Cote n° 85 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Systèmes de Schwartz dans \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\), et classification des hyperpolygônes réguliers en car. zéro

Titre de sa main sur la couverture (page 41), avec au crayon « (15 p) » : les pages 42 à 56.

42\[ \begin{array}{rlll} 4 & \mathfrak{A}_4 & 3 & (3, 3', 2)\,(3', 2, 3)\,(2, 3, 3')\ \bigl[(2, 3', 3)\,(3', 3, 2)\,(3, 2, 3')\bigr] \\ & & 1 & (3, 3, 3)\ \bigl[(3', 3', 3')\bigr] \\[4pt] 9 & \mathfrak{S}_4 & 6 & (4, 3, 2)\,(3, 2, 4)\,(2, 4, 3)\,(2, 3, 4)\,(3, 4, 2)\,(4, 2, 3) \ \text{standard} \\ & & 3 & (4, 4, 3)\,(4, 3, 4)\,(3, 4, 4) \\[4pt] 32 & \mathfrak{A}_5 & 6 & (5, 3, 2)\,(3, 2, 5)\,(2, 5, 3)\,(2, 3, 5)\,(3, 5, 2)\,(5, 2, 3) \ \text{standard } \alpha \\ & & 6 & (5', 3, 2)\,(3, 2, 5')\,(2, 5', 3)\,(2, 3, 5')\,(3, 5', 2)\,(5', 2, 3) \ \text{id. } \alpha' \\ & & 3 & (5, 5, 3)\,(5, 3, 5)\,(3, 5, 5) \\ & & 3 & (5', 5', 3)\,(5', 3, 5')\,(3, 5', 5') \\ & & 6 & (5, 5', 3)\,(5', 3, 5)\,(3, 5, 5')\,(3, 5', 5)\,(5', 5, 3)\,(5, 3, 5') \\ & & 6 & (5, 5', 2)\,(5', 2, 5)\,(2, 5, 5')\,(2, 5', 5)\,(5', 5, 2)\,(5, 2, 5') \\ & & 1 & (5, 5, 5) \\ & & 1 & (5', 5', 5') \\[4pt] \hline 45 & & & \end{array} \] (ou 16 si on regarde modulo action de \(\mathfrak{S}_5\)) Tableau des types numériques de systèmes de Schwartz. Les effectifs de gauche (4, 9, 32, total 45) sont dans la marge ; ceux du milieu sont écrits contre un trait vertical épais, et les paires de lignes de \(\mathfrak{A}_5\) sont réunies par des accolades. Dans le crochet de la première ligne, un « standard » est biffé et le premier triplet est surchargé ; sa lecture \((2, 3', 3)\) est incertaine. Dans « id. \(\alpha'\) », « id. » est une lecture probable.

Question : un syst. de Schwartz d'un groupe fini est-il connu ⌜mod conjugaison⌝ (quand on connaît chacun de ses termes mod conjugaison ? OK dans \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) — regarder groupes diédraux, et \(\mathfrak{S}_5\)…

43Sous-groupes finis de […] \(\underline{\mathrm{Aut}}_X(\ldots) = \mathbb{A}\) (\(X\) droite projective sans composantes ⌜de car. 0⌝)

1) Sous-groupes \(\Gamma^{+}\) \(\Gamma^{+}, \Gamma \subset \mathbb{A}\) qui sont des formes de \(\mathfrak{A}_4\) ou \(\mathfrak{S}_4\). Se correspondent biunivoquement \[ \Gamma^{+} \longmapsto \Gamma = \mathrm{Norm}_{\mathbb{A}}(\Gamma^{+}) \qquad \Gamma^{+} = [\Gamma, \Gamma] \] NB \(\mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Aut}(\mathfrak{S}_4) \simeq \mathfrak{S}_4\). On connaît la cat. des ensembles : […] […], celle des formes de \(\mathfrak{A}_4\), celle des formes de \(\mathfrak{S}_4\), […] équivalences

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F(\mathfrak{S}_4) \arrow[rr, "\approx"] \arrow[dr, no head, "\wr"'] & &
F(\mathfrak{A}_4) \arrow[dl, no head, "\wr"] \\
& (\mathrm{Ens})_4 &
\end{tikzcd}

À droite de \(F(\mathfrak{A}_4)\), un premier « \((\mathrm{Ens})_4\) » est biffé ; il est récrit sous les deux, relié par deux traits portant le signe d'isomorphisme. \[ \begin{array}{l} E \in (\mathrm{Ens})_4 \longmapsto \Gamma = \mathfrak{S}_E,\ \Gamma^{+} = \mathfrak{S}_E^{+} \\ \Gamma^{+} \in F(\mathfrak{A}_4) \longmapsto \Gamma = \mathrm{Aut}(\Gamma^{+}),\ E = \text{ens.\ des ss-groupes d'indice 4 (d'ordre 3) de } \Gamma^{+} \\ \Gamma \in F(\mathfrak{S}_4) \longmapsto \Gamma^{+} = [\Gamma, \Gamma],\ E = \text{ens.\ des ss-groupes d'ordre 6 (d'indice 4) de } \Gamma \end{array} \] Les deux dernières descriptions de \(E\) ont une suite en retrait à droite : « ou \(\Gamma \simeq\) ens. des ss-groupes \(\gamma^{+}\) d'ordre 3 de \(\Gamma\) [\(\gamma^{+} = [\gamma, \gamma]\), \(\gamma = \mathrm{Norm}_{\Gamma}(\gamma^{+})\)] ».

Donc sur un schéma \(S\) \[ \mathrm{Rev}_4(S) \simeq F(S, \mathfrak{S}_4) \simeq F(S, \mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Tors}(\mathfrak{S}_{4S}) \simeq \] cubes orientés sur \(S\)

Re NB Si on est en car. 0 (inutile ?) si \(\Gamma^{+}\) ou \(\Gamma \subset\) \(X\), alors ⌜\(G = \underline{\mathrm{Aut}}\,X\)⌝, alors [tout automorphisme de \(\mathbb{A}\) est int., \(\mathbb{A} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\mathbb{A})\), et] les automorphismes de \((\mathbb{A}, \Gamma^{+})\) ou \((\mathbb{A}, \Gamma)\) qui normalisent \(\Gamma^{+}\) ou \(\Gamma\) proviennent de \(\Gamma\) : \(\Gamma \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}_{(X, \Gamma)}\), \(\Gamma \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}_{(X, \Gamma^{+})}\). Donc la cat. des couples \((\Gamma, X)\) \((\Gamma^{+}, X)\) est équivalente à celle des torseurs sous \(\mathfrak{S}_{4S}\), i.e. aux cat. précédentes — donc aussi à celle des cubes orientés sur \(S\), ou celle des tétraèdres (pas […] orientés) sur \(S\). Dans ce Au-dessus de \(\xrightarrow{\sim}\) dans le crochet, un petit mot, peut-être « int. ». La lettre suivant \(\underline{\mathrm{Aut}}\) à la première ligne de la page est surchargée et se lit mal.

44dictionnaire, \(\Gamma\) s'interprète comme le ⌜[…]⌝ Groupe des automorphismes du tétraèdre, ou des cubes orientés, \(\Gamma^{+}\) comme le groupe des autom. orientés du tétraèdre, \(\Gamma\) comme celui des automorphismes […] des « bi-orientés » des cubes) …

2. On s'intéresse […] aux systèmes \((\struck{H \subset G,\ \ill{}}\ \add{\mathbb{A}, \mathbb{H},}\ \rho, \rho', \rho'')\), où \(\rho, \rho', \rho''\) sont des sections […] de \(G\), telles que \(\rho\rho'\rho'' = 1\), qui engendrent un des sous-groupes finis ⌜\(\mathbb{H}\)⌝ d'un […] […] […] (i.e. \(\simeq \mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\) ou \(\mathfrak{A}_5\)). Donc \(\mathbb{H}\) sera une forme ⌜de \(G\)⌝ splittée de l'un de ces groupes (mais \(X\) n'est pas splitté pour autant…). Un […] […] ainsi ([…] […] […]) que la donnée \(\rho, \rho', \rho''\) correspond à un tétraèdre ⌜comb.⌝ […], un cube orienté ⌜comb.⌝ ([…] un icosaèdre comb., cf plus bas) qui définit \(X\) ([…] […] de […] isosaèdre…), qu'on […]. Et on se propose de trouver les syst. de trois gén. \(\rho, \rho', \rho''\) du groupe […] « abstrait » \(\mathbb{H}\) des automorphismes orientés des […] tétraèdres, ou des cubes… […] NB \(\mathbb{H}\) résulte de \(\rho, \rho', \rho''\), et \(\rho''\) résulte de \(\rho, \rho'\) (et \(\rho\) de \(\rho', \rho''\), \(\rho'\) de \(\rho'', \rho\)…)

Notons qu'un automorphisme de \((G, \rho, \rho', \rho'')\) est un autom. de \((G, \mathbb{H})\) qui commute à \(\rho, \rho', \rho''\) i.e. à \(\mathbb{H}\), donc est trivial (car le centr. de \(\mathbb{H}\) se réduit au groupe unité). Donc […] […] catégorie rigide : ses objets n'ont pas d'autom. […], i.e. sont uniques à isom. unique près, pour les classes d'isom. données. Les lettres \(\mathbb{A}\), \(\mathbb{H}\) sont écrites en capitales doubles, d'une encre plus appuyée, sur une première rédaction biffée « \((H \subset G, \ldots\) » ; le \(\mathbb{H}\) ajouté au-dessus de « sous-groupes finis » est du même trait.

45Rmq Comme premier invariant d'un système \(\rho, \rho', \rho''\), il y a les ⌜triplets des⌝ ordres \((\nu, \nu', \nu'')\) de \(\rho, \rho', \rho''\). Les Les op. de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\mathbb{H}^3\) correspondent évidemment aux op. de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\mathbf{N}^3\). Notons \(\nu, \nu', \nu'' \geq 2\) et \[ \begin{array}{lll} \mathrm{I} & 2 \leq \nu, \nu', \nu'' \leq 3 & \text{cas } \mathfrak{A}_4 \\ \mathrm{II} & 2 \leq \nu, \nu', \nu'' \leq 4 & \text{cas } \mathfrak{S}_4 \\ \mathrm{III} & 2 \leq \nu, \nu', \nu'' \leq 5 & \text{cas } \mathfrak{A}_5 \end{array} \] Les trois lignes sont réunies par une accolade.

On verra que dans le premier cas, le triplet […] contient 3, dans le deuxième il contient 4, dans le troisième il contient 5 — donc le triplet […] […] indique déjà dans lequel des cas I, II, III on se trouve (en regroupant […] […] […] 3, 4 ou 5). Dans les cas I, II, on voit que \((\rho, \rho', \rho'')\) est déterminé […] […] par sa condition numérique. Dans le cas icosaèdr. III, il n'en est plus ainsi : fait ainsi ([…] […] par l'équivalence modulo \(\mathfrak{S}_5\) qui […]) — il faut préciser un […] la condition numérique [en distinguant les deux classes de conjugaison d'él. d'ordre 5 dans \(\mathfrak{A}_5\)…]

3) Cas du \(\mathfrak{A}_4\).

Théorème Soit \(\Pi\) un tétraèdre ⌜comb.⌝ orienté, \(H\) le groupe de ses automorphismes ⌜(orientés)⌝. À tout sommet \(s \in S\) de \(\Pi\) est associé un \(\rho_s \in H\), él. d'ordre 3, et on trouve ainsi une injection de \(S\) […] l'ens. des ⌜8⌝ éléments d'ordre 3 de \(H\), soit \(H_3^{+}\) son image, de sorte À partir de « Théorème », la fin de la page et le haut de la page 47 jusqu'à la parenthèse fermant a) sont barrés de longs traits obliques.

46Notons que si \(H\) est un groupe abstrait, \(\mathrm{Tr}(H)\) l'ens. des \((\rho, \rho', \rho'') \in H^3\) tels que \(\rho\rho'\rho'' = 1\), le groupe \(\mathfrak{S}_3\) opère dedans de façon évidente, l'orbite de \((\rho, \rho', \rho'')\) \((\rho, \rho', \rho'')\) […] \((\rho', \rho'', \rho)\) […] formée des \[ (\rho, \rho', \rho'')\,(\rho', \rho'', \rho)\,(\rho'', \rho, \rho')\, (\rho''^{-1}, \rho'^{-1}, \rho^{-1})\,(\rho'^{-1}, \rho^{-1}, \rho''^{-1})\, (\rho^{-1}, \rho''^{-1}, \rho'^{-1}) \] De cette façon, le groupe \(\mathfrak{S}_3\) opère sur la cat. des « groupes pythagoriciens avec présentation de Schwartz » ou simplement systèmes de Schwartz.

On est intéressé à tenir compte de cette opération, et notamment à déterminer quels sont les transformés ⌜(par op. de \(\mathfrak{S}_3\))⌝ d'un \((H, \rho, \rho', \rho'')\) qui lui sont isomorphes. « Schwartz » est son orthographe, ici et plus loin.

Rmq La notion d'isom. qui nous intéresse est celle définie par le sch. en groupes ambiant \(\mathbb{A}\), ce qui s'explicite en termes élémentaires ainsi :

47que \(H_3^{-} = H_3 \setminus H_3^{+}\) est l'ens. des \((\rho_s^{-1})_{s \in S}\), ou encore l'ens. des \(\rho_f\) (\(f \in F\) ens. des faces) Notons que si \(s, f\) […] […] NB \(s \mapsto f\) […] […] \(\rho_f = \rho_s^{-1}\)

a) Pour toute ⌜arête⌝ […] \(\{s, t\}\) de \(\Pi\), le triple \[ (\rho_t^{-1}, \rho_s, \rho_t^{-1}\rho_s) \] engendre \(H\), et est de type numérique \((3, 3, 2)\), ⌜les trois⌝ Les él. d'ordre 2 de \(H\) étant identifiés aux ⌜paires⌝ […] d'arêtes « opposées » de \(\Pi\) (comme ⌜[…]⌝ […] […] à […] joignant leurs milieux).

3. De façon générale, si \(\Pi\) est un polyèdre ⌜régulier, orientable⌝ comb. orienté, et \(H = \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\), […] ⌜associé⌝, […] facette \(\varphi \in \mathrm{Fac}(\Pi) = S \amalg A \amalg F\), un él. \(\rho_\varphi \in H\) ⌜(en utilisant l'orientation)⌝, de sorte que […] ⌜direct⌝ repère \(r = (s, a, f)\), le triple \[ \Sigma_r = (\rho_f, \rho_s, \rho_a) \in H^3 \] satisfasse \(\rho_f \rho_s \rho_a = 1\) (NB \(\rho_f\rho_s = \rho_a\) et \(\rho_a^2 = 1\)) ou encore \(\rho_s \rho_a \rho_f = 1\). On note que tous ces systèmes de générateurs sont conjugués sous \(\mathrm{Aut}(\Pi)\), mais pas nécessairement sous \(H = \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) — il faut distinguer les \(\Sigma_r\) suivant que \(r\) est […] à l'une ou l'autre orientation de \(\Pi\). […] La question est donc quand il est vrai que \(\Sigma_r\) et \(\Sigma_{r'}\) conjugués sous \(H\) ⌜[…]⌝ […] \(r, r'\) […] orientation […], p.ex. prenant l'orientation […], […] […] \(\rho_f^{-1}\rho_s^{-1}\rho_a^{-1} = \rho_a\) […] […] au lieu de \(\rho_f \rho_s \rho_a\), on trouverait NB \(\Sigma_r\) ne dépend pas du choix préalable d'une orientation, car \(r\) en définit une Deux passages de la seconde moitié de la page sont biffés, l'un par des traits obliques, l'autre encadré puis barré ; la lecture de leurs limites est incertaine.

48d'autres systèmes de gén. \[ \Sigma_{r'} = (\rho_f^{-1}, \rho_s^{-1}, \rho_a = \rho_a^{-1}) \] associés aux repères \(r' = (s, a, f)\) indirects. Les \(\Sigma_{r'}\) sont conjugués entre eux sous \(H\), et les \(\Sigma_r\) et \(\Sigma_{r'}\) sont conjugués sous \(\mathrm{Aut}\,\Pi\), mais pas nécessairement sous \(H = \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) — par exemple pour qu'il en soit ainsi, il faut que les \(\rho_s\) et \(\rho_s^{-1}\) (ou \(\rho_f\) et \(\rho_f^{-1}\)) soient […] conjugués (cf icosaèdre). Systèmes de Schwartz canoniques et anticanoniques associés au polyèdre régulier orienté.

Quand notamment \[ \Sigma_{r_1} = \Sigma_{r_2} \] (\(r_1\) et \(r_2\) directs repères donnés) — disons […] […] orientation, i.e. \[ \rho_{s_1} = \rho_{s_2},\quad \rho_{f_1} = \rho_{f_2},\quad \rho_{a_1} = \rho_{a_2}. \] Il semble Posons \(r_2 = g \cdot r_1\) (\(g \in \mathrm{Aut}\,\Pi\) bien déterminé), alors \[ \Sigma_{r_2} = g \cdot \Sigma_{r_1} = (\mathrm{int}(g)\rho, \mathrm{int}(g)\rho', \mathrm{int}(g)\rho'') \] si \(\Sigma_{r_1} = (\rho, \rho', \rho'')\). Donc \(\Sigma_{r_2} = \Sigma_{r_1}\) ssi \(g\) ⌜commute⌝ au […] centre de \(\mathrm{Aut}^{+}\Pi\) ⌜dans \(\mathrm{Aut}\,\Pi\)⌝. Dans le cas où \(\mathrm{Aut}\,\Pi = \uncertain{3} \cdot \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) ⌜(cas des II et III)⌝, […] veut donc que […] tous les \(\Sigma_r\) conjugués […] \(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) (pour les \(r\) directs et inverses) Le facteur devant \(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) est lu « 3 », ce qui ne s'accorde pas avec un sous-groupe d'indice 2 ; peut-être un \(\mathbf{Z}/2\) ou un \(\times\) mal formé. Transcrit tel que lu.

49Proposition Soit \(\Pi\) un tétraèdre orienté, \(\mathcal{R}\) ⌜\((\mathcal{R}^{+})\)⌝ l'ens. de ses repères ⌜rep.⌝ (directs), \(S, A, F\) l'ens. des sommets, […] arêtes, faces — d'où \(\rho_s, \rho_a, \rho_f\) si \(s \in S\), \(a \in A\), \(f \in F\). Soit \(\Phi = S \amalg A \amalg F\) l'ens. des facettes. a) L'application \(\ill{}\ 4\ \ill{}\ \rho_s\)

\(24 = 12 + 12\) syst. de Schwartz [cela fait 72 \(= 36 + 36\) […] […] sous \(\mathfrak{S}_3\), […] […] 36 syst. de Schwartz […] […] […] \(\mathfrak{S}_3 \times H\)…] La fin de la page, à partir de « sous \(\rho_f'\) », est très surchargée : biffures successives, ajouts interlinéaires et, en bas à droite, un petit croquis de deux triangles reliés par des flèches, non reproduit. La note marginale de gauche est écrite en biais et se lit mal ; seuls « 72 », « 36 », « \(\mathfrak{S}_3\) » et « \(H\) » sont sûrs.

50

Deux traits horizontaux séparent ici l'énoncé de sa démonstration. Les notes marginales de gauche, écrites en biais et en partie biffées, ne se lisent que par fragments.

Prouvons f). Tenu d'abord, comme les él. \(\neq 1\) de \(H\) sont d'ordre 2 et 3, et que les éléments d'ordre 2 sont contenus dans un […] sous-groupe […] ⌜\(V\)⌝ d'indice 2, on voit que un syst. de Schwartz ne peut contenir deux él. d'ordre 2, donc il contient au moins 2 él. d'ordre 3. Soit \((\rho, \rho', \rho'')\)

51À […] op. près de \(\mathfrak{S}_3\), NB donc que le système est de la forme \((\rho, \rho', \rho'')\), avec \(\rho, \rho'\) d'ordre 3, donc chacun de la forme \(\rho_s\) ou \(\rho_f\)

12, 12, 12, 12 Un « 12 » est porté dans la marge gauche en face de chacun des quatre cas. Dans 3) et 4), la lettre finale (\(\rho_t\), \(\rho_g\)) est écrite sur une autre, raturée.

Corollaire Les types numériques possibles des syst. de Schwartz pour \(H \simeq \mathfrak{A}_4\) sont

Et La classe de conjugaison sous \(\widetilde{H} = \mathrm{Aut}_{\mathrm{gr}}(H)\) (\(\simeq \mathfrak{S}_4\)) est déterminée par le type numérique.

Donc un \(H\) (\(\simeq \mathfrak{A}_4\)) avec syst. de Schwartz est de l'un des types suivants (où \(H = \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\), \(\Pi\) un tétraèdre comb., donc […] unique […] d'orientation privilégiée) NB La donnée de \(H\) équivaut à celle de \(\Pi\), cf plus haut

La note marginale est entourée. La dernière ligne de la page est surchargée d'ajouts et de barres obliques ; sa fin se perd au bord.

52⌜[…]⌝ \(r\), indiquons que l'on utilise l'orientation définie par \(r\) pour définir […] de \(\Pi\), et une f. \(\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''}\) […] […] ou soit (bien déterminé) \((s, s', s'')\) […] él. distincts de \(S\), de sorte que, si on […] l'orientation de \(\Pi\) telle ⌜qui induise sur⌝ que la f. la face \(f = \{s, s', s''\}\) l'orientation opposée de celle définie par l'ordre précédent, on ait \[ \Sigma = (\rho_s^{\omega}, \rho_{s'}^{\omega}, \rho_{s''}^{\omega}). \] [NB la donnée de \(s, s', s''\) équivaut à celle d'un repère, savoir \(r = \{s, \{s, s'\}, \{s, s', s''\}\}\)]. Les deux premières lignes sont barrées et un fragment en est encadré ; un long trait oblique sépare ensuite ce qui précède de la suite.

Cas de \(\mathfrak{S}_4\)

Proposition Soit \(\Pi\) un octaèdre comb. ⌜orienté⌝, et \(H = \add{\mathrm{Aut}^{+}(\Pi)}\) le groupe de ses autom. orientés, \(R = \mathrm{Rep}(\Pi)\), \(R^{+} = \mathrm{Rep}^{+}(\Pi)\)

24 d'où \(6 \times 24 = 144\) syst. de Schwartz (en multipliant par \(\mathfrak{S}_3\)) Le chiffre du type ajouté en a) est surchargé ; la lecture \((3, 4, 2)\) est incertaine.

53l'application \(f \mapsto \rho_f\) définit une bijection de \(F\) avec \({}_3H\), enfin l'application \(a \mapsto \rho_a\) fait de \(A\) un rev. de degré 2 de l'ens. \({}_2H \setminus {}_2H^{+} = {}_2H^{-}\) (où \(H^{+} = [H, H] \simeq \mathfrak{A}_4\)) formé des él. d'ordre 2 qui ne sont pas dans le s-groupe invariant d'ordre 4 de \(H\) ; on a \(\rho_a = \rho_{a'}\) ssi \(a, a'\) sont antipodiques. Les applications \(s \mapsto \rho_s\) et \(f \mapsto \rho_f\) transforment antipodisme en passage à l'inverse \(\rho \mapsto \rho^{-1}\).

24 d'où \(24 \cdot 3 = 72\) syst. de Schwartz en multipliant par \(\mathfrak{S}_3\) NB les s-gr. \(V\) de \(H = \mathfrak{S}_4\) […] […] d'ordre […] […] de 3 et 4, […] \(H^{+} = \mathfrak{A}_4\), […] \(H\) ([…] \(\rho_s\rho_t\rho_f \notin H^{+}\)!) En c), l'énoncé porte \(\rho_{f'}\) dans la formule centrée, puis \(\rho_f\) dans la discussion des transformés ; transcrit tel quel.

54Corollaire Les types numériques possibles de syst. de Schwartz pour \(H = \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) sont les suivants

Le type numérique détermine le syst. de Schwartz modulo conjugaison. De façon précise, si \(\Sigma = (\rho, \rho', \rho'')\) est un syst. de Schwartz, alors il est dans l'un ou l'autre des cas suivants, s'excluant mutuellement

Dém. de d). Les ordres des él. \(\neq 1\) de \(H\) sont \(2, 3, 4\). Montrons d'abord que un système de Schwartz contient au moins un él. d'ordre 4, et un él. d'ordre 3.

55\(\rho = \rho_s\), \(\rho' = \rho_f\). Si \(s \prec f\), on est dans le cas déjà traité dans a). Sinon, on a \(s \prec f'\) ⌜\(\rho_{f'}^{-1}\)⌝ donc \((\rho_{f'}, \rho_s, \rho_a)\) est un syst. de Schwartz canonique (où \(a \in A\) est défini de façon que \((s, a, f') \in R^{+}\)) donc \((\rho_s^{-1}, \rho_{f'}^{-1} = \rho_f, \rho_a^{-1} = \rho_a) = (\rho^{-1}, \rho', \rho_a)\) est un syst. canonique. Donc […] \((\rho, \rho', \rho'') = \rho = \rho_s\), \(\rho\) ⌜Cela donne une⌝ seule autre possibilité comme position relative d'un él. d'ordre 4 et d'un él. d'ordre 3 qui engendrent, celle traitée dans c) [type \((4, 3, 4)\)] absurde. cqfd. Le passage biffé est encadré puis barré de traits obliques ; l'ajout « Cela donne une » est relié par un trait à la suite non biffée. Dans la marge gauche, un petit triangle dont les sommets et un côté portent \(s\), \(a\) et, à l'intérieur, \(f'\). La moitié inférieure de la page est blanche.

561) Il contient un él. d'ordre 4, i.e. n'est pas formé d'él. d'ordre 2 et 3.

Il n'est pas formé de ⌜contenir⌝ deux él. d'ordre 2, sinon \(H\) serait un groupe diédral, ce qui n'est pas le cas. Donc il contiendrait deux él. d'ordre 3, qui engendrent \(H\) […] […] […] les él. d'ordre 3 sont dans \(H^{+}\), absurde. Entre « deux él. d'ordre 3, » et « les él. d'ordre 3 », un passage de cinq lignes est encadré et biffé ; on y lit notamment « \(\rho_{f'}\), \(\rho_{g}\) », « \(H\ (\simeq \mathfrak{S}_4)\) », « \(\Pi_{123}\), et \(\Pi_{234}\) ou \(\Pi_{324}\) », « (… conjugaison) », et le reste ne se lit pas.

2) Il contient aussi un él. d'ordre 3, i.e. n'est pas formé seulement d'él. d'ordre 4 et 2. Car dans ce cas, comme il ne contient pas 2 él. d'ordre 2, il contiendrait au moins un autre él. d'ordre 4. Soient ⌜NB⌝ \(\rho, \rho'\) dans \((\rho, \rho', \rho'')\) que \(\rho, \rho'\) sont d'ordre 4 (quitte à utiliser \(\mathfrak{S}_3\)), donc de la forme \(\rho_s, \rho_t\). Mais ⌜Évidemment⌝ \(t \neq s, s'\) (antipodique de \(s\)), donc \((t, s)\) est une arête, on est dans le cas traité en c), où on a un él. d'ordre 3.

3) Il reste à examiner le cas des 2 él. d'ordre 4 ⌜traité⌝ […] regardons le cas où […] a un seul él. d'ordre 4, un d'ordre 3, soit \((\rho, \rho', \rho'')\) […]

Hyperpolygônes réguliers

Titre de sa main sur la couverture (page 57), avec au crayon « (16 p) » : les pages 58 à 73, dont seules 58 à 60 sont dans ce lot.

58Cas \(n = 1\), sur corps ⌜alg. clos⌝ car. 0, \(G_0\) fini \[ \mu_0 = \lambda_0 - 1,\quad \mu_1 = \lambda_1 - 1,\quad \beta = \alpha + 2 \quad \text{invariant} \]

Système de deux ps. réflexions strictes \(\tau_0, \tau_1\) dans \(V\), avec conditions de non dégénérescence :

Le signe devant \(\geq 2\) est écrit sur un autre, raturé.

I) La représentation dans \(C = \check{\mathbf{P}}(V)\) admet un div. de degré 2 invariant

Il ne peut être réduit à un pt, car s'il y a une droite ⌜\(\subset V\)⌝ invariante par \(G_0\), il y a un supplém., donc \(G_0\) est commutatif \(\subset k^{\times} \times k^{\times}\), absurde.

Donc \(V = D \oplus D'\), et pour le \(=\) raison que dessus, \(D, D'\) ne sont pas invariants par \(\tau_0, \tau_1\) ; il faut a) \(\tau_0\) invariant \(D, D'\), \(\tau_1\) […] ⌜si \(\tau_i\) invariant \(D\), i.e. que ou bien \(a_i'\) est nul sur⌝ \(D\), ou bien \(a_i \in D\). Dans le premier cas, on aurait \(a_i \in D'\), dans le deuxième \(a_i'\) nul sur \(D'\). Ainsi, OPS \(a_i \in D\), \(a_i'\) nul sur \(D'\), donc \[ D = k a_i, \qquad D' = \mathrm{Ker}\, a_i' \] Considérons alors ⌜\(j \neq i\), \(j \in \{0, 1\}\)⌝ \(j \neq i\) […], donc \(\tau_j D \subset D'\), \(\tau_j D' \subset D\), \[ a_i + \underbrace{\langle a_i, a_j' \rangle}_{\struck{\ill{}}\ \beta} a_j \in D' \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\langle a_i, a_i' \rangle}_{\mu_i} + \underbrace{\langle a_i, a_j' \rangle \langle a_j, a_i' \rangle}_{\beta} = 0 \] donc \(\beta \neq 0\), donc quitte à échanger \(\tau_0, \tau_1\), OPS que \(i = 0\), \(j = 1\), \(\beta = -\mu_0\). Exprimons aussi \(\tau_1 D' \subset D\) i.e. \(\tau_1^2 D \subset D\), \(\tau_1^2 = \mathrm{id} + (2 + \mu_1)\, a_1' \otimes a_1\) Dans le premier accolade, sous \(\langle a_i, a_j' \rangle\), un mot biffé puis « \(\beta\) » ; la lecture de l'accolade est incertaine.

59on trouve \(a_0 + (2 + \mu_1)\langle a_0, a_1' \rangle a_1 \in D'\) i.e. \[ \underbrace{\langle a_0, a_0' \rangle}_{\mu_0} + (2 + \mu_1)\underbrace{\langle a_0, a_1' \rangle \langle a_1, a_0' \rangle}_{\beta} = 0 \] i.e. \(\mu_0 + (2 + \mu_1)\beta = 0\) i.e. \((2 + \mu_1)\beta\) (comme \(\beta\) (comme \(\mu_0 = -\beta\)) \((1 + \mu_1)\beta = 0\) i.e. (comme \(\beta \neq 0\)), \(1 + \mu_1 = 0\) i.e. \(\mu_1 = -1\) i.e. \(\lambda_1 - 1 =\) \(\lambda_1 = 0\), absurde.

Ainsi \(\tau_0, \tau_1\) échangent \(D_0, D_1\). Prouvons […] ⌜que⌝ \(\mu_0 = \mu_1 = -2\), i.e. \(\lambda_0 = \lambda_1 = -1\), i.e. \(\tau_0, \tau_1\) d'ordre 2 — i.e. qu'on est dans le cas des polygônes réguliers ordinaires. Pour ce qui précède, […] […] ⌜Prenons coordonnées adaptées à⌝ \(D, D'\) Notons \(D = k a_0\), \(D' = k a_1\) donc \(e_0 \in D\), \(e_1 = \tau_0 e_0\), on aura, si \(\tau_0 e_1 = \xi e_0\), \(\tau_1 e_0 = \eta e_1\), ⌜\(\tau_1 e_1 = \zeta e_0\)⌝ \[ \tau_0 = \begin{pmatrix} 0 & \xi \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau_1 = \begin{pmatrix} 0 & \zeta \\ \eta & 0 \end{pmatrix} \] équations aux valeurs propres \[ \lambda^2 + \xi = 0, \qquad \lambda^2 + \zeta\eta = 0 \] et comme cette équation a la […] ⌜valeur propre⌝ 1, on doit avoir l'autre valeur propre \(\lambda_0\) (resp. \(\lambda_1\)) égale à \(-1\) OK. Les signes dans les équations aux valeurs propres sont transcrits tels qu'écrits : avec \(\lambda^2 + \xi = 0\) la valeur propre 1 ne s'obtient pas sans \(\xi = -1\), que la page ne dit pas. Les lettres \(\xi\) et \(\zeta\) sont proches dans sa main.

II) Il n'y a pas dans \(\check{\mathbf{P}}(V)\) de div. de degré 2 invariant.

Alors on sait que l'image de \(G_0\) dans \(\mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{GP}(1, k)\) est un des trois groupes \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\). Considérons leurs images inverses dans \(\mathrm{Sl}(V)\), \(\widetilde{\mathfrak{A}}_4\), \(\widetilde{\mathfrak{S}}_4\), \(\widetilde{\mathfrak{A}}_5\) ⌜[…] \(G_0\)⌝. On a donc \[ G_0 \subset \widetilde{G}_0 \cdot k^{\times} \] Sous \(k^{\times}\), « homothéties ».

60Notons que, si \(Z_i\) ⌜\(\subset \mathrm{Gl}(V)\)⌝ est le groupe engendré par \(\tau_i\), on a \(Z_i \cap k^{\times} = 1\) donc \(Z_i \hookrightarrow \mathrm{Aut}(C)\), donc \(\nu_i\) prend une des valeurs \(2, 3, 4, 5\) \[ 2 \leq \nu_0, \nu_1 \leq 5 \] Il faut Plus général, […] […] ⌜[…]⌝ les ps. réfl. ⌜strictes⌝ de \(G_0\), son […] […] il […] groupe engendré par ⌜[…]⌝ ordre \(\nu\) est compris entre 2 et 5… La lettre qu'il écrit pour le groupe engendré par \(\tau_i\) a la forme d'un 3 bouclé ; elle est rendue \(Z_i\). Le reste de la page est blanc.