Cote n° 85 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

21Cor Sur le corps alg. clos \(k\), considérons la condition (\(i\) entier pair \(\geq 0\)) \[ (**) \qquad \exists \text{ hom injectif } \Gamma = \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \longrightarrow \mathrm{GP}(1,k) \] la parenthèse « \(i\) entier pair \(\geq 0\) » est entourée d'une boucle rattachée à la fin de la première ligne. Les lettres \(\alpha\), \(\rho\), \(\sigma\), \(\varphi\) viennent de la page précédente (lot 1)

Alors ⌜dans \(i \geq 2\),⌝

  1. a)Si \(i =\) […] \(2\), la condition (**) est vérifiée ⌜(**) est⌝ vérifiée sss car. \(k = 2\)
  2. b)Si \(i = 0\), elle est vérifiée sss ou bien car. \(k = 0\), ou bien car. \(k > 0\) et \(k\) non alg. sur le corps premier. Si \(i = 2\), la condition (**) est vérifiée sss car. \(k = 2\). ⌜donc \(\Gamma \simeq (\mathbb{Z}/2)^3\)⌝
  3. c)Supposons \(i \neq 0, 2\) i.e. \(i \geq 4\) ⌜\(= 2\nu\)⌝. La condition pour qu'il existe mono \(\mathbb{D}_i \hookrightarrow \mathrm{GP}(1,k)\) est que \(p \nmid i\) ou \(p \mid\) \(i = p\) \((\neq 2)\), dans le premier cas on a \(\alpha \neq 2\) i.e. \(\rho \neq 0\), donc \(\mathrm{Aut}(G, \varphi|\mathbb{D}_i) \simeq \mu_2\) ⌜\(=\) […]⌝ dont l'image dans le groupe des ⌜\(\sigma\)⌝ facteurs \(\mathbb{Z}/2\) de \(\Gamma\) est […] 1, on soit \(u^{\nu}\). D'où le résultat. Dans le 2e cas on a \(\alpha = 2\), i.e. \(\rho = 0\), et en car. \(\neq 2\) on a \(\mathrm{Aut}(G, \varphi|\mathbb{D}_i) = (p)\), (donc un hom \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\) injectif sur \(\sigma\)) et en car. 2

distinguer cas \(i = 2\) […] […] […] dans […] la note marginale est en face de a), marquée d'un trait vertical. Le petit \(\sigma\) est ajouté au-dessus de « des ». Le bloc « donc \(\Gamma \simeq (\mathbb{Z}/2)^3\) » est encadré, rattaché à la ligne biffée qui répète a), elle-même couverte d'un griffonnage. Au-dessus de « \(\mu_2\) », un « \(=\) » suivi d'un signe biffé ; la phrase qui suit est lue avec peine. La page s'arrête sur « et en car. 2 » et un trait horizontal

Invariants des sections des formes de \(\mathrm{GP}(1)\) etc

inscrit en haut à droite d'un feuillet de garde (page 22), qui ne porte rien d'autre ; « Invariants » est souligné. En haut à gauche, au crayon, « (9 p) », qui compte les neuf feuillets suivants (pages 23 à 31). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

23

Invariants des d'automorphismes de d'une droite projective

1) Soit \(G\) une forme de \(\mathrm{GP}(1)\), ou de \(\mathrm{SL}(2)\) ⌜sur \(S\)⌝ — i.e. un schéma en groupes ½ simple de rang 1 sur un schéma \(S\). Considérons le foncteur \[ \mathbf{I}(G) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sch}}(G, \mathbb{E}^1_S)^{\circlearrowleft} \overset{\mathrm{d\acute{e}f}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sch}}(G, \mathbb{E}^1_S)^{G} \] où \(G\) opère sur le \(\underline{\mathrm{Hom}}\) via autom. int. sur \(G\). Ce foncteur est représentable ⌜(vrai pour \(H\) […] ½ simple)⌝, et on a un isomorphisme canonique \[ \mathbf{I}(G) \xrightarrow{\ A\ } \mathbb{E}^1_S \] qui, en tant que morphisme, peut être caractérisé par la propriété suivante : si \(\mathbb{G}_m \xrightarrow{i} G\) est un monomorphisme, alors \[ A(i(\lambda)) = \lambda + \lambda^{-1} \] et itou après tout chgt de base. l'exposant du premier \(\underline{\mathrm{Hom}}\) est une petite flèche recourbée, rendue ici par \(\circlearrowleft\) ; « ½ simple » : semi-simple. \(\mathbb{E}^1_S\) est la droite affine sur \(S\)

Proposition 2 Soient \(u, v\) deux sections de \(G\), telles que ⌜2) Prouvons que⌝ ⌜on suppose⌝

On a donc \[ A(1) = 2 . \]

[Supposons \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\), et Soit \(\sigma\) une section de \(G\) sur \(S\) telle que \(\sigma^2 = \mathrm{id}\), \(\sigma_s \neq \mathrm{id}_s\) \(\forall s \in S\) (donc on pourrait appeler \(\sigma\) une réflexion de \(G\)) alors \[ A(\sigma) = -2 . \] NB Dans le cas d'une forme de \(\mathrm{GP}(1)\), \(\sigma\) est une « réflexion » ; dans le cas de \(\mathrm{SL}(2)\), on […] […], […] générateur du […]… C'est clair si 2 inv. sur \(S\), car alors \(\sigma\) est contenu ⌜(marqué dans le cas de \(\mathrm{GP}(1)\) — dans le cas de \(\mathrm{SL}(2)\), \(\sigma\) est central)⌝ dans un (unique) tore maximal, qu'on peut supposer scindé (par localisation), et on a alors \(\lambda = -1\), d'où \(A(\sigma) = -1 + 1/{-1} = -2\). Pour le cas général, on fait un argument de coeff universels…]

Prop Remarque Supposons que \(u\) soit unipotent, par quoi on entend qu'il existe loc. fpqc une forme

24monomorphisme \[ \mathrm{Aff}(1)_S = \mathbb{G}_m \cdot_{1/2} \mathbb{G}_a \xrightarrow{\ i\ } G \] et une section \(t\) de \(\mathbb{G}_a\), telle que \(u = i(t)\). le « ½ » est écrit sous le point du produit : produit semi-direct Je dis qu'alors aussi on a \[ A(u) = 2 \] En effet, on trouve plus précisément ⌜généralement⌝ \[ A(i(\lambda \cdot t)) = \lambda + \lambda^{-1} \] On le voit p. ex. en notant que (pour \(\lambda\), \(t\) indét.) \[ f(\lambda, t) \overset{\mathrm{df}}{=} A(i(\lambda, t)) \] étant élém. \(\in \underline{O}_S[\lambda, t][\lambda^{-1}]\) satisfaisant les conditions \[ \begin{cases} f(\lambda, 0) = \lambda + \lambda^{-1} \\ f\bigl(\underbrace{(0,t)(\lambda,0)(0,-t)}_{(\lambda,0)(\lambda^{-1}t - t) = (\lambda, \lambda^{-1}t - t)}\bigr) = \lambda + \lambda^{-1} \end{cases} \] « plus gén. » est écrit devant la seconde ligne de l'accolade donc, posant \(s = \lambda^{-1}t - t\) i.e. \(t = \dfrac{s}{\lambda^{-1} - 1}\), on a \[ f(\lambda, s) = \lambda + \lambda^{-1} \] dès que \(\lambda^{-1} - 1\) inversible — donc par prolongement, pour tt système \((\lambda, s)\).

Une condition nécessaire pour que \(u\) soit unipotent est donc que \(A(u) = 2\). On voit aisément que cette condition est suffisante au-dessus d'un corps (utilisant le fait que sur un corps alg. clos, tt élément de \(G\) est contenu dans un s-groupe de Borel). J'ignore ce qui en est dans le cas général. le « 2 » de « \(A(u) = 2\) », étroit et appuyé, pourrait se lire 1

25Proposition Soient \(u, u'\) deux sections de \(G\), telles ⌜on⌝ suppose \(A(u) - 2\) ⌜et \(A(u) + 2\)⌝ inv. [i.e. \(u_s^2\) non unipotent \(\forall s \in S\)]. Pour que \(u\) et \(u'\) soient conjugués loc. fpqc (ou encore, conjugués si \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\)) il f. et s. que \(A(u) = A(u')\). ⌜Ceci vaut aussi sans restriction sur \(A(u)\), si \(S\) spectre d'un corps et \(u_s\) non central \(K_S\)⌝ le paragraphe de l'énoncé est marqué d'un trait vertical en marge gauche

Néc. évident, prouvons suff. sur \(u\) et \(u'\). En effet, l'hypothèse implique que \(u\), \(u'\) sont contenus chacun dans un (unique) tore maximal. Utilisant la th. de conjugaison, on peut supposer que c'est le même, et par localisation, que c'est \(\mathbb{G}_m\). Donc \(u\), \(u'\) correspondent à des sections \(\lambda\), \(\lambda'\) de \(\mathbb{G}_m\), et l'hyp \(A(u) = A(u')\) signifie \[ (*) \qquad \lambda + \lambda^{-1} = \lambda' + \lambda'^{-1} = \alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S) \] ce qui signifie que \(\lambda\) et \(\lambda'\) sont […] solutions de la même équation \[ (**) \qquad t^2 - \alpha t + 1 = 0 \] dont le discriminant est \[ \alpha^2 - 4 = \underbrace{(\alpha - 2)}_{\text{inv.}}(\alpha + 2) \] il résulte de ceci que aux pts où \(\alpha(s) = -2\). L. dont inv. par hyp. \(\alpha^2 - 4\) inv. i.e. \(\alpha + 2\) inv. i.e. \(\alpha(s) \neq -2\) en tt \(s \in S\), donc Cette équation définit un rev. étale de rang 2 de \(S\), et on trouve que l'on a loc. deux solutions deux sections distinctes […] sont égales loc., soit conjuguées par l'involution canonique \(t \mapsto t^{-1}\), on gagne donc. Il reste à faire une étude locale […] plus serrée aux pts où \(\alpha(s) = \pm 2\), i.e. \(\lambda_s = \lambda'_s = \pm 1\), prenons le cas \(-1\) p.ex.

26Les réductions habituelles nous ramènent au cas d'un anneau ⌜de base⌝ artinien […], corps \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) artinien \(A\), corps résiduel \(k\) \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), i.e. prouvons que si \(\lambda \neq \lambda' \in A^{*}\) sont tels que \(\lambda + \lambda^{-1} = \lambda' + \lambda'^{-1}\), alors on a \(\lambda' = \lambda\) ou \(\lambda' = \lambda^{-1}\). Supposons qu'on sache \(\lambda'_n = \lambda_n\), prouvons \(\lambda'_{n+1} = \lambda_{n+1}^{\pm 1}\) ? sous \(\lambda'_{n+1}\) et \(\lambda_{n+1}\), des signes « \(=\) » verticaux renvoient à \(\lambda'\) et \(\lambda\). Le « \(\neq\) » de « \(\lambda \neq \lambda'\) » est peut-être un « \(=\) » surchargé ; les lignes « artinien », « \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) » et « \(k\) » sont enchevêtrées de ratures

On a \(\lambda'_n = \lambda_n\) \(\lambda' = \lambda + \mu\), avec \(\mathfrak{m}\mu = 0\), d'où donc \[\begin{align*} \lambda' &= \lambda(1 + \lambda^{-1}\mu) = \lambda(1 - \mu) = \lambda + \mu \\ \lambda'^{-1} &= \lambda^{-1}\underbrace{(1 - \mu)^{-1}}_{1 + \mu} = \lambda^{-1}(1 + \mu) = \lambda^{-1} - \mu \\ \lambda' + \lambda'^{-1} &= \lambda + \lambda^{-1} + \mu(\lambda^{-1} - \lambda) = \lambda + \lambda^{-1} . \end{align*}\] les signes devant le dernier \(\mu\) de la deuxième ligne et devant \(\mu(\ldots)\) à la troisième sont surchargés (un signe noirci sur un autre) ; l'exposant du second \(\lambda\) de la parenthèse est surchargé, illisible NB Il s'agit […] d'une propriété générale des morphismes […] « ramifiés » (non étales) en […] : […] « […] » des […] des solutions infinitésimales […]…) Donc l'hyp \(\lambda' + \lambda'^{-1} = \lambda + \lambda^{-1}\) résulte de \(\lambda'_n = \lambda_n\) i.e. \(\lambda' = \lambda + \mu\), \(\mathfrak{m}\mu = 0\) ; […] […] […] autant \[ \lambda' = \lambda \quad \text{ou} \quad \lambda'^{-1} = \lambda \ ? \] i.e. On ces relations signifient, […] ⌜l'une⌝ \(\mu = 0\), l'autre \(\lambda^{-1}(1+\mu) = \lambda\) i.e. \(\lambda\mu = 0\) \(\lambda^{-1}(1+\mu)\) \(\lambda - \lambda^{-1} + \mu = 0\) \[ \mu = \lambda^{-1} - \lambda \] donc ne correspondent qu'à deux valeurs possibles ⌜au plus⌝ de \(\mu\) — donc (si \(k\) n'est pas réduit à 2 él.) on trouve des solutions \(\mu\) de façon à mettre en défaut la relation \([(\lambda' = \lambda) \text{ ou } (\lambda' = \lambda^{-1})]\).

27Remarque Soit \(j : \mathbb{G}_m \to G\) un hom. de groupes, pas nécessairement injectif ⌜mono⌝, supposons que le noyau soit \(\mu_n\), donc \(j\) se factorise en

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \mathbb{G}_m \arrow[r, "\lambda \mapsto \lambda^n"] \arrow[rr, bend right=30, "j"'] & \mathbb{G}_m \arrow[r, "i"] & G
\end{tikzcd}

On en conclut que \[ A(j(\lambda)) = \lambda^n + \lambda^{-n} = G_n(\lambda + \lambda^{-1}) \] où \[ G_n \in \mathbb{Z}[U] \] est un polynôme unitaire universel de degré \(n\), [celui exprimant \(T^n + T^{-n} \in \mathbb{Z}[T, T^{-1}]^{\sigma}\) \((\sigma T = T^{-1})\) \(\simeq\) […] \(\mathbb{Z}[U]\), \(U = T + T^{-1}\)] l'isomorphisme \(\mathbb{Z}[T,T^{-1}]^{\sigma} \simeq \mathbb{Z}[U]\) est écrit verticalement

remarque Exemples 1) Soit \(\mathbb{G}_m \overset{i}{\hookrightarrow} \widetilde{G}\) (forme de \(\mathrm{SL}(2)\)) \(\xrightarrow{\ p\ } G = \widetilde{G}/\mu_2\) (centre de \(\widetilde{G}\)) on a donc \[\begin{align*} A(i(\lambda)) &= \lambda + \lambda^{-1} = \alpha \\ A(p\,i(\lambda)) &= \lambda^2 + \lambda^{-2} = \alpha^2 - 2 \end{align*}\] Plus généralement, indépendamment […] […] […] 2) Soit […] un pt. […] dans \(V\) ([…] […] 2 […]) pour toute section \(u\) de \(\widetilde{G}\) sur \(S\) \[ \begin{cases} A'(p(u)) = A(u') = A(u)^2 - 2 \\ A(u) = \mathrm{Tr}\, u \end{cases} \] [se ramène au cas précédent]

2) Soit \(V\) Mod. loc. libre rg 2 sur \(S\), (\(u\) automorphisme de \(V\), alors on (pas nécessairement dans \(\mathrm{SL}(V)\)) \(u_C\) l'automorphisme de \(C\) ⌜\(C = \mathbb{P}(V)\)⌝ qu'il définit, alors on a \[ A(u^C) = \frac{(\mathrm{Tr}\, u)^2}{\det u} - 2 \] (se ramène au cas 1), en écrivant loc. \(u = tv\), \(t\) unité, \(v \in \mathrm{SL}(V)\)…) « \(C = \mathbb{P}(V)\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; on lirait plutôt « \(\mathbb{P}(C)\) »

Si p.ex. l'équation aux v. propres de \(u\) \[ t^2 - (\mathrm{Tr}\, u)t + \det u = 0 \]

28se décompose en \((t - \lambda_1)(t - \lambda_2)\), i.e. \[ \lambda_1 + \lambda_2 = \mathrm{Tr}\, u, \qquad \lambda_1\lambda_2 = \det u \] alors on trouve \[ A(p(u)) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}{\lambda_1\lambda_2} \] P.ex. si \(u\) est une pseudo-réflexion, […] de paramètre \(\lambda = \det u\) — on a les « v. propres » \(\lambda\) et \(1\), on trouve \[ A(pu) = \lambda + \lambda^{-1} \qquad (u \text{ ps.\ réfl.\ par } \lambda) \] On peut aussi le voir en notant que une ps. réflexion s'insère dans une famille à un paramètre, correspondant à \[ \mathbb{G}_m \longrightarrow \mathrm{GL}(V) \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_C \] et appliquer la définition générale de l'invariant. sous \(\mathbb{G}_m \to \mathrm{GL}(V)\) une accolade, marquée « mono »

Proposition Soit \(u\) une section de \(G\), Pour que ⌜telle que⌝ \(u_s \neq \mathrm{id}\), \(\forall s \in S\). \(u^2 = 1\), il […] Si \(u^2 = 1\), ⌜(et supposons car. rés. \(\neq 2\) si \(G\) forme de \(\mathrm{SL}(2)\),)⌝ on a \[ A(u) = -2 , \] [la réciproque étant vraie si \(S\) est réduit ⌜2 inv., par⌝]

Dém Dans le cas de ⌜d'une forme de \(\mathrm{GP}(1)\),⌝ ⌜\(u_s \neq 1_s\) \(\forall s \in S\), \(u_s^2 = \mathrm{id}\) \(\forall s \in S\)⌝ l'hypothèse implique que \(u\) appartient à un unique tore maximal — pour une forme de \(\mathrm{SL}(2)\) canonique de \(\mathrm{SL}(2)\), pour \(u\) la section gén. du centre \(\mu_2 = \lbrace \pm 1 \rbrace_S\), dans un tore, on a \(u\) […] ⌜est⌝ une section d'un tore maximal \(T \simeq \mathbb{G}_m \hookrightarrow G\), correspondant à la section \(-1\) de \(\mathbb{G}_m\), d'où \(A(u) = -2\). Dans le cas d'une forme de \(\mathrm{GP}(1)\), on

29conclut le résultat […] sans restr. sur les car. résiduelles, car le schéma des éléments « réflexions » dans \(\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{Z}}\) est lisse sur \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}\). Dans le cas d'une forme de \(\mathrm{SL}(2)\), OPS que \(G = \mathrm{SL}(V)\), i.e. ⌜i.e.⌝ \(u\) est un autom de \(V\) satisfaisant […], \(\det u = 1\), Mais \(u_s \neq \mathrm{id}\) \(\forall s \in S\) Comme, d'après Hamilton–Cayley […] \(u^2 - (\mathrm{Tr}\, u)u + \mathrm{id} = 0\), donc ⌜\(u^2 = \mathrm{id} \Longleftrightarrow\)⌝ \((\mathrm{Tr}\, u)u = 2\,\mathrm{id}\), […] ⌜et cette hyp.⌝ ⌜il faut conclure \(\mathrm{Tr}\, u = -2\).⌝ […] Faisant un calcul infinitésimal […] […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] nécessité de cette restriction. […] […] car. résiduelle 2, OPS que \(\mathrm{Tr}\, u_n = -2\), et ⌜[…] […]⌝ prouvons \(\mathrm{Tr}\, u_{n+1} = \mathrm{Tr}\, u = -2\). On […] \(\mathrm{Tr}\, u + 2 = \tau\) […] […] le passage « Faisant un calcul infinitésimal … \(= -2\) » est marqué d'un trait vertical en marge, où deux mots ne sont pas lus

Proposition Soient \(G\) une forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\) ou \(\mathrm{SL}(2)_S\), \(u\) une section de \(G\), ⌜\(\alpha = A(u)\),⌝ telle que \((A(u) + 2)(A(u) - 2)\) soit inv., \(n\) un entier \(\geq 3\). Pour que l'on ait Soient \(F_n\) ⌜On suppose \((\alpha + 2)(\alpha - 2)\) inv.⌝, Soient \[ F_n \in \mathbb{Z}[U], \qquad \Psi_n \in \mathbb{Z}[U] \] les deux polynômes qui unitaires ⌜à racines dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) distinctes⌝ dont les racines sont 1°) \(\zeta + \zeta^{-1}\), où \(\zeta\) parcourt les racines \(n\)-ièmes de 1 telles distinctes de \(\pm 1\) 2°) les \(\zeta + \zeta^{-1}\), où \(\zeta\) parcourt les racines primitives \(n\)-ièmes de 1.

Sous ces conditions

  1. 1°)Pour que \(u^n = \mathrm{id}\), il f. et s. que \(F_n(\alpha) = 0\)
  2. 2°)Pour que ⌜i.e. soit⌝ \(u^n = \mathrm{id}\) et que \(u_s\) soit d'ordre \(n\) exactement pour tt \(s \in S\), il f. et s. que \(\Psi_n(\alpha) = 0\).

le dernier signe de 1°) ressemble à un « 1 » ; « Sous ces conditions » suit un « P » souligné, relié par une flèche aux deux alinéas Sans hyp. […] […] que \(\alpha^2 - 4\) inv., […] dire que [\(u^n = \mathrm{id}\) […] et les \(u_s\) d'ordre \(n\) exactement ⌜premier aux car. résiduelles⌝] \(\Longleftrightarrow\) [\(\Psi_n(\alpha) = 0\) et \(\alpha^2 - 4\) inv.]

Principe de démonstration. L'hyp. […] ⌜\(\alpha \neq 2\)⌝ inv. ⌜i.e. les \(u_s\) non unipotents,⌝ implique déjà l'existence d'un unique tore maximal \(T\) qui contient \(u\). OPS \(T \simeq \mathbb{G}_m\), donc \(u\) donné par une

30section \(\lambda\) de \(\mathbb{G}_m\), donc \(*\) \[ \alpha = \lambda + \lambda^{-1} , \] et on est ramené à une question de calcul standard.

Remarques

Cor. 1 Supposons les car. résiduelles de \(S \neq 3\). Pour qu'une section \(u\) de \(G\) satisfasse \(u^3 = \mathrm{id}\) (resp. \(u^6 = \mathrm{id}\)) et que l'ordre des \(u_s\) \((s \in S)\) soit toujours égal à 3 (resp. 6) il f. et s. qu'on ait \(\alpha = -1\) (resp. \(\alpha = +1\)).

L'une et l'autre hyp. implique que

Cor 2 Supposons les car. rés. de \(S \neq 2\). Pour que l'on ait \(u^4 = \mathrm{id}\) et que les \(u_s\) \((s \in S)\) soient d'ordre 4 exactement, il f. et s. que \(\alpha = 0\)

Cor. 3 Supposons les car. résiduelles \(\neq 5\). Pour que \(u^5 = \mathrm{id}\) et les \(u_s\) d'ordre 5, il f. et s. qu'on ait \[ \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 \] on lit « \(u^5 = 0\) », pour \(u^5 = \mathrm{id}\)

NB L'ordre ⌜\(\nu\)⌝ d'un élément ⌜\(\tilde{u}\)⌝ de \(\mathrm{SL}(2,k)\) (\(k\) un corps) — donc d'un \(\widetilde{G}(k)\), pour une forme ⌜\(\widetilde{G}\)⌝ de \(\mathrm{SL}(2)\) sur \(k\) — […] peut être d'une des formes suivantes […] pour une car. donnée :

  1. a)⌜\(\nu =\)⌝ \(+\infty\)
  2. b)\(\nu\) entier \(\geq 1\) premier à \(p\) :
  3. c)\(\nu = 2p\) (\(p\) premier impair) […]
  4. d)\(\nu = p\)

si \(p =\) car. \(k\) fini l'annotation marginale, embrassant c) et d) par une accolade, est reliée par une flèche à d)

Si on exclut les cas \(\pm\mathrm{id}\) (élément du centre, i.e. d'un élément qui donne 1 dans \(\widetilde{G}/\mu_2 = G\)) [qui donnent lieu à \(\alpha = \pm 2\), mais d'autres cas y donnent lieu aussi] on a vu que la valeur de \(\alpha\) détermine (loc. fpqc) la classe de conj. de \(u\). On trouve en fait l'analyse suivante :

31On suppose \(u\) […] non central ; \(\zeta\) une solution de \(\zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0\) dans \(\bar{k}\) « \(u\) non central » est souligné deux fois

\(\nu\) premier à \(p\) (\(p\) fini) \(\Longleftrightarrow\)

\(k\) car. 0 (\(p = +\infty\)) :

\(k\) car. \(p > 0\) :

disposé en tableau : « \(k\) car. 0 » et « \(k\) car. \(p > 0\) » à gauche, les équivalences à droite. Le second membre de « \(\Psi_n(\alpha) = \) » est laissé en blanc ; « \((S \neq \emptyset)\) » est écrit à gauche du crochet

Théorème \(\widetilde{G}\) forme de \(\mathrm{SL}(2)_S\), \(u\) section de \(\widetilde{G}\), \(\alpha = A(u) \in \Gamma(S, \underline{O}_S)\), \(n \in \mathbb{N}\), \(\boxed{n \geq 3}\). On s'intéresse à la traduction, en termes de \(\alpha\) et des propriétés des car. résiduelles de \(S\), de la propriété suivante \[ (*) \qquad u^n = \mathrm{id}, \text{ et } \forall s \in S, \text{ l'ordre de } u_s \text{ est égal à } n. \] NB On ne prend pas \(n = 2\), qui se calculerait complètement

A) Supposons que \(n\) ne soit ni de […] premier, ni \(2p\) (\(p\) premier […]) ⌜de la forme \(p\) (\(p\) premier […] impair)⌝. Alors \((*)\) équivaut :

NB Le cas \(n = 4\) […] […] […] — A) doit marcher […] dans le cas de \(G = \widetilde{G}/\mu_2\)

B) \(n = 2p\) (\(p\) premier impair). Alors […] équivaut :

C) \(n = p\), \(p\) est premier ⌜impair⌝. Alors ces équivalent :

à vérifier Peut-être faux (bons contre-exemples […] […]…) B) et C) sont embrassés à gauche par une accolade qui porte « à vérifier » ; l'autre note marginale est reliée à C). La note sur \(n = 4\) est encerclée et rattachée à A)

NB Ces conditions impliquent […] \((\alpha + 2)(\alpha - 2)\) inv., sauf dans le cas A. Dans les cas B resp. C ⌜et C⌝, les pts où \(\alpha_s^2 - 4 = 0\) sont ceux de car \(p\), (où \(\alpha_s = -2 \neq 2\)] (resp. ceux de car […] où \(\alpha_s = -2 \neq +2\) (cas B) resp \(\alpha_s = +2 \neq -2\) (cas C) le dernier « \(\neq -2\) » est surchargé

Sous-groupes finis de \(\mathrm{GP}(1)\)

inscrit en haut à droite d'un feuillet de garde (page 32), qui ne porte rien d'autre. En haut à gauche, au crayon, « (8 p) », qui compte les huit feuillets suivants (pages 33 à 40, fin du lot). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

33

Sous-groupes finis de \(\mathrm{GP}(1,k)\), \(\mathrm{SL}(2,k)\), \(\mathrm{GL}(2,k)\)

titre souligné, de sa main, en tête de la page 33

On suppose d'abord \(k\) corps de car. 0, alg clos.

a) Sous groupes finis de \(\mathrm{GP}(1,k) = G\)

Thm a) Pour que deux ss-groupes finis ⌜\(\Gamma, \Gamma'\)⌝ de \(G\) soient conjugués dans \(G\), il f. et s. qu'ils soient isomorphes.

b) Les classes d'isom. de ss-groupes finis de \(G\) ⌜allez-y⌝ sont \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (\(n \geq 1\) […]), \(\mathbb{D}_n\) (\(n \geq 2\)), \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\), i.e. (ce sont exactement les types des groupes d'isom. des cartes orientées régulières sphériques ! (comme leurs […] les […] […] dans \(\mathrm{GP}(1)\)….) la note marginale est reliée par un trait à « i.e. » ; la parenthèse du texte reste ouverte

c) Si \(\Gamma\) est un sous-groupe de \(G\), son normalisateur ⌜et si⌝ il est égal à son normalisateur, sauf dans le cas de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (\(n \geq 1\)) et de \(\mathbb{D}_2\), ⌜de \(\mathfrak{A}_4\).)⌝ Dans ces cas, […], mettant à part le cas trivial de \(1 = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) […] :

  1. 1°)Normalisateur de \(\mathcal{N}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) est le normalisateur ⌜\(\mathcal{N}(T)\)⌝, où \(T = \mathfrak{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) est l'unique tore maximal qui contient \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), […] \(\mathcal{N}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})/\mathfrak{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
  2. 2°)Normalisateur de \(\mathcal{N}(\mathbb{D}_2) \xrightarrow{\sim} \mathfrak{S}_4\), Centralisateur de \(\mathfrak{Z}(\mathbb{D}_2) = \mathbb{D}_2\), \[ \mathcal{N}(\mathbb{D}_2)/\mathfrak{Z}(\mathbb{D}_2) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\mathbb{D}_2) \simeq \mathfrak{S}_3 \]
  3. 3°)\(\mathcal{N}(\mathfrak{A}_4) = \mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{Z}(\mathfrak{A}_4) = (1)\), \(\mathcal{N}(\mathfrak{A}_4)/\mathfrak{Z}(\mathfrak{A}_4) = \mathfrak{S}_4 = \mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4)\)

D'autre part, dans tous les cas sauf \(\mathcal{N}\) et \(\mathfrak{Z}\) rendent ses lettres cursives pour normalisateur et centralisateur ; \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\) ses grandes lettres gothiques. Des traits obliques au crayon, parallèles et croisés, couvrent la moitié inférieure de la page, du bloc c) jusqu'au bas ; à gauche, un dessin au crayon et à l'encre (des arcs, les marques « 0 », « 1 », « J' »), non redessiné. On ne peut dire si ces traits biffent le bloc c) ou appartiennent à une figure ; le texte à l'encre, lui, reste lisible et n'est pas biffé à la plume, sauf la ligne « D'autre part … sauf »

c) Pour toute carte […] orientée finie sphérique (connexe) \(C\), considérons sa réalisation topologique — on trouve un foncteur de groupoïdes \[ C \longrightarrow \mathcal{C} \longrightarrow \text{catégorie des couples } (G, \Gamma) \] sous \(\mathcal{C}\) : « cat. des « cartes holomorphes sphériques » i.e. des « cartes holomorphes » […] telles que la variété complexe sous-jacente soit […] de type de genre 0 » ; la catégorie d'arrivée est celle des couples \((G, \Gamma)\) « d'une forme de \(\mathrm{GP}(1, \mathbb{C})\), et d'un sous-gr. fini ». Le premier \(C\) est une lettre ronde, le second, plus grande, est repassé

341) Soit \(\Gamma \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(n \geq 2\). Alors \(T = \mathfrak{Z}(\Gamma)\) est un tore maximal de \(G\), et c'est l'unique tore maximal de \(G\) contenant \(\Gamma\). On a […] \(\Gamma = {}_nT\), \(\mathrm{Aut}(\Gamma) =\) et les relations \(\Gamma \mapsto T = \mathfrak{Z}(\Gamma)\), \(T \mapsto {}_nT = \Gamma\), définissent des bijections inverses l'une de l'autre entre l'ens. des tores maximaux de \(G\), et l'ens des ss-groupes de \(G\) […] \(\mathbb{Z}\) cycliques d'ordre \(n\). \((\Longrightarrow)\) \[ \mathrm{Aut}(G, \Gamma) \simeq \quad \bigl(\mathcal{N}(\Gamma) = \mathcal{N}(T) = , \quad \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) = \mathrm{Aut}(G, \Gamma) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \] au-dessus de « \(\mathcal{N}(T) =\) », un « \(\mathrm{Aut}(G, T) =\) » biffé ; au-dessus de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), « \(\mathrm{Aut}\,\Gamma\) » avec une flèche montante d'inclusion. À gauche, en marge, deux dessins : une étoile de huit arêtes issues d'un sommet, et plus bas un cercle marqué de deux points ; non redessinés

NB 1° à 3° […] les seuls cas […] […] 3) Soit \(\Gamma = \mathbb{D}_2\) ⌜\(\simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\)⌝. Alors \[ \mathfrak{Z}(\Gamma) = \Gamma, \qquad \mathcal{N}(\Gamma) = \mathfrak{S}_4 , \] \(\mathcal{N}(\Gamma)\) est l'unique ss-groupe du type \(\mathfrak{S}_4\) qui contienne \(\Gamma\), et \(\Gamma \mapsto \mathcal{N} = \mathcal{N}(\Gamma)\), \(\mathcal{N} \longmapsto \Gamma\) = unique ss-grpe. du type \(\mathbb{D}_2\) de \(\mathcal{N}\) [= unique ss-groupe invariant […] de \(\mathcal{N}\) distinct de \([\mathcal{N}, \mathcal{N}]\) i.e. d'indice \(\neq 2\) [ou encore d'indice 6]], sont des corr. 1-1 entre l'ens des sous-groupes de \(G\) de type \(\mathbb{D}_2\), et l'ens des ss-groupes de type \(\mathfrak{S}_4\). le « 3) » (peut-être un « 2) » surchargé) est pris dans un crochet auquel mène une flèche partie de la note marginale, qui se termine par un mot non lu

NB Si \(\mathcal{N}(\Gamma) \to \mathrm{Aut}(\Gamma)\) non injectif (c'est le seul cas […] les cas) \[ \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_3 \]

Cor. Main La donnée, sur un schéma \(S\) de car. 0, d'une forme \(G\) de \(\mathrm{GP}(1)\) et d'un sous-groupe étale fini \(\Gamma\) de \(G\) cyclique d'ordre \(n\) (\(n \geq 2\) donné) équivaut à celle d'une Mod. […] ⌜[…] […]⌝ […] de rg 2 sur \(S\). […] […] […] […] ce corollaire est écrit à droite du 3), serré dans la marge droite, marqué d'un trait vertical ; la ligne « \(\mathcal{N}(\Gamma)\) est l'unique ss-groupe du type … » passe à travers sa fin

Cor. Main La donnée d'un ss-groupe

Cor. Main ⌜Sur base \(S\) de car. 0⌝ La donnée d'un \((G, \Gamma)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\), \(\Gamma\) […] \(\Gamma \subset G\) forme de \(\mathbb{D}_2\), équivaut à celle des \((G, \widetilde{\Gamma})\), \(G\) …, \(\widetilde{\Gamma} \subset G\) forme de \(\mathfrak{S}_4\), ou encore à celle d'un torseur sous \(\mathfrak{S}_4\), ou encore d'un rev. étale de degré 4 de \(S\), ou à celle d'un tétraèdre sur \(S\), à celle d'un octaèdre orienté sur \(S\). « à celle d'un octaèdre orienté sur \(S\) » est écrit à gauche, en bas de la page, et rattaché à la fin du corollaire

352) Soit \(\Gamma = \mathbb{D}_n\) (\(n \geq 3\)), Alors ⌜\(\Gamma^{+}\) [\(\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)] le ss-groupe canonique d'indice 2, \(T = \mathfrak{Z}(\Gamma^{+})\) l'unique tore maximal qui⌝ \[ \mathfrak{Z}(\Gamma) = {}_2T \simeq \lbrace \pm 1 \rbrace \] \[ \mathcal{N}(\Gamma) = \begin{cases} \Gamma & \text{si } n \text{ pair} \\ \Gamma \cdot {}_2T & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} \] \[ \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \simeq \Gamma/{}_2\Gamma^{+} \subset \mathrm{Aut}(\Gamma) \,] \] devant \(\mathfrak{Z}(\Gamma) =\) un premier membre biffé et noirci ; devant \(\mathcal{N}(\Gamma)\), ajouté à gauche, « \(\mathrm{Aut}(G, \Gamma) =\) ». Entre \(\mathfrak{Z}(\Gamma)\) et \(\Gamma/{}_2\Gamma^{+}\) de la dernière ligne, une formule biffée (« \(\simeq \mathrm{Aut}(\Gamma) \ldots\) »), et au-dessus de l'inclusion un signe biffé. En marge gauche, un mot non lu avec une flèche, un « vérifier » (?) encerclé, et un cercle marqué de points, « \(n \geq 3\) », non redessiné

Cor Main ⌜Sur \(S\) sch. de car. 0, si \(n\) pair⌝ La cat. des \((G, \Gamma)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\), \(\Gamma \subset G\) sous-groupe fini étale ⌜forme de \(\mathbb{D}_n\)⌝ (\(n\) fixé \(\geq 3\)) équivaut à celle des rev. principaux de \(S\) de groupe \(\mathbb{D}_n\), […] ⌜(ou encore, […] \(\equiv\) […] racines primitives \(n\)-ièmes de 1 […])⌝, i.e. celle des polygones réguliers sur \(S\) de degré \(n\). « \(\geq 3\) » est surchargé, peut-être en « \(\geq 4\) »

Si \(n\) est impair \(\geq 3\), il faut faire le produit de la cat. des rev. principaux par celle des rev. […] […] […] […] \(\Gamma_S\) […] […] […] que pour \(\Gamma' = \mathbb{D}_{2n}\). ce paragraphe est entouré d'un trait qui le rattache au corollaire

[…] […] […] […]… […] de l'étude d'une […] […] […] « […] » […] […] conséquences […] […] […] d'une […] […] satisfaisant […] […]… à gauche du paragraphe, un griffonnage en hachures serrées couvre plusieurs mots d'une note marginale oblique, dont on ne lit que des fragments

4 & 5) Soit \(\Gamma \simeq \mathfrak{A}_4\) ou \(\mathfrak{S}_4\) \[ \mathfrak{Z}(\Gamma) = 1 \] \[ \mathrm{Aut}(G, \Gamma) = \mathcal{N}(\Gamma) = \mathcal{N} \simeq \mathfrak{S}_4 \] \[ \mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) \simeq \mathcal{N}(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\Gamma) \]

Cor. 1-1 entre sous-groupes formes de \(\mathbb{D}_2\), de \(\mathfrak{A}_4\), de \(\mathfrak{S}_4\), contenues dans \(G\) fixé (formes […] \(=\) espaces homogènes sous \(G\))

Cor Équivalence de catégories, sur base \(S\) de car. 0, des \((G, \Gamma)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\), \(\Gamma\) forme de \(\mathbb{D}_2\), ou \(\mathfrak{A}_4\), ou \(\mathfrak{S}_4\), et avec la cat. des torseurs sous \(\mathfrak{S}_{4S}\), ou celle des rev. étales de degré 4, ou celle des tétraèdres au-dessus de \(S\), ou celle des octaèdres au-dessus de \(S\), ou des formes de \(\mathfrak{A}_4\), ou de \(\mathfrak{S}_4\), sur \(S\). les deux corollaires sont marqués d'un trait vertical en marge

365) Soit \(\Gamma = \mathfrak{A}_5\). On a \(\mathfrak{Z}(\Gamma) = \lbrace 1 \rbrace\), ⌜\(\mathrm{Aut}(G, \Gamma) =\)⌝ \(\mathcal{N}(\Gamma) = \Gamma\), \(\mathcal{N}(\Gamma)/\mathfrak{Z}(\Gamma) = \Gamma \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_5\) le bloc 5) est encadré et barré de trois traits obliques ; il est transcrit lisiblement

Dans chacun de ces cas, on a un représentant canonique de la catégorie fibrée envisagée, défini sur \(\mathbb{Q}\) : […] \(\mathbb{Z}\)

Cas 1) \(\mu_n\) opère sur \(\mathbb{G}_{m\mathbb{Q}}\) donc sur \(\widehat{\mathbb{G}}_{m\mathbb{Q}} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}\), [l'opération s'obtient aussi en faisant opérer \(\mu_{2n}\) sur \(\underline{O}^2_{\mathbb{Q}}\), par la façon tautologique sur le premier facteur \(\underline{O}_{\mathbb{Q}}\), et […] ⌜trivialement⌝ sur le deuxième, et en passant à \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} = \check{\mathbb{P}}(\underline{O}^2_{\mathbb{Q}})\)], ⌜ce qui⌝ fait jouer au quotient de \(\mu_{2n}\) : \(\mu_n\) …] NB Il n'y a […] de formes non tordues de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) contenues dans une \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\) sur \(\mathbb{Q}\), que si l'équation ½ cyclotomique de degré \(n\) […] […] […] […] […] sur \(\mathbb{Q}\) a […], ce qui signifie que \(n \in \lbrace 2, 3, 4, 6 \rbrace\). Itou pour avoir une forme non tordue de \(\mathbb{D}_n\) dans une \(G\). Pour avoir une forme standard \(\Gamma \subset G\) […] […] […] […] […] !

Cas 2, 3 \(\mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_n\) opère sur \(\mathbb{G}_{m\mathbb{Q}}\) donc sur \[ \widehat{\mathbb{G}}_{m\mathbb{Q}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} . \] [ReNB Sur un corps de base (disons) donné \(k\), et \(n\) donné, conditions équiv. a) \(\exists\) \(\alpha \in k\) solution de l'équation « cyclotomique » \(\Psi_n(\alpha) = 0\) b) \(\exists\) forme non tordue de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) \(\subset\) forme \(G\) de \(\mathrm{GP}(1)\) (alors \(G\) est néc. non tordue) c) Itou avec \(\mathbb{D}_n\)]

Cas En fait, tous ces cas sont couverts par les plongements naturels de \(\mu_n\), \(\mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_n\) dans \(\mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mathbb{G}_m\), normalisateur du tore maximal standard de \(\mathrm{GP}(1)_{\mathbb{Q}} \simeq \mathrm{GL}(2)_{\mathbb{Q}}/\mathbb{G}_{m\mathbb{Q}}\).

Cas 4, 5 ⌜prenons⌝ On prend le plongement principal \(\mathbb{D}_{2\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}/2 \cdot_{1/2} \mu_{2\mathbb{Q}}\) de \(\mathrm{GP}(1)\), on prend le normalisateur de \(\mathbb{D}_{2\mathbb{Q}}\) dans \(\mathrm{GP}(1)\) — \(\mathfrak{S}_4\) […] : fait une forme ⌜(tordue ?)⌝ de \(\mathfrak{S}_4\) plongée dans \(\mathrm{GP}(1)\), il faudrait regarder de plus près. [[…] […] […] […] […] une forme de \(\mathfrak{A}_4\), à chercher […] un autre représentant plus commode ? […] […] […] […] les cas 4, 5 sont marqués d'un trait vertical en marge ; la note marginale est en partie couverte par un griffonnage

376) \(\Gamma \simeq \mathfrak{A}_5\). \[ \mathfrak{Z}(\Gamma) = \lbrace 1 \rbrace, \qquad \mathcal{N}(\Gamma) = \Gamma \simeq \mathfrak{A}_5 \] Une fois choisi un cas de référence ⌜\((G_0, \Gamma_0)\)⌝ sur \(\mathbb{Q}\), si \(S\) est un schéma de car. 0, se donner un couple \((G \supset \Gamma)\), avec \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\), \(\Gamma\) forme de \(\mathfrak{A}_5\), revient au même que de se donner une forme intérieure de \(\Gamma_0\), ou un torseur sous \(\Gamma_0\). Si on ⌜choisit⌝ […] \(\Gamma_{0k} \simeq \mathfrak{A}_5\), il revient au même de se donner […] un rev. de degré 5 de \(S\) + trivialisation du rev. quadratique de ses orientations.

Mais on a ceci : \(\exists\) ⌜sur \(k\)⌝ forme non tordue de \(\mathfrak{A}_5\) dans une \(G\) (forme de \(\mathrm{GP}(1)\)) sss l'équation ½ cyclotomique \[ \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 \] a ses racines dans \(k\) et alors s'il existe une fo ⌜Pour que⌝ de plus \(G\) soit non tordue, il f. et s. que \(k\) contienne les racines cinquièmes de 1. vérifier « vérifier » est souligné deux fois ; la phrase « Pour que … de 1 » est marquée d'un trait vertical

Sur un \(k\) muni d'une solution \(\alpha\), il y a un plongement […] de \(\mathfrak{A}_5\) dans une \(G\) [défini à iso unique près ⌜en exigeant que l'image d'un \(5\)-cycle permutation circulaire standard soit \(\alpha\) certain \(\alpha\) !]⌝ — OPS \(k = k_0 = \mathbb{Q}[T]/(T^2 + T - 1) \simeq \mathbb{Q}[\alpha_0]\), où \[ \alpha_0 = \tfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) \,] \] Sur les \(k_0\)-schémas, la donnée d'un \(G \supset \Gamma\), \(\Gamma\) ⌜\((G_1)\)⌝ forme de \(\mathfrak{A}_5\) (\(\mathrm{GP}(1)\)) équivaut à la donnée d'un torseur sous \(\mathfrak{A}_5\), i.e. … le « \(+\) » de \(\alpha_0\) est entouré. « \((G_1)\) » au-dessus de \(\Gamma\) est une lecture douteuse. La page s'arrête sur « i.e. » et un tiret ; le bas du feuillet est blanc

38

Formes de \(\mathbb{D}_n\)

titre souligné, de sa main, en tête de la page 38

Soit \(\Gamma\) un groupe, tel que satisfaisant les conditions suivantes : il existe un ss-groupe \(\Gamma^{+}\) de \(\Gamma\) tel que

  1. a)\(\Gamma^{+}\) d'indice 2 dans \(\Gamma\), i.e. \(\Gamma\) ext. de \(\mathbb{Z}/2 \simeq \Gamma/\Gamma^{+}\) par \(\Gamma^{+}\)
  2. b)\(\Gamma^{+}\) […] commut. [de \(\Gamma/\Gamma^{+} = \mathbb{Z}/2\) opérant sur \(\Gamma^{+}\)]
  3. c)\(\mathbb{Z}/2\) opère sur \(\Gamma^{+}\) par \(x \mapsto -x\)
  4. e)\(\Gamma^{+} \setminus {}_2(\Gamma^{+})\) engendre le groupe \(\Gamma^{+}\). [NB si \(\Gamma^{+}\) est cyclique, ce d'ordre \(n\), ceci signifie \(n \neq 1\)]
  5. d)\(\exists\) \(\sigma \in {}_2\Gamma\), \(\sigma \notin \Gamma^{+}\) [i.e. l'extension de \(\mathbb{Z}/2\) par \(\Gamma^{+}\) est scindée].

la lettre e) surcharge un premier signe ; une flèche courbe la relie à d), sans qu'on voie si elle doit passer après. \({}_2\Gamma\) note l'ensemble des éléments d'ordre divisant 2

On a alors

Alors le Soit Alors \(\Gamma^{-} = \Gamma \setminus \Gamma^{+}\). On voit tout de suite que (utilisant c) & d)) \[ \Gamma^{-} \subset {}_2\Gamma \] donc \[ {}_2\Gamma = \Gamma^{-} \amalg {}_2\Gamma^{+} \] donc \[ \Gamma \setminus {}_2\Gamma = \Gamma^{+} \setminus {}_2\Gamma^{+} \] donc, utilisant e) \[ (*) \qquad \Gamma^{+} = \text{ss-grpe de } \Gamma \text{ engendré par } \Gamma \setminus {}_2\Gamma \] ce qui montre donc que \(\Gamma^{+}\) est déterminé de façon unique. D'ailleurs, \(\Gamma^{-}\) est un torseur à gauche sous \(\Gamma^{+}\), et la multiplication sur \(\Gamma = \Gamma^{+} \amalg \Gamma^{-}\) se déduit de la structure de groupe sur \(\Gamma^{+}\) et de la structure de \(\Gamma^{+}\) tors. à g. sur \(\Gamma^{-}\), grâce :

  1. 1°)La multiplication de \(\Gamma\) dans \(\Gamma^{+} \times \Gamma^{+}\) est celle de \(\Gamma^{+}\)
  2. 2°)— \(\Gamma^{-} \times \Gamma^{-}\) est l'application ct. \(\to 1 \in \Gamma^{+}\)
  3. 3°)— \(\Gamma^{+} \times \Gamma^{-}\) est induite par l'opération de \(\Gamma^{+}\) sur \(\Gamma^{-}\)
  4. 4°)— \(\Gamma^{-} \times \Gamma^{+}\) est donnée par \((\sigma, v) \mapsto \sigma v = (-v) \cdot \sigma\)

les tirets rendent ses traits de répétition pour « La multiplication de \(\Gamma\) dans »

39Inversement, partant d'un groupe abélien \(\Gamma^{+}\), et d'un torseur \(\Gamma^{-}\) sous \(\Gamma^{+}\), on définit sur \(\Gamma = \Gamma^{+} \amalg \Gamma^{-}\) une structure loi de composition par les formules précédentes, et on voit de suite que celle-ci est une loi de groupe, qui fait de \(\Gamma\) un groupe admettant \(\Gamma^{+}\) comme sous-groupe ⌜abélien⌝ d'indice 2, l'extension de \(\mathbb{Z}/2\) par \(\Gamma^{+}\) ainsi obtenue donnant lieu : ⌜l'opération \(x \mapsto -x\)⌝ […] […] de \(\Gamma^{+}\), et étant scindée — à n'importe quel élément de \(\Gamma^{-}\). [Donc \(\Gamma\), \(\Gamma^{+}\) satisfont les conditions a) à d) ci-dessus, mais pas néc. e)] On trouve donc un foncteur qui va de la cat. des torseurs sous groupes abéliens (avec les morphismes habituels, par ex. iso) vers la catégorie des ext. « diédrales » de \(\mathbb{Z}/2\) par groupes abéliens — et c'est une équiv. de catégories — et la restriction de ce foncteur ⌜à la ss-cat. pleine des⌝ aux couples \((\Gamma^{+}, \Gamma^{-})\), avec \(\Gamma^{+}\) satisfaisant e) ci-dessus, ⌜et les seuls iso)⌝ est un foncteur pl. fidèle vers la cat. des groupes \(\Gamma\) satisfaisant les conditions du début, avec les iso. En particulier

Prop Soit \(n \geq 3\) un entier. La cat. ⌜gerbe⌝ des des formes de \(\mathbb{D}_n\) est équivalente à la catégorie ⌜gerbe⌝ des droites affines sur l'anneau \(\mathbb{Z}/n\). En particulier, on trouve \[ \mathrm{Aut}(\mathbb{D}_n) \simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbb{Z}/n) \simeq (\mathbb{Z}/n)^{*} \cdot_{1/2} \mathbb{Z}/n \] la proposition est marquée d'un trait vertical en marge. Le mot ajouté deux fois au-dessus de « cat. » biffé, lu « gerbe », est incertain

40Théorème Soient \(S\) un schéma. Pour toute forme \(G\) de \(\mathrm{GP}(1)_S\) et tout mono \[ \varphi : \mathfrak{A}_{5S} \hookrightarrow G \] soit \[ \alpha(\varphi) = A(\varphi(\pi)) \] où \[ A : G \longrightarrow \mathbb{E}^1_S \] est l'hom. invariant et où \(\pi\) est la permutation circulaire standard de \(\mathfrak{A}_5\). Ceci posé : la cat. des foncteur couples ⌜de la catégorie-groupoïde des \((G, \varphi)\)⌝ \[ (G, \varphi) \longmapsto \alpha(\varphi) \] (où \(G\) est […] iso une forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\) et \(\varphi : \mathfrak{A}_{5S} \hookrightarrow G\), […] discrète (i.e. […] […] autom. et […] identité)), et l'application \((G, \varphi) \mapsto \alpha(\varphi)\) définit une bijection de l'ens. des […] classes d'iso, sur l'ens des \(\mathrm{Hom}(S, M)\) des \(\alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S)\) satisfaisant \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) ⌜dans la catégorie⌝ discrète définie par l'ens des \(\alpha \in \Gamma(S, \underline{O}_S)\) tels que \[ \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 , \] est une équivalence de catégories. En d'autres termes : la catégorie des \((G, \varphi)\) est rigide, et pour \(S\) variable, le foncteur \(S \mapsto F(S) =\) ens. des classes d'iso de couples \((G, \varphi)\) sur \(S\), est représentable par \[ M = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}[T]/(T^2 + T - 1) . \] grâce à \(\varphi \mapsto \alpha(\varphi)\). le passage biffé est encadré et barré de traits obliques ; le texte qui le remplace (« dans la catégorie discrète … ») est écrit sous le cadre il suffit que […] soit trivial ([…] […] […]) sur les fibres… On pose \(\alpha'(\varphi) = -1 - \alpha(\varphi) = -1/\alpha(\varphi)\) la première note marginale est en face de l'énoncé, la seconde en face de « Ceci posé »

Cor Soit \((G, \varphi)\) comme dessus, et soit \(u\) un automorphisme de \(\mathfrak{A}_5\). Pour qu'on ait Si \(u\) est intérieur on a \(\alpha(\varphi \circ u) = \alpha(\varphi)\) i.e. \((G, \varphi) \sim (G, \varphi \circ u)\). Si \(u\) n'est intérieur sur aucune fibre, on a \(\alpha(\varphi \circ u) = \alpha'(\varphi)\) fin du lot ; la page s'arrête sans ponctuation finale