Cote n° 85, pages 1–20

Cote n° 85 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Opérations du centre de \(\Gamma = G_2/-\) la page est un plan de travail ; ses rubriques sont numérotées par des chiffres entourés, rendus ici (1), (1'), (2), (4), (3), dans l'ordre où elles se suivent sur la page. Chaque rubrique est reliée par une accolade à son numéro, et séparée de la suivante par un trait

(1) Représentations ⌜n. dég.⌝ […] ⌜singulières⌝ \(G_0 = \mathbb{Z}/2\)

Représentations dégénérées de \(\mathbb{D}_\infty = G_1\) — i.e. repr. ⌜fidèles⌝ de \(\mathbb{D}_2\) / relations […] : un octaèdre, un quaternions / quaternions généralisés….

Représentations simplement dégénérées de \(G_2\) — i.e. représentations non dég. de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) (considérées ⌜d'après un⌝ […] les cartes correspondantes, et leur genre…)

Représentations doublement dégénérées de \(G_2\) — i.e. repr. de \(\mathbb{D}_2 \times \mathbb{Z}/2 \simeq (\mathbb{Z}/2)^3\) avec des « rang » […] \(\geqslant 2\)

(1') Pts de ramification des repr. de \(G_2\)… la rubrique (1') est marquée dans la marge d'un triple trait vertical

Groupes et cartes associés aux représentations ⌜projectives⌝ de \(G_2\) sur un corps — notamment sur un corps fini

Les rev. de degré ⌜et les modèles⌝ de genre 0 de la sphère privée de trois points

Les cartes finies associées aux hyper-polygônes réguliers finis (cf verso) cf verso « cf verso » est écrit une seconde fois, verticalement, dans la marge gauche, devant l'accolade qui réunit ces trois alinéas ; le verso est la page 2

(2) Terminer en regardant les syst. de Schwarz pythagoriciens (cas de \(G_5\)), et déterminer l'explication la structure d'ens. : gr. sous les gps des gr. riemanniens, dans les trois cas

(4) structure des […] des gr. riemanniens et relations, […] \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)

(3) Détermination des hyperpolygônes ⌜pythagoriciens⌝ ([…] l'ambiguïté […]…) la rubrique (3) est écrite en dernier, tout au bas de la page, sous un trait, après (4)

Toute représentation ⌜[…]⌝ du gpe […] \[ L_3 = \lbrace \rho_0, \rho_1, \rho_2 \mid \rho_0\rho_1\rho_2 = 1 \rbrace \] dans un gpe fini \(\Gamma\) donne une carte finie […] 3-[…] […] ([…] régulière, génériquement) — […] […] […], […] déf. Donc tt homom de \(L_2\) dans un \(\mathrm{GP}(1, k)\), […] […] […] fini, donne une telle […] — […] les représentations en question […] une interprétation géométrique […] en termes d'hyperpolygônes réguliers. Donc on a une étude cristallographique de ceux-ci — un […] […] par ceux qui les définissent par des systèmes de Schwarz type pythagoriciens. Ceux qui définissent […] 44 types d'« hyperpolygônes » — obtenus par symétries et « quintiques » […] (plus petits c'est fort gros !), […] […] gars (gr. […] fini de […] […] tous. D'autres ex. […] […] ceux-ci […] […] correspondants […] […] éléments canoniques des \(n\)-[…] hyperboliques de \(\mathrm{GP}(1)\) […], aux polyèdres réguliers […] — plus leurs transformés par […]. l'indice 3 de \(L_3\) surcharge un 2 ; plus bas il écrit \(L_2\). La page est d'une écriture rapide dont les formules seules passent sûrement ; la prose est en grande partie perdue. « cartes » (première phrase), « Schwarz », « pythagoriciens » et « hyperpolygônes » sont confirmés par le plan de la page 1

Il convient d'y ajouter ceux qui sont « dégénérés », i.e. qui correspondent […] trois […] […] aux représentations de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\), et types dégénérés (représentations […] de \(G_2\)) et […] […] […] … écrit verticalement dans la marge gauche, sur quatre lignes

Représentations projectives de \(G_2\) (cas non dégénéré i.e. non diédral)

inscrit en haut à droite du feuillet de garde (page 3), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page. À gauche, au crayon, « (7) » : sans doute le nombre de feuillets de la liasse, qui compte en effet sept pages de texte (pages 4 à 10)

Soient \(\Gamma\) un groupe, \((\tau_i)_{0 \leqslant i \leqslant 2}\) […] syst. de générateurs de \(\Gamma\), avec \(\tau_i^2 = 1\), \(\tau_0\tau_2 = \tau_2\tau_0\) […]. On pose \(\rho_0 = \tau_0\tau_1\), \(\rho_1 = \) […] \(\tau_1\tau_2\).

Thm \(S\) schéma, […] \(\mathrm{GP}(1)_S\) […] […] Considérons : le premier énoncé, après « \(S\) schéma », est biffé sur toute la ligne ; au-dessus, « Soit » ajouté puis biffé lui aussi

A) Catégorie \(C\) des couples \((G, \varphi)\), où \(G\) est une forme de \(\underline{\mathrm{GP}}(1)_S\), \(\varphi : \Gamma \to G(S)\), satisfaisant les conditions

(*) \(\forall s \in S\), \(\rho_{0s}^2\) et \(\rho_{1s}^2\) sont \(\neq 1_s\) [NB on désigne par \(\tau_0, \tau_1, \tau_2, \rho_0, \rho_1\) les images de \(\tau_0, \tau_1, \tau_2, \rho_0, \rho_1\) dans \(G(S)\)] et \(\rho_{0s}\) et \(\rho_{1s}\) ne commutent pas

(\(\Leftrightarrow\) b) \(\forall s \in S\), l'image \(\Gamma_s\) de \(\Gamma\) dans \(G(s)\) [\(\simeq \Gamma/N_s\) où \(N_s\) […] […] de \(\Gamma \to G(s)\)] n'est pas isomorphe à un groupe diédral (c.-à-d. un produit \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) […], \(\mathbb{D}_n\) (\(n \geqslant 3\)) — le cas \(n = 1, 2\) est déjà exclu par (*), qui signifie […] que \(\tau_{0s}\) et \(\tau_{1s}\) […], ni \(\tau_{1s}\) et \(\tau_{2s}\) — donc \(\Gamma_s\) […] […] abélien.) tout ce passage b) est barré de grandes croix ; une partie en est en outre biffée ligne à ligne (« un produit \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) … », « \(\mathbb{D}_n\) (\(n \geqslant 3\)) »)

On peut remplacer b) par b') \(\rho_0\) et \(\rho_1\) ne commutent pas (ou encore \(\rho_0\) et \(\sigma = \rho_0\rho_1 = \tau_0\tau_2\) ne commutent pas) (NB \(\sigma^2 = 1\)) dans la marge gauche, à la hauteur de b) ; barré avec lui

Les flèches de \(C\) sont les isomorphismes.

B) La catégorie discrète \(C'\) définie par l'ens. des couples \((\alpha_0, \alpha_1) \in \Gamma(S, \underline{\mathcal{O}}_S)^2\), satisfaisant les conditions

(*) […] \(\alpha_0 + 2\), \(\alpha_1 + 2\), \(\alpha_0 + \alpha_1\) sont inversibles. sous (*), une première rédaction de la condition, surchargée, est biffée ; le couple \((\alpha_0, \alpha_1)\) de B) est surchargé, et semble avoir été écrit d'abord \((\alpha_0(\varphi), \alpha_1(\varphi))\)

Pour tout objet \((G, \varphi)\) de \(C\), soit \[ \alpha_0 = A(\rho_0), \qquad \alpha_1 = A(\rho_1) \] où \[ A : G \longrightarrow \mathbb{E}^1_S \] est l'invariant. On trouve Ceci posé :

1) \((\alpha_0, \alpha_1)\) ainsi associé : \((G, \varphi)\) satisfait (*),

2) Le foncteur \[ C \longrightarrow C' \] défini ainsi par \((G, \varphi) \longmapsto (\alpha_0(\varphi), \alpha_1(\varphi))\) est pleinement fidèle, et c'est une équivalence de catégories ⌜si \(\Gamma = \lbrace \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1 \rbrace = G_2\)⌝, […] et autres […] la ligne « si \(\Gamma = \ldots = G_2\) » est écrite au-dessus de la ligne, à la place de trois mots biffés

a) La catégorie \(C\) est rigide, i.e. \(\forall (G, \varphi)\), le centralisateur de \(\varphi\) dans \(G(S)\) est \(\lbrace 1 \rbrace\).

b) Deux objets \((G, \varphi)\) et \((G', \varphi')\) de \(C\) sont isomorphes ssi \(\alpha_0(\varphi) = \alpha_0(\varphi')\), \(\alpha_1(\varphi) = \alpha_1(\varphi')\)

3) \(\forall\) ⌜si \(G = G_2\)⌝ couple \((\alpha_0, \alpha_1)\) […] de sections de \(\underline{\mathcal{O}}_S\) satisfaisant (*), \(\exists (G, \varphi)\) […] objet de \(C\) tel que \(\alpha_0(\varphi) = \alpha_0\), \(\alpha_1 = \alpha_1(\varphi)\) [et ledit objet de \(C\) est défini à isom. unique près grâce à a)] au début de 3), un « \(\forall\) » est suivi d'une courte insertion au-dessus de la ligne, « si \(G = G_2\) » (lecture incertaine : sans doute \(\Gamma = G_2\)), enfermée dans un trait qui la biffe peut-être aussi

Démonstration 1) On sait, par les généralités, que les conditions a) b) impliquent ⌜parmi autres⌝ l'existence d'un 2-polyèdre régulier épinglé, donnant lieu à la repr. \[ \hat{\varphi} : G_2 \ (\text{groupe cartographique}) \longrightarrow \Gamma \xrightarrow{\ \varphi\ } G(S), \] d'où on déduit, on l'a vu, que \(\alpha_0 + 2\), \(\alpha_1 + 2\), \(\alpha_0 + \alpha_1\) sont inversibles. défini à isom. unique près. Un calcul immédiat donne que les invariants \(\alpha_0, \alpha_1\) de ce 2-polyèdre sont les mêmes que \(\alpha_0(\varphi)\) et \(\alpha_1(\varphi)\). En effet, dans le contexte général (dim \(n\)) avec paramètres \(\beta_i = \alpha_i + 2\), pour \(0 \leqslant i \leqslant n-1\), \[ f(a_i) = (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}), \quad f(a_{i+1}) = \beta_0 \cdots \beta_i, \quad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\beta_0 \cdots \beta_i) \] donc si les \(\beta_i\) sont inv. […] (on peut […] parler de « l'angle » \(\theta_i\) ⌜ainsi que […]⌝) de \(a_i\) et \(a_{i+1}\), […] avec \[ 4\cos^2\theta_i = \frac{\varphi(a_i, a_{i+1})^2}{f(a_i)f(a_{i+1})} = \beta_i \qquad \Bigl(\text{\emph{NB}}\ \xi_i = \frac{\beta_i}{f_i f_{i+1}} = \frac{\beta_i}{4} = \cos^2\theta_i\Bigr) \] i.e. \[ \alpha_i = 2(\underbrace{2\cos^2\theta_i - 1}_{\cos 2\theta_i}) = 2\cos 2\theta_i \] la parenthèse NB est lue telle qu'elle se présente ; le dénominateur « \(f_i f_{i+1}\) » et l'égalité qui suit sont d'une lecture incertaine

Il faut aussi prouver ceci :

Lemme ([…]) Soit \((V, f)\) un module quadratique libre de rang 3, considérons une rotation […] \(\rho\) d'angle […] \(\vartheta\) (autour d'un axe totalement non isotrope) […] soit \(\alpha = 2\cos\vartheta\). Alors Soit […] \(Y \subset \check{\mathbb{P}}(V)\) fibré des droites projectives définies par \(f\), et considérons l'automorphisme \(\rho_Y\) induit par \(\rho\). Ceci posé, l'invariant de \(\rho_Y\) est donné par \[ A(\rho_Y) = \alpha \] dans la marge gauche, un petit croquis : deux droites se coupant, l'angle \(\theta_i\) marqué entre elles, et un arc fléché marqué \(\rho_i\) (la rotation) ; non redessiné. Au début de la ligne « Soit … », « Alors » est biffé ; avant « d'angle \(\vartheta\) » un mot surchargé est biffé

Dém Quitte à choisir des axes de coordonnées convenables […], on peut supposer \[ f(x, y, z) = x^2 + yz, \qquad \rho_\xi(x, y, z) = (x, \xi y, \xi^{-1}z), \qquad \text{et } \alpha = \xi + \xi^{-1}. \] Or l'homom. \(\mathbb{G}_m \hookrightarrow G = \mathrm{Aut}\, C\), \(\xi \mapsto \rho_\xi\), est […], donc on trouve \(A(\rho_\xi) = \xi + \xi^{-1} = \alpha\), cqfd.

On a un peu salopé la présentation, qui omet […] pour la […] […] cas. […] \(\neq 2\) (sans parler d'une « théorie des angles » sur schémas quelconques, que je n'ai pas bien explicitée). Mais il est clair par principe de prolongement que si le formalisme ⌜sur l'infini⌝ est prouvé en car. 0 (bien […] on se sert sur terrain […]) il l'est en car. quelconque …

Comme on est dans les cas de forme ⌜quand⌝ invariante (i.d. réalisable sur […] ⌜anneau fixé⌝) lisse, on doit bien avoir \((\alpha_0 + 2)(\alpha_0 - 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) inversible. Inversement, si on part d'un couple \((\alpha_0, \alpha_1)\) satisfaisant à ces conditions, on sait qu'il associe un polyèdre régulier, d'où une forme lisse, d'où représentation de \(G_2\), correspondant : […] […]. On sait que la cat. le produit se lit bien « \((\alpha_0 + 2)(\alpha_0 - 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) » ; les pages 4 et 7 écrivent \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\)

A) […]

Cor. […] Soient \(\nu_0, \nu_1\) deux entiers \(\geqslant 3\) ⌜ou infinis⌝, et supposons que \(\Gamma\) soit le groupe complet de relations \[ \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = (\tau_0\tau_1)^{\nu_0} = (\tau_1\tau_2)^{\nu_1} = 1 \] i.e. \(\Gamma = \Gamma_{\nu_0, \nu_1}\). Alors l'image […] du foncteur Soit […] \(C(\nu_0, \nu_1)\) la sous-catégorie de \(C\) formée des \((G, \varphi)\) (\(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\), \(\varphi : \Gamma \to G(S)\) […]) telles que l'on ait \(\rho_0^{\nu_0} = \rho_1^{\nu_1} = 1\), […]

a) \(\forall s \in S\), \(\rho_{0s}\) est d'ordre \(\nu_0\), \(\rho_{1s}\) d'ordre \(\nu_1\) exactement \(\rho_0\) et \(\rho_1\) ne commutent pas ([…])

b) \(\forall s \in S\), \(\Gamma_s\) n'est pas […] à un \(\mathbb{D}_n\) ([…] \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\)) [NB Je reviens au même d'exiger que \(\rho_{0s}\) et \(\rho_{1s}\) ne commutent pas, […] il suffit pour […], compte tenu de a), que l'on ait : on n'a pas \(\nu_0\) impair et \(\nu_1 = 2\nu_0\) ou l'inverse] b) et la remarque entre crochets sont barrés de traits obliques

[…] que, \(i = 0, 1\), \(\nu_i\) […] […] si \(\nu_i\) premier […] (\(\nu_i \geqslant 3\)) note de la marge gauche, encadrée, reliée par un trait à « Soit » ; lecture très incertaine

Soit \(C'(\nu_0, \nu_1)\) la cat. discrète définie par les couples \((\alpha_0, \alpha_1)\), satisfaisant chaque que \(\alpha_i\) satisfait […] […]

a) \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) inversible

et chaque \(\alpha_i\) satisfaisant les conditions suivantes

b) \(\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0\) \(i = 0, 1\)

Supposons enfin que, […] l'un des […] l'un des \(\nu_i\) est tel que \(\nu_i = 2p\) (où \(p\) est premier impair)

c) Si \(\nu_i\) […] de la forme \(2p\) (\(p\) premier) […] […] \(p\) ([…] premier) est inversible, ou de la forme \(2p\) avec \(2\) inv. si \(p\) impair, ou \(\nu_i = p\) (\(p\) premier impair). c) est barré de traits obliques ; il avait été récrit plusieurs fois, avec insertions et ratures, avant d'être abandonné. Dans la marge gauche, en face, une note elle aussi barrée : « […] ce qui est […] […] sur \(\nu_0, \nu_1\) […] […] »

Alors on a une équivalence de catégories \[ C(\nu_0, \nu_1) \longrightarrow C'(\nu_0, \nu_1). \]

En effet, il faut remarquer, […] ⌜si \(\Gamma = \mathcal{G}\)⌝, […] \((G, \varphi)\) ⌜\(\in C\)⌝ et \((\alpha_0, \alpha_1)\) se correspondent, que A) les conditions a) b) c) sont satisfaites, […] alors on a la condition a) […] sur \(\rho_0\) et \(\rho_1\)

(*) \(\rho_i^{\nu_i} = 1\) et \(\forall s \in S\), \(\rho_{is}\) d'ordre \(\nu_i\) exactement

[…] ssi —

(**) \(\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0\) et c) […] \(\nu_i\)

réf Or il est Or on sait que ⌜(pour \(\nu_i \geqslant 3\))⌝ pourvu que \(\nu_i\) […] de la forme \(2p\) (\(p\) premier) ou \(p\) (\(p\) premier impair), l'un ou l'autre, que […] s'exprime par les conditions \(\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0\) sur l'invariant \(\alpha_i\) de \(\rho_i\), plus la condition \(\nu_i\) inv. si \(\nu_i\) non premier :

(cas 1°) 2 inv. sur \(S\) […] […] ⌜[…] \(\nu_i\) inv.⌝

(cas 2°) aucune condition […].

(cas 3°) \(\nu_i\) inv. sur \(S\) ([…] […])

Ce qui prouve l'équivalence. les trois cas sont disposés en tableau, les numéros entre parenthèses reliés par une accolade ; la première ligne est biffée et remplacée au-dessus par la condition « \(\nu_i\) inv. »

Remarque Comme […] \(\alpha_i + 2\) est inv. i.e. \(\alpha_{i,s} \neq -2\) en […] \(s\), […] indique qu'en fait, si […] \(\nu_i = 2p\) […] […]… une première suite de la remarque, sur trois lignes, est biffée ligne à ligne : « Alors […] […] […], […] […] […] […] et si \(S\) contient un pt \(s\) de […] \(p\) », puis « Alors \(C'(\nu_0, \nu_1)\) est vide » On voit directement […] dans ce cas \(C(\nu_0, \nu_1)\) est également vide : en effet, un gr. diédral de \(G_s\) (forme de \(\mathrm{GP}(1)_{k(s)}\)) ne peut jamais […] d'ordre \(2p\). Donc il est ⌜raisonnable⌝, […] assurer que \(C(\nu_0, \nu_1) \xrightarrow{\ \sim\ } C'(\nu_0, \nu_1)\) soient […], d'exiger que \(\nu_i = 2p\) ⌜(\(p\) pr. impair)⌝ implique que \(p\) […] sur \(S\), donc […] fait \(2p = \nu_i\) … c'est-à-dire qu'on exige que \(\nu_i\) est inv. sur \(S\) […] […] \(p\) premier (impair ou \(\nu_i \geqslant 3\)). toute la remarque est barrée de deux longs traits obliques. En marge, en bas à gauche, un mot biffé, « faux », relié par un trait vertical au bas de la page

Exemples avec \(\Gamma_{\nu_0, \nu_1}\) fini

A) \(\nu_0 = 3\), \(\nu_1 = 3\), \(\Gamma_{\nu_0, \nu_1} \simeq \mathfrak{S}_4\). On trouve que la catégorie des repr. de \(\mathfrak{S}_4\) […] […] restriction à faire sur \(S\). On trouve que la cat. des couples \((G, \varphi)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\), \(\varphi : \mathfrak{S}_4 \to G(S)\) telles que \(\forall s \in S\), \(\rho_{0s}\) et \(\rho_{1s}\) soient d'ordre 3 exactement ⌜et ne commutent pas⌝, est ⌜vide si⌝ équivalente […] 2 (\({} = (-1)(-1)(-1-1)\) au signe près) n'est pas inversible, et qu'elle est équivalente à la cat. ponctuelle dans le cas contraire. C'est-à-dire : si … il note \(\mathfrak{S}_4\) d'un S cerclé, sa graphie du groupe symétrique ; le produit \(-2 = (-1)(-1)(-1-1)\) est la valeur de \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) pour \(\alpha_0 = \alpha_1 = -1\)

a) […] ⌜sur un […] de⌝ car. 2, toute repr. \(\mathfrak{S}_4 \to G(S)\), dans … […] \(\rho_0\) et \(\rho_1\) commutent, i.e. \(\rho_0 \ldots \rho_1 = 1\) (i.e. \(\tau_0 = \tau_1\) ou \(\tau_1 = \tau_2\) […]) ⌜la⌝ repr. se factorise par \(\mathfrak{S}_3\) (\(= \mathbb{D}_3\)) […] \(\mathfrak{S}_3\) […] fin de page très raturée : plusieurs symboles \(\mathfrak{S}_3\), \(\mathbb{D}_3\), \(\mathfrak{S}_4\) sont biffés ou surchargés ; seul le second \(\mathfrak{S}_3\) paraît maintenu

b) Sur un corps de car. ⌜schéma \(S\) où 2 est inv.⌝ (i.e. sur \(\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]\)), il y a à isom. unique près, un couple \((G, \varphi)\) et un seul, où \(G\) est une forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\), \(\varphi : \mathfrak{S}_4 \to G(S)\), avec \(\rho_{0s}\) et \(\rho_{1s}\) d'ordre 3 exact. ⌜[…] […]⌝ i.e. ⌜i.e. la repr. ne se factorise pas par \(\mathfrak{S}_3\)⌝ en chaque fibre. […] ⌜[…]⌝ faut, […] […] que ladite représentation est […] partout fidèle] le crochet fermant répond peut-être à un crochet ouvert à la fin de la page 8 ; les insertions au-dessus de la ligne sont serrées et en partie illisibles

B) \(\nu_0 = 4\), \(\nu_1 = 3\) (ou l'inverse) — […] […] ⌜ici on sait que⌝ \(\Gamma = \mathfrak{S}_4 \times \mathbb{Z}/2\). Le résultat général nous dit que ⌜inversible⌝ ([…] car. 2) qu'il faut écarter. [On pourrait déduire un énoncé […] concernant le gpe \(\Gamma\) de A), mais en passant la […] diédrale, […] […] des renseignements […] … vraiment ! « vraiment ! » est écrit en biais dans la marge gauche, souligné, à hauteur de cette ligne Manquent \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\) […] […] ⌜les⌝ gpes tétraédraux (un plus tétraédraux) […] \(\rho_0^4 = \rho_1^3 = 1\), et … forme

a) Sur un corps de car. 2, \(\forall\) hom. ⌜\(\varphi : \Gamma \to G\)⌝ de \(\Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_4\) dans une forme de \(\mathrm{GP}(1)_k\),

[…] \(\rho_0^2 = 1\) […] l'ordre de \(\rho_0\) est égal à 2 […] […] \(\rho_1 = \mathrm{id}\) […] \(\rho_0\) et \(\rho_1\) commutent (i.e. […] \(\tau_0\) et \(\tau_1\) commutent donc \(\tau_2\) : […] […] factorise par \(\mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3\), […] si […] \(\tau_1 = \tau_2\) […] […] […] factorise par \(\mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_4/\mathbb{Z}_2\) tout ce bloc est barré de traits obliques et entouré d'une accolade ; dans la marge gauche, reliée à l'accolade : « i.e. […] se factorise par \(\mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3 \simeq \mathbb{D}_6\) »

b) Sur un schéma \(S\) où \(2 \cdot 1_S\) est inv.,

\(\exists !\) à isom. unique près couple \((G, \varphi)\), ⌜telle que \(\varphi_s\) ne se factorise pas par \(\mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3 \simeq \mathbb{D}_6\)⌝ où

\(\varphi : \Gamma \to G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\) — et en fait

\(\varphi\) est trivial sur \(\mathbb{Z}/2 = \mathfrak{z}(\Gamma)\), et induit un mono \(\mathfrak{S}_4 \hookrightarrow G_s(S)\) \(\forall s \in S\). le centre de \(\Gamma\) est noté d'une petite lettre ronde, rendue \(\mathfrak{z}\)

C) \(\nu_0 = 3\), \(\nu_1 = 5\), \(\Gamma_{\nu_0, \nu_1} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathfrak{A}_5\). On a

\(\alpha_0 = -1\), \(\alpha_1\) ⌜\({} = \alpha\)⌝ solution de \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\), donc

\(\alpha_0 + \alpha_1\) \(\alpha_0 + 2 = 1\), \(\alpha_1 + 2\) ⌜\({} = \alpha + 2\)⌝ inversible (\(N(\alpha + 2) = -1 - 2 + 4 = 1\), \(1/(\alpha + 2) = \alpha' + 2 = -\alpha + 1\)) \(\alpha_0 + \alpha_1 = \alpha - 1\) inversible

[\(N(\alpha - 1) = -1 + 1 + 1 = 1\), \(1/(\alpha - 1) = \alpha' - 1 = -\alpha - 2\)]. Donc il note le groupe alterné d'un A cerclé, rendu \(\mathfrak{A}_5\) ; \(\alpha'\) est le conjugué de \(\alpha\), racine de \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\)

Thm Pour […] […] couple \((G, \varphi)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\), \(\varphi\) hom. \(\Gamma = \mathbb{Z}/2 \times \mathfrak{A}_5 \to G\), soit \(\alpha(\varphi)\) l'inv. de \(\varphi(\rho_1)\). On trouve ainsi une équivalence entre la cat. des \((G, \varphi)\) telles que \(\forall s \in S\), ⌜\(\varphi_s \mid \mathfrak{A}_5\) ne soit pas triviale⌝, \(\rho_{0s}\) et \(\rho_{1s}\) soient d'ordre \(\rho_0\) et \(\rho_1\) ne commutent pas et la cat. discrète formée des définie par l'ens. des \(\alpha \in \Gamma(S, \underline{\mathcal{O}}_S)\) satisfaisant \[ \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 \] Les représentations \(\varphi\) sont triviales sur \(\mathbb{Z}/2\), donc correspondent aussi aux \[ \varphi^+ : \mathfrak{A}_5 \longrightarrow G \] qui ne sont triviales sur aucune fibre.

Laisser tomber \(\mathbb{Z}/2\) dans l'énoncé [celui-ci […] \(\Leftrightarrow\) […] […] […] […]] note oblique dans la marge gauche, à la hauteur du théorème, reliée à lui par une accolade ; sa seconde moitié est illisible

Représentations projectives de \(G_1\) (et repr. projectives dégénérées de \(G_2\))

inscrit en haut à droite du feuillet de garde (page 11), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ; « dégénérées » est souligné. À gauche, au crayon, « (10 p) » : le nombre de pages de la liasse qui suit, pages 12 à 21

[…] ⌜Prop.⌝ Soit \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\) ⌜\({} = \underline{\mathrm{Aut}}(X)\) (\(X\) droite projective)⌝ sur un corps \(k\) ⌜alg. clos⌝, \(\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in G(k)\) tels que \(\tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1\). Conditions équivalentes

A) \(\exists\) diviseur diviseur de degré 2 sur \(X\) tel que ⌜stable⌝ par les \(\tau_i\).

B) On peut trouver un sous-groupe […] \(H\) de \(G\) qui soit a) ou \(N(T)\), \(T\) tore maximal b) ou \(B\), ss-groupe de Borel tel que les \(\tau_i \in H\)

A') Les repr. projectives prolongements projectifs ⌜\(\tau_i^C\) au plan projectif enveloppe \(C\)⌝ […] (\(i = 0, 1, 2\)) de \(\tau_i\) laissent une droite invariante (\(\Leftrightarrow\) si car. \({}\neq 2\) : laissent un pt invariant) des flèches courbes relient A) à B) et A') à C) dans la marge gauche

C) L'image des \(G_2^+\) dans \(G(k)\) [i.e. le groupe engendré […] \(\rho_0 = \tau_0\tau_1\) et \(\rho_1 = \tau_1\tau_2\), […] par \(\rho_0\) et \(\sigma = \tau_0\tau_2 = \rho_0\rho_1\)] est commutatif C) est biffé et barré de traits obliques ; dans la marge gauche, dans deux cadres reliés à lui, ses remplaçants : C'') \(\varphi\) se factorise par un groupe \(\Gamma\) ext. d'un groupe comm. […] par des groupes cycliques C') \(\varphi : G_2 \to G(k)\) se factorise à travers un \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\)

C) D) Deux parmi les trois couples \((\tau_0, \tau_1)\) \((\tau_1, \tau_2)\) \((\rho_0, \rho_1)\) commutent, i.e. […] \(\rho_0^2 = 1\) ou \(\rho_1^2 = 1\) ou \(\rho_0\rho_1 = \rho_1\rho_0\)

D) Le […] […] […] de \(G(k)\) engendré par les \(\tau_i\) est […] isom., un \(\mathbb{D}_n\) (\(n \geqslant 1\) fini, ou infini) ou \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) (impair) NB dans (D), […] […] […] […] \(\neq 2\), on peut […] \(\mathbb{D}_n \times \mathbb{Z}/2\) dans la marge gauche, verticalement, encadré

\(A \Leftrightarrow A'\) : traduction via dictionnaire entre \(X\) et \(C\) (div. de degré 2 sur \(X\) \(\leftrightarrow\) droites de \(C\))

\(A \Leftrightarrow B\) via les stabilisateurs des div. de degré 2 sur \(X\) \(\mapsto\) les ss-groupes explicités dans B

On utilise que les groupes \(H(k)\) sont des produits semi-directs \(\gamma \cdot U\), \(U\) comm., \(\gamma\) […] ⌜comm.⌝ […] \(_2\gamma\) d'indice 1 ou 2, ⌜\(\frac{1}{2}\)⌝ […] \(_2U\) dans le centre de \(\ldots\)), […] […] \(\Gamma_1({}_2\gamma) \cdot U\) (i.e. \(_2\gamma = \lbrace 1 \rbrace\) ou \(_2\gamma = \lbrace 1, \varepsilon \rbrace\), […] […] l'identité sur \(_2U\)). « \(_2\gamma\) » : la sous-partie de \(\gamma\) tuée par 2, l'indice 2 est écrit à gauche en bas ; « \(\Gamma_1\) » est une lecture incertaine

\(B \Rightarrow C\) En effet, […] […] les images des \(\tau_i\) dans \(\gamma\) […] […] si \(_2\gamma = \lbrace 1 \rbrace\), […] […] \(H = B\), […] car. 2] alors l'image \(\Gamma'\) de \(\Gamma\) dans \(G(k)\) […] \(\subset H(k)\) […] est comm., […] C. […], soit \(\gamma = \lbrace 1, \varepsilon \rbrace\). Si \((\tau_0, \tau_1)\) et \((\tau_1, \tau_2)\) \(\tau_0\) et \(\tau_1\), \(\tau_2\) […] […], i.e. commutant, […] […] \(\tau_1\) \(\tau_2\) […] […] on sait que […] … on aurait \(\tau_i \in H(k)\), comme \(\tau_i^2 = 1\), … bas de page lourdement raturé ; la suite est à la page 13

conduirait que \(\tau_i\) est dans le centre — ce qui ⌜impliquerait⌝ n'est pas le cas pour \(i = 0\) ou 1 ou 2, si \((\tau_0, \tau_1)\) et \((\tau_1, \tau_2)\) ne commutent pas. Dans ce cas, […] […] donc \(\dot\tau_0, \dot\tau_1, \dot\tau_2\) sont égaux : l'unique élément \(\neq 1\) dans \(\gamma\), donc \(\rho_0\) et \(\rho_1\) sont dans \(H\), donc commutent. les points sur \(\dot\tau_i\) marquent les images dans \(\gamma\)

\(C \Rightarrow\) A ⌜C'⌝) C implique que l'image par conjugaison par les \(\tau_i\) est isom. : un quotient d'un des trois groupes dérivés de \(G_2\) un divisant par l'une des relations \((\tau_0\tau_1)^2 = 1\) \(\rho_0^2 = 1\) \(\tau_1\tau_2\) \(\rho_1^2 = 1\) ou \(\rho_0\rho_1 = \rho_1\rho_0\). On voit tout de suite que chacun de ces groupes est isomorphe : \(\Gamma' = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{D}_\infty\) ; […] […]

\(C' \Rightarrow C''\) […] […] groupe, […] […] un ss-groupe invariant ⌜cyclique⌝ \(\mathbb{D}_\infty^+ = \Gamma'' \subset \Gamma'\) ; à quotient abélien

\(C'') \Rightarrow A)\) Si \(u\) est un générateur de \(\Gamma''\), et si \(u_\varphi = \mathrm{id}\), l'hom. se factorise par un groupe comm. fini, et on gagne (…). Sinon, le diviseur des pts fixes de \(u_\varphi\) est invariant stable ⌜sous⌝ […] […] de […] \(\mathrm{Aut}(X)\) normalisant \(u_\varphi\), donc stable par \(\Gamma'\), on a ce qu'on voulait. réf ?

Donc A) \(\Leftrightarrow\) C'') sont équivalentes d'ailleurs. \(D \Rightarrow C''\)), montrons que B) & C') impliquent D. Il suffit de prouver que ⌜\(H\) ss-groupe de⌝ \(B\) ou \(N(T)\) de \(H = B\) ou \(N(T)\), qui […] est quotient de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\), est isom. : \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) … ou : un \(\mathbb{D}_n\), ou : un \(\mathbb{D}_n \times \mathbb{Z}/2\). la dernière phrase est d'une lecture incertaine dans son articulation : les étiquettes \(D \Rightarrow C''\) et « B) & C') » sont écrites telles qu'elles se présentent

Lemme Soit \(\mathbb{D}_\infty = \lbrace \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1 \rbrace\), \(u = \sigma_0\sigma_1\) ⌜groupe diédral infini⌝, et soient les ss-groupes \(N\) de \(\mathbb{D}_\infty\), […] […], sont les suivants […] […] \(i \in \mathbb{N}^*\) (entier \({}\geqslant 0\)) le début de l'énoncé est très raturé ; plusieurs rédactions successives sont biffées

a) Soit […] \(N_i\) \(\forall i \in \mathbb{N}^*\) ([…]), soit \(N_i\) le sous-groupe engendré par \(u^i\), c'est un ss-groupe invariant, ⌜cyclique infini (\(i \neq 0\)) ou 1⌝, […] quotient \(\to \mathbb{D}_\infty/N_i\) … Donc on a : \[ \mathbb{D}_i = \lbrace \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = (\sigma_0\sigma_1)^i = 1 \rbrace \qquad (\emph{NB}\ \text{la déf.}\ \mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty) \]

b) Soit […] \(\forall i \in \mathbb{N}^*\), soit \(N'_i\) de \(\mathbb{D}_\infty\) engendré par \(u^i\) et Soit \(i \in \mathbb{N}^*\), et soit \(j \in \mathbb{Z}/i\mathbb{Z}\). Considérons Notons \(N_{i,j}\) le sous-groupe de \(\mathbb{D}_\infty\) engendré par \(u^i\) et \(\sigma_0 u^{j'}\), avec \(j' \in \mathbb{Z}\) (\(j'\) mod \(i\)) \({}= j\) ; c'est un sous-groupe ⌜isom. à \(\mathbb{D}_\infty\) (\(i \neq 0\)), ou \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (\(i = 0\)), […]⌝ invariant ssi \(\mathbb{D}_i\) est commutatif, i.e. \(i \in \lbrace 1, 2 \rbrace\) […] […] conjugué de \(\sigma_0\) ssi \(j \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}\) (p.ex. si \(i\) impair) un conjugué de \(\sigma_1\) [De plus, si \(i\) est pair, ⌜[…]⌝ un groupe contient des conjugués de \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\) (qui sont […] des images sous conjugaison)]. Je […] […] Quel que soit \(i\), \(N_{i,j}\) contient un conjugué de \(\sigma_0\) ssi \(j \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}\), un conjugué de \(\sigma_1\) ssi \((j + 1) \in 2\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}\) […]

c) Les ss-groupes \(\lbrace N_i, N_{i,j} \rbrace\) sont tous […] deux à deux distincts et ce sont les ss-groupes de \(\mathbb{D}_\infty\) sauf […] un […] […].

P. ex. \(\lbrace 1 \rbrace = N_0\), \(\mathbb{D}_\infty = N_{1,0}\)

Cor 1 Les ⌜types d'isom. des⌝ groupes quotients de \(\mathbb{D}_\infty\) sont ⌜ceux⌝ des \(\mathbb{D}_i\) (\(i \geqslant 1\), ou infini), […] et […] … des gpes unité.

Cor 2 […] […] ⌜Types⌝ d'iso. des groupes quotients de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) […] […] […] […] de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) — les \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\) (et les \(\mathbb{D}_i\) […]), […] […] faisant \(\mathbb{D}_\infty\) […] […] NB \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{D}_{2i}\) si \(i\) impair

1–1 […] […] […] […] \(N \subset N'\) de deux ss-groupes de \(\mathbb{D}_\infty\) […] […] \(\mathbb{D}_\infty\) […] […] \((N = M \cap \mathbb{D}_\infty\), \(N' = \mathrm{Im}(M \to \mathbb{D}_\infty))_{\ldots}\) […] encadré et barré de traits obliques : une première tentative de décrire les sous-groupes \(M\) de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) par un couple \(N \subset N'\) de sous-groupes de \(\mathbb{D}_\infty\) ; la ligne qui le suit (« … invariants ssi \(N\), \(N'\) le sont, … ») est biffée aussi

[…] Dém C'est évident si des produits de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) (par \(N_i\) ou \(N_i \times \mathbb{Z}/2\)). Si \(\Gamma = (\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2)/N\) est un groupe quotient, […] \(N\) ss-groupe […], si \(N \subset \mathbb{D}_\infty\) […] […]. […] […] \(\Gamma \simeq \mathbb{D}_\infty/N \times \mathbb{Z}/2\) et … implique cas 1, si non \(N \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_2\ } \mathbb{Z}/2\) …

donc \((\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2)/N \simeq \mathbb{D}_\infty/N \cap \mathbb{D}_\infty\) et … implique […] comme le corollaire.

NB Les groupes \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\), \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\) (\(i\) infini ou pas pair) et \(\mathbb{D}_i\) sont ils effectivement plongeables dans ⌜(infini) gp. diédraux⌝ un \(H = N(T)\) ou \(B\) ? Parmi les \(\mathbb{D}_i\), […] diédraux pour […] \(N(T)\), pourvu que le seul […] gp. des […] […] […] mais le cas pour \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\) […] de car. première à 2 … […] \(\mathbb{D}_2 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) […] […] […] ⌜\(\simeq V_4\)⌝ […] la rep. diédrale. On considère le … explicitez ce […] des représentations non diédrales note oblique dans la marge gauche, reliée par une accolade à ce NB ; tout le paragraphe est coupé de ratures, et la ligne suivante (« Proposition … que les \(\mathbb{D}_i\) admettent une repr. […] dans \(\mathrm{GP}(1, k)\), il faut que … ») est barrée de traits obliques et biffée

Proposition Soit \(k\) corps alg. clos (de car. \(p\)), \(i \in \mathbb{N}^*\), […] conditions […] […] conditions

a) \(\exists\) repr. fidèle \(\mathbb{D}_i \hookrightarrow \mathrm{GP}(1, k)\) « \(\mathbb{D}_i\) » est surchargé les deux fois

Alors : ⌜ou \(i = 1\)⌝

a) si \(p = 0\), (a) est satisfait. […]

b) si \(p \neq 0\), (i.e. \(\mathbb{D}_i = \mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty\)) ⌜Supposons \(p > 0\), si \(i = 0\) (i.e. \(\mathbb{D}_i = \mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty\))⌝ (a) équivaut à la condition : […] \(k\) non algébrique sur le corps premier (ou encore : \(k^*\) contient un élément d'ordre infini) la parenthèse « Supposons … \(\mathbb{D}_\infty\)) » est cerclée et remplace le b) biffé

b) ⌜c) si \(p \neq 0\), et⌝

b) si \(i \geqslant 2\), (a) équivaut à la condition :

[…] (**) On a \(i\) premier \(p \nmid i\), ou bien \(i = p\), […]

ou bien \(i = 2p\) et \(p\) impair.

Dém. a), b) immédiats en cas que \(i = 0\) car équivalent à l'existence d'un él. d'ordre infini dans \(k^*\) [ou dans \(k\)]. Pour \(i \geqslant 2\), on sait que les d'ordre fini c) On sait que les ordres des él. fts (de \(\mathrm{GP}(1)\) sont […] les […] […] premiers, […] […] […] b) les […] […] […], […] \(H = \gamma \cdot U\) ([…] […]) explicitez ceux le bas de la page est biffé ligne à ligne et barré de traits obliques ; en marge gauche, « explicitez » et un mot incertain

Car c) si \(H(k) = \gamma(k) \cdot U(k)\) (\(U(k) \simeq k\) …)

\(*) \Rightarrow (**)\) si \(p\) impair, car les ordres des éléments d'ordre fini de \(\mathrm{GP}(1)\) sont les \(i\) premiers à \(p\) et \(p = 2\) (correspondant aux él. semi-simples) et \(p\) (correspondant aux élts unip. \({}\neq 1\)) ; Mais si \(i = p = 2\), […] \(\mathbb{D}_i = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) et … les […] sont contenus dans des … de \(\mathrm{GP}(1)\) (car […] les \(G_m\) sont les tores maximaux). Et

\((**) \Rightarrow (*)\) : immédiat, en distinguant et examinant (pour le cas \(i = p\)) le cas \(p\) impair, et le cas particulier où \(\mathbb{D}_2\) est […] […] dans \(U\) !, voir Remarque. la fin de cette ligne est serrée entre deux lignes et peu lisible

Cor Soit \(i\) pair, … Supposons (…) (*') \(\exists\) repr. fidèle \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \to \mathrm{GP}(1, k)\). a) Si \(p = 0\), … \(i = 1\) (*') est satisfait ssi \(i = 0\) […] ⌜donc \(\mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\)⌝ b) Si \(i = 0\), (*') est satisfait ssi […] \(p \neq 2\). c) Si \(i \geqslant 2\), \(p > 0\), alors (*') n'est pas satisfait. ce corollaire est barré de deux grandes croix et encadré d'un trait à gauche

Dém […] […] Considérons \[ G = G_1 = \lbrace \tau_0, \tau_1 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = 1 \rbrace \] On s'intéresse aux repr. de \(\mathbb{D}_\infty\) ⌜\(= G_1\)⌝ dans des \(G\) formes de \(\mathrm{GP}(1)\) (⌜\(= \underline{\mathrm{Aut}}(X)\)⌝) (sur \(S\)) \(\Leftrightarrow\) la cat. des collections équivalentes on pose \(t_i = \varphi(\tau_i)\) (\(i = 0, 1\)), \(u = \tau_0\tau_1\) (\({}= \varphi(u)\)) : celle des représentations ⌜[…]⌝ projectives de dim. 2 (⌜dans un plan projectif \(X\)⌝) de \(G_1\), munies de […] […] quelconques bien connues. On va regarder d'abord les cas où la condition On […] […] […] […] suivante est satisfaite

a) \(\forall s \in S\), \(u_s\) (\(= \tau_{0s}\tau_{1s}\)) […]

a) \(\forall s \in S\), \(u_s^2 \neq 1\) (i.e. \(\varphi_s : \mathbb{D}_\infty \to G_s\) ne se factorise pas par un \(\mathbb{D}_2\))

i.e. \(\tau_{0s}\), \(\tau_{1s}\) ne commutent pas

La catégorie des […] […] […] couples \((G, \varphi)\) équivaut […] […], […] […] […] introduit \(a_0\), \(H_0\), \(a_1\), \(H_1\), comme à la cat. des polygones réguliers d'habitude, la condition a) implique \[ a_{0s} \notin H_1 \ (\Leftrightarrow a_1 \notin H_0) \ \text{sur chaque fibre} \] … quand … la page s'arrête sur une ligne inachevée, reprise à la page 17

dans ⌜[…]⌝ loc. (cas particulier d'une situation d'un polygône régulier projectif) dans le […] projectif \(X/S\), tel que […] \(\beta = \alpha + 2\) inversible (ceci exprime \(a_1 \notin H_0\)), on […] […] […] le quadrique […] associée ⌜\(Q\)⌝ dans \(X\) (l'unique quadrique) soit lisse. Donc « \(\beta = \alpha + 2\) inversible » est encadré ; « polygône régulier » est souligné. La lecture de la ligne sur la quadrique est incertaine

[…] […] […] […] […] […] […] une ligne entièrement raturée

Th Soit […] \(C\) la catégorie des couples \((G, \varphi)\) d'une forme \(G\) de \(\mathrm{GP}(1)_S\) et d'un hom. \(\varphi : \mathbb{D}_\infty \to G(S)\) [d'où \(\tau_0, \tau_1, u \in G(S)\)] satisfaisant

a) \(\forall s \in S\), \(u_s^2 \neq 1\) (i.e. \(\varphi_s\) ne se factorise pas par \(\mathbb{D}_2\))

b) Soit \(C\) la catégorie des couples formés d'un […] \(\forall \rho \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*)\), soit \(U(\rho)\) le groupe […] lisse de dim. 1 sur \(S\), défini formé des \(\lambda\) tels que \(1 + \lambda\rho\) inversible, avec la multiplication \[ [\lambda] \cdot [\lambda'] = [\lambda + \lambda' + \lambda\lambda'\rho] \] Soit \(C'\) la catégorie des couples \((\alpha, R)\), où \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) telle que \(\beta = \alpha + 2\) inv., et \(R\) un torseur sous […] \(U(2 - \alpha)\). […] Sinon […] […] […] […] […] \(\mathbb{D}_\infty\) […] […] […] […] […] \(\times \mathbb{D}(G)\) […] […] note oblique sur quatre lignes dans la marge gauche, face à b) ; très peu lisible

c) Soit \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\), […] de \(\mathcal{O}_S\) et considérons la […] ⌜si \(\alpha + 2\) inv. dans \(\mathcal{O}_S\) lisse,⌝ représentation privilégiée de invariant \(\alpha\), […] \((\ldots)\), […] […] […] […] : \(G_\alpha \simeq \mathrm{Aut}(X_\alpha, Q_\alpha)\) […], \(\varphi_\alpha : \mathbb{D}_\infty \to G_\alpha(S)\) […] […] \(U_\alpha\) opère \(\to \mathrm{Aut}(G_\alpha, \varphi_\alpha)\). \[ U_{2-\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{z}\,\mathrm{Ant}(\varphi_\alpha) = \underline{\mathrm{Aut}}(G_\alpha, \varphi_\alpha) \] Si \(R\) est un torseur sous \(G_\alpha\), on peut l'utiliser pour former \((G_\alpha^R, \varphi_\alpha^R)\). la ligne « \(U_{2-\alpha} \simeq \ldots\) » est ajoutée au-dessus de la ligne biffée ; « \(\mathfrak{z}\,\mathrm{Ant}\) » (centralisateur ?) est une lecture incertaine

d) On trouve ainsi un foncteur \[ C' \longrightarrow C, \] et celui-ci est une équivalence de cat. Le foncteur quasi-inverse est …

le foncteur \(C \to C'\) défini ainsi : donné \((G, \varphi) \in \mathrm{Ob}\,C\), on définit \(\alpha\) comme l'invariant de \(\varphi(\underline{u}) = u\), et \(R\) comme le formé des […] faisceau de \(X\) (⌜droite projective⌝ […] de \(C\) dont proj. \(X/S\) défini par \(G\)) formé de \(H_1 \setminus \lbrace c \cup d \rbrace\), qui est un torseur sous \(U_{2-\alpha} \xrightarrow[\text{iso can}]{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi)\) … tenant : \(\underline{\mathrm{Aut}}(Q_X, \varphi)\), c'est le ss-groupe Corollaire Soit […] […] La relation « \(\underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi)\) » surcharge une première écriture raturée

de \(U_\rho\) formé des \([\lambda]\) tels que \(\lambda \mathbin{\underset{\rho}{*}} \lambda = 1\). Donc \(\lambda(2 + \lambda\rho) = 0\) i.e. … ([…]) \(U_\rho \simeq \mathbb{G}_m\) (si \(\alpha \neq 2\)) et \(\rho \neq 2\). Alors ce passage est encadré à gauche d'un trait et fermé en bas par une ligne courbe ; il semble abandonné

1) Cas \(2\rho \neq 0\) ⌜inversible⌝ i.e. \(\alpha \neq 2\), i.e. ([…] […] […]. Alors \(\underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) \simeq\) […] \(\subset \mathbb{G}_m\), […] engendré par \(\sigma\). D'autre part l'image de \(U_\alpha\) dans […] \(G\) […] est l'unique tore maximal qui contient l'image \(u\) ; dans […] si \(u\) a d'ailleurs pour partie \(2 \ldots\) … \(\sigma = u^{m}\). deux grands traits obliques barrent ce 1) et la suite, peut-être pour l'annuler

2) Cas \(\rho = 0\), \(\rho \neq 2\) \(2 \neq 0\) (i.e. \(U_\rho \simeq \mathbb{G}_a\) i.e. \(\alpha = 2\)) et \(p = 2\) 2 inv. [Alors, l'image de \(U_\rho\) dans \(G\) est l'unique […] […] \(\simeq \mathbb{G}_a\) qui contient […] […] … \(\underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi) =\) […] […] … \(u\)] le bas de la page est raturé en plusieurs couches

[…] des […] […] d'un […] […] […] \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbb{Z}/2\) : […] […] représentations […] […] \(\mathbb{D}_i\) […] […] […] diédrales deux notes obliques dans la marge gauche, entre des traits verticaux ; lecture très partielle

3) \(\rho \neq 0\), \(\rho = 2\) ⌜inv., soit \(\alpha \neq 2\)⌝ (i.e. \(U_\rho \simeq \mathbb{G}_m\)) […] \(\mathrm{Aut}(X, \varphi) = \lbrace 1 \rbrace\) \(\underline{\mathrm{Aut}}(Q, \varphi) \simeq {}_2U_\rho \simeq \mu_2\) On conclut ce 3) est barré de traits obliques ; la dernière égalité est en partie effacée

\(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) \simeq {}_2(U_\rho)\)

Proposition

Corollaire 1 Supposons \(\rho\) ⌜\({}= 2 - \alpha\)⌝ inv., i.e. \(U_\rho \overset{\text{loc}}{\simeq} \mathbb{G}_m\), i.e. a) si \(\rho\) inv., et \(2 \cdot 1_S\) […] […], alors \[ U_\rho \xrightarrow[\text{can}]{\ \sim\ } \mathbb{G}_m, \qquad \lambda \longmapsto 1 + \lambda\rho . \] Alors : a) l'image \(T\) de \(U_\rho\) dans \(G\) est l'unique tore maximal de \(G\) contenant \(u\) ;

b) si \(2 \mid \rho\) […] […] \(2 \mid \rho = 0\), alors b) \(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = {}_2T \overset{\text{can}}{\simeq} \mu_2\) « \(\overset{\text{loc}}{\simeq}\) », « can » : il écrit « loc » et « can » au-dessus du signe

Corollaire 2 Supposons \(\rho = 2 - \alpha = 0\) (i.e. \(\alpha = 2\)), i.e. \(U_\rho \simeq\) \(U_\rho \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{G}_a\). Alors a) l'image \(U\) de \(U_\rho\) […] est un sous-groupe maximal […] unipotent maximal de \(G\) contenant […]

b) Si \(2 \cdot 1_S\) inv., alors \(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = \lbrace 1 \rbrace\)

c) Si \(2 \cdot 1_S = 0\) i.e. \(S\) de car. 2, alors \[ \underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = U \simeq \mathbb{G}_a . \]

Cor. 3 Soit \(\gamma\) un groupe, et soit \(\Gamma = \mathbb{D}_\infty \times \gamma\). Considérons la cat. \(C(\gamma)\) des couples \((G, \varphi)\), \(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)_S\), \(\varphi : \Gamma \to G(S)\). Cette catégorie est équivalente : elle … la page s'arrête sur cette phrase inachevée

des triples \((\alpha, R, \varphi_0)\), où a) \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) tel que \(\alpha + 2\) inv. (i.e. \(\alpha(s) \neq -2\) \(\forall s \in S\)), b) \(R\) un torseur sous ⌜le groupe⌝ \(U_{\rho = \alpha - 2}\), c) \(\varphi_0 : \gamma \to ({}_2U_\rho)(S)\) un homomorphisme de groupes. « \(U_{\rho = \alpha - 2}\) » est écrit tel quel ; les pages 17 et 19 posent \(\rho = 2 - \alpha\)

Proposition Considérons homomorphismes […] […] Cor. Unicité Considérons un \(\Gamma = \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2\) ([…]) et un corps alg. clos \(k\), enfin la condition le titre « Proposition » est écrit au-dessus d'un premier titre biffé ; les deux lignes sont encadrées à gauche

(*) \(\exists\) hom. injectif \(\Gamma = \mathbb{D}_i \times \mathbb{Z}/2 \hookrightarrow \mathrm{GP}(1, k)\).

a) Si \(i = 0\), alors (*) est satisfait […]

… solution \(\varphi : \mathbb{D}_\infty \to G\) (\(G\) forme de \(\mathrm{GP}(1)\)).

Cond. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\), ⌜\(n \geqslant 3\)⌝, considérons \(\mathbb{D}_n \simeq \mathbb{D}_\infty/\lbrace u^n \rbrace\). Considérons les conditions (équivalentes)

a) \(u^n = 1\), et \(\forall s \in S\), \(u_s\) d'ordre \(n\) [[…] \(n = 0\), il faut dire : \(u_s\) d'ordre \(\infty\)]

b) \(\varphi\) se factorise par un mono \(\mathbb{D}_n \hookrightarrow G\).

On va les exprimer en termes de l'invariant \(\alpha\). On trouve : […] […] […]

1) Si \(n = \infty\) : il faut et il suffit que \(\forall s \in S\), […] […] c) \(\forall s \in S\) […] ce 1) est barré et encadré d'un trait sinueux

c) 1) \(n \cdot 1_S\) est inversible, ou \(n = p\) premier […] […] […] […] […] […] […] est premier impair, […]) et 2) \(\Psi_n(\alpha) = 0\) [\(\Psi_n \in \mathbb{Z}[U]\) polynôme ½cyclotomique d'ordre \(n\)] « \(\Psi_n\) » : la même lettre qu'à la page 7. « ½cyclotomique » : son abréviation de semi-, lecture probable