Cote n° 84, pages 141–160

Cote n° 84 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

141la page reprend un calcul commencé avant la batterie : $F_{11}$, $E_i$, $L_i$, $M_i$, $\pi_i$, $\psi_i$ et la constante $\chi$ sont introduits plus haut dans le dossier Si on a pu définir $F_{11}$, […] […] des deux […] connus, dans l'hom $F$ est un hom d'ext. […] […] (induisant id sur $L_1\otimes L_2$ et sur $M_1\otimes M_2$), donc est un iso.

Construction […] $F_{11}\colon E_1\otimes E_2\to E_1\otimes E_2$ […].

1°) Connu sur $E_1\otimes_0 E_2$, alors la composéemot en partie surchargé $E_1\otimes_0 E_2\xrightarrow{\ \pi\ } L_1\otimes L_2\hookrightarrow E_1\otimes E_2$ ($\chi$-rétraction de $E_1\otimes_0 E_2$ sur le sous-module $L_1\otimes L_2$), i.e. $F_{11}\circ\mu$ est connu :

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_1\otimes_0 E_2 \arrow[r, hook, "\mu"] \arrow[dr, dashed, "\pi"'] & E_1\otimes E_2 \arrow[r, "F_{11}"] & E_1\otimes E_2 \\
 & L_1\otimes L_2 \arrow[ur, dashed, "\alpha_1\otimes\alpha_2"'] &
\end{tikzcd}

2°) $\nu\circ F_{11}$ est connu, de façon précise :

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_1\otimes E_2 \arrow[r, "F_{11}"] \arrow[dr, "\psi_1\otimes\psi_2"'] & E_1\otimes E_2 \arrow[r, "\nu"] & E_1\otimes^{0} E_2 \\
 & M_1\otimes M_2 \arrow[ur, "\varpi"'] &
\end{tikzcd}

NB $\pi(\alpha_1\otimes L_2)=\chi\,\mathrm{id}_{L_1}\otimes L_2$ NB $\pi\circ(\alpha_1\otimes\alpha_2)=\chi\,\mathrm{id}_{L_1\otimes L_2}$, $(\psi_1\otimes\psi_2)\circ\varpi=\chi\,\mathrm{id}_{M_1\otimes M_2}$

\[ \boxed{\begin{gathered} \chi\,\mathrm{id}-(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma\,\pi'_1\otimes\pi'_2\\ \gamma\chi=2 \qquad \text{e.g. } \chi=2,\ \gamma=1 \end{gathered}} \]

dans le cas $\chi=2$, on aura \[ \left\{\begin{aligned} F_{11}(\text{\struck{\ill{}}}\,x)&=\bar x+x\\ \bar x_i&=x_i-\pi_i(x_i) \end{aligned}\right. \qquad \bar x_1\otimes\bar x_2=\bar x_1\otimes\bar x_2 \] la seconde formule est lue telle quelle ; le second membre est en partie effacé i.e. $\boxed{\pi_i(x_i)=x_i-\bar x_i}$

NB La donnée du $\pi_1$ équivaut à celle de $\sigma_1$ […] induisant $-\mathrm{id}_{L_1}$ et $+\mathrm{id}_{M_1}$.

143$E_1\circledast E_2$le signe au-dessus de $E_2$ est surchargé et illisible $E_1\circledast E_2=E_1\otimes E_2\oplus L_1\otimes L_2$, où $L_1\otimes L_2$ est accolé à $(E_1\otimes_0 E_2)$

dans les premières lignes de la page, $f$ surcharge partout un $u$ antérieur ($u_i$ devient $f_i$) ; seul ce qui suit « tq. » garde le $u$ $f_i$ endom. de $E_i$ tq. $u_i(L_i)\subset L_i$, $u_i|L_i=u_i^{!}\colon L_i\to L_i$. $u_2$ endom. de $E_2$ \[\begin{align*} &f_1\otimes f_2 \text{ sur } E_1\otimes E_2\\ &f_1^{!}\otimes f_2^{!} \text{ sur } L_1\otimes L_2 \end{align*}\] $u_1\otimes u_2$ \[\begin{align*} f(x_1\otimes x_2)&=f_1(x_1)\otimes f_2(x_2)\\ f(u_1\otimes u_2)&=f_1^{!}(u_1)\otimes f_2^{!}(u_2) \end{align*}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & E_1\otimes E_2 & \\
x_1\otimes u_2 \arrow[r] \arrow[dr] & x_1\otimes u_2 \arrow[r] & f_1(x_1)\circledast f_2(u_2) \\
 & \pi_1(x_1)\otimes u_2 \arrow[r] & f_1^{!}(\pi_1(x_1))\otimes f_2^{!}(u_2)
\end{tikzcd}

les flèches du diagramme sont des $\mapsto$ sur la page ; à gauche, au-dessus de $x_1\otimes u_2$ : $E_1\otimes L_2$, avec le signe $\in$ couché \[ f_1(x_1)\circledast u_2=f_1^{!}(\pi_1(x_1))\otimes u_2 \] $f(x$. Ex $f_1=$ […] \[ f_1(x_1)=f_1(\pi\ \ldots \] la formule s'interrompt sur le début d'un $\pi$ \[ x_1-\pi_1(x_1) \] \[ E_1\otimes E_2\longrightarrow L_1\otimes L_2 \] sous la flèche, un $\alpha$ isolé ; le $L_1$ surcharge un $E_1$

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & E_1\otimes E_2 \arrow[r] & L_1\otimes L_2 \\
E_1\otimes L_2 \arrow[ur] \arrow[r] & L_1\otimes L_2 \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale supérieure, une étiquette $\chi\, f_1\otimes f_2$ surchargée de traits verticaux (peut-être des « ! ») ; à droite de la ligne inférieure, une étiquette biffée, suivie de ce qui est peut-être $f_1^{!}\otimes f_2^{!}$

\[ \begin{array}{cc} E_1 & E_2\\ {\scriptstyle f_1}\downarrow & \downarrow{\scriptstyle f_2}\\ L_1 & L_2\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array} \qquad \begin{array}{cc} f_1 & f_2\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array} \qquad \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\,f_2 \] \[ \chi\, f_1(x_1)\otimes \overbrace{f_2(u_2)}^{\lambda_2 u_2} \] l'argument de $f_2$ surcharge un $x_2$ ; le $\lambda_2$ de l'accolade est repassé $f_1(f_1(x_1))\otimes u_2$

$\lambda_1$ $\lambda_2$ $\pi_1(x_1)\otimes$ […]

$f_1($ $x_1\otimes\lambda_2 u_2$ $\chi(\pi_1(x_1)\otimes u_2)$

$f_1\otimes f_2$ $\lambda_1\lambda_2(\pi_1(x_1)\otimes u_2)$ $f_1(\pi_1(x_1))\otimes f_2(u_2)$

$\lambda_1 f_1(x_1)=\lambda$ \[ \lambda_1\pi_1(x_1)=f_1(x_1) \]

145\[ T_1=2\cdot 1_1,\,-b_1\ =\ \begin{pmatrix}2&0\\-b_1&0\end{pmatrix} \qquad \bar T_1=\begin{pmatrix}0&0\\b_1&2\end{pmatrix} \] le « $2$ » de $T_1$ surcharge un autre signe ; dans $\bar T_1$ les deux zéros de la première ligne sont cerclés

$\boxed{b=b_1b_2}$cerclé […]

$(E_1,\xi_1),(E_2,\xi_2)\longrightarrow(E,\xi)$ avecmot repassé, peut-être biffé, $\downarrow$ triv. […] $b_1$ $b_2$

$b_1=E_1$ \[\begin{align*} b_1 &: M_1\xrightarrow{\ \tau_1\ }E_1\xrightarrow{\ \pi_1\ }L_1\\ -b_1 &: M_1\xrightarrow{\ \varpi_1\ }E_1\xrightarrow{\ \tau_1\cdot\ }L_1 \end{align*}\] trivialisations $\xi\simeq\beta$ ([…]-trivialisations) \[ \left.\begin{aligned} \tau'_1&=\tau_1+u_1\\ b'_1&=b_1+\chi u_1 \end{aligned}\ \right|\ \begin{aligned} \tau'_2&=\tau_2+u_2\\ b'_2&=b_2+\chi u_2 \end{aligned} \qquad u_i\in\mathrm{Hom}(M_i,L_i) \] \[ \beta_*(\xi)=b\in\mathrm{Hom}(M_1,L_1)\qquad \beta'(\eta)=-b \] devant $\beta_*$, un mot biffé \[\begin{align*} x_1&\mapsto \pi_1(\tau_1^{*}(x_1))\\ x_1&\mapsto \pi_1(\tau_1(x_1)+u_1(x_1))=\pi_1(\tau_1(x_1)) \end{align*}\]

147\[\begin{align*} \sigma_1&=\mathrm{id}_1-\gamma\,\pi_1\\ \sigma_2&=\mathrm{id}_2-\gamma\,\pi_2 \end{align*}\] \[\begin{align*} \mathrm{id}_{12}+\sigma_1\otimes\sigma_2 &=\mathrm{id}_{12}+\mathrm{id}_{12}-\gamma(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma^2\pi'_1\otimes\pi'_2\\ &=2\,\mathrm{id}_{12}-\gamma(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma^2\pi'_1\otimes\pi'_2 \end{align*}\] le second $\mathrm{id}_{12}+{}$ est ajouté au-dessus de la ligne et relié par un trait \[ \boxed{\gamma\chi=2} \qquad \begin{aligned} \beta_1&=\beta_2=1-\gamma\chi\\ \alpha&=-\chi(1-\gamma\chi) \end{aligned} \qquad \boxed{\begin{aligned}\beta&=-1\\ \alpha&=\chi\end{aligned}} \]

$\sigma_1=\alpha_1+\beta_1\pi_1$ \[ \sigma_i=\lambda 1_i+\mu\pi_i \] \[\begin{align*} \mathrm{id}+\sigma_1\otimes\sigma_2 &=\underbrace{\mathrm{id}_{12}+\lambda^2\mathrm{id}_{12}}_{(1+\lambda^2)\,\mathrm{id}_{12}} +\lambda\mu(\pi'_1+\pi'_2)+\mu^2\pi'_1\otimes\pi'_2 \end{align*}\] \[ \boxed{\left\{\begin{aligned} \lambda^2+1&=\chi\\ \lambda\mu&=-1\\ \mu^2&=\gamma \end{aligned}\right.} \]

$u_i$ […] de […] $E_i$ i.e. […] […]

$\mathcal{H}_i=$ […] […] $1,0$

\[ 0\to L\to E\to M\to 0 \] \[ 0\to\mathrm{Hom}(M,L)\longrightarrow\mathcal{H}/\mathrm{id}\longrightarrow\frac{\mathcal{O}\times\mathcal{O}}{\mathcal{O}}\to 0 \qquad \to\mathcal{H}\to\mathcal{O}\to \] la flèche de gauche porte une étiquette biffée ; $\mathcal{H}$ est barré d'un trait oblique suivi de « id » en indice, lu ici comme un quotient \[\begin{align*} \sigma(u)&=(\lambda(u)+\mu(u))\,\mathrm{id}_E-u\\ u+\sigma(u)&=(\lambda(u)+\mu(u))\,\mathrm{id} \end{align*}\] \[ \begin{array}{c} \mathrm{Hom}(M\otimes M',\,L\otimes L')\\ \uparrow\\ \mathrm{Hom}(M,L)\otimes\mathrm{Hom}(M',L') \end{array} \]

149Mais je veux compatibilité avec les $\pi$-trivialisations. la première ligne et le petit diagramme qui suit sont barrés de traits obliques

$E_1\vee E_2\ \big\downarrow\,\pi_{E_1\vee E_2}$ \[ \bigl(x_1\otimes x_2+\bar x_1\otimes\bar x_2\bigr) \quad \bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)\bigl(x_2-\pi_2(x_2)\bigr)\bigr) \] la première expression est entourée ; la seconde, sous $\bar x_1\otimes\bar x_2$, en développe les facteurs \[\begin{align*} \bar{\bar x}_1&=\bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)-\underbrace{\pi_1\bigl(x_1-\pi_1(x_1)\bigr)}_{-\pi_1(x_1)+\chi\pi_1(x_1)}=x_1\\ &\hphantom{=}\qquad\text{avec } \chi=2 \end{align*}\] au-dessus de la parenthèse, « $x_1$, $0$ » biffé

$x_1\mapsto\bar x_1$ induit $-\mathrm{id}$ sur $L_1$, $+\mathrm{id}$ sur $M_1=E_1/L_1$ \[ \pi^2-\chi\pi=0\qquad \pi(\pi-\chi)=0 \qquad 0,\ \chi \] \[ \varpi_1(x_1)=2x_1-\pi_1(x_1) \] \[\begin{align*} x_1-\varpi_1(x_1) &=x_1-\bigl(2x_1-\pi_1(x_1)\bigr)=\pi_1(x_1)-x_1=-\bar x_1 \end{align*}\] \[ \underbrace{(\chi-1)\,\mathrm{id}+(1-\pi_1)\otimes(1-\pi_2)}+(\gamma-1)\,\pi_1\otimes\pi_2 \] sous les deux « $1$ » de $(1-\pi_1)\otimes(1-\pi_2)$, un petit $1$ en indice

151\[ \underbrace{\beta_1\doteq\beta_2}_{\beta}=1-\gamma\chi \qquad \alpha=-\beta\chi=-\chi(1-\gamma\chi) \] sous les deux occurrences de $\gamma$, trois petits traits horizontaux \[ -\chi(1-\gamma\chi)\,\mathrm{id}+(1-\gamma\chi)(\pi'_1+\pi'_2)+\gamma\,\pi'_1\otimes\pi'_2 \qquad \gamma\in\mathbb{Z} \] \[ -\chi\underbrace{(1-\gamma\chi)}+2(1-\gamma\chi)\chi+\gamma\chi^2=\chi \qquad \text{\struck{$2\chi-\chi$}}\ \chi=\chi \quad \text{o.k.!} \] $\boxed{2\neq\chi}$ \[\begin{align*} &-\chi\cdot(1-\gamma\chi)\,\mathrm{id}_{M_1\otimes M_2} +(1-\gamma\chi)\bigl[(\tau_1\otimes\mathrm{id}_2)+\mathrm{id}_1\otimes\tau_2\bigr]\\ &\quad\text{\struck{$x_1\otimes x_2$}}+\gamma\,\tau_1\otimes\tau_2 \end{align*}\] \[ \left\{\begin{aligned} -\chi(1-\gamma\chi)&=\chi\\ 1-\gamma\chi&=-1 \end{aligned}\right. \qquad 1-\gamma\chi=-1 \qquad \boxed{\gamma\chi=2} \] ok si $\chi=\pm 2$ […], si $\chi$la ligne s'arrête sur $\chi$

$\chi=2$, $\gamma=1$, $\beta=-1$, $\alpha=2$, donc on prend \[ \text{\struck{$2\,\mathrm{id}$}}\quad 2\,\mathrm{id}_{E_1\otimes E_2}-(\pi_{E_1}\otimes\mathrm{id}_{E_2}+\mathrm{id}_{E_1}\otimes\pi_{E_2}) +\pi_{E_1}\otimes\pi_{E_2} \] une flèche courbe renvoie de « $\beta=-1$, $\alpha=2$ » à cette formule \[\begin{align*} x_1\otimes x_2\longmapsto{}& 2x_1\otimes x_2-\pi_1(x_1)\otimes x_2-x_1\otimes\pi_2(x_2)\\ &+\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \end{align*}\] $\equiv x_1\otimes x_2+(\bar x_1\otimes\bar x_2)$ \[\begin{align*} \bar x_1&=\tau_1\psi_1(x_1)-x_1=x_1-\pi_1(x_1)\\ \pi_1(x_1)&=2x_1-\tau_1\psi_1(x_1) \end{align*}\]

153\[ \text{\struck{$E_1\otimes E_2\to$}}\quad L_1\otimes L_2+M_1\otimes L_2+L_1\otimes M_2+M_1\otimes M_2 \] deux accolades sous la ligne regroupent les termes deux à deux ; dans le deuxième terme, $M_1$ surcharge un $L_1$ et le second facteur, repassé, est lu $L_2$

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_1\otimes_0 E_2 \arrow[r, "F_{11}^{!}"] \arrow[d] \arrow[dr, "\pi"] & E_1\otimes E_2 \arrow[r] & E_1\otimes^0 E_2 \\
E_1\otimes E_2 \arrow[dr, "\psi_1\otimes\psi_2"'] & L_1\otimes L_2 \arrow[u, "\alpha_1\otimes\alpha_2"'] & \\
 & M_1\otimes M_2 \arrow[uur, bend right=20] &
\end{tikzcd}

à côté de $\alpha_1\otimes\alpha_2$, un mot souligné, peut-être « connu » ; une flèche courbe relie ce mot à la flèche de $M_1\otimes M_2$ vers $E_1\otimes^0 E_2$ ; le placement exact des flèches inférieures est simplifié $(E_1\otimes M_2)\times(M_1\otimes E_2)$

$L_1\otimes L_2$ — $\otimes$ — $\otimes$deux $\otimes$ cerclés

\[ \begin{array}{c|cccc} & L_1\otimes L_2 & L_1\otimes M_2 & M_1\otimes L_2 & M_1\otimes M_2\\ \hline L_1\otimes L_2 & \chi & \mathrm{id}_{L_1}\otimes\tau_2 & \tau_1\otimes\mathrm{id}_{L_2} & ?\ (\tau_1\otimes\tau_2\,?)\\ L_1\otimes M_2 & 0 & 0 & 0 & \doteq\ \tau_1\otimes\mathrm{id}_{M_2}\\ M_1\otimes L_2 & 0 & 0 & 0 & \doteq\ \mathrm{id}_{M_1}\otimes\tau_2\\ M_1\otimes M_1 & 0 & 0 & 0 & \chi \end{array} \] « $M_1\otimes M_1$ » sic en tête de la dernière ligne ; une flèche verticale le long de la colonne d'en-tête remonte de la dernière ligne vers la première

On trouve que les $2$ […] […] […] connues⌜sur $F_{11}$⌝ sont compatibles, et laissent une indéterminée, qui est un hom de $M_1\otimes M_2$ dans $L_1\otimes L_2$ : \[ E_1\otimes E_2\qquad E_1\otimes E_2 \] \[ \pi'_1=\alpha_1\pi_1\ \Big|\ \varpi'_1=\varpi_1\psi_1\qquad \pi'_1+\varpi \] \[ \pi'_2=\alpha_2\pi_2\qquad \varpi'_2=\omega_2\psi_2 \]

C'est normal, on pourrait l'[…] par […] que le fait que […] […] […] d'extensions — et celle-ci est […], on a l'indétermination des choix !

155$-\chi(1-\delta\chi)$ \[ \boxed{\begin{aligned} &-\chi(1-\delta\chi)\,x_1\otimes x_2+(1-\delta\chi)\bigl[x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2\bigr]\\ &\qquad+\delta\,\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \end{aligned}} \] au-dessus de l'encadré, une lettre isolée, peut-être $\xi$ ; $\delta$ joue ici le rôle de la constante notée $\gamma$ aux pages précédentes

Si $\chi=2$, on peut prendre $\delta=1$, donc \[\begin{align*} \alpha&=-2(1-2)=2\\ \beta&=\gamma=1-2=-1 \end{align*}\] donc \[ 2x_1\otimes x_2-\bigl[(x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2)\bigr]+\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \] \[\begin{align*} &\text{\struck{$\pi_i(x_i)=2x_i-\tau_i\psi_i(x_i)$}}\\ \pi_i(x_i)&=2x_i-\tau_i\psi_i(x_i)=2x_i-(x_i+\bar x_i)=x_i-\bar x_i\\ \bar x_i&=\tau_i\psi_i(x_i)-x_i\\ x_i+\bar x_i&=\tau_i\psi_i(x_i) \end{align*}\] \[\begin{align*} &2x_1\otimes x_2-\bigl[(x_1\otimes(x_2-\bar x_2))+(x_1-\bar x_1)\otimes x_2\bigr]\\ &\qquad+(x_1-\bar x_1)\otimes(x_2-\bar x_2)\\ &=x_1\otimes x_2+\bar x_1\otimes\bar x_2 \qquad\text{o.k.} \end{align*}\] \[\begin{align*} \bar x_i&=x_i-\pi_i(x_i)=\Bigl\{\\ &x_1\otimes x_2+\text{\struck{$(x_i-\pi_i(x_i))$}} \end{align*}\] \[ -\chi(1-\delta\chi)\overset{?}{=}\chi\qquad -1+\delta\chi=1\qquad \boxed{\delta\chi=2} \]

157$\alpha\,u_1\otimes x_2+$ $\alpha\,\ill{}+\chi\gamma$ \[ (\alpha+\chi\gamma)\,u_1\otimes x_2+(\beta+\delta\chi)\,u_1\otimes\pi_2(x_2) \] sous le second terme, « $\shortparallel$ $u_1\otimes\pi_2(x_2)$ » ; $\beta$ y surcharge une lettre \[ (\alpha+\chi\gamma)\,u_1\otimes x_2+(\beta+\delta\chi-1)\,u_1\otimes\pi_2(x_2)=0 \] $\forall u_1\in L_1$, $x_2\in E_2$,

si $x_2=u_2$, on trouve \[ (\alpha+\chi\gamma)+\chi(\beta+\delta\chi-1)=0 \] \[ u_1\otimes\bigl[(\alpha+\chi\gamma)\,x_2+(\beta+\delta\chi-1)\,\pi_2(x_2)\bigr]=0 \] au-dessus de la première de ces deux formules, un « $u_1$ » isolé

Donc dans $L^{!}_2$ on a : \[ (\alpha+\chi\gamma)\,\mathrm{id}=0 \qquad \alpha+\chi\gamma=0 \qquad \alpha=-\chi\gamma \] donc […] $\alpha=-\chi\beta$ donc $\underline{\beta=\gamma}$

$\beta+\delta$ \[ -\chi\beta\,x_1\otimes x_2+\beta\bigl(x_1\otimes\pi_2(x_2)+\pi_1(x_1)\otimes x_2\bigr)+\delta\,\pi_1(x_1)\otimes\pi_2(x_2) \] il reste donc […] \[ \text{\struck{$\ldots\oplus(\beta\ldots$}}\quad(\beta+\delta\chi-1)\,\pi_2(x_2)=0 \] \[ \boxed{\beta+\delta\chi=1} \qquad \begin{aligned} \beta&=1-\delta\chi\\ \alpha&=-\chi\beta=\text{\struck{$-\chi+\chi^2$}} \end{aligned} \] \[ \beta=\beta=1-\delta\chi\qquad \alpha=-\chi(1-\delta\chi) \] la dernière ligne est écrite en bas à gauche, sous le numéro du feuillet ; le second $\beta$ surcharge une autre lettre

159\[ \begin{gathered} 0\to L_1\to E_1\to L'_1\to 0\\ 0\to L_2\to E_2\to L'_2\to 0 \end{gathered} \] $L_1$, $L'_1$ facteurs […]. Mais supposons $L'_1$, $L'_2$ loc. libres de rang fini.

dans les deux suites exactes, $L_1$ et $L_2$ surchargent $E$ ; dans la seconde, et devant $\otimes L_2$ à la ligne suivante, $L$ porte un exposant qui a la forme d'un « 4 », transcrit « ! » par analogie avec les pages précédentes \[ \longrightarrow\qquad 0\to L^{!}_1\otimes L_2\to E_1\wedge E_2\to L'_1\otimes L'_2\to 0 \] \[ 0\leftarrow L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}\leftarrow E_1^{\vee}\wedge E_2^{\vee}\leftarrow L_1'^{\vee}\otimes L_2'^{\vee}\leftarrow 0 \] des accolades sous la seconde suite relient $L_1^{\vee}\otimes L_2^{\vee}$ et $L_1'^{\vee}\otimes L_2'^{\vee}$ aux termes de la suite précédente $\exists$ des qu. $E_1^{\vee}\wedge E_2^{\vee}\simeq(E_1\wedge E_2)^{\vee}$ \[ \mathrm{Hom}(L'_1,\mathcal{O})\otimes\mathrm{Hom}(L'_2,\mathcal{O})\simeq\mathrm{Hom}(L'_1\otimes L'_2,\mathcal{O}) \] \[ \text{\struck{$f_1$}}\otimes f_2+\bar f_1\otimes\bar f_2,\qquad u_1\otimes u_2 \] \[ \begin{array}{c} A_1\otimes A_2 \curvearrowleft\\ \downarrow\quad A_1\otimes_0 A_2\\ L_1\otimes L_2\quad \pi_1\otimes\mathrm{id}\\ \phantom{L_1\otimes L_2}\quad\mathrm{id}\otimes\pi_2 \end{array} \qquad \begin{aligned} &\bigl(\mathrm{Tr}_1(f_1)-f_1\bigr)\otimes\bigl(\mathrm{Tr}_2(f_2)-f_2\bigr)\\ &\bigl(\tau'_1(f_1)-f_1\bigr)\bigl(\pi_2\psi_2)-f_2\bigr) \end{aligned} \] à gauche, une flèche verticale de $A_1\otimes A_2$ vers $L_1\otimes L_2$ et une flèche oblique remontant vers $A_1\otimes_0 A_2$ ; la seconde ligne de droite est lue telle quelle, les parenthèses n'y sont pas équilibrées \[ \text{\struck{$f_1$}}\qquad \text{\struck{$f_2$}}\qquad f_1 \] \[ \pi_1(x_1)-\ldots \qquad \text{\struck{$\sigma=\pi$}}\qquad \sigma(x)=\pi(x)\cdot 1-x \qquad \sigma=\pi\otimes e-\mathrm{id} \] dans $\pi\otimes e$, la lettre lue $e$ est peut-être un $\ell$ \[ \begin{aligned} \pi_1(x_1)\qquad x_1\otimes x_2&\longmapsto \text{\struck{$\pi_1(x_1)\otimes x$}}\quad u_1\otimes\pi_2(x_2)\\ x_1\otimes x_2&\longmapsto \pi_1(x_1)\otimes u_2 \end{aligned} \qquad u_1\otimes\underline{\pi\sigma(x_2)}=\ldots \] le second membre de la dernière formule s'interrompt après le signe d'égalité \[ \boxed{x_1\otimes x_2+\pi'_1(x_1)\otimes\pi'_2(x_2)} \] \[ \left\{\begin{aligned} &\pi_2(x)=\overbrace{x}^{(\chi-1)x}+\pi'_2(x)\\ &\text{si } x\in L_2,\ \ldots\\ &\pi'_2(x)=x \end{aligned}\right. \] écrit en oblique : $2x-\psi(x)\tau$ ; $x-\psi(x)\tau=-\sigma(x)$ la page s'achève sur ce calcul ; rien ne montre où il se poursuit