Cote n° 84, pages 81–100

Cote n° 84 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

81La page reprend un argument commencé avant ce lot : les « torseurs 2-trivialisés », le produit $*$ et les notations $T$, $b$, $x_0$ sont introduits plus haut.

Donc la cat[égorie] des […]torseurs 2-trivialisés, (pour aux Modules sur lesquels 2 est inv[ersible]) équivaut à celle des Modules sans plus. Par contre, sans restr. sur 2 (inv. sur $X$) on […] $M$, regardons les modules torseurs 2-trivialisés qui ont cette structure : munis de ⌜scindage⌝ $x_0 \in \Gamma P_1$ tel que $x_0 = \overline{x_0}$, d'où $E \simeq L_0 \oplus \mathcal{O}$, $T \simeq (0,2)$, comme dessus. On aura \[ b_{x_0,T} = 2x_0 - T = 0 , \] La théorie est tt. ! triviale pour 2 inversible sur $X$ ! Le produit $*$ se réduit au produit $\otimes$ des $L_i$, sans plus, « les $b$ s'évanouissent », ils sont nuls ! le plus intéressant Le cas intéressant est celui où 2 n'est […] pas inv[ersible] sur $\mathcal{O}_X$ … $\mathcal{O}$ rend ici et dans tout le lot son O, souligné ou non selon les lignes.

Formules \[ \begin{cases} \overline{x_1 * x_2} = \overline{x_1} * x_2 = x_1 * \overline{x_2} \\ \overline{x_1} * \overline{x_2} = x_1 * x_2 \end{cases} \] (résulte des précédentes)

i.e. Prouvons \[ \overline{x_1} * x_2 = \overline{x_1 * x_2} ; \] il suffit pour $x_1, x_2 \in \Gamma P_1$. On a \[ \overline{x_1} * x_2 = (T_1 - x_1) * x_2 = \underbrace{T_1}_{2x_1 - b_1} * x_2 - x_1 * x_2 = x_1 * x_2 - b_1 * x_2 \] \[ \overline{x_1 * x_2} = T - x_1 * x_2 = x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 \] un trait relie $b_1 * x_2$ à $b_1 \otimes b_2$ de la ligne suivante, et un autre mène de la ligne $\overline{x_1 * x_2} = T - x_1 * x_2$ à un mot d'où placé devant la ligne suivante. Or on a \[ T = 2x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 , \qquad \overline{x_1 * x_2} = x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 \] sous $b_1$ et $b_2$, rattachés par des signes $=$, les valeurs $2x_1 - T_1$ et $2x_2 - T_2$, biffées. OK.

82Supposons Nous cherchons maintenant la condition pour que

a)$E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2$ surjectif
b)son noyau $N$ (qui contient les $\overline{\xi} - \xi$, $\xi \in E_1 \otimes E_2$) est engendré par les $\operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id})$, i.e. par les $\overline{x_1} \otimes \overline{x_2} - x_1 \otimes x_2$ ($x_1 \in \Gamma E_1$, $x_2 \in \Gamma E_2)_x$,

condition en d'autres termes on veut \[ E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 \text{ induit } E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 . \]

Pour la condition a), elle équivaut à la surjectivité de \[ L_1 \otimes E_2 \oplus_{L_1 \otimes L_2} E_1 \otimes L_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 , \] ou à ce que son conoyau est canon[iquement] isom[orphe] à \[ \operatorname{Coker} \pi_1 \otimes \operatorname{Coker} \pi_2 \qquad \pi_i : E_i \to L_i \] Si $L_1, L_2$ sont de […] présentation finie, alors la nullité (i.e. par Nakayama) se vérifie pour les points ⌜(après $\otimes k$)⌝, donc il existe un voisinage ⌜ou localement au voisinage de chaque point de $X$⌝, que $\pi_1$ […] ou $\pi_2$ soit épi. Si on se donne des scindages $x_1, x_2$, d'où \[ b_1 \in \Gamma L_1 , \quad b_2 \in \Gamma L_2 , \] alors \[ \operatorname{Im}(\pi_i : E_i \to L_i) = \mathcal{O}_X . b_i + 2 L_i \] au-dessus de $\pi_i$ une première écriture surchargée, […] ; sous $\mathcal{O}_X$, l'indice $\chi$. i.e. […] la condition est la suivante :

(a$'$) Aux points En tout point de $X_0 = V(\chi . 1)$, ou $b_1$ ou $b_2$, ou ⌜[…]⌝ ou bien $T_{1,0}$, ou bien $T_{2,0}$, est une base ⌜gén.⌝ de $L_{1,0}$ resp[ectivement] $L_{2,0}$. NB Cette condition […] […]. N'[…] […]. note marginale écrite à la verticale le long du bord gauche.

83Si on se donne (loc[alemen]t ?) des bases, […] ⌜$\{e_1\}$⌝ de $L_1$, $\{e_2\}$ de $L_2$, donc $b_1, b_2$ s'interprètent comme des sections de $\mathcal{O}$, donc la condition est \[ (b_1, b_2, \underset{\substack{\| \\ 2 \text{ en l'occurrence}}}{\chi}) . \mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X \] Cette condition est vérifiée si $\chi$ ⌜(soit 2 en l'occurrence)⌝ inv[ersible] sur $X$ $X$. La condition b) aussi, comme on voit […] la décomposition canonique \[ E_i \simeq L_i \oplus \mathcal{O}_i \qquad \text{où } \sigma_i | \mathcal{O}_i = \mathrm{id}_{\mathcal{O}_i} \] la lettre lue $\chi$ est un signe en forme de crochet allongé ; il désigne l'entier qui « en l'occurrence » vaut 2. d'où \[ E_1 \otimes E_2 \simeq L_1 \otimes L_2 \oplus L_1 \oplus L_2 \oplus \mathcal{O} \] et \[ \sigma_1 \otimes \sigma_2 \text{ est } \begin{cases} \mathrm{id} \text{ sur } L_1 \otimes L_2 \text{ et sur } \mathcal{O} \\ -\mathrm{id} \text{ sur } L_1 \oplus L_2 \end{cases} \] et \[ \mathrm{id} - \sigma_1 \otimes \sigma_2 \text{ est donc } \begin{cases} 0 \text{ sur } L_1 \otimes L_2 \text{ et sur } \mathcal{O} \\ 2\,\mathrm{id} \text{ sur } L_1 \oplus L_2 \end{cases} \] donc \[ E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \simeq (L_1 \otimes L_2) \oplus \mathcal{O} \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 \] sous la flèche, deux traits courbes renvoient à $L_1 \otimes L_2 \oplus \mathcal{O}$ : l'un porte $x_1 \otimes x_2 \mapsto 2x_1 \otimes x_2$, l'autre $\lambda \mapsto \lambda$ ; sous $E_1 * E_2$, « avec son scindage canonique ».

Dans le cas général NB se pose en car[actéristique] 2, comme […] juste. Je dis qu'alors (pour $L_1, L_2$ de prés[entation] finie, p.ex. inversibles) la condition b) est conséquence de a). Il suffit de […] le vérifier […] si $X_0 = X$ (*), de car[actéristique] 2, il suffit de voir que si alors $T_1 \in \Gamma L_1$ (*) […] si $L_1, L_2$ […] $E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2$ […] b) […] note écrite en diagonale dans le coin inférieur gauche, renvoyée par l'astérisque ; presque entièrement illisible.

84est inversible, alors le noyau de $* : E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2$ est $\operatorname{Im}(\mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2} - \sigma_1 \otimes \sigma_2)$. [NB Si $T_1$ et $T_2$ sont nuls, on a $\sigma_i = \mathrm{id}$ ($i = 1,2$) donc $\mathrm{id} - \sigma_1 \otimes \sigma_2 = 0$, donc l'image est nulle, alors que le noyau de $E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2$ […] ⌜est ég[al] à […]⌝ $E_1 *_0 E_2 = L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2$ (qui est de rang 3 si $L_1, L_2$ inv[ersibles]).]

En termes de scindages $x_1, x_2$ de $E_1, E_2$, et des décompositions correspondantes \[ E_1 \simeq L_1 \oplus \mathcal{O} x_1 , \quad E_2 \simeq L_2 \oplus \mathcal{O} x_2 \] \[ E_1 \otimes E_2 \simeq (L_1 \otimes L_2) \oplus \underbrace{L_1 \otimes x_2}_{\simeq L_1} \oplus \underbrace{x_1 \otimes L_2}_{\simeq L_2} + \underbrace{\mathcal{O} . x_1 \otimes x_2}_{\simeq \mathcal{O}} \] et compte tenu que $\sigma_1 \otimes \sigma_2$ ⌜$-\mathrm{id}$⌝ est l'id. ⌜nul⌝ sur le […] $L_1 \otimes L_2$, […], $\operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2})$ est engendré par 3 sortes d'éléments, correspondants aux trois autres facteurs \[ \overline{u_1 \otimes x_2} - u_1 \otimes x_2 = -u_1 \otimes \underset{\substack{\| \\ T_2 - x_2 \\ \| \\ x_2 - b_2}}{\overline{x_2}} - u_1 \otimes x_2 = -2u_1 \otimes x_2 + u_1 \otimes b_2 \] \[ \overline{x_1 \otimes u_2} - x_1 \otimes u_2 = -2x_1 \otimes u_2 + b_1 \otimes u_2 \] \[ \overline{x_1 \otimes x_2} - x_1 \otimes x_2 = \underset{(x_1 - b_1) \otimes (x_2 - b_2)}{\overline{x_1} \otimes \overline{x_2}} - x_1 \otimes x_2 = -x_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes x_2 + b_1 \otimes b_2 \] donc les éléments (avec les notations de la somme directe) \[ \begin{cases} -2u_1 + u_1 \otimes b_2 \\ -2u_2 + b_1 \otimes u_2 \\ -b_1 - b_2 + b_1 \otimes b_2 \end{cases} \qquad u_1 \in \Gamma L_1 , \ u_2 \in \Gamma L_2 \] En car[actéristique] 2 cela se réduit \[ \begin{cases} u_1 \otimes b_2 , \ b_1 \otimes u_2 \in \Gamma L_1 \otimes L_2 \\ -b_1 - b_2 - b_1 \otimes b_2 \end{cases} \] le signe du dernier terme $b_1 \otimes b_2$ est surchargé, dans la troisième ligne du calcul comme dans la dernière accolade.

85Si $b_1$ […] engendre $L_1$ (supposé inv[ersible]) donc les $b_1 \otimes u_2$ engendrent $L_1 \otimes L_2$, donc […] $K = \operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}_{E_1 \otimes E_2})$ contient $L_1 \otimes L_2$, plus précisément il est égal à \[ L_1 \otimes L_2 + \mathcal{O} . \xi \] où \[ \xi = \overline{x_1 \otimes x_2} - x_1 \otimes x_2 \equiv \text{\struck{$b_2$}}\ b_1 \oplus b_2 \quad (L_1 \otimes L_2) \] au-dessus du « $\equiv$ », le mot « mod » ; sous la ligne, « est une base mod. $L_1 \otimes L_2$ ». Si $L_1, L_2$ de rang 1, $\operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id})$ est donc de rang $1 + n$, i.e. \[ \operatorname{rang} L_1 \otimes L_2 + 1 = n + 1 \] la lettre $n$ désigne apparemment $\operatorname{rang}(L_1 \otimes L_2)$, alors que l'hypothèse écrite est « de rang 1 ». d'autre part \[ \operatorname{rang}(\operatorname{Ker} *) = \underset{\substack{\| \\ \operatorname{rang} E_1 \cdot \operatorname{rang} E_2 \\ \| \\ 2 . (n+1)}}{\operatorname{rang}(E_1 \otimes E_2)} - \underset{\substack{\| \\ 1 + \operatorname{rang}(L_1 \otimes L_2) \\ \| \\ 1 + n}}{\operatorname{rang} E_1 * E_2} = n + 1 \] d'où l'égalité.

On trouve donc

Proposition : Supposons […] $L_1, L_2$ de […] ⌜loc[alement] libres de⌝ type fini. Pour que $E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2$ induise \[ E_1 \otimes E_2 / \sigma_1 \otimes \sigma_2 \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2 , \] il faut et il suffit que […] […] partout sur $X_0 = V(2.1_X)$, $T_{1,0}$ ou $T_{2,0}$ engendre $L_{1,0}$ resp. $L_{2,0}$. (Si $L_1, L_2$ sont triviaux, donc inversibles, et si $E_1, E_2$ munis de scindages, d'où $b_1 \in \Gamma L_1$, $b_2 \in \Gamma L_2$, cette condition équivaut à \[ 2 \mathcal{O}_X + b_1 L_1^{\vee} + b_2 L_2^{\vee} = \mathcal{O}_X \;) . \]

86Corollaire. C'est aussi la condition nécessaire et suffisante pour que, pour tout Module $M$, on ait \[ \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{O}}(E_1 * E_2, M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}(E_1 \otimes E_2, M)^{\sigma_1 \otimes \sigma_2} \] Posant $\check{E}_1 = \mathcal{A}_1$, $\check{E}_2 = \mathcal{A}_2$, $(E_1 * E_2)^{\vee} \simeq \mathcal{A}$, cela implique que \[ \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \] induit un isomorphisme \[ \mathcal{A} \xrightarrow{\ \sim\ } (\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2)^{\sigma_1^{\vee} \otimes \sigma_2^{\vee}} , \] et inversement si on sait que ceci […] reste vrai après toute changement de base.

Compliments sur la $\chi$-trivialisation, au-dessus de $X_0 = V(\chi)$ i.e. sur un schéma $X$ sur lequel $\chi 1_X = 0$.

La donnée d'une $\chi$-trivialisation pour un $L$-torseur $P$, i.e. comme $\chi P = 0 . P \simeq L$, équivaut simplement : à une section $T$ de $L$, et $\pi : P \to L$ est l'application composée $x \mapsto \chi x - T = -T$ (où $\chi x = 0$) \[ \pi(x) = -T \overset{\text{déf}}{=} b \] […] ! Dans le cas \[ E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2 \] $\chi$ rend un signe en crochet, déjà rencontré p. 83 ; la page 85 écrit à la même place $V(2.1_X)$. La page s'arrête sur cette formule.

87est nulle sur $E_2$ $L_1 \otimes L_2$ (car il y est égal : $\chi\, \mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}$), donc il se factorise par \[ (*) \qquad E_1 \otimes E_2 / L_1 \otimes L_2 \longrightarrow E_1 * E_2 , \] sous $E_1 \otimes E_2 / L_1 \otimes L_2$, une accolade renvoie à $E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2$ : le signe $\otimes$ surmonté de deux demi-flèches opposées est le sien, rendu ainsi dans tout le lot. où le premier membre s'interprète comme une extension \[ 0 \to L_1 \otimes L_2 \to E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 \to \mathcal{O} \to 0 \] En fait, c'est l'extension qui correspond au torseur \[ P_1 \times P_2 \quad \text{sous} \quad L_1 \times L_2 \] on peut aussi le décrire comme \[ E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 \simeq E_1 \underset{\mathcal{O}}{\times} E_2 = \{ (x_1, x_2) \in E_1 \times E_2 \mid \varphi_1(x_1) = \varphi_2(x_2) \} \] On trouve donc un homomorphisme d'extensions

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\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & L_1 \times L_2 \arrow[r] \arrow[d] & {E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2 = E(P_1 \times P_2)} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 * E_2 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

où \[ L_1 \times L_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 \] est donné par \[ (u_1, u_2) \longmapsto u_1 \otimes b_2 + b_1 \otimes u_2 \] la flèche verticale de droite est un double trait (égalité), rendu par une ligne sans tête marquée « = ».

88On peut donc interpréter $E_1 * E_2$ comme l'ext[ension] de $\mathcal{O}$ par $L_1 \otimes L_2$ déduite de l'ext[ension] $E_1 \overset{\leftrightarrows}{\otimes} E_2$ de $\mathcal{O}$ par $L_1 \times L_2$, via cet homom., et $P_1 * P_2$ comme le torseur déduit du $(L_1 \times L_2)$-torseur $P_1 \times P_2$ par l'homomorphisme précédent.

Revenons sur les rev. quadratiques. (*) Supposons que $E_1, E_2$ soient munis […] quadratiques $X_1, X_2$ de $X$. […] donc qu'on se donne sur […] formes quadratiques $Q_1, Q_2$ \[ Q_1 : E_1 \to L_1^{\otimes 2} , \qquad Q_2 : E_2 \to L_2^{\otimes 2} \] dont les restrictions à $L_1, L_2$ sont […] $x \mapsto x^2$. Supposons que soient $R_i$ des fonctions pol. de degré $\leq 2$ \[ P_1 \to L_1^{\otimes 2} , \qquad P_2 \to L_2^{\otimes 2} , \] dont les parties homogènes […] soient $x \mapsto x^2$. La donnée de $Q_1, Q_2$ définit des discriminants (*) Dis d'abord ce que […] sur une extension $0 \to L \to E \to \mathcal{O} \to 0$ 2-trivialisée […] forme quadratique […] : a) $Q(u) = u^2$ si $u \in \Gamma L$ […] ; b) $T_Q = \ill{}$ […], $Q(x) = x^2 - T\,\psi(x) \ill{}$ […] ; […] $b = \pi_T(x) \in \Gamma L$ […] $c \in \Gamma L^{\otimes 2}$ […], d'où $Q(\lambda x + u) = u^2 + \lambda b u + \lambda^2 c$ ($\lambda \in \Gamma\mathcal{O}$, $u \in \Gamma L$) […] la note renvoyée par l'astérisque occupe, en lignes obliques serrées, tout le quart gauche de la page et déborde entre les lignes du texte ; on n'en lit que des débris. Le texte courant lui-même n'est que partiellement lisible sous ces surcharges.

89\[ \delta_1 \in \Gamma L_1^{\otimes 2} , \quad \delta_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2} \] donnés, en termes de scindages $x_1, x_2$ (loc[au]x ?), par \[ \delta_1 = b_1^2 - 4c_1 , \qquad \delta_2 = b_2^2 - 4c_2 \] où \[ b_1 = \pi_1(x_1) = 2x_1 - T_1 \in \Gamma L_1 , \qquad b_2 = \pi_2(x_2) = 2x_2 - T_2 \in \Gamma L_2 \] et \[ c_1 = Q(x_1) \in \Gamma L_1^{\otimes 2} , \qquad c_2 = \Gamma L_2^{\otimes 2} \] il écrit « $c_2 = \Gamma L_2^{\otimes 2}$ » pour $c_2 = Q(x_2) \in \Gamma L_2^{\otimes 2}$. les formes quadratiques (étant définies sur $E_1, E_2$) par \[ \begin{cases} Q_1(\lambda x_1 + u_1) = u_1^2 + \lambda b_1 u_1 + \lambda^2 c_1 ; \\ Q_2(\lambda x_2 + u_2) = u_2^2 + \lambda b_2 u_2 + \lambda^2 c_2 \end{cases} \] donc sur $P_1, P_2$ par \[ Q_1(x_1 + u_1) = u_1^2 + b_1 u_1 + c_1 , \qquad Q_2(x_2 + u_2) = u_2^2 + b_2 u_2 + c_2 \]

Th. Il existe une forme quadratique $Q$ i.e. à valeurs dans $L^{\otimes 2}$ (où $L = L_1 \otimes L_2$), « admissible » sur $E = E_1 * E_2$ (i.e. telle que $Q | L = L_1 \otimes L_2$ soit donnée par $u \mapsto u^2$), unique, telle que l'on ait, pour $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$ […] $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$ : \[ \boxed{Q(x_1 * x_2) = Q_1(x_1) \delta_2 + Q_2(x_2) \delta_1 + 4 Q_1(x_1) Q_2(x_2)} \] en termes des scindages définis par $x_1, x_2$, par $x_1 * x_2$ \[ \boxed{c = c_1 \delta_2 + c_2 \delta_1 + 4 c_1 c_2} \] d'où, […] $x_1 \in \Gamma E_1$, $x_2 \in \Gamma E_2$, on trouve $Q(x_1 * x_2) =$ $Q_1(x_1) \delta_2$ $\psi_2(x_2)^2 Q_1(x_1) \delta_2 + \psi_1(x_1)^2 Q_2(x_2) \delta_1 + 4 Q_1(x_1) Q_2(x_2)$ note écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, encadrée, reprenant la formule encadrée pour des sections de $E_1, E_2$, avec les facteurs $\psi_i(x_i)^2$ ; un premier départ est biffé. La reprise biffée des domaines de $x_1, x_2$ est en bout de ligne.

90i.e. \[ c = c_1 (b_2^2 - 4c_2) + c_2 (b_1^2 - 4c_1) + 4 c_1 c_2 \quad \text{i.e.} \] \[ \boxed{c = c_1 b_2^2 + c_2 b_1^2 - 4 c_1 c_2} \] Comme on a de plus \[ \boxed{b = b_1 b_2} , \] cela signifie : déterminons $Q$, comme \[ Q(\lambda\, x_1 * x_2 + u) = u^2 + \lambda b u + \lambda^2 c \qquad (\lambda \in \Gamma \mathcal{O} ,\ u \in \Gamma(L_1 \otimes L_2)) . \]

Corollaire. Si $\delta$ est le discriminant de $Q$, \[ \delta = \delta_1 \delta_2 \qquad (\text{en plus on a } b = b_1 b_2) \] En effet \[ \delta = b^2 - 4c = b_1^2 b_2^2 - 4(c_1 b_2^2 + c_2 b_1^2 - 4 c_1 c_2) = (b_1^2 - 4c_1)(b_2^2 - 4c_2) \]

NB Les formules simples ci-dessus, qui déterminent complètement $Q$ en termes de $Q_1$ et $Q_2$, quand on […] des scindages, sont \[ \boxed{\begin{array}{l} b = b_1 b_2 \\ \delta = \delta_1 \delta_2 \end{array}} \] i.e. on conduit pratiquement la formule pour $c$, puis par \[ \delta = b^2 - 4c = \delta_1 \delta_2 \qquad \text{d'où, comme } b = b_1 b_2 , \] \[ -4c = \delta_1 \delta_2 - b^2 = (b_1^2 - 4c_1)(b_2^2 - 4c_2) - b_1^2 b_2^2 = 4(-b_1^2 c_2 - c_1 b_2^2 + 4 c_1 c_2) \]

91i.e. \[ 4c = 4(b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 - 4 c_1 c_2) = 4(c_1 \delta_2 + c_2 \delta_1 + 4 c_1 c_2) \] et la formule particulière pour $c$ s'en déduit (heuristiquement) « en divisant par 4 »…

Pour prouver le th., il suffit de le faire localement, i.e. dans le cas où l'on peut choisir des scindages, et définir $Q$ […] par $b$ et $c$ donnés par les formules plus haut. Il faut prouver que $Q(x_1 * y_2)$ satisfait la formule déjà écrite — c'est un petit calcul délicat, que j'ai pratiquement déjà fait plus haut.

Définition de $X_1 \star X_2$ et de \[ X_1 \times X_2 \longrightarrow X_1 \star X_2 \] Contraintes de comm[utativité], assoc[iativité], unité pour cette opération.

$X_1 \wedge X_2$ quand $X_1$ (ou $X_2$) est étale, comme déduit de $X_2$ en le « tordant » par le $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_X$-torseur $X_1$.

$X_1 \wedge X_2$ est étale ssi $X_1 \star X_2$ l'est

$X_1 \times X_2 \to X_1 \wedge X_2$ est fid[èlement] plat, […] le signe rendu $\star$ est une étoile épaisse, distincte du petit $\times$ du produit fibré ; $\wedge$ rend un petit chevron. La phrase se poursuit à la page suivante.

92toute la page est barrée de longues diagonales : elle est annulée, mais se lit. Le $\star$ de la première ligne est souligné. existence sur les revêtements de $X$ $H(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_X$ […] ⌜[…]⌝ des rev. 2 […] où $X_1 \star X_2$ est non étale.

Calculons en termes des scindages, […] $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$, d'où \[ E_1 \simeq L_1 \oplus \underset{\substack{\| \\ \mathcal{O}.x_1}}{\mathcal{O}} , \qquad E_2 \simeq L_2 \oplus \underset{\substack{\| \\ \mathcal{O}.x_2}}{\mathcal{O}} \] et \[ \mathcal{A}_1 = \mathcal{O} \oplus L_1^{\vee} , \qquad \mathcal{A}_2 \simeq \mathcal{O} \oplus L_2^{\vee} \] Donc $L_1$, les formes $x$ On définit $L_1, L_2$ comme sous-mod. de $E_1, E_2$.

Posons \[ L_1 = \operatorname{Ker}(x_1 : \mathcal{A}_1 \to \mathcal{O}) , \qquad L_2 = \operatorname{Ker}(x_2 : \mathcal{A}_2 \to \mathcal{O}) \] On a \[ b_1 = 2x_1 - T_1 \quad \text{i.e.} \quad \text{\struck{$b_1(u_1')$}}\ b_1 . u_1' = \operatorname{Tr}(u_1') \] « $b_1 . u_1'$ » est écrit en interligne au-dessus de « $b_1(u_1')$ » biffé ; entre le signe $=$ et $\operatorname{Tr}$, un trait épais qui semble un signe $-$ surchargé. et on a \[ N(u_1') = u_1'^2 . c_1 \] \[ u_1' \in L_1^{\vee} , \] l'équation minimale ⌜dans $\mathcal{A}_1$⌝ est donc pour \[ u_1'^2 + b_1 u_1' + c_1 = 0 \] Donc \[ N(\underbrace{u_1' + \lambda e_1}_{\xi_1}) = N(u_1') + \lambda \operatorname{Tr}(u_1') + \lambda^2 \] \[ = \text{\struck{$u_1'^2 . \ldots$}}\ u'^2 . c_1 + \lambda u' . b_1 + x_1^2(\xi_1) \] \[ = u'^2 . c_1 + x_1(\xi_1) \ldots \] sous $\lambda e_1$, « $\| \ x_1(\xi_1)$ » ; sous les termes de la première égalité, des signes $\|$ renvoient à $u'^2 . c_1$, $\lambda u' . b_1$, $x_1^2(\xi_1)$. Sous le calcul, « $N = x_1$ » biffé (lecture incertaine). Le calcul s'interrompt.

93Retour sur une […] quadratique, $X'/X$ défini par $\mathcal{A}$ alg[èbre] quadratique sur $\mathcal{O}$, ou par $(E, \Psi : E \to \mathcal{O}, T, Q)$. Choisissons un scindage $x_0 \in \Gamma P_1 = \Psi^{-1}(1)$, alors \[ E \simeq L \oplus \underset{\substack{\wr \\ \mathcal{O}}}{\mathcal{O}.x_0} , \qquad \mathcal{A} \simeq \mathcal{O} \oplus L^{\vee} \] où $L^{\vee}$ est défini comme sous-module de $\mathcal{A}$ […] comme $\operatorname{Ker}(x_0 : \mathcal{A} \to \mathcal{O})$.

Considérons \[ \boxed{\begin{array}{c} b = 2x_0 - T \\ \cap \\ \Gamma L \end{array}} \qquad \text{donc pour } u \in L^{\vee} ,\quad \boxed{u . b \overset{\text{déf}}{=} \langle u, b \rangle = -\operatorname{Tr}(u)} \] On aura \[ N = x_0^2 - b x_0 + c \in \operatorname{Sym}^2(E) , \qquad c \in \Gamma L^{\otimes 2} \] dans $N = x_0^2 - b x_0 + c$, les $x_0$ sont surchargés et le signe devant $b x_0$ est repris à l'encre épaisse. donc pour $u \in L^{\vee}$, on […] \[ N(u) = u^2 . c \quad (\overset{\text{déf}}{=} \langle u^{\otimes 2}, c \rangle) \] donc l'équation minimale de $u$ dans $\mathcal{A}$ est« de $u$ dans $\mathcal{A}$ est » est écrit au bout de la ligne précédente, à droite de $N(u)$. \[ u^2 + \underbrace{\langle u, b \rangle}_{b(u)} + \underbrace{\langle u^{\otimes 2}, c \rangle}_{c(u)} = 0 \] […]

Donc, pour $u \in \Gamma L^{\vee}$, $\lambda \in \Gamma \mathcal{O}$, \[ N(\underbrace{u + \lambda}_{\xi}) = N(u) + \lambda \operatorname{Tr}(u) + \lambda^2 \qquad \text{où } \lambda = x_0(\xi) \] \[ = x_0(\xi)^2 - x_0(\xi)\, \underset{\substack{\| \\ b(\xi)}}{b(u)} + \underset{\substack{\| \\ c(\xi)}}{c(u)} \] donc on trouve bien \[ N = x_0^2 - x_0 b + c \] D'autre part, si $x = x_0 + v \in \Gamma P$ ($v \in \Gamma L$), […] $x$ sera donc l'application ⌜$\xi \mapsto$⌝ $\mathcal{O}$-linéaire $\mathcal{A} \to \mathcal{O}$ qui envoie $1$ sur $1$, $u + \lambda \mapsto \lambda + \langle u, v \rangle$, et sur $L$ est donné par $u \mapsto \langle u, v \rangle$ la phrase se poursuit à la page suivante.

94et on vérifie tout de suite que c'est un hom[omorphisme] d'alg[èbres] ssi \[ v^2 + b v + c = 0 \quad \text{i.e.} \quad Q(v) = 0 \] \[ \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\otimes 2}}}{v^2 + b v + c} \] On va préciser la relation entre les formes $N$ sur $\mathcal{A}$, $Q$ sur $E = \check{\mathcal{A}}$, par la forme ⌜explicitons⌝ l'iso (canonique) […] $\mathcal{A}$ $E$ lié au choix de 2) \[ E \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}(E, \underbrace{\det E}_{\overset{\text{déf}}{=} \Delta}) \simeq \underset{\substack{\| \text{déf} \\ \mathcal{A}}}{\check{E}} \otimes \Delta = \mathcal{A} \otimes \Delta \] Obtenu en associant à $x \in E$ la forme \[ f_x : E \to \det E = \textstyle\bigwedge^2 E , \qquad y \mapsto x \wedge y \] Si $E$ est muni d'une structure d'extension \[ 0 \to L \to E \xrightarrow{\ \Psi\ } \mathcal{O} \to 0 , \] alors \[ \underset{\substack{\| \\ \Delta}}{\det E} \overset{\alpha}{\xleftarrow{\ \sim\ }} L \qquad \alpha(u) = x_0 \wedge u , \quad \text{où } x_0 \in \Gamma P_1 \] Comme on sait […] précisé. NB Le 2e membre ne dépend pas du choix de $x_0$. donc \[ E \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\substack{\| \\ \check{E}}}{\mathcal{A}} \otimes L \] À tout $x \in E$ on associe la forme \[ f_x : E \to L \] donnée par la condition $f_x(y) = \alpha^{-1}(x \wedge y)$, i.e. par la condition \[ x_0 \wedge f_x(y) = x \wedge y \] Si $T \in E$ tel que $\Psi(T) = 2$, pour prendre je dis qu'on aura \[ f_x(y) = \Psi(x) y - \Psi(y) x \] la lettre rendue $f_x$ est un $f$ cursif indicé par $x$ ; $\textstyle\bigwedge^2$ rend son $\Lambda^2$.

95Pour le vérifier, on note que pour $x, y$ variables les deux membres de la formule sont des formes bil. alternées, et $\{(x, y) \mapsto f_x(y) = \alpha^{-1}(x \wedge y)\}$ forme une base du […] […] ([…]) des telles formes déterminées. Donc on a tout […] \[ \Psi(x) y - \Psi(y) x = \lambda\, \alpha^{-1}(x \wedge y) \quad \text{i.e.} \] donc \[ \alpha(\Psi(x) y - \Psi(y) x) = \lambda\, x \wedge y , \] pour $\lambda \in \Gamma \mathcal{O}$ est une section indépendante de $x, y$. On veut prouver $\lambda = 1$, il suffit de le vérifier loc[alemen]t, pour des $x, y$ tels que $x \wedge y$ soit une base de $\det E$. Soit $u$ base de $L$, $x_0$ tel que $\Psi(x_0) = 1$, on trouve (en prenant $x = u$, $y = x_0$) \[ \alpha(-u) = \lambda \underbrace{u \wedge x_0}_{-\alpha(u)} \] i.e. \[ -u = \lambda u \] donc (lorsque […] prot !) $\lambda = 1$.

Notons« Notons » est récrit sur un premier mot surchargé. que \[ 0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{A} \xrightarrow{\ \varphi\ } L^{\vee} \to 0 \] (transposé de $0 \to L \to E \to \mathcal{O} \to 0$) donne par tensoris. avec $L$ \[ 0 \to L \to \mathcal{A} \otimes L \xrightarrow{\ \Psi\ } \mathcal{O} \to 0 \] et je dis que $g : E \to \mathcal{A} \otimes L$ est un hom. d'extensions la phrase se poursuit à la page suivante ; la lettre $g$ désigne l'isomorphisme $x \mapsto f_x$ de la page précédente.

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\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & E \arrow[r] \arrow[d, "g"', "\wr"] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & L \arrow[r] & \mathcal{A} \otimes L \arrow[r, "\varphi \otimes \mathrm{id}_L"] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

attention au signe la note « attention au signe » pointe d'une flèche vers la flèche verticale de gauche, $\mathrm{id}$.

Prouvons d'abord \[ \varphi \otimes \mathrm{id}_L (\underset{\substack{\cap \\ \mathcal{A} \otimes L = \underline{\operatorname{Hom}}(E, L)}}{g(x)}) = \Psi(x) \qquad \forall x \in \Gamma(E) \] Cela signifie que $\forall x \in E$, \[ g(x) | L = (u \mapsto \Psi(x) u) \] i.e. on a \[ \underset{\substack{\| \\ \Psi(x) . u - \Psi(u) x \\ \hphantom{\Psi(x) . u - {}} \| \\ \hphantom{\Psi(x) . u - {}} 0}}{g(x)(u)} = \Psi(x) u \qquad \text{pour tout } u \in \Gamma L \subset \Gamma E \quad \text{c'est OK.} \] Prouvons ensuite que pour $x \in \Gamma L$, on a \[ g(x) : E \to L \quad \text{est nulle sur } L, \text{ et provient de } \mathcal{O} \text{ par} \] \[ \lambda \mapsto -\lambda x \] (2e […])ces deux mots, sous $\lambda \mapsto -\lambda x$, sont cerclés, et une flèche les renvoie au signe $-$. i.e. \[ g(x)(y) = -\Psi(y) x , \] mais c'est aussi OK.

Ceci vu, l'isom. d'ext. $g$ définit \[ \operatorname{Quad}(E, L^{\otimes 2}) \simeq \operatorname{Quad}(\mathcal{A}, \mathcal{O}) \] \[ \text{\struck{$\operatorname{Quad}(\check{E}) \otimes L^{\otimes 2} \simeq \operatorname{Sym}^2 \ldots$}} \] […] lorsque $E$ provient d'un rev. […], des […] $\mathcal{A}$, $Q$ sur $E$, d'où $N$, sur […] dans […] note écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur des deux lignes suivantes. et je dis que par cet iso, $N$ et $Q$ se correspondent.

Pour le prouver, OPS \[ E \text{ scindé en } E \simeq L \oplus \mathcal{O}.x_0 \] d'où \[ \mathcal{A} \simeq \mathcal{O} \oplus L^{\vee} \qquad \text{i.e.} \quad \mathcal{A} \otimes L \simeq L \oplus \underset{\mathcal{O}_X}{\underline{L \otimes L^{\vee}}} \] « OPS » : on peut supposer.

97et l'isom. $E \to \mathcal{A} \otimes L$ respecte les décompositions en sommes directes

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\begin{tikzcd}
E \arrow[d] \arrow[r, no head, "="] & \underline{L} \arrow[d, "-\mathrm{id}_L"] & \oplus & \mathcal{O}.x_0 \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\
\mathcal{A} \otimes L \arrow[r, no head, "\simeq"] & \underline{L} & \oplus & \mathcal{O} .
\end{tikzcd}

les flèches horizontales rendent les signes $=$ et $\simeq$ du manuscrit, où les deux lignes sont écrites comme des égalités ; la verticale de droite est un trait sans pointe marqué $\mathrm{id}$, rendue ici avec pointe.

Si donc $Q$ est donnée par \[ Q(\underset{\substack{\cap \\ \Gamma L}}{u} + \lambda x_0) = u^2 + \lambda \langle u, \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L}}{b} \rangle + \lambda^2 \underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\otimes 2}}}{c} \] le signe $-\mathrm{id}_L$ dans le diagramme précédent indique que les normes \[ N(\underset{\substack{\cap \\ \Gamma L^{\vee}}}{v} + \lambda 1) = \lambda^2 - \lambda \langle v, b \rangle + \langle v^2, c \rangle \] après le signe $=$, un premier terme est biffé ([…]) et un signe biffé à l'encre épaisse ; la lecture $\lambda^2 - \lambda\langle v, b\rangle$ est conjecturale pour le signe. La formule \[ \boxed{Q_N(\varphi_N(x)) = -N(x)\, \delta_N} \] (les deux membres sont des $S$-formes pr. à l'égard […] de $N$ variable…) est bien vérifiable dans le contexte ⌜cas⌝ générique d'un mod. loc. libre $\mathcal{A}$ ⌜de rg 2⌝ et d'une forme quadratique […] $N$ dessus, sans autre donnée. le bas de la page est vide hormis un trait oblique.

98la moitié inférieure de la page est barrée de longues diagonales ; elle se lit néanmoins. Comme $\mathcal{A}_i \simeq E_i \otimes L_i^{\vee}$, $\mathcal{A} \simeq E \otimes L^{\vee}$, on trouve \[ E \otimes L^{\vee} \longleftrightarrow (E_1 \otimes L_1^{\vee}) \otimes (E_2 \otimes L_2^{\vee}) \] et comme \[ L^{\vee} \simeq L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} , \] on en déduit une flèche \[ E \xrightarrow{\ i\ } E_1 \otimes E_2 \] qui est une sorte de transposée de $x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2$ : $E_1 \otimes E_2 \to E$. Pour expliciter $i$, il faut que les deux composés ($\alpha = i \circ *$, $\beta = * \circ i$) soient tels que \[ \alpha \circ \mathrm{inj} = 2\beta \]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "*"] & & \\
L_1 \otimes E_2 \oplus E_1 \otimes L_2 \arrow[ur, "\mathrm{inj}"] \arrow[r, no head] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r, "\mathrm{inj}"] & E \arrow[r, "i"] & E_1 \otimes E_2
\end{tikzcd}

croquis : sous $L_1 \otimes E_2 \oplus E_1 \otimes L_2$ est écrit $E_1 \otimes_0 E_2$, et une surcharge biffée ; deux arcs marqués « ? » relient le haut et le bas du croquis à $E_1 \otimes E_2$ à droite, l'un portant « i.e. com. » ; la disposition est rendue de façon approchée.

Je prends $i$ les […] $L_1 \otimes L_2 \to E_1 \otimes E_2$ inclusion canonique, donc on a déjà \[ E_1 \otimes_0 E_2 \longrightarrow L_1 \otimes L_2 \subset E_1 \otimes E_2 \] le $L_1$ est écrit en surcharge sur un $E_1$. \[ \begin{array}{c} \cap \\ E_1 \otimes E_2 \end{array} \ \overset{?}{\dashrightarrow} \qquad (\text{pour } \boxed{\chi = 2 \cdot 1}) , \] Je prends Considérons (les inv. canoniques $\sigma = \sigma_1 \otimes \sigma_2$ de $E$, $\sigma_1, \sigma_2$ de $E_1 \otimes E_2$, notés \[ \xi \mapsto \overline{\xi} . \] Je prends l'hom. \[ \xi \longmapsto \xi + \overline{\xi} \] donc \[ x_1 \otimes x_2 \longmapsto x_1 \otimes x_2 + \overline{x_1} \otimes \overline{x_2} = x_1 \otimes x_2 + (T_1 - x_1) \otimes (T_2 - x_2) \] au-dessus de $T_1$ et $T_2$, les annotations $\Psi_1(x_1)$, $\Psi_2(x_2)$. Si $x_1 = u_1 \in \Gamma L_1$, alors on trouve $\overline{x_1} = -u_1$, \[ u_1 \otimes x_2 \longmapsto u_1 \otimes x_2 + (-u_1)(T_2 \Psi_2(x_2) - x_2) \]

99Considérons, $\chi$ étant donné, deux torseurs $\chi$-trivialisés $P_1$ $P_1, P_2$ sous des Mod. inv. $L_1, L_2$, l'homomorphisme canonique \[ \begin{array}{ccc} x_1 \otimes x_2 & \longmapsto & x_1 * x_2 \\ E_1 \otimes E_2 & \longrightarrow & E_1 * E_2 = E \\ \wr & & \wr \\ (\mathcal{A}_1 \otimes L_1) \otimes (\mathcal{A}_2 \otimes L_2) & & \mathcal{A} \otimes L , \quad \text{où } L = L_1 \otimes L_2 \end{array} \] on en déduit \[ \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \xrightarrow{\ \tau_{\mathcal{A}}\ } \mathcal{A} \] qu'on va aussi noter \[ \xi_1 \otimes \xi_2 \longmapsto \xi_1 * \xi_2 \] et qu'on voudrait étudier. On a d'autre part, dans le cas $\chi = 2$ et quand $P_1, P_2$ […] correspondent à des rev. quadratiques $X_1, X_2$ de $X$, donc $E$ à un rev. quadratique \[ \mathcal{X} = X_1 \wedge X_2 \] de $X$, et à un […] \[ X_1 \times X_2 \longrightarrow \mathcal{X} \] induit par (*), un hom. « transposé » \[ \mathcal{A} \xrightarrow{\ i_{\mathcal{A}}\ } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \] mais c'est simplement le transposé deentre « simplement » et « le », en interligne, « $x_1 \otimes x_2 \mapsto \overline{x_1} * x_2$ » (lecture incertaine de la barre), surmonté d'un $\mathcal{A}$. \[ E_1 \otimes E_2 \xrightarrow{\ \tau_E\ } E \qquad (x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2) \] qui ⌜donne⌝ […] sans même utiliser les structures de rev. […] les formes quadratiques $Q_1, Q_2$, ni la condition $\chi = 2$. le signe rendu $\chi$, ici et aux pp. 83, 86, 98, est sa lettre en crochet, qu'il égale à 2 « en l'occurrence » ; la flèche $X_1 \times X_2 \to \mathcal{X}$ porte à son but un $\mathcal{X}$ surchargé.

100Je préfère faire les calculs du côté des $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2$. On peut expliciter la construction de $\mathcal{A}$ ainsi

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\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
0 \arrow[r] & {\mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2} \arrow[r] & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \arrow[r] \arrow[d] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[u, "\tau"'] & \mathcal{A} \arrow[r] & L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

au-dessus de $\mathcal{A}_1 \oplus_{\mathcal{O}} \mathcal{A}_2$, une accolade porte « $= \mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2$ » ; sous le diagramme, au-dessus du $\mathcal{A}$ qui ouvre la phrase suivante, « $= \mathcal{A}_1 * \mathcal{A}_2$ ». La flèche $\tau$ descend en fait de $\mathcal{A}_1 \oplus_{\mathcal{O}} \mathcal{A}_2$ vers $\mathcal{O}$ et porte la glose « Tr évidente, qui est $\operatorname{Tr}_{\mathcal{A}_1}$ sur $\mathcal{A}_1$, $\operatorname{Tr}_{\mathcal{A}_2}$ sur $\mathcal{A}_2$ » ; le sens de la flèche verticale médiane, entre $\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2$ et $\mathcal{A}$, n'est pas net (la pointe semble en haut). Au-dessus de la flèche $\mathcal{O} \to \mathcal{A}$, à la suite de la glose, « dans les composantes ». Le diagramme est rendu de façon approchée.

$\mathcal{A}$ est l'ext. de $L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee}$ par $\mathcal{O}$, déduite de l'extension $\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2$ de $L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee}$ par $\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2$, par l'homomorphisme $\tau$ \[ \mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2 \longrightarrow \mathcal{O} . \] Donc donner l'homom. \[ \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \] c'est se donner séparément \[ \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \qquad (\text{on prendra l'inclusion canonique } \lambda \mapsto \lambda . e_{\mathcal{A}_1} \otimes e_{\mathcal{A}_2}) \] et \[ \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 , \qquad x_1 \otimes x_2 \longmapsto i(x_1 * x_2) \] tel que les composés

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathcal{O} \\
\mathcal{A}_1 \otimes_0 \mathcal{A}_2 = \mathcal{A}_1 \underset{\mathcal{O}}{\oplus} \mathcal{A}_2 \arrow[ur] \arrow[dr] & \\
 & \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2
\end{tikzcd}

soient égaux. On prendra… la phrase s'interrompt au bas de la page et se poursuit au-delà de ce lot ; la flèche en haut à droite de la page porte, au-dessus, un signe surchargé, rendu $\varphi$ sans certitude.