Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 181–192

Ces six feuillets sont des brouillons de calcul sans titre ni texte suivi ; le contexte (algèbres A_1, A_2, modules E_1, E_2 munis de droites L_1, L_2, accouplement A\times E\to\underline{O}, produit *) vient d'avant le lot, et le calcul s'arrête sur p. 191 sans conclusion visible. Notations fixées pour le lot : \underline{O} pour le symbole souligné qu'il écrit pour l'anneau de base, k pour le corps (ou anneau) des scalaires.

(f+\sigma(f))\,\varphi(x) \;=\; \langle f+\sigma(f),\, x\rangle \varphi(f)\,(x+\sigma(x)) \;=\; \langle f,\, x+\sigma x\rangle \langle (1+\sigma)f,\, x\rangle

~~\tfrac12\,\mathrm{Tr}~~ d'après l'exemple

\text{\struck{$A_1$}}\otimes A_2)\otimes(E_1\otimes E_2)\longrightarrow \underline{O} \mapsto\;\bigl[(A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes E_2)\bigr]\oplus (A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes_0 E_2) [(A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes_0 E_2)

Tableau à deux colonnes, indices 1 et 2 : \begin{array}{c|c} f_1 & f_2\\ \varphi_1(f_1)\in L_1^{\vee} & \varphi_2(f_2)\\ \hline x_1,\ T_1 & x_2,\ T_2\\ \varphi_1(x_1)\in k & \varphi_2(x_2)\\ \pi_1(x_1)\in L_1 & \pi_2(x_2) \end{array} dans la colonne 1, la case du bas est encadrée et marquée E_1 à gauche, avec des flèches de x_1 vers \varphi_1(x_1) et vers \pi_1(x_1) ; au-dessus de la ligne, la case \varphi_1(f_1) est surchargée et en partie biffée.

\langle (1+\sigma)f,\, x\rangle = \tfrac12\bigl[(f+\sigma f)\bigr]\bigl[ \langle f+\sigma f,\, x\rangle

~~\lambda=\varphi(x)~~

A\simeq (A_1\otimes A_2)\oplus \cdots\;\big/\;(A_1\oplus_k A_2) pour A_1\oplus_k A_2 \xrightarrow{\ \mathrm{Tr}_1,\ \mathrm{Tr}_2\ } k, \qquad A_1\oplus_k A_2 \xhookrightarrow{\ \text{can.}\ } A_1\otimes A_2 les deux flèches partent de A_1\oplus_k A_2 en diagonale ; tout ce premier bloc est barré au crayon d'une grande croix.

E\simeq (E_1\otimes E_2)\oplus(L_1\otimes L_2)\;\big/\; (E_1\otimes L_2)+_{L_1\otimes L_2}(L_1\otimes E_2)

A\times E\longrightarrow \underline{O} couplage,

0\to k\to A\to L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}\to 0 0\to L_1\otimes L_2\to E\to \underline{O}\to 0

\langle f_1\otimes f_2,\ \cdots\rangle \;=\; \text{\struck{$\langle\varphi_1(x_1),u_1\rangle\langle\varphi_2(x_2),u_2\rangle$}} \;\varphi_1(f_1)\varphi_2(f_2)\cdot u avec f_1\otimes f_2\in A_1\otimes A_2, u\in L_1\otimes L_2 ; sous la ligne : \varphi(x_1\otimes x_2).

\langle\lambda,\ x_1\otimes x_2\rangle = \lambda\,\psi_1(f_1)\psi_2(f_2) = \lambda\,\psi(x_1\otimes x_2) \langle\lambda,\ u\rangle = 0 \langle f_1\otimes f_2,\ x_1\otimes x_2\rangle sous cette dernière ligne, ~~f_1\otimes 1~~, biffé.

~~expr. bil. en f_1\otimes f_2, x_1\rangle \langle f_2, x_2\rangle~~ ~~nul sur~~ , E) (~~A_1\otimes A_2~~ A_1\oplus A_2, et non

si f\in A_1 ou A_2,

si x\in E_1\otimes L_2+L_1\otimes E_2, sous ces deux dernières lignes, des annotations serrées : \mathrm{T}(f)\,\psi(x) et \varphi(f)\cdot, illisibles en partie.

\begin{array}{cccc} 1, & u_1, & u_2, & u_1u_2\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ 2 & \cdot, & \cdot & 2u_1u_2=v \end{array} \qquad \sigma_1\sigma_2 les deux images du milieu sont cerclées et surchargées ; on devine 2u_1, 2u_2 sous la surcharge.

v\longmapsto 2u_1u_2

-u_1^2=c_1\cdot 1,\qquad -u_2^2=c_2\cdot 1,\qquad u_1^2u_2^2=c_1c_2

x_1\otimes x_2\longmapsto x_1\otimes x_2+\overline{x}_1\otimes\overline{x}_2

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\small}] E_1\otimes E_2 \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & E_1\wedge E_2 \arrow[r, Rightarrow, "?"] & E_1\otimes E_2 \arrow[d, leftrightarrow, "\text{can}"] \\ E_1\otimes_0 E_2 \arrow[u, "\text{can}"] \arrow[r, "\pi"'] & L_1\otimes L_2 \arrow[u] \arrow[ur] \arrow[r, "{\mathrm{id}}"'] & L_1\otimes L_2 \end{tikzcd}

sur la flèche L_1\otimes L_2\to E_1\otimes E_2 (diagonale) : u_1\otimes u_2\mapsto u_1\otimes u_2, puis « i.e. » ; la flèche horizontale du bas est marquée \mathrm{id}.

E_1\otimes L_2 \ni x_1\otimes u_2 \pi_1(x_1)\otimes u_2=(2x_1-\overset{\psi_1(x_1)}{T_1})\otimes u_2 x_1\otimes u_2+(\psi_1(x_1)T_1-x_1)\otimes(-u_2) =2x_1\otimes u_2-\psi_1(x_1)T_1\otimes u_2 ok

(x_1+u_1)*(x_2+u_2)=(\sigma+\overline{\sigma})\bigl[(x_1+u_1)\otimes(x_2+u_2)\bigr] =x_1*x_2+\pi_1(x_1)\otimes u_2+u_1\otimes\pi_2(x_2)+\underbrace{u_1*u_2}_{=\,2u_1\otimes u_2} b_1\otimes u_2+u_2\otimes b_1+2u_1\otimes u_2

~~b_1u_2+b_2u_1+u_1~~

(x_1+u_1)*(x_2+u_2) = x_1*x_2+\underbrace{(b_1u_2+b_2u_1+2u_1u_2)}\ \in E_1\wedge E_2 sous x_1*x_2 une flèche descend vers x_1*x_2 = \mathrm{Tr}_{E_1\otimes E_2/E_1\wedge E_2}(x_1\otimes x_2) ; sous E_1\wedge E_2 une flèche descend vers E_1\otimes E_2.

Considérons \langle u_1*u_2,\ x_1*x_2\rangle=

~~x_1*x_2~~ A_1\otimes A_2\to (A_1\otimes A_2)\oplus(A_1\oplus_0 A_2)\to A A_1\otimes A_2\xrightarrow{\ \text{can}\ }(A_1\otimes A_2)\oplus(A_1\oplus_0 A_2) \xrightarrow{\ \text{somme}\ } A le second \oplus_0 de cette ligne porte un 0 souligné.

~~E_1\otimes E_2~~ \longrightarrow E

\text{\struck{$A^{\vee}\simeq A_1\otimes A_2$}}\times\cdots\;\big/\;\mathrm{Im}(A_1\oplus_k A_2) ~~E^{\vee}\simeq Formes bilin. sur A_1\times A_2 telles que~~

A^{\vee}\simeq(f,\overset{\lambda}{\cdots})\quad\ldots

f forme bil. sur A_1\times A_2\to k, \lambda\in k ~~g_1 : A_1\to k~~ ~~g_2 : A_2\to k~~

définition ~~a) g_1(1)=g_2(1) i.e. g provient d'une forme sur A_1+A_2\subset A_1\otimes A_2\to k~~

~~b) f\,|\,(A_1+A_2)=2g~~ i.e.

f(x_1,1)=2g_1\qquad x_1\in A_1 f(1,x_2)=2g_2\qquad x_2\in A_2 ces deux lignes sont barrées d'un trait en boucle.

f(x_1)=\lambda\,\mathrm{Tr}_1(x_1) f(x_2)=\lambda\,\mathrm{Tr}_2(x_2) 0\to L_1\otimes L_2\to E\xrightarrow{\ \psi\ }\underline{O}\to 0 avec \check{a}\in E sous E.

~~E\to\check{A}~~ ~~\lambda=\varphi(x)~~ E

u en termes de u_1, u_2 ?

~~u=u_1 Comparons~~

Comment ~~Considérons~~ On doit avoir u_1\overset{\xi}{*}u_2=\underset{\sim}{\lambda}\,u+\underset{\sim}{\mu} \qquad\text{trouver } \lambda,\mu \mathrm{Tr}_{A/k}(u_1*u_2)=-\lambda\beta+2\mu N_{A/k}(u_1*u_2)=\underline{\lambda^2}c+\underline{\mu^2}-\underline{\lambda\mu\beta}

base de A : 1,\ u base de E : ~~e=e_1\otimes e_2, x=x_1*x_2~~ x=x_1*x_2, e=e_1\otimes e_2 (duale)

~~\mathrm{Tr}_{A_1\otimes A_2}~~

\langle 1,x\rangle=1\qquad \langle 1,e\rangle=0 \langle u,e\rangle=1\qquad \langle u,x\rangle=0

\lambda=\text{\struck{$\langle u,e\rangle$}}\;\langle u_1*u_2,\ \overbrace{e_1\otimes e_2}^{e}\rangle \mu=\langle u_1*u_2,\ \underbrace{x_1*x_2}_{x}\rangle

u_1*u_2

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\small}] A_1\otimes A_2 \arrow[r, "*"] \arrow[rr, bend left=20] & A \arrow[r, "\xi"] & A_1\otimes A_2 \\ E_1\otimes E_2 \arrow[d] & E \arrow[l, "\xi"'] \arrow[d] & E_1\otimes E_2 \arrow[l, "(*)"'] \arrow[d] \\ \underline{O} & \underline{O} & \underline{O} \end{tikzcd}

les colonnes sont appariées par de petites croix « \times » entre les deux lignes (dualité A\times E), et un « \wedge » est posé entre A_1\otimes A_2 et le E_1\otimes E_2 de droite ; l'étiquette de A\to A_1\otimes A_2 est cerclée, avec « (\mathrm{Tr}) » au-dessus ; au-dessus de la flèche courbe, ~~x_1\otimes x_2~~ biffé et \mathbb{F}_2\to\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2.

\text{\struck{$(x,y)\mapsto x\otimes\cdots$}}\qquad {}^t(\mathrm{id}+\sigma_1\otimes\sigma_2)=\mathrm{id}+({}^t\sigma_1)\otimes({}^t\sigma_2) avec {}^t\sigma_1=\sigma_1, {}^t\sigma_2=\sigma_2.

u\in A défini par \begin{cases} \langle u,\ e_1\otimes e_1\rangle=1\\ \langle u,\ x_1*x_2\rangle=0 \end{cases} « e_1\otimes e_1 » est sur la page ; on attendrait e_1\otimes e_2.

u_1\qquad u_1^2+b_1u_1+c_1=0 u_2\qquad u_2^2+b_2u_2+c_2=0 u_1*u_2=u_1\otimes u_2+(u_1+b_1)\otimes(u_2+b_2)=2u_1u_2+b_2u_1+b_1u_2+\underline{\underline{b_1b_2}} bien des

A : avec 1 si 2=0, b_1=b_2=0

A_1\simeq\underline{O}\oplus L_1^{\vee}\qquad A_2=\underline{O}\oplus L_2^{\vee} E_1\simeq\underline{O}+L_1,\qquad E_2\simeq\underline{O}+L_2 E_1\otimes E_2\to E_1\wedge E_2\to E_1\otimes E_2 x_1\otimes x_2\qquad x_1*x_2\qquad \mathrm{Tr}(x_1\otimes x_2)

~~A\simeq L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}~~ A\simeq\underline{O}\oplus L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}

e_1\in L_1 base de L_1, e_2\in L_2 base de L_2

b_1=\beta_1e_1\qquad c_1=\gamma_1e_1^{\otimes 2} b_2=\beta_2e_2\qquad c_2=\gamma_2e_2^{\otimes 2}

A\simeq\underline{O}+e_1^{*}\ldots\qquad u_1=e_1^{*}\qquad u_2=e_2^{*} après \underline{O}+, un symbole surchargé, lu e_1^{*} sous réserve.

~~u_1^2+\beta_1u_1 = e_1^{*}~~ u_1^2+\beta_1u_1+\gamma_1=0 u_2^2+\beta_2u_2+\gamma_2=0 sous la seconde équation, une ligne barrée et surchargée, où l'on devine u_1^2+(\beta_1\ldots)\,u_1 ; le u_2^2 de la seconde équation est écrit sur un u_1.

u=2uu'+le 2 est surchargé ; rien n'est écrit après le +.

x_1,\ e_1\ \longleftrightarrow\ u_1\in A_1\qquad u_1^2+\beta_1u_1+\gamma_1=0 \begin{cases} e_1=\varphi(u_1)\\ \langle u_1,\ x_1\rangle=0\\ \varphi(x_1)=1 \end{cases} la notation \langle u_1, x_1\rangle est surchargée ; à gauche de l'accolade, un mot biffé. (x_2,\ e_2)\ \longleftarrow\ u_2\in A_2\qquad u_2^2+\beta_2u_2+\gamma_2=0 (x_1*x_2,\ e_1\otimes e_2)\ \longleftrightarrow\ u\in A. u^2+\beta u+\gamma=0