Fonds Grothendieck, cote n° 85, pages 21–40

Cor Sur le corps alg. clos k, considérons la condition (i entier pair \geq 0) (**) \qquad \exists \text{ hom injectif } \Gamma = \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \longrightarrow \mathrm{GP}(1,k) la parenthèse « i entier pair \geq 0 » est entourée d'une boucle rattachée à la fin de la première ligne. Les lettres \alpha, \rho, \sigma, \varphi viennent de la page précédente (lot 1)

Alors dans i \geq 2,

a)Si i = 2, la condition ~~(**) est vérifiée~~ (**) est vérifiée sss car. k = 2 b)

Si i = 0, elle est vérifiée sss ou bien car. k = 0, ou bien car. k > 0 et k non alg. sur le corps premier.

~~Si i = 2, la condition (**) est vérifiée sss car. k = 2.~~ ~~donc \Gamma \simeq (\mathbb{Z}/2)^3~~

c)Supposons i \neq 0, 2 i.e. i \geq 4 = 2\nu. La condition pour qu'il existe mono \mathbb{D}_i \hookrightarrow \mathrm{GP}(1,k) est que p \nmid i ou ~~p \mid~~ i = p (\neq 2), dans le premier cas on a \alpha \neq 2 i.e. \rho \neq 0, donc \mathrm{Aut}(G, \varphi|\mathbb{D}_i) \simeq \mu_2 = dont l'image dans le groupe des \sigma facteurs \mathbb{Z}/2 de \Gamma est 1, on soit u^{\nu}. D'où le résultat. Dans le 2e cas on a \alpha = 2, i.e. \rho = 0, et en car. \neq 2 on a \mathrm{Aut}(G, \varphi|\mathbb{D}_i) = (p), (donc un hom \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 injectif sur \sigma) et en car. 2

distinguer cas i = 2 dans la note marginale est en face de a), marquée d'un trait vertical. Le petit \sigma est ajouté au-dessus de « des ». Le bloc « donc \Gamma \simeq (\mathbb{Z}/2)^3 » est encadré, rattaché à la ligne biffée qui répète a), elle-même couverte d'un griffonnage. Au-dessus de « \mu_2 », un « = » suivi d'un signe biffé ; la phrase qui suit est lue avec peine. La page s'arrête sur « et en car. 2 » et un trait horizontal

Invariants des sections des formes de \mathrm{GP}(1) etc

inscrit en haut à droite d'un feuillet de garde (page 22), qui ne porte rien d'autre ; « Invariants » est souligné. En haut à gauche, au crayon, « (9 p) », qui compte les neuf feuillets suivants (pages 23 à 31). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Invariants ~~des~~ d'automorphismes de d'une droite projective

1) Soit G une forme de \mathrm{GP}(1), ou de \mathrm{SL}(2) sur S — i.e. un schéma en groupes ½ simple de rang 1 sur un schéma S. Considérons le foncteur \mathbf{I}(G) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sch}}(G, \mathbb{E}^1_S)^{\circlearrowleft} \overset{\mathrm{d\acute{e}f}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sch}}(G, \mathbb{E}^1_S)^{G} où G opère sur le \underline{\mathrm{Hom}} via autom. int. sur G. Ce foncteur est représentable (vrai pour H ½ simple), et on a un isomorphisme canonique \mathbf{I}(G) \xrightarrow{\ A\ } \mathbb{E}^1_S qui, en tant que morphisme, peut être caractérisé par la propriété suivante : si \mathbb{G}_m \xrightarrow{i} G est un monomorphisme, alors A(i(\lambda)) = \lambda + \lambda^{-1} et itou après tout chgt de base. l'exposant du premier \underline{\mathrm{Hom}} est une petite flèche recourbée, rendue ici par \circlearrowleft ; « ½ simple » : semi-simple. \mathbb{E}^1_S est la droite affine sur S

~~Proposition 2 Soient u, v deux sections de G, telles que~~ ~~2) Prouvons que~~ on suppose

On a donc A(1) = 2 .

[~~Supposons G forme de \mathrm{GP}(1), et~~ Soit \sigma une section de G sur S telle que \sigma^2 = \mathrm{id}, \sigma_s \neq \mathrm{id}_s \forall s \in S ~~(donc on pourrait appeler \sigma une réflexion de G)~~ alors A(\sigma) = -2 . NB Dans le cas d'une forme de \mathrm{GP}(1), \sigma est une « réflexion » ; dans le cas de \mathrm{SL}(2), on , générateur du … C'est clair si 2 inv. sur S, car alors \sigma est contenu (marqué dans le cas de \mathrm{GP}(1) — dans le cas de \mathrm{SL}(2), \sigma est central) dans un ~~(unique)~~ tore maximal, qu'on peut supposer scindé (par localisation), et on a alors \lambda = -1, d'où A(\sigma) = -1 + 1/{-1} = -2. Pour le cas général, on fait un argument de coeff universels…]

~~Prop~~ ~~Remarque~~ Supposons que u soit unipotent, par quoi on entend qu'il existe ~~loc.~~ fpqc une ~~forme~~

monomorphisme \mathrm{Aff}(1)_S = \mathbb{G}_m \cdot_{1/2} \mathbb{G}_a \xrightarrow{\ i\ } G et une section t de \mathbb{G}_a, telle que u = i(t). le « ½ » est écrit sous le point du produit : produit semi-direct Je dis qu'alors aussi on a A(u) = 2 En effet, on trouve plus ~~précisément~~ généralement A(i(\lambda \cdot t)) = \lambda + \lambda^{-1} On le voit p. ex. en notant que (pour \lambda, t indét.) f(\lambda, t) \overset{\mathrm{df}}{=} A(i(\lambda, t)) étant élém. \in \underline{O}_S[\lambda, t][\lambda^{-1}] satisfaisant les conditions \begin{cases} f(\lambda, 0) = \lambda + \lambda^{-1} \\ f\bigl(\underbrace{(0,t)(\lambda,0)(0,-t)}_{(\lambda,0)(\lambda^{-1}t - t) = (\lambda, \lambda^{-1}t - t)}\bigr) = \lambda + \lambda^{-1} \end{cases} « plus gén. » est écrit devant la seconde ligne de l'accolade donc, posant s = \lambda^{-1}t - t i.e. t = \dfrac{s}{\lambda^{-1} - 1}, on a f(\lambda, s) = \lambda + \lambda^{-1} dès que \lambda^{-1} - 1 inversible — donc par prolongement, pour tt système (\lambda, s).

Une condition nécessaire pour que u soit unipotent est donc que A(u) = 2. On voit aisément que cette condition est suffisante au-dessus d'un corps (utilisant le fait que sur un corps alg. clos, tt élément de G est contenu dans un s-groupe de Borel). J'ignore ce qui en est dans le cas général. le « 2 » de « A(u) = 2 », étroit et appuyé, pourrait se lire 1

Proposition Soient u, u' deux sections de G, ~~telles~~ on suppose A(u) - 2 et A(u) + 2 inv. [i.e. u_s^2 non unipotent \forall s \in S]. Pour que u et u' soient conjugués loc. fpqc (ou encore, conjugués si G forme de \mathrm{GP}(1)) il f. et s. que A(u) = A(u'). Ceci vaut aussi sans restriction sur A(u), si S spectre d'un corps et u_s non central K_S le paragraphe de l'énoncé est marqué d'un trait vertical en marge gauche

Néc. évident, prouvons suff. sur u et u'. ~~En effet~~, l'hypothèse implique que u, u' sont contenus chacun dans un (unique) tore maximal. Utilisant la th. de conjugaison, on peut supposer que c'est le même, et par localisation, que c'est \mathbb{G}_m. Donc u, u' correspondent à des sections \lambda, \lambda' de \mathbb{G}_m, et l'hyp A(u) = A(u') signifie (*) \qquad \lambda + \lambda^{-1} = \lambda' + \lambda'^{-1} = \alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S) ce qui signifie que \lambda et \lambda' sont solutions de la même équation (**) \qquad t^2 - \alpha t + 1 = 0 dont le discriminant est \alpha^2 - 4 = \underbrace{(\alpha - 2)}_{\text{inv.}}(\alpha + 2) ~~il résulte de ceci que aux pts où \alpha(s) = -2. L.~~ dont inv. par hyp. ~~\alpha^2 - 4 inv. i.e. \alpha + 2 inv. i.e. \alpha(s) \neq -2 en tt s \in S, donc~~ Cette équation définit un rev. étale de rang 2 de S, et ~~on trouve que l'on a loc. deux solutions~~ deux sections ~~distinctes~~ sont égales loc., soit conjuguées par l'involution canonique t \mapsto t^{-1}, on gagne donc. Il reste à faire une étude locale plus serrée aux pts où \alpha(s) = \pm 2, i.e. \lambda_s = \lambda'_s = \pm 1, prenons le cas -1 p.ex.

Les réductions habituelles nous ramènent au cas d'un anneau de base ~~artinien , corps~~ \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} artinien A, corps résiduel k \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, i.e. prouvons que si \lambda \neq \lambda' \in A^{*} sont tels que \lambda + \lambda^{-1} = \lambda' + \lambda'^{-1}, alors on a \lambda' = \lambda ou \lambda' = \lambda^{-1}. Supposons qu'on sache \lambda'_n = \lambda_n, prouvons \lambda'_{n+1} = \lambda_{n+1}^{\pm 1} ? sous \lambda'_{n+1} et \lambda_{n+1}, des signes « = » verticaux renvoient à \lambda' et \lambda. Le « \neq » de « \lambda \neq \lambda' » est peut-être un « = » surchargé ; les lignes « artinien », « \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} » et « k » sont enchevêtrées de ratures

On a ~~\lambda'_n = \lambda_n~~ \lambda' = \lambda + \mu, avec \mathfrak{m}\mu = 0, ~~d'où~~ donc \begin{align*} \lambda' &= \lambda(1 + \lambda^{-1}\mu) = \lambda(1 - \mu) = \lambda + \mu \\ \lambda'^{-1} &= \lambda^{-1}\underbrace{(1 - \mu)^{-1}}_{1 + \mu} = \lambda^{-1}(1 + \mu) = \lambda^{-1} - \mu \\ \lambda' + \lambda'^{-1} &= \lambda + \lambda^{-1} + \mu(\lambda^{-1} - \lambda) = \lambda + \lambda^{-1} . \end{align*} les signes devant le dernier \mu de la deuxième ligne et devant \mu(\ldots) à la troisième sont surchargés (un signe noirci sur un autre) ; l'exposant du second \lambda de la parenthèse est surchargé, illisible NB Il s'agit d'une propriété générale des morphismes « ramifiés » (non étales) en : « » des des solutions infinitésimales …) Donc l'hyp \lambda' + \lambda'^{-1} = \lambda + \lambda^{-1} résulte de \lambda'_n = \lambda_n i.e. \lambda' = \lambda + \mu, \mathfrak{m}\mu = 0 ; autant \lambda' = \lambda \quad \text{ou} \quad \lambda'^{-1} = \lambda \ ? ~~i.e.~~ On ces relations signifient, l'une \mu = 0, l'autre ~~\lambda^{-1}(1+\mu) = \lambda i.e. \lambda\mu = 0~~ ~~\lambda^{-1}(1+\mu) \lambda - \lambda^{-1} + \mu = 0~~ \mu = \lambda^{-1} - \lambda donc ne correspondent qu'à deux valeurs possibles au plus de \mu — donc (si k n'est pas réduit à 2 él.) on trouve des solutions \mu de façon à mettre en défaut la relation [(\lambda' = \lambda) \text{ ou } (\lambda' = \lambda^{-1})].

Remarque Soit j : \mathbb{G}_m \to G un hom. de groupes, pas nécessairement ~~injectif~~ mono, supposons que le noyau soit \mu_n, donc j se factorise en

\begin{tikzcd} \mathbb{G}_m \arrow[r, "\lambda \mapsto \lambda^n"] \arrow[rr, bend right=30, "j"'] & \mathbb{G}_m \arrow[r, "i"] & G \end{tikzcd}

On en conclut que A(j(\lambda)) = \lambda^n + \lambda^{-n} = G_n(\lambda + \lambda^{-1}) où G_n \in \mathbb{Z}[U] est un polynôme unitaire universel de degré n, [celui exprimant T^n + T^{-n} \in \mathbb{Z}[T, T^{-1}]^{\sigma} (\sigma T = T^{-1}) \simeq \mathbb{Z}[U], U = T + T^{-1}] l'isomorphisme \mathbb{Z}[T,T^{-1}]^{\sigma} \simeq \mathbb{Z}[U] est écrit verticalement

remarque Exemples 1) Soit \mathbb{G}_m \overset{i}{\hookrightarrow} \widetilde{G} (forme de \mathrm{SL}(2)) \xrightarrow{\ p\ } G = \widetilde{G}/\mu_2 (centre de \widetilde{G}) on a donc \begin{align*} A(i(\lambda)) &= \lambda + \lambda^{-1} = \alpha \\ A(p\,i(\lambda)) &= \lambda^2 + \lambda^{-2} = \alpha^2 - 2 \end{align*} Plus généralement, indépendamment ~~2) Soit un pt. dans V ( 2 )~~ pour toute section u de \widetilde{G} sur S \begin{cases} A'(p(u)) = A(u') = A(u)^2 - 2 \\ A(u) = \mathrm{Tr}\, u \end{cases} [se ramène au cas précédent]

2) Soit V Mod. loc. libre rg 2 sur S, (u automorphisme de V, ~~alors on~~ (pas nécessairement dans \mathrm{SL}(V)) u_C l'automorphisme de C C = \mathbb{P}(V) qu'il définit, alors on a A(u^C) = \frac{(\mathrm{Tr}\, u)^2}{\det u} - 2 (se ramène au cas 1), en écrivant loc. u = tv, t unité, v \in \mathrm{SL}(V)…) « C = \mathbb{P}(V) » est ajouté au-dessus de la ligne ; on lirait plutôt « \mathbb{P}(C) »

Si p.ex. l'équation aux v. propres de u t^2 - (\mathrm{Tr}\, u)t + \det u = 0

se décompose en (t - \lambda_1)(t - \lambda_2), i.e. \lambda_1 + \lambda_2 = \mathrm{Tr}\, u, \qquad \lambda_1\lambda_2 = \det u alors on trouve A(p(u)) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}{\lambda_1\lambda_2} P.ex. si u est une pseudo-réflexion, de paramètre \lambda = \det u — on a les « v. propres » \lambda et 1, on trouve A(pu) = \lambda + \lambda^{-1} \qquad (u \text{ ps.\ réfl.\ par } \lambda) On peut aussi le voir en notant que une ps. réflexion s'insère dans une famille à un paramètre, correspondant à \mathbb{G}_m \longrightarrow \mathrm{GL}(V) \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_C et appliquer la définition générale de l'invariant. sous \mathbb{G}_m \to \mathrm{GL}(V) une accolade, marquée « mono »

Proposition Soit u une section de G, ~~Pour que~~ telle que u_s \neq \mathrm{id}, \forall s \in S. ~~u^2 = 1, il~~ Si u^2 = 1, (et supposons car. rés. \neq 2 si G forme de \mathrm{SL}(2),) on a A(u) = -2 , [la réciproque étant vraie si S est réduit 2 inv., par]

Dém Dans le cas de d'une forme de \mathrm{GP}(1), u_s \neq 1_s ~~\forall s \in S~~, u_s^2 = \mathrm{id} \forall s \in S l'hypothèse implique que u appartient à un unique tore maximal — pour une forme de ~~\mathrm{SL}(2) canonique de~~ \mathrm{SL}(2), pour u la section gén. du centre \mu_2 = \lbrace \pm 1 \rbrace_S, dans un tore, on a u est une section d'un tore maximal T \simeq \mathbb{G}_m \hookrightarrow G, correspondant à la section -1 de \mathbb{G}_m, d'où A(u) = -2. Dans le cas d'une forme de \mathrm{GP}(1), on

conclut le résultat sans restr. sur les car. résiduelles, car le schéma des ~~éléments~~ « réflexions » dans \mathrm{GP}(1)_{\mathbb{Z}} est lisse sur \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}. Dans le cas d'une forme de \mathrm{SL}(2), OPS que G = \mathrm{SL}(V), ~~i.e.~~ i.e. u est un autom de V satisfaisant , \det u = 1, ~~Mais u_s \neq \mathrm{id} \forall s \in S~~ Comme, d'après Hamilton–Cayley u^2 - (\mathrm{Tr}\, u)u + \mathrm{id} = 0, donc u^2 = \mathrm{id} \Longleftrightarrow (\mathrm{Tr}\, u)u = 2\,\mathrm{id}, et cette hyp. il faut conclure \mathrm{Tr}\, u = -2. Faisant un calcul infinitésimal ~~, nécessité de cette restriction.~~ car. résiduelle 2, OPS que \mathrm{Tr}\, u_n = -2, et prouvons \mathrm{Tr}\, u_{n+1} = \mathrm{Tr}\, u = -2. ~~On \mathrm{Tr}\, u + 2 = \tau~~ le passage « Faisant un calcul infinitésimal … = -2 » est marqué d'un trait vertical en marge, où deux mots ne sont pas lus

Proposition Soient G une forme de \mathrm{GP}(1)_S ou \mathrm{SL}(2)_S, u une section de G, \alpha = A(u), ~~telle que (A(u) + 2)(A(u) - 2) soit inv.,~~ n un entier \geq 3. ~~Pour que l'on ait Soient F_n~~ On suppose (\alpha + 2)(\alpha - 2) inv., Soient F_n \in \mathbb{Z}[U], \qquad \Psi_n \in \mathbb{Z}[U] les deux polynômes ~~qui~~ unitaires à racines dans \overline{\mathbb{Q}} ~~distinctes~~ dont les racines sont 1°) \zeta + \zeta^{-1}, où \zeta parcourt les racines n-ièmes de 1 ~~telles~~ distinctes de \pm 1 2°) les \zeta + \zeta^{-1}, où \zeta parcourt les racines primitives n-ièmes de 1.

Sous ces conditions

1°)Pour que u^n = \mathrm{id}, il f. et s. que F_n(\alpha) = 0 2°)Pour que i.e. soit u^n = \mathrm{id} et que u_s soit d'ordre n exactement pour tt s \in S, il f. et s. que \Psi_n(\alpha) = 0.

le dernier signe de 1°) ressemble à un « 1 » ; « Sous ces conditions » suit un « P » souligné, relié par une flèche aux deux alinéas Sans hyp. que \alpha^2 - 4 inv., dire que [u^n = \mathrm{id} et les u_s d'ordre n exactement premier aux car. résiduelles] \Longleftrightarrow [\Psi_n(\alpha) = 0 et \alpha^2 - 4 inv.]

Principe de démonstration. L'hyp. \alpha \neq 2 inv. i.e. les u_s non unipotents, implique déjà l'existence d'un unique tore maximal T qui contient u. OPS T \simeq \mathbb{G}_m, donc u donné par une

section \lambda de \mathbb{G}_m, donc * \alpha = \lambda + \lambda^{-1} , et on est ramené à une question de calcul standard.

~~Remarques~~

Cor. 1 Supposons les car. résiduelles de S \neq 3. Pour qu'une section u de G satisfasse u^3 = \mathrm{id} (resp. u^6 = \mathrm{id}) et que l'ordre des u_s (s \in S) soit toujours égal à 3 (resp. 6) il f. et s. qu'on ait \alpha = -1 (resp. \alpha = +1).

~~L'une et l'autre hyp. implique que~~

Cor 2 Supposons les car. rés. de S \neq 2. Pour que l'on ait u^4 = \mathrm{id} et que les u_s (s \in S) soient d'ordre 4 exactement, il f. et s. que \alpha = 0

Cor. 3 Supposons les car. résiduelles \neq 5. Pour que u^5 = \mathrm{id} et les u_s d'ordre 5, il f. et s. qu'on ait \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 on lit « u^5 = 0 », pour u^5 = \mathrm{id}

NB L'ordre \nu d'un élément \tilde{u} de \mathrm{SL}(2,k) (k un corps) — donc d'un \widetilde{G}(k), pour une forme \widetilde{G} de \mathrm{SL}(2) sur k — peut être d'une des formes suivantes pour une car. donnée :

a)\nu = +\infty b)\nu entier \geq 1 premier à p : c)\nu = 2p (p premier impair) d)\nu = p

si p = car. k fini l'annotation marginale, embrassant c) et d) par une accolade, est reliée par une flèche à d)

Si on exclut les cas \pm\mathrm{id} (élément du centre, i.e. d'un élément qui donne 1 dans \widetilde{G}/\mu_2 = G) [qui donnent lieu à \alpha = \pm 2, mais d'autres cas y donnent lieu aussi] on a vu que la valeur de \alpha détermine (loc. fpqc) la classe de conj. de u. On trouve en fait l'analyse suivante :

On suppose u non central ; \zeta une solution de \zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0 dans \bar{k} « u non central » est souligné deux fois

~~\nu premier à p (p fini) \Longleftrightarrow~~

k car. 0 (p = +\infty) :

a)\nu fini \Longleftrightarrow \exists n \geq 3 tel que \Psi_n(\alpha) = b) \Longleftrightarrow ~~\zeta racine~~ \zeta d'ordre fini \neq 1, 2

k car. p > 0 :

b)\nu fini \Longleftrightarrow \alpha algébrique \Longleftrightarrow \exists n \geq 1 tel que \Psi_n(\alpha) = 0 (\Longleftrightarrow \exists n \geq 1, premier à p ou de la forme 2p, ~~2p (avec~~ p impair) ou p, tel que \Psi_n(\alpha) = 0 [n est alors unique, et égal à \nu(u)] (S \neq \emptyset) \Longleftrightarrow \zeta d'ordre fini (en fait).

disposé en tableau : « k car. 0 » et « k car. p > 0 » à gauche, les équivalences à droite. Le second membre de « \Psi_n(\alpha) = » est laissé en blanc ; « (S \neq \emptyset) » est écrit à gauche du crochet

Théorème \widetilde{G} forme de \mathrm{SL}(2)_S, u section de \widetilde{G}, \alpha = A(u) \in \Gamma(S, \underline{O}_S), n \in \mathbb{N}, \boxed{n \geq 3}. On s'intéresse à la traduction, en termes de \alpha et des propriétés des car. résiduelles de S, de la propriété suivante (*) \qquad u^n = \mathrm{id}, \text{ et } \forall s \in S, \text{ l'ordre de } u_s \text{ est égal à } n. NB On ne prend pas n = 2, qui se calculerait complètement

A) Supposons que n ne soit ~~ni de premier, ni 2p (p premier )~~ de la forme p (p premier impair). Alors (*) équivaut :

a)\Psi_n(\alpha) = 0, et n inv. sur S (i.e. les car. résiduelles sont premières à n)

NB Le cas n = 4 — A) doit marcher dans le cas de G = \widetilde{G}/\mu_2

B) n = 2p (p premier impair). Alors équivaut :

b)\Psi_n(\alpha) = 0, et 2 inv. sur S (i.e. car. rés. de S sont \neq 2)

C) n = p, p est premier impair. Alors ces équivalent :

c)\Psi_n(\alpha) = 0.

à vérifier Peut-être faux (bons contre-exemples …) B) et C) sont embrassés à gauche par une accolade qui porte « à vérifier » ; l'autre note marginale est reliée à C). La note sur n = 4 est encerclée et rattachée à A)

NB Ces conditions impliquent (\alpha + 2)(\alpha - 2) inv., sauf dans le cas A. Dans les cas B ~~resp. C~~ et C, les pts où \alpha_s^2 - 4 = 0 sont ceux de car p, ~~(où \alpha_s = -2 \neq 2] (resp. ceux de car~~ où \alpha_s = -2 \neq +2 (cas B) resp \alpha_s = +2 \neq -2 (cas C) le dernier « \neq -2 » est surchargé

Sous-groupes finis de \mathrm{GP}(1)

inscrit en haut à droite d'un feuillet de garde (page 32), qui ne porte rien d'autre. En haut à gauche, au crayon, « (8 p) », qui compte les huit feuillets suivants (pages 33 à 40, fin du lot). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Sous-groupes finis de \mathrm{GP}(1,k), \mathrm{SL}(2,k), \mathrm{GL}(2,k)

titre souligné, de sa main, en tête de la page 33

On suppose d'abord k corps de car. 0, alg clos.

a) Sous groupes finis de \mathrm{GP}(1,k) = G

Thm a) Pour que deux ss-groupes finis \Gamma, \Gamma' de G soient conjugués dans G, il f. et s. qu'ils soient isomorphes.

b) Les classes d'isom. de ss-groupes finis de G allez-y sont \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (n \geq 1 ), \mathbb{D}_n (n \geq 2), \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5, i.e. (ce sont exactement les types des groupes d'isom. des cartes orientées régulières sphériques ! (comme leurs les dans \mathrm{GP}(1)….) la note marginale est reliée par un trait à « i.e. » ; la parenthèse du texte reste ouverte

~~c) Si \Gamma est un sous-groupe de G, son normalisateur~~ et si il est égal à son normalisateur, sauf dans le cas de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (n \geq 1) et de \mathbb{D}_2, de \mathfrak{A}_4.) Dans ces cas, , mettant à part le cas trivial de 1 = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} :

1°)~~Normalisateur de~~ \mathcal{N}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) ~~est le normalisateur~~ \mathcal{N}(T), où T = \mathfrak{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) est l'unique tore maximal qui contient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathcal{N}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})/\mathfrak{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 2°)~~Normalisateur de~~ \mathcal{N}(\mathbb{D}_2) \xrightarrow{\sim} \mathfrak{S}_4, ~~Centralisateur de~~ \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_2) = \mathbb{D}_2, \mathcal{N}(\mathbb{D}_2)/\mathfrak{Z}(\mathbb{D}_2) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\mathbb{D}_2) \simeq \mathfrak{S}_3 3°)\mathcal{N}(\mathfrak{A}_4) = \mathfrak{S}_4, \mathfrak{Z}(\mathfrak{A}_4) = (1), \mathcal{N}(\mathfrak{A}_4)/\mathfrak{Z}(\mathfrak{A}_4) = \mathfrak{S}_4 = \mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4)

~~D'autre part, dans tous les cas sauf~~ \mathcal{N} et \mathfrak{Z} rendent ses lettres cursives pour normalisateur et centralisateur ; \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4 ses grandes lettres gothiques. Des traits obliques au crayon, parallèles et croisés, couvrent la moitié inférieure de la page, du bloc c) jusqu'au bas ; à gauche, un dessin au crayon et à l'encre (des arcs, les marques « 0 », « 1 », « J' »), non redessiné. On ne peut dire si ces traits biffent le bloc c) ou appartiennent à une figure ; le texte à l'encre, lui, reste lisible et n'est pas biffé à la plume, sauf la ligne « D'autre part … sauf »

c) Pour toute carte orientée finie sphérique (connexe) C, considérons sa réalisation topologique — on trouve un foncteur de groupoïdes C \longrightarrow \mathcal{C} \longrightarrow \text{catégorie des couples } (G, \Gamma) sous \mathcal{C} : « cat. des « cartes holomorphes sphériques » i.e. des « cartes holomorphes » telles que la variété complexe sous-jacente soit de type de genre 0 » ; la catégorie d'arrivée est celle des couples (G, \Gamma) « d'une forme de \mathrm{GP}(1, \mathbb{C}), et d'un sous-gr. fini ». Le premier C est une lettre ronde, le second, plus grande, est repassé

1) Soit \Gamma \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, n \geq 2. Alors T = \mathfrak{Z}(\Gamma) est un tore maximal de G, et c'est l'unique tore maximal de G contenant \Gamma. On a \Gamma = {}_nT, ~~\mathrm{Aut}(\Gamma) =~~ et les relations \Gamma \mapsto T = \mathfrak{Z}(\Gamma), T \mapsto {}_nT = \Gamma, définissent des bijections inverses l'une de l'autre entre l'ens. des tores maximaux de G, et l'ens des ss-groupes de G ~~\mathbb{Z}~~ cycliques d'ordre n. (\Longrightarrow) \mathrm{Aut}(G, \Gamma) \simeq \quad \bigl(\mathcal{N}(\Gamma) = \mathcal{N}(T) = , \quad \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) = \mathrm{Aut}(G, \Gamma) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} au-dessus de « \mathcal{N}(T) = », un « \mathrm{Aut}(G, T) = » biffé ; au-dessus de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, « \mathrm{Aut}\,\Gamma » avec une flèche montante d'inclusion. À gauche, en marge, deux dessins : une étoile de huit arêtes issues d'un sommet, et plus bas un cercle marqué de deux points ; non redessinés

NB 1° à 3° les seuls cas 3) Soit \Gamma = \mathbb{D}_2 \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2. Alors \mathfrak{Z}(\Gamma) = \Gamma, \qquad \mathcal{N}(\Gamma) = \mathfrak{S}_4 , \mathcal{N}(\Gamma) est l'unique ss-groupe du type \mathfrak{S}_4 qui contienne \Gamma, et \Gamma \mapsto \mathcal{N} = \mathcal{N}(\Gamma), \mathcal{N} \longmapsto \Gamma = unique ss-grpe. du type \mathbb{D}_2 de \mathcal{N} [= unique ss-groupe invariant de \mathcal{N} distinct de [\mathcal{N}, \mathcal{N}] i.e. d'indice \neq 2 [ou encore d'indice 6]], sont des corr. 1-1 entre l'ens des sous-groupes de G de type \mathbb{D}_2, et l'ens des ss-groupes de type \mathfrak{S}_4. le « 3) » (peut-être un « 2) » surchargé) est pris dans un crochet auquel mène une flèche partie de la note marginale, qui se termine par un mot non lu

NB Si \mathcal{N}(\Gamma) \to \mathrm{Aut}(\Gamma) non injectif (c'est le seul cas les cas) \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_3

Cor. Main La donnée, sur un schéma S de car. 0, d'une forme G de \mathrm{GP}(1) et d'un sous-groupe étale fini \Gamma de G cyclique d'ordre n (n \geq 2 donné) équivaut à celle d'une ~~Mod.~~ de rg 2 sur S. ce corollaire est écrit à droite du 3), serré dans la marge droite, marqué d'un trait vertical ; la ligne « \mathcal{N}(\Gamma) est l'unique ss-groupe du type … » passe à travers sa fin

Cor. Main ~~La donnée d'un ss-groupe~~

Cor. Main Sur base S de car. 0 La donnée d'un (G, \Gamma), G forme de \mathrm{GP}(1), ~~\Gamma~~ \Gamma \subset G forme de \mathbb{D}_2, équivaut à celle des (G, \widetilde{\Gamma}), G …, \widetilde{\Gamma} \subset G forme de \mathfrak{S}_4, ou encore à celle d'un torseur sous \mathfrak{S}_4, ou encore d'un rev. étale de degré 4 de S, ou à celle d'un tétraèdre sur S, à celle d'un octaèdre orienté sur S. « à celle d'un octaèdre orienté sur S » est écrit à gauche, en bas de la page, et rattaché à la fin du corollaire

2) Soit \Gamma = \mathbb{D}_n (n \geq 3), ~~Alors~~ \Gamma^{+} [\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}] le ss-groupe canonique d'indice 2, T = \mathfrak{Z}(\Gamma^{+}) l'unique tore maximal qui \mathfrak{Z}(\Gamma) = {}_2T \simeq \lbrace \pm 1 \rbrace \mathcal{N}(\Gamma) = \begin{cases} \Gamma & \text{si } n \text{ pair} \\ \Gamma \cdot {}_2T & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \simeq \Gamma/{}_2\Gamma^{+} \subset \mathrm{Aut}(\Gamma) \,] devant \mathfrak{Z}(\Gamma) = un premier membre biffé et noirci ; devant \mathcal{N}(\Gamma), ajouté à gauche, « \mathrm{Aut}(G, \Gamma) = ». Entre \mathfrak{Z}(\Gamma) et \Gamma/{}_2\Gamma^{+} de la dernière ligne, une formule biffée (« \simeq \mathrm{Aut}(\Gamma) \ldots »), et au-dessus de l'inclusion un signe biffé. En marge gauche, un mot non lu avec une flèche, un « vérifier » (?) encerclé, et un cercle marqué de points, « n \geq 3 », non redessiné

Cor Main Sur S sch. de car. 0, si n pair La cat. des (G, \Gamma), G forme de \mathrm{GP}(1), \Gamma \subset G ~~sous-groupe fini étale~~ forme de \mathbb{D}_n (n fixé \geq 3) équivaut à celle des rev. principaux de S de groupe \mathbb{D}_n, (ou encore, \equiv racines primitives n-ièmes de 1 ), i.e. celle des polygones réguliers sur S de degré n. « \geq 3 » est surchargé, peut-être en « \geq 4 »

Si n est impair \geq 3, il faut faire le produit de la cat. des rev. principaux par celle des rev. \Gamma_S que pour \Gamma' = \mathbb{D}_{2n}. ce paragraphe est entouré d'un trait qui le rattache au corollaire

… de l'étude d'une « » conséquences d'une satisfaisant … à gauche du paragraphe, un griffonnage en hachures serrées couvre plusieurs mots d'une note marginale oblique, dont on ne lit que des fragments

4 & 5) Soit \Gamma \simeq \mathfrak{A}_4 ou \mathfrak{S}_4 \mathfrak{Z}(\Gamma) = 1 \mathrm{Aut}(G, \Gamma) = \mathcal{N}(\Gamma) = \mathcal{N} \simeq \mathfrak{S}_4 \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \simeq \mathcal{N}(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\Gamma)

Cor. 1-1 entre ~~sous-groupes~~ formes de \mathbb{D}_2, de \mathfrak{A}_4, de \mathfrak{S}_4, contenues dans G fixé (formes = espaces homogènes sous G)

Cor Équivalence de catégories, sur base S de car. 0, des (G, \Gamma), G forme de \mathrm{GP}(1), \Gamma forme de \mathbb{D}_2, ou \mathfrak{A}_4, ou \mathfrak{S}_4, et avec la cat. des torseurs sous \mathfrak{S}_{4S}, ou celle des rev. étales de degré 4, ou celle des tétraèdres au-dessus de S, ou celle des octaèdres au-dessus de S, ou des formes de \mathfrak{A}_4, ou de \mathfrak{S}_4, sur S. les deux corollaires sont marqués d'un trait vertical en marge

5) Soit \Gamma = \mathfrak{A}_5. On a \mathfrak{Z}(\Gamma) = \lbrace 1 \rbrace, \mathrm{Aut}(G, \Gamma) = \mathcal{N}(\Gamma) = \Gamma, \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) = \Gamma \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_5 le bloc 5) est encadré et barré de trois traits obliques ; il est transcrit lisiblement

Dans chacun de ces cas, on a un représentant canonique de la catégorie fibrée envisagée, défini sur \mathbb{Q} : ~~\mathbb{Z}~~

Cas 1) \mu_n opère sur \mathbb{G}_{m\mathbb{Q}} donc sur \widehat{\mathbb{G}}_{m\mathbb{Q}} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}, [l'opération s'obtient aussi en faisant opérer \mu_{2n} sur \underline{O}^2_{\mathbb{Q}}, par la façon tautologique sur le premier facteur \underline{O}_{\mathbb{Q}}, et trivialement sur le deuxième, et en passant à \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} = \check{\mathbb{P}}(\underline{O}^2_{\mathbb{Q}})], ce qui fait jouer au quotient de \mu_{2n} : \mu_n …] NB Il n'y a de formes non tordues de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} contenues dans une G forme de \mathrm{GP}(1) sur \mathbb{Q}, que si l'équation ½ cyclotomique de degré n ~~sur \mathbb{Q} a~~ , ce qui signifie que n \in \lbrace 2, 3, 4, 6 \rbrace. Itou pour avoir une forme non tordue de \mathbb{D}_n dans une G. Pour avoir une forme standard \Gamma \subset G !

Cas 2, 3 \mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_n opère sur \mathbb{G}_{m\mathbb{Q}} donc sur \widehat{\mathbb{G}}_{m\mathbb{Q}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} . [ReNB Sur un corps de base (disons) donné k, et n donné, conditions équiv. a) \exists \alpha \in k solution de l'équation « cyclotomique » \Psi_n(\alpha) = 0 b) \exists forme non tordue de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \subset forme G de \mathrm{GP}(1) (alors G est néc. non tordue) c) Itou avec \mathbb{D}_n]

~~Cas~~ En fait, tous ces cas sont couverts par les plongements naturels de \mu_n, \mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_n dans \mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mathbb{G}_m, normalisateur du tore maximal standard de \mathrm{GP}(1)_{\mathbb{Q}} \simeq \mathrm{GL}(2)_{\mathbb{Q}}/\mathbb{G}_{m\mathbb{Q}}.

Cas 4, 5 prenons On prend le plongement principal \mathbb{D}_{2\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_{2\mathbb{Q}} de \mathrm{GP}(1), on prend le normalisateur de \mathbb{D}_{2\mathbb{Q}} dans \mathrm{GP}(1) — \mathfrak{S}_4 : fait une forme (tordue ?) de \mathfrak{S}_4 plongée dans \mathrm{GP}(1), il faudrait regarder de plus près. [ une forme de \mathfrak{A}_4, à chercher un autre représentant plus commode ? les cas 4, 5 sont marqués d'un trait vertical en marge ; la note marginale est en partie couverte par un griffonnage

6) \Gamma \simeq \mathfrak{A}_5. \mathfrak{Z}(\Gamma) = \lbrace 1 \rbrace, \qquad \mathcal{N}(\Gamma) = \Gamma \simeq \mathfrak{A}_5 Une fois choisi un cas de référence (G_0, \Gamma_0) sur \mathbb{Q}, si S est un schéma de car. 0, se donner un couple (G \supset \Gamma), avec G forme de \mathrm{GP}(1), \Gamma forme de \mathfrak{A}_5, revient au même que de se donner une forme intérieure de \Gamma_0, ou un torseur sous \Gamma_0. Si on choisit \Gamma_{0k} \simeq \mathfrak{A}_5, il revient au même de se donner un rev. de degré 5 de S + trivialisation du rev. quadratique de ses orientations.

Mais on a ceci : \exists sur k forme non tordue de \mathfrak{A}_5 dans une G (forme de \mathrm{GP}(1)) sss l'équation ½ cyclotomique \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 a ses racines dans k ~~et alors s'il existe une fo~~ Pour que de plus G soit non tordue, il f. et s. que k contienne les racines cinquièmes de 1. vérifier « vérifier » est souligné deux fois ; la phrase « Pour que … de 1 » est marquée d'un trait vertical

Sur un k muni d'une solution \alpha, il y a un plongement de \mathfrak{A}_5 dans une G [défini à iso unique près en exigeant que l'image d'un 5-cycle permutation circulaire standard soit \alpha certain \alpha !] — OPS k = k_0 = \mathbb{Q}[T]/(T^2 + T - 1) \simeq \mathbb{Q}[\alpha_0], où \alpha_0 = \tfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) \,] Sur les k_0-schémas, la donnée d'un G \supset \Gamma, \Gamma (G_1) forme de \mathfrak{A}_5 (\mathrm{GP}(1)) équivaut à la donnée d'un torseur sous \mathfrak{A}_5, i.e. … le « + » de \alpha_0 est entouré. « (G_1) » au-dessus de \Gamma est une lecture douteuse. La page s'arrête sur « i.e. » et un tiret ; le bas du feuillet est blanc

Formes de \mathbb{D}_n

titre souligné, de sa main, en tête de la page 38

Soit \Gamma un groupe, ~~tel que~~ satisfaisant les conditions suivantes : il existe un ss-groupe \Gamma^{+} de \Gamma tel que

a)\Gamma^{+} d'indice 2 dans \Gamma, i.e. \Gamma ext. de \mathbb{Z}/2 \simeq \Gamma/\Gamma^{+} par \Gamma^{+} b)\Gamma^{+} commut. [de \Gamma/\Gamma^{+} = \mathbb{Z}/2 opérant sur \Gamma^{+}] c)\mathbb{Z}/2 opère sur \Gamma^{+} par x \mapsto -x e)\Gamma^{+} \setminus {}_2(\Gamma^{+}) engendre le groupe \Gamma^{+}. [NB si \Gamma^{+} est cyclique, ce d'ordre n, ceci signifie n \neq 1] d)\exists \sigma \in {}_2\Gamma, \sigma \notin \Gamma^{+} [i.e. l'extension de \mathbb{Z}/2 par \Gamma^{+} est scindée].

la lettre e) surcharge un premier signe ; une flèche courbe la relie à d), sans qu'on voie si elle doit passer après. {}_2\Gamma note l'ensemble des éléments d'ordre divisant 2

~~On a alors~~

~~Alors le~~ Soit ~~Alors~~ \Gamma^{-} = \Gamma \setminus \Gamma^{+}. On voit tout de suite ~~que~~ (utilisant c) & d)) \Gamma^{-} \subset {}_2\Gamma donc {}_2\Gamma = \Gamma^{-} \amalg {}_2\Gamma^{+} donc \Gamma \setminus {}_2\Gamma = \Gamma^{+} \setminus {}_2\Gamma^{+} donc, utilisant e) (*) \qquad \Gamma^{+} = \text{ss-grpe de } \Gamma \text{ engendré par } \Gamma \setminus {}_2\Gamma ce qui montre donc que \Gamma^{+} est déterminé de façon unique. D'ailleurs, \Gamma^{-} est un torseur à gauche sous \Gamma^{+}, et la multiplication sur \Gamma = \Gamma^{+} \amalg \Gamma^{-} se déduit de la structure de groupe sur \Gamma^{+} et de la structure de \Gamma^{+} tors. à g. sur \Gamma^{-}, grâce :

1°)La multiplication de \Gamma dans \Gamma^{+} \times \Gamma^{+} est celle de \Gamma^{+} 2°)— \Gamma^{-} \times \Gamma^{-} est l'application ct. \to 1 \in \Gamma^{+} 3°)— \Gamma^{+} \times \Gamma^{-} est induite par l'opération de \Gamma^{+} sur \Gamma^{-} 4°)— \Gamma^{-} \times \Gamma^{+} est donnée par (\sigma, v) \mapsto \sigma v = (-v) \cdot \sigma

les tirets rendent ses traits de répétition pour « La multiplication de \Gamma dans »

Inversement, partant d'un groupe abélien \Gamma^{+}, et d'un torseur \Gamma^{-} sous \Gamma^{+}, on définit sur \Gamma = \Gamma^{+} \amalg \Gamma^{-} une ~~structure~~ loi de composition par les formules précédentes, et on voit de suite que celle-ci est une loi de groupe, qui fait de \Gamma un groupe admettant \Gamma^{+} comme sous-groupe abélien d'indice 2, l'extension de \mathbb{Z}/2 par \Gamma^{+} ainsi obtenue donnant lieu : l'opération x \mapsto -x de \Gamma^{+}, et étant scindée — à n'importe quel élément de \Gamma^{-}. [Donc \Gamma, \Gamma^{+} satisfont les conditions a) à d) ci-dessus, mais pas néc. e)] On trouve donc un foncteur qui va de la cat. des torseurs sous groupes abéliens (avec les morphismes habituels, par ex. iso) vers la catégorie des ext. « diédrales » de \mathbb{Z}/2 par groupes abéliens — et c'est une équiv. de catégories — et la restriction de ce foncteur à la ss-cat. pleine des ~~aux~~ couples (\Gamma^{+}, \Gamma^{-}), avec \Gamma^{+} satisfaisant e) ci-dessus, et les seuls iso) est un foncteur pl. fidèle vers la cat. des groupes \Gamma satisfaisant ~~les~~ conditions du début, avec les iso. En particulier

Prop Soit n \geq 3 un entier. La ~~cat.~~ gerbe ~~des~~ des formes de \mathbb{D}_n est équivalente à la ~~catégorie~~ gerbe des droites affines sur l'anneau \mathbb{Z}/n. En particulier, on trouve \mathrm{Aut}(\mathbb{D}_n) \simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbb{Z}/n) \simeq (\mathbb{Z}/n)^{*} \cdot_{1/2} \mathbb{Z}/n la proposition est marquée d'un trait vertical en marge. Le mot ajouté deux fois au-dessus de « cat. » biffé, lu « gerbe », est incertain

Théorème Soient S un schéma. Pour toute forme G de \mathrm{GP}(1)_S et tout mono \varphi : \mathfrak{A}_{5S} \hookrightarrow G soit \alpha(\varphi) = A(\varphi(\pi)) où A : G \longrightarrow \mathbb{E}^1_S est l'hom. invariant et où \pi est la permutation circulaire standard de \mathfrak{A}_5. Ceci posé : ~~la cat. des~~ ~~foncteur~~ ~~couples~~ de la catégorie-groupoïde des (G, \varphi) (G, \varphi) \longmapsto \alpha(\varphi) (où G est ~~iso~~ une forme de \mathrm{GP}(1)_S et \varphi : \mathfrak{A}_{5S} \hookrightarrow G, ~~discrète (i.e. autom. et identité)~~), et l'application (G, \varphi) \mapsto \alpha(\varphi) définit une bijection de l'ens. des classes d'iso, sur l'ens ~~des~~ \mathrm{Hom}(S, M) des \alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S) satisfaisant \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 dans la catégorie discrète définie par l'ens des \alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S) tels que \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 , est une équivalence de catégories. En d'autres termes : la catégorie des (G, \varphi) est rigide, et pour S variable, le foncteur S \mapsto F(S) = ~~ens. des~~ classes d'iso de couples (G, \varphi) sur S, est représentable par M = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}[T]/(T^2 + T - 1) . grâce à \varphi \mapsto \alpha(\varphi). le passage biffé est encadré et barré de traits obliques ; le texte qui le remplace (« dans la catégorie discrète … ») est écrit sous le cadre il suffit que soit trivial ( ) sur les fibres… On pose \alpha'(\varphi) = -1 - \alpha(\varphi) = -1/\alpha(\varphi) la première note marginale est en face de l'énoncé, la seconde en face de « Ceci posé »

Cor Soit (G, \varphi) comme dessus, et soit u un automorphisme de \mathfrak{A}_5. ~~Pour qu'on ait~~ Si u est intérieur on a \alpha(\varphi \circ u) = \alpha(\varphi) i.e. (G, \varphi) \sim (G, \varphi \circ u). Si u n'est intérieur sur aucune fibre, on a \alpha(\varphi \circ u) = \alpha'(\varphi) fin du lot ; la page s'arrête sans ponctuation finale