Sous-groupes finis de \underline{\mathrm{Aut}}_X(\ldots) = \mathbb{A} (X droite projective sans composantes de car. 0)

1) Sous-groupes \Gamma^{+} \Gamma^{+}, \Gamma \subset \mathbb{A} qui sont des formes de \mathfrak{A}_4 ou \mathfrak{S}_4. Se correspondent biunivoquement \Gamma^{+} \longmapsto \Gamma = \mathrm{Norm}_{\mathbb{A}}(\Gamma^{+}) \qquad \Gamma^{+} = [\Gamma, \Gamma] NB \mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Aut}(\mathfrak{S}_4) \simeq \mathfrak{S}_4. On connaît la cat. des ensembles : , celle des formes de \mathfrak{A}_4, celle des formes de \mathfrak{S}_4, équivalences

À droite de F(\mathfrak{A}_4), un premier « (\mathrm{Ens})_4 » est biffé ; il est récrit sous les deux, relié par deux traits portant le signe d'isomorphisme. \begin{array}{l} E \in (\mathrm{Ens})_4 \longmapsto \Gamma = \mathfrak{S}_E,\ \Gamma^{+} = \mathfrak{S}_E^{+} \\ \Gamma^{+} \in F(\mathfrak{A}_4) \longmapsto \Gamma = \mathrm{Aut}(\Gamma^{+}),\ E = \text{ens.\ des ss-groupes d'indice 4 (d'ordre 3) de } \Gamma^{+} \\ \Gamma \in F(\mathfrak{S}_4) \longmapsto \Gamma^{+} = [\Gamma, \Gamma],\ E = \text{ens.\ des ss-groupes d'ordre 6 (d'indice 4) de } \Gamma \end{array} Les deux dernières descriptions de E ont une suite en retrait à droite : « ou \Gamma \simeq ens. des ss-groupes \gamma^{+} d'ordre 3 de \Gamma [\gamma^{+} = [\gamma, \gamma], \gamma = \mathrm{Norm}_{\Gamma}(\gamma^{+})] ».

Donc sur un schéma S \mathrm{Rev}_4(S) \simeq F(S, \mathfrak{S}_4) \simeq F(S, \mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Tors}(\mathfrak{S}_{4S}) \simeq cubes orientés sur S

Re NB Si on est en car. 0 (inutile ?) si \Gamma^{+} ou \Gamma \subset X, alors G = \underline{\mathrm{Aut}}\,X, alors [tout automorphisme de \mathbb{A} est int., \mathbb{A} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\mathbb{A}), et] les automorphismes de (\mathbb{A}, \Gamma^{+}) ou (\mathbb{A}, \Gamma) qui normalisent \Gamma^{+} ou \Gamma proviennent de \Gamma : \Gamma \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}_{(X, \Gamma)}, \Gamma \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}_{(X, \Gamma^{+})}. Donc la cat. des couples (\Gamma, X) (\Gamma^{+}, X) est équivalente à celle des torseurs sous \mathfrak{S}_{4S}, i.e. aux cat. précédentes — donc aussi à celle des cubes orientés sur S, ou celle des tétraèdres (pas orientés) sur S. Dans ce Au-dessus de \xrightarrow{\sim} dans le crochet, un petit mot, peut-être « int. ». La lettre suivant \underline{\mathrm{Aut}} à la première ligne de la page est surchargée et se lit mal.

on trouve a_0 + (2 + \mu_1)\langle a_0, a_1' \rangle a_1 \in D' i.e. \underbrace{\langle a_0, a_0' \rangle}_{\mu_0} + (2 + \mu_1)\underbrace{\langle a_0, a_1' \rangle \langle a_1, a_0' \rangle}_{\beta} = 0 i.e. \mu_0 + (2 + \mu_1)\beta = 0 i.e. (2 + \mu_1)\beta (comme \beta (comme \mu_0 = -\beta) (1 + \mu_1)\beta = 0 i.e. (comme \beta \neq 0), 1 + \mu_1 = 0 i.e. \mu_1 = -1 i.e. \lambda_1 - 1 = \lambda_1 = 0, absurde.

Ainsi \tau_0, \tau_1 échangent D_0, D_1. Prouvons que \mu_0 = \mu_1 = -2, i.e. \lambda_0 = \lambda_1 = -1, i.e. \tau_0, \tau_1 d'ordre 2 — i.e. qu'on est dans le cas des polygônes réguliers ordinaires. Pour ce qui précède, Prenons coordonnées adaptées à D, D' Notons D = k a_0, D' = k a_1 donc e_0 \in D, e_1 = \tau_0 e_0, on aura, si \tau_0 e_1 = \xi e_0, \tau_1 e_0 = \eta e_1, \tau_1 e_1 = \zeta e_0 \tau_0 = \begin{pmatrix} 0 & \xi \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau_1 = \begin{pmatrix} 0 & \zeta \\ \eta & 0 \end{pmatrix} équations aux valeurs propres \lambda^2 + \xi = 0, \qquad \lambda^2 + \zeta\eta = 0 et comme cette équation a la valeur propre 1, on doit avoir l'autre valeur propre \lambda_0 (resp. \lambda_1) égale à -1 OK. Les signes dans les équations aux valeurs propres sont transcrits tels qu'écrits : avec \lambda^2 + \xi = 0 la valeur propre 1 ne s'obtient pas sans \xi = -1, que la page ne dit pas. Les lettres \xi et \zeta sont proches dans sa main.

II) Il n'y a pas dans \check{\mathbf{P}}(V) de div. de degré 2 invariant.

Alors on sait que l'image de G_0 dans \mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{GP}(1, k) est un des trois groupes \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5. Considérons leurs images inverses dans \mathrm{Sl}(V), \widetilde{\mathfrak{A}}_4, \widetilde{\mathfrak{S}}_4, \widetilde{\mathfrak{A}}_5 G_0. On a donc G_0 \subset \widetilde{G}_0 \cdot k^{\times} Sous k^{\times}, « homothéties ».