Cote n° 84, pages 181–192

Cote n° 84 · batch 10 · pages 181–192 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

Ces six feuillets sont des brouillons de calcul sans titre ni texte suivi ; le contexte (algèbres $A_1$, $A_2$, modules $E_1$, $E_2$ munis de droites $L_1$, $L_2$, accouplement $A\times E\to\underline{O}$, produit $*$) vient d'avant le lot, et le calcul s'arrête sur p. 191 sans conclusion visible. Notations fixées pour le lot : $\underline{O}$ pour le symbole souligné qu'il écrit pour l'anneau de base, $k$ pour le corps (ou anneau) des scalaires.

181\[ (f+\sigma(f))\,\varphi(x) \;=\; \langle f+\sigma(f),\, x\rangle \] \[ \varphi(f)\,(x+\sigma(x)) \;=\; \langle f,\, x+\sigma x\rangle \] \[ \langle (1+\sigma)f,\, x\rangle \]

$\tfrac12\,\mathrm{Tr}$ […] d'après l'exemple

\[ \text{\struck{$A_1$}}\otimes A_2)\otimes(E_1\otimes E_2)\longrightarrow \underline{O} \] \[ \mapsto\;\bigl[(A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes E_2)\bigr]\oplus (A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes_0 E_2) \] $[(A_1\otimes_0 A_2)\otimes(E_1\otimes_0 E_2)$

Tableau à deux colonnes, indices $1$ et $2$ : \[ \begin{array}{c|c} f_1 & f_2\\ \varphi_1(f_1)\in L_1^{\vee} & \varphi_2(f_2)\\ \hline x_1,\ T_1 & x_2,\ T_2\\ \varphi_1(x_1)\in k & \varphi_2(x_2)\\ \pi_1(x_1)\in L_1 & \pi_2(x_2) \end{array} \] dans la colonne $1$, la case du bas est encadrée et marquée $E_1$ à gauche, avec des flèches de $x_1$ vers $\varphi_1(x_1)$ et vers $\pi_1(x_1)$ ; au-dessus de la ligne, la case $\varphi_1(f_1)$ est surchargée et en partie biffée.

\[ \langle (1+\sigma)f,\, x\rangle = \] \[ \tfrac12\bigl[(f+\sigma f)\bigr]\bigl[ \] \[ \langle f+\sigma f,\, x\rangle \]

183$\lambda=\varphi(x)$

\[ A\simeq (A_1\otimes A_2)\oplus \cdots\;\big/\;(A_1\oplus_k A_2) \] pour \[ A_1\oplus_k A_2 \xrightarrow{\ \mathrm{Tr}_1,\ \mathrm{Tr}_2\ } k, \qquad A_1\oplus_k A_2 \xhookrightarrow{\ \text{can.}\ } A_1\otimes A_2 \] les deux flèches partent de $A_1\oplus_k A_2$ en diagonale ; tout ce premier bloc est barré au crayon d'une grande croix.

\[ E\simeq (E_1\otimes E_2)\oplus(L_1\otimes L_2)\;\big/\; (E_1\otimes L_2)+_{L_1\otimes L_2}(L_1\otimes E_2) \]

$A\times E\longrightarrow \underline{O}$ couplage,

\[ 0\to k\to A\to L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}\to 0 \] \[ 0\to L_1\otimes L_2\to E\to \underline{O}\to 0 \]

\[ \langle f_1\otimes f_2,\ \cdots\rangle \;=\; \text{\struck{$\langle\varphi_1(x_1),u_1\rangle\langle\varphi_2(x_2),u_2\rangle$}} \;\varphi_1(f_1)\varphi_2(f_2)\cdot u \] avec $f_1\otimes f_2\in A_1\otimes A_2$, $u\in L_1\otimes L_2$ ; sous la ligne : $\varphi(x_1\otimes x_2)$.

\[ \langle\lambda,\ x_1\otimes x_2\rangle = \lambda\,\psi_1(f_1)\psi_2(f_2) = \lambda\,\psi(x_1\otimes x_2) \] \[ \langle\lambda,\ u\rangle = 0 \] \[ \langle f_1\otimes f_2,\ x_1\otimes x_2\rangle \] sous cette dernière ligne, $f_1\otimes 1$, biffé.

expr. bil. en $f_1\otimes f_2$, $x_1\rangle$ $\langle f_2, x_2\rangle$ nul sur […], $E$) ($A_1\otimes A_2$ $A_1\oplus A_2$, et non

si $f\in A_1$ ou $A_2$, […] […] […] […]

si $x\in E_1\otimes L_2+L_1\otimes E_2$, […] […] sous ces deux dernières lignes, des annotations serrées : $\mathrm{T}(f)\,\psi(x)$ et $\varphi(f)\cdot$[…], illisibles en partie.

185\[ \begin{array}{cccc} 1, & u_1, & u_2, & u_1u_2\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ 2 & \cdot, & \cdot & 2u_1u_2=v \end{array} \qquad \sigma_1\sigma_2 \] les deux images du milieu sont cerclées et surchargées ; on devine $2u_1$, $2u_2$ sous la surcharge.

\[ v\longmapsto 2u_1u_2 \]

\[ -u_1^2=c_1\cdot 1,\qquad -u_2^2=c_2\cdot 1,\qquad u_1^2u_2^2=c_1c_2 \]

\[ x_1\otimes x_2\longmapsto x_1\otimes x_2+\overline{x}_1\otimes\overline{x}_2 \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\small}]
E_1\otimes E_2 \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & E_1\wedge E_2 \arrow[r, Rightarrow, "?"] & E_1\otimes E_2 \arrow[d, leftrightarrow, "\text{can}"] \\
E_1\otimes_0 E_2 \arrow[u, "\text{can}"] \arrow[r, "\pi"'] & L_1\otimes L_2 \arrow[u] \arrow[ur] \arrow[r, "{\mathrm{id}}"'] & L_1\otimes L_2
\end{tikzcd}

sur la flèche $L_1\otimes L_2\to E_1\otimes E_2$ (diagonale) : $u_1\otimes u_2\mapsto u_1\otimes u_2$, puis « i.e. […] » ; la flèche horizontale du bas est marquée $\mathrm{id}$.

\[ E_1\otimes L_2 \ni x_1\otimes u_2 \] \[ \pi_1(x_1)\otimes u_2=(2x_1-\overset{\psi_1(x_1)}{T_1})\otimes u_2 \] \[ x_1\otimes u_2+(\psi_1(x_1)T_1-x_1)\otimes(-u_2) \] \[ =2x_1\otimes u_2-\psi_1(x_1)T_1\otimes u_2 \] ok

\[ (x_1+u_1)*(x_2+u_2)=(\sigma+\overline{\sigma})\bigl[(x_1+u_1)\otimes(x_2+u_2)\bigr] \] \[ =x_1*x_2+\pi_1(x_1)\otimes u_2+u_1\otimes\pi_2(x_2)+\underbrace{u_1*u_2}_{=\,2u_1\otimes u_2} \] \[ b_1\otimes u_2+u_2\otimes b_1+2u_1\otimes u_2 \]

$b_1u_2+b_2u_1+u_1$

\[ (x_1+u_1)*(x_2+u_2) = x_1*x_2+\underbrace{(b_1u_2+b_2u_1+2u_1u_2)}\ \in E_1\wedge E_2 \] sous $x_1*x_2$ une flèche descend vers $x_1*x_2 = \mathrm{Tr}_{E_1\otimes E_2/E_1\wedge E_2}(x_1\otimes x_2)$ ; sous $E_1\wedge E_2$ une flèche descend vers $E_1\otimes E_2$.

187Considérons $\langle u_1*u_2,\ x_1*x_2\rangle=$

$x_1*x_2$ \[ A_1\otimes A_2\to (A_1\otimes A_2)\oplus(A_1\oplus_0 A_2)\to A \] \[ A_1\otimes A_2\xrightarrow{\ \text{can}\ }(A_1\otimes A_2)\oplus(A_1\oplus_0 A_2) \xrightarrow{\ \text{somme}\ } A \] le second $\oplus_0$ de cette ligne porte un $0$ souligné.

$E_1\otimes E_2$ $\longrightarrow E$

\[ \text{\struck{$A^{\vee}\simeq A_1\otimes A_2$}}\times\cdots\;\big/\;\mathrm{Im}(A_1\oplus_k A_2) \] $E^{\vee}\simeq$ Formes bilin. sur $A_1\times A_2$ telles que

\[ A^{\vee}\simeq(f,\overset{\lambda}{\cdots})\quad\ldots \]

$f$ forme bil. sur $A_1\times A_2\to k$, $\lambda\in k$
$g_1 : A_1\to k$
$g_2 : A_2\to k$

définition […] a) $g_1(1)=g_2(1)$ i.e. $g$ provient d'une forme sur $A_1+A_2\subset A_1\otimes A_2\to k$

b) $f\,|\,(A_1+A_2)=2g$ i.e.

\[ f(x_1,1)=2g_1\qquad x_1\in A_1 \] \[ f(1,x_2)=2g_2\qquad x_2\in A_2 \] ces deux lignes sont barrées d'un trait en boucle.

\[ f(x_1)=\lambda\,\mathrm{Tr}_1(x_1) \] \[ f(x_2)=\lambda\,\mathrm{Tr}_2(x_2) \] \[ 0\to L_1\otimes L_2\to E\xrightarrow{\ \psi\ }\underline{O}\to 0 \] avec $\check{a}\in E$ sous $E$.

$E\to\check{A}$ $\lambda=\varphi(x)$ $E$

189[…] $u$ […] en termes de $u_1$, $u_2$ ?

$u=u_1$ Comparons

Comment Considérons On doit avoir \[ u_1\overset{\xi}{*}u_2=\underset{\sim}{\lambda}\,u+\underset{\sim}{\mu} \qquad\text{trouver } \lambda,\mu \] \[ \mathrm{Tr}_{A/k}(u_1*u_2)=-\lambda\beta+2\mu \] \[ N_{A/k}(u_1*u_2)=\underline{\lambda^2}c+\underline{\mu^2}-\underline{\lambda\mu\beta} \]

base de $A$ : $1,\ u$
base de $E$ : $e=e_1\otimes e_2$, $x=x_1*x_2$ $x=x_1*x_2$, $e=e_1\otimes e_2$
(duale)

$\mathrm{Tr}_{A_1\otimes A_2}$

\[ \langle 1,x\rangle=1\qquad \langle 1,e\rangle=0 \] \[ \langle u,e\rangle=1\qquad \langle u,x\rangle=0 \]

\[ \lambda=\text{\struck{$\langle u,e\rangle$}}\;\langle u_1*u_2,\ \overbrace{e_1\otimes e_2}^{e}\rangle \] \[ \mu=\langle u_1*u_2,\ \underbrace{x_1*x_2}_{x}\rangle \]

$u_1*u_2$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\small}]
A_1\otimes A_2 \arrow[r, "*"] \arrow[rr, bend left=20] & A \arrow[r, "\xi"] & A_1\otimes A_2 \\
E_1\otimes E_2 \arrow[d] & E \arrow[l, "\xi"'] \arrow[d] & E_1\otimes E_2 \arrow[l, "(*)"'] \arrow[d] \\
\underline{O} & \underline{O} & \underline{O}
\end{tikzcd}

les colonnes sont appariées par de petites croix « $\times$ » entre les deux lignes (dualité $A\times E$), et un « $\wedge$ » est posé entre $A_1\otimes A_2$ et le $E_1\otimes E_2$ de droite ; l'étiquette de $A\to A_1\otimes A_2$ est cerclée, avec « $(\mathrm{Tr})$ » au-dessus ; au-dessus de la flèche courbe, $x_1\otimes x_2$ biffé et $\mathbb{F}_2\to\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2$.

\[ \text{\struck{$(x,y)\mapsto x\otimes\cdots$}}\qquad {}^t(\mathrm{id}+\sigma_1\otimes\sigma_2)=\mathrm{id}+({}^t\sigma_1)\otimes({}^t\sigma_2) \] avec ${}^t\sigma_1=\sigma_1$, ${}^t\sigma_2=\sigma_2$.

$u\in A$ défini par \[ \begin{cases} \langle u,\ e_1\otimes e_1\rangle=1\\ \langle u,\ x_1*x_2\rangle=0 \end{cases} \] « $e_1\otimes e_1$ » est sur la page ; on attendrait $e_1\otimes e_2$.

191\[ u_1\qquad u_1^2+b_1u_1+c_1=0 \] \[ u_2\qquad u_2^2+b_2u_2+c_2=0 \] \[ u_1*u_2=u_1\otimes u_2+(u_1+b_1)\otimes(u_2+b_2)=2u_1u_2+b_2u_1+b_1u_2+\underline{\underline{b_1b_2}} \] […] […] […] […] bien des

$A$ : avec $1$ […] si $2=0$, $b_1=b_2=0$

\[ A_1\simeq\underline{O}\oplus L_1^{\vee}\qquad A_2=\underline{O}\oplus L_2^{\vee} \] \[ E_1\simeq\underline{O}+L_1,\qquad E_2\simeq\underline{O}+L_2 \] \[ E_1\otimes E_2\to E_1\wedge E_2\to E_1\otimes E_2 \] \[ x_1\otimes x_2\qquad x_1*x_2\qquad \mathrm{Tr}(x_1\otimes x_2) \]

$A\simeq L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}$ \[ A\simeq\underline{O}\oplus L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee} \]

$e_1\in L_1$ base de $L_1$, $e_2\in L_2$ base de $L_2$

\[ b_1=\beta_1e_1\qquad c_1=\gamma_1e_1^{\otimes 2} \] \[ b_2=\beta_2e_2\qquad c_2=\gamma_2e_2^{\otimes 2} \]

\[ A\simeq\underline{O}+e_1^{*}\ldots\qquad u_1=e_1^{*}\qquad u_2=e_2^{*} \] après $\underline{O}+$, un symbole surchargé, lu $e_1^{*}$ sous réserve.

$u_1^2+\beta_1u_1 = e_1^{*}$ \[ u_1^2+\beta_1u_1+\gamma_1=0 \] \[ u_2^2+\beta_2u_2+\gamma_2=0 \] sous la seconde équation, une ligne barrée et surchargée, où l'on devine $u_1^2+(\beta_1\ldots)\,u_1$ ; le $u_2^2$ de la seconde équation est écrit sur un $u_1$.

$u=2uu'+$le $2$ est surchargé ; rien n'est écrit après le $+$.

\[ x_1,\ e_1\ \longleftrightarrow\ u_1\in A_1\qquad u_1^2+\beta_1u_1+\gamma_1=0 \] \[ \begin{cases} e_1=\varphi(u_1)\\ \langle u_1,\ x_1\rangle=0\\ \varphi(x_1)=1 \end{cases} \] la notation $\langle u_1, x_1\rangle$ est surchargée ; à gauche de l'accolade, un mot biffé. \[ (x_2,\ e_2)\ \longleftarrow\ u_2\in A_2\qquad u_2^2+\beta_2u_2+\gamma_2=0 \] \[ (x_1*x_2,\ e_1\otimes e_2)\ \longleftrightarrow\ u\in A. \] \[ u^2+\beta u+\gamma=0 \]