Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 121–140

Produit d'extensions et chi-scindages

la page reprend une construction commencée avant ce lot ; la notation \mathfrak{X}, X_i y est déjà fixée

Une variante, pour X_1, X_2, X_3 fixés, la situation universelle, où le (universel), sera.

\mathfrak{X}_0 = X_1 \wedge X_2 \wedge X_3, muni du revêtement X_{1\,\mathfrak{X}_0},\quad X_{2\,\mathfrak{X}_0},\quad X_{3\,\mathfrak{X}_0} \qquad (X_{i\,\mathfrak{X}_0} = X_i \times_{\mathfrak{X}} \mathfrak{X}_0) l'indice du produit fibré est lu \mathfrak{X} ; il pourrait être \mathfrak{X}_0

d'où \mathfrak{X} \mapsto X_1 \times X_2 \times X_3, …

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & X_{1\,\mathfrak{X}_0} \arrow[dr] & \\ X_1 \times X_2 \times X_3 \arrow[ur, "{(\mathrm{pr}_1,\wedge)}"] \arrow[r, "{(\mathrm{pr}_2,\wedge)}"] \arrow[dr, "{(\mathrm{pr}_3,\wedge)}"'] & X_{2\,\mathfrak{X}_0} \arrow[r] & \mathfrak{X}_0 \\ & X_{3\,\mathfrak{X}_0} \arrow[ur] & \end{tikzcd}

ou X_1 \times X_2 \times X_3 \longrightarrow \mathfrak{X}_0 = X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 est la multiplication a_1, a_2, a_3 \longmapsto x_1 \wedge \alpha_2 \wedge x_3 la ligne porte bien a_1, a_2, a_3 à gauche et, à droite, ce qui se lit x_1 \wedge \alpha_2 \wedge x_3 ; l'incohérence des lettres est sur la page

Une difficulté, c'est que la multiplication n'est pas fini loc. libre, ni = plat (mais il bien ). B = A_1 \otimes_{O} A_2 \otimes_{O} A_3 \;\rightleftarrows\; A_1 \otimes_{O} B_0 = B_1, \qquad B_0 = A_1 * A_2 * A_3 entre B et A_1 \otimes_O B_0 deux flèches, marquées « 2(!) » ; au-dessus, un passage raturé d'où se détachent \mathrm{Tr}_1, N_1 et un « ? ». Sous B, la tour O \xrightarrow{2} B_0 \xrightarrow{4(!)} B, la seconde flèche annotée ( ), un arc marqué « 8 » de O à B, et un trait de B_0 vers A_1 \otimes_O B_0 marqué « \varepsilon 2 »

\mathrm{Tr}_1 doit être B_0-linéaire, N_1 B_0-quadratique …

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & E \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] \arrow[l, bend right=40, "\pi"'] & M \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] \arrow[l, bend right=40, "\varpi"'] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L' \arrow[r] & E' \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "\pi'"] & M' \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "\varpi'"] & 0 \end{tikzcd}

\alpha\,\pi(x) = \pi'\beta(x) \;\overset{?}{\Longleftrightarrow}\; \beta\varpi(y) = \varpi'\gamma(y)\ ? \text{\struck{$\beta$}}\ \pi(x) = \pi'\beta(x) \;\Longleftrightarrow\; \beta\varpi(x) \equiv sous \pi(x) = \pi'\beta(x), une accolade ; puis une ligne \beta(\ldots - \varpi) = (\ldots\, \varpi')\beta, à demi raturée, et une seconde, barrée, qui s'achève par \beta

\begin{tikzcd} E_1 \arrow[d] & E_2 \arrow[d] \\ E_1' & E_2' \end{tikzcd}

\Longrightarrow

\begin{tikzcd} E_1 \wedge E_2 \arrow[r] & E_1' \end{tikzcd}

le but s'arrête sur E', d'indice 1 ; le second facteur n'est pas écrit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & E_1 \otimes E_2 \arrow[rr] & & E_1' \otimes E_2' \arrow[dr] & \\ E_1 \otimes L_2,\ L_1 \otimes E_2 \arrow[ur] \arrow[dr, hook] & & & & E_1' \wedge E_2' \\ & L_1 \otimes L_2 \arrow[rr] & & L_1' \otimes L_2' \arrow[ur] & \end{tikzcd}

la flèche L_1' \otimes L_2' \to E_1' \wedge E_2' porte une annotation

x_1 \otimes x_2 \longmapsto \beta_1(x_1) \otimes \beta_2(x_2) \longrightarrow \beta_1(x_1) * \beta_2(x_2) = \pi_1'\beta_1(x_1) \otimes \alpha_2(\ldots) la dernière ligne est surchargée : après \pi_1' un symbole raturé, et le second facteur, écrit sur un \gamma ou un \beta raturé, porte un argument repassé, \beta_2(x_2) \pi_1(x_1) \otimes u_2 \longrightarrow \underbrace{\alpha_1\pi_1(x_1)}_{\pi_1'\beta_1(x_1)} \otimes \alpha_2(x_2)

E_1 \wedge la page s'arrête sur ce début de formule

\mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} = (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \xrightarrow{\ T_u\ } \mathcal{E}_{(p_1',q_1')(p_2',q_2')}

\begin{tikzcd} \mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} \arrow[r, "T_u"] \arrow[d, "T_{-\sigma b}"'] & \mathcal{E}_{(p_1',q_1')(p_2',q_2')} \arrow[d, "T_{-\sigma b'}"] \\ \mathcal{E} \arrow[r, "T_{-u}"'] & \mathcal{E} \end{tikzcd}

au centre du carré, entouré : « commute ! » b' = b + \chi u u - \sigma b' = u - \sigma b - \sigma\chi u = -u - \sigma b dans les deux lignes un signe a été surchargé ; le + de b' = b + \chi u est écrit sur un autre signe

d'où un can. iso d'ext. \chi-scindées E_1 \vee E_2 \simeq E_1 \wedge E_2 E_1' \vee E_2' \;\simeq\; E_1' \wedge E_2' cette seconde ligne est écrite entre les lignes, au-dessus de la phrase qui suit

Je dis qu'il est fonctoriel pour les iso) : clair par construction. Mais il y a aussi une notion d'hom. d'ext. \chi-scindées. Ça marche aussi

deux carrés emboîtés, en perspective, formés des suites L_i \to E_i \to M_i, L_i' \to E_i' \to M_i', L_i'' \to E_i'' \to M_i'' et L_i''' \to E_i''' \to M_i''', reliés par des flèches obliques et des signes d'égalité (M_i' \Vert M_i) ; le dessin est trop surchargé pour être mis en tikz-cd sans choisir des flèches

\begin{tikzcd} L_1 \otimes L_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, Rightarrow] & E \arrow[r, two heads] & M_1 \otimes M_2 \arrow[ld, no head] \\ L_1' \otimes L_2' & M_1' \otimes M_2' & \end{tikzcd}

M_1' \otimes M_2' est écrit au-dessus de M_1 \otimes M_2, relié par un trait ; la position dans la grille est approximative

\tilde b_i = \varpi_i - \chi q_i\,; \qquad b_i + \tilde b_i = \chi\,\mathrm{id} - \chi\,\mathrm{id} = 0 \tilde b_i = -b_i « = -b_i » est doublement souligné ; le « = 0 » final de la seconde égalité est écrit petit, en bout de ligne

\tilde u_i tel que q_i' = \underbrace{q_i}_{\mathrm{id} - p_i} - \tilde u_i = \text{\struck{$\chi$}}\,\mathrm{id} - \underbrace{(p_i + \tilde u_i)}_{p_i'} = \tilde u_i = -u_i \tilde u = \tilde b_1 \otimes \tilde u_2 + \tilde u_1 \otimes \tilde b_2 + \chi\, \tilde u_1 \otimes \tilde u_2 = b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 = u Mais alors \tilde T_{\tilde u} = T_{-\tilde u} = T_{-u} = T_u^{-1} \tilde b = \tilde b_1 \tilde b_2 = b_1 b_2

\begin{tikzcd} \mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} = M_1 \otimes M_2 \oplus L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "\wr"', "T_{v(p_1,q_1)(p_2,q_2)}"] \\ \mathcal{E}_{(\tilde p_1,\tilde q_1)(\tilde p_2,\tilde q_2)} = M_1 \otimes M_2 \oplus L_1 \otimes L_2 \end{tikzcd}

(= (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi + v(\eta))), devant v(\eta), un signe noirci, lu +

\chi-scindage défini (comme g) par M_1 \otimes M_2 \xrightarrow{\ b = b_1 b_2\ } L_1 \otimes L_2 \chi-sc. défini (comme ) par -b.

T_v transforme le \chi-scindage défini par b en le \chi-scindage défini ~~par~~ b + \chi v ; que b + \chi v = \underset{\displaystyle -b}{\overset{\sim}{b}} \quad\text{i.e.}\quad v \overset{!}{=} -\frac{2}{\chi}\, b Supposons que \exists\, \sigma \in k, tq. \sigma\chi = 2, alors prendre \boxed{v = -\sigma b}

feuillet écrit en largeur ; une barre verticale sépare une colonne de droite, transcrite après la colonne de gauche 0 \to L_i \to E_i \to M_i \to 0, \qquad \pi_i : E_i \to L_i \chi-scindage ;

p_i : E_i \to L_i scindage, p = (p_1, p_2) \Theta_{p_i} : E_i \simeq M_i \oplus L_i b_i := \pi_i - \chi p_i : M_i \to L_i b = b_1 \otimes b_2 : M_1 \otimes M_2 \to L_1 \otimes L_2 d'où \chi-trivialisation \pi_{(p_1,p_2)} : \mathcal{E}_{(p_1,p_2)} = (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) après \mathcal{E}, un indice raturé ; l'indice (p_1,p_2) est récrit dessous \pi_{(p_1,p_2)} - \chi\, p = b_1 \otimes b_2 \pi_{(p_1,p_2)} : (\eta,\xi) \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \chi\xi + b_1 \otimes b_2(\eta)

p_i' = p_i - u_i, \quad u_i : M_i \to L_i \qquad (p' = (p_1', p_2')) d'où b_1', b_2', avec b_1' = b_1 + \chi u_1, \qquad b_2' = b_2 + \chi u_2 \mathcal{E}_{p} \xrightarrow{\ \Theta_{p,p'}\ } \mathcal{E}_{p_1',p_2'}, \qquad \Theta_{p,p'} = T_{-u} : (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u\eta) au-dessus de la flèche, un symbole raturé ; sous \Theta_{p,p'}, une première écriture surchargée avant « = T_{-u} », dont le T et le signe sont noircis u = b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 NB \Theta_{p,p'} transforme \pi_{(p_1,p_2)} \pi_{p_1',p_2'} : (\eta,\xi) \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \chi\xi + (b_1' \otimes b_2')(\eta) = \pi_{(p_1,p_2)}(\eta,\xi) + u(\eta)

\text{\struck{$\Theta_{p+u}(x) =$}} \qquad \Theta_p(x) = \psi(x) \oplus p(x) \Theta_{p+u}(x) = \psi(x) \oplus \bigl(p(x) + u\,\psi(x)\bigr) \boxed{b_i = (\pi_i - \chi p_i)}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & E_1 \vee E_2 \arrow[dll, "\Theta_{p_1 * p_2}"', "\sim"] \arrow[d, "\Theta_{p_1' * p_2'}", "\wr"'] \arrow[drr, "\Theta_{p_1'' * p_2''}", "\sim"'] & & \\ M \oplus L \arrow[rr, "{\Theta_{(p_1,p_2)(p_1',p_2')}}", "{(u_1,u_2,u)}"'] & & M \oplus L \arrow[rr, "{\Theta_{(p_1',p_2')(p_1'',p_2'')}}", "{(u_1',u_2',u')}"'] & & M \oplus L \end{tikzcd}

\mathrm{Hom}(M_i, L_i) \ni b_i, \qquad (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u\eta) \mathrm{Hom}(M_i, L_i) \ni b_i' = b_i + \chi u_i, \qquad (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u'\eta) b_i'' = b_i' - \chi u_i' un arc, étiqueté u_1'', u_2'', u'' et \Theta_{(p_1,p_2)(p_1'',p_2'')}, joint le premier M \oplus L au troisième : (\eta,\xi) \to (\eta, \xi + \ldots) b_1 \otimes b_2 \in \mathrm{Hom}(M, L), \qquad (\pi - \chi\, p_1 * p_2)^{\Theta_{p_1 * p_2}} b_1' \otimes b_2' = (b_1 - \chi u_1) \otimes (b_2 - \chi u_2) = b_1 \otimes b_2 - \chi u b_1'' \otimes b_2'' = b_1' \otimes b_2' - \chi u' = b_1 \otimes b_2 - \chi\underbrace{(u + u')}_{u''} les signes de b_i' = b_i \pm \chi u_i varient d'une ligne à l'autre ; ils sont transcrits tels quels. Dans = b_1 \otimes b_2 - \chi u, le signe est surchargé, un + et un - l'un sur l'autre \left\{ \begin{aligned} p_1' * p_2' &= p_1 * p_2 - u \\ p_1'' * p_2'' &= p_1' * p_2' - u' = p_1 * p_2 - u'' \\ &\Longrightarrow u'' = u + u' \end{aligned} \right.

\underbrace{b_1, b_2;\ u_1, u_2}_{\mathrm{I}} \qquad \underbrace{u_1',\ u_2'}_{\mathrm{I}} \begin{array}{c} (p_1,p_2) \\ \downarrow \\ (p_1',p_2') \\ \downarrow \\ (p_1'',p_2'') \\[2pt] \hline (p_1,p_2) \\ \downarrow \\ (p_1'',p_2'') \end{array} \quad \left\{ \begin{aligned} u &= b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 \\ u' &= b_1' \otimes u_2' + u_1' \otimes b_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' \\ u'' &= b_1 \otimes u_2'' + u_1'' \otimes b_2 + \chi\, u_1'' \otimes u_2'' \\ &\quad (\text{si } u_1'' = u_1 + u_1',\ u_2'' = u_2 + u_2') \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} b_1' &= b_1 + \chi u_1, & b_2' &= b_2 + \chi u_2 \\ b_1'' &= b_1' + \chi u_1', & b_2'' &= b_2 + \chi u_2' \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} b &= b_1 \otimes b_2 \\ b' &= b_1' \otimes b_2' \\ b'' &= b_1'' \otimes b_2'' \end{aligned} b_2'' = b_2 + \chi u_2' (et non b_2' + \ldots) est sur la page. Une ligne barrée suit le système : = (b_1 - \chi u_1) \otimes u_1' + u_2' \otimes (b_2 - \chi u_2) + \chi u_1' \otimes \ldots

1°) Je dis que u'' = u + u', ~~b_1'' = b_1' + \chi u_1'',\ b_2'' =~~ u'' = b_1 \otimes (u_2 + u_2') + (u_1 + u_1') \otimes b_2 + \chi\, (u_1 + u_1') \otimes (u_2 + u_2') = u + b_1 \otimes u_2' + \underbrace{u_1' \otimes b_2 + \chi\, u_1' \otimes u_2}_{u_1' \otimes (b_2 + \chi u_2)} + \chi\, u_1 \otimes u_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' \ldots + (b_1 + \chi u_1) \otimes u_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' à droite, un « = » suivi d'un symbole raturé ; le calcul s'arrête là

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & E_1 \vee E_2 \arrow[dl, "\Theta_{p_1 * p_2}"'] \arrow[dr, "\Theta_{p_1' * p_2'}"] & \\ (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \arrow[rr, "\Lambda_u"'] & & (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \end{tikzcd}

\Lambda_u : (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi + u(\eta)), \qquad b_1, b_2 \quad\leadsto\quad b_1', b_2' \Theta_{p_1' * p_2'} = \Theta_{p_1 * p_2}\ \ill{}\ u u = b_1(p_1) \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2(p_2) + \chi\, u_1 \otimes u_2 b_1' = b_1 - \chi u_1, \qquad b_2' = b_2 - \chi u_2 p_1' = p_1 - u_1\psi_1, \qquad p_2' = p_2 - u_2\psi_2, \qquad u_1 : M_1 \to L_1,\quad u_2 : M_2 \to L_2 le signe devant u_i\psi_i est surchargé, lu - p_1' * p_2' = p_1 * p_2 - \Bigl[\underbrace{(\pi_1 - \chi p_1)}_{b_1(p_1)} \otimes u_2 + u_1 \otimes \underbrace{(\pi_2 - \chi p_2)}_{b_2(p_2)}\Bigr] - \chi\, u_1 \otimes u_2 u_1 * u_2 = -\chi\, u_1 \otimes u_2 une flèche montre le - devant \chi\, u_1 \otimes u_2 : signe étrange,

Ces signes sont dûs au signe -\mathrm{id} dans le diag. commutatif pour une catégorie de \underline{O} par \mathcal{H}

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & \mathcal{H} \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "-\mathrm{id}"'] & \mathcal{E} \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "\Phi"] & \underline{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathcal{H} \arrow[r] & \mathcal{H}om^{!}(\mathcal{E}, \mathcal{H}) \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

\Phi(x)(y) = -x\,\psi(y) + y\,\psi(x) \mathcal{H}om(\underline{O}, \mathcal{H}) = \text{\struck{$\mathcal{H}om \ldots f \mapsto \lambda \ldots \exists \lambda$}} \ \bigl\{ f : \mathcal{E} \to \mathcal{H} \bigm| f \circ \alpha = \alpha(\lambda)\,\mathrm{id}_{\mathcal{H}} \bigr\} \xi_1,\ \eta_1 \longmapsto \chi\eta_1 + b_1(\xi_1), \qquad \xi_1 \in M_1 \otimes M_2,\ \eta_1 \in L_1 \otimes L_2 au-dessus de cette ligne, une seconde flèche \longleftrightarrow vers un symbole raturé

Si on prend p_1' = p_1 - u_1', \qquad p_2' = p_2 - u_2', \qquad p_1' * p_2' = p_1 * p_2 - u' d'où \left\{ \begin{aligned} u_1' &= -u_1 \\ u_2' &= -u_2 \\ u_3' &= -u_3 \end{aligned} \right. \quad\leadsto\ldots\quad u' = -b_1 \otimes u_2 - u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 \boxed{u' = b_1 \otimes u_2' + u_1' \otimes b_2 + \chi\, u_1' \otimes u_2'} la formule transitive…

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "-\mathrm{id}_L"'] & E \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "\wr"] & \underline{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L \arrow[r] & \mathcal{H}om^{!}(E, L) \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

x \longmapsto \bigl[\, y \longmapsto (-x\,\psi(y) + y\,\psi(x)) \,\bigr] E \xrightarrow{\ \psi(x)\ } L l'étiquette \psi(x) est lue sous la flèche ; la flèche n'est pas autrement commentée {}_{\lambda_1}E_1 * {}_{\lambda_2}E_2 \simeq \boxed{ \begin{aligned} (f_1 * f_2)(x_1 * x_2) &= \psi_1(f_1)\,\pi_1(x_1) \otimes f_2(x_2) + f_1(x_2) \otimes \psi_2(f_2)\,\pi_2(x_2) \\ &\quad - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2) \\ (f_1 * f_2)(u_1 \otimes u_2) &= \lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2 \end{aligned}} f_1(x_2) dans le deuxième terme est sur la page ; devant \pi_1 un premier symbole est raturé (f_1 * u_2)(x_1 * x_2) = \psi_1(f_1)\,\pi_1(x_1) \otimes \underbrace{u_2(x_2)}_{u_2(\psi_2(x_2))} - \chi\, f_1(x_1) \otimes u_2(x_2) \text{\struck{$(u_1 * f_2)(x_1 * x_2)$}} i.e. (f_1 * u_2)(x_1 * x_2) = \bigl(\underbrace{\psi_1(f_1)\,\pi_1 - \overset{\psi_1(\pi_1)}{\chi}\, f_1}_{\text{nul sur } L_1}\bigr) \otimes u_2\,(x_1 \otimes x_2) \bigl( [\pi_1', f_1']' \otimes u_2 \bigr)(x_1 \otimes x_2)

d'où \left\{ \begin{aligned} (u_1 * f_2)(x_1 * x_2) &= \bigl(u_1 \otimes [\pi_2', f_2']'\bigr)(x_1 \otimes x_2) \\ (u_1 * u_2)(x_1 * x_2) &= -\chi\, u_1(x_1) \otimes u_2(x_2) \end{aligned} \right. une flèche montre le - : signe étrange !

(x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + \underbrace{x_1 * u_2}_{\underbrace{\pi_1(x_1)}_{b_1} \otimes u_2} + \underbrace{u_1 * x_2}_{u_1 \otimes \underbrace{\pi_2(x_2)}_{b_2}} + \underbrace{u_1 * u_2}_{\chi\, u_1 \otimes u_2}

\text{\struck{$(f_1 * f_2)(x_1 * x_2) =$}} \qquad (f_1 * f_2) \mid E_1 \otimes E_2 : E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2 \boxed{ \begin{aligned} f_1 * f_2\,(x_1 * x_2) &= \lambda_1\pi_1(x_1) \otimes f_2(x_2) + f_1(x_1) \otimes \lambda_2\pi_2(x_2) - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2) \end{aligned}} i.e. f_1 * f_2 \mid E_1 \otimes E_2 \ \bigl[E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2\bigr] \doteq \lambda_1\pi_1 \otimes f_2 + f_1 \otimes \lambda_2\pi_2 - \chi\, f_1 \otimes f_2 f_1 * f_2\,(u_1 \otimes u_2) = \lambda_1\lambda_2\,(u_1 \otimes u_2) f_1 \longrightarrow xisolé, à gauche de « Vérifions » Vérifions f_1 * f_2\,(x_1 * u_2) = \lambda_1\lambda_2\, \pi_1(x_1) \otimes u_2 \lambda_1\pi_1(x_1) \otimes \lambda_2 u_2 + \text{\struck{$f_1(x_1) \otimes \lambda_2\chi\, u_2$}} - \chi\, \underbrace{f_1(x_1) \otimes \lambda_2 u_2} OK (\pi_1 * \pi_2)(x_1 * x_2) = \chi\,\{\pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)\} (\pi_1 * \pi_2)(u_1 \otimes u_2) = \chi^2\, u_1 \otimes u_2 \qquad \frac{1}{\chi}\,\pi_1 \otimes \pi_2 = \pi x_1 * x_2 \equiv \text{\struck{$\psi_1(x_1)$}} à droite d'une barre verticale : \begin{array}{ll} L_i & p_i \\ M_i & q_i \end{array} \qquad 1 + \underbrace{p_1 q_1},\quad 1 + \underbrace{p_2 q_2} \qquad 1 + (p_1 p_2)(q_1 q_2) \text{\struck{$[x,y] =$}}\quad x \longrightarrow \text{\struck{$\psi(x) = \ldots$}}\ \psi(x)\,T - \chi le dernier terme, après \chi, est raturé

\begin{array}{l} M_1 \\ \downarrow\ \ q_1 \\ E_1 \\ \alpha_1 \downarrow\ \ p_1 \\ L_1 \end{array} q_1 et p_1 sont écrits comme des flèches courbes remontant de M_1 vers E_1 et de E_1 vers L_1 ; le sens est celui de la page

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[dr, "\pi"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d, "x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 0 \\ & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "p"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[l, bend left=30, "{m_1 \otimes m_2 \mapsto x_1 * x_2}"] \end{tikzcd}

la ligne du haut est surmontée d'un M_1 \otimes M_2 raturé ; au centre du carré, le mot cocart., et sur la flèche oblique de E_1 \otimes E_2 vers E une étiquette \lambda_1 ; la flèche p est lue sur une lettre courbe, p q(m_1 \otimes m_2) = q(m_1) * q(m_2) p(x_1 * x_2) = x_1 * x_2 - q(m_1 \otimes m_2) = x_1 * x_2 - q_1(m_1) * q_2(m_2) q(m_1) = x_1 - p_1(x_1), \qquad q(m_2) = x_2 - p_2(x_2) p(x_1 * x_2) = x_1 * x_2 - \bigl(x_1 - p_1(x_1)\bigr) * \bigl(x_2 - p_2(x_2)\bigr) = x_1 * p_2(x_2) + p_1(x_1) * x_2 - \underline{p_1(x_1) * p_2(x_2)} \text{\struck{$= \chi\,(x_1 \otimes p_2(x_2) + p_1(x_1) \otimes x_2$}} \text{\struck{$-\ \chi\, p_1(x_1) \otimes p_2(x_2))$}} u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2, \qquad \text{\struck{$p(x_1 *$}}\ \ p(u_1 * u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2 \boxed{ (f_1 * f_2)(x_1 * x_2) = \lambda_1 x_1 * f_2(x_2) + f_1(x_1) * \lambda_2 x_2 - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2)} sous \lambda_1 x_1 * f_2(x_2), un renvoi \Vert vers \lambda_1 \pi_1(x_1)

~~si x_1, x_2 \in L~~

si x_1 = u_1 \in L_1, x_2 = u_2 \in L_2 2\lambda_1 \ldots\, \chi\,(x_1 \otimes x_2) - \chi\, \lambda_1\lambda_2\, x_1 \otimes x_2 = \text{\struck{$(2 - \chi)\,\lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2$}} \qquad 2 - \chi = 1 la première ligne est surchargée : entre 2\lambda_1 et (x_1 \otimes x_2), un \lambda_2 incertain est écrit sur une rature, et le \chi du second terme est lui aussi repassé (f_1 * f_2)(u_1 \otimes u_2) = \lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2 = f_1(u_1) \otimes f_2(u_2) \underbrace{xy - (x - x)(y - y)}_{\displaystyle xy + yx - xy} = xy un grand trait oblique et une petite figure (une lettre ornée, ) séparent ce calcul du reste de la page