Fonds Grothendieck, cote n° 84, pages 61–80

la page reprend un calcul commencé avant le lot : les conditions 1), 2), 3) invoquées p. 62 et les notations E, P_1, L, \psi viennent des pages précédentes.

J'avais, du côté E, la condition que Q_{T,N}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} x^2 - xT + N \qquad (x \in \Gamma P_1) à valeurs dans L^{\otimes 2}, ou encore Q_{T,N}(x) = x^2 - \psi(x)\,xT + \psi(x)^2 N \qquad (x \in \Gamma E) à valeurs dans L^{\otimes 2}. Faisant x = T, on trouve la condition facile (compte tenu de \psi(T) = 2) 4N - T^2 \in \Gamma L^{\otimes 2} \subset \Gamma\,\mathrm{Sym}^2 E mais elle ne suffit pas. En termes d'un scindage E \simeq L \oplus \mathcal{O}, par choix d'un x_0 \in \Gamma P_1, \mathrm{Sym}^2 E \simeq L^2 \oplus L \oplus \mathcal{O}, \qquad L = x_0 \cdot L, \quad \mathcal{O} = x_0^2\,\mathcal{O}_X, on aura x_0 = (0,1), \qquad T = (t,2) = 2x_0 + t, \quad t \in \Gamma L, N = c - x_0 b + x_0^2 \qquad (\text{car } \psi_2(N) = 1), \qquad \left\{\begin{array}{l} t \in \Gamma L \\ b \in \Gamma L \\ c \in \Gamma L^{\otimes 2} \end{array}\right. la lecture de « \psi_2(N) = 1 » est douteuse.

Soit alors x = (u,1) = u + x_0, u \in L, on aura Q_{T,N}(x_0+u) = Q_{T,N}(x) = (x_0+u)^2 - (x_0+u)(2x_0+t) + c - bx_0 + x_0^2 \text{\struck{$= \ldots u^2 - (\ldots)$}} = u^2 - ut + (-bx_0 + c - x_0 t), \qquad u^2,\ ut \in L^{\otimes 2}, et la condition est que \text{\struck{$x_0^2 - x_0(x_0$}}\quad \underbrace{x_0(-b - t)}_{\in\, \Gamma(E \otimes L)} + c \in \Gamma L^{\otimes 2}, \qquad c \in \Gamma L^{\otimes 2} \subset \Gamma(E \otimes L). Cela signifie \boxed{t = -b}, i.e. la condition est \boxed{N = x_0^2 - bx_0 + c \quad (b \in \Gamma L,\ c \in \Gamma L^{\otimes 2}) \Longrightarrow T = 2x_0 - b} d'où \boxed{Q(x_0+u) = u^2 + bu + c}, \qquad \text{d'où } \delta = T^2 - 4N = b^2 - 4c .

Ceci indépendant sur le des scindages de \mathcal{O} par L, b est note marginale oblique, en bas à gauche, rattachée par une flèche à l'encadré ; on y devine encore « pour \Gamma L » et « ext. », le reste ne se lit pas.

Ainsi on trouve équivalence 1) \Leftrightarrow 2), \wr 3), d'où (via 3) \Rightarrow 1)) la flèche 2) \to 1). le premier « 1) » est écrit sur un autre chiffre ; sous lui, un \wr renvoie à « 3) ».

Produit contracté de rev. quadratiques

On voudrait maintenant définir le foncteur « produit contracté » sur la catégorie des revêtements quadratiques. On veut \mathbb{L}(X_1 \wedge X_2) \simeq \mathbb{L}(X_1) \otimes \mathbb{L}(X_2) (les modules discriminants des revêt. quadratiques, notés \underline{L} ci-dessus) \delta_{X_1 \wedge X_2} = \delta_{X_1} \cdot \delta_{X_2} \qquad \in \Gamma\,\mathbb{L}(X_1 \wedge X_2).

De plus, on veut que tout scindage de X_1, défini par x_1 \in E_1 avec \psi_{X_1}(x_1) = 1, et tout scindage de X_2, défini par x_2 \in E_2 avec \psi_{X_2}(x_2) = 1, en définisse un de X_1 \wedge X_2, via une application (x_1, x_2) \longmapsto x_1 \wedge x_2 : P_{X_1} \times P_{X_2} \to P_{X_1 \wedge X_2} qui induise

\begin{tikzcd} P_{X_1} \times P_{X_2} \arrow[r] & P_{X_1 \wedge X_2} \\ X_1 \times X_2 \arrow[r] \arrow[u, hook] & X_1 \wedge X_2 \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

Si X_1, X_2 sont munis des scindages x_1, x_2, et si les modules discriminants sont L_1, L_2, alors les structures sont définies par \begin{array}{lll} b_1 \in \Gamma L_1 & b_2 \in \Gamma L_1^{\otimes 2} & b_1 = 2x_1 - T_1 \\ \uncertain{c_1} \in \Gamma L_2 & c_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2} & b_2 = 2x_2 - T_2 \end{array} tel qu'écrit, la première colonne portant b_1 puis (lettre coupée au bord de la feuille) un second symbole, la deuxième b_2 puis c_2 ; les exposants demandent b_1 \in \Gamma L_1, b_2 \in \Gamma L_2, c_1 \in \Gamma L_1^{\otimes 2}, c_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2}.

et on doit aussi alors (sauf erreur) \boxed{b \overset{\mathrm{def}}{=} b_{X_1 \wedge X_2} = b_1 b_2} (car le discriminant ce que ça aurait dû être, au signe près …), d'où pratiquement aussi c, via 4c = b^2 - \delta = (b_1 b_2)^2 - \delta_1 \delta_2 = 4(c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_2) (b_1b_2)^2 = b_1^2 b_2^2 = (\delta_1 + 4c_1)(\delta_2 + 4c_2) et on en tire \boxed{c = c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_1} = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4c_1c_2, \qquad \delta_2 = b_2^2 - 4c_2,\ \delta_1 = b_1^2 - 4c_1. « 4c_1c_1 » sic dans l'encadré ; le calcul demande 4c_1c_2, que donne le membre de droite.

Mais quelles sont les formules que (x_1+u_1) \wedge (x_2+u_2) \overset{?}{=} x_1 \wedge x_2 + \underbrace{f_{x_1,x_2}(u_1,u_2)}_{?}, \qquad u_1 \in \Gamma L_1,\ u_2 \in \Gamma L_2, où f_{x_1,x_2} : L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2. ~~On a L_1 \times \ldots dans L_1 \otimes L_2~~

On a trois applications \begin{array}{lll} f_{x_2} : L_1 \to L_1 \otimes L_2 & & u_1 \mapsto u_1 b_2 \\ f_{x_1} : L_2 \to L_1 \otimes L_2 & & u_2 \mapsto u_2 b_1 \\ f_{x_1,x_2} : L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2 & & (u_1,u_2) \mapsto u_1 \otimes u_2 \end{array}

Je devine qu'on a \boxed{(x_1+u_1) \wedge (x_2+u_2) = x_1 \wedge x_2 + \underbrace{(u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2)}_{\in\, \Gamma(L_1 \otimes L_2)}}

Vérifions que (pour x_1, x_2 fixés, i.e. pour (L_1, b_1, c_1) et (L_2, b_2, c_2) fixés) cette application P_1 \times P_2 \to P \quad \text{i.e.} \quad L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2 envoie bien X_1 \times X_2 dans X, i.e. \left.\begin{array}{l} \overbrace{u_1^2 + b_1u_1 + c_1}^{Q_1(u_1)} = 0 \\ \underbrace{u_2^2 + b_2u_2 + c_2}_{Q_2(u_2)} = 0 \end{array}\right\} \Longrightarrow \underbrace{u^2 + bu + c}_{Q(u)} = 0 avec \left\{\begin{array}{l} u = u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2 \\ b = b_1b_2 \\ c = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4c_1c_2 \end{array}\right. [u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2]^2 + b_1b_2(u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2) + b_2^2c_1 + b_1^2c_2 - 4c_1c_2 \overset{?}{=} 0 .

Le premier membre s'écrit (\forall\, u_1 \in \Gamma L_1, u_2 \in \Gamma L_2) b_2^2(u_1^2 + b_1u_1 + c_1) + b_1^2(u_2^2 + b_2u_2 + c_2) + 4u_1^2u_2^2 + 4b_1b_2u_1u_2 + 4u_1^2b_2u_2 + 4u_2^2b_1u_1 - 4c_1c_2 \quad \text{\struck{$+ 4u_1u_2b_1b_2$}} = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) + 4(Q(u_1) - c_1)(Q(u_2) - c_2) \text{\struck{$- 4b_1b_2u_1u_2$}} \quad - 4c_1c_2 = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) + 4[Q(u_1)Q(u_2) - c_1Q(u_2) - c_2Q(u_1)] \quad \text{\struck{$-4b_1b_2u_1u_2$}} dans la marge droite, un essai biffé sur 4u_1^2u_2^2 ; au-dessous, deux lignes de calcul raturées. \boxed{\begin{array}{l} Q(u_1 * u_2) = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) \\ \qquad + 4[Q_1(u_1)Q_2(u_2) - c_1Q_2(u_2) - c_2Q_1(u_1)] \end{array}} le premier membre de l'encadré est surchargé : « Q((x_1+u_1)\wedge(x_2+u_2)) » biffé, puis une forme en * ; une accolade à gauche porte « u^2 - bu + c = ».

Faisant u_1 = 0, u_2 = 0, on trouve u = 0 d'où \underbrace{Q(x_1 * x_2)}_{= c} = b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 + 4\underbrace{(c_1c_2 - c_1c_2 - c_1c_2)}_{-4c_1c_2} la formule déjà donnée. le facteur 4 devant la parenthèse et l'accolade « -4c_1c_2 » sont tels qu'il les écrit.

Retenons donc \boxed{\underbrace{Q(x_1 * x_2)}_{c} = \underbrace{Q_1(x_1)}_{c_1}\delta_2 + \underbrace{Q_2(x_2)}_{c_2}\delta_1 + 4Q_1(x_1)Q_2(x_2)} c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_2

Digression affine.

Soit (X, \mathcal{O}) espace ou topos annelé, muni d'une section \chi \in \Gamma\mathcal{O}. On s'intéresse à la catégorie des triples (L, P, T), où

L un \mathcal{O}-Module, P un L-torseur, T une trivialisation de {}_{\chi}P \overset{\mathrm{def}}{=} P \wedge^{L} (L \xrightarrow{\chi} L),

ou encore la catégorie des ~~triples~~ systèmes (M, E, i, \psi, T) où M, E des \mathcal{O}-modules, (*) \qquad 0 \to M \xrightarrow{i} E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0 une suite exacte, i.e. E est donné comme une extension de \mathcal{O} par M, et enfin T \in E tel que \psi(T) = \chi (NB on a {}_{\chi}P = \psi^{-1}(\chi) \subset E).

NB On va identifier M \subset E

On veut définir un « produit contracté » \wedge sur cette catégorie, (L_1, P_1, T_1) \wedge (L_2, P_2, T_2) = (L_1 \otimes L_2,\ P_1 \wedge P_2,\ T), \qquad T \overset{?}{=} T_1 \wedge T_2, qui fasse de cette catégorie une catégorie monoïdale (contraintes d'associativité, d'unité, de commut.).

Notons que pour une ext. (*) donnée, il revient au même de se donner T tel que \psi(T) = \chi, ou une « section de \psi \chi-relèvement » \mathcal{O} \xrightarrow{\ \psi' \ (= \psi'_T)\ } E \qquad (\text{nécess.\ de la forme } \lambda \mapsto \lambda T, \text{ où } T \in \Gamma E,\ T = \psi'(1)) tel que \psi\psi'(\lambda) = \chi\lambda (ce qui équivaut en effet à \psi\psi'(1) = \chi i.e. \psi(T) = \chi). Je remarque aussi qu'il revient au même de se donner une flèche E \xrightarrow{\ \pi\ (= \pi_T)\ } M qui soit une \chi-rétraction pour i, i.e. telle que \pi \circ i = \chi\, \mathrm{id}_M . le but de \pi est surchargé : une lettre biffée, puis M.

Une relation entre \pi_T et T est la suivante i(\pi(x)) = \underset{\psi(T)}{\chi}\, x - T\psi(x) \quad \text{i.e.} \quad \pi = \chi\,\mathrm{id} - \psi \otimes T \bigl(= \psi(T)x - T\psi(x) \overset{\mathrm{def}}{=} x \underset{\psi}{\wedge} T\bigr) En effet, pour T fixé tel que \psi(T) = \chi, et pour tout x, \psi(\chi x - T\psi(x)) = \chi\psi(x) - \psi(T)\psi(x) = 0 \quad \text{car } \psi(T) = \chi, i.e. \pi(x) \in i(L), et si x \in i(L) i.e. \psi(x) = 0, on a bien i\,\pi(x) = \chi x \qquad \text{\struck{$i\,\pi(x) = \chi$}} il écrit ici i(L) : à partir de cette page le module noté M p. 65 devient L, et plusieurs M sont surchargés en L.

Inversement, si \pi est donnée, considérons x \longmapsto \chi x - \pi x : E \to \text{\struck{$M$}}\ E ; elle est nulle sur M, donc se factorise en E/M \simeq \mathcal{O} \xrightarrow{\psi'} E, \qquad \lambda \mapsto \lambda T, cette flèche \psi' donnée par un T \in E, et on aura \chi x - \pi x = \psi(x) T \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\pi(x) = \chi x - \psi(x) T}

Prenant le \psi des deux membres, et comme \pi(x) \in L donc \psi(\pi(x)) = 0, on trouve \chi\psi(x) - \psi(x)\psi(T) = 0 \quad \text{i.e.} \quad \psi(x)(\chi - \psi(T)) = 0 pour toute section locale x de Ula lettre a la forme d'un U ; on attend E.. Prenant x telle que \psi(x) = 1, on trouve \chi - \psi(T) = 0 i.e. \psi(T) = \chi.

Soient \begin{array}{lll} 0 \to L_1 \xrightarrow{i_1} E_1 \xrightarrow{\psi_1} \mathcal{O} \to 0 & \quad T_1 \in E_1 & \psi_1(T_1) = \chi \\ 0 \to L_2 \xrightarrow{i_2} E_2 \xrightarrow{\psi_2} \mathcal{O} \to 0 & \quad T_2 \in E_2 & \psi_2(T_2) = \chi \end{array} on veut définir 0 \to L_1 \otimes L_2 \xrightarrow{i} E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0, \qquad T \in E,\ \psi(T) = \chi, E \overset{\mathrm{def}}{=} (E_1, T_1) \underset{\chi}{\wedge} (E_2, T_2).

Considérons

\begin{tikzcd}[column sep=small] & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ L_1 \otimes E_2 \arrow[dr] & & E_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \\ & E_1 \otimes E_2 & \end{tikzcd}

qui convergent : une suite de comp. dans E_1 \otimes E_2, 0 \subset \underbrace{L_1 \otimes L_2}_{L_1 \otimes L_2} \subset \underbrace{L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2}_{L_1 \oplus L_2} \subset \underbrace{E_1 \otimes E_2}_{\mathcal{O}}, les accolades donnent les quotients successifs de la filtration. On a sur E_1 \otimes E_2 une structure d'ext. 0 \to E_1 *_0 E_2 \to E_1 \otimes E_2 \to \mathcal{O} \to 0 E_1 *_0 E_2 \overset{\mathrm{def}}{=} L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2 \supset L_1 \otimes L_2 NB dans la notation E_1, E_2, la structure d'ext. est sous-entendue

avec 0 \to L_1 \otimes L_2 \to E_1 * E_2 \to L_1 \oplus L_2 \to 0 . On va définir une flèche E_1 * E_2 \xrightarrow{\ \mu = \mu_{E_1,E_2}\ } L_1 \otimes L_2 i.e. un diagramme commutatif d'homom. linéaires

\begin{tikzcd}[column sep=small] & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ L_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "\alpha_1"'] & & E_1 \otimes L_2 \arrow[dl, "\alpha_2"] \\ & L_1 \otimes L_2 & \end{tikzcd}

On définit \alpha = \mathrm{id}_{L_1} \otimes \pi_{T_2}, \qquad \beta = \pi_{T_1} \otimes \mathrm{id}_{L_2}, i.e. \alpha(u_1 \otimes x_2) = u_1 \otimes \pi_{T_2}(x_2) = u_1 \otimes (\chi x_2 - T_2\psi(x_2)), \qquad u_1 \in \Gamma L_1,\ x_2 \in \Gamma E_2, \text{\struck{$\beta$}}\ \alpha_2(x_1 \otimes u_2) = \pi_{T_1}(x_1) \otimes u_2 = (\chi x_1 - T_1\psi(x_1)) \otimes u_2, x_1 \in \Gamma E_1,\ u_2 \in \Gamma L_2 ; on a \alpha_1(u_1 \otimes u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2, \qquad \alpha_2(u_1 \otimes u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2 \qquad \text{OK !}

On posera E_1 \wedge E_2 = extension de \mathcal{O} par L_1 \otimes L_2 déduite de l'ext. de \mathcal{O} par E_1 * E_2 E_1 \otimes E_2 grâce à \mu : E_1 * E_2 \to L_1 \otimes L_2 ci-dessus. le signe entre E_1 et E_2 dans « par E_1 * E_2 » est surchargé (* et \otimes).

On a donc un homom. de suites exactes au-dessus de la première flèche : x_1 \otimes x_2 \mapsto \psi_1(x_1)\psi_2(x_2) ; sous E_1 *_0 E_2 et E_1 \otimes E_2, des étiquettes de flèches verticales biffées.

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & E_1 *_0 E_2 \arrow[r, "i"] \arrow[d] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r, "i"] & E_1 * E_2 \arrow[r, "\psi"] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

Il faut définir un \chi-scindage de l'ext. E_1 \wedge E_2. ~~E_1 * E_2~~ Il revient au même de se donner E_1 * E_2 \to L_1 \otimes L_2 qui sur L_1 \otimes L_2 se réduise à la mult. par \chi. Comme E_1 * E_2 = E_1 \otimes E_2 \underset{E_1 *_0 E_2}{\amalg} (L_1 \otimes L_2), se donner une flèche de E_1 * E_2 dans un module M revient à se donner un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & E_1 *_0 E_2 \arrow[dl, "\mathrm{inc}"'] \arrow[dr, "\mu"] & \\ E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, dashed] \arrow[ddr, "{\rho = \pi}"'] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl, dashed] \arrow[ddl, "{\sigma = \chi\,\mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}}"] \\ & E_1 * E_2 \arrow[d, "\pi_T"] & \\ & M & \end{tikzcd}

Ici on a M = L_1 \otimes L_2. Considérons \rho : E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2, \qquad \rho = \pi_{E_1} \otimes \pi_{E_2}, i.e. \rho(x_1 \otimes x_2) = (\underbrace{\chi x_1 - \psi_1(x_1)T_1}_{\pi_{T_1}(x_1)}) \otimes (\underbrace{\chi(x_2) - \psi_2(x_2)T_2}_{\pi_{T_2}(x_2)}). Si x_1 = u_1 \in L_1, on trouve (comme \psi_1(x_1) = 0) \chi u_1

\text{\struck{$\rho(u_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes u_2) = \chi u_1 \otimes \chi(x_2)$}} \rho(u_1 \otimes x_2) = \chi u_1 \otimes (\chi(x_2) - \psi_2(x_2)T_2) Mais on voit qu'il faut prendre \mu_{E_1,E_2}(u_1 \otimes x_2) \overset{\mathrm{def}}{=} u_1 \otimes (\chi x_2 - \psi_2(x_2)T_2) ({}^{*}) il faut prendre donc \sigma = \chi\,\mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2} pour avoir commutativité du côté L_1 \otimes E_2 \subset E_1 * E_2, et de même E_1 \otimes L_2. On y gagne !

Mais \pi_T soit {}^{*} C'est ce qu'il fallait pour que soit une \chi-trivialis.

Si \chi est régulier sur L_1 \otimes L_2 (p.ex. \chi régulier dans \mathcal{O} et L_1, L_2 plats sur \mathcal{O}, donc L_1 \otimes L_2 plat aussi …) alors on peut définir T par \chi T = \mu'(T_1 \otimes T_2) \overset{\mathrm{def}}{=} T_1 * T_2 i.e. T = \frac{1}{\chi}\, T_1 * T_2 \qquad (!)

~~Considérons~~ En effet considérons \pi_T : E \to L_1 \otimes L_2, \qquad x \mapsto \chi x - T\psi(x), \qquad \text{d'où } T\psi(x) = \chi x - \pi_T(x). suivent trois lignes biffées (« posons x = T_1 … », « \chi\pi_T … ») ; à droite : Faisons x = T_1 * T_2, d'où \psi(x) = \psi(T_1)\psi(T_2) = \chi^2, d'où \chi^2 T = \chi T_1 * T_2 - \underbrace{\pi_T(T_1 * T_2)}_{\pi_{T_1}(T_1) \otimes \pi_{T_2}(T_2) = 0} le bas de la page est barré de grands traits obliques : ~~Soient x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2, i.e. \psi_1(x_1) = 1, \psi_2(x_2) = 1, posons x = x_1 * x_2, on trouve~~ \text{\struck{$T = \chi\, x_1 * x_2 - \pi_T(x_1 * x_2)$,}} \qquad \text{\struck{$\pi_T(x_1 * x_2) = (\chi x_1 - T_1)(\chi x_2 - T_2)$}}

~~Faisons x_1 = \frac{1}{\chi}T_1, x_2 = \frac{1}{\chi}T_2 (!), on trouve~~ \text{\struck{$T = \chi\bigl(\tfrac{1}{\chi}T_1\bigr) * \bigl(\tfrac{1}{\chi}T_2\bigr) - \ldots$}} \qquad \text{\struck{$= \tfrac{1}{\chi}\, T_1 * T_2$}} Faisons x = T_1 * T_2, d'où \chi^2 T = \chi\, T_1 * T_2 d'où en divisant par \chi \boxed{\chi T = T_1 * T_2}

NB L'application E_1 \times E_2 \to E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2, \qquad (x_1, x_2) \mapsto x_1 \otimes x_2,\ x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2 applique P_1 \times P_2 \to P = \psi^{-1}(1).

On aura si x_1 \in \Gamma P_1, u_1 \in \Gamma L_1, x_2 \in \Gamma P_2, u_2 \in \Gamma L_2 : (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = \underbrace{x_1 * x_2}_{\in\, \Gamma P} + \underbrace{u_1 * x_2 + x_1 * u_2 + u_1 * u_2}_{\in\, \Gamma(L_1 \otimes L_2)}, \qquad u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2, = x_1 * x_2 + \bigl[u_1 \otimes (\overbrace{\chi x_2 - \psi(x_2)T_2}^{-b_2}) + (\overbrace{\chi x_1 - \psi(x_1)T_1}^{-b_1}) \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2\bigr] \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + (-u_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2) \\ \qquad = x_1 * x_2 + (-u_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2) \end{array}} où b_1, b_2 sont les éléments de L_1, L_2 qui définissent T_1, T_2 en termes de x_1, x_2 : T_1 = \chi x_1 + b_1, \qquad T_2 = \chi x_2 + b_2 .

NB x_1 = (0,1), \chi x_1 = (0,\chi), T_1 = (b_1,\chi), ~~\chi x_1 - T_1~~ \chi x_1 - T_1 = (-b_1, 0) NB Si une base de L_1 plusieurs notes obliques, à gauche et à droite de l'encadré, y renvoient par des flèches ; on n'en lit que des bribes (« conjugués », « coïncident »).

identifiant E à L_1 \otimes L_2 \oplus \mathcal{O}_X grâce au scindage x_1 * x_2, on trouve, par un calcul immédiat{}^{(*)}, T = \text{\struck{$\ldots$}}\ \chi(x_1 * x_2) - b_1 \otimes b_2

{}^{*} NB \pi_T(x_1 * x_2) = \chi x_1 * x_2 - T, donc T = \chi x_1 * x_2 - \pi_T(x_1 * x_2). Or \pi_T(x_1 * x_2) = \pi_{T_1}(x_1) \otimes \pi_{T_2}(x_2) \forall\, x_1 \in E_1, x_2 \in E_2

Re NB : on vérifie aussitôt que ça ne change pas (en remplaçant x_1 par x_1 + u_1, x_2 par x_2 + u_2, u_1 \in \Gamma L_1, u_2 \in \Gamma L_2) — attention au signe ! Pour éliminer le signe, il faudrait poser \left\{\begin{array}{lll} b_{T_1,x_1} = -b_1 & \text{i.e.} & b_{T_1,x_1} = \chi x_1 - T_1 = \pi_{T_1}(x_1) \\ b_{T_2,x_2} = -b_2 & \text{i.e.} & b_{T_2,x_2} = \chi x_2 - T_2 = \pi_{T_2}(x_2) \\ b_{T,x_1 * x_2} = -b & \text{i.e.} & b = \chi x_1 * x_2 - T = \pi_T(x) \quad (x = x_1 \otimes x_2) \end{array}\right. et on trouve \text{\struck{$b$}}\ b = -b_{T,x_1 * x_2} = -b_1 \otimes b_2 = -b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2} d'où \boxed{b_{T,x_1 * x_2} = b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2}} On trouve donc T = \chi \cdot (x_1 * x_2) - \underbrace{b_{T,x_1 * x_2}}_{b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2}}

Formulaire récapitulatif pour ce formalisme

(x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2 : E_1 \times E_2 \to E_1 * E_2, où E_i (i = 1, 2) est l'enveloppe affine universelle d'un torseur P_i sous un module L_i, muni d'une donnée de \chi-trivialisation (\chi \in \Gamma(X, \mathcal{O}) donné !) \pi_i : P_i \to L_i (satisfaisant la définition de « \chi-trivialisation ») \pi_i(x_i + u_i) = \pi_i(x_i) + \chi u_i, \qquad x_i \in \Gamma P_i,\ u_i \in \Gamma L_i .

On peut aussi considérer l'extension linéaire de \pi_i : E_i \to L_i et alors la condition précédente signifie simplement que \pi_i(u_i) = \chi \cdot u_i \qquad \text{si } u_i \in L_i \subset E_i .

Ceci posé, on a les formules fondamentales suivantes.

① bilinéarité de x_1 * x_2 (i.e. correspond à une appli. lin. \boxed{E_1 \otimes E_2 \to E})

② \boxed{\psi(x_1 * x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)} (compatibilité aux augmentations), où E_1 \xrightarrow{\psi_1} \mathcal{O}, \qquad E_2 \xrightarrow{\psi_2} \mathcal{O}, \qquad E = E_1 * E_2 \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} sont les augmentations. En particulier, * induit P_1 \times P_2 \to P, \quad (x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2 \qquad (\text{où } P_i = \psi_i^{-1}(\{1\}),\ P = \psi^{-1}(\{1\})) induit par *.

③ \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * x_2 = x_1 * x_2 + u_1 \otimes \pi_2(x_2) \\ x_1 * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + \pi_1(x_1) \otimes u_2 \end{array}} \qquad x_i \in \Gamma E_i,\ u_i \in \Gamma L_i d'où \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + u_1 \otimes \pi_2(x_2) + \pi_1(x_1) \otimes u_2 \\ \qquad + \chi\, u_1 \otimes u_2 \end{array}} ③ x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2 note oblique en marge gauche, reliée à ③ par une flèche ; presque entièrement illisible.

Ces formules résultent de la bilinéarité + \boxed{\begin{array}{l} u_1 * x_2 = u_1 \otimes \pi_2(x_2) \\ x_1 * u_2 = \pi_1(x_1) \otimes u_2 \end{array}} ~~lesquelles~~ lesquelles donnent chacune (une fois x_2 = u_2 ou x_1 = u_1) \boxed{u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2}, compte tenu de \pi_1(u_1) = \chi u_1, \pi_2(u_2) = \chi u_2.

④ Relation entre \pi_i, T_i : \boxed{\pi_i(x) = \chi x - T_i} remarque équivalence des \chi-trivialisations {}^{*}

⑤ Description de la \chi-trivialisation de E \boxed{\pi_E(x_1 * x_2) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)} Si x_2 = u_2 \in \Gamma L_2, on a (x \overset{\mathrm{def}}{=} x_1 * x_2 =) x_1 * u_2 = \pi_1(x_1) \otimes u_2 \in \Gamma(L_1 \otimes L_2), et le premier membre doit donner \chi x = \chi\, \pi_1(x_1) \otimes u_2, le second donne \pi_1(x_1) \otimes \chi u_2 puisque \pi_2(u_2) = \chi u_2, et c'est OK. Idem pour x_1 = u_1, x_2 quelc.

Cas où on a, pour x_1 \in \Gamma P_1, x_2 \in \Gamma P_2 \pi_E(x_1 * x_2) = (\underbrace{\chi x_1 - T_1}_{b_1}) \otimes (\underbrace{\chi x_2 - T_2}_{b_2}) = \chi\, x_1 \otimes x_2 - T donc \boxed{T = \chi(x_1 * x_2) - b_1 \otimes b_2} où b_i = \pi_E(x_i) = \chi x_i - T_i .

Vérifions \boxed{\chi T = T_1 * T_2}, \qquad T_1 = \chi x_1 - b_1,\quad T_2 = \chi x_2 - b_2 . Le 2e membre est \chi^2 x_1 * x_2 - \chi\,\underbrace{\pi_1(x_1)}_{(\chi x_1 - T_1) = b_1} \otimes b_2 - \chi\, b_1 \otimes \underbrace{\pi_2(x_2)}_{(\chi x_2 - T_2) = b_2} + \underbrace{b_1 * b_2}_{\chi\, b_1 \otimes b_2} = \chi^2 x_1 * x_2 - \chi\, b_1 \otimes b_2 = \chi(\overbrace{\chi\, x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2}^{T}), c'est donc bien ~~le produit par \chi de~~ \chi T, OK.

NB Si on définit x_1, x_2 : E_1 \simeq L_1 \oplus \mathcal{O}, E_2 \simeq L_2 \oplus \mathcal{O}, E \simeq \underbrace{L_1 \otimes L_2}_{L} \oplus \mathcal{O}, (u_1,\lambda_1) \mapsto \lambda_1 x_1 + u_1, (u_2,\lambda_2) \mapsto \lambda_2 x_2 + u_2, (u,\lambda) \mapsto \lambda\, x_1 * x_2 + u, on aura donc (u_1,\lambda_1) * (u_2,\lambda_2) = (\lambda_1 b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes \lambda_2 b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2,\ \lambda_1\lambda_2) note oblique dans la marge droite, reliée à l'encadré de T.

P = P_1 * P_2 (comme solution d'un pb universel) (P_i torseur \chi-trivialisé, sous module L_i).

On s'intéresse aux torseurs \Pi sous un module M, et aux applications P_1 \times P_2 \xrightarrow{f} \Pi (qui ne soient que « bi-affines » compatibles avec les \chi-trivialisations données \pi_1, \pi_2 de P_1, P_2) qui satisfont la condition suivante : (*) \qquad \exists\ L_1 \times L_2 \xrightarrow{\alpha} M, \text{ application bilinéaire,} telle qu'on ait \left\{\begin{array}{l} f(x_1 + u_1, x_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(u_1, \pi_2(x_2)) \\ f(x_1, x_2 + u_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(\pi_1(x_1), u_2) \end{array}\right. (d'où f(x_1 + u_1, x_2 + u_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(u_1, \pi_2(x_2)) + \alpha(\pi_1(x_1), u_2) + \chi\, \alpha(u_1, u_2)\text{)} le premier terme des seconds membres se lit \alpha(x_1, x_2), où l'on attend f(x_1, x_2) ; chaque autre \alpha est écrit sur une majuscule (B ?) biffée.

Cela signifie aussi que \alpha est connu (uniquement de B) pourvu qu'on connaisse f sur un ~~couple~~ (x_1, x_2) de sections, et qu'il est donné par la formule précédente. ~~On trouve que \alpha, B~~ E_1 \otimes L_2, \alpha, B unique (car (E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \to L_1 \otimes L_2 n'est pas uniq. surjectif), et on a défini une « application bi-affine » comme un couple (f, \alpha), satisfaisant les conditions des relations ci-dessus.

Ceci posé, (P_1 * P_2,\ P_1 \times P_2 \xrightarrow{*} P_1 * P_2) est une solution du pb universel défini par cette notion (pour M, \Pi variables …). Si on veut de plus définir P_1 * P_2 comme un torseur \chi-trivialisé, on exiger, dans la notion des « applications bi-affines compatibles avec les \chi-trivialisations » (non seulement de P_1, P_2, mais aussi de \Pi), que l'on ait \pi_{\Pi}(f(x_1, x_2)) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2) et on trouve encore une solution de ce problème universel par le torseur \chi-trivialisé P_1 * P_2.

Mais on avait oublié d'expliciter la notion de morphisme de torseurs \chi-trivialisés, P \xrightarrow{f} P', \qquad M \xrightarrow{f_0} M' . On exige \left\{\begin{array}{ll} f(x + m) = f(x) + f_0(m) & (x \in \Gamma P,\ m \in \Gamma M) \\ \pi_{P'}(f(x)) = f_0(\pi_P(x)) \end{array}\right.

Quand on interprète P, P' en termes d'ext. de \mathcal{O} par des Modules L, L', munies de T, T' telles que \psi(T) = \chi, \psi'(T') = \chi, la condition de compatibilité avec les \chi-trivialisations s'écrit simplement f(T) = T' .

Cas scindé. Un scindage d'un torseur \chi-trivialisé (P, \pi) est, par déf., une section x_0 (i.e. trivialisation) de P. Alors P \simeq L, \qquad u \mapsto x_0 + u ~~et la donnée de la \pi-tri…~~ d'où E \simeq L + \mathcal{O}, \qquad (u, \lambda) \mapsto \lambda x_0 + u, la \chi-trivialisation équivaut à la donnée de l'élément b\ (= b_{x_0}) = \pi(x_0) = \chi x_0 - T de L, de sorte qu'en termes de b on trouve T = \chi x_0 - b, ou en termes de l'iso E \simeq L + \mathcal{O}, T = (-b, \chi). On aura donc, en termes de b, \pi(\underbrace{\lambda x_0 + u}_{(u, \lambda)}) = \lambda b + \chi u . [Vérifions que c'est OK : \chi x - \psi(x)T = \chi\lambda x_0 + \chi u - \lambda \underbrace{T}_{\chi x_0 - b}, on trouve bien \chi u + \lambda b OK]

Si P_i sous L_i, avec \pi_i, est scindé par x_i (i = 1, 2), alors P_1 * P_2 est scindé par x_1 * x_2. Sa \chi-trivialisation est donnée par un élément b de L_1 \otimes L_2, et on aura b = b_1 \otimes b_2 . Il n'y a pas plus simple !

Ceci permet d'expliciter les données d'associativité, de commutativité, d'unité pour l'opération *. Mais en fait tautologique :

1) Commutativité. L'isom. can. de commutativité E_1 * E_2 \simeq E_2 * E_1 transforme x_1 * x_2 en x_2 * x_1, et u_1 \otimes u_2 en u_2 \otimes u_1, ce qui suffit à le caractériser.

2) Associativité. L'iso d'ass. (E_1 * E_2) * E_3 \simeq E_1 * (E_2 * E_3) transforme (x_1 * x_2) * x_3 en x_1 * (x_2 * x_3) et (u_1 \otimes u_2) \otimes u_3 en u_1 \otimes (u_2 \otimes u_3), ce qui suffit à le caractériser.

3) Unité : On ~~appelle~~ dit qu'un

scindage x_0 d'un P muni d'une \chi-trivialisation est « unitaire », si l'élément b_0 = \pi(x_0) de L est tel que \{b\} soit une base de L. Dans ce cas : cette base, L \simeq \mathcal{O}_X, b = 1, et on aura donc P_0 \simeq \mathcal{O}_X, \quad x_0 = 1, \qquad E_0 = \mathcal{O} \times \mathcal{O} = \{(u, \lambda) \mid u, \lambda \in \Gamma\mathcal{O}\} \xrightarrow{\psi} \lambda et \left|\begin{array}{l} \pi(u, \lambda) = \lambda + \chi u \\ T = (-1, \chi) \end{array}\right.

Ceci posé, si P_1 est un torseur \chi-trivialisé, alors on a \begin{array}{rcl} P_0 * P_1 & \simeq & P_1 \\ \mathcal{O}_0 \otimes L_1 & \simeq & L_1 \end{array} \qquad \begin{array}{l} x_1 \longmapsto x_0 * x_1 \\ u_1 \longmapsto b_0 \otimes u_1 \end{array} … les compatibilités entre les contraintes d'unité, d'assoc., de commutativité …

NB Un (E, \psi, T) est inversible pour * ssi a) L inversible b) Sur X_0 = V(\chi) \subset X (schéma des zéros de \chi), la section T_0 = T|X_0 de (\chi P)_0 \simeq \chi_0 P_0 \simeq L_0 est inversible . Si (E, \psi, T) est scindé, et si b \in \Gamma L correspond au scindage x_0, alors on a T = 2\chi x - b, donc T_0 = -b_0, et la condition que b_0 soit une section inversible de L_0 i.e. une base. condition équivaut aussi à a) L_0 inversible b) \exists localement des scindages tels que les b soient des bases de L. longue note oblique dans la marge gauche et le bas de la page, écrite en travers du texte ; plusieurs liaisons restent illisibles. « T = 2\chi x - b » est écrit ainsi, où l'on attend \chi x_0 - b.

Les revêtements quadratiques : à partir de maintenant \chi = 2 .

Soit 0 \to L \to E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0 une extension 2-trivialisée par T \in \Gamma E telle que \psi(T) = 2, on va définir un automorphisme de la structure, par \sigma_E : x \longmapsto \bar{x} = T\psi(x) - x \qquad (= T - x \text{ si } x \in \Gamma P_1, \text{ i.e. } \psi(x) = 1). On aura \psi(\bar{x}) = \underbrace{\psi(T)}_{2}\psi(x) - \psi(x) = \psi(x), i.e. compatibilité avec l'augmentation \psi. On a bien aussi \bar{\bar{x}} = x \qquad \text{i.e.} \quad \sigma^2 = \mathrm{id}_E, d'autre part \bar{u} = -u \qquad \text{si } u \in L, donc \sigma induit -\mathrm{id}_L sur L, \mathrm{id}_{\mathcal{O}} sur \mathcal{O} \simeq E/L. Si 2 inversible (dans \mathcal{O}, plus génér. si 2\,\mathrm{id}_M est inversible), alors on a un scindage canonique E \simeq L + \text{\struck{$M$}}\ E_0, \qquad E_0 \subset E, où E_0 = E^{\sigma} = \mathrm{Ker}(1 - \sigma) = \{x \in E \mid x = \bar{x}\} = \mathrm{Im}(1 + \sigma) = \{x + \bar{x} \mid x \in E\} E_0 \simeq \mathcal{O}_X \quad \text{\struck{via $\psi$}} NB. L'élément x_0 \in E tel que \psi(x_0) = 1 est caractérisé par 2x_0 = T i.e. x_0 = \frac{1}{2}T

~~Dans ce cas,~~ Dans un scindage donné \overline{(u, \lambda)} = (-u, \lambda) et T = \text{\struck{$\ldots$}}\ x + \bar{x} \quad \text{pour } \psi(x) = 1, \quad \text{d'où} \quad \boxed{T = (0, 2)}, on aura \boxed{\pi(u, \lambda) = (2u, 0)} l'argument se poursuit au-delà du lot.