2°. Il en résulte, par transport de structure, que pour \lambda \in \Gamma(\mathcal{O}_X^{*}) (section inversible), on a un isom. can. d'alg. quadratiques
A_Q \simeq A_{\lambda Q}
compatible avec les actions sur E. Bien sûr, il n'en est pas ainsi si on ne suppose pas \lambda inversible (prendre \lambda = 0 !).
(C'est essentiellement le lemme 2 plus haut.) Alors la structure d'Alg. sur A_Q est simplement celle induite par \underline{\mathrm{End}}(E).
2.5. Cas tot. dégénéré de la forme nulle Q \colon E \to \Delta'. Alors
A_Q = \underline{\mathcal{O}} \times \Lambda \qquad (\Lambda = \Delta \otimes L)
avec la structure d'algèbre définie par la condition que \Lambda est de carré nul, i.e.
2.6. Quand on a donné une base de E et de \Delta, donc Q est donnée par
Q(\lambda, \mu) = \alpha \lambda^{2} + \beta \lambda \mu + \gamma \mu^{2}, \qquad \alpha, \beta, \gamma \in \Gamma(\underline{\mathcal{O}}),
et on peut prendre a une base (1, u) de A_Q, où
\left|\begin{array}{l}
u^{2} - \beta u + \alpha\gamma = 0 \\
\mathrm{Tr}\, u = \beta \\
\mathrm{N}\, u = \alpha\gamma
\end{array}\right.
i.e. \beta = \mathrm{Tr}\, u. L'image de u dans \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq \mathbb{M}_2(\underline{\mathcal{O}}) est la matrice déjà envisagée
u_Q = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} .
Je ne vais pas faire l'explicitation ici.
2.6. L'exten. quadratique de X associée à A_Q mérite de s'appeler l'invariant d'Arf de la forme quadratique binaire Q. On définit un inv. d'Arf pour les formes quadratiques scalaires sur un module loc. libre de rang donné (mais en distinguant les cas du rang pair et du rang impair, pour la notion de cet invariant…).deux paragraphes portent le numéro 2.6, p. 22 et ici
3. Théorème récapitulatif
Équivalences entre Sch des schémas X :
① Structures de similitude binaires (str. fidèles) sur X, i.e. des systèmes
(E, \Delta),
où E est un Module loc. libre de rang 2 sur X, et
\Delta \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E)
un sous-Module fibré vectoriel inversible de \underline{\mathrm{Quad}}(E), i.e. un sous-module inversible et loc. facteur direct (ou encore, tel que \Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}\, E soit univ. injectif).
①' Systèmes
(E, \Delta', Q),
où E est comme dessus, \Delta' un Module inv.,
Q \colon E \to \Delta'
une forme quadratique, telle que Q soit non (identiquement) nulle sur toute fibre résiduelle.
② Systèmes
②' Systèmes (X', \Lambda') d'un rev. quadratique X' de X, et d'un Module inversible \Lambda' sur X'.
NB 1 \Leftrightarrow 1' trivial, 2 \Leftrightarrow 2' est standard par dictionnaire des spectres d'Anneaux quasi-coh. (1, 1') \Rightarrow 2 a été vu plus haut. Il faut expliciter ②' \to ①'. On prend
\left\{\begin{array}{l}
E = p_{*}(\Lambda'), \quad \text{où } p \colon X' \to X \text{ morph.\ struct.} \\
\Delta' = \mathrm{N}_{X'/X}\, \Lambda' \\
Q \colon p_{*}(\Lambda') \to \Delta' = \mathrm{N}_{X'/X}(\Lambda')
\end{array}\right.
l'application norme.
« 30 » cerclé en haut à droite, sans doute la pagination de l'auteur
Cor. 1 Ces catégories équivalent aussi à celle des systèmes
(A, P),
où A est une alg. quadratique sur X, et où P est un torseur* sous le schéma en groupes lisse sur S de dimension relative 2
W(A)^{*} = \{ S/X \mapsto \Gamma(S, A_S^{*}) \}
(où A_S désigne l'image inverse de A sur S).
* torseur pour la top. fpqc, ou pour (Zar), et cela revient au même , pour toute top. intermédiaire .
En termes des (E, Q), P est le En termes des schéma sur X des sections locales de E, telles que Q(x) soit une base de \Delta'. D'autre part, \Delta' s'explicite en termes de (A, P) comme le fibré en droites déduit du fibré principal associé
P \overset{W(A)^{*}}{\wedge} \mathbb{G}_m ,
via l'hom. norme
W(A)^{*} \xrightarrow{\mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}} \mathbb{G}_m ,
qui s'insère dans la suite exacte
1 \to \mathcal{U}_A \to W(A)^{*} \xrightarrow{\mathrm{N}} \mathbb{G}_m \to 1,
\mathcal{U}_A = schéma en groupes « unitaire » des éléments de norme 1 de A.
Cor. 2 Équiv. de cat. fibrées entre
1°) (E, Q), Q une forme quadratique binaire qui n'est nulle sur aucune fibre résid.
2°) Systèmes (A, \Pi), où A est une alg. quadratique sur S, et où \Pi est un torseur* sous le groupe unitaire \mathcal{U}_A.
* Torseur sous fpqc ou sous (ét), cela revient au même, mais la top. (Zar) n'est plus assez fine…
\Pi est le sous-schéma de \mathbb{E}un E surmonté d'un signe, sans doute le fibré vectoriel associé à E des sections locales x telles que Q(x) = 1, qui forment est bien un torseur sous \mathcal{U}_A.
NB Le rev. quadratique associé à la forme quadratique Q \colon E \to \Delta' (non nulle sur toute fibre) peut s'expliciter comme le sous-schéma de \mathbb{P}^{1}(E) défini par l'équation Q(x) = 0. Si E est considéré comme Module inv. sur l'Algèbre quadratique A, le morphisme
\mathrm{Spec}(A) \hookrightarrow \mathbb{P}^{1}(E)
correspondant
pour tout hom. d'algèbres A \to \underline{\mathcal{O}}, le noyau J \subset A est un sous-fibré vectoriel de rang 1 ( suppl. de \underline{\mathcal{O}} \cdot 1_A) (cet inconvénient)lecture très douteuse de cet ajout interlinéaire sur lequel \mathrm{N}_{A/\mathcal{O}} est nulle, et D = J.E est donc un sous-fibré en droites de E tel que Q \,|\, D = 0. Inversement, tout sous-fibré en droites de E ayant cette propriété provient d'une section unique de X' sur X. (Pour le vérifier, OPS E = A, et Q la norme, et c'est alors immédiat.)
4. La notion de structure de similitude sur E, et la distinction de celles qui sont fidèles, str. fidèles, non dégénérées, « ne dépend que de E modulo tensorisation par un module inv. », donc ne dépend que de l'algèbre d'Azumaya M associée,
M = \underline{\mathrm{End}}(E),
de rang 4 sur E. Si on part d'une telle M, la donnée d'une structure de similitude équivaut relatif : un Module à celle d'un sous-Module loc. monogène \Delta de
M / \underline{\mathcal{O}}\, 1_M \overset{\mathrm{df}}{=} \Sigma(M),
(qui joue le rôle du Module des formes quadratiques).
Le cas fibré rev. quadratique associé de X, qui peut s'interpréter comme l'intersection de
\check{\mathbb{P}}(A) \hookrightarrow \check{\mathbb{P}}(M)
(où A \supset \underline{\mathcal{O}}.1_M est le sous-Anneau de M image inverse de \Delta) avec la quadrique
Q \subset \check{\mathbb{P}}(M)
définie par l'équation \mathrm{Nr}_{M/\mathcal{O}}(x) = 0, où \mathrm{Nr} désigne la norme réduite. (C'est tautologique, la norme réduite induit sur A celle de A.)
Que devient le A-Module inv. E, i.e. le \underline{\mathcal{O}}_{X'}-Module inversible \Lambda, de la théorie précédente ? Il D'abord, qu'il ne soit plus défini que modulo remplacement de E par E \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_X} \Theta, \Theta inv. sur X, i.e. que \Lambda sera défini modulo changement en
\Lambda \otimes p^{*}(\Theta),
où p \colon X' \to X le morphisme structural. Mais si \sigma désigne l'inv. can. de X'/X, alors \Lambda \otimes \sigma^{*}(\Lambda)^{-1} reste invariant, par changement de \Lambda en \Lambda \otimes p^{*}(\Theta). D'autre part,
on a
\mathrm{N}(\Lambda \sigma(\Lambda)^{-1}) \simeq \mathrm{N}(\Lambda)\bigl(\mathrm{N}(\sigma(\Lambda))\bigr)^{-1} \simeq \underline{\mathcal{O}} ,
pour ce dernier fait que
\mathrm{N}(\sigma(\Lambda)) \simeq \mathrm{N}(\Lambda) \quad \text{canoniquement.}
Donc on s'attend : trouver un A-Module loc. libre, une restriction du groupe structural de W(A)^{*} à \mathcal{U}(A), schéma en groupes des sections locales de A de norme 1.
Les A-Modules qui se proposent à la vue est évidemment M/A, lequel est bien loc. libre de rang 1 sur A, si A est un sous-fibré de M vect. de rang 2 (cas « str. fidèle »). Mais Dans le cas où M = \underline{\mathrm{End}}(E), il faudrait voir qu'on a un « iso. à scalaire près » canonique
E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/A
(iso. de A-modules, mais le « scalaire près » réfère à une section de \underline{\mathcal{O}}_X^{*}…), on trouve bien nos deux schémas
\text{\struck{$\check{\mathbb{P}}(E) \simeq \mathbb{P}(\underline{\mathrm{End}}(E)^{+}/A)$}}
on trouve (comme
\text{\struck{$\mathbb{P}(E) \simeq \{$droites vect.\ $D$ dans $\underline{\mathrm{End}}(E)^{+}$ telles que $\mathrm{N}(D) = 0\}$,}}
\text{\struck{$D \mapsto D^{\perp} \otimes D$),}}
où \underline{\mathrm{End}}^{+} désigne le sous-Module des endom. de trace nulle
la fin de la page, depuis « on trouve », est barrée de traits obliques, la note marginale comprise ; un trait vertical en pointillés court le long de la marge gauche
il s'agit de dire une iso. can.
\mathbb{P}(\underline{\mathrm{End}}(E)/A) \simeq C,
NB en termes de E cependant, mais en termes de A \subset M seulement, un
Or on a sur \underline{\mathrm{End}}(E) deux structures de A-module, la gauche et la droite, échangées par l'antiinvolution canonique
u \mapsto \mathrm{Tr}(u) - u \qquad (\mathrm{Tr} = \text{trace réduite})
et on a donc égalité des modules déterminants,
On dérive que l'iso
\check{E}^{\otimes_A 2} \otimes_h \check{L} \simeq \check{E}^{\otimes_A 2} \otimes_h L
i.e.
\check{E}^{\otimes_A 2} \simeq E^{\otimes_A 2} \otimes_h L^{\otimes_h (-2)}
la première formule est lue telle quelle ; le membre de gauche porte une surcharge, et la comparaison avec p. 30 suggère E^{\otimes_A 2}
est déduit de l'iso can. (qui respecte les structures de A-modules)
\check{E} \simeq E \otimes_h L^{\otimes_h (-1)}
en base de ce A-module mod. sections provenant de \mathcal{O}^{*}. Or il n'y a pas de canonique, visiblement, connu, et c'est le seul connu qu'il faudrait envisager à savoir…
En rectifiant le tir, on trouve le A-module
E \otimes_A (\check{E})^{\otimes_A -1} \simeq M/\text{\struck{\ill{}}}\,M^{\natural}
le signe en exposant de M ressemble à un bécarre ; il est transcrit M^{\natural}
qui est inv. sur \underline{\mathcal{O}}, où M^{\natural} est défini localement sur X par le choix d'une base (1, u) de A, via
\varphi_u \colon M \to M, \qquad \text{\struck{$\theta$}}\ \theta \mapsto u\theta - \theta\bar{u},
NB \varphi_u est A-linéaire pour les structures de A-modules sur M
la note marginale est écrite en biais dans la marge gauche
(NB{}_2 \varphi_u dépend linéairement de u, et \varphi_1 = 0, donc on \varphi_u ne dépend que de la section image de u dans \check{\Lambda} \simeq A/\underline{\mathcal{O}} M défini par u…), gauche de M). Il faudrait maintenant définir sur \Delta une forme quadratique non triviale canonique, plus précisément un iso.
\mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}(\Delta) \simeq \underline{\mathcal{O}} .
Notons sur M l'autodualité donnée par
\langle \theta, \theta' \rangle \overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Tr}\, \theta\bar{\theta}' = \mathrm{Tr}\, \theta'\bar{\theta}
donc, si \lambda_u, \gamma_u sont les opérations de la multiplication par u à g. et à dr.
\lambda_u \theta = u.\theta, \qquad \gamma_u \theta = \theta u,
on a
{}^{t}\lambda_u = \lambda_{\bar{u}}, \qquad {}^{t}\gamma_u = \gamma_{\bar{u}}
donc la transposée de sur h de \mathrm{Coker}\, \varphi_u s'identifie à \mathrm{Ker}\, {}^{t}\varphi_u = \mathrm{Ker}\, \varphi_{\bar{u}} = \mathrm{Ker}\, (-\varphi_u) (= \mathrm{Ker}\, \varphi_u). Donc modulo Module inv. sur \underline{\mathcal{O}}, \mathrm{Coker}\, \varphi_u s'identifie, en tant que A-Modules, au dual sur A de \mathrm{Ker}\, \varphi_u.
Soit
B \subset M, \qquad B = \{\theta \in \Gamma M \mid \bar{u}\theta - \theta u = 0\}
pour une section locale de A qui forme base de A avec 1, donc pour toute section de A
On a
B \cap M^{*} = \{\theta \in \Gamma M^{*} \mid \theta \text{ normalise } A^{*} \text{ (ou $A$), et induit sur $A$ l'invol.\ can.\ } \sigma\}
On voit donc que
B \cap M^{*} \text{ est un \add{pseudo-}torseur sous } \mathrm{Cent}_{M^{*}}(A) = A^{*} ;
l'égalité \mathrm{Cent}_{M^{*}}(A) = A^{*} est écrite en exposant puis répétée en dessous
Et c'est un torseur ssi \exists section loc. partout. Mais
Dém. OPS A = \mathcal{O}[u]/(u^{2} + bu + c), et un automorphisme \theta de la forme envisagée. Doit transformer u en
u' = \bar{u} + \alpha.1_A \qquad \alpha \in \Gamma\underline{\mathcal{O}}
(puisque u' \equiv \bar{u} \equiv -u \bmod \underline{\mathcal{O}}.1_A), avec
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{Tr}(u') = \mathrm{Tr}(u) \ (= -b) \\
\mathrm{N}(u') = \mathrm{N}(u) \ (= c)
\end{array}\right.
Sauf la condition que \theta soit autre que l'identité sur un de X, qui \theta , point, s \in X_0…
note marginale écrite en biais dans la marge gauche, en grande partie illisible ; un trait la rattache au paragraphe suivant
que \alpha_s \in \mathfrak{m}_s = rad \underline{\mathcal{O}}_{X,s} — disons, le corps résiduel k(s),
donc \alpha(s)(\alpha(s) - b(s)) = 0, mais par hypothèse A(s) étale i.e. b(s) \neq 0, donc on doit avoir ou bien \alpha(s) = 0, ou bien \alpha(s) = b(s);
ce passage est barré de traits obliques ; un trait le relie à la suite, qui le remplace
\alpha_s serait inversible, et on aurait, à cause de la relation \alpha(\alpha - b) = 0, \alpha_s - b_s = 0 i.e. \alpha_s = b_s, Mais i.e. \alpha = b au voisinage de s, donc et comme 2\alpha = 0 on aurait 2b = 0, donc comme b_s est inversible (car A étale en s, et s \in X_0), 2. serait 1_X serait nul au voisinage de s i.e. X de car. 2.
la symétrie \sigma_e dont parle cette page est définie p. 36 ; les deux feuillets semblent intervertis, ou la page reprend un argument antérieur au lot
Définition \sigma_e s'appelle symétrie p.r. à la droite D, comme \sigma est un automorphisme de A pour la structure qu'il définit par la norme, \sigma_e est un automorphisme de la structure quadratique de E_x par Q, a fortiori un automorphisme de la structure de similitude.
Prop. Supposons qu'en tout point de X_0 = V(2.1_{\mathcal{O}_X}), i.e. tout pt de car. résid. 2, la structure de similitude donnée sur E soit non dég. (i.e. A soit étale sur \underline{\mathcal{O}} en ce point). Alors pour toute droite totalement non isotrope D \subset E, \sigma_D est l'unique automorphisme \theta de la structure de similitude \Sigma (ou, ce qui revient au même, de la structure quadratique, quand \Sigma est donnée par une forme quadratique Q) telle qui induise \mathrm{id} sur D, -\mathrm{id} sur E/D, et qui NB soit A_x s \in S. (Cette dernière condition n'est nécessaire qu'en points de X - X_0.)*
identité .
* Ceci équivaut aussi (car \det \theta = -1 \theta \,|\, D = \mathrm{id}_D)
Cor. Soit A algèbre quadratique sur X, supposons qu'en tout x \in X_0, A soit étale en x. Alors l'involution canonique est le seul automorphisme d'alg. de A qui induise -\mathrm{id} sur A/\underline{\mathcal{O}}.1_A.
Alors
f \colon A \to E, \qquad u \mapsto u.e
est un iso respectant les structures quadratiques
Q(f(u)) = Q(u.e) = \mathrm{N}(u)\, \underbrace{Q(e)}_{1} = \mathrm{N}(u)
Plus généralement, Q(u.x) = \mathrm{N}(u)\, Q(x) (u \in \Gamma A, x \in \Gamma(E))
la note marginale est écrite en biais à gauche, reliée par un trait à Q ; « Alors », écrit au-dessus, semble remplacé
par quoi la structure d'alg. de A est transformée quadratique en l'unique str. d'Alg. sur \underline{\mathcal{O}}, admettant e pour section unité, et Q comme fonction quadratique Norme. La symétrie cherchée \sigma_D peut être définie, par transport de structure, comme déduite de l'inv. canonique \sigma de A
\sigma \colon A \to A, \qquad \sigma(u) = \mathrm{Tr}(u) - u .
Donc on aura, par définition (posant \sigma_e = \sigma_{\underline{\mathcal{O}}e} = \sigma_D)
\sigma_e(ue) = \bar{u}.e
On va donner une description équivalente, par
\sigma_e(x) = \varphi_Q(e, x)\,e - x
où \varphi_Q est la forme bil. symétrique associée à Q. Cette formule ne fait que traduire celle pour A, \sigma(u) = \mathrm{Tr}(u) - u, compte tenu que
\mathrm{Tr}(u) = \varphi_{\mathrm{N}}(u, 1) .
Avec la notation du « produit scalaire » (quand 2 est inversible sur X), on aura \varphi_Q(e, x) = (e.x), et on peut écrire
\sigma_e(x) = 2(e.x)\,e - x
le membre de gauche est surchargé ; le « 2 » devant (e.x) est repassé à l'encre plus épaisse
cette page et la suivante ne continuent pas p. 36 ; la fin de p. 37 (« telle que Q(e) = 1 ») est reprise en tête de p. 36, et p. 38 achève la démonstration de p. 34 : l'ordre des feuillets du fonds n'est pas celui de la rédaction
J'ai dit Le torseur en question provient d'un torseur \Pi sous
4.2. Relation avec les symétries.
Soit (E, \Delta', Q), Q \colon E \to \Delta', une structure de similitude str. fidèle. Soit D un sous-fibré en droites de E, tot. non isotrope i.e. Q \,|\, D est non nul sur chaque fibre. Je vais définir un automorphisme
\sigma_D \colon E \xrightarrow{\sim} E
de E (pour sa structure de similitude), induisant \mathrm{id}_D sur D, -\mathrm{id} sur E/D. Quitte à tensoriser E par D^{-1}, OPS D muni d'une section base e, et profiter de celle-ci pour prendre une base Q(e) dans \Delta', donc OPS que Q est défini par une fonction quadratique scalaire
Q \colon E \to \underline{\mathcal{O}}
telle que
Q(e) = 1 .
suite de la démonstration de p. 34
au voisinage de s. Donc, au voisinage
u' = \underbrace{\bar{u}}_{-b-u} + b = \text{\struck{$(\mathrm{Tr}(u)1 - u)$}}\ -u = u
et donc on aurait \theta = \mathrm{id} au voisinage de s, contrairement à l'hypothèse.
Donc on conclut \alpha_s \in \mathfrak{m}_s, mais alors, comme b_s \notin \mathfrak{m}_s,
NB En car. 2, dans le cas non étale, l'exemple typique est A = \underline{\mathcal{O}}[u]/(u^{2}). Les automorphismes de A (induisant -\mathrm{id} sur A/\underline{\mathcal{O}}.1) donnés (i.e. \mathrm{id} en car. 2) sont donnés par
\theta_{\lambda, \alpha} \colon u \mapsto \lambda u + \alpha \qquad \lambda \in \Gamma\, \mathcal{O}^{*},\ \alpha \in \Gamma\, \underline{\mathcal{O}}
avec
\left\{\begin{array}{l}
2\alpha = 0 \\
\alpha^{2} = 0
\end{array}\right.
en car. 2, se réduit à :
\alpha^{2} = 0 .
Les automorphismes qui induisent -\mathrm{id}_{A/\mathcal{O}.1} sont ceux de la forme
u \mapsto -u + \alpha \qquad (\text{avec } 2\alpha = 0,\ \underline{\underline{\alpha^{2} = 0}}),
donc en car. 2 ceux de la forme u \mapsto u + \alpha avec \alpha^{2} = 0.
Donc l'involution est la seule qui identité 2,0 -1 \mathrm{id}
note marginale écrite en biais dans la marge gauche, sur plusieurs lignes, en grande partie illisible
Soit (E, \Delta, Q) une str. de similitude str. fid., D \subset E droite tott non isotrope, d'où l'automorphisme \sigma_D \in \Gamma\, \underline{\mathrm{End}}(E)^{*}. Le fait que \sigma_D soit un automorphisme de la structure de similitude signifie
signifie que
\underbrace{\mathrm{int}(\sigma_D)}_{\substack{\text{autom.\ de } \underline{\mathrm{End}}(E)\\ \theta \mapsto \sigma_D \theta \sigma_D^{-1}}} \text{ transforme } \underset{\underline{\mathrm{End}}(E)}{\overset{}{A}} \text{ en lui-même},
sous A est écrit \cap\ \underline{\mathrm{End}}(E) : A est vu comme sous-Algèbre de \underline{\mathrm{End}}(E)
et y est l'inv., plus précisément
\boxed{\sigma_D u \sigma_D^{-1} = \bar{u}} \qquad \text{pour } u \in \Gamma A .
Pour le prouver, OPS E = A, \Delta = \underline{\mathcal{O}}, Q = \mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}, D = \underline{\mathcal{O}}.1, et on est ramené à prouver que
\sigma \mu_u \sigma^{-1} = \mu_{\bar{u}}
où \mu_u \in \Gamma\, \underline{\mathrm{End}}(A) est défini par \mu_u x = ux. La formule équivaut alors :
\overline{u\bar{x}} = \bar{u}\, x \qquad \text{OK.}
Proposition (E, \Delta, Q), ou encore (E, A \subset \underline{\mathrm{End}}(E)) similitude str. fid. Soit
\Pi = W(\underline{\mathrm{End}}(E))^{*}
\overset{\shortparallel}{\{}\theta \text{ sections locales de } \underline{\mathrm{End}}(E) \text{ dans } \mathrm{Sch}_{/X} \mid \theta \text{ normalise } A, \text{ induit } \sigma \text{ sur } A \text{ et } \det\theta = -1\},
Alors et soit
Alors
a) M est un sous-fibré vectoriel de rang 2 de \underline{\mathrm{End}}(E), qui est un sous-A-Module à gauche et à droite. Les deux structures gauche et droite sont reliées par
u\theta = \theta\bar{u}, \qquad \text{pour } \theta \in \Gamma M,\ u \in \Gamma A
(elles se déterminent donc mutuellement …). Le A-Module M (à gauche ou à droite) est loc. libre inv. (comme ).
b) \Pi est formé des sections \theta de M telles que
\mathrm{N}(\theta) = -1 .
Il forme un torseur* sous \mathrm{S}W(A) \subset W(A)^{*}, le groupe schéma en groupes des x \in \Gamma A telles que \mathrm{N}(x) = 1, par l'opération de multiplication : g. (ou à droite, par celle à droite).
* NB Ce torseur est trivial (Zar.)
Dém. OPS E = A = \underline{\mathcal{O}}[u]/(u^{2} + bu + c). Alors W est défini comme le de \underline{\mathrm{End}}
c) Considérons
\underset{\overset{\cup}{X'}}{P} = \mathbb{P}(E), \qquad P^{*} = P - \underset{\mathrm{Spec}(A)}{\overset{\shortparallel}{X'}}
le fibré des droites tott non isotropes de A. W(A)^{*} opère sur P^{*} grâce à son opération sur E, où u \in \Gamma\, W(A)^{*} définit la transformation D \mapsto u.D (NB \mathbb{G}_m = W(\underline{\mathcal{O}})^{*} \subset A^{*} opère trivialement donc c'est W(A)^{*}/\mathbb{G}_m qui opère…), d'où application une application équivariante canonique
\begin{array}{rcl}
P^{*} & \xrightarrow{f} & \Pi \\
D & \longmapsto & \sigma_D
\end{array}
l'argument se poursuit au-delà du lot