Cote n° 84, pages 61–80

Cote n° 84 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

61la page reprend un calcul commencé avant le lot : les conditions 1), 2), 3) invoquées p. 62 et les notations $E$, $P_1$, $L$, $\psi$ viennent des pages précédentes.

J'avais, du côté $E$, la condition que \[ Q_{T,N}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} x^2 - xT + N \qquad (x \in \Gamma P_1) \] à valeurs dans $L^{\otimes 2}$, ou encore \[ Q_{T,N}(x) = x^2 - \psi(x)\,xT + \psi(x)^2 N \qquad (x \in \Gamma E) \] à valeurs dans $L^{\otimes 2}$. Faisant $x = T$, on trouve la condition facile (compte tenu de $\psi(T) = 2$) \[ 4N - T^2 \in \Gamma L^{\otimes 2} \subset \Gamma\,\mathrm{Sym}^2 E \] mais elle ne suffit pas. En termes d'un scindage $E \simeq L \oplus \mathcal{O}$, par choix d'un $x_0 \in \Gamma P_1$, \[ \mathrm{Sym}^2 E \simeq L^2 \oplus L \oplus \mathcal{O}, \qquad L = x_0 \cdot L, \quad \mathcal{O} = x_0^2\,\mathcal{O}_X, \] on aura \[ x_0 = (0,1), \qquad T = (t,2) = 2x_0 + t, \quad t \in \Gamma L, \] \[ N = c - x_0 b + x_0^2 \qquad (\text{car } \psi_2(N) = 1), \qquad \left\{\begin{array}{l} t \in \Gamma L \\ b \in \Gamma L \\ c \in \Gamma L^{\otimes 2} \end{array}\right. \] la lecture de « $\psi_2(N) = 1$ » est douteuse.

Soit alors $x = (u,1) = u + x_0$, $u \in L$, on aura \[ Q_{T,N}(x_0+u) = Q_{T,N}(x) = (x_0+u)^2 - (x_0+u)(2x_0+t) + c - bx_0 + x_0^2 \] \[ \text{\struck{$= \ldots u^2 - (\ldots)$}} \] \[ = u^2 - ut + (-bx_0 + c - x_0 t), \qquad u^2,\ ut \in L^{\otimes 2}, \] et la condition est que \[ \text{\struck{$x_0^2 - x_0(x_0$}}\quad \underbrace{x_0(-b - t)}_{\in\, \Gamma(E \otimes L)} + c \in \Gamma L^{\otimes 2}, \qquad c \in \Gamma L^{\otimes 2} \subset \Gamma(E \otimes L). \] Cela signifie $\boxed{t = -b}$, i.e. la condition est […] \[ \boxed{N = x_0^2 - bx_0 + c \quad (b \in \Gamma L,\ c \in \Gamma L^{\otimes 2}) \Longrightarrow T = 2x_0 - b} \] d'où \[ \boxed{Q(x_0+u) = u^2 + bu + c}, \qquad \text{d'où } \delta = T^2 - 4N = b^2 - 4c . \]

Ceci indépendant […] […] sur le […] des scindages de $\mathcal{O}$ par $L$, $b$ est […] note marginale oblique, en bas à gauche, rattachée par une flèche à l'encadré ; on y devine encore « pour $\Gamma L$ » et « ext. », le reste ne se lit pas.

62Ainsi on trouve équivalence 1) $\Leftrightarrow$ 2), $\wr$ 3), d'où (via 3) $\Rightarrow$ 1)) la flèche 2) $\to$ 1). le premier « 1) » est écrit sur un autre chiffre ; sous lui, un $\wr$ renvoie à « 3) ».

Produit contracté de rev. quadratiques

On voudrait maintenant définir le foncteur « produit contracté » sur la catégorie des revêtements quadratiques. On veut \[ \mathbb{L}(X_1 \wedge X_2) \simeq \mathbb{L}(X_1) \otimes \mathbb{L}(X_2) \] (les modules discriminants des revêt. quadratiques, notés $\underline{L}$ ci-dessus) \[ \delta_{X_1 \wedge X_2} = \delta_{X_1} \cdot \delta_{X_2} \qquad \in \Gamma\,\mathbb{L}(X_1 \wedge X_2). \]

De plus, on veut que tout scindage de $X_1$, défini par $x_1 \in E_1$ avec $\psi_{X_1}(x_1) = 1$, et tout scindage de $X_2$, défini par $x_2 \in E_2$ avec $\psi_{X_2}(x_2) = 1$, en définisse un de $X_1 \wedge X_2$, via une application \[ (x_1, x_2) \longmapsto x_1 \wedge x_2 : P_{X_1} \times P_{X_2} \to P_{X_1 \wedge X_2} \] qui induise

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\begin{tikzcd}
P_{X_1} \times P_{X_2} \arrow[r] & P_{X_1 \wedge X_2} \\
X_1 \times X_2 \arrow[r] \arrow[u, hook] & X_1 \wedge X_2 \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

Si $X_1$, $X_2$ sont munis des scindages $x_1$, $x_2$, et si les modules discriminants sont $L_1$, $L_2$, alors les structures sont définies par \[ \begin{array}{lll} b_1 \in \Gamma L_1 & b_2 \in \Gamma L_1^{\otimes 2} & b_1 = 2x_1 - T_1 \\ \uncertain{c_1} \in \Gamma L_2 & c_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2} & b_2 = 2x_2 - T_2 \end{array} \] tel qu'écrit, la première colonne portant $b_1$ puis (lettre coupée au bord de la feuille) un second symbole, la deuxième $b_2$ puis $c_2$ ; les exposants demandent $b_1 \in \Gamma L_1$, $b_2 \in \Gamma L_2$, $c_1 \in \Gamma L_1^{\otimes 2}$, $c_2 \in \Gamma L_2^{\otimes 2}$.

63et on doit aussi alors (sauf erreur) \[ \boxed{b \overset{\mathrm{def}}{=} b_{X_1 \wedge X_2} = b_1 b_2} \] (car le discriminant ce que ça aurait dû être, au signe près …), d'où pratiquement aussi $c$, via \[ 4c = b^2 - \delta = (b_1 b_2)^2 - \delta_1 \delta_2 = 4(c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_2) \] \[ (b_1b_2)^2 = b_1^2 b_2^2 = (\delta_1 + 4c_1)(\delta_2 + 4c_2) \] et on en tire \[ \boxed{c = c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_1} = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4c_1c_2, \qquad \delta_2 = b_2^2 - 4c_2,\ \delta_1 = b_1^2 - 4c_1. \] « $4c_1c_1$ » sic dans l'encadré ; le calcul demande $4c_1c_2$, que donne le membre de droite.

Mais quelles sont les formules que \[ (x_1+u_1) \wedge (x_2+u_2) \overset{?}{=} x_1 \wedge x_2 + \underbrace{f_{x_1,x_2}(u_1,u_2)}_{?}, \qquad u_1 \in \Gamma L_1,\ u_2 \in \Gamma L_2, \] où $f_{x_1,x_2} : L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2$. On a […] $L_1 \times \ldots$ dans $L_1 \otimes L_2$

On a trois applications […] \[ \begin{array}{lll} f_{x_2} : L_1 \to L_1 \otimes L_2 & & u_1 \mapsto u_1 b_2 \\ f_{x_1} : L_2 \to L_1 \otimes L_2 & & u_2 \mapsto u_2 b_1 \\ f_{x_1,x_2} : L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2 & & (u_1,u_2) \mapsto u_1 \otimes u_2 \end{array} \]

Je devine qu'on a \[ \boxed{(x_1+u_1) \wedge (x_2+u_2) = x_1 \wedge x_2 + \underbrace{(u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2)}_{\in\, \Gamma(L_1 \otimes L_2)}} \]

64Vérifions que (pour $x_1$, $x_2$ fixés, i.e. pour $(L_1, b_1, c_1)$ et $(L_2, b_2, c_2)$ fixés) cette application \[ P_1 \times P_2 \to P \quad \text{i.e.} \quad L_1 \times L_2 \to L_1 \otimes L_2 \] […] envoie bien $X_1 \times X_2$ dans $X$, i.e. \[ \left.\begin{array}{l} \overbrace{u_1^2 + b_1u_1 + c_1}^{Q_1(u_1)} = 0 \\ \underbrace{u_2^2 + b_2u_2 + c_2}_{Q_2(u_2)} = 0 \end{array}\right\} \Longrightarrow \underbrace{u^2 + bu + c}_{Q(u)} = 0 \] avec \[ \left\{\begin{array}{l} u = u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2 \\ b = b_1b_2 \\ c = b_2^2 c_1 + b_1^2 c_2 - 4c_1c_2 \end{array}\right. \] \[ [u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2]^2 + b_1b_2(u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2) + b_2^2c_1 + b_1^2c_2 - 4c_1c_2 \overset{?}{=} 0 . \]

Le premier membre s'écrit ($\forall\, u_1 \in \Gamma L_1$, $u_2 \in \Gamma L_2$) \[ b_2^2(u_1^2 + b_1u_1 + c_1) + b_1^2(u_2^2 + b_2u_2 + c_2) + 4u_1^2u_2^2 + 4b_1b_2u_1u_2 \] \[ + 4u_1^2b_2u_2 + 4u_2^2b_1u_1 - 4c_1c_2 \quad \text{\struck{$+ 4u_1u_2b_1b_2$}} \] \[ = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) + 4(Q(u_1) - c_1)(Q(u_2) - c_2) \] \[ \text{\struck{$- 4b_1b_2u_1u_2$}} \quad - 4c_1c_2 \] \[ = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) + 4[Q(u_1)Q(u_2) - c_1Q(u_2) - c_2Q(u_1)] \quad \text{\struck{$-4b_1b_2u_1u_2$}} \] dans la marge droite, un essai biffé sur $4u_1^2u_2^2$ ; au-dessous, deux lignes de calcul raturées. \[ \boxed{\begin{array}{l} Q(u_1 * u_2) = b_2^2 Q_1(u_1) + b_1^2 Q_2(u_2) \\ \qquad + 4[Q_1(u_1)Q_2(u_2) - c_1Q_2(u_2) - c_2Q_1(u_1)] \end{array}} \] le premier membre de l'encadré est surchargé : « $Q((x_1+u_1)\wedge(x_2+u_2))$ » biffé, puis une forme en $*$ ; une accolade à gauche porte « $u^2 - bu + c =$ ».

Faisant $u_1 = 0$, $u_2 = 0$, on trouve $u = 0$ d'où \[ \underbrace{Q(x_1 * x_2)}_{= c} = b_1^2 c_2 + b_2^2 c_1 + 4\underbrace{(c_1c_2 - c_1c_2 - c_1c_2)}_{-4c_1c_2} \] la formule déjà donnée. le facteur 4 devant la parenthèse et l'accolade « $-4c_1c_2$ » sont tels qu'il les écrit.

65Retenons donc \[ \boxed{\underbrace{Q(x_1 * x_2)}_{c} = \underbrace{Q_1(x_1)}_{c_1}\delta_2 + \underbrace{Q_2(x_2)}_{c_2}\delta_1 + 4Q_1(x_1)Q_2(x_2)} \] \[ c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_2 \]

Digression affine.

Soit $(X, \mathcal{O})$ espace ou topos annelé, muni d'une section \[ \chi \in \Gamma\mathcal{O}. \] On s'intéresse à la catégorie des triples $(L, P, T)$, où

$L$ un $\mathcal{O}$-Module,
$P$ un $L$-torseur,
$T$ une trivialisation de ${}_{\chi}P \overset{\mathrm{def}}{=} P \wedge^{L} (L \xrightarrow{\chi} L)$,

ou encore la catégorie des triples systèmes \[ (M, E, i, \psi, T) \] où $M$, $E$ des $\mathcal{O}$-modules, \[ (*) \qquad 0 \to M \xrightarrow{i} E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0 \] une suite exacte, i.e. $E$ est donné comme une extension de $\mathcal{O}$ par $M$, et enfin $T \in E$ tel que \[ \psi(T) = \chi \] (NB on a ${}_{\chi}P = \psi^{-1}(\chi) \subset E$).

NB On va identifier $M \subset E$

On veut définir un « produit contracté » $\wedge$ sur cette catégorie, \[ (L_1, P_1, T_1) \wedge (L_2, P_2, T_2) = (L_1 \otimes L_2,\ P_1 \wedge P_2,\ T), \qquad T \overset{?}{=} T_1 \wedge T_2, \] qui fasse de cette catégorie une catégorie monoïdale (contraintes d'associativité, d'unité, de commut.).

66Notons que pour une ext. $(*)$ donnée, il revient au même de se donner $T$ tel que $\psi(T) = \chi$, ou une « section de $\psi$ $\chi$-relèvement » \[ \mathcal{O} \xrightarrow{\ \psi' \ (= \psi'_T)\ } E \qquad (\text{nécess.\ de la forme } \lambda \mapsto \lambda T, \text{ où } T \in \Gamma E,\ T = \psi'(1)) \] tel que \[ \psi\psi'(\lambda) = \chi\lambda \] (ce qui équivaut en effet à $\psi\psi'(1) = \chi$ i.e. $\psi(T) = \chi$). Je remarque aussi qu'il revient au même de se donner une flèche \[ E \xrightarrow{\ \pi\ (= \pi_T)\ } M \] qui soit une $\chi$-rétraction pour $i$, i.e. telle que \[ \pi \circ i = \chi\, \mathrm{id}_M . \] le but de $\pi$ est surchargé : une lettre biffée, puis $M$.

Une relation entre $\pi_T$ et $T$ est la suivante \[ i(\pi(x)) = \underset{\psi(T)}{\chi}\, x - T\psi(x) \quad \text{i.e.} \quad \pi = \chi\,\mathrm{id} - \psi \otimes T \] \[ \bigl(= \psi(T)x - T\psi(x) \overset{\mathrm{def}}{=} x \underset{\psi}{\wedge} T\bigr) \] En effet, pour $T$ fixé tel que $\psi(T) = \chi$, et pour tout $x$, \[ \psi(\chi x - T\psi(x)) = \chi\psi(x) - \psi(T)\psi(x) = 0 \quad \text{car } \psi(T) = \chi, \] i.e. $\pi(x) \in i(L)$, et si $x \in i(L)$ i.e. $\psi(x) = 0$, on a bien \[ i\,\pi(x) = \chi x \qquad \text{\struck{$i\,\pi(x) = \chi$}} \] il écrit ici $i(L)$ : à partir de cette page le module noté $M$ p. 65 devient $L$, et plusieurs $M$ sont surchargés en $L$.

Inversement, si $\pi$ est donnée, considérons \[ x \longmapsto \chi x - \pi x : E \to \text{\struck{$M$}}\ E ; \] elle est nulle sur $M$, donc se factorise en \[ E/M \simeq \mathcal{O} \xrightarrow{\psi'} E, \qquad \lambda \mapsto \lambda T, \] cette flèche $\psi'$ donnée par un $T \in E$, et on aura \[ \chi x - \pi x = \psi(x) T \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\pi(x) = \chi x - \psi(x) T} \]

67Prenant le $\psi$ des deux membres, et comme $\pi(x) \in L$ donc $\psi(\pi(x)) = 0$, on trouve \[ \chi\psi(x) - \psi(x)\psi(T) = 0 \quad \text{i.e.} \quad \psi(x)(\chi - \psi(T)) = 0 \] pour toute section locale $x$ de $U$la lettre a la forme d'un $U$ ; on attend $E$.. Prenant $x$ telle que $\psi(x) = 1$, on trouve $\chi - \psi(T) = 0$ i.e. $\psi(T) = \chi$.

Soient \[ \begin{array}{lll} 0 \to L_1 \xrightarrow{i_1} E_1 \xrightarrow{\psi_1} \mathcal{O} \to 0 & \quad T_1 \in E_1 & \psi_1(T_1) = \chi \\ 0 \to L_2 \xrightarrow{i_2} E_2 \xrightarrow{\psi_2} \mathcal{O} \to 0 & \quad T_2 \in E_2 & \psi_2(T_2) = \chi \end{array} \] on veut définir \[ 0 \to L_1 \otimes L_2 \xrightarrow{i} E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0, \qquad T \in E,\ \psi(T) = \chi, \] \[ E \overset{\mathrm{def}}{=} (E_1, T_1) \underset{\chi}{\wedge} (E_2, T_2). \]

Considérons

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
L_1 \otimes E_2 \arrow[dr] & & E_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \\
 & E_1 \otimes E_2 &
\end{tikzcd}

qui convergent : une suite de comp. dans $E_1 \otimes E_2$, \[ 0 \subset \underbrace{L_1 \otimes L_2}_{L_1 \otimes L_2} \subset \underbrace{L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2}_{L_1 \oplus L_2} \subset \underbrace{E_1 \otimes E_2}_{\mathcal{O}}, \] les accolades donnent les quotients successifs de la filtration. On a sur $E_1 \otimes E_2$ une structure d'ext. \[ 0 \to E_1 *_0 E_2 \to E_1 \otimes E_2 \to \mathcal{O} \to 0 \] \[ E_1 *_0 E_2 \overset{\mathrm{def}}{=} L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2 \supset L_1 \otimes L_2 \] NB dans la notation $E_1$, $E_2$, la structure d'ext. est sous-entendue

68avec \[ 0 \to L_1 \otimes L_2 \to E_1 * E_2 \to L_1 \oplus L_2 \to 0 . \] On va définir une flèche \[ E_1 * E_2 \xrightarrow{\ \mu = \mu_{E_1,E_2}\ } L_1 \otimes L_2 \] i.e. un diagramme commutatif d'homom. linéaires

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
L_1 \otimes E_2 \arrow[dr, "\alpha_1"'] & & E_1 \otimes L_2 \arrow[dl, "\alpha_2"] \\
 & L_1 \otimes L_2 &
\end{tikzcd}

On définit \[ \alpha = \mathrm{id}_{L_1} \otimes \pi_{T_2}, \qquad \beta = \pi_{T_1} \otimes \mathrm{id}_{L_2}, \] i.e. \[ \alpha(u_1 \otimes x_2) = u_1 \otimes \pi_{T_2}(x_2) = u_1 \otimes (\chi x_2 - T_2\psi(x_2)), \qquad u_1 \in \Gamma L_1,\ x_2 \in \Gamma E_2, \] \[ \text{\struck{$\beta$}}\ \alpha_2(x_1 \otimes u_2) = \pi_{T_1}(x_1) \otimes u_2 = (\chi x_1 - T_1\psi(x_1)) \otimes u_2, \] \[ x_1 \in \Gamma E_1,\ u_2 \in \Gamma L_2 ; \] on a \[ \alpha_1(u_1 \otimes u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2, \qquad \alpha_2(u_1 \otimes u_2) = \chi\, u_1 \otimes u_2 \qquad \text{OK !} \]

On posera $E_1 \wedge E_2$ = extension de $\mathcal{O}$ par $L_1 \otimes L_2$ déduite de l'ext. de $\mathcal{O}$ par $E_1 * E_2$ $E_1 \otimes E_2$ grâce à $\mu : E_1 * E_2 \to L_1 \otimes L_2$ ci-dessus. le signe entre $E_1$ et $E_2$ dans « par $E_1 * E_2$ » est surchargé ($*$ et $\otimes$).

69On a donc un homom. de suites exactes au-dessus de la première flèche : $x_1 \otimes x_2 \mapsto \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)$ ; sous $E_1 *_0 E_2$ et $E_1 \otimes E_2$, des étiquettes de flèches verticales biffées.

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & E_1 *_0 E_2 \arrow[r, "i"] \arrow[d] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r, "i"] & E_1 * E_2 \arrow[r, "\psi"] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

Il faut définir un $\chi$-scindage de l'ext. $E_1 \wedge E_2$. $E_1 * E_2$ Il revient au même de se donner \[ E_1 * E_2 \to L_1 \otimes L_2 \] qui sur $L_1 \otimes L_2$ se réduise à la mult. par $\chi$. Comme \[ E_1 * E_2 = E_1 \otimes E_2 \underset{E_1 *_0 E_2}{\amalg} (L_1 \otimes L_2), \] se donner une flèche de $E_1 * E_2$ dans un module $M$ revient à se donner un diagramme commutatif

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & E_1 *_0 E_2 \arrow[dl, "\mathrm{inc}"'] \arrow[dr, "\mu"] & \\
E_1 \otimes E_2 \arrow[dr, dashed] \arrow[ddr, "{\rho = \pi}"'] & & L_1 \otimes L_2 \arrow[dl, dashed] \arrow[ddl, "{\sigma = \chi\,\mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}}"] \\
 & E_1 * E_2 \arrow[d, "\pi_T"] & \\
 & M &
\end{tikzcd}

Ici on a $M = L_1 \otimes L_2$. Considérons \[ \rho : E_1 \otimes E_2 \to L_1 \otimes L_2, \qquad \rho = \pi_{E_1} \otimes \pi_{E_2}, \] i.e. \[ \rho(x_1 \otimes x_2) = (\underbrace{\chi x_1 - \psi_1(x_1)T_1}_{\pi_{T_1}(x_1)}) \otimes (\underbrace{\chi(x_2) - \psi_2(x_2)T_2}_{\pi_{T_2}(x_2)}). \] Si $x_1 = u_1 \in L_1$, on trouve (comme $\psi_1(x_1) = 0$) $\chi u_1$

70\[ \text{\struck{$\rho(u_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes u_2) = \chi u_1 \otimes \chi(x_2)$}} \] \[ \rho(u_1 \otimes x_2) = \chi u_1 \otimes (\chi(x_2) - \psi_2(x_2)T_2) \] Mais on voit qu'il faut prendre \[ \mu_{E_1,E_2}(u_1 \otimes x_2) \overset{\mathrm{def}}{=} u_1 \otimes (\chi x_2 - \psi_2(x_2)T_2) \] (${}^{*}$) il faut prendre donc $\sigma = \chi\,\mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}$ pour avoir commutativité du côté $L_1 \otimes E_2 \subset E_1 * E_2$, et de même $E_1 \otimes L_2$. On y gagne !

Mais […] $\pi_T$ soit ${}^{*}$ C'est ce qu'il fallait pour que […] soit une $\chi$-trivialis. […] […]

Si $\chi$ est régulier sur […] $L_1 \otimes L_2$ (p.ex. $\chi$ régulier dans $\mathcal{O}$ et $L_1$, $L_2$ plats sur $\mathcal{O}$, donc $L_1 \otimes L_2$ plat aussi …) alors on peut définir $T$ par \[ \chi T = \mu'(T_1 \otimes T_2) \overset{\mathrm{def}}{=} T_1 * T_2 \] i.e. \[ T = \frac{1}{\chi}\, T_1 * T_2 \qquad (!) \]

Considérons En effet considérons \[ \pi_T : E \to L_1 \otimes L_2, \qquad x \mapsto \chi x - T\psi(x), \qquad \text{d'où } T\psi(x) = \chi x - \pi_T(x). \] suivent trois lignes biffées (« posons $x = T_1$ … », « $\chi\pi_T$ … ») ; à droite : Faisons $x = T_1 * T_2$, d'où $\psi(x) = \psi(T_1)\psi(T_2) = \chi^2$, d'où \[ \chi^2 T = \chi T_1 * T_2 - \underbrace{\pi_T(T_1 * T_2)}_{\pi_{T_1}(T_1) \otimes \pi_{T_2}(T_2) = 0} \] le bas de la page est barré de grands traits obliques : Soient $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$, i.e. $\psi_1(x_1) = 1$, $\psi_2(x_2) = 1$, posons $x = x_1 * x_2$, on trouve \[ \text{\struck{$T = \chi\, x_1 * x_2 - \pi_T(x_1 * x_2)$,}} \qquad \text{\struck{$\pi_T(x_1 * x_2) = (\chi x_1 - T_1)(\chi x_2 - T_2)$}} \]

71Faisons $x_1 = \frac{1}{\chi}T_1$, $x_2 = \frac{1}{\chi}T_2$ (!), on trouve \[ \text{\struck{$T = \chi\bigl(\tfrac{1}{\chi}T_1\bigr) * \bigl(\tfrac{1}{\chi}T_2\bigr) - \ldots$}} \qquad \text{\struck{$= \tfrac{1}{\chi}\, T_1 * T_2$}} \] Faisons $x = T_1 * T_2$, d'où \[ \chi^2 T = \chi\, T_1 * T_2 \] d'où en divisant par $\chi$ \[ \boxed{\chi T = T_1 * T_2} \]

NB L'application \[ E_1 \times E_2 \to E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2, \qquad (x_1, x_2) \mapsto x_1 \otimes x_2,\ x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2 \] applique \[ P_1 \times P_2 \to P = \psi^{-1}(1). \]

On aura si $x_1 \in \Gamma P_1$, $u_1 \in \Gamma L_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$, $u_2 \in \Gamma L_2$ : \[ (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = \underbrace{x_1 * x_2}_{\in\, \Gamma P} + \underbrace{u_1 * x_2 + x_1 * u_2 + u_1 * u_2}_{\in\, \Gamma(L_1 \otimes L_2)}, \qquad u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2, \] \[ = x_1 * x_2 + \bigl[u_1 \otimes (\overbrace{\chi x_2 - \psi(x_2)T_2}^{-b_2}) + (\overbrace{\chi x_1 - \psi(x_1)T_1}^{-b_1}) \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2\bigr] \] \[ \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + (-u_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2) \\ \qquad = x_1 * x_2 + (-u_1 \otimes b_2 - b_1 \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2) \end{array}} \] où $b_1$, $b_2$ sont les éléments de $L_1$, $L_2$ qui définissent $T_1$, $T_2$ en termes de $x_1$, $x_2$ : \[ T_1 = \chi x_1 + b_1, \qquad T_2 = \chi x_2 + b_2 . \]

NB $x_1 = (0,1)$, $\chi x_1 = (0,\chi)$, $T_1 = (b_1,\chi)$, $\chi x_1 - T_1$ $\chi x_1 - T_1 = (-b_1, 0)$ NB Si […] une base de $L_1$ […] plusieurs notes obliques, à gauche et à droite de l'encadré, y renvoient par des flèches ; on n'en lit que des bribes (« conjugués », « coïncident »).

72identifiant $E$ à $L_1 \otimes L_2 \oplus \mathcal{O}_X$ grâce au scindage $x_1 * x_2$, on trouve, par un calcul immédiat${}^{(*)}$, \[ T = \text{\struck{$\ldots$}}\ \chi(x_1 * x_2) - b_1 \otimes b_2 \]

${}^{*}$ NB $\pi_T(x_1 * x_2) = \chi x_1 * x_2 - T$, donc $T = \chi x_1 * x_2 - \pi_T(x_1 * x_2)$. Or $\pi_T(x_1 * x_2) = \pi_{T_1}(x_1) \otimes \pi_{T_2}(x_2)$ $\forall\, x_1 \in E_1$, $x_2 \in E_2$

Re NB : on vérifie aussitôt que ça ne change pas (en remplaçant $x_1$ par $x_1 + u_1$, $x_2$ par $x_2 + u_2$, $u_1 \in \Gamma L_1$, $u_2 \in \Gamma L_2$) — attention au signe ! Pour éliminer le signe, il faudrait poser \[ \left\{\begin{array}{lll} b_{T_1,x_1} = -b_1 & \text{i.e.} & b_{T_1,x_1} = \chi x_1 - T_1 = \pi_{T_1}(x_1) \\ b_{T_2,x_2} = -b_2 & \text{i.e.} & b_{T_2,x_2} = \chi x_2 - T_2 = \pi_{T_2}(x_2) \\ b_{T,x_1 * x_2} = -b & \text{i.e.} & b = \chi x_1 * x_2 - T = \pi_T(x) \quad (x = x_1 \otimes x_2) \end{array}\right. \] et on trouve \[ \text{\struck{$b$}}\ b = -b_{T,x_1 * x_2} = -b_1 \otimes b_2 = -b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2} \] d'où \[ \boxed{b_{T,x_1 * x_2} = b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2}} \] On trouve donc \[ T = \chi \cdot (x_1 * x_2) - \underbrace{b_{T,x_1 * x_2}}_{b_{T_1,x_1} \otimes b_{T_2,x_2}} \]

Formulaire récapitulatif pour ce formalisme

\[ (x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2 : E_1 \times E_2 \to E_1 * E_2, \] où $E_i$ ($i = 1, 2$) est l'enveloppe affine universelle d'un torseur $P_i$ sous un module […] $L_i$, muni d'une donnée de $\chi$-trivialisation ($\chi \in \Gamma(X, \mathcal{O})$ donné !) \[ \pi_i : P_i \to L_i \] (satisfaisant la définition de « $\chi$-trivialisation ») \[ \pi_i(x_i + u_i) = \pi_i(x_i) + \chi u_i, \qquad x_i \in \Gamma P_i,\ u_i \in \Gamma L_i . \]

73On peut aussi considérer l'extension linéaire de $\pi_i$ : \[ E_i \to L_i \] et alors la condition précédente signifie simplement que \[ \pi_i(u_i) = \chi \cdot u_i \qquad \text{si } u_i \in L_i \subset E_i . \]

Ceci posé, on a les formules fondamentales suivantes.

① bilinéarité de $x_1 * x_2$ (i.e. correspond à une appli. lin. $\boxed{E_1 \otimes E_2 \to E}$)

② $\boxed{\psi(x_1 * x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)}$ (compatibilité aux augmentations), où \[ E_1 \xrightarrow{\psi_1} \mathcal{O}, \qquad E_2 \xrightarrow{\psi_2} \mathcal{O}, \qquad E = E_1 * E_2 \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \] sont les augmentations. En particulier, $*$ induit \[ P_1 \times P_2 \to P, \quad (x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2 \qquad (\text{où } P_i = \psi_i^{-1}(\{1\}),\ P = \psi^{-1}(\{1\})) \] induit par $*$.

③ \[ \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * x_2 = x_1 * x_2 + u_1 \otimes \pi_2(x_2) \\ x_1 * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + \pi_1(x_1) \otimes u_2 \end{array}} \qquad x_i \in \Gamma E_i,\ u_i \in \Gamma L_i \] d'où \[ \boxed{\begin{array}{l} (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + u_1 \otimes \pi_2(x_2) + \pi_1(x_1) \otimes u_2 \\ \qquad + \chi\, u_1 \otimes u_2 \end{array}} \] […] ③ […] $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$ […] note oblique en marge gauche, reliée à ③ par une flèche ; presque entièrement illisible.

Ces formules résultent de la bilinéarité + \[ \boxed{\begin{array}{l} u_1 * x_2 = u_1 \otimes \pi_2(x_2) \\ x_1 * u_2 = \pi_1(x_1) \otimes u_2 \end{array}} \] lesquelles lesquelles donnent chacune (une fois $x_2 = u_2$ ou $x_1 = u_1$) \[ \boxed{u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2}, \] compte tenu de $\pi_1(u_1) = \chi u_1$, $\pi_2(u_2) = \chi u_2$.

74④ Relation entre $\pi_i$, $T_i$ : \[ \boxed{\pi_i(x) = \chi x - T_i} \] remarque […] équivalence des $\chi$-trivialisations […] ${}^{*}$

⑤ Description de la $\chi$-trivialisation de $E$ \[ \boxed{\pi_E(x_1 * x_2) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)} \] Si $x_2 = u_2 \in \Gamma L_2$, on a ($x \overset{\mathrm{def}}{=} x_1 * x_2 =$) $x_1 * u_2 = \pi_1(x_1) \otimes u_2 \in \Gamma(L_1 \otimes L_2)$, et le premier membre doit donner \[ \chi x = \chi\, \pi_1(x_1) \otimes u_2, \] le […] second donne $\pi_1(x_1) \otimes \chi u_2$ puisque $\pi_2(u_2) = \chi u_2$, et c'est OK. Idem pour $x_1 = u_1$, $x_2$ quelc.

Cas où on a, pour $x_1 \in \Gamma P_1$, $x_2 \in \Gamma P_2$ \[ \pi_E(x_1 * x_2) = (\underbrace{\chi x_1 - T_1}_{b_1}) \otimes (\underbrace{\chi x_2 - T_2}_{b_2}) = \chi\, x_1 \otimes x_2 - T \] donc \[ \boxed{T = \chi(x_1 * x_2) - b_1 \otimes b_2} \] où \[ b_i = \pi_E(x_i) = \chi x_i - T_i . \]

Vérifions \[ \boxed{\chi T = T_1 * T_2}, \qquad T_1 = \chi x_1 - b_1,\quad T_2 = \chi x_2 - b_2 . \] Le 2[e] membre est \[ \chi^2 x_1 * x_2 - \chi\,\underbrace{\pi_1(x_1)}_{(\chi x_1 - T_1) = b_1} \otimes b_2 - \chi\, b_1 \otimes \underbrace{\pi_2(x_2)}_{(\chi x_2 - T_2) = b_2} + \underbrace{b_1 * b_2}_{\chi\, b_1 \otimes b_2} \] \[ = \chi^2 x_1 * x_2 - \chi\, b_1 \otimes b_2 = \chi(\overbrace{\chi\, x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2}^{T}), \] c'est donc bien le produit par $\chi$ de $\chi T$, OK.

NB Si on définit […] $x_1$, $x_2$ : $E_1 \simeq L_1 \oplus \mathcal{O}$, $E_2 \simeq L_2 \oplus \mathcal{O}$, $E \simeq \underbrace{L_1 \otimes L_2}_{L} \oplus \mathcal{O}$, $(u_1,\lambda_1) \mapsto \lambda_1 x_1 + u_1$, $(u_2,\lambda_2) \mapsto \lambda_2 x_2 + u_2$, $(u,\lambda) \mapsto \lambda\, x_1 * x_2 + u$, on aura donc $(u_1,\lambda_1) * (u_2,\lambda_2) = (\lambda_1 b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes \lambda_2 b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2,\ \lambda_1\lambda_2)$ note oblique dans la marge droite, reliée à l'encadré de $T$.

75$P = P_1 * P_2$ (comme solution d'un pb universel) ($P_i$ torseur $\chi$-trivialisé, sous module $L_i$).

On s'intéresse aux torseurs $\Pi$ sous un module $M$, et aux applications \[ P_1 \times P_2 \xrightarrow{f} \Pi \] (qui ne soient que « bi-affines » compatibles avec les $\chi$-trivialisations données $\pi_1$, $\pi_2$ de $P_1$, $P_2$) qui satisfont la condition suivante : \[ (*) \qquad \exists\ L_1 \times L_2 \xrightarrow{\alpha} M, \text{ application bilinéaire,} \] telle qu'on ait \[ \left\{\begin{array}{l} f(x_1 + u_1, x_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(u_1, \pi_2(x_2)) \\ f(x_1, x_2 + u_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(\pi_1(x_1), u_2) \end{array}\right. \] (d'où \[ f(x_1 + u_1, x_2 + u_2) = \alpha(x_1, x_2) + \alpha(u_1, \pi_2(x_2)) + \alpha(\pi_1(x_1), u_2) + \chi\, \alpha(u_1, u_2)\text{)} \] le premier terme des seconds membres se lit $\alpha(x_1, x_2)$, où l'on attend $f(x_1, x_2)$ ; chaque autre $\alpha$ est écrit sur une majuscule ($B$ ?) biffée.

Cela signifie aussi que $\alpha$ est connu ⌜(uniquement de $B$)⌝ pourvu qu'on connaisse $f$ sur un couple $(x_1, x_2)$ de sections, et qu'il est donné par la formule précédente. On trouve que $\alpha$, $B$ […] ⌜$E_1 \otimes L_2$, $\alpha$, $B$⌝ […] unique (car $(E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \to L_1 \otimes L_2$ n'est pas uniq. surjectif), et on a défini une « application bi-affine » comme un couple $(f, \alpha)$, satisfaisant les conditions des relations ci-dessus.

76Ceci posé, \[ (P_1 * P_2,\ P_1 \times P_2 \xrightarrow{*} P_1 * P_2) \] est une solution du pb universel défini par cette notion (pour $M$, $\Pi$ variables …). Si on veut de plus définir $P_1 * P_2$ comme un torseur $\chi$-trivialisé, on […] exiger, dans la notion des « applications bi-affines compatibles avec les $\chi$-trivialisations » (non seulement de $P_1$, $P_2$, mais aussi de $\Pi$), que l'on ait \[ \pi_{\Pi}(f(x_1, x_2)) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2) \] et on trouve encore une solution de ce problème universel par le torseur $\chi$-trivialisé $P_1 * P_2$.

Mais on avait oublié d'expliciter la notion de morphisme de torseurs $\chi$-trivialisés, \[ P \xrightarrow{f} P', \qquad M \xrightarrow{f_0} M' . \] On exige \[ \left\{\begin{array}{ll} f(x + m) = f(x) + f_0(m) & (x \in \Gamma P,\ m \in \Gamma M) \\ \pi_{P'}(f(x)) = f_0(\pi_P(x)) \end{array}\right. \]

77Quand on interprète $P$, $P'$ en termes d'ext. de $\mathcal{O}$ par des Modules $L$, $L'$, munies de $T$, $T'$ telles que $\psi(T) = \chi$, $\psi'(T') = \chi$, la condition de compatibilité avec les $\chi$-trivialisations s'écrit simplement \[ f(T) = T' . \]

Cas scindé. Un scindage d'un torseur $\chi$-trivialisé $(P, \pi)$ est, par déf., une section […] $x_0$ (i.e. trivialisation) de $P$. Alors \[ P \simeq L, \qquad u \mapsto x_0 + u \] et la donnée de la $\pi$-tri… d'où \[ E \simeq L + \mathcal{O}, \qquad (u, \lambda) \mapsto \lambda x_0 + u, \] la $\chi$-trivialisation équivaut à la donnée de l'élément \[ b\ (= b_{x_0}) = \pi(x_0) = \chi x_0 - T \] de $L$, de […] sorte qu'en termes de $b$ on trouve \[ T = \chi x_0 - b, \] ou en termes de l'iso $E \simeq L + \mathcal{O}$, \[ T = (-b, \chi). \] On aura donc, en termes de $b$, \[ \pi(\underbrace{\lambda x_0 + u}_{(u, \lambda)}) = \lambda b + \chi u . \] [Vérifions que c'est OK : $\chi x - \psi(x)T = \chi\lambda x_0 + \chi u - \lambda \underbrace{T}_{\chi x_0 - b}$, on trouve bien $\chi u + \lambda b$ OK]

78Si $P_i$ sous $L_i$, avec $\pi_i$, est scindé par $x_i$ ($i = 1, 2$), alors $P_1 * P_2$ est scindé par $x_1 * x_2$. Sa $\chi$-trivialisation est donnée par un élément $b$ de $L_1 \otimes L_2$, et on aura \[ b = b_1 \otimes b_2 . \] Il n'y a pas plus simple !

Ceci permet d'expliciter les données d'associativité, de commutativité, d'unité pour l'opération $*$. Mais en fait tautologique :

1) Commutativité. L'isom. can. de commutativité \[ E_1 * E_2 \simeq E_2 * E_1 \] transforme $x_1 * x_2$ en $x_2 * x_1$, et $u_1 \otimes u_2$ en $u_2 \otimes u_1$, ce qui suffit à le caractériser.

2) Associativité. L'iso d'ass. \[ (E_1 * E_2) * E_3 \simeq E_1 * (E_2 * E_3) \] transforme $(x_1 * x_2) * x_3$ en $x_1 * (x_2 * x_3)$ et $(u_1 \otimes u_2) \otimes u_3$ en $u_1 \otimes (u_2 \otimes u_3)$, ce qui suffit à le caractériser.

3) Unité : On appelle dit qu'un

79scindage $x_0$ d'un $P$ muni d'une $\chi$-trivialisation est « unitaire », si l'élément \[ b_0 = \pi(x_0) \] de $L$ est tel que […] $\{b\}$ soit une base de $L$. Dans ce cas : cette base, $L \simeq \mathcal{O}_X$, $b = 1$, et on aura donc \[ P_0 \simeq \mathcal{O}_X, \quad x_0 = 1, \qquad E_0 = \mathcal{O} \times \mathcal{O} = \{(u, \lambda) \mid u, \lambda \in \Gamma\mathcal{O}\} \xrightarrow{\psi} \lambda \] et \[ \left|\begin{array}{l} \pi(u, \lambda) = \lambda + \chi u \\ T = (-1, \chi) \end{array}\right. \]

Ceci posé, si $P_1$ est un torseur $\chi$-trivialisé, alors on a \[ \begin{array}{rcl} P_0 * P_1 & \simeq & P_1 \\ \mathcal{O}_0 \otimes L_1 & \simeq & L_1 \end{array} \qquad \begin{array}{l} x_1 \longmapsto x_0 * x_1 \\ u_1 \longmapsto b_0 \otimes u_1 \end{array} \] … les compatibilités entre les contraintes d'unité, d'assoc., de commutativité …

NB Un $(E, \psi, T)$ est inversible pour $*$ ssi a) $L$ inversible b) Sur $X_0 = V(\chi) \subset X$ (schéma des zéros de $\chi$), la section $T_0 = T|X_0$ de $(\chi P)_0 \simeq \chi_0 P_0 \simeq L_0$ est inversible […]. Si $(E, \psi, T)$ est scindé, et si $b \in \Gamma L$ correspond au scindage $x_0$, alors on a $T = 2\chi x - b$, donc $T_0 = -b_0$, et la condition […] que $b_0$ soit une section inversible de $L_0$ i.e. une base. […] condition […] équivaut aussi à a) $L_0$ inversible b) $\exists$ localement des scindages tels que les $b$ soient des bases de $L$. longue note oblique dans la marge gauche et le bas de la page, écrite en travers du texte ; plusieurs liaisons restent illisibles. « $T = 2\chi x - b$ » est écrit ainsi, où l'on attend $\chi x_0 - b$.

Les revêtements quadratiques : à partir de maintenant \[ \chi = 2 . \]

80Soit \[ 0 \to L \to E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0 \] une extension 2-trivialisée par $T \in \Gamma E$ telle que $\psi(T) = 2$, on va définir un automorphisme de la structure, par \[ \sigma_E : x \longmapsto \bar{x} = T\psi(x) - x \qquad (= T - x \text{ si } x \in \Gamma P_1, \text{ i.e. } \psi(x) = 1). \] On aura \[ \psi(\bar{x}) = \underbrace{\psi(T)}_{2}\psi(x) - \psi(x) = \psi(x), \] i.e. compatibilité avec l'augmentation $\psi$. On a bien aussi \[ \bar{\bar{x}} = x \qquad \text{i.e.} \quad \sigma^2 = \mathrm{id}_E, \] d'autre part \[ \bar{u} = -u \qquad \text{si } u \in L, \] donc $\sigma$ induit $-\mathrm{id}_L$ sur $L$, $\mathrm{id}_{\mathcal{O}}$ sur $\mathcal{O} \simeq E/L$. Si 2 inversible (dans $\mathcal{O}$, plus génér. si $2\,\mathrm{id}_M$ est inversible), alors on a un scindage canonique \[ E \simeq L + \text{\struck{$M$}}\ E_0, \qquad E_0 \subset E, \] où \[ E_0 = E^{\sigma} = \mathrm{Ker}(1 - \sigma) = \{x \in E \mid x = \bar{x}\} = \mathrm{Im}(1 + \sigma) = \{x + \bar{x} \mid x \in E\} \] \[ E_0 \simeq \mathcal{O}_X \quad \text{\struck{via $\psi$}} \] NB. L'élément $x_0 \in E$ tel que $\psi(x_0) = 1$ est caractérisé par $2x_0 = T$ i.e. $x_0 = \frac{1}{2}T$

Dans ce cas, […] Dans un scindage donné \[ \overline{(u, \lambda)} = (-u, \lambda) \] et \[ T = \text{\struck{$\ldots$}}\ x + \bar{x} \quad \text{pour } \psi(x) = 1, \quad \text{d'où} \quad \boxed{T = (0, 2)}, \] on aura \[ \boxed{\pi(u, \lambda) = (2u, 0)} \] l'argument se poursuit au-delà du lot.