Opérations du centre de \Gamma = G_2/-
la page est un plan de travail ; ses rubriques sont numérotées par des
chiffres entourés, rendus ici (1), (1'), (2), (4), (3), dans l'ordre où elles
se suivent sur la page. Chaque rubrique est reliée par une accolade à son
numéro, et séparée de la suivante par un trait
(1) Représentations n. dég.
Représentations dégénérées de \mathbb{D}_\infty = G_1 — i.e. repr.
fidèles de \mathbb{D}_2 / relations : un octaèdre, un
quaternions / quaternions généralisés….
Représentations simplement dégénérées de G_2 — i.e.
représentations non dég. de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2
(considérées d'après un les cartes
correspondantes, et leur genre…)
Représentations doublement dégénérées de G_2 — i.e. repr. de
\mathbb{D}_2 \times \mathbb{Z}/2 \simeq (\mathbb{Z}/2)^3 avec des « rang »
(1') Pts de ramification des repr. de G_2…
la rubrique (1') est marquée dans la marge d'un triple trait vertical
Groupes et cartes associés aux représentations projectives de G_2 sur
un corps — notamment sur un corps fini
Les rev. de degré et les modèles de genre 0 de la
sphère privée de trois points
Les cartes finies associées aux hyper-polygônes réguliers finis (cf
verso)
cf verso
« cf verso » est écrit une seconde fois, verticalement, dans la marge
gauche, devant l'accolade qui réunit ces trois alinéas ; le verso est la
page 2
(2) Terminer en regardant les syst. de Schwarz pythagoriciens (cas de
G_5), et déterminer l'explication la structure d'ens. : gr.
sous les gps des gr. riemanniens, dans les trois cas
(4) structure des des gr. riemanniens et relations,
\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})
(3) Détermination des hyperpolygônes pythagoriciens
( l'ambiguïté …)
la rubrique (3) est écrite en dernier, tout au bas de la page, sous un
trait, après (4)
Toute représentation du gpe
L_3 = \lbrace \rho_0, \rho_1, \rho_2 \mid \rho_0\rho_1\rho_2 = 1 \rbrace
dans un gpe fini \Gamma donne une carte finie
réguliers. Donc on a une étude
cristallographique de ceux-ci — un par ceux qui
les définissent par des systèmes de Schwarz type pythagoriciens.
Ceux qui définissent 44 types d'« hyperpolygônes » — obtenus par
symétries et « quintiques » (plus
petits c'est fort gros !), gars
(gr. D'autres ex. ceux-ci
correspondants éléments canoniques des
n- hyperboliques de \mathrm{GP}(1) , aux polyèdres
réguliers — plus leurs transformés par .
l'indice 3 de L_3 surcharge un 2 ; plus bas il écrit L_2. La page
est d'une écriture rapide dont les formules seules passent sûrement ; la
prose est en grande partie perdue. « cartes » (première phrase), « Schwarz »,
« pythagoriciens » et « hyperpolygônes » sont confirmés par le plan de la
page 1
Il convient d'y ajouter ceux qui sont « dégénérés », i.e. qui
correspondent trois aux représentations de
\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2, et types dégénérés (représentations
de G_2) et …
écrit verticalement dans la marge gauche, sur quatre lignes
Représentations projectives de
G_2 (cas non dégénéré i.e. non
diédral)
inscrit en haut à droite du feuillet de garde (page 3), qui ne porte
rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page. À gauche, au crayon, « (7) »
: sans doute le nombre de feuillets de la liasse, qui compte en effet sept
pages de texte (pages 4 à 10)
Soient \Gamma un groupe, (\tau_i)_{0 \leqslant i \leqslant 2}
Thm S schéma, \mathrm{GP}(1)_S
A) Catégorie C des couples (G, \varphi), où G est une forme de
\underline{\mathrm{GP}}(1)_S, \varphi : \Gamma \to G(S), satisfaisant les
conditions
(*) \forall s \in S, \rho_{0s}^2 et \rho_{1s}^2 sont \neq 1_s
[NB on désigne par \tau_0, \tau_1, \tau_2, \rho_0, \rho_1 les images de
\tau_0, \tau_1, \tau_2, \rho_0, \rho_1 dans G(S)] et \rho_{0s} et
\rho_{1s} ne commutent pas
(\Leftrightarrow b) \forall s \in S, l'image \Gamma_s de \Gamma
dans G(s) [\simeq \Gamma/N_s où N_s de \Gamma \to G(s)]
n'est pas isomorphe à un groupe diédral (c.-à-d. un produit
\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 , \mathbb{D}_n (n \geqslant 3)
— le cas n = 1, 2 est déjà exclu par (*), qui signifie que
\tau_{0s} et \tau_{1s} , ni \tau_{1s} et \tau_{2s} — donc
\Gamma_s abélien.)
tout ce passage b) est barré de grandes croix ; une partie en est en
outre biffée ligne à ligne (« un produit \mathbb{D}_\infty \times
\mathbb{Z}/2 … », « \mathbb{D}_n (n \geqslant 3) »)
On peut remplacer b) par b') \rho_0 et \rho_1 ne
commutent pas (ou encore \rho_0 et \sigma = \rho_0\rho_1 =
\tau_0\tau_2 ne commutent pas) (NB \sigma^2 = 1)
dans la marge gauche, à la hauteur de b) ; barré avec lui
Les flèches de C sont les isomorphismes.
B) La catégorie discrète C' définie par l'ens. des couples
(\alpha_0, \alpha_1) \in \Gamma(S, \underline{\mathcal{O}}_S)^2,
satisfaisant les conditions
(*)
Pour tout objet (G, \varphi) de C, soit
\alpha_0 = A(\rho_0), \qquad \alpha_1 = A(\rho_1)
où
A : G \longrightarrow \mathbb{E}^1_S
est l'invariant. On trouve Ceci posé :
1) (\alpha_0, \alpha_1) ainsi associé : (G, \varphi) satisfait (*),
2) Le foncteur
C \longrightarrow C'
défini ainsi par (G, \varphi) \longmapsto (\alpha_0(\varphi), \alpha_1(\varphi))
est pleinement fidèle, et c'est une équivalence de catégories
si \Gamma = \lbrace \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 =
\tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1 \rbrace = G_2,
et autres
la ligne « si \Gamma = \ldots = G_2 » est écrite au-dessus de la ligne,
à la place de trois mots biffés
a) La catégorie C est rigide, i.e. \forall (G, \varphi), le
centralisateur de \varphi dans G(S) est \lbrace 1 \rbrace.
b) Deux objets (G, \varphi) et (G', \varphi') de C sont isomorphes ssi
\alpha_0(\varphi) = \alpha_0(\varphi'), \alpha_1(\varphi) = \alpha_1(\varphi')
3) \forall si G = G_2 couple (\alpha_0, \alpha_1)
Démonstration 1) On sait, par les généralités, que les conditions
a) b) impliquent parmi autres l'existence d'un 2-polyèdre
régulier épinglé, donnant lieu à la repr.
\hat{\varphi} : G_2 \ (\text{groupe cartographique}) \longrightarrow \Gamma
\xrightarrow{\ \varphi\ } G(S),
d'où on déduit, on l'a vu, que \alpha_0 + 2, \alpha_1 + 2,
\alpha_0 + \alpha_1 sont inversibles. défini à isom. unique près. Un
calcul immédiat donne que les invariants \alpha_0, \alpha_1 de ce
2-polyèdre sont les mêmes que \alpha_0(\varphi) et \alpha_1(\varphi). En
effet, dans le contexte général (dim n) avec paramètres \beta_i = \alpha_i
+ 2, pour 0 \leqslant i \leqslant n-1,
f(a_i) = (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}), \quad f(a_{i+1}) = \beta_0 \cdots
\beta_i, \quad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\beta_0 \cdots \beta_i)
donc si les \beta_i sont inv. (on peut
Il faut aussi prouver ceci :
Lemme (Alors Soit
Dém Quitte à choisir des axes de coordonnées convenables
On a un peu salopé la présentation, qui omet pour la
cas.
Comme on est dans les cas de forme quand invariante
(i.d. réalisable sur On sait que la cat.
le produit se lit bien « (\alpha_0 + 2)(\alpha_0 - 2)(\alpha_0 +
\alpha_1) » ; les pages 4 et 7 écrivent (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0
+ \alpha_1)
A)
Cor. Soient \nu_0, \nu_1 deux entiers \geqslant 3
ou infinis, et supposons que \Gamma soit le groupe complet
de relations
\tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = (\tau_0\tau_1)^{\nu_0} =
(\tau_1\tau_2)^{\nu_1} = 1
i.e. \Gamma = \Gamma_{\nu_0, \nu_1}. Alors l'image du
foncteur Soit \rho_0^{\nu_0} = \rho_1^{\nu_1} = 1,
a) \forall s \in S, \rho_{0s} est d'ordre \nu_0, \rho_{1s} d'ordre
\nu_1 exactement \rho_0 et \rho_1 ne commutent pas
()
b) \forall s \in S, \Gamma_s n'est pas à un \mathbb{D}_n
( \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2)
[NB Je reviens au même d'exiger que \rho_{0s} et \rho_{1s}
ne commutent pas, il suffit pour , compte tenu de a), que l'on
ait : on n'a pas \nu_0 impair et \nu_1 = 2\nu_0 ou l'inverse]
b) et la remarque entre crochets sont barrés de traits obliques
que, i = 0, 1, \nu_i si \nu_i premier
(\nu_i \geqslant 3)
note de la marge gauche, encadrée, reliée par un trait à « Soit » ;
lecture très incertaine
Soit C'(\nu_0, \nu_1) la cat. discrète définie par les couples (\alpha_0,
\alpha_1), satisfaisant chaque que \alpha_i satisfait
a) (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1) inversible
et chaque \alpha_i satisfaisant les conditions suivantes
b) \Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0 i = 0, 1
Supposons enfin que, l'un des l'un des \nu_i est tel
que \nu_i = 2p (où p est premier impair)
c) Si \nu_i de la forme 2p (p premier) p
( premier) est inversible, ou de la forme 2p avec 2 inv.
si p impair, ou \nu_i = p (p premier impair).
c) est barré de traits obliques ; il avait été récrit plusieurs fois,
avec insertions et ratures, avant d'être abandonné. Dans la marge gauche, en
face, une note elle aussi barrée : « ce qui est sur
\nu_0, \nu_1 »
Alors on a une équivalence de catégories
C(\nu_0, \nu_1) \longrightarrow C'(\nu_0, \nu_1).
En effet, il faut remarquer, A) les conditions a) b) c) sont
satisfaites, alors on a la condition a) sur \rho_0 et
\rho_1
(*) \rho_i^{\nu_i} = 1 et \forall s \in S, \rho_{is}
d'ordre \nu_i exactement
(**) \Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0 et c) \nu_i
réf
Or il est Or on sait que (pour \nu_i \geqslant 3)
pourvu que \nu_i de la forme 2p (p premier) ou p (p
premier impair), l'un ou l'autre, que s'exprime par les conditions
\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0 sur l'invariant \alpha_i de \rho_i, plus la
condition \nu_i inv. si \nu_i non premier :
(cas 1°) 2 inv. sur S \nu_i inv.
(cas 2°) aucune condition .
(cas 3°) \nu_i inv. sur S ( )
Ce qui prouve l'équivalence.
les trois cas sont disposés en tableau, les numéros entre parenthèses
reliés par une accolade ; la première ligne est biffée et remplacée au-dessus
par la condition « \nu_i inv. »
Remarque Comme \alpha_i + 2 est inv. i.e. \alpha_{i,s}
\neq -2 en s, indique qu'en fait, si \nu_i = 2p
…vide »
On voit directement dans ce cas C(\nu_0, \nu_1) est
également vide : en effet, un gr. diédral de G_s (forme de
\mathrm{GP}(1)_{k(s)}) ne peut jamais d'ordre 2p. Donc il est
raisonnable, assurer que C(\nu_0, \nu_1)
\xrightarrow{\ \sim\ } C'(\nu_0, \nu_1) soient , d'exiger que \nu_i =
2p (p pr. impair) implique que p sur S, donc fait
2p = \nu_i … c'est-à-dire qu'on exige que \nu_i est inv. sur S
p premier (impair ou \nu_i \geqslant 3).
toute la remarque est barrée de deux longs traits obliques. En marge,
en bas à gauche, un mot biffé, « faux », relié par un trait
vertical au bas de la page
Exemples avec \Gamma_{\nu_0, \nu_1} fini
A) \nu_0 = 3, \nu_1 = 3, \Gamma_{\nu_0, \nu_1} \simeq \mathfrak{S}_4. On
trouve que la catégorie des repr. de \mathfrak{S}_4
restriction à faire sur S. On trouve que la cat. des
couples (G, \varphi), G forme de \mathrm{GP}(1)_S,
\varphi : \mathfrak{S}_4 \to G(S) telles que \forall s \in S, \rho_{0s}
et \rho_{1s} soient d'ordre 3 exactement et ne commutent pas, est
vide si équivalente 2 ({} = (-1)(-1)(-1-1)
au signe près) n'est pas inversible, et qu'elle est équivalente à la cat.
ponctuelle dans le cas contraire. C'est-à-dire : si …
il note \mathfrak{S}_4 d'un S cerclé, sa graphie du groupe
symétrique ; le produit -2 = (-1)(-1)(-1-1) est la valeur de (\alpha_0 +
2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1) pour \alpha_0 = \alpha_1 = -1
a)
\rho_0 et \rho_1 commutent, i.e. \rho_0 \ldots \rho_1 = 1 (i.e.
\tau_0 = \tau_1 ou \tau_1 = \tau_2 ) la repr. se factorise
par \mathfrak{S}_3 (= \mathbb{D}_3)
b) Sur un corps de car. schéma S où 2 est inv. (i.e. sur
\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]), il y a à isom. unique près, un couple (G,
\varphi) et un seul, où G est une forme de \mathrm{GP}(1)_S, \varphi :
\mathfrak{S}_4 \to G(S), avec \rho_{0s} et \rho_{1s} d'ordre 3
exact. i.e. i.e. la repr. ne se factorise
pas par \mathfrak{S}_3 en chaque fibre.
B) \nu_0 = 4, \nu_1 = 3 (ou l'inverse) —
ici on sait que
\Gamma = \mathfrak{S}_4 \times \mathbb{Z}/2. Le résultat
général nous dit que inversible ( car. 2)
qu'il faut écarter. [On pourrait déduire un énoncé
concernant le gpe \Gamma de A), mais en passant la
diédrale, des renseignements
… vraiment !
« vraiment ! » est écrit en biais dans la marge gauche, souligné, à
hauteur de cette ligne
Manquent \tau_0, \tau_1, \tau_2 tétraédraux (un plus tétraédraux)
\rho_0^4 = \rho_1^3 = 1, et … forme
a) Sur un corps de car. 2, \forall hom. \varphi : \Gamma
\to G de \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_4 dans une forme de
\mathrm{GP}(1)_k,
\rho_0^2 = 1 l'ordre de \rho_0 est égal à 2
\rho_1 = \mathrm{id} \rho_0 et \rho_1 commutent (i.e.
\tau_0 et \tau_1 commutent donc \tau_2 :
factorise par \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3, si \tau_1 =
\tau_2 factorise par \mathbb{Z}/2 \times
\mathfrak{S}_4/\mathbb{Z}_2
tout ce bloc est barré de traits obliques et entouré d'une accolade ;
dans la marge gauche, reliée à l'accolade : « i.e. se
factorise par \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3 \simeq \mathbb{D}_6 »
b) Sur un schéma S où 2 \cdot 1_S est inv.,
\exists ! à isom. unique près couple (G, \varphi), telle que
\varphi_s ne se factorise pas par \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3 \simeq
\mathbb{D}_6 où
\varphi : \Gamma \to G forme de \mathrm{GP}(1) — et en fait
\varphi est trivial sur \mathbb{Z}/2 = \mathfrak{z}(\Gamma), et induit un
mono \mathfrak{S}_4 \hookrightarrow G_s(S) \forall s \in S.
le centre de \Gamma est noté d'une petite lettre ronde, rendue
\mathfrak{z}
C) \nu_0 = 3, \nu_1 = 5, \Gamma_{\nu_0, \nu_1} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\times \mathfrak{A}_5. On a
\alpha_0 = -1, \alpha_1 {} = \alpha solution de \alpha^2 + \alpha
- 1 = 0, donc
\alpha_0 + \alpha_1 \alpha_0 + 2 = 1, \alpha_1 + 2 {} =
\alpha + 2 inversible (N(\alpha + 2) = -1 - 2 + 4 = 1,
1/(\alpha + 2) = \alpha' + 2 = -\alpha + 1) \alpha_0 + \alpha_1 = \alpha -
1 inversible
[N(\alpha - 1) = -1 + 1 + 1 = 1, 1/(\alpha - 1) = \alpha' - 1 = -\alpha -
2]. Donc
il note le groupe alterné d'un A cerclé, rendu \mathfrak{A}_5 ;
\alpha' est le conjugué de \alpha, racine de \alpha^2 + \alpha - 1 = 0
Thm Pour \rho_{0s} et \rho_{1s} soient d'ordre \rho_0 et
\rho_1 ne commutent pas et la cat. discrète formée des
définie par l'ens. des \alpha \in \Gamma(S, \underline{\mathcal{O}}_S)
satisfaisant
\alpha^2 + \alpha - 1 = 0
Les représentations \varphi sont triviales sur \mathbb{Z}/2, donc
correspondent aussi aux
\varphi^+ : \mathfrak{A}_5 \longrightarrow G
qui ne sont triviales sur aucune fibre.
Laisser tomber \mathbb{Z}/2 dans l'énoncé [celui-ci
\Leftrightarrow
Représentations projectives de
G_1 (et repr. projectives
dégénérées de
G_2)
inscrit en haut à droite du feuillet de garde (page 11), qui ne porte
rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ; « dégénérées » est
souligné. À gauche, au crayon, « (10 p) » : le nombre de pages de la liasse
qui suit, pages 12 à 21
Prop. Soit G forme de \mathrm{GP}(1)
{} = \underline{\mathrm{Aut}}(X) (X droite projective) sur un corps
k alg. clos, \tau_0, \tau_1, \tau_2 \in G(k) tels que \tau_0^2 =
\tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1. Conditions équivalentes
A) \exists diviseur diviseur de degré 2 sur X tel que
stable par les \tau_i.
B) On peut trouver un sous-groupe
A') Les repr. projectives prolongements projectifs
\tau_i^C au plan projectif enveloppe C
C) L'image des G_2^+ dans G(k) [i.e. le groupe engendré
\rho_0 = \tau_0\tau_1 et \rho_1 = \tau_1\tau_2, par \rho_0
et \sigma = \tau_0\tau_2 = \rho_0\rho_1] est commutatif
C) est biffé et barré de traits obliques ; dans la marge gauche, dans
deux cadres reliés à lui, ses remplaçants :
C'') \varphi se factorise par un groupe \Gamma ext.
d'un groupe comm. cycliques
C') \varphi : G_2 \to G(k) se factorise à travers un
\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2
C) D) Deux parmi les trois couples (\tau_0, \tau_1) (\tau_1,
\tau_2) (\rho_0, \rho_1) commutent, i.e.
D) Le de G(k) engendré par les \tau_i est
isom., un \mathbb{D}_n (n \geqslant 1 fini, ou infini) ou
\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 (impair)
NB dans (D), \neq 2, on peut
\mathbb{D}_n \times \mathbb{Z}/2
dans la marge gauche, verticalement, encadré
A \Leftrightarrow A' : traduction via dictionnaire entre X et C (div.
de degré 2 sur X \leftrightarrow droites de C)
A \Leftrightarrow B via les stabilisateurs des div. de degré 2 sur X
\mapsto les ss-groupes explicités dans B
On utilise que les groupes H(k) sont des produits semi-directs
\gamma \cdot U, U comm., \gamma
B \Rightarrow C En effet, (\tau_0, \tau_1) et (\tau_1, \tau_2) \tau_0 et
\tau_1, \tau_2 , i.e. commutant,
\tau_1 \tau_2 on sait que … on
aurait \tau_i \in H(k), comme \tau_i^2 = 1, …
bas de page lourdement raturé ; la suite est à la page 13
conduirait que \tau_i est dans le centre — ce qui impliquerait
n'est pas le cas pour i = 0 ou 1 ou 2, si (\tau_0, \tau_1) et (\tau_1,
\tau_2) ne commutent pas. Dans ce cas, donc \dot\tau_0,
\dot\tau_1, \dot\tau_2 sont égaux : l'unique élément \neq 1 dans \gamma,
donc \rho_0 et \rho_1 sont dans H, donc commutent.
les points sur \dot\tau_i marquent les images dans \gamma
C \Rightarrow A C') C implique que l'image par
conjugaison par les \tau_i est isom. : un quotient d'un des
trois groupes dérivés de G_2 un divisant par l'une des relations
(\tau_0\tau_1)^2 = 1 \rho_0^2 = 1 \tau_1\tau_2
\rho_1^2 = 1 ou \rho_0\rho_1 = \rho_1\rho_0. On voit tout de
suite que chacun de ces groupes est isomorphe : \Gamma' = \mathbb{Z}/2 \times
\mathbb{D}_\infty ;
C' \Rightarrow C'' groupe, un
ss-groupe invariant cyclique \mathbb{D}_\infty^+ = \Gamma'' \subset
\Gamma' ; à quotient abélien
C'') \Rightarrow A) Si u est un générateur de \Gamma'', et si
u_\varphi = \mathrm{id}, l'hom. se factorise par un groupe comm.
fini, et on gagne (…). Sinon, le diviseur des pts fixes
de u_\varphi est invariant stable sous
de
Donc A) \Leftrightarrow C'') sont équivalentes d'ailleurs.
D \Rightarrow C''), montrons que B) & C') impliquent D. Il suffit de
prouver que H ss-groupe de B ou N(T) de H = B ou
N(T), qui est quotient de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2,
est isom. : \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 … ou : un
\mathbb{D}_n, ou : un \mathbb{D}_n \times \mathbb{Z}/2.
la dernière phrase est d'une lecture incertaine dans son articulation :
les étiquettes D \Rightarrow C'' et « B) & C') » sont écrites telles
qu'elles se présentent
Lemme Soit \mathbb{D}_\infty = \lbrace \sigma_0, \sigma_1 \mid
\sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1 \rbrace, u = \sigma_0\sigma_1 groupe
diédral infini, et soient les ss-groupes N de \mathbb{D}_\infty,
, sont les suivants
a) Soit N_i \forall i \in \mathbb{N}^* (), soit
N_i le sous-groupe engendré par u^i, c'est un ss-groupe invariant,
cyclique infini (i \neq 0) ou 1, quotient
\to \mathbb{D}_\infty/N_i … Donc on a :
\mathbb{D}_i = \lbrace \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 =
(\sigma_0\sigma_1)^i = 1 \rbrace
\qquad (\emph{NB}\ \text{la déf.}\ \mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty)
b) Soit \forall i \in \mathbb{N}^*, soit N'_i de
\mathbb{D}_\infty engendré par u^i et Soit i \in \mathbb{N}^*, et soit
j \in \mathbb{Z}/i\mathbb{Z}. Considérons Notons N_{i,j} le
sous-groupe de \mathbb{D}_\infty engendré par u^i et \sigma_0 u^{j'},
avec j' \in \mathbb{Z} (j' mod i) {}= j ; c'est un sous-groupe
isom. à \mathbb{D}_\infty (i \neq 0), ou \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
(i = 0), invariant ssi \mathbb{D}_i est commutatif, i.e. i \in
\lbrace 1, 2 \rbrace conjugué de \sigma_0 ssi j \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}
(p.ex. si i impair) un conjugué de \sigma_1
[De plus, si i est pair, un groupe contient des
conjugués de \sigma_0 et \sigma_1 (qui sont des images
sous conjugaison)].
Je Quel que soit i, N_{i,j} contient un conjugué
de \sigma_0 ssi j \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}, un conjugué de \sigma_1
ssi (j + 1) \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}
c) Les ss-groupes \lbrace N_i, N_{i,j} \rbrace sont tous deux à deux
distincts et ce sont les ss-groupes de \mathbb{D}_\infty
sauf un .
P. ex. \lbrace 1 \rbrace = N_0, \mathbb{D}_\infty = N_{1,0}
Cor 1 Les types d'isom. des groupes quotients de
\mathbb{D}_\infty sont ceux des \mathbb{D}_i (i
\geqslant 1, ou infini),
Cor 2 Types d'iso. des
groupes quotients de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2
de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 —
les \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 (et les \mathbb{D}_i ),
faisant \mathbb{D}_\infty
NB \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{D}_{2i}
si i impair
1–1 N \subset N' de deux ss-groupes
de \mathbb{D}_\infty \mathbb{D}_\infty
(N = M \cap \mathbb{D}_\infty, N' = \mathrm{Im}(M \to
\mathbb{D}_\infty))_{\ldots}
encadré et barré de traits obliques : une première tentative de décrire
les sous-groupes M de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 par un couple
N \subset N' de sous-groupes de \mathbb{D}_\infty ; la ligne qui le suit
(« … invariants ssi N, N' le sont, … ») est biffée aussi
Dém C'est évident si des produits
de \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2 (par N_i ou N_i \times
\mathbb{Z}/2). Si \Gamma = (\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2)/N est un
groupe quotient, N ss-groupe , si N \subset \mathbb{D}_\infty
. \Gamma \simeq \mathbb{D}_\infty/N \times
\mathbb{Z}/2 et … implique cas 1, si non
N \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_2\ } \mathbb{Z}/2 …
donc (\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2)/N \simeq \mathbb{D}_\infty/N
\cap \mathbb{D}_\infty et … implique comme le
corollaire.
NB Les groupes \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2,
\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 (i infini ou pas pair) et \mathbb{D}_i
sont ils effectivement plongeables dans
(infini) gp. diédraux un H = N(T) ou B ?
Parmi les \mathbb{D}_i, diédraux pour
N(T), pourvu que le seul gp. des
mais le cas pour \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 de car.
première à 2 … \mathbb{D}_2 \simeq
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\simeq V_4 la rep. diédrale. On
considère le …
explicitez ce des représentations non
diédrales
note oblique dans la marge gauche, reliée par une accolade à ce
NB ; tout le paragraphe est coupé de ratures, et la ligne suivante
(« Proposition … que les \mathbb{D}_i admettent une repr.
dans \mathrm{GP}(1, k), il faut que … ») est barrée de traits
obliques et biffée
Proposition Soit k corps alg. clos (de car. p), i \in
\mathbb{N}^*,
a) \exists repr. fidèle \mathbb{D}_i \hookrightarrow \mathrm{GP}(1, k)
« \mathbb{D}_i » est surchargé les deux fois
Alors : ou i = 1
a) si p = 0, (a) est satisfait.
b) si p \neq 0, (i.e. \mathbb{D}_i = \mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty)
Supposons p > 0, si i = 0 (i.e. \mathbb{D}_i = \mathbb{D}_0 =
\mathbb{D}_\infty) (a) équivaut à la condition :
b) c) si p \neq 0, et
b) si i \geqslant 2, (a) équivaut à la condition :
i premier p \nmid i, ou bien i = p,
ou bien i = 2p et p impair.
Dém. a), b) immédiats en cas que i = 0 car
équivalent à l'existence d'un él. d'ordre infini dans k^* [ou dans
k].
Pour i \geqslant 2, on sait que les d'ordre fini
c) On sait que les ordres des él. fts (de \mathrm{GP}(1) sont
les premiers, b) les
, H = \gamma \cdot U ( )
explicitez ceux
le bas de la page est biffé ligne à ligne et barré de traits
obliques ; en marge gauche, « explicitez » et un mot incertain
Car c) si H(k) = \gamma(k) \cdot U(k) (U(k) \simeq k …)
*) \Rightarrow (**) si p impair, car les ordres des éléments
d'ordre fini de \mathrm{GP}(1) sont les i premiers à p
et p = 2 (correspondant aux él. semi-simples) et p
(correspondant aux élts unip. {}\neq 1) ; Mais si i = p = 2,
\mathbb{D}_i = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 et … les
sont contenus dans des … de \mathrm{GP}(1) (car les
G_m sont les tores maximaux). Et
(**) \Rightarrow (*) : immédiat, en distinguant et
examinant (pour le cas i = p) le cas p impair, et
le cas particulier où \mathbb{D}_2 est
Cor Soit i pair, … Supposons (…)
(*') \exists repr. fidèle \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2
\to \mathrm{GP}(1, k).
a) Si p = 0, … i = 1 (*') est satisfait ssi i = 0
Dém Considérons
G = G_1 = \lbrace \tau_0, \tau_1 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = 1 \rbrace
On s'intéresse aux repr. de \mathbb{D}_\infty = G_1 dans des G
formes de \mathrm{GP}(1) (= \underline{\mathrm{Aut}}(X)) (sur
S) \Leftrightarrow la cat. des collections équivalentes
on pose t_i = \varphi(\tau_i) (i = 0, 1), u =
\tau_0\tau_1 ({}= \varphi(u))
: celle des représentations projectives de dim. 2
(dans un plan projectif X) de G_1, munies de
On
suivante est satisfaite
a) \forall s \in S, u_s (= \tau_{0s}\tau_{1s})
a) \forall s \in S, u_s^2 \neq 1 (i.e. \varphi_s : \mathbb{D}_\infty \to
G_s ne se factorise pas par un \mathbb{D}_2)
i.e. \tau_{0s}, \tau_{1s} ne commutent pas
La catégorie des couples (G, \varphi)
équivaut , introduit a_0,
H_0, a_1, H_1, comme à la cat. des polygones réguliers
d'habitude, la condition a) implique
a_{0s} \notin H_1 \ (\Leftrightarrow a_1 \notin H_0) \ \text{sur chaque fibre}
… quand …
la page s'arrête sur une ligne inachevée, reprise à la page 17
dans loc. (cas particulier d'une situation d'un
polygône régulier projectif) dans le
projectif X/S, tel que
une ligne entièrement raturée
Th Soit
a) \forall s \in S, u_s^2 \neq 1 (i.e. \varphi_s ne se factorise pas par
\mathbb{D}_2)
b) Soit C la catégorie des couples formés d'un \forall \rho
\in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*), soit U(\rho) le groupe défini formé des \lambda tels que 1 +
\lambda\rho inversible, avec la multiplication
[\lambda] \cdot [\lambda'] = [\lambda + \lambda' + \lambda\lambda'\rho]
Soit C' la catégorie des couples (\alpha, R), où \alpha \in \Gamma(S,
\mathcal{O}_S) telle que \beta = \alpha + 2 inv., et R un torseur sous
c) Soit \alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S), de \mathcal{O}_S
et considérons la si \alpha + 2 inv. dans \mathcal{O}_S lisse,
représentation privilégiée de invariant \alpha,
(\ldots), : G_\alpha \simeq
\mathrm{Aut}(X_\alpha, Q_\alpha) ,
\varphi_\alpha : \mathbb{D}_\infty \to G_\alpha(S)
U_\alpha opère \to \mathrm{Aut}(G_\alpha, \varphi_\alpha).
U_{2-\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{z}\,\mathrm{Ant}(\varphi_\alpha) =
\underline{\mathrm{Aut}}(G_\alpha, \varphi_\alpha)
Si R est un torseur sous G_\alpha, on peut l'utiliser pour former
(G_\alpha^R, \varphi_\alpha^R).
la ligne « U_{2-\alpha} \simeq \ldots » est ajoutée au-dessus de la
ligne biffée ; « \mathfrak{z}\,\mathrm{Ant} » (centralisateur ?) est une
lecture incertaine
d) On trouve ainsi un foncteur
C' \longrightarrow C,
et celui-ci est une équivalence de cat. Le foncteur quasi-inverse est
…
le foncteur C \to C' défini ainsi : donné (G, \varphi) \in \mathrm{Ob}\,C,
on définit \alpha comme l'invariant de \varphi(\underline{u}) = u, et R
comme le formé des faisceau de X (droite
projective de C dont proj. X/S défini par G)
formé de H_1 \setminus \lbrace c \cup d \rbrace, qui est un torseur
sous U_{2-\alpha} \xrightarrow[\text{iso can}]{\ \sim\ }
\underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) … tenant :
\underline{\mathrm{Aut}}(Q_X, \varphi), c'est le ss-groupe
Corollaire Soit La relation
« \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) » surcharge une première
écriture raturée
de U_\rho formé des [\lambda] tels que \lambda
\mathbin{\underset{\rho}{*}} \lambda = 1. Donc \lambda(2 + \lambda\rho) = 0
i.e. … () U_\rho \simeq \mathbb{G}_m (si \alpha
\neq 2) et \rho \neq 2. Alors
ce passage est encadré à gauche d'un trait et fermé en bas par une
ligne courbe ; il semble abandonné
1) Cas 2\rho \neq 0 inversible i.e. \alpha \neq
2, i.e. ( . Alors
\underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) \simeq l'image u ; dans
si u a d'ailleurs pour partie 2 \ldots …
\sigma = u^{m}.
deux grands traits obliques barrent ce 1) et la suite, peut-être
pour l'annuler
2) Cas \rho = 0, \rho \neq 2 2 \neq 0 (i.e. U_\rho
\simeq \mathbb{G}_a i.e. \alpha = 2) et p = 2 2 inv.
[Alors, l'image de U_\rho dans G est l'unique
… \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) =
… u]
le bas de la page est raturé en plusieurs couches
des d'un \mathbb{D}_\infty
\times \mathbb{Z}/2 : représentations
\mathbb{D}_i diédrales
deux notes obliques dans la marge gauche, entre des traits verticaux ;
lecture très partielle
3) \rho \neq 0, \rho = 2 inv., soit \alpha \neq
2 (i.e. U_\rho \simeq \mathbb{G}_m)
\mathrm{Aut}(X, \varphi) = \lbrace 1 \rbrace
\underline{\mathrm{Aut}}(Q, \varphi) \simeq {}_2U_\rho \simeq \mu_2
On conclut
ce 3) est barré de traits obliques ; la dernière égalité est en partie
effacée
\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) \simeq {}_2(U_\rho)
Proposition
Corollaire 1 Supposons \rho {}= 2 - \alpha inv., i.e.
U_\rho \overset{\text{loc}}{\simeq} \mathbb{G}_m, i.e. a) si
\rho inv., et 2 \cdot 1_S , alors
U_\rho \xrightarrow[\text{can}]{\ \sim\ } \mathbb{G}_m, \qquad \lambda
\longmapsto 1 + \lambda\rho .
Alors : a) l'image T de U_\rho dans G est l'unique tore maximal de G
contenant u ;
b) si 2 \mid \rho 2 \mid \rho = 0, alors
b) \underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = {}_2T \overset{\text{can}}{\simeq}
\mu_2
« \overset{\text{loc}}{\simeq} », « can » : il écrit « loc » et
« can » au-dessus du signe
Corollaire 2 Supposons \rho = 2 - \alpha = 0 (i.e. \alpha = 2),
i.e. U_\rho \simeq U_\rho \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{G}_a.
Alors a) l'image U de U_\rho maximal unipotent maximal de G
contenant
b) Si 2 \cdot 1_S inv., alors \underline{\mathrm{Aut}}(G,
\varphi) = \lbrace 1 \rbrace
c) Si 2 \cdot 1_S = 0 i.e. S de car. 2, alors
\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = U \simeq \mathbb{G}_a .
Cor. 3 Soit \gamma un groupe, et soit \Gamma = \mathbb{D}_\infty
\times \gamma. Considérons la cat. C(\gamma) des couples (G, \varphi), G
forme de \mathrm{GP}(1)_S, \varphi : \Gamma \to G(S). Cette catégorie est
équivalente : elle …
la page s'arrête sur cette phrase inachevée
des triples (\alpha, R, \varphi_0), où a) \alpha \in \Gamma(S,
\mathcal{O}_S) tel que \alpha + 2 inv. (i.e. \alpha(s) \neq -2 \forall
s \in S), b) R un torseur sous le groupe U_{\rho = \alpha - 2},
c) \varphi_0 : \gamma \to ({}_2U_\rho)(S) un homomorphisme de groupes.
« U_{\rho = \alpha - 2} » est écrit tel quel ; les pages 17 et 19
posent \rho = 2 - \alpha
Proposition Considérons homomorphismes
Cor. Unicité Considérons un \Gamma = \mathbb{D}_i
\times \mathbb{Z}/2 ()
(*) \exists hom. injectif \Gamma = \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2
\hookrightarrow \mathrm{GP}(1, k).
a) Si i = 0, alors (*) est satisfait
… solution \varphi : \mathbb{D}_\infty \to G (G forme de
\mathrm{GP}(1)).
Cond. Soit n \in \mathbb{N}^*, n \geqslant 3, considérons
\mathbb{D}_n \simeq \mathbb{D}_\infty/\lbrace u^n \rbrace. Considérons les
conditions (équivalentes)
a) u^n = 1, et \forall s \in S, u_s d'ordre n [ n =
0, il faut dire : u_s d'ordre \infty]
b) \varphi se factorise par un mono \mathbb{D}_n \hookrightarrow G.
On va les exprimer en termes de l'invariant \alpha. On trouve :
1) Si n = \infty : il faut et il suffit que \forall s \in S,
c) \forall s \in S
ce 1) est barré et encadré d'un trait sinueux
c) 1) n \cdot 1_S est inversible, ou n = p premier
est premier impair, et 2) \Psi_n(\alpha) =
0 [\Psi_n \in \mathbb{Z}[U] polynôme ½cyclotomique
d'ordre n]
« \Psi_n » : la même lettre qu'à la page 7. « ½cyclotomique » :
son abréviation de semi-, lecture probable