Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 141–160

la page reprend un calcul commencé avant la batterie : F_{11}, E_i, L_i, M_i, \pi_i, \psi_i et la constante \chi sont introduits plus haut dans le dossier Si on a pu définir F_{11}, des deux connus, dans l'hom F est un hom d'ext. (induisant id sur L_1\otimes L_2 et sur M_1\otimes M_2), donc est un iso.

Construction F_{11}\colon E_1\otimes E_2\to E_1\otimes E_2 .

1°) Connu sur E_1\otimes_0 E_2, alors la composéemot en partie surchargé E_1\otimes_0 E_2\xrightarrow{\ \pi\ } L_1\otimes L_2\hookrightarrow E_1\otimes E_2 (\chi-rétraction de E_1\otimes_0 E_2 sur le sous-module L_1\otimes L_2), i.e. F_{11}\circ\mu est connu :

\begin{tikzcd}[column sep=large] E_1\otimes_0 E_2 \arrow[r, hook, "\mu"] \arrow[dr, dashed, "\pi"'] & E_1\otimes E_2 \arrow[r, "F_{11}"] & E_1\otimes E_2 \\ & L_1\otimes L_2 \arrow[ur, dashed, "\alpha_1\otimes\alpha_2"'] & \end{tikzcd}

2°) \nu\circ F_{11} est connu, de façon précise :

\begin{tikzcd}[column sep=large] E_1\otimes E_2 \arrow[r, "F_{11}"] \arrow[dr, "\psi_1\otimes\psi_2"'] & E_1\otimes E_2 \arrow[r, "\nu"] & E_1\otimes^{0} E_2 \\ & M_1\otimes M_2 \arrow[ur, "\varpi"'] & \end{tikzcd}

~~NB \pi(\alpha_1\otimes L_2)=\chi\,\mathrm{id}_{L_1}\otimes L_2~~ NB \pi\circ(\alpha_1\otimes\alpha_2)=\chi\,\mathrm{id}_{L_1\otimes L_2}, (\psi_1\otimes\psi_2)\circ\varpi=\chi\,\mathrm{id}_{M_1\otimes M_2}

\boxed{\begin{gathered} \chi\,\mathrm{id}-(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma\,\pi'_1\otimes\pi'_2\\ \gamma\chi=2 \qquad \text{e.g. } \chi=2,\ \gamma=1 \end{gathered}}

dans le cas \chi=2, on aura \left\{\begin{aligned} F_{11}(\text{\struck{\ill{}}}\,x)&=\bar x+x\\ \bar x_i&=x_i-\pi_i(x_i) \end{aligned}\right. \qquad \bar x_1\otimes\bar x_2=\bar x_1\otimes\bar x_2 la seconde formule est lue telle quelle ; le second membre est en partie effacé i.e. \boxed{\pi_i(x_i)=x_i-\bar x_i}

NB La donnée du \pi_1 équivaut à celle de \sigma_1 induisant -\mathrm{id}_{L_1} et +\mathrm{id}_{M_1}.

E_1\circledast E_2le signe au-dessus de E_2 est surchargé et illisible E_1\circledast E_2=E_1\otimes E_2\oplus L_1\otimes L_2, où L_1\otimes L_2 est accolé à (E_1\otimes_0 E_2)

dans les premières lignes de la page, f surcharge partout un u antérieur (u_i devient f_i) ; seul ce qui suit « tq. » garde le u f_i endom. de E_i tq. u_i(L_i)\subset L_i, u_i|L_i=u_i^{!}\colon L_i\to L_i. ~~u_2 endom. de E_2~~ \begin{align*} &f_1\otimes f_2 \text{ sur } E_1\otimes E_2\\ &f_1^{!}\otimes f_2^{!} \text{ sur } L_1\otimes L_2 \end{align*} ~~u_1\otimes u_2~~ \begin{align*} f(x_1\otimes x_2)&=f_1(x_1)\otimes f_2(x_2)\\ f(u_1\otimes u_2)&=f_1^{!}(u_1)\otimes f_2^{!}(u_2) \end{align*}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & E_1\otimes E_2 & \\ x_1\otimes u_2 \arrow[r] \arrow[dr] & x_1\otimes u_2 \arrow[r] & f_1(x_1)\circledast f_2(u_2) \\ & \pi_1(x_1)\otimes u_2 \arrow[r] & f_1^{!}(\pi_1(x_1))\otimes f_2^{!}(u_2) \end{tikzcd}

les flèches du diagramme sont des \mapsto sur la page ; à gauche, au-dessus de x_1\otimes u_2 : E_1\otimes L_2, avec le signe \in couché f_1(x_1)\circledast u_2=f_1^{!}(\pi_1(x_1))\otimes u_2 ~~f(x.~~ Ex f_1= f_1(x_1)=f_1(\pi\ \ldots la formule s'interrompt sur le début d'un \pi x_1-\pi_1(x_1) E_1\otimes E_2\longrightarrow L_1\otimes L_2 sous la flèche, un \alpha isolé ; le L_1 surcharge un E_1

\begin{tikzcd}[column sep=small] & E_1\otimes E_2 \arrow[r] & L_1\otimes L_2 \\ E_1\otimes L_2 \arrow[ur] \arrow[r] & L_1\otimes L_2 \arrow[ur] & \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale supérieure, une étiquette \chi\, f_1\otimes f_2 surchargée de traits verticaux (peut-être des « ! ») ; à droite de la ligne inférieure, une étiquette biffée, suivie de ce qui est peut-être f_1^{!}\otimes f_2^{!}

\begin{array}{cc} E_1 & E_2\\ {\scriptstyle f_1}\downarrow & \downarrow{\scriptstyle f_2}\\ L_1 & L_2\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array} \qquad \begin{array}{cc} f_1 & f_2\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array} \qquad \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\,f_2 \chi\, f_1(x_1)\otimes \overbrace{f_2(u_2)}^{\lambda_2 u_2} l'argument de f_2 surcharge un x_2 ; le \lambda_2 de l'accolade est repassé ~~f_1(f_1(x_1))\otimes u_2~~

\lambda_1 ~~\lambda_2~~ \pi_1(x_1)\otimes

~~f_1(~~ x_1\otimes\lambda_2 u_2 \chi(\pi_1(x_1)\otimes u_2)

~~f_1\otimes f_2~~ ~~\lambda_1\lambda_2(\pi_1(x_1)\otimes u_2)~~ f_1(\pi_1(x_1))\otimes f_2(u_2)

~~\lambda_1 f_1(x_1)=\lambda~~ \lambda_1\pi_1(x_1)=f_1(x_1)

T_1=2\cdot 1_1,\,-b_1\ =\ \begin{pmatrix}2&0\\-b_1&0\end{pmatrix} \qquad \bar T_1=\begin{pmatrix}0&0\\b_1&2\end{pmatrix} le « 2 » de T_1 surcharge un autre signe ; dans \bar T_1 les deux zéros de la première ligne sont cerclés

\boxed{b=b_1b_2}cerclé

(E_1,\xi_1),(E_2,\xi_2)\longrightarrow(E,\xi) avecmot repassé, peut-être biffé, \downarrow triv. b_1 b_2

~~b_1=E_1~~ \begin{align*} b_1 &: M_1\xrightarrow{\ \tau_1\ }E_1\xrightarrow{\ \pi_1\ }L_1\\ -b_1 &: M_1\xrightarrow{\ \varpi_1\ }E_1\xrightarrow{\ \tau_1\cdot\ }L_1 \end{align*} trivialisations \xi\simeq\beta (-trivialisations) \left.\begin{aligned} \tau'_1&=\tau_1+u_1\\ b'_1&=b_1+\chi u_1 \end{aligned}\ \right|\ \begin{aligned} \tau'_2&=\tau_2+u_2\\ b'_2&=b_2+\chi u_2 \end{aligned} \qquad u_i\in\mathrm{Hom}(M_i,L_i) \beta_*(\xi)=b\in\mathrm{Hom}(M_1,L_1)\qquad \beta'(\eta)=-b devant \beta_*, un mot biffé \begin{align*} x_1&\mapsto \pi_1(\tau_1^{*}(x_1))\\ x_1&\mapsto \pi_1(\tau_1(x_1)+u_1(x_1))=\pi_1(\tau_1(x_1)) \end{align*}

\begin{align*} \sigma_1&=\mathrm{id}_1-\gamma\,\pi_1\\ \sigma_2&=\mathrm{id}_2-\gamma\,\pi_2 \end{align*} \begin{align*} \mathrm{id}_{12}+\sigma_1\otimes\sigma_2 &=\mathrm{id}_{12}+\mathrm{id}_{12}-\gamma(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma^2\pi'_1\otimes\pi'_2\\ &=2\,\mathrm{id}_{12}-\gamma(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma^2\pi'_1\otimes\pi'_2 \end{align*} le second \mathrm{id}_{12}+{} est ajouté au-dessus de la ligne et relié par un trait \boxed{\gamma\chi=2} \qquad \begin{aligned} \beta_1&=\beta_2=1-\gamma\chi\\ \alpha&=-\chi(1-\gamma\chi) \end{aligned} \qquad \boxed{\begin{aligned}\beta&=-1\\ \alpha&=\chi\end{aligned}}

~~\sigma_1=\alpha_1+\beta_1\pi_1~~ \sigma_i=\lambda 1_i+\mu\pi_i \begin{align*} \mathrm{id}+\sigma_1\otimes\sigma_2 &=\underbrace{\mathrm{id}_{12}+\lambda^2\mathrm{id}_{12}}_{(1+\lambda^2)\,\mathrm{id}_{12}} +\lambda\mu(\pi'_1+\pi'_2)+\mu^2\pi'_1\otimes\pi'_2 \end{align*} \boxed{\left\{\begin{aligned} \lambda^2+1&=\chi\\ \lambda\mu&=-1\\ \mu^2&=\gamma \end{aligned}\right.}

u_i de E_i i.e.

\mathcal{H}_i= 1,0

0\to L\to E\to M\to 0 0\to\mathrm{Hom}(M,L)\longrightarrow\mathcal{H}/\mathrm{id}\longrightarrow\frac{\mathcal{O}\times\mathcal{O}}{\mathcal{O}}\to 0 \qquad \to\mathcal{H}\to\mathcal{O}\to la flèche de gauche porte une étiquette biffée ; \mathcal{H} est barré d'un trait oblique suivi de « id » en indice, lu ici comme un quotient \begin{align*} \sigma(u)&=(\lambda(u)+\mu(u))\,\mathrm{id}_E-u\\ u+\sigma(u)&=(\lambda(u)+\mu(u))\,\mathrm{id} \end{align*} \begin{array}{c} \mathrm{Hom}(M\otimes M',\,L\otimes L')\\ \uparrow\\ \mathrm{Hom}(M,L)\otimes\mathrm{Hom}(M',L') \end{array}

~~Mais je veux compatibilité avec les \pi-trivialisations.~~ la première ligne et le petit diagramme qui suit sont barrés de traits obliques

~~E_1\vee E_2\ \big\downarrow\,\pi_{E_1\vee E_2}~~ \bigl(x_1\otimes x_2+\bar x_1\otimes\bar x_2\bigr) \quad \bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)\bigl(x_2-\pi_2(x_2)\bigr)\bigr) la première expression est entourée ; la seconde, sous \bar x_1\otimes\bar x_2, en développe les facteurs \begin{align*} \bar{\bar x}_1&=\bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)-\underbrace{\pi_1\bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)}_{-\pi_1(x_1)+\chi\pi_1(x_1)}=x_1\\ &\hphantom{=}\qquad\text{avec } \chi=2 \end{align*} au-dessus de la parenthèse, « x_1, 0 » biffé

x_1\mapsto\bar x_1 induit -\mathrm{id} sur L_1, +\mathrm{id} sur M_1=E_1/L_1 \pi^2-\chi\pi=0\qquad \pi(\pi-\chi)=0 \qquad 0,\ \chi \varpi_1(x_1)=2x_1-\pi_1(x_1) \begin{align*} x_1-\varpi_1(x_1) &=x_1-\bigl(2x_1-\pi_1(x_1)\bigr)=\pi_1(x_1)-x_1=-\bar x_1 \end{align*} \underbrace{(\chi-1)\,\mathrm{id}+(1-\pi_1)\otimes(1-\pi_2)}+(\gamma-1)\,\pi_1\otimes\pi_2 sous les deux « 1 » de (1-\pi_1)\otimes(1-\pi_2), un petit 1 en indice

\underbrace{\beta_1\doteq\beta_2}_{\beta}=1-\gamma\chi \qquad \alpha=-\beta\chi=-\chi(1-\gamma\chi) sous les deux occurrences de \gamma, trois petits traits horizontaux -\chi(1-\gamma\chi)\,\mathrm{id}+(1-\gamma\chi)(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma\,\pi'_1\otimes\pi'_2 \qquad \gamma\in\mathbb{Z} -\chi\underbrace{(1-\gamma\chi)}+2(1-\gamma\chi)\chi+\gamma\chi^2=\chi \qquad \text{\struck{$2\chi-\chi$}}\ \chi=\chi \quad \text{o.k.!} ~~\boxed{2\neq\chi}~~ \begin{align*} &-\chi\cdot(1-\gamma\chi)\,\mathrm{id}_{M_1\otimes M_2} +(1-\gamma\chi)\bigl[(\tau_1\otimes\mathrm{id}_2)+\mathrm{id}_1\otimes\tau_2\bigr]\\ &\quad\text{\struck{$x_1\otimes x_2$}}+\gamma\,\tau_1\otimes\tau_2 \end{align*} \left\{\begin{aligned} -\chi(1-\gamma\chi)&=\chi\\ 1-\gamma\chi&=-1 \end{aligned}\right. \qquad 1-\gamma\chi=-1 \qquad \boxed{\gamma\chi=2} ok si \chi=\pm 2 , si \chila ligne s'arrête sur \chi

\chi=2, \gamma=1, \beta=-1, \alpha=2, donc on prend \text{\struck{$2\,\mathrm{id}$}}\quad 2\,\mathrm{id}_{E_1\otimes E_2}-(\pi_{E_1}\otimes\mathrm{id}_{E_2}+\mathrm{id}_{E_1}\otimes\pi_{E_2}) +\pi_{E_1}\otimes\pi_{E_2} une flèche courbe renvoie de « \beta=-1, \alpha=2 » à cette formule \begin{align*} x_1\otimes x_2\longmapsto{}& 2x_1\otimes x_2-\pi_1(x_1)\otimes x_2-x_1\otimes\pi_2(x_2)\\ &+\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \end{align*} ~~\equiv x_1\otimes x_2+(\bar x_1\otimes\bar x_2)~~ \begin{align*} \bar x_1&=\tau_1\psi_1(x_1)-x_1=x_1-\pi_1(x_1)\\ \pi_1(x_1)&=2x_1-\tau_1\psi_1(x_1) \end{align*}

\text{\struck{$E_1\otimes E_2\to$}}\quad L_1\otimes L_2+M_1\otimes L_2+L_1\otimes M_2+M_1\otimes M_2 deux accolades sous la ligne regroupent les termes deux à deux ; dans le deuxième terme, M_1 surcharge un L_1 et le second facteur, repassé, est lu L_2

\begin{tikzcd}[column sep=large] E_1\otimes_0 E_2 \arrow[r, "F_{11}^{!}"] \arrow[d] \arrow[dr, "\pi"] & E_1\otimes E_2 \arrow[r] & E_1\otimes^0 E_2 \\ E_1\otimes E_2 \arrow[dr, "\psi_1\otimes\psi_2"'] & L_1\otimes L_2 \arrow[u, "\alpha_1\otimes\alpha_2"'] & \\ & M_1\otimes M_2 \arrow[uur, bend right=20] & \end{tikzcd}

à côté de \alpha_1\otimes\alpha_2, un mot souligné, peut-être « connu » ; une flèche courbe relie ce mot à la flèche de M_1\otimes M_2 vers E_1\otimes^0 E_2 ; le placement exact des flèches inférieures est simplifié (E_1\otimes M_2)\times(M_1\otimes E_2)

L_1\otimes L_2 — \otimes — \otimesdeux \otimes cerclés

\begin{array}{c|cccc} & L_1\otimes L_2 & L_1\otimes M_2 & M_1\otimes L_2 & M_1\otimes M_2\\ \hline L_1\otimes L_2 & \chi & \mathrm{id}_{L_1}\otimes\tau_2 & \tau_1\otimes\mathrm{id}_{L_2} & ?\ (\tau_1\otimes\tau_2\,?)\\ L_1\otimes M_2 & 0 & 0 & 0 & \doteq\ \tau_1\otimes\mathrm{id}_{M_2}\\ M_1\otimes L_2 & 0 & 0 & 0 & \doteq\ \mathrm{id}_{M_1}\otimes\tau_2\\ M_1\otimes M_1 & 0 & 0 & 0 & \chi \end{array} « M_1\otimes M_1 » sic en tête de la dernière ligne ; une flèche verticale le long de la colonne d'en-tête remonte de la dernière ligne vers la première

On trouve que les 2 connuessur F_{11} sont compatibles, et laissent une indéterminée, qui est un hom de M_1\otimes M_2 dans L_1\otimes L_2 : E_1\otimes E_2\qquad E_1\otimes E_2 \pi'_1=\alpha_1\pi_1\ \Big|\ \varpi'_1=\varpi_1\psi_1\qquad \pi'_1+\varpi \pi'_2=\alpha_2\pi_2\qquad \varpi'_2=\omega_2\psi_2

C'est normal, on pourrait l' par que le fait que d'extensions — et celle-ci est , on a l'indétermination des choix !

~~-\chi(1-\delta\chi)~~ \boxed{\begin{aligned} &-\chi(1-\delta\chi)\,x_1\otimes x_2+(1-\delta\chi)\bigl[x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2\bigr]\\ &\qquad+\delta\,\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \end{aligned}} au-dessus de l'encadré, une lettre isolée, peut-être \xi ; \delta joue ici le rôle de la constante notée \gamma aux pages précédentes

Si \chi=2, on peut prendre \delta=1, donc \begin{align*} \alpha&=-2(1-2)=2\\ \beta&=\gamma=1-2=-1 \end{align*} donc 2x_1\otimes x_2-\bigl[(x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2)\bigr]+\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \begin{align*} &\text{\struck{$\pi_i(x_i)=2x_i-\tau_i\psi_i(x_i)$}}\\ \pi_i(x_i)&=2x_i-\tau_i\psi_i(x_i)=2x_i-(x_i+\bar x_i)=x_i-\bar x_i\\ \bar x_i&=\tau_i\psi_i(x_i)-x_i\\ x_i+\bar x_i&=\tau_i\psi_i(x_i) \end{align*} \begin{align*} &2x_1\otimes x_2-\bigl[(x_1\otimes(x_2-\bar x_2))+(x_1-\bar x_1)\otimes x_2\bigr]\\ &\qquad+(x_1-\bar x_1)\otimes(x_2-\bar x_2)\\ &=x_1\otimes x_2+\bar x_1\otimes\bar x_2 \qquad\text{o.k.} \end{align*} \begin{align*} \bar x_i&=x_i-\pi_i(x_i)=\Bigl\{\\ &x_1\otimes x_2+\text{\struck{$(x_i-\pi_i(x_i))$}} \end{align*} -\chi(1-\delta\chi)\overset{?}{=}\chi\qquad -1+\delta\chi=1\qquad \boxed{\delta\chi=2}

~~\alpha\,u_1\otimes x_2+~~ ~~\alpha\,\ill{}+\chi\gamma~~ (\alpha+\chi\gamma)\,u_1\otimes x_2+(\beta+\delta\chi)\,u_1\otimes\pi_2(x_2) sous le second terme, « \shortparallel u_1\otimes\pi_2(x_2) » ; \beta y surcharge une lettre (\alpha+\chi\gamma)\,u_1\otimes x_2+(\beta+\delta\chi-1)\,u_1\otimes\pi_2(x_2)=0 \forall u_1\in L_1, x_2\in E_2,

si x_2=u_2, on trouve (\alpha+\chi\gamma)+\chi(\beta+\delta\chi-1)=0 u_1\otimes\bigl[(\alpha+\chi\gamma)\,x_2+(\beta+\delta\chi-1)\,\pi_2(x_2)\bigr]=0 au-dessus de la première de ces deux formules, un « u_1 » isolé

Donc dans L^{!}_2 on a : (\alpha+\chi\gamma)\,\mathrm{id}=0 \qquad \alpha+\chi\gamma=0 \qquad \alpha=-\chi\gamma donc \alpha=-\chi\beta donc \underline{\beta=\gamma}

~~\beta+\delta~~ -\chi\beta\,x_1\otimes x_2+\beta\bigl(x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2\bigr)+\delta\,\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) il reste donc \text{\struck{$\ldots\oplus(\beta\ldots$}}\quad(\beta+\delta\chi-1)\,\pi_2(x_2)=0 \boxed{\beta+\delta\chi=1} \qquad \begin{aligned} \beta&=1-\delta\chi\\ \alpha&=-\chi\beta=\text{\struck{$-\chi+\chi^2$}} \end{aligned} \beta=\beta=1-\delta\chi\qquad \alpha=-\chi(1-\delta\chi) la dernière ligne est écrite en bas à gauche, sous le numéro du feuillet ; le second \beta surcharge une autre lettre

\begin{gathered} 0\to L_1\to E_1\to L'_1\to 0\\ 0\to L_2\to E_2\to L'_2\to 0 \end{gathered} L_1, L'_1 facteurs . Mais supposons L'_1, L'_2 loc. libres de rang fini.

dans les deux suites exactes, L_1 et L_2 surchargent E ; dans la seconde, et devant \otimes L_2 à la ligne suivante, L porte un exposant qui a la forme d'un « 4 », transcrit « ! » par analogie avec les pages précédentes \longrightarrow\qquad 0\to L^{!}_1\otimes L_2\to E_1\wedge E_2\to L'_1\otimes L'_2\to 0 0\leftarrow L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}\leftarrow E_1^{\vee}\wedge E_2^{\vee}\leftarrow L_1'^{\vee}\otimes L_2'^{\vee}\leftarrow 0 des accolades sous la seconde suite relient L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee} et L_1'^{\vee}\otimes L_2'^{\vee} aux termes de la suite précédente \exists des qu. E_1^{\vee}\wedge E_2^{\vee}\simeq(E_1\wedge E_2)^{\vee} \mathrm{Hom}(L'_1,\mathcal{O})\otimes\mathrm{Hom}(L'_2,\mathcal{O})\simeq\mathrm{Hom}(L'_1\otimes L'_2,\mathcal{O}) \text{\struck{$f_1$}}\otimes f_2+\bar f_1\otimes\bar f_2,\qquad u_1\otimes u_2 \begin{array}{c} A_1\otimes A_2 \curvearrowleft\\ \downarrow\quad A_1\otimes_0 A_2\\ L_1\otimes L_2\quad \pi_1\otimes\mathrm{id}\\ \phantom{L_1\otimes L_2}\quad\mathrm{id}\otimes\pi_2 \end{array} \qquad \begin{aligned} &\bigl(\mathrm{Tr}_1(f_1)-f_1\bigr)\otimes\bigl(\mathrm{Tr}_2(f_2)-f_2\bigr)\\ &\bigl(\tau'_1(f_1)-f_1\bigr)\bigl(\pi_2\psi_2)-f_2\bigr) \end{aligned} à gauche, une flèche verticale de A_1\otimes A_2 vers L_1\otimes L_2 et une flèche oblique remontant vers A_1\otimes_0 A_2 ; la seconde ligne de droite est lue telle quelle, les parenthèses n'y sont pas équilibrées \text{\struck{$f_1$}}\qquad \text{\struck{$f_2$}}\qquad f_1 \pi_1(x_1)-\ldots \qquad \text{\struck{$\sigma=\pi$}}\qquad \sigma(x)=\pi(x)\cdot 1-x \qquad \sigma=\pi\otimes e-\mathrm{id} dans \pi\otimes e, la lettre lue e est peut-être un \ell \begin{aligned} \pi_1(x_1)\qquad x_1\otimes x_2&\longmapsto \text{\struck{$\pi_1(x_1)\otimes x$}}\quad u_1\otimes\pi_2(x_2)\\ x_1\otimes x_2&\longmapsto \pi_1(x_1)\otimes u_2 \end{aligned} \qquad u_1\otimes\underline{\pi\sigma(x_2)}=\ldots le second membre de la dernière formule s'interrompt après le signe d'égalité \boxed{x_1\otimes x_2+\pi'_1(x_1)\otimes\pi'_2(x_2)} \left\{\begin{aligned} &\pi_2(x)=\overbrace{x}^{(\chi-1)x}+\pi'_2(x)\\ &\text{si } x\in L_2,\ \ldots\\ &\pi'_2(x)=x \end{aligned}\right. écrit en oblique : 2x-\psi(x)\tau ; x-\psi(x)\tau=-\sigma(x) la page s'achève sur ce calcul ; rien ne montre où il se poursuit