Cote n° 84 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

Produit tensoriel d'extensions munies de \(\chi\)-trivialisations

161le calcul qui ouvre la page suppose une suite exacte \(0 \to L \to E \to L' \to 0\) et un \(\pi\) introduits avant ce lot.

\[ x \longmapsto \pi'(x) = \pi(x) - (\chi - 1)\,x \qquad\qquad 0 \to L \to E \to L' \to 0 \]

[…] \(E \to E\) \(\pi'(L)\) \[ \left\{ \begin{array}{l} \pi'|L = \text{\struck{\ill{}}}\ \mathrm{id}_L \\ \pi'|E/L = L' \;\;)= -(\chi - 1)\,\mathrm{id}_{L'} \end{array} \right. \iff \pi|L = \chi\,\mathrm{id}_L \] \[ \iff \pi : E \to L \]

\(\pi'(x)\)

\[ x_1 \otimes x_2 + \underbrace{\pi_1'(x_1)}_{u_1} \otimes \pi_2'(x_2) = u_1 \otimes \bigl(\underbrace{x_2 + \pi_2'(x_2)}_{\chi_2 + \pi_2(x_2) - (\chi - 1) x_2}\bigr) \] \[ = (2 - \chi)\,x_2 + \pi_2(x_2) \qquad ? \] le « \(\chi_2\) » sous l'accolade est lu tel quel ; on attendrait \(x_2\). La ligne \((2-\chi)x_2 + \pi_2(x_2)\) est soulignée et suivie d'un point d'interrogation.

\(L_1 \subset E_1\), \(L_2 \subset E_2\), avec \(\pi_1\) et \(\pi_2\) (flèches courbes \(E_i \to L_i\)), \(\chi\)-triv. \(\Longrightarrow\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_1 \otimes E_2 \arrow[rr, "?"] \arrow[dr] \arrow[d] & & E_1 \otimes E_2 \arrow[d] \\
E_1 \otimes L_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} L_1 \otimes E_2 \arrow[rr, "{\pi_1, \pi_2}"'] \arrow[drr] & E \arrow[ur] & L_1 \otimes L_2 \\
 & & \overline{L_1' \otimes L_2'}
\end{tikzcd}

lecture du premier diagramme approximative : sous la somme amalgamée on lit « \(L_1 \otimes L_2\) » comme indice, et le dernier sommet porte une barre ; la flèche horizontale du haut est marquée « ? ». Le but de la flèche \((\pi_1, \pi_2)\) est lu \(L_1 \otimes L_2\) ; un accent sur le \(L_1\) n'est pas exclu.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\pi_2"] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & E_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, "\text{inc. can.}"] & E \arrow[r] \arrow[d, "?"] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] \arrow[d, "\chi\,\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & L_1' \otimes L_2' \arrow[r] & {}
\end{tikzcd}

dans la ligne du milieu, le \(E_1\) de \(E_1 \otimes L_2\) est écrit en surcharge (sur un \(L_1\) ?) ; la flèche de droite entre les deux premières lignes est une égalité.

\(x_1 \quad \pi_1 \quad \alpha +\)

\(a_1, \pi_1(x_1) \qquad a_2, \pi_2(x_2)\) \[ \alpha\, x_1 \otimes x_2 + \beta\, x_1 \otimes \pi_2(x_2) + \gamma\, \pi_1(x_1) \otimes x_2 + \delta\, \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2) \]

163\[ \pi_i' :\quad \begin{array}{c|cc} & L_i & M_i \\ \hline L_i & \chi & \tau_i \\ M_i & 0 & 0 \end{array} \qquad\qquad \varpi_i' :\quad \begin{array}{c|cc} & L_i & M_i \\ \hline L_i & 0 & -\tau_i \\ M_i & 0 & \chi \end{array} \]

\(l_1 \otimes m_2\) \(l_1 + m_2\)

\(\pi_1' \otimes \mathrm{id}_{E_2} + \mathrm{id}_{E_1} \otimes\)

\[ \begin{array}{c|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \pi_1' & \chi & \chi & \tau_1 \otimes \mathrm{id}_{L_2} \\ \pi_2' & \chi & \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 & \chi \\ \pi_1' \otimes \pi_2' & \chi^2 & \chi\, \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 & \chi\, \tau_1 \otimes \mathrm{id}_{L_2} \end{array} \] les trois colonnes ne portent pas d'en-tête ; la première ligne porte trois « 1 », le premier écrit en surcharge. Les colonnes correspondent vraisemblablement à \(L_1 \otimes L_2\), \(L_1 \otimes M_2\), \(M_1 \otimes L_2\).

\[ \alpha + \beta_1 \pi_1' + \beta_2 \pi_2' + \gamma\, \pi_1' \otimes \pi_2' \] \(\alpha \pi_1' + \beta \pi'\)

\[ \boxed{\alpha + (\beta_1 + \beta_2)\chi + \gamma \chi^2 = \chi} \] \[ \alpha + \beta_1 \chi + \underbrace{\beta_2\, \mathrm{id} \otimes \tau_2 + \gamma \chi\, \mathrm{id} \otimes \tau_2}_{(\beta_2 + \gamma\chi)\, \mathrm{id} \otimes \tau_2} = \mathrm{id}_{L_1} \otimes \tau_2 \] i.e. \(\mathrm{id}_{L_1} \otimes \bigl(\beta_1 \chi\, \mathrm{id}_{M_2} + (\beta_2 + \gamma\chi)\tau_2\bigr) = \mathrm{id} \otimes \tau_2\) au-dessus de \(\beta_1\), une surcharge « \(\alpha+\) » ; lecture incertaine.

\[ \boxed{\begin{array}{l} \alpha + \beta_1 \chi = 0 \\ \beta_2 + \gamma \chi = 1 \end{array}} \] l'indice de \(\beta_1\) dans la première équation encadrée est douteux.

165Pour définir un homomorphisme \(F\), il faut définir

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \Sigma = (E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \arrow[dl, "{\mathrm{id}_1 \otimes \alpha_2,\ \alpha_1 \otimes \mathrm{id}_2}"'] \arrow[dr, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id}_2,\ \mathrm{id}_1 \otimes \pi_2}"] & \\
E_1 \otimes E_2 \arrow[d, "F_{11}"'] \arrow[drr, "F_{12}"] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[dll, "F_{21}"'] \arrow[d, "F_{22}"] \\
E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "{\mathrm{id}_1 \otimes \psi_2,\ \psi_1 \otimes \mathrm{id}_2}"'] & & M_1 \otimes M_2 \arrow[dl, "{\varpi_1 \otimes \mathrm{id}_2,\ \mathrm{id}_1 \otimes \varpi_2}"] \\
 & (E_1 \otimes M_2) \times (M_1 \otimes E_2) = \Pi &
\end{tikzcd}

le \(\oplus\) de \(\Sigma\) est écrit sur un signe biffé ; le \(E_2\) du sommet \(E_1 \otimes E_2\) de gauche, en bas, est surchargé.

car […] sommes […]

Si on veut que \(F\) induise l'identité ⌜un iso d'extensions, donc⌝ \(L_1 \otimes L_2 \to L_1 \otimes L_2\), il faut que \(\boxed{F_{22} = 0}\), si on veut ⌜de plus⌝ que \(\Sigma\) induise l'identité sur \(L_1 \otimes L_2\), il faut que \(\boxed{F_{21} = \alpha_1 \otimes \alpha_2}\), et si on veut que \(F\) induise l'identité sur \(M_1 \otimes M_2\), il faut que \(\boxed{F_{12} = \varphi_1 \otimes \psi_2}\) : Dernière condition reste à vérifier, alors […] des 4 cas voulus sont déjà automatiques, savoir :

(les quatre composés sont nuls)

la dernière égalité encadrée se lit \(F_{12} = \varphi_1 \otimes \psi_2\) ; on attendrait \(\psi_1 \otimes \psi_2\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Sigma \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
E_1 \otimes E_2 \arrow[drr, "{0,\ F_{12} = \psi_1 \otimes \psi_2}"'] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "F_{22} = 0"] \\
 & & M_1 \otimes M_2
\end{tikzcd}

et \(E_1 \otimes E_2\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "F_{21}"'] \arrow[r, "F_{22} = 0"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[dl] \\
E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & \Pi
\end{tikzcd}

disposition des deux derniers diagrammes reconstituée : l'auteur esquisse les composés qui doivent s'annuler ; le sens précis de certaines flèches est douteux.

167

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
E_1 \otimes L_2 \arrow[dr] & \text{cocart.} & L_1 \otimes E_2 \arrow[dl] \\
 & E_1 \otimes_0 E_2 &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal]
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, "\mu"] \arrow[d, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2 \ (\text{cocart.})}"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \vee E_2 \arrow[r] \arrow[d, "?"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \wedge E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\text{cart.}"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, "{\varpi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \varpi_2}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

un trait horizontal barre la page entre les deux premières lignes du diagramme, un « \(E\) » biffé à côté de la flèche « ? » ; dans la dernière ligne, \(E_1\) est écrit sur un \(M_1\) biffé.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
E_1 \otimes M_2 \arrow[dr] & \text{cart.} & M_1 \otimes E_2 \arrow[dl] \\
 & M_1 \otimes M_2 &
\end{tikzcd}

169

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
0 \arrow[r] & L_1 \arrow[r, "\alpha_1"] & E_1 \arrow[r, "\psi_1"] \arrow[l, bend right=40, dashed, "\pi_1"'] & M_1 \arrow[r] \arrow[l, bend right=40, dashed, "\varpi_1"'] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_2 \arrow[r, "\alpha_2"] & E_2 \arrow[r, "\psi_2"] \arrow[l, bend left=40, dashed, "\pi_2"] & M_2 \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, dashed, "\varpi_2"] & 0
\end{tikzcd}

\(\pi_i\), \(\varpi_i\) univoquement déterminés par une \(\chi\)-trivialisation

\[ (\pi_1, \varpi_1)\ (\pi_2, \varpi_2) \left\{ \begin{array}{l} \alpha_i \pi_i + \varpi_i \psi_i = \chi\, \mathrm{id}_{E_i} \\ \text{\struck{$\pi_1 \varpi_2 = \chi\, \mathrm{id}_{E_2}$}} \\ \pi_i \alpha_i = \chi\, \mathrm{id}_{L_i} \qquad \text{\struck{\ill{}}} = 0 \\ \psi_i \varpi_i = \chi\, \mathrm{id}_{M_i} \end{array} \right. \] la dernière relation est écrite sur une formule biffée illisible.

On définit de façon évidente \(E_1 \vee E_2\) et \(E_1 \wedge E_2\), extensions \(\pi\)-trivialisées de \(M_1 \otimes M_2\) par \(L_1 \otimes L_2\), et un isomorphisme can. d'extensions de \(E_1 \vee E_2\) sur \(E_1 \wedge E_2\) \[ \left[\; \begin{array}{c} E_1 \otimes L_2 \searrow \\ L_1 \otimes L_2 \qquad E_1 \otimes_0 E_2 \quad \text{cocartésien} \\ L_1 \otimes E_2 \nearrow \end{array} \;\right] \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d, "{\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2}"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[d, no head, "\|" description] \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \vee E_2 \arrow[r] & M_1 \otimes M_2
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \wedge E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[d] \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes^{\circ} E_2
\end{tikzcd}

dans la première ligne du second diagramme, le signe entre \(E_1\) et \(E_2\) est surchargé (\(\wedge\) sur \(\otimes\) ?).

Le cas des algèbres quadratiques

171\[ u = u_1 \star u_2 - b_1 b_2 = 2 u_1 u_2 + b_2 u_1 + b_1 u_2 \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \] un « ! » est écrit au-dessus du \(\star\).

Solution de l'équation \[ u^2 + bu + c = 0 \quad \text{dans } \mathcal{A} \] (injectif sauf si car. \(2\) et \(b_1 = b_2 = 0\))une flèche part de la parenthèse vers le \(\otimes\) de \(\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2\) dans la première ligne. \[ b = b_1 b_2, \qquad c = b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 - 4 c_1 c_2 \] \[ \delta = b^2 - 4c = \underbrace{\delta_1}_{(b_1^2 - 4c_1)} \underbrace{\delta_2}_{(b_2^2 - 4c_2)} \]

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\text{com. par div. à } \mathcal{A}"] \arrow[rr, bend left=30, "\sigma"] & \mathcal{A}_1 \wedge \mathcal{A}_2 = \mathcal{A} \arrow[r] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \\
E_1 \otimes E_2 & E = E_1 \wedge E_2 \supset L_1 \otimes L_2 \arrow[l] \arrow[d] & E_1 \otimes E_2 \arrow[l, "\text{com. diff. à } E"'] \arrow[d] \arrow[ll, bend left=30, "\sigma"'] \\
 & 0 & 0
\end{tikzcd}

diagramme recomposé : deux lignes, l'algèbre en haut et le module en bas, chacune surmontée d'un arc marqué d'un symbole de type \(\sigma\) (au-dessus de \(\mathcal{A}\), « \(\underline{O}\) » souligné) ; des flèches verticales descendent vers \(0\). Les étiquettes « com. par div. à \(\mathcal{A}\) » et « com. diff. à \(E\) » sont d'une lecture douteuse.

\[ f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \longmapsto f^{\sigma} \;\text{\struck{$(\sigma_1 \otimes \sigma_2 + \mathrm{id})(f)$}} \] \[ = \bigl(\underbrace{\sigma_1 \otimes \sigma_2}_{\sigma} + \mathrm{id}_{\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2}\bigr)(f) = f + \bar f \] \[ x \in E_1 \otimes E_2 \qquad x^{\sigma} = x + \bar x \]

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\mathrm{Tr}"] \arrow[d] & \underline{O} \arrow[r, "\mathrm{id}"] \arrow[d] & \underline{O} \arrow[d] \\
\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{A} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[d] \\
L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r, "\mathrm{id}"] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r, "2"] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[d] \\
0 & 0 & 0
\end{tikzcd}

dans la colonne de droite, \(\underline{O}\) est suivi de \(\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2\) avant \(\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2\) ; la disposition est simplifiée ici.

\(\mathcal{A}\) \(=\) \((\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2)^{\sigma}\) si […] définit […] car. \(2\)

\[ 0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0, \qquad 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 \] \(E_1 \otimes E_2\) \(E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2\) \(L_1 \otimes E_2\)

173\[ 0 \to L \xrightarrow{\;i\;} E \xrightarrow{\;\varphi\;} L' \to 0 \] \[ E \xrightarrow{\;\pi\;} L \quad \text{tel que } \pi(x) = \chi x \text{ si } x \in L \] \[ L' \xrightarrow{\;\varpi\;} E \quad \text{tel que } \varphi(\varpi(\lambda)) = \chi \lambda \text{ si } \lambda \in L' \] \(E \xrightarrow{f} E\) tel que

1. 1°)\(f\) nul sur \(L\)
2. 2°)\(f(x) - \chi x \in L\) \(\chi x - f(x) \in L\) \(f - \chi\,\mathrm{id}\) \(\pi(x)\)

donc \(E \xrightarrow{\varphi} L' \xrightarrow{\varpi} E\) […]

\[ \boxed{\pi = \chi\,\mathrm{id} - f} \]

\(\pi\) identité dans \(L\) \(\Longleftrightarrow\)

\(\varpi\) stabilise \(L\) \(\longleftrightarrow\) \(f\) stabilise \(L\) (\(f\) nul sur \(L \hookrightarrow E/L\))

\(\pi\) : id. dans \(L\) \(\longleftrightarrow\) \(f\) induit […] \(\chi\,\mathrm{id}_{L'}\) sur \(E/L\)

\(\pi\) induit \(\chi\,\mathrm{id}_L\) sur \(L\) \(\longleftarrow\) \(f\) nul sur \(L'\)

ces trois lignes d'équivalences sont reliées par une accolade et un trait ; leur lecture est douteuse.

\[ 0 \to L^{\vee} \hookrightarrow \mathcal{A} \to L^{\vee} \to 0 \] \[ 0 \to L \to E_n \to L' \to 0 \] \(0 \to L \otimes M \to E \otimes M \to L' \otimes M \to 0\) \[ 0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0 \qquad \text{\struck{$E_1 \otimes E_2$}} \qquad 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 \] \[ 0 \to L_1 \to E_1 \to L_1' \to 0 \] \[ 0 \to L_2 \to E_2 \to L_2' \to 0 \qquad E_1 \simeq \mathcal{A}_1 \otimes \Delta_1 \] \[ E_1 \wedge E_2 \qquad \overset{\Delta_1^{-1}}{E_1^{\vee}} \wedge \overset{\Delta_2^{-1}}{E_2^{\vee}} \simeq \bigl(\underbrace{E_1 \wedge E_2}_{\Delta_1 \Delta_2}\bigr) \otimes \Delta_1^{-1} \otimes \Delta_2^{-1} \] \[ \simeq (E_1 \wedge E_2)^{\vee} \]

\[ \pi(x) = 2x - F(x) \] \[ \pi(x) - x = x - F(x) \] le \(F\) de la première ligne est écrit sur un \(f\).

175\[ \begin{array}{llcll} \mathcal{A}_i & & & \mathcal{A} & u \qquad 1 \\[4pt] E_i & x_i,\ e_i & & E & x_1 \star x_2 = x,\quad e = e_1 \otimes e_2 \\ & \cap \quad \cap & & & \cap \\ & P_i \quad L_i & & & P_3 \end{array} \] l'indice « \(3\) » de \(P_3\) est douteux ; le \(E\) de la colonne de droite est écrit sur une lettre biffée.

\[ \begin{array}{ll} \langle u_i, x_i \rangle = \langle 1_i, e_i \rangle = 0 & \qquad \langle u, e \rangle = \langle 1, x \rangle = 1 \\ \langle u_i, e_i \rangle = \langle 1_i, x_i \rangle = 1 & \qquad \langle u, x \rangle = \langle 1, e \rangle = 0 \end{array} \]

\(u_1 \in \mathcal{A}_1\), \(u_2 \in \mathcal{A}_2\) \(\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2\) On veut exprimer

\(\sigma(u_1 \star u_2) = 2 u_1 u_2 + b_2 u_1 +\)

\(u_1 \star u_2\) comme \(\lambda 1_{\mathcal{A}} + \mu u\), dans calculs \[ \lambda = \langle \underbrace{u_1 \star u_2}_{u}, x \rangle, \qquad \mu = \langle u_1 \star u_2, e \rangle \] \(\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}\) \[ \langle u_1 \star u_2, x_1 \otimes x_2 \rangle = \langle \underbrace{u_1 \otimes u_2 + \bar u_1 \otimes \bar u_2}_{(u_1 \otimes u_2)^{\sigma}}, x_1 \otimes x_2 \rangle \] \[ = \langle 2 u_1 \otimes u_2 + b_1 u_2 + u_1 b_2 + b_1 b_2,\ x_1 \otimes x_2 \rangle \] \[ = b_1 b_2 \] un « ! » sous le terme \(b_1 u_2\) ; un début de ligne « \(= 2\beta_1 + \beta\) » est biffé, ainsi qu'un terme illisible devant \(2 u_1 \otimes u_2\).

\[ \mu = \langle u_1 \star u_2, e \rangle \] \(= \langle \varphi_1(u_1).e_1 \rangle \langle \varphi_2(u_2), e_2 \rangle\)

\(= \langle 2 u_1 \otimes u_2 + b_1 u_2 + u_1 b_2 + b_1 b_2,\ e_1 \otimes e_2 \rangle\) \[ = 1 \qquad e \in T\,\mathcal{L} \subset T\!E \] lecture de « \(e \in T\mathcal{L} \subset TE\) » très douteuse.

donc \[ u_1 \star u_2 = b_1 b_2 + \text{\struck{\ill{}}}\ u \] i.e. \[ \boxed{u_1 \star u_2 - b_1 b_2 = u} \] \[ u_1 \star u_2 - \mathrm{Tr}_1(u_1)\,\mathrm{Tr}_2(u_2) = 2 \,\cdot \] L'image de \(u\) dans \(\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2\) est donc \[ \boxed{2 u_1 \otimes u_2 + b_2 u_1 + b_1 u_2} \]

177Compatibilités pour

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\rightrightarrows" description] & \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 \arrow[r, "\mathrm{Tr}"] \arrow[dr, hook] & \underline{O} \arrow[r] & \mathcal{A} \\
 & & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
{E_1 \otimes L_2,\ L_1 \otimes E_2} \arrow[r, "\rightrightarrows" description] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, "\pi"] \arrow[dr, hook] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E \\
 & & E_1 \otimes E_2 \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

une flèche biffée part de \(L_1 \otimes L_2\) ; la flèche vers \(E\) part de \(L_1 \otimes L_2\) en oblique.

Il y a à écrire quatre compatibilités

1. 1°)si \(u \in L_1 \otimes L_2\), \(x \in E_1 \otimes E_2\), donc \(u \oplus x\) donne … \(=\) donc ; \(\underline{O} \oplus (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2) \to \underline{O}\) qui donne … \(=\) donc pour \(\mathcal{A}_1\).
2. 2°)\(f \in \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2\) alors \[ \langle \underbrace{f - f^{\sigma}}_{\mathrm{Tr}(f).1}, x \rangle = \mathrm{Tr}(f)\, \langle 1 \otimes \text{\uncertain{$1$}}, x \rangle \]
3. 3°)\(x \in E_1 \otimes E_2\) \[ \langle f, x + \bar x \rangle = \langle f, \pi(x) \rangle = \varphi(f) . \pi(x) \]

OK la page s'arrête sur « OK », entre deux traits ; le quatrième point annoncé n'est pas écrit ici.

179\[ \mathcal{A} \overset{\mathrm{def}}{=} (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2) \oplus_{(\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2)} \underline{O} \] pour

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small]
 & & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \\
\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_1 \otimes_{\underline{O}} \mathcal{A}_2 \arrow[urr, hook] \arrow[drr, "{\mathrm{Tr}_1, \mathrm{Tr}_2}"'] & & \\
 & & \underline{O}
\end{tikzcd}

l'indice du second facteur de \(\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_1\) est lu tel quel ; une flèche biffée et un signe biffé précèdent l'inclusion.

\[ E \overset{\mathrm{def}}{=} (E_1 \otimes E_2) \oplus_{E_1 \otimes_0 E_2} L_1 \otimes L_2 \] pour

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\|" description] & E_1 \otimes E_2 \\
E_1 \otimes L_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} L_1 \otimes E_2 \arrow[r, "{(\pi_1 \otimes \mathrm{id},\ \mathrm{id} \otimes \pi_2)}"] & L_1 \otimes L_2
\end{tikzcd}

Accouplement, pour dans le produit scalaire […] (compatible […] \[ \sigma = \sigma_1 \otimes \sigma_2 \quad \text{dans } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \text{ et } E_1 \otimes E_2, \] les […] sont transposés l'un de l'autre, \[ f \longmapsto f^{\sigma} = f + \sigma f, \quad f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2, \qquad x^{\sigma} = x + \sigma x, \quad x \in E_1 \otimes E_2 \]

\(f, x\) \[ \langle f, x^{\sigma} \rangle = \langle f^{\sigma}, x \rangle = \langle f, x^{\sigma} \rangle \] i.e. \[ \langle f_1 \otimes f_2, \underbrace{x_1 \otimes x_2}_{?} \rangle = \bigl\langle f_1 \otimes f_2 + (\mathrm{Tr}_1(f_1) - f_1)(\mathrm{Tr}_2(f_2) - f_2),\ x_1 \otimes x_2 \bigr\rangle \] \[ = \bigl\langle f_1 \otimes f_2,\ (\pi_1(x_1)T_1 - x_1) \otimes (\pi_2(x_2)T_2 - x_2) \] \[ \qquad + x_1 \otimes x_2 \bigr\rangle \] la seconde égalité est d'une lecture douteuse (« \(\pi_1(x_1)T_1\) » écrit sur une lettre biffée).

i.e. \(\langle f_1, x_1 \rangle \langle f_2, x_2 \rangle +\) […] \(f_1 \otimes f\) c'est d'autres

Sur les deux […] […] on aura \[ \begin{array}{ll} \langle \lambda, u \rangle = 0 & \text{si } \lambda \in \underline{O},\ u \in L_1 \otimes L_2 \\[2pt] \langle f, u \rangle = \langle \varphi(f), u \rangle = \varphi(f).u & \text{si } f \in \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2,\ u \in L_1 \otimes L_2 \\[2pt] \langle \lambda, x \rangle = \lambda\, \pi(x) & \text{si } x \in E_1 \otimes E_2,\ \lambda \in \underline{O} \end{array} \] la feuille s'arrête là ; l'accouplement se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.