}{2}\kappa\Bigr] = \boxed{\frac{\kappa + 2}{4\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}}} \geq 0 \] \[ \kappa + 2 = 2(1 + \cos\Theta) = 4\cos^2\frac{\Theta}{2} \] Dans la première fraction, un 4 biffé au numérateur et au dénominateur ; dans l'équation en \(\xi\), un terme biffé après \(\kappa\) ; dans \(\Delta(\kappa)\), le numérateur (points) est biffé et illisible ([…]). Plusieurs états successifs sont biffés ; l'expression encadrée est entourée d'un cercle. Une colonne de calculs écrite en travers dans la marge gauche (rapports de sinus et de cosinus des demi-angles) ne se lit qu'en partie.

[…] […] […] N'est nul que si \(\kappa = -2\) i.e. \(\tau_0^{C}\tau_1^{C}\) est d'ordre 2. […] auquel cas il y a une seule solution \[ \boxed{\xi = \frac{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}}{2\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}}} \] […] les valeurs de \(\lambda_i = \exp 2i\pi/\nu_i\), \(2 \leq \nu_i \leq 5\). Cela fait 16 ⌜\(= 15\)⌝ possibilités (en excluant \(\nu_0 = \nu_1 = 2\)). Le « 16 » est repassé en gras et barré d'un trait oblique, avec « \(= 15\) » au-dessus ; la lecture du chiffre retenu est incertaine.

62Pour chacun des ⌜quatre autres⌝ cas \(\kappa = -1, 0, \alpha, \alpha'\), cela fait deux autres possibilités, ce qui fait a priori encore \(8 \cdot 15 = 120\) possibilités — mais il faut en exclure un bon paquet… !

Principes d'élimination

Au dénominateur du coefficient de \(\xi\), les demi-angles sont surchargés.

L'analyse géométrique des « syst. de Schwartz » montre que la situation projective (dans \(C = \check{\mathbf{P}}(V)\)) est déterminée mod iso, par la connaissance de \(\kappa_0\), \(\kappa_1\) et \(\kappa\) (qui fixent […] \(\kappa_0, \kappa_1\)) (classes de conjugaison de \(\tau_0^{C}, \tau_1^{C}\) et \((\tau_0^{C}\tau_1^{C})^{-1}\) ou \(\tau_0^{C}\tau_1^{C}\)) dans D'autant plus \(G = \mathrm{Aut}(X)\), […] ce qui revient au même, dans le groupe pythagoricien \(H\) qu'ils engendrent (mod \(\mathrm{Aut}(H)\) dans le cas tétraédral, mod \(\mathrm{Int}(H)\)).

63D'autre part, pour une situation projective donnée, il y a 4 choix de situations hyperpolygônales i.e. donnant naissance (savoir le choix d'un des deux pts fixes pour \(\tau_0\), et pour \(\tau_1\)) au prix d'une telle situation. Correspondance : \(\lambda_0, \lambda_1\), \(\beta = \xi(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1)\). D'un autre côté, remplaçant \(\tau_0\) par \(\frac{1}{\lambda_0}\tau_0\), ou \(\tau_1\) par \(\frac{1}{\lambda_1}\tau_1\), ou l'un et l'autre à la fois — ce qui ne change pas \(\kappa_0, \kappa_1, \kappa'\) car \(\tau_0, \tau_1\) et \(\tau_0\tau_1\) sont multipliés chacun par un scalaire. Donc en principe Mais ceci remplace \((\lambda_0, \lambda_1)\) par \((\lambda_0^{-1}, \lambda_1)\) resp. \((\lambda_0, \lambda_1^{-1})\) resp. \((\lambda_0^{-1}, \lambda_1^{-1})\) qui sont déjà différents de ⌜« en général »⌝ […] […] des valeurs […] […] :

[…] des valeurs correspondantes de \(\beta\), qui ne peut […] ⌜a priori⌝ prendre que 2 val. possibles, d'après l'équation […] plus […] \(\beta\) Bloc encadré et barré de deux traits obliques.

— « en général » signifiant que \(\nu_0\) et \(\nu_1\) sont \(\neq 2\), i.e. \(\lambda_0, \lambda_1 \neq -1\) (i.e. \(\mu_0, \mu_1 \neq -2\)). Dans ce cas il s'ensuit ⌜\(\lambda_0, \lambda_1\) et \(\kappa\) fixés, […] \(\kappa \neq -2\)⌝ les 2 solutions […] de ce que […] l'équation en \(\xi\) a a priori 2 sol. La fin de la page est blanche.

64Groupes pythagoriciens

\(\updownarrow\)

[…] données \((\lambda_0, \lambda_1, \beta = \xi(\lambda_0 - 1)(\lambda_1 - 1))\)

\(\updownarrow\)

[…] couples de 2 ps. réfl. \(\tau_0, \tau_1\) dans ⌜plan⌝ vectoriel \(V\) (épinglés par deux droites \(a_0 \in V^{\tau_0}\)…) : conditions de non dég. et d'engendrer d'un groupe fini… Les trois termes sont reliés par des flèches verticales à double pointe. Sous le dernier, un petit schéma : \(V\), les droites \(L_0, L_1\) et \(L_0', L_1'\), reliées par des traits.

\(\longleftrightarrow\) couples pythag. ⌜couples pythag.⌝ ([…]) d'un \((\tau_0^{C}, \tau_1^{C})\) dans plan proj. \(+\) \(a_0\) point fixe de \(\tau_0^{C}\), \(a_1\) pt fixe de \(\tau_1^{C}\) \(\longleftrightarrow\) ceci équivaut à donnée de la situation pyth. projective \(\kappa_0, \kappa_1, \kappa\) admis., \(+\) \(a_0, a_1\) dans le syst. défini par \(\kappa_0, \kappa_1, \kappa\). Colonne de droite de la page, reliée à la précédente par une flèche horizontale à double pointe.

Si \(\kappa_i\) fixé, \(\lambda_i\) sont déterminés comme […] des deux solutions de \[ \lambda_i^2 + \kappa_i\lambda_i + 1 = 0 \] Le choix des \(\lambda_i\) équivaut, […] pour \(\lambda_i \neq -1\) i.e. \(\kappa_i \neq -2\) i.e. \(\nu_i \neq 2\), au choix des \(a_i\) […] ; si par contre \(\nu_i = 2\) i.e. \(\lambda_i = -1\) i.e. \(\kappa_i = -2\), Le signe de \(\kappa_i\lambda_i\) est transcrit tel qu'écrit ; avec \(\kappa_i = \lambda_i + \lambda_i^{-1}\) (page 61) on attendrait \(\lambda_i^2 - \kappa_i\lambda_i + 1 = 0\). La phrase s'arrête sur la virgule.

La moitié inférieure de la page porte, tête-bêche et barré de traits obliques, un brouillon antérieur : trois faisceaux de droites concourantes (légendes \(D_1, D_2, D_1'\) et \(D, D', D''\)), et les formules « \(\rho(e_0) = e_0\), \(\rho(e_1) = -e_1\), \(\rho'(e_0) = \) », « \((\varepsilon_1, \varepsilon_2) = \eta\), \(\eta^2 = \mathrm{id}\), \(\eta'^2 = \mathrm{id}\), \(\eta''^2 = \mathrm{id}\), \(\eta\eta' = ?\), \(\eta'\eta'' = ?\), \(\eta\eta'\eta'' = \) », et « \(\lambda_0 = \varphi_0^2 = (s_0 + ic_0)^2 = s_0^2 - c_0^2 + 2is_0c_0\) », « \(\lambda_1 = \varphi_1^2 = \) ».

65Donc le choix (ce qui ne change pas dans le cas […] pour un seul des indices \(i = 0, 1\)) alors la donnée de \((\lambda_0, \lambda_1, \kappa)\) […] détermine pas la classe d'iso des hyperpolygônes pythagoriciens, i.e. […] déterminée par \(\xi\).

En résumé ([…] […] projectif)

Dans b), le signe après \(\kappa\) dans le crochet final se lit \(=\) ou \(\neq\) ; \(\neq\) est retenu parce que la phrase conclut à deux racines distinctes.

Il n'est donc pas vrai que \(\nu_0, \nu_1, \nu\) déterminent la classe d'iso d'un hyperpolygône, — à

66un normalisé ⌜\(\lambda_0, \lambda_1\)⌝ par le choix de racines primitives 3e, 4e et 5e de 1 (par exemple \(\exp 2i\pi/\nu\) quand on est sur \(\mathbb{C}\)), et ceci pour deux raisons :

1) Cas où \(\lambda_0\) ou \(\lambda_1\) est égal à \(-1\), i.e. \(\nu_0\) ou \(\nu_1\) égal 2 — cela introduit (pour \(\kappa\) déjà fixé) une ambiguïté d'ordre 2 : \[ \begin{array}{lll} \text{Cas} & (3,2,3)\,(2,3,3) & (\text{tétraédraux}) \\ & (3,2,4)\,(2,4,3)\,(2,3,4)\,(4,2,3) & (\text{octaédraux}) \\ & (3,2,\underline{5})\,(2,5,3)\,(2,3,\underline{5})\,(5,2,3) & (\text{icosaédraux}) \\ & (5,2,5')\,(2,5,5') & \end{array} \] Les deux dernières lignes sont réunies par une accolade.

2) Cas où \(\nu = 5\), et où on peut avoir le choix entre \(\kappa = \alpha\) et \(\kappa = \alpha'\) (cas icosaédral) \[ \begin{array}{ll} (3,2,5)\,(2,3,5) & (\text{qui figurent déjà dans liste 1)}) \\ \bigl[(3,2,5')\,(2,3,5')\bigr] & \end{array} \]

Finalement, compte tenu du choix des racines primitives 3e 4e et 5e de 1 pour normaliser \(\lambda_0, \lambda_1\), on trouve les possibilités suivantes — où on souligne les possibilités numériques qui donnent lieu à deux hyperpolygônes, en interprétant comme d'habitude 5, 5' comme signifiant \(\kappa = \alpha\) resp. \(\kappa = \alpha'\) :

67\[ \begin{array}{rll} 6 & \textit{Cas tétraédraux} & (3,3,2)_{(4)}\ \underline{(3,2,3)}_{(2)}\ \underline{(2,3,3)}_{(2)}\ (3,3,3)_{(4)} \\[4pt] 13 & \textit{Cas octaédraux} & (4,3,2)_{(4)}\ \underline{(3,2,4)}_{(2)}\ \underline{(2,4,3)}_{(2)}\ \underline{(2,3,4)}_{(2)}\ (3,4,2)_{(4)}\ \underline{(4,2,3)}_{(2)} \\ & & (4,4,3)_{(4)}\ (4,3,4)_{(4)}\ (3,4,4)_{(4)} \\[4pt] 10 & \textit{Cas icosaédraux} & (5,3,2)_{(8)}\ \underline{(3,2,5)}_{(2)}\ \underline{(2,5,3)}_{(4)}\ \underline{(2,3,5)}_{(2)}\ (3,5,2)_{(8)}\ \underline{(5,2,3)}_{(4)} \\ +4 & & \underline{(3,2,5')}_{(2)}\ \underline{(2,3,5')}_{(2)} \\ +4 & & (5,5,3)_{(16)}\ (5,3,5)_{(8)}\ (3,5,5)_{(8)} \\ 2 & & (5,3,5')_{(8)}\ (3,5,5')_{(8)} \\ 4 & & \underline{(2,5,5')}_{(4)}\ \underline{(5,2,5')}_{(4)} \\ 1 & & (5,5,5)_{(16)} \\ \hline 25 & & \end{array} \] Les nombres entre parenthèses sont écrits sous chaque triple ; ceux de la ligne « \(+4\) » des cas icosaédraux, et les lignes « \(+4\) » et « 2 », sont regroupées par des accolades. Dans \((5,3,5')\) et \((3,5,5')\) les premiers chiffres sont surchargés.

\[ \begin{array}{rl} 6 & \text{Cas tétraédraux} \\ 13 & \text{Cas octaédraux} \\ 25 & \text{Cas icosaédraux} \\ \hline 44 & \text{Cas au total} \end{array} \] [Il y a 14 cas sur les 44 où le type numérique ne suffit pas à déterminer le type d'iso. […]]

NB On a mis […] […], en […], le nombre d'hyperpolygônes […] […] […] […] Ta-Ti : [égal à \(\varphi(\nu_0)\varphi(\nu_1)\), prenant les valeurs 2, 4, 8, 16]. On vérifie bien que le total (obtenu […] l'un de tous les cas) redonne \(4 \cdot 45 = 180\). Dans le calcul, il faut bien tenir compte aussi des conjugaisons, […] […] Cette note est écrite en colonne, à droite de la page ; la fin se perd dans des surcharges.

[NB Les syst. pythagoriciens de 2 ps. réflexions \(\tau_0, \tau_1\) (normalisés par \(\lambda_0, \lambda_1\)) sont plus nombreux, chacun des 45 systèmes de Schwartz \((\kappa_0, \kappa_1, \kappa)\) possibles donnant \(4\) ⌜\(= 2 \times 2\)⌝ possibilités, d'où 180 possibilités. Pour calculer les \(\xi\) dans chacun des 180 cas, en trouvant […] qu'il faudrait […] vérifier que \(\xi\) […]

68change quand on remplace \(\tau_0, \tau_1\) par \(\tau_0^{\ell_0}, \tau_1^{\ell_1}\) (avec \((\ell_0, \nu_0) = (\ell_1, \nu_1) = 1\)) — cela qui […] bien […] pas changer. Ceci […] permet de […] ramener aux 45 cas normalisés, où il y a une formule qu'il faudrait expliciter…

Résumons les ambiguïtés Le reste de la page est blanc.

69\[ f_{\kappa}(\xi) = \xi^2 - \frac{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}} {\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}}\,\xi + \frac{1}{\cdot}\, \frac{\cdot\cos(\theta_1 - \theta_0) - \kappa\cos\Theta} {\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}}, \qquad \kappa = 2\cos\Theta \] \[ f_{\kappa}(1) = \sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2} - \sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} + \frac{1}{\cdot}\bigl(\cdot\cos(\theta_1 - \theta_0) - \cos\Theta\bigr) \] Les chiffres notés \(\cdot\), devant \(\cos\) et au dénominateur, sont surchargés et illisibles ([…]) ; le dernier numérateur porte « \(\kappa\cos\) » ou « \(\cos\) » selon l'état.

\[ \frac{2\pi}{5} \leq \theta_0, \theta_1, \Theta \leq \frac{2\pi}{3} \] \[ |\theta_1 - \theta_0| \leq \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{15} \quad\Bigl(< \frac{2\pi}{5} \leq \Theta, \theta_0, \theta_1\Bigr) \] sauf […] \(\Theta = \frac{4\pi}{5}\) i.e. \(\kappa = \alpha'\)

\(\cos(\theta_1 - \theta_0)\) \(\geq\) […] \(\cos\Theta\) […] dans les termes constants de (E) sont \(> 0\)

\(\cos(\theta_1 - \theta_0) \geq \cos\Theta\), si \(|\theta_1 - \theta_0| \leq \Theta\) p.ex. les deux racines […] \(\Theta \geq \frac{4\pi}{15}\), […] Sous ces lignes, un croquis barré de courbes oscillantes, et un schéma de parabole coupant un segment \([0, 1]\) en deux points.

\[ (\xi - \xi')^2 = (\xi + \xi')^2 - 4\xi\xi' \] \[ = \frac{\cos^2\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}} {\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}} - \frac{1}{2}\,\frac{\cos(\theta_1 - \theta_0) - \cos\Theta} {\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}} \geq 1\ ? \] \[ \underbrace{\cdot\,\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\frac{\theta_1}{2}}_{\geq\ 2\sin^4\frac{\pi}{3}} + \bigl(\cos(\theta_1 - \theta_0) - \cos\Theta\bigr) \] Le coefficient noté \(\cdot\) est illisible ([…]).

\[ 7\ \text{cas}\ \left\lbrace \begin{array}{l} (3,3,3) \\ (4,4,3)\,(4,3,4)\,(3,4,4) \\ (5,5,3)\,(5,3,5)\,(3,5,5) \\ (3,5,5')\,(5,3,5') \\ (5,5,5) \end{array}\right. \] Dans la liste, \((4,3,4)(3,4,4)\), \((5,3,5)(3,5,5)\) et \((3,5,5')(5,3,5')\) sont chacun réunis par une accolade.

70À vérifier \[ \frac{1}{4\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}} \cdot\Bigl[2\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} + \sqrt{\kappa + 2}\Bigr] \geq 1 \] i.e. \[ 2\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} + \underbrace{\sqrt{\kappa + 2}}_{2\cos\Theta/2} \geq 4\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2} \qquad \bigl(\kappa + 2 = 2(\cos\Theta + 1) = 4\cos^2\tfrac{\Theta}{2}\bigr) \] i.e. \[ \boxed{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} + \cos\frac{\Theta}{2} \geq 2\sin\frac{\theta_0}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}} \]

\[ \boxed{(3,3,3)}\qquad \underbrace{1 + \tfrac{1}{2}}_{3/2} \geq \underbrace{2\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2}_{3/2}\quad \text{OK} \] \[ \boxed{(4,4,3)}\qquad \underbrace{1 + \tfrac{1}{2}}_{3/2} \geq \underbrace{2\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2}_{1}\quad \text{OK} \] Dans la deuxième boîte, le premier chiffre est un 4 écrit sur un 3. \[ \boxed{(4,3,4)}\ \text{et}\ \boxed{(3,4,4)}\qquad \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq \underbrace{2\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{4}\Bigr)}_{\sqrt{6}/2} \] \[ \text{i.e.}\quad \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2} \geq \sqrt{6},\qquad 2 + \sqrt{3} + 2 + \underbrace{2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}_{\geq 4} \geq 6 \quad \text{OK} \] \[ \boxed{(5,5,3)}\qquad 1 + \frac{1}{2} \geq 2\underbrace{\sin^2\frac{\pi}{5}}_{\frac{1}{4}(2 - \alpha)} = \frac{1}{2}(2 - \alpha) \] \[ 3 \geq (2 - \alpha),\qquad 1 \geq -\alpha\quad \text{OK} \] Dans la dernière boîte, le premier 5 est écrit sur un 3.

71Toute la page est barrée de longs traits obliques.

\(\boxed{(5,5,3)}\) \[ \theta_0 = \theta_1 = \frac{2\pi}{5},\qquad \Theta = \frac{2\pi}{3} \] \[ \cos\frac{\theta_0 - \theta_1}{2} = \cos(\theta_0 - \theta_1) = 1,\qquad \cos\Theta = -1 \] \[ \sin\frac{\theta_0}{2} = \sin\frac{\theta_1}{2} = \sin\frac{\pi}{5} = \] La valeur qui suit est biffée : […]. \[ \sin^2\frac{\theta_0}{2} = \frac{1}{2}(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{\alpha}{2}\Bigr) = \frac{1}{4}(2 - \alpha) \] \[ \sin^4\frac{\theta_0}{2} = \frac{1}{16}(\underbrace{\alpha^2 + 4 - 4\alpha}_{5 - 5\alpha}) = \frac{5}{16}(1 - \alpha) \] \[ \xi^2 - \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{5}}\,\xi + \frac{1}{8}\,\frac{1 - (-1)}{\sin^4\frac{\pi}{5}} = 0 \quad\text{i.e.}\quad \xi^2 - \frac{1}{\frac{1}{4}(2 - \alpha)}\,\xi + \frac{1}{4}\,\frac{1}{\frac{5}{16}(1 - \alpha)} = 0 \] \[ \xi^2 - \frac{4(2 - \alpha')}{(2 - \alpha)(2 - \alpha')}\,\xi + \frac{4}{5}\,\frac{(1 - \alpha')}{(1 - \alpha)(1 - \alpha')} \] \[ N(2 - \alpha) = 4 - 1 + 2 = 5,\qquad N(1 - \alpha) = 1 - 1 + 1 = 1 \] \[ -\alpha' = 1 + \alpha,\qquad 2 - \alpha' = 3 + \alpha,\qquad 1 - \alpha' = 2 + \alpha \] Le « \(-1\) » de \(\cos\Theta\) est écrit tel qu'il est sur la page, le chiffre devant \(\cos\) biffé. À gauche, un pentagone inscrit dans un cercle avec un triangle marqué \(\zeta\), et la formule \(\frac{1}{|1 + \zeta|}\,\mathcal{R}(1 + \zeta) = \sin\frac{\pi}{5}\).

\[ \zeta = \frac{\alpha}{2} + i\sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4}} = \frac{\alpha}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{\alpha + 3} \qquad \Bigl(\sqrt{1 - \tfrac{\alpha^2}{4}} = \tfrac{1}{2}\sqrt{4 - \alpha^2}\Bigr) \] \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\), NB \(4 - \alpha^2 = 3 + \alpha\) \[ |\zeta + 1|^2 = \Bigl(1 + \frac{\alpha}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{\alpha + 3}}{2}\Bigr)^2 = 1 + \alpha + \frac{\alpha^2}{4} + \frac{\alpha + 3}{4} = \frac{3}{2} + \alpha \] \[ \sin\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \alpha/2}{\sqrt{3/2 + \alpha}} = \frac{1}{2}\,\frac{(\alpha + 2)}{3 + 2\alpha}\sqrt{3/2 + \alpha} = \alpha\sqrt{3/2 + \alpha} \] Suivi d'un terme biffé : […]. \[ \sin^2\Bigl(\frac{\pi}{5}\Bigr) = \alpha^2(3/2 + \alpha) = (1 - \alpha)(3/2 + \alpha) = 3/2 - \tfrac{1}{2}\alpha - \underbrace{\alpha^2}_{\alpha - 1} = \frac{1}{2}(\alpha + 1) \] \[ N(3 + 2\alpha) = 9 - 4 - 6 = -1,\qquad (3 + 2\alpha)(3 + 2\alpha') \] \[ \frac{\alpha + 2}{3 + 2\alpha} = -(\alpha + 2)(3 + 2\alpha') = -(\alpha + 2)(1 - 2\alpha) = -\bigl[\underbrace{-2\alpha^2}_{2\alpha - 2} - 3\alpha + 2\bigr] = \alpha \] \[ \xi^2 - \Bigl[\frac{4}{5}(3 + \alpha)\Bigr]\xi + \Bigl(\frac{4}{5}(2 + \alpha)\Bigr) = 0 \] \[ \xi = \frac{2}{5}(3 + \alpha) \pm \frac{2}{5} \sqrt{(3 + \alpha)^2 - 5(2 + \alpha)} = \frac{2}{5}(3 + \alpha) \pm \sqrt{-5\alpha} \] \[ 9 + 6\alpha + \alpha^2 - 10 - 5\alpha = \ldots \qquad (\alpha^2 = 1 - \alpha) \] Le résultat, \(5\alpha\), est biffé. Les coefficients sous le radical sont écrits sur d'autres, biffés ; le dernier résultat est barré. Le calcul est laissé tel quel : avec \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\), la quantité sous l'accolade est nulle.

72\(\boxed{(5,3,5)}\) et \(\boxed{(3,5,5)}\) La première boîte est précédée d'un signe de racine. \[ \theta_0 = \frac{2\pi}{5},\quad \theta_1 = \frac{2\pi}{3},\quad \theta_1 - \theta_0 = \frac{4\pi}{15},\quad \frac{\theta_1 - \theta_0}{2} = \frac{2\pi}{15},\quad \cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} = \cos\Theta. \] \[ \underbrace{\cos\frac{2\pi}{15}}_{\frac{\alpha}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{9 + 3\alpha}} + \underbrace{\cos\frac{\pi}{5}}_{\frac{1}{2}(1 + \alpha)} \overset{?}{\geq} 2\underbrace{\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{3}} _{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{3 + \alpha} = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 3\alpha}} \] \[ \text{i.e.}\quad \frac{1}{2} + \frac{3\alpha}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{9 + 3\alpha} \ \geq\ \ldots \] Sous les accolades, des états biffés (\(\sqrt{2 + \alpha}\), \(1 + 2\alpha\), \(\sqrt{3}\)).

\[ 2\cos^2\frac{\pi}{5} = 1 + \cos\frac{2\pi}{5} = 1 + \alpha/2 = \frac{1}{2}(2 + \alpha),\quad 4\cos^2\frac{\pi}{5} = 2 + \alpha = (1 + \alpha)^2,\quad \cos\frac{\pi}{5} = \frac{1}{2}(1 + \alpha) \] \[ \cos\frac{\pi}{5} = \frac{1}{2}\alpha,\qquad \sin^2\frac{\pi}{5} = 1 - \frac{1}{4}\alpha^2 = \frac{1}{4}(4 - \alpha^2) = \frac{1}{4}(3 + \alpha) \] \(\sin\frac{\pi}{5} = \sqrt{1 - \frac{\alpha^2}{4}}\) Les deux valeurs de \(\cos\frac{\pi}{5}\), \(\frac{1}{2}(1 + \alpha)\) et \(\frac{1}{2}\alpha\), sont transcrites telles qu'écrites, l'une sous l'autre.

\(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) \[ \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1) \leq \frac{2}{3} \] car \(\sqrt{5} \leq 3\) car \(\sqrt{5} \leq \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}\) i.e. \(5 \leq \frac{49}{9}\) i.e. \(45 \leq 49\) ! \[ \frac{\theta_1 - \theta_0}{2} = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} \] \[ \cos(\ ) = \underbrace{\cos\frac{\pi}{5}}_{\alpha/2}\underbrace{\cos\frac{\pi}{3}}_{1/2} + \underbrace{\sin\frac{\pi}{5}}_{\frac{1}{2}\sqrt{3 + \alpha}} \underbrace{\sin\frac{\pi}{3}}_{\sqrt{3}/2} = \frac{\alpha}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{9 + 3\alpha} \]

\[ \frac{1}{4}\sqrt{9 + 3\alpha} \overset{?}{\leq} \frac{1}{2} + \frac{3\alpha}{4} \] Suivi d'un terme biffé : […]. \[ \sqrt{9 + 3\alpha} \leq 3\alpha + 2 \] \[ 9 + 3\alpha \leq 9\alpha^2 + 4(\ldots) = \ldots \] \[ \ldots - \alpha + 8 + 4\alpha = 13 - 3\alpha \] \[ 6\alpha \leq 4,\qquad \alpha \leq \frac{2}{3}\quad \text{OK} \] Termes biffés dans ces lignes : […] après \(3\alpha + 2\) ; […] dans la parenthèse après \(4\) ; \(9 + 8\alpha \leq\) en tête de la troisième ligne, et \(+ 4\sqrt{2\alpha + \alpha^2}\) ; OK devant \(6\alpha \leq 4\). Cette colonne de droite est surchargée et en partie hachurée ; seuls les termes conservés sont donnés. Le résultat final se lit sans doute.

Reste \((3,5,5')\) \(\boxed{(5,3,5')}\) et \(\boxed{(3,5,5')}\)

même calcul, sauf qu'ici \(\cos\frac{\Theta}{2} = \cos\frac{\pi}{5} = \frac{1}{2}(\)\(1 + \alpha\)\() = -\frac{1}{2}\alpha'\) […] dans le […], dont on remplace […] \(\cos\frac{2\pi}{5} = -\frac{1}{2}\) […], qui est plus petit, il faut vérifier \[ \sqrt{9 + 3\alpha} \leq \frac{\alpha}{\cdot} - \frac{\alpha}{4}\quad \text{pas vrai~!} \] Chiffres et termes biffés : un 4 devant la racine, un terme […] après \(\leq\), un 4 au dénominateur (noté \(\cdot\)). \[ 9 + 3\alpha \leq 4(1 - \alpha) + \alpha^2 + 4\sqrt{\alpha^2(1 - \alpha)} \] à étudier (Condition […] […] ?) Note marginale écrite en travers, à gauche de la boîte. Le calcul de droite est hachuré en plusieurs endroits.

73Cas \(\boxed{(5,5,5)}\) \[ 1 + \underbrace{\cos\frac{\pi}{5}}_{\frac{1}{2}(1 + \alpha)} \geq 2\underbrace{\sin^2\frac{\pi}{5}}_{\frac{1}{2}(3 + \alpha)} \] i.e. \(3 + \alpha\) […] […] OK. Les chiffres de la boîte sont des 5 écrits sur d'autres.

Seuls cas indéterminés […] restent ceux de \((5,3,5')\) et \((3,5,5')\) — vérifier s'il existe bien — sinon, il faut trouver comment […] les […] éliminables… Le reste de la page est blanc.

2-Polyèdres réguliers finis en car. 0 (classification)

Titre de sa main sur la couverture (page 74), avec au crayon « (6 p) » : les pages 75 à 80.

75Nous nous intéressons au cas \(n = 2\), et au cas où \(G_0\) est fini et ⌜a sa représentation dans \(\mathrm{Aut}(X)\)⌝ […] une représentation fidèle […] \(\mathrm{Aut}(X)\) (quant à dire par […] \(\mathrm{Aut}(C)\)). — il faut y […] […] […] trivial pour \(G_0 \to \mathrm{Aut}(C)\)] vérifier […] […]

\[ \left\lbrace \begin{array}{ll} \text{Invariants} & \beta_0 = \alpha_0 + 2,\quad \beta_1 = \alpha_1 + 2 \\ & \rho = 8 - 2(\beta_0 + \beta_1) = -2(\alpha_0 + \alpha_1),\quad \tilde{\rho} = -(\alpha_0 + \alpha_1) \\ & \sigma = 4 - \beta_1 = 2 - \alpha_1,\quad \sigma' = 4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0 \end{array}\right. \]

\(Q_C = Y\) de dim. relative 1, lisse ssi \(\beta_0\beta_1\tilde{\rho}\) inv., i.e. ssi en tout point on a \(\alpha_0 \neq -2\), \(\alpha_1 \neq -2\), […] \(\alpha_0 + \alpha_1 \neq 0\)

\(Q_X\) de dim relative 2, lisse ssi \(\beta_0\beta_1\sigma\) inv, i.e. ssi en tout point on a \(\alpha_0 \neq -2\), \(\alpha_1 \neq \pm 2\),

\(\rho_f = \tau_0\tau_1\) son ordre dépend de la façon connue de \(\beta_0 = \alpha_0 + 2\)

\(\rho_s = \tau_1\tau_2\) … \(\beta_1 = \alpha_1 + 2\),

[…] On sait que \[ \mathrm{Aut}(C, Q_C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(Q_C) = \mathrm{Aut}(Y) \] ⌜sauf si \(G_0\)⌝ Donc la cat. des 2-polyèdres réguliers ⌜pseudo-réflexifs⌝ […] épinglés sur \(S\) […] équivalente à celle des triples \((Y, \varphi^{Y}_{G_0})\) d'une conique \(Y\) sur \(S\) et d'un hom \[ \varphi^{Y}_{G_0} : G_0 \longrightarrow \mathrm{Aut}(Y), \] satisfaisant aux conditions

Si \(\beta_0\) inv et \((\beta_1, \cdot)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S\)le second terme, noté \(\cdot\), est surchargé et illisible ([…]) [i.e. […] ⌜en aucun pt on n'a⌝ […] \(\alpha_1 = -2\), \(\alpha_0 = 2\)], alors b) équivaut à

Si \(Y\) lisse, i.e. \(\beta_0, \beta_1, \tilde{\rho}\) […] ⌜en aucun⌝ pt on n'a […] ⌜[…]⌝ \(\alpha_0 = -2\), \(\alpha_1 = -2\), \(\alpha_0 + \alpha_1 = 0\), alors la condition b') équivaut à :

[…] […] […] […] […] \((\beta_0, 2)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S\), i.e. \(\beta_0 \neq 0\) […] car. 2 … […] a) (avec b) […] […] […] cas où \(\beta_1\), \(\beta_0 = \beta_1\) […] […] […] réflexions […] Longue note marginale écrite en biais dans la marge gauche, avec un grand « 2 » et une flèche vers a) ; une partie en est biffée.

76I) Condition de finitude, sur corps de base \(k\).

Prop. Si \(G_0\) est fini, alors les \(\beta_0, \beta_1\) sont algébriques sur le corps premier. L'inverse est vrai si \(p =\) car. \(k > 0\). montrer ce […] […] quelconques

[…] Introduisons les ⌜des solutions⌝ […] (dans une clôture alg. \(\bar{k}\) de \(k\)) \(\zeta_i\) (\(i = 0, 1\)) de l'équation aux val. propres \[ \zeta_i^2 - \alpha_i\zeta_i + 1 = 0 \qquad \text{i.e.}\qquad \zeta_i + \zeta_i^{-1} = \alpha_i \] Donc pour \(i = 0, 1\) fixé, \(\zeta_i\) est déterminé mod passage à \(\zeta_i^{-1}\).

Soit \(\nu_i\) = ordre de \(\zeta_i\), \(i = 0, 1\).

Donc \(\nu_i\) est premier à \(p\), sauf si \(\nu_i = 1\) i.e. \(\zeta_i = 1\), i.e. \(\alpha_i = 2\).

Prop a) Si \(\nu_i\) \(\neq\) ⌜\(\neq 1, 2\)⌝ […] [i.e. \(\alpha_i \neq \pm 2\) i.e. \(\beta_i(4 - \beta_i) \neq 0\)], alors \(\nu_i\) = ordre de \(\rho_i\)

NB (\(\rho_0 = \rho_f\), \(\rho_1 = \rho_s\)) i.e. \(\alpha_i = -2\), i.e. \(\beta_i = 0\) (\(\nu_i = 2\), ou \(\nu_i = 1\) en car 2) La parenthèse qui suit « NB » est rattachée par un trait souligné au cas b).

b) Si […] […], alors \(\rho_i\) d'ordre \(2p\)

c) Si \(\alpha_i = 2 \neq -2\), […] Si \(\alpha_i = 2 \neq -2\) (i.e. \(\nu_i = 1\) en car. \(\neq 2\)) alors \(\nu_i = p\) Au bout de la ligne biffée de c), un bloc hachuré où se lisent « \(\nu_i = p\) » et « \(p \neq 2\) ».

[NB Dans b) et c), on convient que \(p = \infty\) dans le cas de car. nulle]

Théorème Supposons \(k\) de car. 0. Pour que \(G_0\) soit fini, il faut et il suffit que l'on soit dans l'un des quatre ⌜six⌝ cas suivants

1) \(\nu_0 = 3\), \(\nu_1 = 3\) (tétraèdre) 2) \(\nu_0 = 3\), \(\nu_1 = 4\) (octaèdre) 2') \(\nu_0 = 4\), \(\nu_1 = 3\) (cube) 3) \(\nu_0 = 3\), \(\nu_1 = 5\) (icosaèdre) 3') \(\nu_0 = 5\), \(\nu_1 = 3\) (dodécaèdre) Première liste, barrée de traits obliques.

on […] […] […] […] pythagoriciens […] […] Note marginale en travers, en regard de l'accolade qui réunit I à III et II' ; une autre accolade réunit II' et III'.

77Remarques Les cas I, II ⌜II'⌝ (correspondant […] à une structure, définie à isom. unique près), ⌜qui existe pour tout \(k\) de car. 0 (déf. sur \(\mathbb{Q}\))⌝, les autres trois correspondant chacun à deux structures, définies à isom unique près, celle qui existent ssi \(k\) contient une solution de \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\), i.e. ssi \(k\) contient le corps des racines cycl. […] d'ordre 5. Il y a donc en tout \(3 + 3 \times 2 = 9\) types d'isomorphie de « polyèdres réguliers finis » sur corps \(k\) de car. 0, contenant \(\alpha\). Le 9 est entouré et souligné deux fois.

Indications sur la dém. du th. Lisons OPS ⌜\(k\) alg. clos, et \(=\)⌝ \(k = \mathbb{C}\).

I) Notons d'abord que d'après la prop. si ordres \(\nu_0, \nu_1\) sont finis on a \(\beta_0\beta_1\) […] \(\alpha_0 \neq \pm 2\), \(\alpha_1 \neq \pm 2\) […] \(\sigma, \sigma' \neq 0\), donc \(Q_X\) lisse (Pour […] avoir \(\rho = 0\) i.e. \(\alpha_0 + \alpha_1 = 0\) i.e. \(\alpha_1 = -2\alpha_0\) \(\alpha_0 = \alpha\), \(\alpha_1 = -\alpha\), où \(\alpha\) est une solution d'une équation […] cyclotomique (définie par une racine \(\nu = \nu_0 \geq 3/2\)) […] \(\sigma = 2 - \alpha_1 = 2 + \alpha \neq 0\) […] serait dans un cas où \(Q_E = Q_X \otimes Q_C = Q_X Y\) est […] plus […]) Bloc encadré et barré de traits obliques. les \(\alpha_i\) ⌜sont⌝ solution d'équations ½-cyclotomiques d'indice \(\nu_0, \nu_1 \geq 3\). Ces solutions sont réelles, donc la situation provient d'une situation sur \(k_0 = \mathbb{R}\). Comme […] pour \(G_0\) […] fini, \(\exists\) forme quadratique invariante définie positive sur \(V\), […] \(\boxed{\beta\rho \neq 0}\) i.e. \(X\) lisse. Devant « lisse », une lettre biffée (\(X\) ou \(Y\)).

\(G_0 \subset \mathrm{GP}(1, \mathbb{C})\) groupe fini d'automorphismes de \(Y \simeq \mathbf{P}^1_{\mathbb{C}}\), […] soit \(Z = Y/G_0\) ⌜\(\simeq \mathbf{P}^1_{\mathbb{C}}\)⌝. Utilisons Hurwitz en tenant que \(Y\) est ramifié sur \(Z\) en ⌜exactement⌝ trois points. Dans le cas de 2 pts, on aurait au dessus des […] […] un diviseur de degré 2 stable sous \(G_0\), absurde. Donc il y a trois points de ramification, et la formule de Hurwitz nous dit que les […] indices de ramification sont \((2, p, q)\) où \(p, q\) ⌜sont⌝ des invariants plus haut, (\((3,3)\,(3,4)\,(3,5)\) […] […] finis), plus \((2, 2, p)\) (cas diédral) — mais dans ce dernier cas, il y a au dessus du \(\underline{G}_0 = \mathrm{Im}\, G_0\), \(G_0 \to \underline{G}_0\) de noyau d'ordre 1 ou 2 Note marginale encadrée d'une courbe, à gauche.

78pt de ramification d'indice \(p\) un diviseur de degré 2 stable par \(G_0\), ce qui est absurde. Donc on est dans l'un des trois cas \((2,3,3)\), \((2,3,4)\), \((2,3,5)\).

II) Conditions […] ⌜[…] […]⌝ […] montrer que ces trois cas correspondent ⌜au ss-groupes finis de \(\mathrm{GP}(1, \mathbb{C})\)⌝ à des classes de conjugaison bien déterminées de ss-groupes de \(\mathrm{GP}(1, k)\) : groupes tétraédral, octaédral, icosaédral. Pour ceci, considérons les couples \((\nu_0, \nu_1)\) correspondants (cas I, II, III) — distinguons dans le cas III \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\), où \(\zeta = \exp\frac{2i\pi}{5}\), donc \(\alpha = 2\cos\frac{2\pi}{5}\). Les […] Les polyèdres réguliers correspondants étant […] tétraèdre, octaèdre, icosaèdre — on constate aisément, sur les formules explicites, qu'ils forment des réalisations géométriques ⌜strictes⌝ fidèles de ceux-ci. Leurs groupes \(G_0\) sont respectivement ⌜ceux⌝ \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(\mathfrak{A}_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), et l'image de ceux-ci dans \(\mathrm{GP}(1, k)\) est respectivement \(\simeq \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5\). Appelons ceux-ci les groupes pythagoriciens standard ⌜en position⌝ dans \(\mathrm{GP}(1, k)\) (définis mod conjugaison). Ceci établit l'existence des cas I, II, III, et par dualité II') III') l'unicité. Il reste à prouver que les seuls cas de p.r. réguliers finis qui ne sont pas couverts par les précédents est le cas IV, et prouver ⌜pour ceux-ci⌝ l'existence de IV. Or ⌜pour celle-ci⌝ la construction des pentagônes associés à un icosaèdre est bien claire. — cf plus bas la forme que prend cette construction dans notre contexte actuel. Les deux premières lettres de groupe, pour le tétraèdre et l'octaèdre, ont presque la même forme dans sa main ; la première est lue \(\mathfrak{A}_4\) avec doute.

III) Revenons au cas de \(G_0 \subset \mathrm{GP}\) […] pour \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\) fini.

79Le haut de la page (jusqu'à la ligne biffée) est barré de longs traits obliques et d'un grand arc de cercle, et coché dans la marge.

III) Notons maintenant que dans les trois cas I II III envisagés, faisant la construction sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\), on trouve des cartes cellulaires régulières sur la sphère qui sont simplement connexes. Car on déduit ⌜[…] de la théorie des cartes⌝ que le groupe \(G_0^{+}\) ⌜\((\simeq \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5)\)⌝ est engendré par les générateurs \(\rho_s, \rho_f\) avec les seules relations \[ \rho_s^{\nu_0} = \rho_f^{\nu_1} = (\rho_s\rho_f)^2 = 1. \] La théorie […] II, III, des groupes fondamentaux de la sphère moins trois pts, […]

III montre alors que dans le cas général, le s-groupe fini \(G_0\) […] dans […] une quotient d'un des groupes \(\mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5\) — ceci implique déjà par les ordres de ses éléments […] \(\leq 5\), donc \[ \boxed{3 \leq \nu_0, \nu_1 \leq 5} \] on pourrait […] […] […] […] Note marginale au crayon, à gauche, sous un petit cercle.

D'ailleurs, exprimant (sur \(k_0 = \mathbb{R}\)) que la forme quadratique […] […] ([…] par […] \(a_0, a_1, a_2\)) \[ \begin{pmatrix} 2 & -\beta_0 & 0 \\ -\beta_0 & 2\beta_0 & -\beta_0\beta_1 \\ 0 & -\beta_0\beta_1 & 2\beta_0\beta_1 \end{pmatrix} \] est définie positive, on trouve les conditions \[ 4 - (\beta_0 + \beta_1) > 0 \qquad \beta_0(4 - \beta_0) > 0 \] i.e. \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_0 + \alpha_1 < 0 \\ \ldots\quad -2 < \alpha_0, \alpha_1 < +2 \end{array}\right. \] En tête des conditions, \(\beta_0, \beta_1 > 0\) ; devant la seconde ligne de l'accolade, un mot biffé puis un mot illisible ([…] […]). Conditions néc. et suff. pour que la forme quadratique soit définie, pour […] (\(\alpha_0, \alpha_1\) réels). Dans la matrice, les coefficients devant \(\beta_0\) et \(\beta_0\beta_1\) hors de la diagonale sont écrits sur d'autres chiffres, biffés.

80En fait, les relations \(-2 < \alpha_0, \alpha_1 < +2\) sont satisfaites automatiquement, si \(\alpha_0, \alpha_1\) solutions d'équations ½-cyclotomiques, correspondant à \(\nu_0, \nu_1 \neq 1, 2\) i.e. \(\nu_0, \nu_1 \geq 3\). Quitte à passer au système dual, on peut donc supposer, […] les possibilités, que \[ 3 \leq \nu_0 \leq \nu_1 \leq 5 \] A priori, il y a \((3,3)\,(3,5)\) \((3,3)\) \((3,4)\) \((3,5)\) (cas I II III) \((4,4)\), \((4,5)\) et \((5,5)\). Or \((4,4)\) correspond à […] \(\alpha_0 = \alpha_1 = 0\), \(\alpha_0 + \alpha_1 = 0\), impossible, et \((4,5)\) à \(\alpha_0 = 0\), \(\alpha_1 = \frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{5})\). Mais OPS \(\alpha_1 = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{5})\) qui est \(> 0\), […] impossible ! Enfin considérons le cas 5,5 OPS \(\alpha_0 = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) > 0\), donc il faut \(\alpha_1 < 0\) donc \(\alpha_1 = \frac{1}{2}(-1 - \sqrt{5})\) (\(\alpha_0 + \alpha_1 = -1\) OK). Dans les deux « OPS », il écrit \(\pm\) avec le signe \(+\) souligné deux fois : c'est la détermination retenue.

On a gagné ! Le reste de la page est blanc.