Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 81–100

La page reprend un argument commencé avant ce lot : les « torseurs 2-trivialisés », le produit * et les notations T, b, x_0 sont introduits plus haut.

Donc la catégorie des torseurs 2-trivialisés, (pour aux Modules sur lesquels 2 est inversible) équivaut à celle des Modules sans plus. Par contre, sans restr. sur 2 (inv. sur X) on M, regardons les ~~modules~~ torseurs 2-trivialisés qui ont cette structure : munis de scindage x_0 \in \Gamma P_1 tel que x_0 = \overline{x_0}, d'où E \simeq L_0 \oplus \mathcal{O}, T \simeq (0,2), comme dessus. On aura b_{x_0,T} = 2x_0 - T = 0 , La théorie est tt. ! triviale pour 2 inversible sur X ! Le produit * se réduit au produit \otimes des L_i, sans plus, « les b s'évanouissent », ils sont nuls ! ~~le plus intéressant~~ Le cas intéressant est celui où 2 n'est pas inversible sur \mathcal{O}_X … \mathcal{O} rend ici et dans tout le lot son O, souligné ou non selon les lignes.

Formules \begin{cases} \overline{x_1 * x_2} = \overline{x_1} * x_2 = x_1 * \overline{x_2} \\ \overline{x_1} * \overline{x_2} = x_1 * x_2 \end{cases} (résulte des précédentes)

i.e. Prouvons \overline{x_1} * x_2 = \overline{x_1 * x_2} ; il suffit pour x_1, x_2 \in \Gamma P_1. On a \overline{x_1} * x_2 = (T_1 - x_1) * x_2 = \underbrace{T_1}_{2x_1 - b_1} * x_2 - x_1 * x_2 = x_1 * x_2 - b_1 * x_2 \overline{x_1 * x_2} = T - x_1 * x_2 = x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 un trait relie b_1 * x_2 à b_1 \otimes b_2 de la ligne suivante, et un autre mène de la ligne \overline{x_1 * x_2} = T - x_1 * x_2 à un mot d'où placé devant la ligne suivante. Or on a T = 2x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 , \qquad \overline{x_1 * x_2} = x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 sous b_1 et b_2, rattachés par des signes =, les valeurs 2x_1 - T_1 et 2x_2 - T_2, biffées. OK.

~~Supposons~~ Nous cherchons maintenant la condition pour que

a)E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 surjectif b)son noyau N (qui contient les \overline{\xi} - \xi, \xi \in E_1 \otimes E_2) est engendré par ~~les~~ \operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}), i.e. par les \overline{x_1} \otimes \overline{x_2} - x_1 \otimes x_2 (x_1 \in \Gamma E_1, x_2 \in \Gamma E_2)_x,

~~condition~~ en d'autres termes on veut E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 \text{ induit } E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 .

Pour la condition a), elle équivaut à la surjectivité de L_1 \otimes E_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} E_1 \otimes L_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 , ou à ce que son conoyau est canoniquement isomorphe à \operatorname{Coker} \pi_1 \otimes \operatorname{Coker} \pi_2 \qquad \pi_i : E_i \to L_i Si L_1, L_2 sont de présentation finie, alors la nullité (i.e. par Nakayama) se vérifie pour les points (après \otimes k), donc il existe un ~~voisinage~~ ou localement au voisinage de chaque point de X, que \pi_1 ou \pi_2 soit épi. Si on se donne des scindages x_1, x_2, d'où b_1 \in \Gamma L_1 , \quad b_2 \in \Gamma L_2 , alors \operatorname{Im}(\pi_i : E_i \to L_i) = \mathcal{O}_X . b_i + 2 L_i au-dessus de \pi_i une première écriture surchargée, ; sous \mathcal{O}_X, l'indice \chi. i.e. la condition est la suivante :

(a') ~~Aux points~~ En tout point de X_0 = V(\chi . 1), ~~ou b_1 ou b_2, ou~~ ou bien T_{1,0}, ou bien T_{2,0}, est une ~~base~~ gén. de L_{1,0} respectivement L_{2,0}. NB Cette condition . N' . note marginale écrite à la verticale le long du bord gauche.

Si on se donne (localement ?) des bases, \{e_1\} de L_1, \{e_2\} de L_2, donc b_1, b_2 s'interprètent comme des sections de \mathcal{O}, donc la condition est (b_1, b_2, \underset{\substack{\| \\ 2 \text{ en l'occurrence}}}{\chi}) . \mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X Cette condition est vérifiée si \chi (soit 2 en l'occurrence) inversible sur X X. La condition b) aussi, comme on voit la décomposition canonique E_i \simeq L_i \oplus \mathcal{O}_i \qquad \text{où } \sigma_i | \mathcal{O}_i = \mathrm{id}_{\mathcal{O}_i} la lettre lue \chi est un signe en forme de crochet allongé ; il désigne l'entier qui « en l'occurrence » vaut 2. d'où E_1 \otimes E_2 \simeq L_1 \otimes L_2 \oplus L_1 \oplus L_2 \oplus \mathcal{O} et \sigma_1 \otimes \sigma_2 \text{ est } \begin{cases} \mathrm{id} \text{ sur } L_1 \otimes L_2 \text{ et sur } \mathcal{O} \\ -\mathrm{id} \text{ sur } L_1 \oplus L_2 \end{cases} et \mathrm{id} - \sigma_1 \otimes \sigma_2 \text{ est donc } \begin{cases} 0 \text{ sur } L_1 \otimes L_2 \text{ et sur } \mathcal{O} \\ 2\,\mathrm{id} \text{ sur } L_1 \oplus L_2 \end{cases} donc E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \simeq (L_1 \otimes L_2) \oplus \mathcal{O} \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 sous la flèche, deux traits courbes renvoient à L_1 \otimes L_2 \oplus \mathcal{O} : l'un porte x_1 \otimes x_2 \mapsto 2x_1 \otimes x_2, l'autre \lambda \mapsto \lambda ; sous E_1 * E_2, « avec son scindage canonique ».

Dans le cas général NB se pose en caractéristique 2, comme juste. Je dis qu'alors (pour L_1, L_2 de présentation finie, p.ex. inversibles) la condition b) est conséquence de a). Il suffit de le vérifier si X_0 = X (*), de caractéristique 2, il suffit de voir que si alors T_1 \in \Gamma L_1 (*) si L_1, L_2 E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 b) note écrite en diagonale dans le coin inférieur gauche, renvoyée par l'astérisque ; presque entièrement illisible.

est inversible, alors le noyau de * : E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 est \operatorname{Im}(\mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2} - \sigma_1 \otimes \sigma_2). [NB Si T_1 et T_2 sont nuls, on a \sigma_i = \mathrm{id} (i = 1,2) donc \mathrm{id} - \sigma_1 \otimes \sigma_2 = 0, donc l'image est nulle, alors que le noyau ~~de E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2~~ est égal à E_1 *_0 E_2 = L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2 (qui est de rang 3 si L_1, L_2 inversibles).]

En termes de scindages x_1, x_2 de E_1, E_2, et des décompositions correspondantes E_1 \simeq L_1 \oplus \mathcal{O} x_1 , \quad E_2 \simeq L_2 \oplus \mathcal{O} x_2 E_1 \otimes E_2 \simeq (L_1 \otimes L_2) \oplus \underbrace{L_1 \otimes x_2}_{\simeq L_1} \oplus \underbrace{x_1 \otimes L_2}_{\simeq L_2} + \underbrace{\mathcal{O} . x_1 \otimes x_2}_{\simeq \mathcal{O}} et compte tenu que \sigma_1 \otimes \sigma_2 -\mathrm{id} est ~~l'id.~~ nul sur le L_1 \otimes L_2, , \operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2}) est engendré par 3 sortes d'éléments, correspondants aux trois autres facteurs \overline{u_1 \otimes x_2} - u_1 \otimes x_2 = -u_1 \otimes \underset{\substack{\| \\ T_2 - x_2 \\ \| \\ x_2 - b_2}}{\overline{x_2}} - u_1 \otimes x_2 = -2u_1 \otimes x_2 + u_1 \otimes b_2 \overline{x_1 \otimes u_2} - x_1 \otimes u_2 = -2x_1 \otimes u_2 + b_1 \otimes u_2 \overline{x_1 \otimes x_2} - x_1 \otimes x_2 = \underset{(x_1 - b_1) \otimes (x_2 - b_2)}{\overline{x_1} \otimes \overline{x_2}} - x_1 \otimes x_2 = -x_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes x_2 + b_1 \otimes b_2 donc les éléments (avec les notations de la somme directe) \begin{cases} -2u_1 + u_1 \otimes b_2 \\ -2u_2 + b_1 \otimes u_2 \\ -b_1 - b_2 + b_1 \otimes b_2 \end{cases} \qquad u_1 \in \Gamma L_1 , \ u_2 \in \Gamma L_2 En caractéristique 2 cela se réduit \begin{cases} u_1 \otimes b_2 , \ b_1 \otimes u_2 \in \Gamma L_1 \otimes L_2 \\ -b_1 - b_2 - b_1 \otimes b_2 \end{cases} le signe du dernier terme b_1 \otimes b_2 est surchargé, dans la troisième ligne du calcul comme dans la dernière accolade.

Si b_1 engendre L_1 (supposé inversible) donc les b_1 \otimes u_2 engendrent L_1 \otimes L_2, donc K = \operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2}) contient L_1 \otimes L_2, plus précisément il est égal à L_1 \otimes L_2 + \mathcal{O} . \xi où \xi = \overline{x_1 \otimes x_2} - x_1 \otimes x_2 \equiv \text{\struck{$b_2$}}\ b_1 \oplus b_2 \quad (L_1 \otimes L_2) au-dessus du « \equiv », le mot « mod » ; sous la ligne, « est une base mod. L_1 \otimes L_2 ». Si L_1, L_2 de rang 1, \operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}) est donc de rang ~~1 + n~~, i.e. \operatorname{rang} L_1 \otimes L_2 + 1 = n + 1 la lettre n désigne apparemment \operatorname{rang}(L_1 \otimes L_2), alors que l'hypothèse écrite est « de rang 1 ». d'autre part \operatorname{rang}(\operatorname{Ker} *) = \underset{\substack{\| \\ \operatorname{rang} E_1 \cdot \operatorname{rang} E_2 \\ \| \\ 2 . (n+1)}}{\operatorname{rang}(E_1 \otimes E_2)} - \underset{\substack{\| \\ 1 + \operatorname{rang}(L_1 \otimes L_2) \\ \| \\ 1 + n}}{\operatorname{rang} E_1 * E_2} = n + 1 d'où l'égalité.

On trouve donc

Proposition : Supposons L_1, L_2 de localement libres de type fini. Pour que E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 induise E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 , il faut et il suffit que partout sur X_0 = V(2.1_X), T_{1,0} ou T_{2,0} engendre L_{1,0} resp. L_{2,0}. (Si L_1, L_2 sont triviaux, donc inversibles, et si E_1, E_2 munis de scindages, d'où b_1 \in \Gamma L_1, b_2 \in \Gamma L_2, cette condition équivaut à 2 \mathcal{O}_X + b_1 L_1^{\vee} + b_2 L_2^{\vee} = \mathcal{O}_X \;) .

Corollaire. C'est aussi la condition nécessaire et suffisante pour que, pour tout Module M, on ait \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{O}}(E_1 * E_2, M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}(E_1 \otimes E_2, M)^{\sigma_1 \otimes \sigma_2} Posant \check{E}_1 = \mathcal{A}_1, \check{E}_2 = \mathcal{A}_2, (E_1 * E_2)^{\vee} \simeq \mathcal{A}, cela implique que \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 induit un isomorphisme \mathcal{A} \xrightarrow{\ \sim\ } (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2)^{\sigma_1^{\vee} \otimes \sigma_2^{\vee}} , et inversement si on sait que ceci reste vrai après ~~toute~~ changement de base.

Compliments sur la \chi-trivialisation, au-dessus de X_0 = V(\chi) i.e. sur un schéma X sur lequel \chi 1_X = 0.

La donnée d'une \chi-trivialisation pour un L-torseur P, i.e. comme \chi P = 0 . P \simeq L, équivaut simplement : à une section T de L, et \pi : P \to L est l'application composée x \mapsto \chi x - T = -T (où \chi x = 0) \pi(x) = -T \overset{\text{déf}}{=} b ! Dans le cas E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 \chi rend un signe en crochet, déjà rencontré p. 83 ; la page 85 écrit à la même place V(2.1_X). La page s'arrête sur cette formule.

est nulle sur ~~E_2~~ L_1 \otimes L_2 (car il y est égal : \chi\, \mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}), donc il se factorise par (*) \qquad E_1 \otimes E_2 / L_1 \otimes L_2 \longrightarrow E_1 * E_2 , sous E_1 \otimes E_2 / L_1 \otimes L_2, une accolade renvoie à E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 : le signe \otimes surmonté de deux demi-flèches opposées est le sien, rendu ainsi dans tout le lot. où le premier membre s'interprète comme une extension 0 \to L_1 \otimes L_2 \to E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 \to \mathcal{O} \to 0 En fait, c'est l'extension qui correspond au torseur P_1 \times P_2 \quad \text{sous} \quad L_1 \times L_2 on peut aussi le décrire comme E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 \simeq E_1 \underset{\mathcal{O}}{\times} E_2 = \{ (x_1, x_2) \in E_1 \times E_2 \mid \varphi_1(x_1) = \varphi_2(x_2) \} On trouve donc un homomorphisme d'extensions

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & L_1 \times L_2 \arrow[r] \arrow[d] & {E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 = E(P_1 \times P_2)} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 * E_2 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

où L_1 \times L_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 est donné par (u_1, u_2) \longmapsto u_1 \otimes b_2 + b_1 \otimes u_2 la flèche verticale de droite est un double trait (égalité), rendu par une ligne sans tête marquée « = ».

On peut donc interpréter E_1 * E_2 comme l'extension de \mathcal{O} par L_1 \otimes L_2 déduite de l'extension E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 de \mathcal{O} par L_1 \times L_2, via cet homom., et P_1 * P_2 comme le torseur déduit du (L_1 \times L_2)-torseur P_1 \times P_2 par l'homomorphisme précédent.

Revenons sur les ~~rev.~~ quadratiques. (*) Supposons que E_1, E_2 soient munis quadratiques X_1, X_2 de X. donc qu'on se donne sur formes quadratiques Q_1, Q_2 Q_1 : E_1 \to L_1^{\otimes 2} , \qquad Q_2 : E_2 \to L_2^{\otimes 2} dont les restrictions à L_1, L_2 sont x \mapsto x^2. Supposons que soient R_i des fonctions pol. de degré \leq 2 P_1 \to L_1^{\otimes 2} , \qquad P_2 \to L_2^{\otimes 2} , dont les parties homogènes soient x \mapsto x^2. La donnée de Q_1, Q_2 définit des discriminants (*) Dis d'abord ce que sur une extension 0 \to L \to E \to \mathcal{O} \to 0 2-trivialisée forme quadratique : a) Q(u) = u^2 si u \in \Gamma L ; b) T_Q = \ill{} , Q(x) = x^2 - T\,\psi(x) \ill{} ; b = \pi_T(x) \in \Gamma L c \in \Gamma L^{\otimes 2} , d'où Q(\lambda x + u) = u^2 + \lambda b u + \lambda^2 c (\lambda \in \Gamma\mathcal{O}, u \in \Gamma L) la note renvoyée par l'astérisque occupe, en lignes obliques serrées, tout le quart gauche de la page et déborde entre les lignes du texte ; on n'en lit que des débris. Le texte courant lui-même n'est que partiellement lisible sous ces surcharges.

\delta_1 \in \Gamma L_1^{\otimes 2} , \quad \delta_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2} donnés, en termes de scindages x_1, x_2 (locaux ?), par \delta_1 = b_1^2 - 4c_1 , \qquad \delta_2 = b_2^2 - 4c_2 où b_1 = \pi_1(x_1) = 2x_1 - T_1 \in \Gamma L_1 , \qquad b_2 = \pi_2(x_2) = 2x_2 - T_2 \in \Gamma L_2 et c_1 = Q(x_1) \in \Gamma L_1^{\otimes 2} , \qquad c_2 = \Gamma L_2^{\otimes 2} il écrit « c_2 = \Gamma L_2^{\otimes 2} » pour c_2 = Q(x_2) \in \Gamma L_2^{\otimes 2}. les formes quadratiques (étant définies sur E_1, E_2) par \begin{cases} Q_1(\lambda x_1 + u_1) = u_1^2 + \lambda b_1 u_1 + \lambda^2 c_1 ; \\ Q_2(\lambda x_2 + u_2) = u_2^2 + \lambda b_2 u_2 + \lambda^2 c_2 \end{cases} donc sur P_1, P_2 par Q_1(x_1 + u_1) = u_1^2 + b_1 u_1 + c_1 , \qquad Q_2(x_2 + u_2) = u_2^2 + b_2 u_2 + c_2

Th. Il existe une forme quadratique Q i.e. à valeurs dans L^{\otimes 2} (où L = L_1 \otimes L_2), « admissible » sur E = E_1 * E_2 (i.e. telle que Q | L = L_1 \otimes L_2 soit donnée par u \mapsto u^2), unique, telle que l'on ait, pour x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2 ~~x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2~~ : \boxed{Q(x_1 * x_2) = Q_1(x_1) \delta_2 + Q_2(x_2) \delta_1 + 4 Q_1(x_1) Q_2(x_2)} en termes des scindages définis par x_1, x_2, par x_1 * x_2 \boxed{c = c_1 \delta_2 + c_2 \delta_1 + 4 c_1 c_2} d'où, x_1 \in \Gamma E_1, x_2 \in \Gamma E_2, on trouve Q(x_1 * x_2) = ~~Q_1(x_1) \delta_2~~ \psi_2(x_2)^2 Q_1(x_1) \delta_2 + \psi_1(x_1)^2 Q_2(x_2) \delta_1 + 4 Q_1(x_1) Q_2(x_2) note écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, encadrée, reprenant la formule encadrée pour des sections de E_1, E_2, avec les facteurs \psi_i(x_i)^2 ; un premier départ est biffé. La reprise biffée des domaines de x_1, x_2 est en bout de ligne.

i.e. c = c_1 (b_2^2 - 4c_2) + c_2 (b_1^2 - 4c_1) + 4 c_1 c_2 \quad \text{i.e.} \boxed{c = c_1 b_2^2 + c_2 b_1^2 - 4 c_1 c_2} Comme on a de plus \boxed{b = b_1 b_2} , cela signifie : déterminons Q, comme Q(\lambda\, x_1 * x_2 + u) = u^2 + \lambda b u + \lambda^2 c \qquad (\lambda \in \Gamma \mathcal{O} ,\ u \in \Gamma(L_1 \otimes L_2)) .

Corollaire. Si \delta est le discriminant de Q, \delta = \delta_1 \delta_2 \qquad (\text{en plus on a } b = b_1 b_2) En effet \delta = b^2 - 4c = b_1^2 b_2^2 - 4(c_1 b_2^2 + c_2 b_1^2 - 4 c_1 c_2) = (b_1^2 - 4c_1)(b_2^2 - 4c_2)

NB Les formules simples ci-dessus, qui déterminent complètement Q en termes de Q_1 et Q_2, quand on des scindages, sont \boxed{\begin{array}{l} b = b_1 b_2 \\ \delta = \delta_1 \delta_2 \end{array}} i.e. on conduit pratiquement la formule pour c, puis par \delta = b^2 - 4c = \delta_1 \delta_2 \qquad \text{d'où, comme } b = b_1 b_2 , -4c = \delta_1 \delta_2 - b^2 = (b_1^2 - 4c_1)(b_2^2 - 4c_2) - b_1^2 b_2^2 = 4(-b_1^2 c_2 - c_1 b_2^2 + 4 c_1 c_2)

i.e. 4c = 4(b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 - 4 c_1 c_2) = 4(c_1 \delta_2 + c_2 \delta_1 + 4 c_1 c_2) et la formule particulière pour c s'en déduit (heuristiquement) « en divisant par 4 »…

Pour prouver le th., il suffit de le faire localement, i.e. dans le cas où l'on peut choisir des scindages, et définir Q par b et c donnés par les formules plus haut. Il faut prouver que Q(x_1 * y_2) satisfait la formule déjà écrite — c'est un petit calcul délicat, que j'ai pratiquement déjà fait plus haut.

Définition de X_1 \star X_2 et de X_1 \times X_2 \longrightarrow X_1 \star X_2 Contraintes de commutativité, associativité, unité pour cette opération.

X_1 \wedge X_2 quand X_1 (ou X_2) est étale, comme déduit de X_2 en le « tordant » par le (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_X-torseur X_1.

X_1 \wedge X_2 est étale ssi X_1 \star X_2 l'est

X_1 \times X_2 \to X_1 \wedge X_2 est fidèlement plat, le signe rendu \star est une étoile épaisse, distincte du petit \times du produit fibré ; \wedge rend un petit chevron. La phrase se poursuit à la page suivante.

toute la page est barrée de longues diagonales : elle est annulée, mais se lit. Le \star de la première ligne est souligné. existence sur les revêtements de X ~~H(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_X~~ ~~des rev. 2~~ où X_1 \star X_2 est non étale.

Calculons en termes des scindages, x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2, d'où E_1 \simeq L_1 \oplus \underset{\substack{\| \\ \mathcal{O}.x_1}}{\mathcal{O}} , \qquad E_2 \simeq L_2 \oplus \underset{\substack{\| \\ \mathcal{O}.x_2}}{\mathcal{O}} et \mathcal{A}_1 = \mathcal{O} \oplus L_1^{\vee} , \qquad \mathcal{A}_2 \simeq \mathcal{O} \oplus L_2^{\vee} ~~Donc L_1, les formes x~~ On définit L_1, L_2 comme sous-mod. de E_1, E_2.

Posons L_1 = \operatorname{Ker}(x_1 : \mathcal{A}_1 \to \mathcal{O}) , \qquad L_2 = \operatorname{Ker}(x_2 : \mathcal{A}_2 \to \mathcal{O}) On a b_1 = 2x_1 - T_1 \quad \text{i.e.} \quad \text{\struck{$b_1(u_1')$}}\ b_1 . u_1' = \operatorname{Tr}(u_1') « b_1 . u_1' » est écrit en interligne au-dessus de « b_1(u_1') » biffé ; entre le signe = et \operatorname{Tr}, un trait épais qui semble un signe - surchargé. et on a N(u_1') = u_1'^2 . c_1 u_1' \in L_1^{\vee} , l'équation minimale dans \mathcal{A}_1 est donc pour u_1'^2 + b_1 u_1' + c_1 = 0 Donc N(\underbrace{u_1' + \lambda e_1}_{\xi_1}) = N(u_1') + \lambda \operatorname{Tr}(u_1') + \lambda^2 = \text{\struck{$u_1'^2 . \ldots$}}\ u'^2 . c_1 + \lambda u' . b_1 + x_1^2(\xi_1) = u'^2 . c_1 + x_1(\xi_1) \ldots sous \lambda e_1, « \| \ x_1(\xi_1) » ; sous les termes de la première égalité, des signes \| renvoient à u'^2 . c_1, \lambda u' . b_1, x_1^2(\xi_1). Sous le calcul, « N = x_1 » biffé (lecture incertaine). Le calcul s'interrompt.

Retour sur une quadratique, X'/X défini par \mathcal{A} algèbre quadratique sur \mathcal{O}, ou par (E, \Psi : E \to \mathcal{O}, T, Q). Choisissons un scindage x_0 \in \Gamma P_1 = \Psi^{-1}(1), alors E \simeq L \oplus \underset{\substack{\wr \\ \mathcal{O}}}{\mathcal{O}.x_0} , \qquad \mathcal{A} \simeq \mathcal{O} \oplus L^{\vee} où L^{\vee} est défini comme sous-module de \mathcal{A} comme \operatorname{Ker}(x_0 : \mathcal{A} \to \mathcal{O}).

Considérons \boxed{\begin{array}{c} b = 2x_0 - T \\ \cap \\ \Gamma L \end{array}} \qquad \text{donc pour } u \in L^{\vee} ,\quad \boxed{u . b \overset{\text{déf}}{=} \langle u, b \rangle = -\operatorname{Tr}(u)} On aura N = x_0^2 - b x_0 + c \in \operatorname{Sym}^2(E) , \qquad c \in \Gamma L^{\otimes 2} dans N = x_0^2 - b x_0 + c, les x_0 sont surchargés et le signe devant b x_0 est repris à l'encre épaisse. donc pour u \in L^{\vee}, on N(u) = u^2 . c \quad (\overset{\text{déf}}{=} \langle u^{\otimes 2}, c \rangle) donc l'équation minimale de u ~~dans~~ \mathcal{A} est« de u ~~dans~~ \mathcal{A} est » est écrit au bout de la ligne précédente, à droite de N(u). u^2 + \underbrace{\langle u, b \rangle}_{b(u)} + \underbrace{\langle u^{\otimes 2}, c \rangle}_{c(u)} = 0

Donc, pour u \in \Gamma L^{\vee}, \lambda \in \Gamma \mathcal{O}, N(\underbrace{u + \lambda}_{\xi}) = N(u) + \lambda \operatorname{Tr}(u) + \lambda^2 \qquad \text{où } \lambda = x_0(\xi) = x_0(\xi)^2 - x_0(\xi)\, \underset{\substack{\| \\ b(\xi)}}{b(u)} + \underset{\substack{\| \\ c(\xi)}}{c(u)} donc on trouve bien N = x_0^2 - x_0 b + c D'autre part, si x = x_0 + v \in \Gamma P (v \in \Gamma L), x sera donc l'~~application~~ \xi \mapsto \mathcal{O}-linéaire \mathcal{A} \to \mathcal{O} qui envoie 1 sur 1, u + \lambda \mapsto \lambda + \langle u, v \rangle, et sur L est donné par u \mapsto \langle u, v \rangle la phrase se poursuit à la page suivante.

et on vérifie tout de suite que c'est un homomorphisme d'algèbres ssi v^2 + b v + c = 0 \quad \text{i.e.} \quad Q(v) = 0 \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\otimes 2}}}{v^2 + b v + c} On va préciser la relation entre les formes N sur \mathcal{A}, Q sur E = \check{\mathcal{A}}, ~~par la forme~~ explicitons l'iso (canonique) \mathcal{A} E lié au choix de 2) E \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}(E, \underbrace{\det E}_{\overset{\text{déf}}{=} \Delta}) \simeq \underset{\substack{\| \text{déf} \\ \mathcal{A}}}{\check{E}} \otimes \Delta = \mathcal{A} \otimes \Delta Obtenu en associant à x \in E la forme f_x : E \to \det E = \textstyle\bigwedge^2 E , \qquad y \mapsto x \wedge y Si E est muni d'une structure d'extension 0 \to L \to E \xrightarrow{\ \Psi\ } \mathcal{O} \to 0 , alors \underset{\substack{\| \\ \Delta}}{\det E} \overset{\alpha}{\xleftarrow{\ \sim\ }} L \qquad \alpha(u) = x_0 \wedge u , \quad \text{où } x_0 \in \Gamma P_1 Comme on sait précisé. NB Le 2e membre ne dépend pas du choix de x_0. donc E \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\substack{\| \\ \check{E}}}{\mathcal{A}} \otimes L À tout x \in E on associe la forme f_x : E \to L donnée par la condition f_x(y) = \alpha^{-1}(x \wedge y), i.e. par la condition x_0 \wedge f_x(y) = x \wedge y ~~Si T \in E tel que \Psi(T) = 2,~~ ~~pour prendre~~ je dis qu'on aura f_x(y) = \Psi(x) y - \Psi(y) x la lettre rendue f_x est un f cursif indicé par x ; \textstyle\bigwedge^2 rend son \Lambda^2.

Pour le vérifier, on note que pour x, y variables les deux membres de la formule sont des formes bil. alternées, et \{(x, y) \mapsto f_x(y) = \alpha^{-1}(x \wedge y)\} forme une base du () des telles formes déterminées. Donc on a tout \Psi(x) y - \Psi(y) x = \lambda\, \alpha^{-1}(x \wedge y) \quad \text{i.e.} ~~donc~~ \alpha(\Psi(x) y - \Psi(y) x) = \lambda\, x \wedge y , pour \lambda \in \Gamma \mathcal{O} est une section indépendante de x, y. On veut prouver \lambda = 1, il suffit de le vérifier localement, pour des x, y tels que x \wedge y soit une base de \det E. Soit u base de L, x_0 tel que \Psi(x_0) = 1, on trouve (en prenant x = u, y = x_0) \alpha(-u) = \lambda \underbrace{u \wedge x_0}_{-\alpha(u)} i.e. -u = \lambda u donc ~~(lorsque prot !)~~ \lambda = 1.

Notons« Notons » est récrit sur un premier mot surchargé. que 0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{A} \xrightarrow{\ \varphi\ } L^{\vee} \to 0 (transposé de 0 \to L \to E \to \mathcal{O} \to 0) donne par tensoris. avec L 0 \to L \to \mathcal{A} \otimes L \xrightarrow{\ \Psi\ } \mathcal{O} \to 0 et je dis que g : E \to \mathcal{A} \otimes L est un hom. d'extensions la phrase se poursuit à la page suivante ; la lettre g désigne l'isomorphisme x \mapsto f_x de la page précédente.

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & E \arrow[r] \arrow[d, "g"', "\wr"] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L \arrow[r] & \mathcal{A} \otimes L \arrow[r, "\varphi \otimes \mathrm{id}_L"] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

attention au signe la note « attention au signe » pointe d'une flèche vers la flèche verticale de gauche, \mathrm{id}.

Prouvons d'abord \varphi \otimes \mathrm{id}_L (\underset{\substack{\cap \\ \mathcal{A} \otimes L = \underline{\operatorname{Hom}}(E, L)}}{g(x)}) = \Psi(x) \qquad \forall x \in \Gamma(E) Cela signifie que \forall x \in E, g(x) | L = (u \mapsto \Psi(x) u) i.e. on a \underset{\substack{\| \\ \Psi(x) . u - \Psi(u) x \\ \hphantom{\Psi(x) . u - {}} \| \\ \hphantom{\Psi(x) . u - {}} 0}}{g(x)(u)} = \Psi(x) u \qquad \text{pour tout } u \in \Gamma L \subset \Gamma E \quad \text{c'est OK.} Prouvons ensuite que pour x \in \Gamma L, on a g(x) : E \to L \quad \text{est nulle sur } L, \text{ et provient de } \mathcal{O} \text{ par} \lambda \mapsto -\lambda x (2e )ces deux mots, sous \lambda \mapsto -\lambda x, sont cerclés, et une flèche les renvoie au signe -. i.e. g(x)(y) = -\Psi(y) x , mais c'est aussi OK.

Ceci vu, l'isom. d'ext. g définit \operatorname{Quad}(E, L^{\otimes 2}) \simeq \operatorname{Quad}(\mathcal{A}, \mathcal{O}) \text{\struck{$\operatorname{Quad}(\check{E}) \otimes L^{\otimes 2} \simeq \operatorname{Sym}^2 \ldots$}} lorsque E provient d'un rev. , des \mathcal{A}, Q sur E, d'où N, sur dans note écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur des deux lignes suivantes. et je dis que par cet iso, N et Q se correspondent.

Pour le prouver, OPS E \text{ scindé en } E \simeq L \oplus \mathcal{O}.x_0 d'où \mathcal{A} \simeq \mathcal{O} \oplus L^{\vee} \qquad \text{i.e.} \quad \mathcal{A} \otimes L \simeq L \oplus \underset{\mathcal{O}_X}{\underline{L \otimes L^{\vee}}} « OPS » : on peut supposer.

et l'isom. E \to \mathcal{A} \otimes L respecte les décompositions en sommes directes

\begin{tikzcd} E \arrow[d] \arrow[r, no head, "="] & \underline{L} \arrow[d, "-\mathrm{id}_L"] & \oplus & \mathcal{O}.x_0 \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\ \mathcal{A} \otimes L \arrow[r, no head, "\simeq"] & \underline{L} & \oplus & \mathcal{O} . \end{tikzcd}

les flèches horizontales rendent les signes = et \simeq du manuscrit, où les deux lignes sont écrites comme des égalités ; la verticale de droite est un trait sans pointe marqué \mathrm{id}, rendue ici avec pointe.

Si donc Q est donnée par Q(\underset{\substack{\cap \\ \Gamma L}}{u} + \lambda x_0) = u^2 + \lambda \langle u, \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L}}{b} \rangle + \lambda^2 \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\otimes 2}}}{c} le signe -\mathrm{id}_L dans le diagramme précédent indique que les normes N(\underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\vee}}}{v} + \lambda 1) = \lambda^2 - \lambda \langle v, b \rangle + \langle v^2, c \rangle après le signe =, un premier terme est biffé () et un signe biffé à l'encre épaisse ; la lecture \lambda^2 - \lambda\langle v, b\rangle est conjecturale pour le signe. La formule \boxed{Q_N(\varphi_N(x)) = -N(x)\, \delta_N} (les deux membres sont des S-formes pr. à l'égard de N variable…) est bien vérifiable dans le ~~contexte~~ cas générique d'un mod. loc. libre \mathcal{A} de rg 2 ~~et d'une~~ forme quadratique N dessus, sans autre donnée. le bas de la page est vide hormis un trait oblique.

la moitié inférieure de la page est barrée de longues diagonales ; elle se lit néanmoins. Comme \mathcal{A}_i \simeq E_i \otimes L_i^{\vee}, \mathcal{A} \simeq E \otimes L^{\vee}, on trouve E \otimes L^{\vee} \longleftrightarrow (E_1 \otimes L_1^{\vee}) \otimes (E_2 \otimes L_2^{\vee}) et comme L^{\vee} \simeq L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} , on en déduit une flèche E \xrightarrow{\ i\ } E_1 \otimes E_2 qui est une sorte de transposée de x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2 : E_1 \otimes E_2 \to E. Pour expliciter i, il faut que les deux composés (\alpha = i \circ *, \beta = * \circ i) soient tels que \alpha \circ \mathrm{inj} = 2\beta

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "*"] & & \\ L_1 \otimes E_2 \oplus E_1 \otimes L_2 \arrow[ur, "\mathrm{inj}"] \arrow[r, no head] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r, "\mathrm{inj}"] & E \arrow[r, "i"] & E_1 \otimes E_2 \end{tikzcd}

croquis : sous L_1 \otimes E_2 \oplus E_1 \otimes L_2 est écrit E_1 \otimes_0 E_2, et une surcharge biffée ; deux arcs marqués « ? » relient le haut et le bas du croquis à E_1 \otimes E_2 à droite, l'un portant « i.e. com. » ; la disposition est rendue de façon approchée.

~~Je prends i~~ les L_1 \otimes L_2 \to E_1 \otimes E_2 inclusion canonique, donc on a déjà E_1 \otimes_0 E_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 \subset E_1 \otimes E_2 le L_1 est écrit en surcharge sur un E_1. \begin{array}{c} \cap \\ E_1 \otimes E_2 \end{array} \ \overset{?}{\dashrightarrow} \qquad (\text{pour } \boxed{\chi = 2 \cdot 1}) , ~~Je prends~~ Considérons (les inv. canoniques \sigma = \sigma_1 \otimes \sigma_2 de E, \sigma_1, \sigma_2 de E_1 \otimes E_2, notés \xi \mapsto \overline{\xi} . Je prends l'hom. \xi \longmapsto \xi + \overline{\xi} donc x_1 \otimes x_2 \longmapsto x_1 \otimes x_2 + \overline{x_1} \otimes \overline{x_2} = x_1 \otimes x_2 + (T_1 - x_1) \otimes (T_2 - x_2) au-dessus de T_1 et T_2, les annotations \Psi_1(x_1), \Psi_2(x_2). Si x_1 = u_1 \in \Gamma L_1, alors on trouve \overline{x_1} = -u_1, u_1 \otimes x_2 \longmapsto u_1 \otimes x_2 + (-u_1)(T_2 \Psi_2(x_2) - x_2)

Considérons, \chi étant donné, deux torseurs \chi-trivialisés ~~P_1~~ P_1, P_2 sous des Mod. inv. L_1, L_2, l'homomorphisme canonique \begin{array}{ccc} x_1 \otimes x_2 & \longmapsto & x_1 * x_2 \\ E_1 \otimes E_2 & \longrightarrow & E_1 * E_2 = E \\ \wr & & \wr \\ (\mathcal{A}_1 \otimes L_1) \otimes (\mathcal{A}_2 \otimes L_2) & & \mathcal{A} \otimes L , \quad \text{où } L = L_1 \otimes L_2 \end{array} on en déduit \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \xrightarrow{\ \tau_{\mathcal{A}}\ } \mathcal{A} qu'on va aussi noter \xi_1 \otimes \xi_2 \longmapsto \xi_1 * \xi_2 et qu'on voudrait étudier. On a d'autre part, dans le cas \chi = 2 et quand P_1, P_2 correspondent à des rev. quadratiques X_1, X_2 de X, donc E à un rev. quadratique \mathcal{X} = X_1 \wedge X_2 de X, et à un X_1 \times X_2 \longrightarrow \mathcal{X} induit par (*), un hom. « transposé » \mathcal{A} \xrightarrow{\ i_{\mathcal{A}}\ } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 mais c'est simplement le transposé deentre « simplement » et « le », en interligne, « x_1 \otimes x_2 \mapsto \overline{x_1} * x_2 » (lecture incertaine de la barre), surmonté d'un \mathcal{A}. E_1 \otimes E_2 \xrightarrow{\ \tau_E\ } E \qquad (x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2) qui donne sans même utiliser les structures de rev. les formes quadratiques Q_1, Q_2, ni la condition \chi = 2. le signe rendu \chi, ici et aux pp. 83, 86, 98, est sa lettre en crochet, qu'il égale à 2 « en l'occurrence » ; la flèche X_1 \times X_2 \to \mathcal{X} porte à son but un \mathcal{X} surchargé.

Je préfère faire les calculs du côté des \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2. On peut expliciter la construction de \mathcal{A} ainsi

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}] 0 \arrow[r] & {\mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2} \arrow[r] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[u, "\tau"'] & \mathcal{A} \arrow[r] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

au-dessus de \mathcal{A}_1 \oplus_{\mathcal{O}} \mathcal{A}_2, une accolade porte « = \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 » ; sous le diagramme, au-dessus du \mathcal{A} qui ouvre la phrase suivante, « = \mathcal{A}_1 * \mathcal{A}_2 ». La flèche \tau descend en fait de \mathcal{A}_1 \oplus_{\mathcal{O}} \mathcal{A}_2 vers \mathcal{O} et porte la glose « Tr évidente, qui est \operatorname{Tr}_{\mathcal{A}_1} sur \mathcal{A}_1, \operatorname{Tr}_{\mathcal{A}_2} sur \mathcal{A}_2 » ; le sens de la flèche verticale médiane, entre \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 et \mathcal{A}, n'est pas net (la pointe semble en haut). Au-dessus de la flèche \mathcal{O} \to \mathcal{A}, à la suite de la glose, « dans les composantes ». Le diagramme est rendu de façon approchée.

\mathcal{A} est l'ext. de L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} par \mathcal{O}, déduite de l'extension \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 de L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} par \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2, par l'homomorphisme \tau \mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2 \longrightarrow \mathcal{O} . Donc donner l'homom. \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 c'est se donner séparément \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \qquad (\text{on prendra l'inclusion canonique } \lambda \mapsto \lambda . e_{\mathcal{A}_1} \otimes e_{\mathcal{A}_2}) et \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 , \qquad x_1 \otimes x_2 \longmapsto i(x_1 * x_2) tel que les composés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathcal{O} \\ \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 = \mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2 \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \end{tikzcd}

soient égaux. On prendra… la phrase s'interrompt au bas de la page et se poursuit au-delà de ce lot ; la flèche en haut à droite de la page porte, au-dessus, un signe surchargé, rendu \varphi sans certitude.