Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 161–180

Produit tensoriel d'extensions munies de \chi-trivialisations

le calcul qui ouvre la page suppose une suite exacte 0 \to L \to E \to L' \to 0 et un \pi introduits avant ce lot.

x \longmapsto \pi'(x) = \pi(x) - (\chi - 1)\,x \qquad\qquad 0 \to L \to E \to L' \to 0

E \to E ~~\pi'(L)~~ \left\{ \begin{array}{l} \pi'|L = \text{\struck{\ill{}}}\ \mathrm{id}_L \\ \pi'|E/L = L' \;\;)= -(\chi - 1)\,\mathrm{id}_{L'} \end{array} \right. \iff \pi|L = \chi\,\mathrm{id}_L \iff \pi : E \to L

~~\pi'(x)~~

x_1 \otimes x_2 + \underbrace{\pi_1'(x_1)}_{u_1} \otimes \pi_2'(x_2) = u_1 \otimes \bigl(\underbrace{x_2 + \pi_2'(x_2)}_{\chi_2 + \pi_2(x_2) - (\chi - 1) x_2}\bigr) = (2 - \chi)\,x_2 + \pi_2(x_2) \qquad ? le « \chi_2 » sous l'accolade est lu tel quel ; on attendrait x_2. La ligne (2-\chi)x_2 + \pi_2(x_2) est soulignée et suivie d'un point d'interrogation.

L_1 \subset E_1, L_2 \subset E_2, avec \pi_1 et \pi_2 (flèches courbes E_i \to L_i), \chi-triv. \Longrightarrow

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] E_1 \otimes E_2 \arrow[rr, "?"] \arrow[dr] \arrow[d] & & E_1 \otimes E_2 \arrow[d] \\ E_1 \otimes L_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} L_1 \otimes E_2 \arrow[rr, "{\pi_1, \pi_2}"'] \arrow[drr] & E \arrow[ur] & L_1 \otimes L_2 \\ & & \overline{L_1' \otimes L_2'} \end{tikzcd}

lecture du premier diagramme approximative : sous la somme amalgamée on lit « L_1 \otimes L_2 » comme indice, et le dernier sommet porte une barre ; la flèche horizontale du haut est marquée « ? ». Le but de la flèche (\pi_1, \pi_2) est lu L_1 \otimes L_2 ; un accent sur le L_1 n'est pas exclu.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\pi_2"] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\ 0 \arrow[r] & E_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, "\text{inc. can.}"] & E \arrow[r] \arrow[d, "?"] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] \arrow[d, "\chi\,\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] & {} \end{tikzcd}

dans la ligne du milieu, le E_1 de E_1 \otimes L_2 est écrit en surcharge (sur un L_1 ?) ; la flèche de droite entre les deux premières lignes est une égalité.

~~x_1 \quad \pi_1 \quad \alpha +~~

a_1, \pi_1(x_1) \qquad a_2, \pi_2(x_2) \alpha\, x_1 \otimes x_2 + \beta\, x_1 \otimes \pi_2(x_2) + \gamma\, \pi_1(x_1) \otimes x_2 + \delta\, \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)

\pi_i' :\quad \begin{array}{c|cc} & L_i & M_i \\ \hline L_i & \chi & \tau_i \\ M_i & 0 & 0 \end{array} \qquad\qquad \varpi_i' :\quad \begin{array}{c|cc} & L_i & M_i \\ \hline L_i & 0 & -\tau_i \\ M_i & 0 & \chi \end{array}

l_1 \otimes m_2 ~~l_1 + m_2~~

~~\pi_1' \otimes \mathrm{id}_{E_2} + \mathrm{id}_{E_1} \otimes~~

\begin{array}{c|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \pi_1' & \chi & \chi & \tau_1 \otimes \mathrm{id}_{L_2} \\ \pi_2' & \chi & \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 & \chi \\ \pi_1' \otimes \pi_2' & \chi^2 & \chi\, \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 & \chi\, \tau_1 \otimes \mathrm{id}_{L_2} \end{array} les trois colonnes ne portent pas d'en-tête ; la première ligne porte trois « 1 », le premier écrit en surcharge. Les colonnes correspondent vraisemblablement à L_1 \otimes L_2, L_1 \otimes M_2, M_1 \otimes L_2.

\alpha + \beta_1 \pi_1' + \beta_2 \pi_2' + \gamma\, \pi_1' \otimes \pi_2' ~~\alpha \pi_1' + \beta \pi'~~

\boxed{\alpha + (\beta_1 + \beta_2)\chi + \gamma \chi^2 = \chi} \alpha + \beta_1 \chi + \underbrace{\beta_2\, \mathrm{id} \otimes \tau_2 + \gamma \chi\, \mathrm{id} \otimes \tau_2}_{(\beta_2 + \gamma\chi)\, \mathrm{id} \otimes \tau_2} = \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 i.e. \mathrm{id}_{L_1} \otimes \bigl(\beta_1 \chi\, \mathrm{id}_{M_2} + (\beta_2 + \gamma\chi)\tau_2\bigr) = \mathrm{id} \otimes \tau_2 au-dessus de \beta_1, une surcharge « \alpha+ » ; lecture incertaine.

\boxed{\begin{array}{l} \alpha + \beta_1 \chi = 0 \\ \beta_2 + \gamma \chi = 1 \end{array}} l'indice de \beta_1 dans la première équation encadrée est douteux.

Pour définir un homomorphisme F, il faut définir

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \Sigma = (E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \arrow[dl, "{\mathrm{id}_1 \otimes \alpha_2,\ \alpha_1 \otimes \mathrm{id}_2}"'] \arrow[dr, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id}_2,\ \mathrm{id}_1 \otimes \pi_2}"] & \\ E_1 \otimes E_2 \arrow[d, "F_{11}"'] \arrow[drr, "F_{12}"] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[dll, "F_{21}"'] \arrow[d, "F_{22}"] \\ E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "{\mathrm{id}_1 \otimes \psi_2,\ \psi_1 \otimes \mathrm{id}_2}"'] & & M_1 \otimes M_2 \arrow[dl, "{\varpi_1 \otimes \mathrm{id}_2,\ \mathrm{id}_1 \otimes \varpi_2}"] \\ & (E_1 \otimes M_2) \times (M_1 \otimes E_2) = \Pi & \end{tikzcd}

le \oplus de \Sigma est écrit sur un signe biffé ; le E_2 du sommet E_1 \otimes E_2 de gauche, en bas, est surchargé.

car sommes

Si on veut que F induise ~~l'identité~~ un iso d'extensions, donc L_1 \otimes L_2 \to L_1 \otimes L_2, il faut que \boxed{F_{22} = 0}, si on veut de plus que \Sigma induise l'identité sur L_1 \otimes L_2, il faut que \boxed{F_{21} = \alpha_1 \otimes \alpha_2}, et si on veut que F induise l'identité sur M_1 \otimes M_2, il faut que \boxed{F_{12} = \varphi_1 \otimes \psi_2} : Dernière condition reste à vérifier, alors des 4 cas voulus sont déjà automatiques, savoir :

(les quatre composés sont nuls)

la dernière égalité encadrée se lit F_{12} = \varphi_1 \otimes \psi_2 ; on attendrait \psi_1 \otimes \psi_2.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Sigma \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ E_1 \otimes E_2 \arrow[drr, "{0,\ F_{12} = \psi_1 \otimes \psi_2}"'] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "F_{22} = 0"] \\ & & M_1 \otimes M_2 \end{tikzcd}

et ~~E_1 \otimes E_2~~

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "F_{21}"'] \arrow[r, "F_{22} = 0"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[dl] \\ E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & \Pi \end{tikzcd}

disposition des deux derniers diagrammes reconstituée : l'auteur esquisse les composés qui doivent s'annuler ; le sens précis de certaines flèches est douteux.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ E_1 \otimes L_2 \arrow[dr] & \text{cocart.} & L_1 \otimes E_2 \arrow[dl] \\ & E_1 \otimes_0 E_2 & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal] 0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, "\mu"] \arrow[d, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2 \ (\text{cocart.})}"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \vee E_2 \arrow[r] \arrow[d, "?"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \wedge E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\text{cart.}"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, "{\varpi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \varpi_2}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

un trait horizontal barre la page entre les deux premières lignes du diagramme, un « E » biffé à côté de la flèche « ? » ; dans la dernière ligne, E_1 est écrit sur un M_1 biffé.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ E_1 \otimes M_2 \arrow[dr] & \text{cart.} & M_1 \otimes E_2 \arrow[dl] \\ & M_1 \otimes M_2 & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] 0 \arrow[r] & L_1 \arrow[r, "\alpha_1"] & E_1 \arrow[r, "\psi_1"] \arrow[l, bend right=40, dashed, "\pi_1"'] & M_1 \arrow[r] \arrow[l, bend right=40, dashed, "\varpi_1"'] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_2 \arrow[r, "\alpha_2"] & E_2 \arrow[r, "\psi_2"] \arrow[l, bend left=40, dashed, "\pi_2"] & M_2 \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, dashed, "\varpi_2"] & 0 \end{tikzcd}

\pi_i, \varpi_i univoquement déterminés par une \chi-trivialisation

(\pi_1, \varpi_1)\ (\pi_2, \varpi_2) \left\{ \begin{array}{l} \alpha_i \pi_i + \varpi_i \psi_i = \chi\, \mathrm{id}_{E_i} \\ \text{\struck{$\pi_1 \varpi_2 = \chi\, \mathrm{id}_{E_2}$}} \\ \pi_i \alpha_i = \chi\, \mathrm{id}_{L_i} \qquad \text{\struck{\ill{}}} = 0 \\ \psi_i \varpi_i = \chi\, \mathrm{id}_{M_i} \end{array} \right. la dernière relation est écrite sur une formule biffée illisible.

On définit de façon évidente E_1 \vee E_2 et E_1 \wedge E_2, extensions \pi-trivialisées de M_1 \otimes M_2 par L_1 \otimes L_2, et un isomorphisme can. d'extensions de E_1 \vee E_2 sur E_1 \wedge E_2 \left[\; \begin{array}{c} E_1 \otimes L_2 \searrow \\ L_1 \otimes L_2 \qquad E_1 \otimes_0 E_2 \quad \text{cocartésien} \\ L_1 \otimes E_2 \nearrow \end{array} \;\right]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2}"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[d, no head, "\|" description] \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \vee E_2 \arrow[r] & M_1 \otimes M_2 \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \wedge E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[d] \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \end{tikzcd}

dans la première ligne du second diagramme, le signe entre E_1 et E_2 est surchargé (\wedge sur \otimes ?).

Le cas des algèbres quadratiques

u = u_1 \star u_2 - b_1 b_2 = 2 u_1 u_2 + b_2 u_1 + b_1 u_2 \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 un « ! » est écrit au-dessus du \star.

Solution de l'équation u^2 + bu + c = 0 \quad \text{dans } \mathcal{A} (injectif sauf si car. 2 et b_1 = b_2 = 0)une flèche part de la parenthèse vers le \otimes de \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 dans la première ligne. b = b_1 b_2, \qquad c = b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 - 4 c_1 c_2 \delta = b^2 - 4c = \underbrace{\delta_1}_{(b_1^2 - 4c_1)} \underbrace{\delta_2}_{(b_2^2 - 4c_2)}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\text{com. par div. à } \mathcal{A}"] \arrow[rr, bend left=30, "\sigma"] & \mathcal{A}_1 \wedge \mathcal{A}_2 = \mathcal{A} \arrow[r] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \\ E_1 \otimes E_2 & E = E_1 \wedge E_2 \supset L_1 \otimes L_2 \arrow[l] \arrow[d] & E_1 \otimes E_2 \arrow[l, "\text{com. diff. à } E"'] \arrow[d] \arrow[ll, bend left=30, "\sigma"'] \\ & 0 & 0 \end{tikzcd}

diagramme recomposé : deux lignes, l'algèbre en haut et le module en bas, chacune surmontée d'un arc marqué d'un symbole de type \sigma (au-dessus de \mathcal{A}, « \underline{O} » souligné) ; des flèches verticales descendent vers 0. Les étiquettes « com. par div. à \mathcal{A} » et « com. diff. à E » sont d'une lecture douteuse.

f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \longmapsto f^{\sigma} \;\text{\struck{$(\sigma_1 \otimes \sigma_2 + \mathrm{id})(f)$}} = \bigl(\underbrace{\sigma_1 \otimes \sigma_2}_{\sigma} + \mathrm{id}_{\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2}\bigr)(f) = f + \bar f x \in E_1 \otimes E_2 \qquad x^{\sigma} = x + \bar x

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\mathrm{Tr}"] \arrow[d] & \underline{O} \arrow[r, "\mathrm{id}"] \arrow[d] & \underline{O} \arrow[d] \\ \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{A} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[d] \\ L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r, "\mathrm{id}"] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r, "2"] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[d] \\ 0 & 0 & 0 \end{tikzcd}

dans la colonne de droite, \underline{O} est suivi de \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 avant \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 ; la disposition est simplifiée ici.

~~\mathcal{A} = (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2)^{\sigma} si définit car. 2~~

0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0, \qquad 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 E_1 \otimes E_2 E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2 L_1 \otimes E_2

0 \to L \xrightarrow{\;i\;} E \xrightarrow{\;\varphi\;} L' \to 0 E \xrightarrow{\;\pi\;} L \quad \text{tel que } \pi(x) = \chi x \text{ si } x \in L L' \xrightarrow{\;\varpi\;} E \quad \text{tel que } \varphi(\varpi(\lambda)) = \chi \lambda \text{ si } \lambda \in L' E \xrightarrow{f} E tel que

1°)f nul sur L 2°)~~f(x) - \chi x \in L~~ \chi x - f(x) \in L ~~f - \chi\,\mathrm{id}~~ \pi(x)

donc E \xrightarrow{\varphi} L' \xrightarrow{\varpi} E

\boxed{\pi = \chi\,\mathrm{id} - f}

~~\pi identité dans L \Longleftrightarrow~~

\varpi stabilise L \longleftrightarrow f stabilise L (f nul sur L \hookrightarrow E/L)

\pi : id. dans L \longleftrightarrow f induit \chi\,\mathrm{id}_{L'} sur E/L

\pi induit \chi\,\mathrm{id}_L sur L \longleftarrow f nul sur L'

ces trois lignes d'équivalences sont reliées par une accolade et un trait ; leur lecture est douteuse.

0 \to L^{\vee} \hookrightarrow \mathcal{A} \to L^{\vee} \to 0 0 \to L \to E_n \to L' \to 0 ~~0 \to L \otimes M \to E \otimes M \to L' \otimes M \to 0~~ 0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0 \qquad \text{\struck{$E_1 \otimes E_2$}} \qquad 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 \qquad E_1 \simeq \mathcal{A}_1 \otimes \Delta_1 E_1 \wedge E_2 \qquad \overset{\Delta_1^{-1}}{E_1^{\vee}} \wedge \overset{\Delta_2^{-1}}{E_2^{\vee}} \simeq \bigl(\underbrace{E_1 \wedge E_2}_{\Delta_1 \Delta_2}\bigr) \otimes \Delta_1^{-1} \otimes \Delta_2^{-1} \simeq (E_1 \wedge E_2)^{\vee}

\pi(x) = 2x - F(x) \pi(x) - x = x - F(x) le F de la première ligne est écrit sur un f.

\begin{array}{llcll} \mathcal{A}_i & & & \mathcal{A} & u \qquad 1 \\[4pt] E_i & x_i,\ e_i & & E & x_1 \star x_2 = x,\quad e = e_1 \otimes e_2 \\ & \cap \quad \cap & & & \cap \\ & P_i \quad L_i & & & P_3 \end{array} l'indice « 3 » de P_3 est douteux ; le E de la colonne de droite est écrit sur une lettre biffée.

\begin{array}{ll} \langle u_i, x_i \rangle = \langle 1_i, e_i \rangle = 0 & \qquad \langle u, e \rangle = \langle 1, x \rangle = 1 \\ \langle u_i, e_i \rangle = \langle 1_i, x_i \rangle = 1 & \qquad \langle u, x \rangle = \langle 1, e \rangle = 0 \end{array}

u_1 \in \mathcal{A}_1, u_2 \in \mathcal{A}_2 ~~\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2~~ On veut exprimer

~~\sigma(u_1 \star u_2) = 2 u_1 u_2 + b_2 u_1 +~~

u_1 \star u_2 comme \lambda 1_{\mathcal{A}} + \mu u, dans calculs \lambda = \langle \underbrace{u_1 \star u_2}_{u}, x \rangle, \qquad \mu = \langle u_1 \star u_2, e \rangle ~~\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}~~ \langle u_1 \star u_2, x_1 \otimes x_2 \rangle = \langle \underbrace{u_1 \otimes u_2 + \bar u_1 \otimes \bar u_2}_{(u_1 \otimes u_2)^{\sigma}}, x_1 \otimes x_2 \rangle = \langle 2 u_1 \otimes u_2 + b_1 u_2 + u_1 b_2 + b_1 b_2,\ x_1 \otimes x_2 \rangle = b_1 b_2 un « ! » sous le terme b_1 u_2 ; un début de ligne « = 2\beta_1 + \beta » est biffé, ainsi qu'un terme illisible devant 2 u_1 \otimes u_2.

\mu = \langle u_1 \star u_2, e \rangle ~~= \langle \varphi_1(u_1).e_1 \rangle \langle \varphi_2(u_2), e_2 \rangle~~

~~= \langle 2 u_1 \otimes u_2 + b_1 u_2 + u_1 b_2 + b_1 b_2,\ e_1 \otimes e_2 \rangle~~ = 1 \qquad e \in T\,\mathcal{L} \subset T\!E lecture de « e \in T\mathcal{L} \subset TE » très douteuse.

donc u_1 \star u_2 = b_1 b_2 + \text{\struck{\ill{}}}\ u i.e. \boxed{u_1 \star u_2 - b_1 b_2 = u} u_1 \star u_2 - \mathrm{Tr}_1(u_1)\,\mathrm{Tr}_2(u_2) = 2 \,\cdot L'image de u dans \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 est donc \boxed{2 u_1 \otimes u_2 + b_2 u_1 + b_1 u_2}

Compatibilités pour

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\rightrightarrows" description] & \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\mathrm{Tr}"] \arrow[dr, hook] & \underline{O} \arrow[r] & \mathcal{A} \\ & & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[ur] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] {E_1 \otimes L_2,\ L_1 \otimes E_2} \arrow[r, "\rightrightarrows" description] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, "\pi"] \arrow[dr, hook] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E \\ & & E_1 \otimes E_2 \arrow[ur] & \end{tikzcd}

une flèche biffée part de L_1 \otimes L_2 ; la flèche vers E part de L_1 \otimes L_2 en oblique.

Il y a à écrire quatre compatibilités

1°)si u \in L_1 \otimes L_2, x \in E_1 \otimes E_2, donc u \oplus x donne … = donc ; \underline{O} \oplus (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2) \to \underline{O} qui donne … = ~~donc pour~~ \mathcal{A}_1. 2°)f \in \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 alors \langle \underbrace{f - f^{\sigma}}_{\mathrm{Tr}(f).1}, x \rangle = \mathrm{Tr}(f)\, \langle 1 \otimes \text{\uncertain{$1$}}, x \rangle 3°)x \in E_1 \otimes E_2 \langle f, x + \bar x \rangle = \langle f, \pi(x) \rangle = \varphi(f) . \pi(x)

OK la page s'arrête sur « OK », entre deux traits ; le quatrième point annoncé n'est pas écrit ici.

\mathcal{A} \overset{\mathrm{def}}{=} (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2) \oplus_{(\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2)} \underline{O} pour

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] & & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \\ \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_1 \otimes_{\underline{O}} \mathcal{A}_2 \arrow[urr, hook] \arrow[drr, "{\mathrm{Tr}_1, \mathrm{Tr}_2}"'] & & \\ & & \underline{O} \end{tikzcd}

l'indice du second facteur de \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_1 est lu tel quel ; une flèche biffée et un signe biffé précèdent l'inclusion.

E \overset{\mathrm{def}}{=} (E_1 \otimes E_2) \oplus_{E_1 \otimes_0 E_2} L_1 \otimes L_2 pour

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \otimes E_2 \\ E_1 \otimes L_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} L_1 \otimes E_2 \arrow[r, "{(\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2)}"] & L_1 \otimes L_2 \end{tikzcd}

Accouplement, ~~pour~~ dans le produit scalaire (compatible \sigma = \sigma_1 \otimes \sigma_2 \quad \text{dans } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \text{ et } E_1 \otimes E_2, les sont transposés l'un de l'autre, f \longmapsto f^{\sigma} = f + \sigma f, \quad f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2, \qquad x^{\sigma} = x + \sigma x, \quad x \in E_1 \otimes E_2

~~f, x~~ \langle f, x^{\sigma} \rangle = \langle f^{\sigma}, x \rangle = \langle f, x^{\sigma} \rangle i.e. \langle f_1 \otimes f_2, \underbrace{x_1 \otimes x_2}_{?} \rangle = \bigl\langle f_1 \otimes f_2 + (\mathrm{Tr}_1(f_1) - f_1)(\mathrm{Tr}_2(f_2) - f_2),\ x_1 \otimes x_2 \bigr\rangle = \bigl\langle f_1 \otimes f_2,\ (\pi_1(x_1)T_1 - x_1) \otimes (\pi_2(x_2)T_2 - x_2) \qquad + x_1 \otimes x_2 \bigr\rangle la seconde égalité est d'une lecture douteuse (« \pi_1(x_1)T_1 » écrit sur une lettre biffée).

~~i.e. \langle f_1, x_1 \rangle \langle f_2, x_2 \rangle + f_1 \otimes f c'est d'autres~~

Sur les deux on aura \begin{array}{ll} \langle \lambda, u \rangle = 0 & \text{si } \lambda \in \underline{O},\ u \in L_1 \otimes L_2 \\[2pt] \langle f, u \rangle = \langle \varphi(f), u \rangle = \varphi(f).u & \text{si } f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2,\ u \in L_1 \otimes L_2 \\[2pt] \langle \lambda, x \rangle = \lambda\, \pi(x) & \text{si } x \in E_1 \otimes E_2,\ \lambda \in \underline{O} \end{array} la feuille s'arrête là ; l'accouplement se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.