Cote n° 84 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

Produit d'extensions et chi-scindages

121la page reprend une construction commencée avant ce lot ; la notation \(\mathfrak{X}\), \(X_i\) y est déjà fixée

Une […] variante, pour \(X_1, X_2, X_3\) fixés, la situation universelle, où le ⌜(universel),⌝ […] sera.

\(\mathfrak{X}_0 = X_1 \wedge X_2 \wedge X_3\), […] muni du revêtement \[ X_{1\,\mathfrak{X}_0},\quad X_{2\,\mathfrak{X}_0},\quad X_{3\,\mathfrak{X}_0} \qquad (X_{i\,\mathfrak{X}_0} = X_i \times_{\mathfrak{X}} \mathfrak{X}_0) \] l'indice du produit fibré est lu \(\mathfrak{X}\) ; il pourrait être \(\mathfrak{X}_0\)

d'où \(\mathfrak{X} \mapsto X_1 \times X_2 \times X_3\), …

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & X_{1\,\mathfrak{X}_0} \arrow[dr] & \\
  X_1 \times X_2 \times X_3 \arrow[ur, "{(\mathrm{pr}_1,\wedge)}"] \arrow[r, "{(\mathrm{pr}_2,\wedge)}"] \arrow[dr, "{(\mathrm{pr}_3,\wedge)}"'] & X_{2\,\mathfrak{X}_0} \arrow[r] & \mathfrak{X}_0 \\
  & X_{3\,\mathfrak{X}_0} \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

ou […] \[ X_1 \times X_2 \times X_3 \longrightarrow \mathfrak{X}_0 = X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 \] est la multiplication \[ a_1, a_2, a_3 \longmapsto x_1 \wedge \alpha_2 \wedge x_3 \] la ligne porte bien \(a_1, a_2, a_3\) à gauche et, à droite, ce qui se lit \(x_1 \wedge \alpha_2 \wedge x_3\) ; l'incohérence des lettres est sur la page

Une difficulté, c'est que la multiplication n'est pas […] fini loc. libre, ni \(=\) plat (mais il […] bien […]). \[ B = A_1 \otimes_{O} A_2 \otimes_{O} A_3 \;\rightleftarrows\; A_1 \otimes_{O} B_0 = B_1, \qquad B_0 = A_1 * A_2 * A_3 \] entre \(B\) et \(A_1 \otimes_O B_0\) deux flèches, marquées « 2(!) » ; au-dessus, un passage raturé d'où se détachent \(\mathrm{Tr}_1\), \(N_1\) et un « ? ». Sous \(B\), la tour \(O \xrightarrow{2} B_0 \xrightarrow{4(!)} B\), la seconde flèche annotée ([…] […]), un arc marqué « 8 » de \(O\) à \(B\), et un trait de \(B_0\) vers \(A_1 \otimes_O B_0\) marqué « \(\varepsilon 2\) »

\(\mathrm{Tr}_1\) doit être \(B_0\)-linéaire, \(N_1\) \(B_0\)-quadratique …

123

\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & E \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] \arrow[l, bend right=40, "\pi"'] & M \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] \arrow[l, bend right=40, "\varpi"'] & 0 \\
  0 \arrow[r] & L' \arrow[r] & E' \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "\pi'"] & M' \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "\varpi'"] & 0
\end{tikzcd}

\[ \alpha\,\pi(x) = \pi'\beta(x) \;\overset{?}{\Longleftrightarrow}\; \beta\varpi(y) = \varpi'\gamma(y)\ ? \] \[ \text{\struck{$\beta$}}\ \pi(x) = \pi'\beta(x) \;\Longleftrightarrow\; \beta\varpi(x) \equiv \] sous \(\pi(x) = \pi'\beta(x)\), une accolade ; puis une ligne \(\beta(\ldots - \varpi) = (\ldots\, \varpi')\beta\), à demi raturée, et une seconde, barrée, qui s'achève par \(\beta\)

\begin{tikzcd}
  E_1 \arrow[d] & E_2 \arrow[d] \\
  E_1' & E_2'
\end{tikzcd}

\(\Longrightarrow\)

\begin{tikzcd}
  E_1 \wedge E_2 \arrow[r] & E_1'
\end{tikzcd}

le but s'arrête sur \(E'\), d'indice 1 ; le second facteur n'est pas écrit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & E_1 \otimes E_2 \arrow[rr] & & E_1' \otimes E_2' \arrow[dr] & \\
  E_1 \otimes L_2,\ L_1 \otimes E_2 \arrow[ur] \arrow[dr, hook] & & & & E_1' \wedge E_2' \\
  & L_1 \otimes L_2 \arrow[rr] & & L_1' \otimes L_2' \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

la flèche \(L_1' \otimes L_2' \to E_1' \wedge E_2'\) porte une annotation […]

\[ x_1 \otimes x_2 \longmapsto \beta_1(x_1) \otimes \beta_2(x_2) \longrightarrow \beta_1(x_1) * \beta_2(x_2) \] \[ = \pi_1'\beta_1(x_1) \otimes \alpha_2(\ldots) \] la dernière ligne est surchargée : après \(\pi_1'\) un symbole raturé, et le second facteur, écrit sur un \(\gamma\) ou un \(\beta\) raturé, porte un argument repassé, \(\beta_2(x_2)\) \[ \pi_1(x_1) \otimes u_2 \longrightarrow \underbrace{\alpha_1\pi_1(x_1)}_{\pi_1'\beta_1(x_1)} \otimes \alpha_2(x_2) \]

\(E_1 \wedge\) la page s'arrête sur ce début de formule

125\[ \mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} = (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \xrightarrow{\ T_u\ } \mathcal{E}_{(p_1',q_1')(p_2',q_2')} \]

\begin{tikzcd}
  \mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} \arrow[r, "T_u"] \arrow[d, "T_{-\sigma b}"'] & \mathcal{E}_{(p_1',q_1')(p_2',q_2')} \arrow[d, "T_{-\sigma b'}"] \\
  \mathcal{E} \arrow[r, "T_{-u}"'] & \mathcal{E}
\end{tikzcd}

au centre du carré, entouré : « commute ! » \[ b' = b + \chi u \] \[ u - \sigma b' = u - \sigma b - \sigma\chi u = -u - \sigma b \] dans les deux lignes un signe a été surchargé ; le \(+\) de \(b' = b + \chi u\) est écrit sur un autre signe

d'où un ⌜can.⌝ iso d'ext. \(\chi\)-scindées \[ E_1 \vee E_2 \simeq E_1 \wedge E_2 \] \[ E_1' \vee E_2' \;\simeq\; E_1' \wedge E_2' \] cette seconde ligne est écrite entre les lignes, au-dessus de la phrase qui suit

Je dis qu'il est fonctoriel pour les iso) : clair par construction. ⌜Mais il y a aussi une notion⌝ d'hom. d'ext. \(\chi\)-scindées. Ça marche aussi

deux carrés emboîtés, en perspective, formés des suites \(L_i \to E_i \to M_i\), \(L_i' \to E_i' \to M_i'\), \(L_i'' \to E_i'' \to M_i''\) et \(L_i''' \to E_i''' \to M_i'''\), reliés par des flèches obliques et des signes d'égalité (\(M_i' \Vert M_i\)) ; le dessin est trop surchargé pour être mis en tikz-cd sans choisir des flèches

\begin{tikzcd}
  L_1 \otimes L_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, Rightarrow] & E \arrow[r, two heads] & M_1 \otimes M_2 \arrow[ld, no head] \\
  L_1' \otimes L_2' & M_1' \otimes M_2' &
\end{tikzcd}

\(M_1' \otimes M_2'\) est écrit au-dessus de \(M_1 \otimes M_2\), relié par un trait ; la position dans la grille est approximative

127\[ \tilde b_i = \varpi_i - \chi q_i\,; \qquad b_i + \tilde b_i = \chi\,\mathrm{id} - \chi\,\mathrm{id} = 0 \] \[ \tilde b_i = -b_i \] « \(= -b_i\) » est doublement souligné ; le « \(= 0\) » final de la seconde égalité est écrit petit, en bout de ligne

\(\tilde u_i\) tel que \[ q_i' = \underbrace{q_i}_{\mathrm{id} - p_i} - \tilde u_i = \text{\struck{$\chi$}}\,\mathrm{id} - \underbrace{(p_i + \tilde u_i)}_{p_i'} = \] \[ \tilde u_i = -u_i \] \[ \tilde u = \tilde b_1 \otimes \tilde u_2 + \tilde u_1 \otimes \tilde b_2 + \chi\, \tilde u_1 \otimes \tilde u_2 = b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 = u \] Mais alors \(\tilde T_{\tilde u} = T_{-\tilde u} = T_{-u} = T_u^{-1}\) \[ \tilde b = \tilde b_1 \tilde b_2 = b_1 b_2 \]

\begin{tikzcd}
  \mathcal{E}_{(p_1,q_1)(p_2,q_2)} = M_1 \otimes M_2 \oplus L_1 \otimes L_2 \arrow[d, "\wr"', "T_{v(p_1,q_1)(p_2,q_2)}"] \\
  \mathcal{E}_{(\tilde p_1,\tilde q_1)(\tilde p_2,\tilde q_2)} = M_1 \otimes M_2 \oplus L_1 \otimes L_2
\end{tikzcd}

\[ (= (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi + v(\eta))), \] devant \(v(\eta)\), un signe noirci, lu \(+\)

\(\chi\)-scindage défini (comme g) par \[ M_1 \otimes M_2 \xrightarrow{\ b = b_1 b_2\ } L_1 \otimes L_2 \] \(\chi\)-sc. défini (comme […]) par \(-b\).

\(T_v\) […]transforme le \(\chi\)-scindage défini par \(b\) en le \(\chi\)-scindage défini par \(b + \chi v\) ; […] […] […] que \[ b + \chi v = \underset{\displaystyle -b}{\overset{\sim}{b}} \quad\text{i.e.}\quad v \overset{!}{=} -\frac{2}{\chi}\, b \] Supposons que \(\exists\, \sigma \in k\), tq. \(\sigma\chi = 2\), alors prendre \[ \boxed{v = -\sigma b} \]

129feuillet écrit en largeur ; une barre verticale sépare une colonne de droite, transcrite après la colonne de gauche \[ 0 \to L_i \to E_i \to M_i \to 0, \qquad \pi_i : E_i \to L_i \] \(\chi\)-scindage ; […]

\(p_i : E_i \to L_i\) scindage, \(p = (p_1, p_2)\) \[ \Theta_{p_i} : E_i \simeq M_i \oplus L_i \] \[ b_i := \pi_i - \chi p_i : M_i \to L_i \] \[ b = b_1 \otimes b_2 : M_1 \otimes M_2 \to L_1 \otimes L_2 \] d'où \(\chi\)-trivialisation […] […] \(\pi_{(p_1,p_2)}\) : \[ \mathcal{E}_{(p_1,p_2)} = (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \] après \(\mathcal{E}\), un indice raturé ; l'indice \((p_1,p_2)\) est récrit dessous \[ \pi_{(p_1,p_2)} - \chi\, p = b_1 \otimes b_2 \] \[ \pi_{(p_1,p_2)} : (\eta,\xi) \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \chi\xi + b_1 \otimes b_2(\eta) \]

\[ p_i' = p_i - u_i, \quad u_i : M_i \to L_i \qquad (p' = (p_1', p_2')) \] d'où \(b_1', b_2'\), avec \[ b_1' = b_1 + \chi u_1, \qquad b_2' = b_2 + \chi u_2 \] \[ \mathcal{E}_{p} \xrightarrow{\ \Theta_{p,p'}\ } \mathcal{E}_{p_1',p_2'}, \qquad \Theta_{p,p'} = T_{-u} : (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u\eta) \] au-dessus de la flèche, un symbole raturé ; sous \(\Theta_{p,p'}\), une première écriture surchargée avant « \(= T_{-u}\) », dont le \(T\) et le signe sont noircis \[ u = b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 \] NB \(\Theta_{p,p'}\) transforme \(\pi_{(p_1,p_2)}\) \[ \pi_{p_1',p_2'} : (\eta,\xi) \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\ \chi\xi + (b_1' \otimes b_2')(\eta) = \pi_{(p_1,p_2)}(\eta,\xi) + u(\eta) \]

131\[ \text{\struck{$\Theta_{p+u}(x) =$}} \qquad \Theta_p(x) = \psi(x) \oplus p(x) \] \[ \Theta_{p+u}(x) = \psi(x) \oplus \bigl(p(x) + u\,\psi(x)\bigr) \] \[ \boxed{b_i = (\pi_i - \chi p_i)} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & E_1 \vee E_2 \arrow[dll, "\Theta_{p_1 * p_2}"', "\sim"] \arrow[d, "\Theta_{p_1' * p_2'}", "\wr"'] \arrow[drr, "\Theta_{p_1'' * p_2''}", "\sim"'] & & \\
  M \oplus L \arrow[rr, "{\Theta_{(p_1,p_2)(p_1',p_2')}}", "{(u_1,u_2,u)}"'] & & M \oplus L \arrow[rr, "{\Theta_{(p_1',p_2')(p_1'',p_2'')}}", "{(u_1',u_2',u')}"'] & & M \oplus L
\end{tikzcd}

\[ \mathrm{Hom}(M_i, L_i) \ni b_i, \qquad (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u\eta) \] \[ \mathrm{Hom}(M_i, L_i) \ni b_i' = b_i + \chi u_i, \qquad (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi - u'\eta) \] \[ b_i'' = b_i' - \chi u_i' \] un arc, étiqueté \(u_1'', u_2'', u''\) et \(\Theta_{(p_1,p_2)(p_1'',p_2'')}\), joint le premier \(M \oplus L\) au troisième : \((\eta,\xi) \to (\eta, \xi + \ldots)\) \[ b_1 \otimes b_2 \in \mathrm{Hom}(M, L), \qquad (\pi - \chi\, p_1 * p_2)^{\Theta_{p_1 * p_2}} \] \[ b_1' \otimes b_2' = (b_1 - \chi u_1) \otimes (b_2 - \chi u_2) = b_1 \otimes b_2 - \chi u \] \[ b_1'' \otimes b_2'' = b_1' \otimes b_2' - \chi u' = b_1 \otimes b_2 - \chi\underbrace{(u + u')}_{u''} \] les signes de \(b_i' = b_i \pm \chi u_i\) varient d'une ligne à l'autre ; ils sont transcrits tels quels. Dans \(= b_1 \otimes b_2 - \chi u\), le signe est surchargé, un \(+\) et un \(-\) l'un sur l'autre \[ \left\{ \begin{aligned} p_1' * p_2' &= p_1 * p_2 - u \\ p_1'' * p_2'' &= p_1' * p_2' - u' = p_1 * p_2 - u'' \\ &\Longrightarrow u'' = u + u' \end{aligned} \right. \]

\[ \underbrace{b_1, b_2;\ u_1, u_2}_{\mathrm{I}} \qquad \underbrace{u_1',\ u_2'}_{\mathrm{I}} \] \[ \begin{array}{c} (p_1,p_2) \\ \downarrow \\ (p_1',p_2') \\ \downarrow \\ (p_1'',p_2'') \\[2pt] \hline (p_1,p_2) \\ \downarrow \\ (p_1'',p_2'') \end{array} \quad \left\{ \begin{aligned} u &= b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 \\ u' &= b_1' \otimes u_2' + u_1' \otimes b_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' \\ u'' &= b_1 \otimes u_2'' + u_1'' \otimes b_2 + \chi\, u_1'' \otimes u_2'' \\ &\quad (\text{si } u_1'' = u_1 + u_1',\ u_2'' = u_2 + u_2') \end{aligned} \right. \] \[ \left\{ \begin{aligned} b_1' &= b_1 + \chi u_1, & b_2' &= b_2 + \chi u_2 \\ b_1'' &= b_1' + \chi u_1', & b_2'' &= b_2 + \chi u_2' \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} b &= b_1 \otimes b_2 \\ b' &= b_1' \otimes b_2' \\ b'' &= b_1'' \otimes b_2'' \end{aligned} \] \(b_2'' = b_2 + \chi u_2'\) (et non \(b_2' + \ldots\)) est sur la page. Une ligne barrée suit le système : \(= (b_1 - \chi u_1) \otimes u_1' + u_2' \otimes (b_2 - \chi u_2) + \chi u_1' \otimes \ldots\)

1°) Je dis que \(u'' = u + u'\), \(b_1'' = b_1' + \chi u_1'',\ b_2'' =\) \[ u'' = b_1 \otimes (u_2 + u_2') + (u_1 + u_1') \otimes b_2 + \chi\, (u_1 + u_1') \otimes (u_2 + u_2') \] \[ = u + b_1 \otimes u_2' + \underbrace{u_1' \otimes b_2 + \chi\, u_1' \otimes u_2}_{u_1' \otimes (b_2 + \chi u_2)} + \chi\, u_1 \otimes u_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' \] \[ \ldots + (b_1 + \chi u_1) \otimes u_2' + \chi\, u_1' \otimes u_2' \] à droite, un « \(=\) » suivi d'un symbole raturé ; le calcul s'arrête là

133

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & E_1 \vee E_2 \arrow[dl, "\Theta_{p_1 * p_2}"'] \arrow[dr, "\Theta_{p_1' * p_2'}"] & \\
  (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2) \arrow[rr, "\Lambda_u"'] & & (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2)
\end{tikzcd}

\[ \Lambda_u : (\eta,\xi) \longmapsto (\eta,\ \xi + u(\eta)), \qquad b_1, b_2 \quad\leadsto\quad b_1', b_2' \] \[ \Theta_{p_1' * p_2'} = \Theta_{p_1 * p_2}\ \ill{}\ u \] \[ u = b_1(p_1) \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2(p_2) + \chi\, u_1 \otimes u_2 \] \[ b_1' = b_1 - \chi u_1, \qquad b_2' = b_2 - \chi u_2 \] \[ p_1' = p_1 - u_1\psi_1, \qquad p_2' = p_2 - u_2\psi_2, \qquad u_1 : M_1 \to L_1,\quad u_2 : M_2 \to L_2 \] le signe devant \(u_i\psi_i\) est surchargé, lu \(-\) \[ p_1' * p_2' = p_1 * p_2 - \Bigl[\underbrace{(\pi_1 - \chi p_1)}_{b_1(p_1)} \otimes u_2 + u_1 \otimes \underbrace{(\pi_2 - \chi p_2)}_{b_2(p_2)}\Bigr] - \chi\, u_1 \otimes u_2 \] \[ u_1 * u_2 = -\chi\, u_1 \otimes u_2 \] une flèche montre le \(-\) devant \(\chi\, u_1 \otimes u_2\) : signe étrange, […] […] […]

Ces signes sont dûs au signe \(-\mathrm{id}\) dans le diag. […] commutatif […] pour une catégorie […] de \(\underline{O}\) par \(\mathcal{H}\)

\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] & \mathcal{H} \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "-\mathrm{id}"'] & \mathcal{E} \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "\Phi"] & \underline{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 0 \\
  0 \arrow[r] & \mathcal{H} \arrow[r] & \mathcal{H}om^{!}(\mathcal{E}, \mathcal{H}) \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

\[ \Phi(x)(y) = -x\,\psi(y) + y\,\psi(x) \] \[ \mathcal{H}om(\underline{O}, \mathcal{H}) = \text{\struck{$\mathcal{H}om \ldots f \mapsto \lambda \ldots \exists \lambda$}} \ \bigl\{ f : \mathcal{E} \to \mathcal{H} \bigm| f \circ \alpha = \alpha(\lambda)\,\mathrm{id}_{\mathcal{H}} \bigr\} \] \[ \xi_1,\ \eta_1 \longmapsto \chi\eta_1 + b_1(\xi_1), \qquad \xi_1 \in M_1 \otimes M_2,\ \eta_1 \in L_1 \otimes L_2 \] au-dessus de cette ligne, une seconde flèche \(\longleftrightarrow\) vers un symbole raturé

Si on prend \[ p_1' = p_1 - u_1', \qquad p_2' = p_2 - u_2', \qquad p_1' * p_2' = p_1 * p_2 - u' \] d'où \[ \left\{ \begin{aligned} u_1' &= -u_1 \\ u_2' &= -u_2 \\ u_3' &= -u_3 \end{aligned} \right. \quad\leadsto\ldots\quad u' = -b_1 \otimes u_2 - u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 \] \[ \boxed{u' = b_1 \otimes u_2' + u_1' \otimes b_2 + \chi\, u_1' \otimes u_2'} \] […] la formule transitive…

135

\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "-\mathrm{id}_L"'] & E \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "\wr"] & \underline{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 0 \\
  0 \arrow[r] & L \arrow[r] & \mathcal{H}om^{!}(E, L) \arrow[r] & \underline{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

\[ x \longmapsto \bigl[\, y \longmapsto (-x\,\psi(y) + y\,\psi(x)) \,\bigr] \] \[ E \xrightarrow{\ \psi(x)\ } L \] l'étiquette \(\psi(x)\) est lue sous la flèche ; la flèche n'est pas autrement commentée \[ {}_{\lambda_1}E_1 * {}_{\lambda_2}E_2 \simeq \] \[ \boxed{ \begin{aligned} (f_1 * f_2)(x_1 * x_2) &= \psi_1(f_1)\,\pi_1(x_1) \otimes f_2(x_2) + f_1(x_2) \otimes \psi_2(f_2)\,\pi_2(x_2) \\ &\quad - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2) \\ (f_1 * f_2)(u_1 \otimes u_2) &= \lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2 \end{aligned}} \] \(f_1(x_2)\) dans le deuxième terme est sur la page ; devant \(\pi_1\) un premier symbole est raturé \[ (f_1 * u_2)(x_1 * x_2) = \psi_1(f_1)\,\pi_1(x_1) \otimes \underbrace{u_2(x_2)}_{u_2(\psi_2(x_2))} - \chi\, f_1(x_1) \otimes u_2(x_2) \] \[ \text{\struck{$(u_1 * f_2)(x_1 * x_2)$}} \] i.e. \[ (f_1 * u_2)(x_1 * x_2) = \bigl(\underbrace{\psi_1(f_1)\,\pi_1 - \overset{\psi_1(\pi_1)}{\chi}\, f_1}_{\text{nul sur } L_1}\bigr) \otimes u_2\,(x_1 \otimes x_2) \] \[ \bigl( [\pi_1', f_1']' \otimes u_2 \bigr)(x_1 \otimes x_2) \]

d'où \[ \left\{ \begin{aligned} (u_1 * f_2)(x_1 * x_2) &= \bigl(u_1 \otimes [\pi_2', f_2']'\bigr)(x_1 \otimes x_2) \\ (u_1 * u_2)(x_1 * x_2) &= -\chi\, u_1(x_1) \otimes u_2(x_2) \end{aligned} \right. \] une flèche montre le \(-\) : signe étrange !

\[ (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + \underbrace{x_1 * u_2}_{\underbrace{\pi_1(x_1)}_{b_1} \otimes u_2} + \underbrace{u_1 * x_2}_{u_1 \otimes \underbrace{\pi_2(x_2)}_{b_2}} + \underbrace{u_1 * u_2}_{\chi\, u_1 \otimes u_2} \]

137\[ \text{\struck{$(f_1 * f_2)(x_1 * x_2) =$}} \qquad (f_1 * f_2) \mid E_1 \otimes E_2 : E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2 \] \[ \boxed{ \begin{aligned} f_1 * f_2\,(x_1 * x_2) &= \lambda_1\pi_1(x_1) \otimes f_2(x_2) + f_1(x_1) \otimes \lambda_2\pi_2(x_2) - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2) \end{aligned}} \] i.e. \[ f_1 * f_2 \mid E_1 \otimes E_2 \ \bigl[E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2\bigr] \doteq \lambda_1\pi_1 \otimes f_2 + f_1 \otimes \lambda_2\pi_2 - \chi\, f_1 \otimes f_2 \] \[ f_1 * f_2\,(u_1 \otimes u_2) = \lambda_1\lambda_2\,(u_1 \otimes u_2) \] \(f_1 \longrightarrow x\)isolé, à gauche de « Vérifions » Vérifions \[ f_1 * f_2\,(x_1 * u_2) = \lambda_1\lambda_2\, \pi_1(x_1) \otimes u_2 \] \[ \lambda_1\pi_1(x_1) \otimes \lambda_2 u_2 + \text{\struck{$f_1(x_1) \otimes \lambda_2\chi\, u_2$}} - \chi\, \underbrace{f_1(x_1) \otimes \lambda_2 u_2} \] OK \[ (\pi_1 * \pi_2)(x_1 * x_2) = \chi\,\{\pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)\} \] \[ (\pi_1 * \pi_2)(u_1 \otimes u_2) = \chi^2\, u_1 \otimes u_2 \qquad \frac{1}{\chi}\,\pi_1 \otimes \pi_2 = \pi \] \[ x_1 * x_2 \equiv \text{\struck{$\psi_1(x_1)$}} \] à droite d'une barre verticale : \[ \begin{array}{ll} L_i & p_i \\ M_i & q_i \end{array} \qquad 1 + \underbrace{p_1 q_1},\quad 1 + \underbrace{p_2 q_2} \qquad 1 + (p_1 p_2)(q_1 q_2) \] \[ \text{\struck{$[x,y] =$}}\quad x \longrightarrow \text{\struck{$\psi(x) = \ldots$}}\ \psi(x)\,T - \chi \] le dernier terme, après \(\chi\), est raturé

139\[ \begin{array}{l} M_1 \\ \downarrow\ \ q_1 \\ E_1 \\ \alpha_1 \downarrow\ \ p_1 \\ L_1 \end{array} \] \(q_1\) et \(p_1\) sont écrits comme des flèches courbes remontant de \(M_1\) vers \(E_1\) et de \(E_1\) vers \(L_1\) ; le sens est celui de la page

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  (E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[dr, "\pi"'] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d, "x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 0 \\
  & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[l, bend left=40, "p"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[l, bend left=30, "{m_1 \otimes m_2 \mapsto x_1 * x_2}"]
\end{tikzcd}

la ligne du haut est surmontée d'un \(M_1 \otimes M_2\) raturé ; au centre du carré, le mot cocart., et sur la flèche oblique de \(E_1 \otimes E_2\) vers \(E\) une étiquette \(\lambda_1\) ; la flèche \(p\) est lue sur une lettre courbe, \(p\) \[ q(m_1 \otimes m_2) = q(m_1) * q(m_2) \] \[ p(x_1 * x_2) = x_1 * x_2 - q(m_1 \otimes m_2) \] \[ = x_1 * x_2 - q_1(m_1) * q_2(m_2) \] \[ q(m_1) = x_1 - p_1(x_1), \qquad q(m_2) = x_2 - p_2(x_2) \] \[ p(x_1 * x_2) = x_1 * x_2 - \bigl(x_1 - p_1(x_1)\bigr) * \bigl(x_2 - p_2(x_2)\bigr) \] \[ = x_1 * p_2(x_2) + p_1(x_1) * x_2 - \underline{p_1(x_1) * p_2(x_2)} \] \[ \text{\struck{$= \chi\,(x_1 \otimes p_2(x_2) + p_1(x_1) \otimes x_2$}} \] \[ \text{\struck{$-\ \chi\, p_1(x_1) \otimes p_2(x_2))$}} \] \[ u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2, \qquad \text{\struck{$p(x_1 *$}}\ \ p(u_1 * u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2 \] \[ \boxed{ (f_1 * f_2)(x_1 * x_2) = \lambda_1 x_1 * f_2(x_2) + f_1(x_1) * \lambda_2 x_2 - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2)} \] sous \(\lambda_1 x_1 * f_2(x_2)\), un renvoi \(\Vert\) vers \(\lambda_1 \pi_1(x_1)\)

si \(x_1, x_2 \in L\)

si \(x_1 = u_1 \in L_1\), \(x_2 = u_2 \in L_2\) \[ 2\lambda_1 \ldots\, \chi\,(x_1 \otimes x_2) - \chi\, \lambda_1\lambda_2\, x_1 \otimes x_2 \] \[ = \text{\struck{$(2 - \chi)\,\lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2$}} \qquad 2 - \chi = 1 \] la première ligne est surchargée : entre \(2\lambda_1\) et \((x_1 \otimes x_2)\), un \(\lambda_2\) incertain est écrit sur une rature, et le \(\chi\) du second terme est lui aussi repassé \[ (f_1 * f_2)(u_1 \otimes u_2) = \lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2 = f_1(u_1) \otimes f_2(u_2) \] \[ \underbrace{xy - (x - x)(y - y)}_{\displaystyle xy + yx - xy} = xy \] un grand trait oblique et une petite figure (une lettre ornée, […]) séparent ce calcul du reste de la page