Cote n° 85 · pages 1–97 · Lecture modernisée · 2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier compte quatre-vingt-dix-sept pages ; neuf sont des couvertures (pages 3, 11, 22, 32, 41, 57, 74, 81, 94) qui portent un titre de sa main et, au crayon, le nombre de feuillets de la liasse qu'elles ouvrent, toujours exact. Ces titres sont repris ici comme titres de sections. Rien n'est daté ; le dossier est compté dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire », daté 1976–vers 1986. Il appartient à la même famille que les dossiers 70 et 72 (réalisations géométriques des polyèdres réguliers sur une base quelconque), 76 et 88 (cartes et groupe cartographique), 78 (polygones réguliers et polynômes semi-cyclotomiques) et 82 (\(\mathrm{SO}(3) \simeq \mathrm{PGL}_2\)) ; on y renvoie là où ils se rencontrent.

Les stations.

• Pages 1–2 : un plan de travail.
• Pages 4–10 : représentations de \(G_2\) dans les formes de \(\mathrm{PGL}_2\), cas non dégénéré ; le théorème de classification par \((\alpha_0, \alpha_1)\) et les exemples finis.
• Pages 12–21 : le cas dégénéré, c'est-à-dire diédral ; représentations de \(G_1 = \mathbb{D}_\infty\).
• Pages 23–31 : l'invariant \(A\) lui-même — le chapitre de fondations que les pages 4 à 21 supposent ; il est logiquement premier.
• Pages 33–40 : sous-groupes finis de \(\mathrm{PGL}_2\) en caractéristique \(0\), et le groupe \(\mathfrak{A}_5\) sur \(\mathbf{Z}\).
• Pages 42–56 : systèmes de Schwarz de \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\).
• Pages 58–73 : hyperpolygônes réguliers (deux pseudo-réflexions d'un plan complexe).
• Pages 75–80 : les \(2\)-polyèdres réguliers finis en caractéristique \(0\).
• Pages 82–93 : opérations sur les systèmes de Schwarz.
• Pages 95–97 : classes de sous-groupes de \(\mathfrak{S}_5\).

Conventions, valables pour tout le dossier. \(S\) est un schéma ; \(G\) une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) sur \(S\) (de \(\mathrm{SL}_2\) quand on le dit) ; \(A : G \to \mathbb{A}^1_S\) l'invariant des pages 23 et suivantes, et, pour une section \(u\) de \(G\), \(\alpha = A(u)\), \(\beta = \alpha + 2\). \(\mathbb{D}_n\) est le groupe diédral d'ordre \(2n\), \(\mathbb{D}_\infty = \mathbb{D}_0\) le groupe diédral infini ; \(\mathfrak{S}_n\), \(\mathfrak{A}_n\) les groupes symétrique et alterné. Le groupe cartographique de dimension \(2\) est \[ G_2 = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1 \rangle , \] celui de dimension \(1\) est \(G_1 = \langle \tau_0, \tau_1 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = 1\rangle = \mathbb{D}_\infty\) (dossiers 76 et 88) ; on pose \(\rho_0 = \tau_0\tau_1\) (rotation autour d'une face, \(\rho_f\)) et \(\rho_1 = \tau_1\tau_2\) (rotation autour d'un sommet, \(\rho_s\)), et \(\Gamma_{\nu_0,\nu_1}\) est le quotient de \(G_2\) par \(\rho_0^{\nu_0} = \rho_1^{\nu_1} = 1\), c'est-à-dire le groupe de Coxeter \([\nu_0, \nu_1]\). On note \(c_5 = 2\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1 + \sqrt5}{2}\) et \(c_5' = 2\cos\frac{4\pi}{5} = \frac{-1 - \sqrt5}{2}\) les deux racines de \(T^2 + T - 1\)¹ . Les polynômes de \(\mathbf{Z}[U]\) sont ceux du dossier 78 : \(S_n(T + T^{-1}) = T^n + T^{-n}\), \(F_n\) dont les racines sont les \(\zeta + \zeta^{-1}\) pour \(\zeta^n = 1\), \(\zeta \neq \pm1\), et \(\Psi_n\) le polynôme minimal de \(2\cos\frac{2\pi}{n}\)² . Sans indice, \(\rho\) désigne un discriminant au sens du dossier 72 : \(2 - \alpha\) pour un polygone (pages 17 à 20), \(-2(\alpha_0 + \alpha_1)\) pour un polyèdre (page 75).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas. Les « généralités » de la page 5 sur les \(2\)-polyèdres réguliers épinglés (elles sont, en substance, celles des dossiers 70 et 72) ; la structure de torseur de la page 18, dans la partie perdue ; l'élimination des types \((5, 3, 5')\) et \((3, 5, 5')\) de la page 73 ; les questions d'injectivité des pages 86–87 et le calcul des quotients finis de la page 89. Les rubriques (2) et (4) du plan de la page 1 — les systèmes de Schwarz « de \(G_5\) » et le groupe de Galois \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) — ne sont pas atteintes.

1–2

I. Un plan de travail (pages 1 et 2)

La page 1 est un plan, en rubriques numérotées de chiffres entourés, dans l'ordre (1), (1'), (2), (4), (3)³ :

• (1)les représentations dégénérées : de \(G_0 = \mathbf{Z}/2\), de \(G_1 = \mathbb{D}_\infty\) (c'est-à-dire les représentations fidèles de \(\mathbb{D}_2\), avec les mots « octaèdre » et « quaternions généralisés »), les représentations « simplement dégénérées » de \(G_2\) (celles de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbf{Z}/2\), et le genre des cartes correspondantes), les « doublement dégénérées » (celles de \((\mathbf{Z}/2)^3\)) ;
• (1')les points de ramification ; les groupes et cartes associés aux représentations projectives de \(G_2\) sur un corps, notamment fini ; les revêtements de genre \(0\) de la sphère privée de trois points ; les cartes finies associées aux « hyperpolygônes » réguliers finis ;
• (2)terminer par les systèmes de Schwarz « pythagoriciens » (« cas de \(G_5\) ») ;
• (4)une structure, avec relations, liée à \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) ;
• (3)la détermination des hyperpolygônes pythagoriciens.

Les rubriques (1), (1') et (3) sont, dans l'ordre inverse, les sections III, VI–VII et VIII ci-dessous ; (2) et (4) ne sont pas traitées⁴ .

La page 2, verso de la première, ne se lit qu'en partie : seule la formule passe sûrement. Toute application du groupe \[ L = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_2 \mid \rho_0\rho_1\rho_2 = 1\rangle \] — un groupe libre de rang \(2\) — dans un groupe fini \(\Gamma\) définit une carte finie, et donc tout homomorphisme de \(L\) dans un \(\mathrm{PGL}_2(k)\) d'image finie donne une telle carte ; les représentations en question ont ainsi une interprétation géométrique en termes d'hyperpolygônes réguliers, et les systèmes de Schwarz pythagoriciens en donnent la liste. On lit encore le nombre « 44 » de types d'hyperpolygônes, qu'on retrouvera à la page 67⁵ . C'est le point de départ de la section IX.

4–10

II. Représentations projectives de \(G_2\), cas non dégénéré (pages 4 à 10)

4–4

Le théorème (page 4)

Soit \(\Gamma\) un groupe engendré par trois involutions \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\) telles que \(\tau_0\tau_2 = \tau_2\tau_0\), c'est-à-dire un quotient de \(G_2\) ; \(\rho_0 = \tau_0\tau_1\), \(\rho_1 = \tau_1\tau_2\). Soit \(S\) un schéma.

Théorème (page 4). Soit \(C\) la catégorie dont les objets sont les couples \((G, \varphi)\), \(G\) une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) sur \(S\) et \(\varphi : \Gamma \to G(S)\) un homomorphisme, tels qu'en tout point \(s \in S\) \[ (*) \qquad \rho_{0,s}^2 \neq 1, \quad \rho_{1,s}^2 \neq 1, \quad \rho_{0,s}\rho_{1,s} \neq \rho_{1,s}\rho_{0,s}, \] et dont les flèches sont les isomorphismes. Soit \(C'\) la catégorie discrète des couples \((\alpha_0, \alpha_1)\) de sections de \(\mathcal{O}_S\) tels que \[ (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1) \quad \text{soit inversible.} \] Alors :

1. pour tout objet \((G, \varphi)\) de \(C\), le couple \(\alpha_0 = A(\varphi(\rho_0))\), \(\alpha_1 = A(\varphi(\rho_1))\) est un objet de \(C'\) ;
2. le foncteur \(C \to C'\) ainsi défini est pleinement fidèle : \(C\) est rigide (le centralisateur de \(\varphi(\Gamma)\) dans \(G\) est trivial), et deux objets sont isomorphes si et seulement s'ils ont les mêmes invariants ;
3. si \(\Gamma = G_2\), c'est une équivalence : tout couple \((\alpha_0, \alpha_1)\) de \(C'\) provient d'un \((G, \varphi)\), défini à isomorphisme unique près.

En d'autres termes, le champ des représentations non dégénérées de \(G_2\) dans les formes de \(\mathrm{PGL}_2\) est représentable par l'ouvert de \(\mathbb{A}^2_{\mathbf{Z}}\) complémentaire des trois droites \(\alpha_0 = -2\), \(\alpha_1 = -2\), \(\alpha_0 + \alpha_1 = 0\)⁶ . Le produit \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) est, au signe et au facteur près, le discriminant \(\beta_0\beta_1\tilde\rho\) de la conique des pages 75 et suivantes : la condition dit que la conique invariante est lisse (section VIII).

5–6

La démonstration, et l'invariant \(2\cos\) (pages 5 et 6)

La démonstration s'appuie sur la théorie générale des \(2\)-polyèdres réguliers épinglés⁷ : la condition \((*)\) assure l'existence d'un \(2\)-polyèdre régulier épinglé, défini à isomorphisme unique près, dont la représentation \(G_2 \to \Gamma \to G(S)\) est \(\varphi\). Il reste à identifier ses paramètres. Dans le contexte général (dimension \(n\), dossier 72), le polyèdre est décrit par des paramètres \(\beta_i = \alpha_i + 2\) (\(0 \leq i \leq n - 1\)), et ses vecteurs de réflexion \(a_i\) ont pour « longueurs » et « produits scalaires » \[ f(a_i) = \beta_0 \cdots \beta_{i-1}, \qquad f(a_{i+1}) = \beta_0 \cdots \beta_i, \qquad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i , \] d'où, si l'on peut parler de l'angle \(\theta_i\) entre \(a_i\) et \(a_{i+1}\), \[ 4\cos^2\theta_i = \frac{\varphi(a_i, a_{i+1})^2}{f(a_i)\, f(a_{i+1})} = \beta_i, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \alpha_i = 2(2\cos^2\theta_i - 1) = 2\cos 2\theta_i . \] Or le produit de deux réflexions d'angle \(\theta_i\) est une rotation d'angle \(2\theta_i\), et le lemme suivant dit que l'invariant de la rotation induite sur la conique est \(2\cos 2\theta_i\) : les deux définitions de \(\alpha_i\) coïncident⁸ .

Lemme (page 5). Soient \((V, f)\) un module quadratique libre de rang \(3\) sur \(S\) et \(r\) une rotation d'angle \(\vartheta\) autour d'un axe non isotrope, \(\alpha = 2\cos\vartheta\) (c'est-à-dire \(\mathrm{Tr}\, r = 1 + \alpha\)). Soit \(Y \subset \check{\mathbb{P}}(V)\) la conique des droites isotropes et \(r_Y\) l'automorphisme qu'induit \(r\). Alors \(A(r_Y) = \alpha\).

Démonstration. Localement on peut prendre \(f(x, y, z) = x^2 + yz\) et \(r_t(x, y, z) = (x, ty, t^{-1}z)\), de sorte que \(\alpha = t + t^{-1}\)⁹ . L'homomorphisme \(\mathbb{G}_m \to \mathrm{Aut}(Y)\), \(t \mapsto r_t\), est un monomorphisme : la paramétrisation \((s : s') \mapsto (ss', s^2, -s'^2)\) de \(Y\) montre que \(r_t\) multiplie le rapport \(s/s'\) par \(t\). Par la propriété caractéristique de \(A\) (page 23), \(A(r_t) = t + t^{-1} = \alpha\)¹⁰ .

Page 6, Grothendieck juge lui-même : « On a un peu salopé la présentation », qui omet le cas où les \(\beta_i\) ne sont pas inversibles, « sans parler d'une théorie des angles sur schémas quelconques, que je n'ai pas bien explicitée ». Mais un principe de prolongement ramène l'énoncé général à la caractéristique \(0\). Comme l'objet de \(C\) définit une forme lisse, le produit \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) est inversible ; inversement un couple qui satisfait cette condition définit un polyèdre régulier, donc une conique lisse et une représentation de \(G_2\)¹¹ .

6–8

Ordres prescrits : le groupe \(\Gamma_{\nu_0,\nu_1}\) (pages 6 à 8)

Corollaire (pages 6 et 7). Soient \(\nu_0, \nu_1 \geq 3\) des entiers et \(\Gamma = \Gamma_{\nu_0, \nu_1}\). Soit \(C(\nu_0, \nu_1)\) la sous-catégorie de \(C\) formée des \((G, \varphi)\) tels qu'en tout \(s \in S\), \(\rho_{0,s}\) soit d'ordre exactement \(\nu_0\) et \(\rho_{1,s}\) d'ordre exactement \(\nu_1\). Soit \(C'(\nu_0, \nu_1)\) la catégorie discrète des \((\alpha_0, \alpha_1)\) tels que

• a)\((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)\) soit inversible ;
• b)\(\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0\) pour \(i = 0, 1\) ;
• c)\(\nu_i\) soit inversible sur \(S\) si \(\nu_i\) n'est pas premier.

Alors le foncteur du théorème induit une équivalence \(C(\nu_0, \nu_1) \to C'(\nu_0, \nu_1)\).

La démonstration consiste à traduire « \(\rho_i^{\nu_i} = 1\) et \(\rho_{i,s}\) d'ordre exactement \(\nu_i\) en tout point » en une condition sur l'invariant ; c'est la traduction de la page 31 (section IV), sous la forme qu'elle prend pour \(\mathrm{PGL}_2\) : un élément d'ordre fini de \(\mathrm{PGL}_2(k)\) est semi-simple d'ordre premier à \(p\), ou unipotent d'ordre \(p\), de sorte que \(\Psi_n(\alpha) = 0\) suffit si \(n\) est premier, et qu'il faut en outre \(n\) inversible sinon¹² . Une remarque de la page 8, barrée de deux longs traits, observait que pour \(\nu_i = 2p\) les deux catégories sont vides dès que \(S\) a un point de caractéristique \(p\) : \(\Psi_{2p} \equiv (U + 2)^{(p-1)/2}\) modulo \(p\), ce qui force \(\alpha_i = -2\), et \(\mathrm{PGL}_2(k)\) n'a pas d'élément d'ordre \(2p\) en caractéristique \(p\)¹³ .

8–10

Les trois cas finis (pages 8 à 10)

Les groupes \(\Gamma_{\nu_0,\nu_1}\) finis avec \(\nu_0, \nu_1 \geq 3\) sont ceux des solides de Platon.

A) \(\nu_0 = \nu_1 = 3\), \(\Gamma \simeq \mathfrak{S}_4\) (le tétraèdre). Ici \(\alpha_0 = \alpha_1 = -1\) et le produit de a) vaut \(1 \cdot 1 \cdot (-2) = -2\). Donc : si \(2\) n'est pas inversible sur \(S\), la catégorie est vide — en caractéristique \(2\) toute représentation se factorise par \(\mathfrak{S}_3\) ; si \(2\) est inversible (sur \(\mathbf{Z}[\frac12]\)), il existe un couple \((G, \varphi)\) et un seul à isomorphisme unique près, et \(\varphi\) est partout fidèle¹⁴ .

B) \((\nu_0, \nu_1) = (4, 3)\) ou \((3, 4)\), \(\Gamma \simeq \mathfrak{S}_4 \times \mathbf{Z}/2\) (le cube, l'octaèdre). Ici \(\{\alpha_0, \alpha_1\} = \{0, -1\}\) et le produit vaut \(-2\) ; il faut encore \(2\) inversible. En caractéristique \(2\), \(\varphi\) se factorise par \(\mathbf{Z}/2 \times \mathfrak{S}_3 \simeq \mathbb{D}_6\). Sur \(S\) où \(2\) est inversible, il y a un couple et un seul, et \(\varphi\) est triviale sur le centre \(\mathbf{Z}/2\) de \(\Gamma\) et induit en chaque point un monomorphisme \(\mathfrak{S}_4 \hookrightarrow G_s\)¹⁵ .

C) \((\nu_0, \nu_1) = (3, 5)\), \(\Gamma \simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathfrak{A}_5\) (l'icosaèdre). Ici \(\alpha_0 = -1\) et \(\alpha_1 = \alpha\) avec \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\). Tout est inversible sans condition : \(\alpha_0 + 2 = 1\), \(\alpha + 2\) est de norme \(1\) et d'inverse \(1 - \alpha\), \(\alpha_0 + \alpha_1 = \alpha - 1\) est de norme \(1\) et d'inverse \(-\alpha - 2\).

Théorème (page 10). La catégorie des couples \((G, \varphi)\), \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2\) sur \(S\) et \(\varphi : \mathbf{Z}/2 \times \mathfrak{A}_5 \to G(S)\) non triviale sur \(\mathfrak{A}_5\) en chaque point, est équivalente, par \(\varphi \mapsto \alpha(\varphi) = A(\varphi(\rho_1))\), à la catégorie discrète des \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) tels que \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\). Les \(\varphi\) sont triviales sur \(\mathbf{Z}/2\) et sont donc aussi les \(\varphi^+ : \mathfrak{A}_5 \to G\) non triviales sur toute fibre — c'est-à-dire, \(\mathfrak{A}_5\) étant simple, injectives sur toute fibre.

La note marginale dit : « laisser tomber \(\mathbf{Z}/2\) dans l'énoncé ». C'est ce que fait le théorème de la page 40 (section V), où ce résultat devient : le foncteur des \(\mathfrak{A}_5\) plongés dans une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) est représenté par \(\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}[T]/(T^2 + T - 1)\). En particulier l'icosaèdre existe en caractéristique \(2\) (\(\mathfrak{A}_5 \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbf{F}_4)\)), \(3\) (\(\mathfrak{A}_5 \subset \mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}_9)\)) et \(5\) (\(\mathfrak{A}_5 \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbf{F}_5)\), où \(T^2 + T - 1 = (T - 2)^2\) et la rotation d'ordre \(5\) est unipotente)¹⁶ .

12–21

III. Représentations projectives de \(G_1\), et représentations dégénérées de \(G_2\) (pages 12 à 21)

Les dix pages de cette liasse sont écrites vite, sous des ratures en plusieurs couches ; la prose de liaison est souvent perdue et les démonstrations ne se lisent que par fragments. On donne les énoncés, qui passent, et ce qu'on lit des preuves.

12–13

Les représentations dégénérées (pages 12 et 13)

Proposition (page 12). Soient \(k\) un corps algébriquement clos, \(X\) une droite projective sur \(k\), \(G = \mathrm{Aut}(X)\), et \(\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in G(k)\) des involutions avec \(\tau_0\tau_2 = \tau_2\tau_0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• A)il existe un diviseur de degré \(2\) de \(X\) stable par les \(\tau_i\) ;
• A')les prolongements \(\tau_i^C\) au plan projectif \(C\) dont \(X\) est la conique laissent une droite invariante (en caractéristique \(\neq 2\) : un point invariant) ;
• B)les \(\tau_i\) sont dans un même sous-groupe \(H\) de \(G\) égal au normalisateur \(N(T)\) d'un tore maximal ou à un sous-groupe de Borel ;
• C')\(\varphi : G_2 \to G(k)\) se factorise par un quotient de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbf{Z}/2\) ;
• C'')\(\varphi\) se factorise par une extension d'un groupe commutatif par un groupe cyclique ;
• D)l'un des trois couples \((\tau_0, \tau_1)\), \((\tau_1, \tau_2)\), \((\rho_0, \rho_1)\) commute, c'est-à-dire \(\rho_0^2 = 1\) ou \(\rho_1^2 = 1\) ou \(\rho_0\rho_1 = \rho_1\rho_0\).

Ce sont les représentations dégénérées, ou diédrales : le groupe engendré est alors un \(\mathbb{D}_n\) (\(1 \leq n \leq \infty\)) ou un \(\mathbb{D}_n \times \mathbf{Z}/2\), et l'on n'a plus affaire à un polyèdre mais à un polygone¹⁷ .

Ce qu'on lit des démonstrations : A \(\Leftrightarrow\) A' par le dictionnaire entre \(X\) et \(C\) (diviseurs de degré \(2\) de \(X\) et droites de \(C\) — c'est le dictionnaire du dossier 82) ; A \(\Leftrightarrow\) B par les stabilisateurs des diviseurs de degré \(2\), qui sont \(N(T)\) (diviseur réduit) et \(B\) (point double) ; B \(\Rightarrow\) C, en utilisant que \(H(k)\) est un produit semi-direct \(\gamma \cdot U\), \(U\) commutatif, et que les \(\tau_i\) ont même image dans \(\gamma\) quand \((\tau_0, \tau_1)\) et \((\tau_1, \tau_2)\) ne commutent pas, de sorte que \(\rho_0, \rho_1 \in U\) commutent ; C \(\Rightarrow\) C' parce que les quotients de \(G_2\) par l'une des trois relations de D) sont tous isomorphes à \(\mathbf{Z}/2 \times \mathbb{D}_\infty\) ; C' \(\Rightarrow\) C'' par le sous-groupe cyclique \(\mathbb{D}_\infty^+\) ; C'' \(\Rightarrow\) A, le diviseur des points fixes d'un générateur \(u\) de ce sous-groupe cyclique étant stable par son normalisateur¹⁸ .

14–15

Les sous-groupes de \(\mathbb{D}_\infty\) (pages 14 et 15)

Lemme (page 14). Soit \(\mathbb{D}_\infty = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1\rangle\), \(u = \sigma_0\sigma_1\).

• a)Pour \(i \geq 0\), le sous-groupe \(N_i\) engendré par \(u^i\) est distingué, cyclique infini si \(i \neq 0\), trivial si \(i = 0\) ; le quotient est \(\mathbb{D}_i = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = (\sigma_0\sigma_1)^i = 1\rangle\) (avec \(\mathbb{D}_0 = \mathbb{D}_\infty\)).
• b)Pour \(i \geq 0\) et \(j \in \mathbf{Z}/i\mathbf{Z}\), le sous-groupe \(N_{i,j}\) engendré par \(u^i\) et \(\sigma_0 u^{j'}\) (\(j' \equiv j\)) est isomorphe à \(\mathbb{D}_\infty\) si \(i \neq 0\), à \(\mathbf{Z}/2\) si \(i = 0\) ; il est distingué si et seulement si \(\mathbb{D}_i\) est commutatif, c'est-à-dire \(i \in \{1, 2\}\) ; il contient un conjugué de \(\sigma_0\) si et seulement si \(j \in 2\mathbf{Z}/i\mathbf{Z}\), un conjugué de \(\sigma_1\) si et seulement si \(j + 1 \in 2\mathbf{Z}/i\mathbf{Z}\).
• c)Les \(N_i\), \(N_{i,j}\) sont deux à deux distincts, et ce sont tous les sous-groupes de \(\mathbb{D}_\infty\). Par exemple \(\{1\} = N_0\), \(\mathbb{D}_\infty = N_{1,0}\).

Corollaire 1. Les quotients de \(\mathbb{D}_\infty\) sont, à isomorphisme près, les \(\mathbb{D}_i\) (\(1 \leq i \leq \infty\)) et le groupe trivial. Corollaire 2. Les quotients de \(\mathbb{D}_\infty \times \mathbf{Z}/2\) sont les \(\mathbb{D}_i \times \mathbf{Z}/2\) et les \(\mathbb{D}_i\) ; et \(\mathbb{D}_i \times \mathbf{Z}/2 \simeq \mathbb{D}_{2i}\) pour \(i\) impair¹⁹ .

15–16

Les diédraux de \(\mathrm{PGL}_2(k)\) (pages 15 et 16)

Proposition (page 15). Soient \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\) et \(i \in \mathbf{N}\). Il existe un plongement \(\mathbb{D}_i \hookrightarrow \mathrm{PGL}_2(k)\) dans les cas suivants, et dans ceux-là seulement :

• a)si \(p = 0\), toujours ;
• b)si \(p > 0\) et \(i = 0\), si et seulement si \(k\) n'est pas algébrique sur \(\mathbf{F}_p\), c'est-à-dire si \(k^\times\) a un élément d'ordre infini ;
• c)si \(p > 0\) et \(i \geq 2\), si et seulement si \(p \nmid i\) ou \(i = p\).

La raison : les éléments d'ordre fini de \(\mathrm{PGL}_2(k)\) sont les semi-simples, d'ordre premier à \(p\), et les unipotents \(\neq 1\), d'ordre \(p\) (page 16) ; dans l'autre sens on place \(\mathbb{D}_i\) dans le normalisateur d'un tore, ou, pour \(i = p\), dans un Borel, avec le cas particulier \(\mathbb{D}_2 \subset U\) en caractéristique \(2\)²⁰ .

16–20

Représentations de \(\mathbb{D}_\infty\) : le groupe \(\mathcal{U}_\rho\) (pages 16 à 20)

On s'intéresse aux représentations \(\varphi : \mathbb{D}_\infty \to G(S)\), \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2\) ; on pose \(t_i = \varphi(\tau_i)\), \(u = \varphi(\tau_0\tau_1)\), et l'on se borne d'abord aux \(\varphi\) telles qu'en tout point \(u_s^2 \neq 1\), c'est-à-dire que \(\varphi_s\) ne se factorise pas par \(\mathbb{D}_2\), ou encore que \(t_{0,s}\) et \(t_{1,s}\) ne commutent pas. Ce sont les polygones réguliers projectifs du dossier 78, et la condition dit que \(\beta = \alpha + 2\) est inversible²¹ .

Pour une section \(\rho\) de \(\mathcal{O}_S\), soit \(\mathcal{U}_\rho\) le schéma en groupes lisse de dimension relative \(1\) formé des \(\lambda\) tels que \(1 + \lambda\rho\) soit inversible, avec la loi \[ [\lambda] \cdot [\lambda'] = [\lambda + \lambda' + \lambda\lambda'\rho] . \] L'application \(\lambda \mapsto 1 + \lambda\rho\) en est un homomorphisme vers \(\mathbb{G}_m\) ; c'est un isomorphisme si \(\rho\) est inversible, et pour \(\rho = 0\) la loi est l'addition. C'est le groupe \(\mathcal{U}_\rho\) du dossier 72, qui déforme \(\mathbb{G}_m\) en \(\mathbb{G}_a\)²² .

Théorème (page 17). Soit \(C\) la catégorie des \((G, \varphi)\), \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2\) sur \(S\), \(\varphi : \mathbb{D}_\infty \to G(S)\) avec \(u_s^2 \neq 1\) en tout point. Soit \(C'\) la catégorie des couples \((\alpha, R)\), où \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) est tel que \(\alpha + 2\) soit inversible et \(R\) est un torseur sous \(\mathcal{U}_{2-\alpha}\). Pour chaque \(\alpha\), il y a une représentation « privilégiée » \((G_\alpha, \varphi_\alpha)\) d'invariant \(\alpha\), avec \(G_\alpha = \mathrm{Aut}(X_\alpha, Q_\alpha)\), et un isomorphisme \(\mathcal{U}_{2-\alpha} \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}(G_\alpha, \varphi_\alpha)\) ; tordre par \(R\) donne un foncteur \(C' \to C\), \((\alpha, R) \mapsto (G_\alpha^R, \varphi_\alpha^R)\), et c'est une équivalence. Le quasi-inverse associe à \((G, \varphi)\) l'invariant \(\alpha\) de \(u\) et le faisceau \(R = H_1 \setminus \{c, d\}\), torseur sous \(\mathcal{U}_{2-\alpha} \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi)\)²³ .

On a \(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) \simeq {}_2\mathcal{U}_\rho\), le sous-groupe des points d'ordre divisant \(2\), \(\rho = 2 - \alpha\) (page 19) : le centralisateur de \(\varphi(\mathbb{D}_\infty)\) est formé des éléments de l'image de \(\mathcal{U}_\rho\) que \(t_0\) inverse et fixe à la fois.

Corollaire 1. Si \(\rho = 2 - \alpha\) est inversible, \(\mathcal{U}_\rho \xrightarrow{\sim} \mathbb{G}_m\) par \(\lambda \mapsto 1 + \lambda\rho\) ; son image \(T\) dans \(G\) est l'unique tore maximal contenant \(u\), et \(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = {}_2T \simeq \mu_2\).

Corollaire 2. Si \(\rho = 0\), c'est-à-dire \(\alpha = 2\), \(\mathcal{U}_\rho \simeq \mathbb{G}_a\), son image \(U\) est un sous-groupe unipotent maximal contenant \(u\), et \(\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) = \{1\}\), car \(2\) est alors inversible²⁴ .

Corollaire 3. Pour un groupe \(\gamma\) et \(\Gamma = \mathbb{D}_\infty \times \gamma\), la catégorie des \((G, \varphi : \Gamma \to G(S))\) à restriction non dégénérée est équivalente à celle des triples \((\alpha, R, \varphi_0)\), \(\alpha + 2\) inversible, \(R\) torseur sous \(\mathcal{U}_\rho\), \(\varphi_0 : \gamma \to ({}_2\mathcal{U}_\rho)(S)\) un homomorphisme²⁵ .

Enfin la factorisation par un diédral fini (page 20) : pour \(n \geq 3\), \(\varphi\) se factorise par un monomorphisme \(\mathbb{D}_n \hookrightarrow G\) (c'est-à-dire \(u^n = 1\) et \(u_s\) d'ordre exactement \(n\) en tout point) si et seulement si \(\Psi_n(\alpha) = 0\) et \(n\) est inversible sur \(S\) ou premier²⁶ . C'est l'énoncé du corollaire des pages 6 et 7 pour les polygones.

21–21

\(\mathbb{D}_i \times \mathbf{Z}/2\) dans \(\mathrm{PGL}_2(k)\) (page 21)

Corollaire (page 21). Soient \(k\) algébriquement clos et \(i \geq 0\) pair. Il existe un homomorphisme injectif \(\mathbb{D}_i \times \mathbf{Z}/2 \to \mathrm{PGL}_2(k)\) :

• a)pour \(i = 2\) (le groupe \((\mathbf{Z}/2)^3\)), si et seulement si \(\mathrm{car}\, k = 2\) ;
• b)pour \(i = 0\), si et seulement si \(\mathrm{car}\, k = 0\), ou \(\mathrm{car}\, k = p > 2\) et \(k\) non algébrique sur \(\mathbf{F}_p\)²⁷ ;
• c)pour \(i \geq 4\), jamais.

Pour c), l'argument de la page : \(\mathbb{D}_i\) se plonge si \(p \nmid i\), et alors \(\alpha \neq 2\), \(\rho \neq 0\), le centralisateur \(\mathrm{Aut}(G, \varphi|\mathbb{D}_i) \simeq \mu_2\) est engendré par \(u^{i/2}\), qui est déjà dans \(\mathbb{D}_i\) : le facteur \(\mathbf{Z}/2\) ne peut s'envoyer injectivement²⁸ .

23–31

IV. Invariants d'automorphismes d'une droite projective (pages 23 à 31)

Cette liasse est le chapitre de fondations que les sections II et III supposent.

23–24

L'invariant \(A\) (pages 23 et 24)

Soit \(G\) une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) ou de \(\mathrm{SL}_2\) sur \(S\) — un schéma en groupes semi-simple de rang \(1\). Le foncteur des fonctions centrales, \[ \mathbf{I}(G) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sch}}(G, \mathbb{A}^1_S)^{G} \] (\(G\) agissant par automorphismes intérieurs), est représentable, et il y a un isomorphisme canonique \(A : \mathbf{I}(G) \xrightarrow{\sim} \mathbb{A}^1_S\) ; autrement dit, l'anneau des fonctions centrales est \(\mathcal{O}_S[A]\), et \(A : G \to \mathbb{A}^1_S\) est le quotient adjoint. Il est caractérisé par la propriété : pour tout monomorphisme \(i : \mathbb{G}_m \to G\), et après tout changement de base, \[ A(i(\lambda)) = \lambda + \lambda^{-1} . \] Pour \(\mathrm{SL}_2\), \(A\) est la trace ; pour \(\mathrm{PGL}_2\), c'est \((\mathrm{Tr}\, v)^2/\det v - 2\) pour un relèvement \(v \in \mathrm{GL}_2\) (page 27)²⁹ .

Valeurs remarquables :

• \(A(1) = 2\) ;
• si \(\sigma^2 = 1\) et \(\sigma_s \neq 1\) en tout point (une « réflexion » de \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2\)), \(A(\sigma) = -2\) : clair si \(2\) est inversible, car \(\sigma\) est alors dans un tore maximal, avec \(\lambda = -1\) ; en général « par un argument de coefficients universels » ;
• si \(u\) est unipotent, c'est-à-dire s'il existe localement pour la topologie fpqc un monomorphisme \(i : \mathrm{Aff}(1) = \mathbb{G}_m \ltimes \mathbb{G}_a \to G\) et une section \(t\) de \(\mathbb{G}_a\) avec \(u = i(t)\), alors \(A(u) = 2\). Plus généralement \(A(i(\lambda, t)) = \lambda + \lambda^{-1}\) : la fonction \(f(\lambda, t) = A(i(\lambda, t))\) vaut \(\lambda + \lambda^{-1}\) pour \(t = 0\), est invariante par conjugaison, et \((0, t)(\lambda, 0)(0, -t) = (\lambda, (\lambda^{-1} - 1)t)\) ; donc \(f(\lambda, s) = \lambda + \lambda^{-1}\) dès que \(\lambda^{-1} - 1\) est inversible, et partout par prolongement.

La condition \(A(u) = 2\) est donc nécessaire pour que \(u\) soit unipotent ; elle est suffisante sur un corps (tout élément est dans un Borel) ; « j'ignore ce qui en est dans le cas général »³⁰ .

25–26

L'invariant détecte la conjugaison (pages 25 et 26)

Proposition (page 25). Soient \(u, u'\) deux sections de \(G\), et supposons \((A(u) - 2)(A(u) + 2)\) inversible — c'est-à-dire \(u_s^2\) non unipotent en tout point. Pour que \(u\) et \(u'\) soient conjugués localement pour la topologie fpqc (et même étale), il faut et il suffit que \(A(u) = A(u')\). Si \(S\) est le spectre d'un corps et \(u, u'\) non centraux, la conclusion vaut sans restriction sur \(A(u)\).

Démonstration. L'hypothèse place \(u\) et \(u'\) chacun dans un unique tore maximal ; par conjugaison des tores et localisation, c'est le même, et c'est \(\mathbb{G}_m\). Alors \(u, u'\) sont des sections \(\lambda, \lambda'\) de \(\mathbb{G}_m\) avec \(\lambda + \lambda^{-1} = \lambda' + \lambda'^{-1} = \alpha\) : ce sont deux racines de \(t^2 - \alpha t + 1 = 0\), de discriminant \((\alpha - 2)(\alpha + 2)\) inversible ; l'équation définit un revêtement étale de degré \(2\) de \(S\), et localement \(\lambda' = \lambda\) ou \(\lambda' = \lambda^{-1}\), conjugués par l'involution de \(N(T)\)³¹ .

Aux points où \(\alpha = \pm 2\) l'énoncé tombe, et la page 26 en donne la raison par un calcul infinitésimal. Soit \(A\) un anneau artinien local de corps résiduel \(k\), \(\lambda \equiv -1\), et \(\lambda' = \lambda + \mu\) avec \(\mathfrak{m}\mu = 0\). Alors \(\lambda'^{-1} = \lambda^{-1} - \mu\) et \(\lambda' + \lambda'^{-1} = \lambda + \lambda^{-1}\) quel que soit \(\mu\), alors que \(\lambda' \in \{\lambda, \lambda^{-1}\}\) n'admet que les deux valeurs \(\mu = 0\) et \(\mu = \lambda^{-1} - \lambda\). Dès que \(k\) a plus de deux éléments, on trouve donc \(\lambda'\) de même invariant que \(\lambda\) sans être égal à \(\lambda^{\pm 1}\)³² .

27–28

Changer de groupe : \(S_n\), \(\mathrm{SL}_2 \to \mathrm{PGL}_2\), \(\mathrm{GL}_2\) (pages 27 et 28)

Remarque (page 27). Si \(j : \mathbb{G}_m \to G\) a pour noyau \(\mu_n\), il se factorise par \(\lambda \mapsto \lambda^n\) suivi d'un monomorphisme, et \[ A(j(\lambda)) = \lambda^n + \lambda^{-n} = S_n(\lambda + \lambda^{-1}), \] \(S_n \in \mathbf{Z}[U]\) unitaire de degré \(n\), l'unique polynôme tel que \(S_n(T + T^{-1}) = T^n + T^{-n}\) dans \(\mathbf{Z}[T, T^{-1}]^{\sigma} = \mathbf{Z}[U]\), \(\sigma(T) = T^{-1}\) ; c'est le polynôme de Tchebychev normalisé, \(S_n(2\cos\theta) = 2\cos n\theta\)³³ . Exemples :

• pour \(p : \widetilde{G} \to G = \widetilde{G}/\mu_2\), \(\widetilde{G}\) forme de \(\mathrm{SL}_2\), et toute section \(u\) de \(\widetilde{G}\) : \(A(u) = \mathrm{Tr}\, u\) et \(A(p(u)) = A(u)^2 - 2\) ;
• pour \(V\) localement libre de rang \(2\), \(u \in \mathrm{GL}(V)\) et \(u_C\) l'automorphisme induit de \(C = \mathbb{P}(V)\) : \[ A(u_C) = \frac{(\mathrm{Tr}\, u)^2}{\det u} - 2 , \] ce qui se ramène au cas précédent en écrivant localement \(u = tv\), \(t\) une unité, \(v \in \mathrm{SL}(V)\). Si les valeurs propres de \(u\) sont \(\lambda_1, \lambda_2\), \(A(u_C) = \lambda_1/\lambda_2 + \lambda_2/\lambda_1\) ; pour une pseudo-réflexion de déterminant \(\lambda\) (valeurs propres \(\lambda\) et \(1\)), \(A = \lambda + \lambda^{-1}\), ce qu'on voit aussi en l'insérant dans la famille à un paramètre \(\mathbb{G}_m \hookrightarrow \mathrm{GL}(V) \to \underline{\mathrm{Aut}}_C\).

Ce dernier calcul est celui dont se servira la section VII, où \(\kappa\) est l'invariant du produit de deux pseudo-réflexions.

28–29

Les involutions (pages 28 et 29)

Proposition (page 28). Soit \(u\) une section de \(G\) avec \(u_s \neq 1\) en tout point et \(u^2 = 1\) ; si \(G\) est une forme de \(\mathrm{SL}_2\), on suppose les caractéristiques résiduelles \(\neq 2\). Alors \(A(u) = -2\).

Pour une forme de \(\mathrm{PGL}_2\), \(u\) est dans un unique tore maximal, où il correspond à \(-1\), et le résultat vaut sans restriction de caractéristique parce que le schéma des réflexions de \(\mathrm{PGL}_{2,\mathbf{Z}}\) est lisse sur \(\mathbf{Z}\). Pour \(\mathrm{SL}(V)\), Cayley–Hamilton donne \(u^2 - (\mathrm{Tr}\, u) u + 1 = 0\), donc \(u^2 = 1\) équivaut à \((\mathrm{Tr}\, u)u = 2\) ; en caractéristique \(\neq 2\) cela force \(u_s\) scalaire, \(u_s = -1\), et \(\mathrm{Tr}\, u = -2\)³⁴ .

29–31

L'ordre d'un élément, lu sur son invariant (pages 29 à 31)

Soient \(F_n\) et \(\Psi_n \in \mathbf{Z}[U]\) les polynômes unitaires dont les racines sont les \(\zeta + \zeta^{-1}\), \(\zeta\) parcourant respectivement les racines \(n\)-ièmes de l'unité autres que \(\pm 1\) (chaque paire \(\{\zeta, \zeta^{-1}\}\) une fois) et les racines primitives \(n\)-ièmes ; on a \(F_n = \prod_{d \mid n,\, d \geq 3} \Psi_d\), et \(\Psi_n\) est le polynôme minimal de \(2\cos\frac{2\pi}{n}\) (dossier 78).

Proposition (page 29). Soient \(G\) une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) ou de \(\mathrm{SL}_2\), \(u\) une section de \(G\), \(\alpha = A(u)\), \(n \geq 3\), et supposons \((\alpha + 2)(\alpha - 2)\) inversible. Alors :

• 1°)\(u^n = 1\) si et seulement si \(F_n(\alpha) = 0\) ;
• 2°)\(u^n = 1\) et \(u_s\) d'ordre exactement \(n\) en tout point si et seulement si \(\Psi_n(\alpha) = 0\) et \(n\) est inversible sur \(S\).

Le principe : \(u\) est dans un unique tore maximal \(T \simeq \mathbb{G}_m\), correspond à une section \(\lambda\), \(\alpha = \lambda + \lambda^{-1}\), et l'on est ramené au calcul : \(F_n(\lambda + \lambda^{-1})\) est, au produit près par une puissance de \(\lambda\), \((\lambda^n - 1)/(\lambda^{\epsilon} - 1)\), \(\epsilon \in \{1, 2\}\) selon la parité de \(n\), où \(\lambda^{\epsilon} - 1\) est inversible par hypothèse³⁵ .

Corollaires (page 30). Si les caractéristiques résiduelles sont \(\neq 3\) (resp. \(\neq 2, 3\)), \(u\) est d'ordre exactement \(3\) (resp. \(6\)) en tout point si et seulement si \(\alpha = -1\) (resp. \(\alpha = 1\)). Si elles sont \(\neq 2\), d'ordre \(4\) si et seulement si \(\alpha = 0\). Si elles sont \(\neq 5\), d'ordre \(5\) si et seulement si \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\)³⁶ .

Les ordres dans \(\mathrm{SL}_2(k)\) (pages 30 et 31). L'ordre d'un élément de \(\mathrm{SL}_2(k)\), \(k\) un corps de caractéristique \(p\), est infini, ou un entier premier à \(p\) (semi-simple), ou \(p\) (unipotent \(\neq 1\)), ou \(2p\) avec \(p\) impair (\(-1\) fois un unipotent \(\neq 1\)). Pour \(u\) non central, la valeur de \(\alpha\) détermine la classe de conjugaison localement, et, en notant \(\zeta\) une racine de \(\zeta^2 - \alpha\zeta + 1\) dans \(\bar k\) : en caractéristique \(0\), \(u\) est d'ordre fini si et seulement si \(\Psi_n(\alpha) = 0\) pour un \(n \geq 3\) ; en caractéristique \(p > 0\), si et seulement si \(\alpha\) est algébrique sur \(\mathbf{F}_p\), si et seulement si \(\Psi_n(\alpha) = 0\) pour un \(n\) premier à \(p\), égal à \(p\) ou à \(2p\) — et cet \(n\), pris \(\geq 3\) ou égal à \(p\), \(2p\), est alors l'ordre de \(u\)³⁷ .

Théorème (page 31). Soient \(\widetilde{G}\) une forme de \(\mathrm{SL}_2\) sur \(S\), \(u\) une section de \(\widetilde{G}\) nulle part centrale, \(\alpha = A(u)\), \(n \geq 3\), et \[ (*) \qquad u^n = 1 \quad \text{et} \quad u_s \text{ d'ordre exactement } n \text{ pour tout } s \in S . \]

• A)Si \(n\) n'est ni un premier impair \(p\), ni le double \(2p\) d'un tel premier, \((*)\) équivaut à : \(\Psi_n(\alpha) = 0\) et \(n\) inversible sur \(S\).
• B)Si \(n = 2p\), \(p\) premier impair, \((*)\) équivaut à : \(\Psi_n(\alpha) = 0\) et \(2\) inversible sur \(S\).
• C)Si \(n = p\) premier impair, \((*)\) équivaut à : \(\Psi_p(\alpha) = 0\).

Ces conditions entraînent \(\alpha^2 - 4\) inversible, sauf en B) et C) aux points de caractéristique \(p\), où \(\alpha_s = -2\) (cas B) ou \(\alpha_s = +2\) (cas C).

Grothendieck marque B) et C) « à vérifier » et C) « peut-être faux ». L'hypothèse « nulle part central », qui est celle de la marge de la page 31, les rend justes, en tout cas sur une base réduite. Le sens « \(\Leftarrow\) » vaut même sur toute base, par un argument universel : dans \(\mathrm{SL}_2\), pour tout \(n\), \(u^n = S'_{n-1}(\alpha)\, u - S'_{n-2}(\alpha)\), où \(S'_m\) est le polynôme de Tchebychev de deuxième espèce normalisé (\(S'_m(\lambda + \lambda^{-1}) = (\lambda^{m+1} - \lambda^{-m-1})/(\lambda - \lambda^{-1})\)) ; \(F_n\) divise \(S'_{n-1}\) et \(S'_{n-2} + 1\) dans \(\mathbf{Z}[U]\) (c'est vrai sur les racines, et \(F_n\) est unitaire séparable), donc \(F_n(\alpha) = 0\) entraîne \(u^n = 1\) sur toute base. Pour C), \(F_p = \Psi_p\) et \(\Psi_p(2) = p\) : aux points de caractéristique \(\neq p\), \(u_s \neq 1\), et aux points de caractéristique \(p\), \(u_s\) est unipotent et non trivial ; il est d'ordre \(p\) partout. Pour B), on remplace \(u\) par \(-u\), puisque \(\Psi_{2p}(U) = \Psi_p(-U)\), et \(u_s \neq \pm 1\), \(2\) inversible, donnent l'ordre \(2p\) exactement. Pour A), \(n\) inversible rend \(\Psi_n\) séparable sur chaque fibre. Le sens « \(\Rightarrow\) » se vérifie fibre à fibre, ce qui suffit sur une base réduite ; sur une base non réduite, cette lecture ne l'a pas vérifié³⁸ .

33–40

V. Sous-groupes finis de \(\mathrm{PGL}_2\) (pages 33 à 40)

33–33

La liste, en caractéristique \(0\) (page 33)

Soit \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(0\), \(G = \mathrm{PGL}_2(k)\).

Théorème (page 33). a) Deux sous-groupes finis de \(G\) sont conjugués si et seulement s'ils sont isomorphes. b) Les types d'isomorphie de sous-groupes finis de \(G\) sont \(\mathbf{Z}/n\) (\(n \geq 1\)), \(\mathbb{D}_n\) (\(n \geq 2\)), \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) — « exactement les types des groupes d'automorphismes des cartes orientées régulières sphériques ! ». c) Chacun est son propre normalisateur, sauf \(\mathbf{Z}/n\), \(\mathbb{D}_2\), \(\mathfrak{A}_4\) (et, voir plus bas, \(\mathbb{D}_n\)), avec, pour ceux-là : \[ \mathcal{N}(\mathbf{Z}/n) = \mathcal{N}(T), \qquad \mathcal{N}(\mathbb{D}_2) \simeq \mathfrak{S}_4, \qquad \mathcal{N}(\mathfrak{A}_4) = \mathfrak{S}_4 , \] \(\mathcal{N}(\mathbb{D}_2)/\mathfrak{Z}(\mathbb{D}_2) \simeq \mathrm{Aut}(\mathbb{D}_2) \simeq \mathfrak{S}_3\) et \(\mathcal{N}(\mathfrak{A}_4) = \mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4)\)³⁹ .

Puis, pour toute carte orientée finie sphérique connexe \(C\), la réalisation topologique donne un foncteur de groupoïdes de \(C\) vers la catégorie des « cartes holomorphes sphériques », puis vers celle des couples \((G, \Gamma)\), \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2(\mathbf{C})\), \(\Gamma\) sous-groupe fini : une carte régulière de la sphère, une fois rendue holomorphe, voit son groupe d'automorphismes devenir un sous-groupe fini de \(\mathrm{PGL}_2(\mathbf{C})\). C'est le lien entre ce dossier et les dossiers 76 et 88.

34–37

Normalisateurs, et les catégories de couples \((G, \Gamma)\) (pages 34 à 37)

Dans chaque cas on décrit le centralisateur \(\mathfrak{Z}(\Gamma)\), le normalisateur \(\mathcal{N}(\Gamma)\), qui est le groupe \(\mathrm{Aut}(G, \Gamma)\) des automorphismes du couple (tout automorphisme d'une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) étant intérieur), et le quotient \(\mathcal{N}/\mathfrak{Z}\), qui s'envoie dans \(\mathrm{Aut}(\Gamma)\).

1) \(\Gamma \simeq \mathbf{Z}/n\), \(n \geq 2\). \(\Gamma\) est contenu dans un unique tore maximal \(T\), et \(\Gamma = {}_nT\) ; les applications \(\Gamma \mapsto T\), \(T \mapsto {}_nT\) sont des bijections inverses entre tores maximaux et sous-groupes cycliques d'ordre \(n\). Pour \(n \geq 3\), \(T = \mathfrak{Z}(\Gamma)\), \(\mathcal{N}(\Gamma) = \mathcal{N}(T)\) et \(\mathcal{N}/\mathfrak{Z} \simeq \mathbf{Z}/2\)⁴⁰ .

2) \(\Gamma = \mathbb{D}_n\), \(n \geq 3\). Soit \(\Gamma^+ \simeq \mathbf{Z}/n\) le sous-groupe d'indice \(2\), \(T\) l'unique tore maximal qui le contient. Alors \(\mathfrak{Z}(\Gamma) = {}_2T \simeq \{\pm 1\}\), et \[ \mathcal{N}(\Gamma) = {}_{2n}T \rtimes \langle\sigma\rangle \simeq \mathbb{D}_{2n} , \] quel que soit \(n\) : un élément \(t\) de \(T\) normalise \(\Gamma\) si et seulement si \(t\sigma t^{-1} = t^2\sigma \in \Gamma\), c'est-à-dire \(t^2 \in {}_nT\). Le quotient \(\mathcal{N}/\mathfrak{Z} \simeq \mathbb{D}_n\) s'envoie dans \(\mathrm{Aut}(\mathbb{D}_n) \simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbf{Z}/n)\)⁴¹ .

3) \(\Gamma = \mathbb{D}_2 \simeq (\mathbf{Z}/2)^2\). \(\mathfrak{Z}(\Gamma) = \Gamma\), \(\mathcal{N}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_4\) est l'unique sous-groupe de type \(\mathfrak{S}_4\) contenant \(\Gamma\), et \(\Gamma\) est l'unique sous-groupe distingué d'ordre \(4\) de \(\mathcal{N}(\Gamma)\) : d'où une bijection entre sous-groupes de type \(\mathbb{D}_2\) et sous-groupes de type \(\mathfrak{S}_4\) ; \(\mathcal{N}/\mathfrak{Z} \simeq \mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_3\).

4) et 5) \(\Gamma \simeq \mathfrak{A}_4\) ou \(\mathfrak{S}_4\). \(\mathfrak{Z}(\Gamma) = 1\), \(\mathcal{N}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_4 \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(\Gamma)\).

6) \(\Gamma \simeq \mathfrak{A}_5\) (page 37). \(\mathfrak{Z}(\Gamma) = 1\), \(\mathcal{N}(\Gamma) = \Gamma\), d'indice \(2\) dans \(\mathrm{Aut}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_5\)⁴² .

Ces calculs donnent, sur une base \(S\) de caractéristique \(0\), des « corollaires principaux » : la catégorie des couples \((G, \Gamma)\), \(G\) forme de \(\mathrm{PGL}_2\), \(\Gamma \subset G\) forme d'un groupe fini donné, est une gerbe, la gerbe des torseurs sous le normalisateur du couple standard.

• Pour \(\Gamma\) forme de \(\mathbb{D}_2\), de \(\mathfrak{A}_4\) ou de \(\mathfrak{S}_4\) (pages 34 et 35) : elle équivaut à la catégorie des torseurs sous \(\mathfrak{S}_4\), ou des revêtements étales de degré \(4\) de \(S\), ou des tétraèdres sur \(S\), ou des octaèdres orientés, ou des formes de \(\mathfrak{A}_4\), ou de \(\mathfrak{S}_4\) ; et les sous-groupes de ces trois types contenus dans un \(G\) fixé se correspondent.
• Pour \(\Gamma\) forme de \(\mathbb{D}_n\), \(n \geq 3\) : avec le normalisateur corrigé, ce sont les torseurs sous \(\mathbb{D}_{2n}\), pour tout \(n\)⁴³ .
• Pour \(\Gamma\) cyclique d'ordre \(n \geq 2\), la page conclut à « une […] de rang \(2\) sur \(S\) », que l'on ne lit pas : le normalisateur est \(\mathcal{N}(T)\), non fini, et la gerbe est celle des torseurs sous \(\mathcal{N}(T)\).

Modèles sur \(\mathbf{Q}\) (pages 36 et 37). Chaque gerbe a un représentant canonique défini sur \(\mathbf{Q}\) : \(\mu_n\) et \(\mathbf{Z}/2 \ltimes \mu_n\) agissant sur \(\widehat{\mathbb{G}}_{m,\mathbf{Q}} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbf{Q}}\) — tous plongés dans \(\mathbf{Z}/2 \ltimes \mathbb{G}_m\), normalisateur du tore standard de \(\mathrm{PGL}_{2,\mathbf{Q}}\) ; puis le normalisateur dans \(\mathrm{PGL}_2\) du \(\mathbb{D}_2\) standard, qui est une forme de \(\mathfrak{S}_4\), « (tordue ?) ». Elle l'est : aucun \(\mathrm{PGL}_2(K)\) ne contient \(\mathfrak{S}_4\) si \(-1\) n'est pas somme de deux carrés dans \(K\)⁴⁴ .

Une remarque, reprise en « ReNB » : sur un corps \(k\) et pour \(n\) donné, sont équivalents a) \(\Psi_n\) a une racine dans \(k\) ; b) il existe une forme non tordue de \(\mathbf{Z}/n\) dans une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) ; c) de même avec \(\mathbb{D}_n\). Sur \(\mathbf{Q}\), cela n'arrive que pour \(n \in \{2, 3, 4, 6\}\)⁴⁵ .

Pour \(\Gamma \simeq \mathfrak{A}_5\) (page 37) : une fois choisi un couple de référence \((G_0, \Gamma_0)\) sur \(\mathbf{Q}\), se donner \((G \supset \Gamma)\) sur \(S\) de caractéristique \(0\) revient à se donner un torseur sous \(\Gamma_0\), une forme intérieure ; si \(\Gamma_0 \simeq \mathfrak{A}_5\) constant, cela revient à un revêtement de degré \(5\) de \(S\) muni d'une trivialisation du revêtement quadratique de ses orientations. Il existe sur \(k\) une forme non tordue de \(\mathfrak{A}_5\) dans une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) si et seulement si \(T^2 + T - 1\) a ses racines dans \(k\)⁴⁶ . Sur un \(k\) muni d'une racine \(\alpha\), un plongement de \(\mathfrak{A}_5\) est défini à isomorphisme unique près par la condition que l'invariant d'un \(5\)-cycle standard soit \(\alpha\) ; on peut prendre \(k = k_0 = \mathbf{Q}[T]/(T^2 + T - 1)\), et sur les \(k_0\)-schémas la donnée de \((G \supset \Gamma)\) équivaut à celle d'un torseur sous \(\mathfrak{A}_5\).

38–39

Formes de \(\mathbb{D}_n\) (pages 38 et 39)

Soit \(\Gamma\) un groupe admettant un sous-groupe \(\Gamma^+\) tel que : a) \(\Gamma^+\) est d'indice \(2\) ; b) \(\Gamma^+\) est commutatif ; c) \(\Gamma/\Gamma^+\) agit sur \(\Gamma^+\) par \(x \mapsto -x\) ; d) l'extension est scindée ; e) \(\Gamma^+ \setminus {}_2\Gamma^+\) engendre \(\Gamma^+\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui un groupe diédral généralisé \(\mathrm{Dih}(\Gamma^+)\). Alors \(\Gamma^- = \Gamma \setminus \Gamma^+\) est formé d'involutions, \({}_2\Gamma = \Gamma^- \amalg {}_2\Gamma^+\), et \[ \Gamma^+ = \text{le sous-groupe engendré par } \Gamma \setminus {}_2\Gamma , \] de sorte que \(\Gamma^+\) est déterminé par \(\Gamma\). De plus \(\Gamma^-\) est un torseur sous \(\Gamma^+\), et la multiplication de \(\Gamma\) se reconstruit à partir de celle de \(\Gamma^+\) et de cette structure de torseur : sur \(\Gamma^+ \times \Gamma^+\) c'est celle de \(\Gamma^+\) ; sur \(\Gamma^- \times \Gamma^-\), \(\sigma\sigma'\) est l'élément de \(\Gamma^+\) qui envoie \(\sigma'\) sur \(\sigma\) ; sur \(\Gamma^+ \times \Gamma^-\) c'est l'action du torseur ; et \(\sigma v = (-v)\sigma\)⁴⁷ .

Inversement, un groupe abélien \(\Gamma^+\) et un torseur \(\Gamma^-\) sous lui définissent ainsi un groupe : on obtient une équivalence entre la catégorie des torseurs sous des groupes abéliens et celle des extensions « diédrales » scindées de \(\mathbf{Z}/2\) par des groupes abéliens, pleinement fidèle, sur les couples satisfaisant e), vers les groupes du début.

Proposition (page 39). Pour \(n \geq 3\), la gerbe des formes de \(\mathbb{D}_n\) est équivalente à la gerbe des droites affines sur l'anneau \(\mathbf{Z}/n\) ; en particulier \(\mathrm{Aut}(\mathbb{D}_n) \simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbf{Z}/n) \simeq (\mathbf{Z}/n)^\times \ltimes \mathbf{Z}/n\)⁴⁸ .

40–40

Le groupe de l'icosaèdre sur \(\mathbf{Z}\) (page 40)

Théorème (page 40). Soit \(S\) un schéma quelconque. Pour toute forme \(G\) de \(\mathrm{PGL}_{2,S}\) et tout monomorphisme \(\varphi : \mathfrak{A}_{5,S} \hookrightarrow G\), posons \(\alpha(\varphi) = A(\varphi(\pi))\), \(\pi\) le \(5\)-cycle standard. Alors le foncteur \((G, \varphi) \mapsto \alpha(\varphi)\), du groupoïde des \((G, \varphi)\) vers la catégorie discrète des \(\alpha \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) tels que \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\), est une équivalence. Autrement dit le groupoïde est rigide, et le foncteur des classes d'isomorphisme est représentable par \[ M = \mathrm{Spec}\, \mathbf{Z}[T]/(T^2 + T - 1) . \] Corollaire. Si \(u\) est un automorphisme intérieur de \(\mathfrak{A}_5\), \(\alpha(\varphi \circ u) = \alpha(\varphi)\) ; s'il n'est intérieur sur aucune fibre, \(\alpha(\varphi \circ u) = \alpha'(\varphi) = -1 - \alpha(\varphi) = -1/\alpha(\varphi)\).

En effet un automorphisme extérieur envoie \(\pi\) sur un conjugué de \(\pi^2\), et \(A(\pi^2) = S_2(\alpha) = \alpha^2 - 2 = -1 - \alpha\). C'est le théorème de la page 10 débarrassé du facteur \(\mathbf{Z}/2\)⁴⁹ .

42–56

VI. Systèmes de Schwarz dans \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) (pages 42 à 56)

Un système de Schwarz d'un groupe fini \(H\) est un triple \((\rho, \rho', \rho'') \in H^3\) de produit \(\rho\rho'\rho'' = 1\) qui engendre \(H\) ; son type numérique est le triple des ordres. C'est un homomorphisme surjectif du groupe \(\langle \ell_0, \ell_1, \ell_2 \mid \ell_0\ell_1\ell_2 = 1\rangle\) sur \(H\), c'est-à-dire, géométriquement, un revêtement galoisien de la sphère privée de trois points de groupe \(H\) (section IX)⁵⁰ .

42–42

Le tableau des types (page 42)

La page 42 dresse les types numériques de systèmes de Schwarz, en distinguant les deux classes de conjugaison d'éléments d'ordre \(3\) de \(\mathfrak{A}_4\) (notées \(3\), \(3'\)) et d'ordre \(5\) de \(\mathfrak{A}_5\) (\(5\), \(5'\)) :

• \(\mathfrak{A}_4\) (4 types) : \((3, 3', 2)\) et ses permutations circulaires (3 types), \((3, 3, 3)\) ;
• \(\mathfrak{S}_4\) (9 types) : les six permutations de \((4, 3, 2)\) (« standard ») et les trois de \((4, 4, 3)\) ;
• \(\mathfrak{A}_5\) (32 types) : les six permutations de \((5, 3, 2)\) (« standard \(\alpha\) ») et de \((5', 3, 2)\) ; \((5, 5, 3)\) et \((5', 5', 3)\) avec leurs permutations circulaires ; les six permutations de \((5, 5', 3)\) et de \((5, 5', 2)\) ; \((5, 5, 5)\) ; \((5', 5', 5')\).

Total \(45\), « ou 16 si on regarde modulo action de \(\mathfrak{S}_5\) ». La question posée en dessous : un système de Schwarz d'un groupe fini est-il déterminé, à conjugaison près, par la classe de conjugaison de chacun de ses termes ? « OK dans \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) — regarder groupes diédraux, et \(\mathfrak{S}_5\) ».

Les deux premières lignes sont exactes : \(\mathfrak{A}_4\) a \(96\) systèmes de Schwarz, en \(4\) classes sous \(\mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4) \simeq \mathfrak{S}_4\) ; \(\mathfrak{S}_4\) en a \(216\), en \(9\) classes. La troisième est incomplète : \(\mathfrak{A}_5\) a \(2280\) systèmes, en \(38\) classes sous \(\mathfrak{A}_5\) et \(19\) sous \(\mathfrak{S}_5\), et non \(32\) et \(16\) ; il manque le type \((3, 3, 5)\), avec ses permutations circulaires, en deux versions \((3, 3, 5)\) et \((3, 3, 5')\), soit six classes⁵¹ . L'omission se propage aux tables des pages 66 et 67 (section VII).

43–44

Formes de \(\mathfrak{A}_4\) et de \(\mathfrak{S}_4\) (pages 43 et 44)

Soit \(X\) une conique sur \(S\) de caractéristique \(0\) et \(\mathbb{A} = \underline{\mathrm{Aut}}(X)\). Les sous-groupes \(\Gamma^+ \subset \Gamma\) de \(\mathbb{A}\) qui sont des formes de \(\mathfrak{A}_4\) et de \(\mathfrak{S}_4\) se correspondent par \(\Gamma = \mathrm{Norm}_{\mathbb{A}}(\Gamma^+)\), \(\Gamma^+ = [\Gamma, \Gamma]\). Comme \(\mathrm{Aut}(\mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Aut}(\mathfrak{S}_4) \simeq \mathfrak{S}_4\), les catégories des formes de \(\mathfrak{A}_4\), des formes de \(\mathfrak{S}_4\) et des ensembles à quatre éléments sont équivalentes : à \(E\) on associe \(\mathfrak{S}_E\) et \(\mathfrak{A}_E\) ; à \(\Gamma^+\) son groupe d'automorphismes et l'ensemble de ses sous-groupes d'ordre \(3\) ; à \(\Gamma\) son groupe dérivé et l'ensemble de ses sous-groupes d'ordre \(6\). Donc sur \(S\) \[ \mathrm{Rev}_4(S) \simeq F(S, \mathfrak{S}_4) \simeq F(S, \mathfrak{A}_4) \simeq \mathrm{Tors}(\mathfrak{S}_{4,S}) \simeq \{\text{cubes orientés sur } S\} . \] Tout automorphisme de \(\mathbb{A}\) étant intérieur et le normalisateur étant \(\Gamma\) lui-même, \(\Gamma \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Aut}}(X, \Gamma) = \underline{\mathrm{Aut}}(X, \Gamma^+)\) ; la catégorie des couples \((X, \Gamma)\) est donc encore équivalente à celle des torseurs sous \(\mathfrak{S}_4\), des cubes orientés, des tétraèdres (non orientés). Dans ce dictionnaire, \(\Gamma\) est le groupe des automorphismes du tétraèdre ou des rotations du cube, \(\Gamma^+\) celui des automorphismes orientés du tétraèdre⁵² .

On s'intéresse alors aux systèmes \((\mathbb{A}, \mathbb{H}, \rho, \rho', \rho'')\) où \(\rho, \rho', \rho''\) sont des sections de \(\mathbb{A}\) de produit \(1\) qui engendrent un sous-groupe fini \(\mathbb{H}\) de type \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\) ou \(\mathfrak{A}_5\). Un automorphisme d'un tel système centralise \(\mathbb{H}\), donc est trivial : la catégorie est rigide, et ses objets sont uniques à isomorphisme unique près une fois fixée leur classe. Le but : trouver les systèmes de trois générateurs du groupe abstrait des automorphismes orientés du tétraèdre, du cube, de l'icosaèdre⁵³ .

45–48

L'action de \(\mathfrak{S}_3\) ; systèmes canoniques d'un polyèdre (pages 45 à 48)

Le premier invariant d'un système est son type numérique \((\nu, \nu', \nu'')\), avec \(2 \leq \nu, \nu', \nu'' \leq 3\), \(4\) ou \(5\) dans les cas I (\(\mathfrak{A}_4\)), II (\(\mathfrak{S}_4\)), III (\(\mathfrak{A}_5\)) ; le type contient \(3\), \(4\) ou \(5\) selon le cas, ce qui le reconnaît. Dans les cas I et II le système est déterminé par son type ; dans le cas III il faut distinguer les deux classes d'éléments d'ordre \(5\) (page 45).

Sur l'ensemble \(\mathrm{Tr}(H)\) des triples de produit \(1\) opère \(\mathfrak{S}_3\) : l'orbite de \((\rho, \rho', \rho'')\) est formée de ses trois permutations circulaires et des trois triples \((\rho''^{-1}, \rho'^{-1}, \rho^{-1})\), \((\rho'^{-1}, \rho^{-1}, \rho''^{-1})\), \((\rho^{-1}, \rho''^{-1}, \rho'^{-1})\). On veut savoir quels transformés d'un système lui sont isomorphes, l'isomorphie étant celle que définit le groupe ambiant \(\mathbb{A}\) : conjugaison par \(\mathfrak{S}_4\) (et non \(\mathfrak{A}_4\)) dans le cas I, automorphismes intérieurs dans les cas II et III, avec en III une classification plus grossière modulo \(\mathfrak{S}_5\) (page 46).

Soient \(\Pi\) un polyèdre combinatoire régulier orientable, \(H = \mathrm{Aut}^+(\Pi)\) et \(\widetilde H = \mathrm{Aut}(\Pi)\). L'orientation attache à chaque facette \(\varphi \in S \amalg A \amalg F\) (sommets, arêtes, faces) une rotation \(\rho_\varphi \in H\), et à chaque repère (drapeau) direct \(r = (s, a, f)\) le système \[ \Sigma_r = (\rho_f, \rho_s, \rho_a), \qquad \rho_f\rho_s\rho_a = 1, \quad \rho_a^2 = 1 , \] le système canonique ; les repères indirects donnent les systèmes anticanoniques, formés des inverses. \(\Sigma_r\) ne dépend pas d'une orientation choisie d'avance, puisque \(r\) en définit une. Les \(\Sigma_r\), \(r\) direct, sont conjugués entre eux sous \(H\) ; canoniques et anticanoniques le sont sous \(\widetilde H\), pas nécessairement sous \(H\) — il faut pour cela que \(\rho_s\) et \(\rho_s^{-1}\) soient conjugués dans \(H\), ce qui manque pour l'icosaèdre. Enfin si \(r_2 = g \cdot r_1\), \(\Sigma_{r_2} = \mathrm{int}(g) \Sigma_{r_1}\), donc \(\Sigma_{r_1} = \Sigma_{r_2}\) si et seulement si \(g\) centralise \(H\) dans \(\widetilde H\) ; pour l'octaèdre et l'icosaèdre, où \(\widetilde H = \mathbf{Z}/2 \times H\), c'est le cas de l'antipodie (pages 47 et 48)⁵⁴ .

49–52

Le tétraèdre (pages 49 à 52)

Proposition (pages 49 et 50). Soient \(\Pi\) un tétraèdre orienté, \(H = \mathrm{Aut}^+(\Pi) \simeq \mathfrak{A}_4\), \(\widetilde H = \mathrm{Aut}(\Pi) \simeq \mathfrak{S}_4\).

• a)\(\varphi \mapsto \rho_\varphi\) est une bijection de \(S \amalg F\) sur les \(8\) éléments d'ordre \(3\) de \(H\) ; si \(s\) et \(f\) sont opposés, \(\rho_s\rho_f = 1\).
• b)\(a \mapsto \rho_a\) est une application de degré \(2\) des \(6\) arêtes sur les \(3\) involutions de \(H\), deux arêtes ayant même image si et seulement si elles sont opposées.
• c)\(r \mapsto \Sigma_r\) envoie les repères sur les systèmes de type \((3, 3, 2)\) : son image est une orbite sous \(\widetilde H\) (un torseur) et deux sous \(H\).
• d)Les six transformés d'un système canonique par \(\mathfrak{S}_3\) sont de types distincts deux à deux, sauf pour la paire \(\Sigma_r\), \(\Sigma_{r'}\) (\(r'\) le repère opposé), de même type et conjugués sous \(\widetilde H\) mais non sous \(H\).
• e)Si \(s, s', s''\) forment une face \(f\) et sont rangés dans l'ordre opposé à l'orientation qu'induit \(\Pi\), \((\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''})\) est un système de type \((3, 3, 3)\), et de même pour trois faces ; chacun des deux paquets de \(12\) forme une orbite (un torseur) sous \(H\), et leur réunion un torseur sous \(\widetilde H\).
• f)Ces \(72 + 24 = 96\) systèmes sont tous les systèmes de Schwarz de \(H\).

Les marges comptent : \(24 = 12 + 12\) systèmes canoniques et anticanoniques, \(72 = 36 + 36\) avec leurs permutations circulaires⁵⁵ .

Démonstration de f). Les éléments \(\neq 1\) de \(H\) sont d'ordre \(2\) ou \(3\), et les involutions forment, avec \(1\), le sous-groupe \(V\) d'indice \(3\) ; un système ne peut donc contenir deux involutions, et contient au moins deux éléments d'ordre \(3\), chacun un \(\rho_s\) ou un \(\rho_f\). Quatre cas, de \(12\) systèmes chacun : un \(\rho_f\) et un \(\rho_s\) avec \(s\) sur \(f\) (si \(s\) est opposé à \(f\), \(\rho_s = \rho_f^{-1}\) et les deux n'engendrent pas \(H\)) : le cas canonique ; la même chose dans l'autre orientation : l'anticanonique ; deux sommets ; deux faces : les cas de e)⁵⁶ .

Corollaire (page 51). Les types possibles pour \(H \simeq \mathfrak{A}_4\) sont \((3, 3, 2)\), \((3, 2, 3)\), \((2, 3, 3)\) (canoniques et anticanoniques) et \((3, 3, 3)\) ; la classe sous \(\widetilde H = \mathrm{Aut}(H) \simeq \mathfrak{S}_4\) est déterminée par le type. Un \(H\) muni d'un système de Schwarz est donc, \(H = \mathrm{Aut}^+(\Pi)\), ou bien un repère \(r\) de \(\Pi\) avec \(\Sigma = \Sigma_r\), ou bien trois sommets distincts \((s, s', s'')\) — ce qui revient à un repère \(\{s, \{s, s'\}, \{s, s', s''\}\}\) — avec \(\Sigma = (\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''})\) calculé dans l'orientation qui induit sur la face \(\{s, s', s''\}\) l'ordre opposé⁵⁷ .

52–56

L'octaèdre (pages 52 à 56)

Proposition (pages 52 et 53). Soient \(\Pi\) un octaèdre combinatoire orienté, \(H = \mathrm{Aut}^+(\Pi) \simeq \mathfrak{S}_4\), \(H^+ = [H, H] \simeq \mathfrak{A}_4\), \(R\) et \(R^+\) les ensembles des repères et des repères directs.

• a)Pour \(r \in R\), \(\Sigma_r\) est de type \((3, 4, 2)\) ; \(\Sigma_r = \Sigma_{r'}\) si et seulement si \(r\) et \(r'\) sont antipodaux ; les \(\Sigma_r\) forment un torseur sous \(H\), en bijection avec \(R^+\) (\(24\) systèmes, \(144\) avec les transformés par \(\mathfrak{S}_3\)).
• b)\(s \mapsto \rho_s\) est une bijection des \(6\) sommets sur les éléments d'ordre \(4\), \(f \mapsto \rho_f\) des \(8\) faces sur les éléments d'ordre \(3\), et \(a \mapsto \rho_a\) fait des \(12\) arêtes un revêtement de degré \(2\) des \(6\) involutions hors de \(H^+\), deux arêtes ayant même image si et seulement si elles sont antipodales ; l'antipodie correspond au passage à l'inverse.
• c)Pour toute arête \(\{s, t\}\), soit \(f\) la face telle que \((s, \{s, t\}, f) \in R^+\) et \(f'\) la face antipodale : \((\rho_s, \rho_t, \rho_{f'})\) est un système de type \((4, 4, 3)\), et ces systèmes forment un torseur sous \(H\) (\(24\), \(72\) avec les permutations circulaires).
• d)Il n'y en a pas d'autres.

Corollaire (page 54). Les types possibles sont les six permutations de \((4, 3, 2)\) et les trois permutations circulaires de \((4, 4, 3)\), et le type détermine le système à conjugaison près : un système est, d'une seule manière, le transformé d'un \(\Sigma_r\) (\(r \in R^+\)) par un \(\sigma \in \mathfrak{S}_3\), ou celui d'un \((\rho_s, \rho_t, \rho_{f'})\) par un \(\sigma \in \mathfrak{S}_3^+\)⁵⁸ .

Démonstration de d) (pages 54 à 56). Les ordres des éléments \(\neq 1\) sont \(2\), \(3\), \(4\). 1) Un système contient un élément d'ordre \(4\) : il ne contient pas deux involutions (sinon \(H\) serait diédral), donc il en contiendrait deux d'ordre \(3\), qui sont dans \(H^+\) — impossible, ils n'engendreraient pas \(H\). 2) Il contient un élément d'ordre \(3\) : sinon, ne contenant pas deux involutions, il contiendrait deux éléments d'ordre \(4\), \(\rho_s\) et \(\rho_t\) quitte à agir par \(\mathfrak{S}_3\), avec \(t \neq s\) et \(t\) non antipodal à \(s\), donc \(\{s, t\}\) est une arête, et l'on est dans c), où le troisième terme est d'ordre \(3\). 3) Restent \(\rho = \rho_s\), \(\rho' = \rho_f\) : si \(s\) est sur \(f\), c'est le cas a) ; sinon la seule autre position relative d'un élément d'ordre \(4\) et d'un d'ordre \(3\) qui engendrent est celle de c)⁵⁹ .

58–73

VII. Hyperpolygônes réguliers (pages 58 à 73)

Un « hyperpolygône » régulier est la donnée, dans un plan vectoriel \(V\) sur un corps, de deux pseudo-réflexions \(\tau_0, \tau_1\) — des automorphismes ayant une droite de points fixes, de valeur propre non triviale \(\lambda_i\) — qui engendrent un groupe et satisfont des conditions de non-dégénérescence ; quand \(\lambda_0 = \lambda_1 = -1\) ce sont deux réflexions, et l'on retrouve les polygones réguliers ordinaires. Ce sont, sous le nom que leur a donné Coxeter, les polygones réguliers complexes, et leurs groupes sont les groupes de réflexions complexes de rang \(2\) de Shephard et Todd⁶⁰ . Dans la section VI, les sommets et les faces d'un polyèdre donnaient les systèmes de Schwarz ; ici, ce sont les images \(\tau_0^C, \tau_1^C\) dans \(\mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{PGL}_2\), \(C = \check{\mathbb{P}}(V)\), complétées par l'inverse de leur produit, qui forment un tel système.

58–60

Le cas d'un diviseur invariant ; la borne \(\nu_i \leq 5\) (pages 58 à 60)

Sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\), avec \(G_0 = \langle \tau_0, \tau_1\rangle\) fini, on écrit \(\tau_i = 1 + a_i' \otimes a_i\) (\(a_i \in V\), \(a_i' \in V^\vee\)), \(\mu_i = \langle a_i, a_i'\rangle = \lambda_i - 1\), et \[ \beta = \langle a_0, a_1'\rangle\langle a_1, a_0'\rangle \] l'invariant du couple. Les \(\lambda_i\) sont des racines de l'unité d'ordres \(\nu_i \geq 2\) ; les conditions de non-dégénérescence sont \(\langle a_0, a_1'\rangle \neq 0\) et \(a_0, a_1\) linéairement indépendants⁶¹ .

I) Si la représentation sur \(C\) admet un diviseur invariant de degré \(2\), alors \(\tau_0, \tau_1\) sont d'ordre \(2\) : c'est le cas des polygones réguliers ordinaires. Le diviseur n'est pas un point double (une droite invariante aurait un supplémentaire invariant et \(G_0\) serait commutatif) ; c'est donc une paire de droites \(V = D \oplus D'\), qu'aucun \(\tau_i\) ne laisse invariantes toutes deux. Si un \(\tau_i\) les fixait, on aurait, quitte à échanger, \(D = ka_i\), \(D' = \mathrm{Ker}\, a_i'\), et pour \(j \neq i\), \(\tau_j\) les échangerait ; en écrivant \(\tau_j D \subset D'\) on trouve \(\mu_i + \beta = 0\), et en écrivant \(\tau_j^2 D \subset D\) (avec \(\tau_j^2 = 1 + (2 + \mu_j)\, a_j' \otimes a_j\)), \(\mu_i + (2 + \mu_j)\beta = 0\), d'où \((1 + \mu_j)\beta = 0\), \(\beta \neq 0\), donc \(\lambda_j = 0\) : absurde. Donc \(\tau_0\) et \(\tau_1\) échangent \(D\) et \(D'\) ; dans une base \(e_0 \in D\), \(e_1 = \tau_0 e_0\), \[ \tau_0 = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau_1 = \begin{pmatrix} 0 & z \\ y & 0 \end{pmatrix}, \] de polynômes caractéristiques \(\lambda^2 - x\) et \(\lambda^2 - yz\) ; comme \(1\) est valeur propre, l'autre est \(-1\)⁶² .

II) Sinon, l'image de \(G_0\) dans \(\mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{PGL}_2(k)\) est l'un des groupes \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) (section V : les cycliques et diédraux ont un diviseur invariant de degré \(2\)), et \(G_0 \subset \widetilde{G}_0 \cdot k^\times\), où \(\widetilde{G}_0\) est l'image réciproque dans \(\mathrm{SL}(V)\). Le groupe \(Z_i\) engendré par \(\tau_i\) rencontre les homothéties trivialement, donc s'injecte dans \(\mathrm{Aut}(C)\), et \[ 2 \leq \nu_0, \nu_1 \leq 5 ; \] de même pour toute pseudo-réflexion de \(G_0\) (page 60)⁶³ .

61–62

L'équation de \(\xi\) (pages 61 et 62)

On travaille sur \(\mathbf{C}\), avec \(\lambda_i = e^{i\theta_i}\), \(0 < \theta_i \leq \pi\), et l'on écrit \(\beta = \xi\mu_0\mu_1\), \(\xi\) réel⁶⁴ . Le produit \(u = \tau_0\tau_1\) a pour trace \(\lambda_0 + \lambda_1 + \beta\) et pour déterminant \(\lambda_0\lambda_1\), et l'invariant de son image dans \(\mathrm{PGL}_2\) est, par la page 27, \[ \kappa = \frac{(\mathrm{Tr}\, u)^2}{\det u} - 2 \in \{-2, -1, 0, c_5, c_5'\} \] selon que \(\tau_0^C\tau_1^C\) est d'ordre \(2\), \(3\), \(4\) ou \(5\) (deux classes). Cela s'écrit \[ \frac{\mu_0^2\mu_1^2}{\lambda_0\lambda_1}\Bigl[\xi^2 + 2\, \frac{\lambda_0 + \lambda_1}{\mu_0\mu_1}\,\xi + \frac{\lambda_0^2 + \lambda_1^2}{\mu_0^2\mu_1^2}\Bigr] = \kappa , \] et, avec \(|\lambda - 1| = 2\sin\frac\theta2\), \(\mu_0^2\mu_1^2/\lambda_0\lambda_1 = 16 s_0^2 s_1^2\) où \(s_i = \sin\frac{\theta_i}{2}\), l'équation devient \[ (\mathrm E) \qquad \xi^2 - \frac{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}}{s_0 s_1}\, \xi + \frac{2\cos(\theta_1 - \theta_0) - \kappa}{16\, s_0^2 s_1^2} = 0 , \] de discriminant \[ \Delta(\kappa) = \frac{\kappa + 2}{4 s_0^2 s_1^2} \geq 0, \qquad \kappa + 2 = 4\cos^2\frac\Theta2 \quad (\kappa = 2\cos\Theta) , \] de racines \[ \xi_\pm = \frac{\cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} \pm \cos\frac{\Theta}{2}}{2 s_0 s_1} . \] Ce sont les formules des pages 61, 62 et 70⁶⁵ . Le discriminant ne s'annule que pour \(\kappa = -2\), c'est-à-dire \(\tau_0^C\tau_1^C\) d'ordre \(2\), où la racine est double, \(\xi = \cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2}/(2s_0s_1)\). En prenant \(\lambda_i = e^{2i\pi/\nu_i}\), \(2 \leq \nu_i \leq 5\), sans \(\nu_0 = \nu_1 = 2\), il y a \(15\) possibilités pour \(\kappa = -2\), et a priori \(8 \cdot 15 = 120\) pour les quatre autres valeurs de \(\kappa\), deux racines chacune — « mais il faut en exclure un bon paquet ! »⁶⁶ .

Deux principes d'élimination (page 62) : a) \(0 < \xi < 1\), qui exprime que la forme hermitienne invariante est définie (« ou \(=\) ») ; b) \(\xi\) doit encore satisfaire les équations obtenues en remplaçant \(\theta_0\) par \(i\theta_0\) et \(\theta_1\) par \(j\theta_1\) (\(i \not\equiv 0 \bmod \nu_0\), \(j \not\equiv 0 \bmod \nu_1\)), pour une valeur convenable de \(\kappa\) dans la même liste — puisque les puissances \(\tau_0^i, \tau_1^j\) engendrent le même groupe.

62–65

Situation projective et situation hyperpolygonale (pages 62 à 65)

L'analyse des systèmes de Schwarz (section VI) montre que la situation projective — le couple \((\tau_0^C, \tau_1^C)\) dans \(C\), à isomorphisme près — est déterminée par \(\kappa_0, \kappa_1, \kappa\), les classes de conjugaison de \(\tau_0^C\), \(\tau_1^C\) et de leur produit dans \(\mathrm{Aut}(X)\), ou, ce qui revient au même, dans le groupe pythagoricien \(H\) qu'ils engendrent, modulo \(\mathrm{Aut}(H)\) dans le cas tétraédral et \(\mathrm{Int}(H)\) sinon. Une situation projective donnée se relève en quatre situations hyperpolygonales : il faut choisir l'un des deux points fixes de \(\tau_0^C\) et de \(\tau_1^C\) ; c'est remplacer \(\tau_i\) par \(\lambda_i^{-1}\tau_i\), ce qui change \(\lambda_i\) en \(\lambda_i^{-1}\) sans changer \(\kappa_0\), \(\kappa_1\), \(\kappa\) (page 63). Le dictionnaire de la page 64 : \[ \{\text{données } (\lambda_0, \lambda_1, \beta)\} \leftrightarrow \{\text{couples } (\tau_0, \tau_1) \text{ épinglés}\} \leftrightarrow \{(\kappa_0, \kappa_1, \kappa) \text{ admissible}, + a_0, a_1\} , \] où \(a_i\) est un point fixe de \(\tau_i^C\), et \(\lambda_i\) l'une des deux racines de \(\lambda^2 - \kappa_i\lambda + 1 = 0\) ; le choix de \(\lambda_i\) équivaut à celui de \(a_i\) si \(\nu_i \neq 2\), et ne dit rien si \(\nu_i = 2\) (\(\lambda_i = -1\))⁶⁷ .

En résumé (page 65). a) Pour \((\lambda_0, \lambda_1, \kappa)\) admissible avec \(\nu_0, \nu_1 \neq 2\), il y a un et un seul hyperpolygône à isomorphisme près, c'est-à-dire un seul \(\xi\) : si \(\kappa = -2\) c'est la racine double, sinon une seule des deux racines de (E) convient — « Comment la distinguer ? Si on travaille dans \(\mathbf{C}\), on peut songer à la condition \(0 < \xi < 1\) ». b) Si \(\nu_0\) ou \(\nu_1\) vaut \(2\), il y a deux hyperpolygônes non isomorphes, correspondant aux deux racines distinctes de (E) — on sait alors que \(\kappa \neq -2\)⁶⁸ . Le type numérique \((\nu_0, \nu_1, \nu)\), une fois normalisés \(\lambda_0 = e^{2i\pi/\nu_0}\), \(\lambda_1 = e^{2i\pi/\nu_1}\), ne détermine donc pas l'hyperpolygône, pour deux raisons : un \(\nu_i = 2\) (page 66, liste 1) ; ou \(\nu = 5\), où l'on peut choisir \(\kappa = c_5\) ou \(c_5'\) (liste 2), ce qu'on note \(5\) et \(5'\).

66–68

Le recensement (pages 66 à 68)

Grothendieck dresse la table des types, en soulignant ceux qui donnent deux hyperpolygônes et en portant en indice le nombre \(\varphi(\nu_0)\varphi(\nu_1)\) de normalisations :

• cas tétraédraux (\(6\)) : \((3,3,2)\), \(\underline{(3,2,3)}\), \(\underline{(2,3,3)}\), \((3,3,3)\) ;
• cas octaédraux (\(13\)) : \((4,3,2)\), \(\underline{(3,2,4)}\), \(\underline{(2,4,3)}\), \(\underline{(2,3,4)}\), \((3,4,2)\), \(\underline{(4,2,3)}\), \((4,4,3)\), \((4,3,4)\), \((3,4,4)\) ;
• cas icosaédraux (\(25\)) : \((5,3,2)\), \(\underline{(3,2,5)}\), \(\underline{(2,5,3)}\), \(\underline{(2,3,5)}\), \((3,5,2)\), \(\underline{(5,2,3)}\) ; \(\underline{(3,2,5')}\), \(\underline{(2,3,5')}\) ; \((5,5,3)\), \((5,3,5)\), \((3,5,5)\) ; \((5,3,5')\), \((3,5,5')\) ; \(\underline{(2,5,5')}\), \(\underline{(5,2,5')}\) ; \((5,5,5)\).

Au total \(44\) cas, dont \(14\) où le type numérique ne détermine pas le type d'isomorphie. Il vérifie que le total des indices redonne \(4 \cdot 45 = 180\) : chacun des \(45\) systèmes de Schwarz \((\kappa_0, \kappa_1, \kappa)\) donne \(2 \times 2\) possibilités. Pour calculer les \(\xi\) dans les \(180\) cas, il faudrait vérifier comment \(\xi\) change quand on remplace \(\tau_0, \tau_1\) par \(\tau_0^{\ell_0}, \tau_1^{\ell_1}\), ce qui ramènerait aux \(45\) cas normalisés — « qu'il faudrait expliciter … »⁶⁹ .

69–73

Le test (pages 69 à 73)

Pour décider laquelle des deux racines de (E) convient, Grothendieck teste la condition \(0 < \xi < 1\). Dans les sept cas sans \(2\) — \((3,3,3)\) ; \((4,4,3)\), \((4,3,4)\), \((3,4,4)\) ; \((5,5,3)\), \((5,3,5)\), \((3,5,5)\) ; \((3,5,5')\), \((5,3,5')\) ; \((5,5,5)\) — où \(\frac{2\pi}{5} \leq \theta_0, \theta_1, \Theta \leq \frac{2\pi}{3}\), les termes constants de (E) sont positifs, et il s'agit de vérifier que la grande racine est \(\geq 1\) (page 70), soit \[ \cos\frac{\theta_1 - \theta_0}{2} + \cos\frac\Theta2 \geq 2\sin\frac{\theta_0}{2} \sin\frac{\theta_1}{2} . \] Il le vérifie à la main : \((3,3,3)\), \(\frac32 \geq \frac32\) (égalité) ; \((4,4,3)\), \(\frac32 \geq 1\) ; \((4,3,4)\) et \((3,4,4)\), \(\sqrt{2 + \sqrt3} + \sqrt2 \geq \sqrt6\) ; \((5,5,3)\), \(\frac32 \geq \frac12(2 - c_5)\) ; \((5,3,5)\) et \((3,5,5)\) par un calcul dans \(\mathbf{Q}(\sqrt5)\) ; \((5,5,5)\). Pour \((5,3,5')\) et \((3,5,5')\) il conclut « pas vrai ! », et ce sont les « seuls cas indéterminés » de la page 73 : « vérifier s'il existe bien — sinon, il faut trouver comment les rendre éliminables ».

Les conclusions « OK » sont justes, et l'inégalité vaut aussi dans les deux cas laissés ouverts : pour \((5,3,5')\), \(\theta_0 = \frac{2\pi}{5}\), \(\theta_1 = \frac{2\pi}{3}\), \(\Theta = \frac{4\pi}{5}\), le premier membre vaut \(\cos\frac{2\pi}{15} + \cos\frac{2\pi}{5} \approx 1{,}223\) et le second \(2\sin\frac\pi5\sin\frac\pi3 \approx 1{,}018\) ; les racines de (E) sont environ \(0{,}594\) et \(1{,}201\), et une seule est dans \(]0, 1[\)⁷⁰ . Le cas \((3,3,3)\) est le cas limite \(\xi_+ = 1\), que la condition « ou \(=\) » de la page 62 prévoyait.

75–80

VIII. Les \(2\)-polyèdres réguliers finis en caractéristique \(0\) (pages 75 à 80)

On revient aux polyèdres de la section II : trois réflexions \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\) d'un espace de rang \(3\), et l'on cherche quand \(G_0 = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_2\rangle\) est fini.

75–75

Les invariants (page 75)

Les invariants sont \(\beta_0 = \alpha_0 + 2\), \(\beta_1 = \alpha_1 + 2\), le discriminant \(\rho = 8 - 2(\beta_0 + \beta_1) = -2(\alpha_0 + \alpha_1)\), \(\tilde\rho = -(\alpha_0 + \alpha_1)\), et \(\sigma = 4 - \beta_1 = 2 - \alpha_1\), \(\sigma' = 2 - \alpha_0\) (les notations du dossier 72). La conique \(Q_C = Y\) du plan \(C\) est lisse si et seulement si \(\beta_0\beta_1\tilde\rho\) est inversible, c'est-à-dire si en tout point \(\alpha_0 \neq -2\), \(\alpha_1 \neq -2\), \(\alpha_0 + \alpha_1 \neq 0\) — la condition du théorème de la page 4 ; la quadrique \(Q_X\) de l'espace dual est lisse si et seulement si \(\beta_0\beta_1\sigma\) est inversible⁷¹ . \(\rho_f = \tau_0\tau_1\) a un ordre qui dépend de \(\beta_0\) de la manière connue (section IV), \(\rho_s = \tau_1\tau_2\) de même avec \(\beta_1\).

Comme \(\mathrm{Aut}(C, Q_C) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(Y)\), la catégorie des \(2\)-polyèdres réguliers épinglés sur \(S\) est équivalente à celle des couples \((Y, \varphi^Y)\) d'une conique \(Y\) et d'un homomorphisme \(\varphi^Y : G_2 \to \mathrm{Aut}(Y)\) tel que : a) \(\rho_s^2 \neq 1\) et \(\rho_f^2 \neq 1\) en toute fibre (de sorte que les \(\tau_i\) sont des réflexions) ; b) les points \(h_0, h_1, h_2\) de \(C\) définis par les \(\tau_i\) ne sont alignés en aucun point. Si en aucun point on n'a \(\alpha_1 = -2\), \(\alpha_0 = 2\), b) équivaut à b') la représentation sur \(C\) n'a de droite fixe en aucun point ; et si \(Y\) est lisse, b') équivaut à b'') \(Y\) n'a, sur aucune fibre, de diviseur de degré \(2\) stable — la non-dégénérescence de la section III⁷² .

76–77

Le théorème : neuf polyèdres (pages 76 et 77)

Sur un corps \(k\), soient \(\zeta_i\) des racines de \(\zeta_i^2 - \alpha_i\zeta_i + 1 = 0\) dans \(\bar k\) et \(\nu_i\) l'ordre de \(\zeta_i\).

Proposition (page 76). Si \(G_0\) est fini, \(\beta_0, \beta_1\) sont algébriques sur le corps premier ; la réciproque vaut en caractéristique \(p > 0\). De plus : a) si \(\nu_i \neq 1, 2\) (c'est-à-dire \(\alpha_i \neq \pm 2\)), \(\nu_i\) est l'ordre de \(\rho_i\) ; b) si \(\alpha_i = -2\), \(\rho_i\) est d'ordre \(2p\) ; c) si \(\alpha_i = 2 \neq -2\), \(\rho_i\) est d'ordre \(p\) — avec \(p = \infty\) en caractéristique nulle⁷³ .

Théorème (page 76). Supposons \(k\) de caractéristique \(0\). \(G_0\) est fini si et seulement si l'on est dans l'un des six cas :

• I)\(\nu_0 = \nu_1 = 3\), \(\alpha_0 = \alpha_1 = -1\) : le tétraèdre ;
• II)\((\nu_0, \nu_1) = (3, 4)\), \(\alpha_0 = -1\), \(\alpha_1 = 0\) : l'octaèdre ;
• II')\((\nu_0, \nu_1) = (4, 3)\) : le cube ;
• III)\((\nu_0, \nu_1) = (3, 5)\), \(\alpha_0 = -1\), \(\alpha_1^2 + \alpha_1 - 1 = 0\) : l'icosaèdre ;
• III')\((\nu_0, \nu_1) = (5, 3)\) : le dodécaèdre ;
• IV)\(\nu_0 = \nu_1 = 5\) et \(\alpha_0 \neq \alpha_1\), solutions de \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) : les cas « pentagonaux ».

Les cas I, II, II' donnent chacun une structure, définie sur \(\mathbf{Q}\) ; les trois autres en donnent chacune deux, qui existent si et seulement si \(k\) contient une racine de \(\alpha^2 + \alpha - 1\), c'est-à-dire \(\sqrt5\). « Il y a donc en tout \(3 + 3 \times 2 = 9\) types d'isomorphie de polyèdres réguliers finis sur corps \(k\) de caractéristique \(0\), contenant \(\alpha\) » (page 77).

Ce sont les cinq solides de Platon et les quatre polyèdres de Kepler–Poinsot⁷⁴ : en III, \(\alpha_1 = c_5\) donne l'icosaèdre \(\{3, 5\}\) et \(\alpha_1 = c_5'\) le grand icosaèdre \(\{3, \frac52\}\) ; en III', le dodécaèdre \(\{5, 3\}\) et le grand dodécaèdre étoilé \(\{\frac52, 3\}\) ; en IV, \((c_5, c_5')\) et \((c_5', c_5)\) sont le grand dodécaèdre \(\{5, \frac52\}\) et le petit dodécaèdre étoilé \(\{\frac52, 5\}\), duaux l'un de l'autre.

77–80

La démonstration (pages 77 à 80)

On se ramène à \(k = \mathbf{C}\).

I) Si \(\nu_0, \nu_1\) sont finis, \(\alpha_i \neq \pm 2\), et les \(\alpha_i\), racines d'équations semi-cyclotomiques d'indices \(\geq 3\), sont réels : la situation provient de \(\mathbf{R}\). \(G_0\) étant fini, il existe une forme quadratique invariante définie positive, d'où \(\beta\rho \neq 0\) et la lissité. L'image \(\underline{G}_0\) de \(G_0\) dans \(\mathrm{PGL}_2(\mathbf{C})\) est un groupe fini d'automorphismes de \(Y \simeq \mathbb{P}^1\) ; par Hurwitz, \(Y \to Y/\underline{G}_0 \simeq \mathbb{P}^1\) est ramifié en trois points exactement (avec deux points, un diviseur de degré \(2\) serait stable, contrairement à b'')), d'indices \((2, 2, n)\) — exclu pour la même raison — ou \((2, 3, 3)\), \((2, 3, 4)\), \((2, 3, 5)\)⁷⁵ .

II) Les cas I, II, III se réalisent : pour III on prend \(\alpha = 2\cos\frac{2\pi}5\), et l'on constate sur les formules explicites que l'on obtient des réalisations géométriques strictes et fidèles du tétraèdre, de l'octaèdre et de l'icosaèdre. Leurs groupes \(G_0\) sont \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{S}_4 \times \mathbf{Z}/2\), \(\mathfrak{A}_5 \times \mathbf{Z}/2\), d'images \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5\) dans \(\mathrm{PGL}_2\) — les « groupes pythagoriciens standard »⁷⁶ ; II' et III' s'en déduisent par dualité, et IV par la construction des pentagones associés à l'icosaèdre.

III) Dans les cas I, II, III, la construction donne des cartes cellulaires régulières de la sphère simplement connexes : le groupe des rotations \(G_0^+\) (\({}\simeq \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_5\)) est présenté par \[ \rho_s^{\nu_0} = \rho_f^{\nu_1} = (\rho_s\rho_f)^2 = 1 , \] et la théorie des groupes fondamentaux de la sphère privée de trois points montre qu'en général \(G_0\) est un quotient de l'un de ces groupes ; les ordres des éléments étant \(\leq 5\), \(3 \leq \nu_0, \nu_1 \leq 5\). D'autre part la forme quadratique invariante, de matrice dans la base \(a_0, a_1, a_2\) \[ \begin{pmatrix} 2 & -\beta_0 & 0 \\ -\beta_0 & 2\beta_0 & -\beta_0\beta_1 \\ 0 & -\beta_0\beta_1 & 2\beta_0\beta_1 \end{pmatrix}, \] de déterminant \(2\beta_0^2\beta_1(4 - \beta_0 - \beta_1)\), est définie positive si et seulement si \(-2 < \alpha_0, \alpha_1 < 2\) et \(\alpha_0 + \alpha_1 < 0\) ; la première condition est automatique pour \(\nu_i \geq 3\). Quitte à dualiser, \(3 \leq \nu_0 \leq \nu_1 \leq 5\). Restent, au-delà de I, II, III, les couples \((4, 4)\), \((4, 5)\), \((5, 5)\). \((4, 4)\) donne \(\alpha_0 + \alpha_1 = 0\) : exclu. \((4, 5)\) avec \(\alpha_1 = c_5 > 0\) est exclu ; \((5, 5)\) avec \(\alpha_0 = c_5\) force \(\alpha_1 = c_5'\) (\(\alpha_0 + \alpha_1 = -1\)), c'est IV. « On a gagné ! » (page 80).

Il manque à cette fin d'argument trois couples, que le « quitte à » ne couvre pas, la dualité échangeant \(\alpha_0\) et \(\alpha_1\) sans changer leurs signes : \((4, 5')\), \((5', 4)\) et \((5', 5')\), c'est-à-dire \(\alpha_1 = c_5' < 0\), ou \(\alpha_0 = \alpha_1 = c_5'\). Ils passent le test de positivité. Ils sont exclus par le point III), qui place \(G_0^+\) parmi les groupes finis de rotations : aucun ne contient à la fois des éléments d'ordre \(4\) et \(5\), ce qui écarte \((4, 5')\) et \((5', 4)\) ; et \(\mathfrak{A}_5\) n'a pas de couple générateur formé de deux éléments d'ordre \(5\) de la même classe dont le produit soit d'ordre \(2\), ce qui écarte \((5', 5')\)⁷⁷ . Le théorème est donc juste.

82–93

IX. Opérations sur les systèmes de Schwarz (pages 82 à 93)

Cette liasse est la moins lisible du dossier : entre les formules, la prose de liaison des pages 84 à 89 est en grande partie perdue, et les pages 91 à 93 sont des brouillons de calcul. On donne la construction, qui se lit, et les résultats annoncés.

82–84

Le groupe \(\Pi\) et ses automorphismes (pages 82 à 84)

Soit \(\Pi_0 = \langle \ell_0, \ell_1, \ell_2 \mid \ell_0\ell_1\ell_2 = 1\rangle\), libre de rang \(2\) — le groupe fondamental de la sphère privée de trois points — et \(\widehat\Pi\) son complété profini. Un homomorphisme de \(\Pi_0\) dans un groupe \(H\) (de \(\widehat\Pi\) si \(H\) est fini) est un triple \((\rho_0, \rho_1, \rho_2)\) de produit \(1\) ; il est surjectif si et seulement si c'est un système de Schwarz. Soient \(\mathcal{T}(H) \subset H^3\) l'ensemble de ces triples et \(\mathrm{Sch}(H)\) celui des systèmes de Schwarz. Les groupes \[ \Omega_0 = \mathrm{Aut}(\Pi_0) \longrightarrow \Omega = \mathrm{Aut}(\widehat\Pi) \] agissent à droite sur \(\mathcal{T}(H)\) et \(\mathrm{Sch}(H)\). On a des suites exactes \[ 1 \to \Pi_0 \to \Omega_0 \to \widetilde\Omega_0 = \mathrm{Out}(\Pi_0) \to 1, \qquad 1 \to \widehat\Pi \to \Omega \to \widetilde\Omega = \mathrm{Out}(\widehat\Pi) \to 1 , \] et \(\widetilde\Omega_0\), \(\widetilde\Omega\) agissent sur \(\mathcal{T}(H)/H\) et sur \(\mathrm{Sch}(H)/H\)⁷⁸ .

\(\mathfrak{S}_3\) opère fidèlement sur \(\Pi_0\) et \(\widehat\Pi\) : \(\sigma(\ell_i) = \ell_{\sigma(i)}\) si \(\sigma\) est paire, \(\ell_{\sigma(i)}^{-1}\) si \(\sigma\) est impaire, et l'injection dans \(\widetilde\Omega\) « se vérifie immédiatement » ; c'est l'action de la section VI sur les triples. Soient \(\gamma_0 = \mathbf{Z}^\times = \{\pm 1\}\) et \(\gamma = \widehat{\mathbf{Z}}^\times\). Pour une partie \(I\) à deux éléments de \(\{0, 1, 2\}\) et \(\varepsilon = (\varepsilon_i)_{i \in I}\), on définit l'automorphisme \(\mathsf{e}^I(\varepsilon)\) par \(\ell_i \mapsto \ell_i^{\varepsilon_i}\) pour \(i \in I\), le troisième générateur étant déterminé par la relation ; par exemple, pour \(I = \{0, 1\}\), \[ \ell_0 \mapsto \ell_0^{\varepsilon_0}, \qquad \ell_1 \mapsto \ell_1^{\varepsilon_1}, \qquad \ell_2 \mapsto \ell_1^{-\varepsilon_1} \ell_0^{-\varepsilon_0} . \] Cela définit des homomorphismes \(\mathsf{e}^I : \gamma_0^I \to \Omega_0\), \(\gamma^I \to \Omega\)⁷⁹ , et les relations \[ \sigma\, \mathsf{e}^I(\varepsilon)\, \sigma^{-1} = \mathsf{e}^{\sigma I}(\sigma \varepsilon) \qquad (\sigma \in \mathfrak{S}_3) . \] Le sous-groupe \(\Omega^+\) (resp. \(\Omega_0^+\), et leurs images extérieures) engendré par \(\mathfrak{S}_3\) et les \(\mathsf{e}^I(\gamma^I)\) contient le sous-groupe distingué \(\mathbb{E}\mathrm{l}\) engendré par les seuls \(\mathsf{e}^I\) — le « groupe des éliminations » — et \[ \Omega^+ \simeq \mathfrak{S}_3 \ltimes \mathbb{E}\mathrm{l}, \qquad \Omega_0^+ \simeq \mathfrak{S}_3 \ltimes \mathbb{E}\mathrm{l}_0 , \] et de même pour les groupes extérieurs⁸⁰ .

84–88

Une présentation (pages 84 à 88)

Construction (pages 84 et 85). Pour deux groupes \(\mathfrak{S}\) et \(\gamma\), le noyau \(\mathcal{E}\) de \(\mathfrak{S} * \gamma \to \mathfrak{S}\) est le produit libre des conjugués \(\sigma\gamma\sigma^{-1}\), \(\sigma \in \mathfrak{S}\) : \[ \mathfrak{S} * \gamma \simeq \mathfrak{S} \ltimes \gamma^{(*\mathfrak{S})} , \] ce qu'on voit par la propriété universelle. Avec \(\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_3\) et \(\gamma = \widehat{\mathbf{Z}}^\times\), on obtient un homomorphisme \(\mathfrak{S}_3 * \gamma \to \Omega\) ; il n'est pas injectif, car \(\mathsf{e}_{\varepsilon,1}\) et \(\mathsf{e}_{1,\varepsilon'} = \pi\, \mathsf{e}_{\varepsilon,1}\pi^{-1}\) (\(\pi = \pi_{01}\)) commutent. En imposant ces commutations on obtient \[ \mathfrak{S}_3 \ltimes (\gamma \times \gamma)^{(*\, \mathfrak{S}_3/\pi_{01})} \longrightarrow \Omega^+ \subset \Omega , \] produit libre de trois copies de \(\gamma \times \gamma\) permutées transitivement par \(\mathfrak{S}_3\), et de même avec \(\gamma_0\) pour \(\Omega_0^+\). « Il serait intéressant d'examiner les propriétés d'injectivité et surjectivité » (page 86) ; l'image de \(\mathcal{E}\) est \(\mathbb{E}\mathrm{l}\) (resp. \(\mathbb{E}\mathrm{l}_0\)), et la question « \(\Omega^+ = \Omega\) ? » reste posée (page 87)⁸¹ .

Réduction à l'exposant \(6\) (pages 87 et 88). Soit \(\Pi(6)\) le quotient de \(\Pi\) par les relations \(g^6 = 1\), \(\Omega(6) = \mathrm{Aut}(\Pi(6))\). La surjection \(\widehat{\mathbf{Z}}^\times \to (\mathbf{Z}/6)^\times \simeq \{\pm 1\}\) a une section \(\gamma_0 \hookrightarrow \gamma\), et le composé \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\gamma \times \gamma)^{(*3)} \to \Omega \to \Omega(6)\) se factorise par \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*3)}\). Donc, pour un groupe \(H\) d'exposant divisant \(6\) — par exemple \(\mathfrak{A}_4\) —, l'action de \(\Omega^+\) sur \(\mathcal{T}(H)\) et \(\mathrm{Sch}(H)\) se fait à travers ce groupe discret⁸² .

89–90

Les \(96\) systèmes du tétraèdre ; l'exposant \(N\) (pages 89 et 90)

Le groupe \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\gamma_0 \times \gamma_0)^{(*3)}\) est engendré par \(\mathfrak{S}_3\) et six involutions \(\mathsf{e}_\sigma\) (\(\sigma \in \mathfrak{S}_3\)), avec les relations \[ \mathsf{e}_\sigma = \sigma\, \mathsf{e}_1 \sigma^{-1}, \qquad \mathsf{e}_1^2 = 1, \qquad \mathsf{e}_1 \mathsf{e}_\pi = \mathsf{e}_\pi \mathsf{e}_1 \quad (\pi = \pi_{01}) , \] d'où \(\mathsf{e}_{\tau\sigma} = \tau\mathsf{e}_\sigma\tau^{-1}\), \(\mathsf{e}_\sigma^2 = 1\) et \(\mathsf{e}_\sigma\mathsf{e}_{\sigma\pi} = \mathsf{e}_{\sigma\pi} \mathsf{e}_\sigma\). Ce groupe des « opérations élémentaires » agit sur les \(72 + 24 = 96\) systèmes de Schwarz de \(H \simeq \mathfrak{A}_4\) (section VI), et sur \(\mathrm{Sch}(H)/H\), qui a \(8\) éléments : \((3,3,2)^+\), \((3,3,2)^-\) et leurs transformés par \(\mathfrak{S}_3^+\), \((3,3,3)^+\) et \((3,3,3)^-\) ; modulo \(\widetilde H = \mathrm{Aut}(H) \simeq \mathfrak{S}_4\), il en reste \(4\), de types \((3,3,2)\), \((3,2,3)\), \((2,3,3)\), \((3,3,3)\). « Il serait intéressant d'expliciter les groupes quotients finis de \(\mathfrak{S}_3 \cdot \mathcal{E}_0\) qui » agissent sur ces ensembles⁸³ .

NB (page 90). Pour les groupes \(H\) dont tous les éléments ont un ordre divisant \(N\) — \(N = 6\) pour le groupe du tétraèdre, \(12\) pour \(\mathfrak{S}_4\), \(30\) pour \(\mathfrak{A}_5\) — on remplace \(\Pi\) par \(\Pi(N)\), \(\Omega\) par \(\Omega(N)\), et \(\mathfrak{S}_3 \ltimes \mathbb{E}\mathrm{l}\) par un quotient de \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\gamma(N) \times \gamma(N))^{(*3)}\), où \(\gamma(N) = (\mathbf{Z}/N)^\times\), qui vaut \(\{\pm1\}\), \(\{\pm1\}^2\), \(\{\pm1\} \times \mathbf{Z}/4\), et \(\{\pm 1\}^2 \times \mathbf{Z}/4\) pour \(\mathfrak{S}_5\) (\(N = 60\)).

On reconnaît aujourd'hui dans ces opérations l'action de \(\mathrm{Aut}(F_2)\) sur les couples générateurs d'un groupe fini — les classes de Nielsen, ou « \(T\)-systèmes » de B. H. et H. Neumann (1951) —, et, dans les opérations \(\ell_i \mapsto \ell_i^{\varepsilon}\), \(\varepsilon \in \widehat{\mathbf{Z}}^\times\), la forme qu'a l'action de \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) sur le groupe fondamental profini de \(\mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}\), à conjugaison près des générateurs, par le caractère cyclotomique : c'est la rubrique (4) du plan de la page 1⁸⁴ .

91–93

Brouillons (pages 91 à 93)

Les trois dernières pages de la liasse sont des calculs sans phrases. Page 91, des opérations élémentaires \(\eta_1, \eta_2, \eta'_1, \ldots, \eta''_2\) sur \((\ell_0, \ell_1, \ell_2)\) — par exemple \(\eta_1 : (\ell_0, \ell_1, \ell_2) \mapsto (\ell_0^{-1}, \ell_1, \ell_1^{-1}\ell_0)\) — et le composé \(\mathsf{e}_1 = \eta_1\eta''_2\), qui envoie \(\ell_0 \mapsto \ell_0\), \(\ell_1 \mapsto \ell_0^{-2}\ell_1\), \(\ell_2 \mapsto \ell_2\ell_0^2\) ; puis un brouillon d'algèbre linéaire sur \(\mathbf{Z}^3\) (l'abélianisé). Pages 92 et 93, les systèmes du tétraèdre étiquetés par les repères — \(\Sigma_r = (\rho_f, \rho_s, \rho_a)\) de type \((3,3,2)^+\) pour \(r\) direct, \((3,3,2)^-\) pour \(r\) inverse, \((\rho_s, \rho_{s'}, \rho_{s''})\) de type \((3,3,3)^\pm\) — et l'effet des opérations \(\mathsf{e}_{-1,1}\), \(\mathsf{e}_{1,-1}\) : elles échangent \((3,3,2)^+\) et \((3,3,3)^+\), \((3,3,2)^-\) et \((3,3,3)^-\), ou croisent les signes ; enfin \(\mathfrak{S}_3 * \mathbf{Z}/2 \simeq \mathfrak{S}_3 \ltimes (\mathbf{Z}/2)^{(*\mathfrak{S}_3)}\), et la remarque que \(\mathsf{e}(\varepsilon)\) commute à son conjugué par une transposition⁸⁵ .

95–97

X. Classes de sous-groupes de \(\mathfrak{S}_5\) (pages 95 à 97)

Soit \(T\) un ensemble à cinq éléments, \(\mathfrak{S}_5 = \mathfrak{S}_T\). La page 95 range les sous-groupes selon la figure de \(T\) qu'ils stabilisent : aux triangles de \(T\) (parties à trois éléments, \(10\)) correspondent les classes \(\mathbf{Z}_3 = \mathfrak{A}_3\), \(\mathbf{Z}_6\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_3\), \(\mathbb{D}_3\) (le \(\mathfrak{S}_3\) « tordu » \(\langle (abc), (ab)(de)\rangle\)), \(\mathbb{D}_6 = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) ; aux « carrés » (\(15\)), \(\mathbf{Z}_2\) (doubles transpositions), \(\mathbf{Z}_4\), \(\mathfrak{S}_{2,2}\), \(\mathbb{D}_4\) ; aux points (\(5\)), \(\mathbb{D}_2\), \(\mathfrak{A}_4\), \(\mathfrak{S}_4\) ; aux pentagones, \(\mathbf{Z}_5\) et \(\mathbb{D}_5\) ; et \(1\), \(\mathfrak{A}_5\), \(\mathfrak{S}_5\) sont distingués. D'où le compte \[ 6 \times 10 + 4 \times 15 + 3 \times 5 + 2 \times 12 + 3 \times 1 = 162 . \] Page 97 : « les 18 classes de sous-groupes de \(\mathfrak{S}_5\), dont 9 abéliens » ; \(9\) classes de sous-groupes de \(\mathfrak{A}_5\), \(11\) de \(\mathfrak{S}_4\), \(5\) de \(\mathfrak{A}_4\), \(4\) de \(\mathfrak{S}_3\), \(7\) de \(\mathbb{D}_4\), \(10\) de \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3 = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) ; et des identités : \(\mathbf{F}_2 = \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4)\), \(\mathbb{D}_4 = \mathcal{N}_{\mathfrak{S}_4}(\mathbf{F}_2) = \mathcal{N}_{\mathfrak{S}_4}(\mathbf{Z}_4)\), \(\mathbf{F}_2 = {}_2\mathbf{Z}_4\), \(\mathfrak{S}_4 = \mathcal{N}_{\mathfrak{S}_5}(\mathbf{F}_2^2)\), \(\mathbf{F}_2^2\) étant le seul sous-groupe distingué d'indice \(6\) de \(\mathfrak{S}_4\).

Les identités sont justes, et les nombres \(9\), \(11\), \(5\), \(4\), \(10\) aussi. Mais \(\mathfrak{S}_5\) a \(156\) sous-groupes en \(19\) classes, non \(162\) en \(18\) : il manque le groupe de Frobenius \(F_{20} = \mathrm{AGL}(1, \mathbf{F}_5)\), normalisateur d'un \(5\)-Sylow (\(6\) conjugués), et les pentagones ne correspondent pas bijectivement aux sous-groupes : chaque \(\mathbf{Z}_5\) (et chaque \(\mathbb{D}_5\)) stabilise deux des douze pentagones, le pentagone et le pentagramme qu'il dessine. Le compte juste est \(60 + 60 + 15 + 3 \times 6 + 3 = 156\) ; les « 9 abéliens » sont exacts (trivial compris), et \(\mathbb{D}_4\) a \(8\) classes de sous-groupes, non \(7\)⁸⁶ .