Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 101–120

la page reprend un calcul commencé avant le lot : la structure de A_1 \otimes A_2, les involutions et l'exposant \natural (lecture douteuse d'un signe en crochet) sont introduits aux pages précédentes.

\xi^{\natural} = \xi + \bar{\xi} \quad \text{pour } \xi \in A_1 \otimes A_2 , \xi = 2 i.e.

x_1 \mapsto \bar{x}_1 = \text{\struck{$\xi_1(x_1)$}}\ \mathrm{Tr}_1(x_1) - x_1 , \qquad x_2 \mapsto \bar{x}_2 = \mathrm{Tr}_2(x_2)\, e_2 - x_2 le second membre de \bar{x}_2 est écrit au-dessus d'une formule biffée illisible ; « \mathrm{Tr}_1(x_1) » est ajouté au-dessus de « \xi_1(x_1) » biffé. sur A_1, A_2, donc \xi \mapsto \bar{\xi} , \qquad x_1 \otimes x_2 \mapsto \overline{x_1 \otimes x_2} \overset{\mathrm{déf}}{=} \bar{x}_1 \otimes \bar{x}_2 sur A_1 \otimes A_2. On aura donc, si \xi \in A_1, i.e. \xi = x_1 \otimes e_2 \xi^{\natural} = (x_1 \otimes 1)^{\natural} = (x_1 + \bar{x}_1) \otimes e_2 = \mathrm{Tr}_1(x_1)\, e_1 \otimes e_2 c'est OK.

NB Si sur X_0 = V(2 \cdot 1_X) \subset X (lieu de car. 2), tout pt de X_0 l'une des deux structures E_1, E_2 est étale, donc A \to A_1 \otimes A_2 est univ. injectif, et pour (A_1 \otimes A_2)^{\natural} = (A_1 \otimes A_2)^{\sigma_1 \otimes \sigma_2} . Ceci posé, on peut donc identifier l'application (x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2 : A_1 \times A_2 \to A , \qquad x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2 : A_1 \otimes A_2 \to A des applications : à valeurs dans (A_1 \otimes A_2)^{\natural}. En tous cas simplement comme application trace pour \sigma_1 \otimes \sigma_2.

Quand A_1, A_2 sont des alg. de rev. quadratiques, il s'agit bien de traces au sens habituel. Mais cette trace, cond. de car. \neq 2 ,

Elle sur \mathcal{U}, U_1, U_2 par 1 \mapsto 2 , \qquad U_1 \mapsto -b_1 , \qquad U_2 \mapsto -b_2 . \Gamma\mathcal{O} \subset \Gamma A, il suffit de trouver l'image de U_1 \otimes U_2. C'est donc un élément de A dont l'image dans (A_1 \otimes A_2)^{\natural} est U_1 \otimes U_2 + \underbrace{\bar{U}_1 \otimes \bar{U}_2}_{(-b_1 - U_1) \otimes (-b_2 - U_2)} = \underbrace{2 U_1 U_2 + b_1 U_2 + b_2 U_1}_{\text{image de } \mathcal{U}} + b_1 b_2 , ~~donc~~ il y a lieu de prendre U_1 * U_2 = \mathcal{U} + b_1 b_2 .

Mais il faut maintenant définir une application N_{A_1 \otimes A_2 / A} : A_1 \otimes A_2 \to A , application quadratique, dont la valeur en z serait, essentiellement, z \bar{z}, mais « invariante » A. L'application bil. associée serait (u, v) \mapsto u \bar{v} + v \bar{u} = \mathrm{Tr}_N(u \bar{v}) déjà connue. Donc il faut se donner les valeurs de N, et de \varphi_N, sur les éléments de la base de A_1 \otimes A_2. Or on devrait avoir, 1, U_1, U_2, U_1 \otimes U_2 N_A(x_1 \otimes x_2) = N_1(x_1)\, N(x_2) \in \Gamma\mathcal{O} \subset \Gamma A = (x_1 \otimes x_2)(\bar{x}_1 \otimes \bar{x}_2) = (x_1 \bar{x}_1) \otimes (x_2 \bar{x}_2) . En particulier N(1) = 1 , \quad N(U_1) = N_1(U_1) = c_1 , \quad N(U_2) = N_2(U_2) = c_2 , N(U_1 \otimes U_2) = c_1 c_2 .

Peut se définir comme à valeurs dans A (et non seulement comme à val. dans (A_1 \otimes A_2)^{\natural}, ce qui ne serait pas si A \to (A_1 \otimes A_2)^{\natural} est injectif, ni d'ailleurs surjectif).

On doit pouvoir définir de même une norme, définie universellement par la condition que son image dans (A_1 \otimes A_2)^{\natural} soit \xi \bar{\xi}.

Choisissons les bases (1, U_1) de A_1, (1, U_2) de A_2, donc A_1 = \mathcal{O}[U_1] / (U_1^2 + b_1 U_1 + c_1) , \qquad A_2 = \mathcal{O}[U_2] / (U_2^2 + b_2 U_2 + c_2) , on trouve \begin{cases} A_1 \otimes A_2 = \mathcal{O}[U_1, U_2] / (U_1^2 + b_1 U_1 + c_1 ,\ U_2^2 + b_2 U_2 + c_2) \\ A \simeq \mathcal{O}[\mathcal{U}] / (\mathcal{U}^2 + b\, \mathcal{U} + c) \end{cases} avec \begin{cases} b = b_1 b_2 \\ c = b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 - 4 c_1 c_2 \end{cases} et A \to A_1 \otimes A_2 est donné par \mathcal{U} \mapsto 2 U_1 U_2 + b_1 U_2 + b_2 U_1 .

Explicitons A_1 \otimes A_2 \xrightarrow{\ *\ } A , \qquad x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2 , il suffit de trouver les images de 1, U_1 \otimes 1, 1 \otimes U_2, U_1 \otimes U_2. c'est donc ce qui tient lieu d'une trace de A_1 \otimes A_2 dans A On aura bien sûr x_1 * e_2 = \mathrm{Tr}_1(x_1) \cdot 1_A , \qquad e_1 * x_2 = \mathrm{Tr}_2(x_2) \cdot 1_A ce qui définit * sur A_1 \oplus A_2 \subset A_1 \otimes A_2 dans la première formule, « e_2 » est écrit au-dessus d'un symbole biffé ; dans la seconde, « e_1 » de même.

Proposition. Soient A_1, A_2 deux alg. quadratiques sur \mathcal{O}, et A = A_1 \wedge A_2. ~~On a alors~~.

1) L'homom. canonique A_1 \otimes A_2 \xrightarrow{\ \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A}\ } A (défini par la construction de A comme ext. de L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} par \mathcal{O}, déduit de l'extension A_1 \otimes A_2 de L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} par A_1 \oplus_{\mathcal{O}} A_2 \subset A, et de l'homom. A_1 \oplus_{\mathcal{O}} A_2 \xrightarrow{\ \mathrm{Tr}\ } \mathcal{O} défini par \mathrm{Tr}_{A_1} et \mathrm{Tr}_{A_2} sur chaque summand) peut être considéré comme un « homom. trace ». sous la flèche, un « * » est écrit sous l'indice de \mathrm{Tr} ; dans la parenthèse, A_1 \oplus A_2 \subset A porte en dessous la variante « A_1 \oplus_{\mathcal{O}} A_2 ».

NB On a \mathrm{Tr}\,(\mathrm{id}_{A_1} \otimes \sigma_2)(\xi) , \mathrm{Tr}\, \sigma_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2}(\xi) = \mathrm{Tr}(\bar{\xi}), \mathrm{Tr}(\bar{\xi}) = \mathrm{Tr}(\xi) dès que \bar{\xi} = \sigma_1 \otimes \sigma_2(\xi) note marginale écrite en diagonale dans la marge gauche, en partie biffée.

Son composé avec l'homom. can. A \to A_1 \otimes A_2 (qui d'ailleurs n'a pas à être univ. injectif, cf. plus haut) n'est autre que \xi \mapsto \xi + \bar{\xi} , \qquad \text{i.e.} \qquad i\bigl(\mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A}\, \xi\bigr) = \xi + \bar{\xi} \bar{\xi} = \sigma_1 \otimes \sigma_2 (\xi) \sigma_1, \sigma_2 les involutions canoniques de A_1, A_2 x_1 \mapsto \mathrm{Tr}_{A_1}(x_1) - x_1 , \qquad x_2 \mapsto \mathrm{Tr}_{A_2}(x_2) - x_2 . Donc en partic. \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A}(i(\eta)) = 2\eta pour

2) Il existe sur A_1 \otimes A_2 une application quadratique unique, à val. dans A, notée N = N_{A_1 \otimes A_2 / A} ,

ayant les propriétés suivantes

a)N(x_1 \otimes x_2) = N_{A_1}(x_1)\, N_{A_2}(x_2) x_1 \in \Gamma A_1, x_2 \in \Gamma A_2 b)\varphi_N(\xi, \eta) = \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi \bar{\eta})

~~On aura de~~ i.e. N(\xi + \eta) = N(\xi) + N(\eta) + \mathrm{Tr}(\xi \bar{\eta}) On aura alors, pour tt \xi \in A_1 \otimes A_2 \begin{cases} i(N(\xi)) = \xi \bar{\xi} \\ N(\sigma_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2}(\xi)) = N(\mathrm{id}_{A_1} \otimes \sigma_2(\xi)) = \overline{N(\xi)} \\ N(\bar{\xi}) = N(\xi) \end{cases} Notamment N_{A_1 \otimes A_2 / A}(i(\eta)) = \eta^2 dans la deuxième ligne, l'indice de \mathrm{id} est écrit « A_2 » dans les deux termes ; on lit \mathrm{id}_{A_1} dans le second, comme l'exige le sens.

De plus, on a N_{A/\mathcal{O}}\bigl(N_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi)\bigr) = N_{A_1 \otimes A_2 / \mathcal{O}}(\xi) ainsi que la formule plus bénigne \mathrm{Tr}_{A/\mathcal{O}}\bigl(\mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi)\bigr) = \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / \mathcal{O}}(\xi)

Prouvons p.ex. la première et la deuxième. Posons \sigma_1 = \sigma_{A_1} \otimes \mathrm{id}_{A_2} , \qquad \sigma_2 = \mathrm{id}_{A_1} \otimes \sigma_{A_2} , \qquad \sigma_3 = \sigma_1 \sigma_2 ~~deuxième~~ ~~donc~~ \xi = \xi_0 \in A, ~~on doit vérifier~~ \xi_i = \sigma_i(\xi), on constate qu'on ait N_{A_1 \otimes A_2 / \mathcal{O}}(\xi) = \xi_0\, \xi_1\, \xi_2\, \xi_3 . « \xi_0 \in A » : le A est celui qu'il emploie pour le produit ; on attendrait A_1 \otimes A_2. Sous \xi_0 \xi_1 \xi_2 \xi_3, des accolades groupent \xi_1 \xi_2 et \xi_0 \cdots \xi_3.

Or le deuxième membre est \xi_0 \bar{\xi}_0\, \xi_1 \bar{\xi}_1 , \qquad \bar{\xi}_0 = \xi_3 , \quad \bar{\xi}_1 = \xi_2 , or \xi_0 \bar{\xi}_0 \overset{!}{=} N_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi_0) \xi_1 \bar{\xi}_1 = N_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi_1) = \overline{N_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi_0)} , \qquad \xi_1 = \sigma_1(\xi_0) donc si N = N_{A_1 \otimes A_2 / A}(\xi_0), on trouve N \bar{N} = N_{A/\mathcal{O}}(N) \qquad \text{OK.}

Quand on axiomatise la situation ~~de A, A_1,~~ de \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2 / A} et N_{A_1 \otimes A_2 / A}, on aboutit à la situation d'une sur k, (d'une k-algèbre A qui « se comporte comme si c'était une algèbre quadratique sur k » (i.e. loc. libre de rang 2). Mais on ne suppose ni que A soit loc. libre ni de rang 2 /k, ni que \alpha : k \to A , \qquad \lambda \mapsto \lambda \cdot 1_A soit injective. Au lieu de cela, on suppose données deux applications t_{A/k} = t : A \to k \quad (\text{trace relative}) , \qquad n_{A/k} = n : A \to k \quad (\text{norme relative}) , satisfaisant les conditions suivantes

(a) t est k-linéaire, n est quadratique, et t se déduit de n, comme t(x) = \varphi_n(x, 1) \qquad (\text{la forme bil. ass. à } n) donc n(x + \lambda 1_A) = n(x) + \lambda^2 n(1) + \lambda t(x) , \qquad n(1) = 1 \ \text{cf. ci-dessous b)} devant la formule encadrée, un mot biffé.

~~D'autre part, la~~ NB On verra plus loin comme la forme bil. qui s'explicite en termes de la forme n.

(b) n(1) = 1, n(xy) = n(x)\, n(y) i.e. n est un homom. de monoïdes unitaires A^{\times} \to k^{\times}

(c) t(1) = 2 la lettre (c) est écrite sur un (b) ; à côté de la condition encadrée, une ligne biffée commençant par « D'où » et un mot biffé (« Posons »).

Posons \tau(f) = \alpha(t(f)), et considérons l'application \sigma : f \mapsto \bar{f} = \tau(f) - f ~~Ceci suppose que cette application~~ On a \tau(\bar{f}) = \tau(f) \underbrace{\tau(1)}_{2} - \tau(f) = \tau(f) d'où (\bar{f})^{-} = \tau(\bar{f}) - \bar{f} = f i.e. ~~\sigma est~~ \sigma^2 = \mathrm{id}_A. Notons que par définition \tau(f) \overset{\mathrm{déf}}{=} \alpha(t(f)) = f + \bar{f}, et aussi \bar{1} = 1

Ceci posé, on veut que l'on ait

1°) \sigma est un automorphisme d'algèbre, i.e. \sigma(xy) = \sigma(x)\, \sigma(y) \qquad x, y \in A ce qui s'explicite comme 2xy = \underbrace{\tau(xy)}_{\varphi_n(x, \bar{y})} - \tau(x)\tau(y) + x\tau(y) + y\tau(x) « -\tau(x)\tau(y) » est ajouté au-dessus de la ligne ; sous \tau(xy), « = \varphi_n(x,\bar{y}) \to voir ci-dessous ». comb. lin. à coeff. dans k de 1, x, y

NB Le facteur 2 ici (qui n'est gênant que ~~en car. 2~~ si 2 dans k), on voit donc que la structure d'algèbre de A est connue quand on connaît le k-module, avec l'élément 1_A (A en tant que k-module, avec \lambda \mapsto \lambda \cdot 1_A) et des \alpha : k \to A applic. t : A \to k, n : A \to k.

NB Quand \alpha est injectif, ⑤ n(1) = 1 \alpha\, n(x) = x\bar{x} \alpha\, n(xy) = n(x)\, n(y) note marginale en diagonale, en grande partie illisible.

2°) \alpha(n(x)) = x \bar{x} implique \alpha(n(x)) = \alpha(n(\bar{x})), mais on qui soit n(\bar{x}) = n(x) On a n(\bar{x}) = n(\lambda 1_A - x) \overset{(a)}{=} n(x) + \lambda^2 - \lambda t(x) \qquad \text{où } \lambda = t(x) donc on a bien n(\bar{x}) = n(x). dans la formule, des termes biffés au-dessus de « \lambda^2 ».

La formule ci-dessus pour \alpha(n(x)) = x \bar{x} donne, si on fait x = y + z \underbrace{\alpha(n(y+z))}_{n(y) + n(z) + \varphi_n(y,z)} = \text{\struck{$\ldots$}}\ (y+z)\overline{(y+z)} = \underbrace{y\bar{y}}_{\alpha(n(y))} + \underbrace{z\bar{z}}_{\alpha(n(z))} + \underbrace{y\bar{z} + z\bar{y}}_{\tau(y\bar{z})} , \qquad z\bar{y} = \overline{y\bar{z}} donc \alpha(\varphi_n(y, z)) = \tau(y \bar{z}) \qquad \text{i.e. } \alpha(t(y\bar{z})) donc si \alpha est injectif, on en déduit \varphi_n(y, z) = t(y \bar{z}) i.e. la formule d'additivité pour n n(y + z) = n(y) + n(z) + t(y\bar{z}) , \qquad t(y\bar{z}) = t(\bar{y} z) \quad \text{car } t(x) = t(\bar{x})

Ceci posé, on veut

3°) la formule précédente est vraie (sans supposer \alpha injectif…)

4°) Une formule facultative, quand k est fini loc. libre ~~de rang~~ n sur un anneau k_0, et A loc. libre de rang 2n et sur k_0 (N.B. k_0 \to A injectif mais k \to A injectif)tel quel sur la page ; le sens demande « mais non k \to A injectif ».. On veut supposer que \begin{cases} \mathrm{Tr}_{k/k_0}(t(x)) = \mathrm{Tr}_{A/k_0}(x) \\ N_{k/k_0}(n(x)) = N_{A/k_0}(x) \end{cases} identité entre applic. linéaires A \to k_0 ; identité de (2n)-formes

Récapitulons le formulaire pour

\begin{tikzcd} k \arrow[r, "\alpha"] & A \arrow[l, bend left=40, "t"] \arrow[l, bend left=70, "n"] \end{tikzcd}

(k-alg.) \alpha homom. d'anneaux comm. \alpha(\lambda) = \lambda \cdot 1_A. On pose \tau(x) = \alpha\, t(x), \nu(x) = \alpha\, n(x)

ici et pp. 111, 113, les numéros (1) à (6) sont cerclés.

(1) t k-k-linéaire, t(1_A) = 2

(2) x \mapsto \bar{x} \overset{\mathrm{déf}}{=} \tau(x) - x : A \to A (automorphisme involutif du k-module A, avec \bar{1}_A = 1_A) est un automorphisme d'alg., i.e. \overline{xy} = \bar{x}\,\bar{y} \qquad \text{i.e.} \qquad 2xy = \bigl(\tau(xy) - \tau(x)\tau(y)\bigr) + \tau(y)\,x + \tau(x)\,y

(3) \begin{cases} n(\lambda x) = \lambda^2 n(x) \\ n(x + y) = n(x) + n(y) + t(x\bar{y}) \end{cases} \qquad \lambda \in k , \ x \in A i.e. n est quadratique, la forme bil. ass. est \varphi_n(x, y) = t(x \bar{y})

(4) n(1) = 1 (NB compte tenu de la formule d'additivité en 3°, cela implique t(1) = 2)

(5) \alpha(n(x)) = x \bar{x} x \in A (qui implique 3° 4° si \alpha injectif)

(6) (facultatif), et si k loc. libre de rang n sur k_0, et A loc. libre de rang 2n sur k_0) \begin{cases} \mathrm{Tr}_{k/k_0}(t(x)) = \mathrm{Tr}_{A/k_0}(x) \\ N_{k/k_0}(n(x)) = N_{A/k_0}(x) \end{cases} \qquad x \in A

La donnée de A sur k, et \alpha, t, n satisfaisant 1° à 5° sera appelée algèbre quasi-quadratique sur k. On va maintenant pouvoir étendre dans la situation quasi-biquadratique.

Données

a)un anneau de base k b)k-algèbres A_1, A_2, A_3, A c)Sur chacune des A_i, structure quasi-quadratique sur k, i.e. on a

\begin{tikzcd} A_i \arrow[r, bend left=20, "t_i"] \arrow[r, bend right=20, "n_i"'] & k \end{tikzcd}

~~Comme pour~~ satisfaisant les conditions 1° à 5° ci-dessus. Les notat. x \mapsto \bar{x} l'involution canonique de A_i, \bar{x} = t_i(x) - x ~~\bar{x} = t_i~~ (par abus de notation) (NB on identifie \lambda \in k avec ses images dans les A_i, sans pour autant supposer k \to A_i injectif…)

d)Des homom. de k-algèbres

\begin{tikzcd} A_1 \arrow[dr, "\alpha_1"'] & A_2 \arrow[d, "\alpha_2"] & A_3 \arrow[dl, "\alpha_3"] \\ & A & \end{tikzcd}

(non néc. inj.), et des structures d'alg. quasi-quadratiques de A sur les A_i

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large] & A \arrow[dl, bend right=15, "T_1"'] \arrow[dl, bend left=15, "N_1"] \arrow[d, bend right=15, "T_2"'] \arrow[d, bend left=15, "N_2"] \arrow[dr, bend right=15, "T_3"'] \arrow[dr, bend left=15, "N_3"] & \\ A_1 & A_2 & A_3 \end{tikzcd}

une première version du diagramme, à droite, est biffée. données satisfaisant donc au formulaire ci-dessus de 1° à 5°. De plus, compatibilités.

~~On pose~~ \text{\struck{$\sigma_i(x) = T_i(x) - x$}} ~~\sigma_i est un auto. involutif de A ; et on veut que~~ \text{\struck{$\sigma_1 \sigma_2 = \sigma_3 , \quad \sigma_2 \sigma_3 = \sigma_1 , \quad \sigma_3 \sigma_1 = \sigma_2$}} ~~i.e. que les \sigma_i sont des involutions qui commutent entre elles, et \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \mathrm{id}~~ tout ce dernier passage est barré de traits obliques.

Considérons un des 6 diagrammes carrés.

\begin{tikzcd} A_1 \arrow[r, no head, "\alpha_1"] \arrow[d, no head] & A \arrow[d, no head, "\alpha_2"] \\ k \arrow[r, no head] & A_2 \end{tikzcd}

On veut que la situation soit, du point de vue des traces, , comme si A_1 était quadratique sur k, et que A en soit déduit par changement de base k \to A_2. Mais ici on suppose A/A_2 (\alpha_2) quasi-quadratique A_1, A_2 note marginale en diagonale, presque entièrement illisible ; les traits du carré sont tracés sans pointes.

(1) T_2\bigl(\alpha_1(x_1)\, \text{\struck{$\alpha_2(x_2)$}}\bigr) = t_1(x_1)\, \text{\struck{$\alpha_2(x_2)$}} ce qui détermine T_2 sur k[A_1, A_2] \subset A en termes de t_1

i.e. on veut un diagramme commutatif.

\begin{tikzcd} A_1 \otimes_k A_2 \arrow[r] \arrow[d, "t_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2}"'] & A \arrow[d, "T_1"] \\ A_2 \arrow[r, no head] & A_2 \end{tikzcd}

la flèche verticale de droite est lue T_1 ; d'après (1) on attendrait T_2. En bas, les deux A_2 sont reliés par un trait double. NB. A_1 \otimes A_2 \to A n'est pas supposé injectif, mais que t_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2} s'annule au moins sur le noyau

Ceci implique que \sigma_2(\alpha_1(x)) = \alpha_1(\bar{x}) , i.e. \sigma_2 (ainsi que \sigma_3) « induit » sur A_1 l'involution donnée x_1 \mapsto \bar{x}_1 de A_1.

On veut une condition similaire pour les normes

2° N_2(\alpha_1(x_1)) = n_1(x_1) dans les deux membres, un facteur biffé illisible suit \alpha_1(x_1) et n_1(x_1).

Je dis que cette formule implique que le diagramme similaire au précédent

\begin{tikzcd} A_1 \otimes_k A_2 \arrow[r] \arrow[d, "{n_1 \otimes_k \mathrm{id}_{A_2} = N_{12}}"'] & A \arrow[d, "N_2"] \\ A_2 \arrow[r, no head] & A_2 \end{tikzcd}

en bas, les deux A_2 sont reliés par un trait double fléché. déduite de la forme n_1 par chgt de base k \to A_2 commute. C'est en tous cas vrai pour les éléments ~~de la forme~~ de A_1 \otimes_k A_2 de la forme x_1 \otimes x_2, car les deux membres sont alors t_1(x_1) \cdot x_2^2 le premier facteur se lit t_1(x_1) ; le sens demande n_1(x_1). Entre les deux facteurs, des lettres biffées. par quadraticité de N_{1,2}, N_2. Il reste à voir qu'on a commutativité pour les ~~formes~~ formes bil. associées, or pour N_{12} c'est la forme déduite de \text{\struck{$(x,y) \mapsto$}}\ \varphi_{n_1}(x, y) = t_1(x \bar{y}) \quad \text{sur } A_1 \times A_1 , par chgt. de base k \to A_1, or on a, si x' = \alpha_1(x), y' = \alpha_1(y) \begin{cases} \alpha_1(\bar{y}) = \sigma_2(\alpha_1(y)) \\ t_1(x \bar{y}) = T_2(\alpha_1(x\bar{y})) \quad \text{dans } A_2 \end{cases} « k \to A_1 » est écrit tel ; on attendrait k \to A_2. donc \varphi_{n_1}(x, y) = T_2\bigl(x' \sigma_2(y')\bigr) = \varphi_{N_2}(x', y') \qquad \text{OK.}

NB La condition sur N_2 implique celle sur T_2, en passant aux formes bil. ass., i.e. en l'appliquant pour x et pour 1 + x (x \in A_1).

(3) Ensuite on veut la condition \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = 1 qui implique que les involutions \sigma_i commutent entre elles. Car en prenant 2 d'entre elles on a une involution \begin{cases} \sigma_1 \sigma_2 = \sigma_3 \\ \sigma_2 \sigma_3 = \sigma_1 \\ \sigma_3 \sigma_1 = \sigma_2 \end{cases} (car pour deux invol. \sigma et \tau, \sigma\tau = \tau\sigma \iff (\sigma\tau)^2 = 1 \quad \text{i.e. } \sigma\tau\sigma\tau = 1 la condition \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = 1 ) Cette condition est automatiquement vérifiée sur la sous-algèbre de A engendrée par les A_i, car elle est vraie sur les A_i (lesquels \sigma_i) et commutent note marginale en diagonale, à gauche de (3).

En utilisant 1°), s'explicite par la formule 2x = T_1(x) + T_2(x) + T_3(x) - t_2 T_2(x) , qui n'est pas symétrique, mais elle est équivalente à \sigma_2 \sigma_3 \sigma_1 = 1 \quad \text{ou} \quad \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 = 1 , donc 2x = T_1(x) + T_2(x) + T_3(x) - t_3 T_3(x) 2x = \cdots - t_1 T_1(x) , elle implique (*) la condition t_1 T_1(x) = t_2 T_2(x) = t_3 T_3(x) (qui ressemble à 6° ci-dessus). Si on désigne par T_{A/k}(x) cette valeur commune aux trois membres, on trouve donc la condition 2x = T_1(x) + T_2(x) + T_3(x) - T_{A/k}(x) . (*) donc si k \to A injectif, mais vérifiée en tous cas…

tout le haut de la page, jusqu'à la seconde formule encadrée, est barré de traits obliques. ~~Sous réserve que les \alpha_i : A_i \to A soient bien injectifs, cela montre que chacun des T_i est déterminé par les deux autres, via~~ \text{\struck{$\alpha_1 T_1(x) = 2x + T_{A/k}(x)$}} \text{\struck{${} - \alpha_2 T_2(x) - \alpha_3 T_3(x)$}} ~~On s'attend à trouver des formules similaires, multiplicatives~~ \text{\struck{$N_{A/k}(x)\, x^2 = N_1(x)\, N_2(x)\, N_3(x)$}} et \text{\struck{$n_1(N_1(x)) = n_2(N_2(x)) = n_3(N_3(x))$}}

Mais ~~toutes~~ les ~~conditions~~ relatives sur la norme (à prouver ci-dessous), sont conséquences de celles sur les traces, i.e. de \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = 1 sur les \sigma_i. En effet, posons x_0 = x , \quad x_1 = T_1(x) , \quad x_2 = T_2(x) , \quad x_3 = T_3(x) les lettres sont lues T_i ; le sens et la suite demandent x_i = \sigma_i(x). On a alors \begin{aligned} \sigma_1 &: x_0 \leftrightarrow x_1 , \quad x_2 \leftrightarrow x_3 \\ \sigma_2 &: x_0 \leftrightarrow x_2 , \quad x_1 \leftrightarrow x_3 \\ \sigma_3 &: x_0 \leftrightarrow x_3 , \quad x_1 \leftrightarrow x_2 \end{aligned} d'où ~~n_1(N_1(x)) = N_1(x)\overline{N_1(x)} = \ldots, N_1(x_1) = \ldots~~ n_1(N_1(x)) \overset{!}{=} \underbrace{N_1(x)}_{x\, \sigma_1(x)} \overline{N_1(x)} = (x_0 x_1)\, \underbrace{\sigma_2(x_0 x_1)}_{x_2 x_3} = x_0 x_1 x_2 x_3 et de même pour n_2(N_2(x)), n_3(N_3(x)). Donc on a l'égalité des n_i(N_i(x)) si k \to A est injectif. Et on a N_1(x)\, N_2(x)\, N_3(x) = (x_0 x_1)(x_0 x_2)(x_0 x_3) = x_0^2 \underbrace{(x_0 x_1 x_2 x_3)}_{N_{A/k}(x_0)} = x^2 N_{A/k}(x) , OK.

Considérons l'algèbre produit tensoriel triple A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 , via les \sigma_{A_i}, le groupe \mathbb{F}_2^3 opère dessus. Il n'y a pas en général d'opération de ce groupe sur A, compatible avec \textstyle\bigotimes A_i \to A , car il faudrait qu'il y ait p.ex. un auto. \tau_1 de A qui induise l' l'identité sur A_2, A_3, et \sigma_{A_1} sur A_1. Mais dans le cas le plus simple, A est engendré par A_2, A_3, donc \tau_1 devrait être l'identité, donc qu'il induise \sigma_{A_1} sur A_1 ne l'est pas.

Par contre, soit \Gamma \subset \mathbb{F}_2^3 , \qquad \Gamma = \mathrm{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^3 \to \mathbb{F}_2\bigr) , \quad (\varepsilon_i) \mapsto \textstyle\sum \varepsilon_i formé des éléments (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) tels que le nombre de composantes \neq 0 (i.e. = 1) soit 0 ou 2 i.e. soit pair. Les trois élts non nuls de ce groupe, savoir \text{\struck{$(0,0,1)$}}, \quad (0,1,1) , \quad (1,0,1) , \quad (1,1,0) qui correspondent aux automorphismes \begin{aligned} \mathrm{id}_{A_1} \otimes \sigma_{A_2} \otimes \sigma_{A_3} &\overset{\mathrm{déf}}{=} \tau_1 \\ \sigma_{A_1} \otimes \mathrm{id}_{A_2} \otimes \sigma_{A_3} &\overset{\mathrm{déf}}{=} \tau_2 \\ \sigma_{A_1} \otimes \sigma_{A_2} \otimes \mathrm{id}_{A_3} &\overset{\mathrm{déf}}{=} \tau_3 \end{aligned}

et ~~ici~~ on a une op. de \Gamma sur A, telle que \textstyle\bigotimes A_i \to A soit compatible aux deux opérations de \Gamma, savoir celle qui fait opérer \tau_i par \sigma_{A/A_i}.

~~Considérons~~ Supposons maintenant que les A_i correspondent à des rev. quadratiques X_i de X, d'où alors un rev. quadratique X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 , \qquad \text{d'algèbre } B = A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 , et on a X_1 \times X_2 \times X_3 \to X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 , \qquad (x_1, x_2, x_3) \mapsto x_1 * x_2 * x_3 , i.e. B \to A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 , et de façon plus précise, on a B \to (A_1 \otimes A_2 \otimes A_3)^{\Gamma} \qquad \text{invariant sous } \Gamma

Et même, si on exclut les pts x \in X = \mathrm{Spec}(k) de car. 2 tels que deux au moins des A_i soient non étales en ce point, dans l'homom. précédent est un iso.

On va regarder le composé B \to A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 \to A , \quad \text{\uncertain{i.e.}} la phrase continue p. 117.

i.e., en termes de \mathcal{X} = \mathrm{Spec}\, A, le composé \mathcal{X} \to X_1 \times_X X_2 \times_X X_3 \to X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 , j'ai envie de prouver que c'est une flèche constante, i.e. qu'il se factorise par une section de X_1 \wedge X_2 \wedge X_3, ce qui signifie aussi que l'homom. composé précédent

\begin{tikzcd} B \arrow[rr, "f"] \arrow[dr] & & A \\ & (\bigotimes A_i)^{\Gamma} \arrow[ur] & \end{tikzcd}

est à valeurs dans k \cdot 1_A. (Du moins, on y aboutira quand on suppose k \to A injectif — c'est ce qu'on va supposer maintenant, pour simplifier.)

Mais on a évidemment f(B) \subset A^{\Gamma} , et la condition est vérifiée si on suppose A^{\Gamma} = k \cdot 1_A . (C'est là une condition pas toujours vérifiée, même dans des cas raisonnables, à cause de la car. 2. Mais si 2 est inversible dans k, c'est toujours vrai sous les conditions précédentes).

En effet, si x \in A, \sigma_i(x) = x signifie T_i(x) - x = x \quad \text{i.e.} \quad 2x = T_i(x) , et si c'est vrai pour i = 1, 2, 3 on trouve 6x = \underbrace{T_1(x) + T_2(x) + T_3(x)}_{= 2x + T_{A/k}(x) \ \text{cf. plus haut}} d'où 4x = T_{A/k}(x) ce qui implique, si 2 inv., x = \tfrac{1}{4} T_{A/k}(x) \in k \qquad \text{OK.}

~~A^{\Gamma} = k \cdot 1_A~~ deux lignes barrées de croix.

Proposition. Supposons les A_i des alg. quadratiques étales, que k \to A soit injectif, que les \alpha_i(A_i) \subset A engendrent l'algèbre A i.e. \bigotimes A_i \to A épi. (donc \mathcal{X} = \mathrm{Spec}\, A \to X_1 \times_k X_2 \times_k X_3 est une immersion) (enfin A^{\Gamma} = k \cdot 1_A, ). Alors ~~la situation~~ ~~se déduit de la situation~~ \mathcal{X} \to X_1 \times X_2 , \quad \mathcal{X} \to X_2 \times X_3 , \quad \mathcal{X} \to X_3 \times X_1 sont des iso., \mathcal{X} est fini étale sur X = \mathrm{Spec}\, k.

Et la situation se déduit par twist de celle I_1, I_2, I_3, ens. à deux élts munis d'une trivialisation \varepsilon de I_1 \wedge I_2 \wedge I_3, et de J \subset I_1 \times I_2 \times I_3 , \qquad J = \{ (a_1, a_2, a_3) \in I_1 \times I_2 \times I_3 \mid a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = \varepsilon \}

Inversement, dans une telle situation tordue, A est une algèbre étale quadratique sur chacun des A_i, donc on a une situation biquadratique étale, et de plus les hypothèses ci-dessus (en particulier A^{\Gamma} = k \cdot 1_A) sont satisfaites.

~~Il suffit~~ Seule la première partie, directe, demande un peu de soin. OPS X_1, X_2, X_3 I_{1X}, I_{2X}, I_{3X}, et la section constante ~~la section~~ rev. trivialisé de X_1 \wedge X_2 \wedge X_3 = (I_1 \wedge I_2 \wedge I_3)_X constante. On a alors \mathcal{X} \subset J_X et tout résulte du lemme suivant

Lemme. Soit \Gamma un groupe, opérant de façon transitive sur un ens. J, et considérons un sous-schéma fermé \mathcal{X} de X_J (où X = \mathrm{Spec}\, k) tel que

a)\mathcal{X} est stable sous \Gamma, et b)l'homomorphisme k \to \Gamma(X_J, \mathcal{O}_{X_J}) (\simeq k^J) est injectif.

en b), on attendrait l'anneau de \mathcal{X} plutôt que celui de X_J ; transcrit tel quel. Alors \mathcal{X} = X_J, donc \mathcal{X} est étale sur X (c'est fini étale si J est fini).

En effet, soit j \in J, considérons le composant X_j de X_J, X_j \xrightarrow{\ \sim\ } X, et \mathcal{X}_j = X_j \cap \mathcal{X}, il correspond à un sous-schéma fermé de X donc à un idéal \mathfrak{J}_j de k. À cause de l'action de

\mathcal{X} sous \Gamma, et de la transitivité de \Gamma sur J, on voit que cet idéal \mathfrak{J}_j ne dépend pas de j. D'autre part, l'intersection des \mathfrak{J}_j est évidemment le noyau de k \to \Gamma(X_J, \mathcal{O}_{X_J}) \simeq k^J . Comme celui-ci est nul, on a \mathfrak{J}_j = 0 pour tout j, donc \mathcal{X}_j = X_j \qquad \text{donc} \qquad \mathcal{X} = X_J \qquad \text{OK.}

Ce résultat vaut sans restrictions de caractéristiques, mais il concerne la situation standard étale, très restrictive. J'ai envie de vérifier que dès qu'on a trois rev. quadratiques X_1, X_2, X_3 de X, et une section \varepsilon de X_1 \wedge X_2 \wedge X_3, sans condition étale, on en déduit sur \mathcal{X} = \pi^{-1}(\varepsilon) \qquad \bigl(\pi : X_1 \times_X X_2 \times_X X_3 \to X_1 \wedge X_2 \wedge X_3\bigr) une structure biquadratique par rapport aux X_i. Ceci doit généraliser la structure biquadratique connue sur un X_1 \times X_2, par les applications

\begin{tikzcd}[row sep=small] & X_1 \\ X_1 \times X_2 \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & X_2 \\ & X_3 = X_1 \wedge X_2 \end{tikzcd}

comme on va le voir de suite. l'argument se poursuit au-delà du lot.