Cote n° 84, pages 21–40

Cote n° 84 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration

21la page s'ouvre sur un N.B. dont les points se rapportent à la construction de l'algèbre $A_Q$ attachée à un triple $(E, \Delta, Q)$, faite avant le début du lot NB 1°. La corr. $(E, \Delta, Q) \mapsto \{A_Q,$ $A_Q \to \underline{\mathrm{End}}(E)$$\}$ est fonctorielle ⌜(pour les iso)⌝, et l'hom. (pour mon. inj.) \[ A_Q \to \underline{\mathrm{End}}(E) \] est fonctoriel. De plus, ces constructions commutent aux changements de base.

2°. Il en résulte, par transport de structure, que ⌜pour $\lambda \in \Gamma(\mathcal{O}_X^{*})$ (section inversible), on⌝ a un isom. can. d'alg. quadratiques \[ A_Q \simeq A_{\lambda Q} \] compatible avec les actions sur $E$. Bien sûr, il n'en est pas ainsi si on ne suppose pas $\lambda$ inversible (prendre $\lambda = 0$ !).

3°) Conditions équivalentes :

a)$A_Q \to \underline{\mathrm{End}}(E)$ univ. inj. (i.e. inj. sur chaque fibre) ;
b)$Q$ non nulle sur aucune fibre résiduelle ;
c)$\Delta \xrightarrow{Q} \underline{\mathrm{Quad}}(E)$ est univ. injectif ;
d)$\Sigma Q$ est structure fidèle.

(C'est essentiellement le lemme 2 plus haut.) Alors la structure d'Alg. sur $A_Q$ est simplement celle induite par $\underline{\mathrm{End}}(E)$.

2.5. Cas tot. dégénéré de la forme nulle $Q \colon E \to \Delta'$. Alors \[ A_Q = \underline{\mathcal{O}} \times \Lambda \qquad (\Lambda = \Delta \otimes L) \] avec la structure d'algèbre définie par la condition que $\Lambda$ est de carré nul, i.e.

22\[ A_Q \simeq \mathrm{D}\ill{}^{*}_{\underline{\mathcal{O}}}(\Lambda) . \] le nom de l'algèbre n'est pas lu ; d'après la phrase précédente il s'agit de l'algèbre des nombres duaux sur $\Lambda$, $\underline{\mathcal{O}} \oplus \Lambda$ avec $\Lambda^{2} = 0$ L'hom. \[ u_Q^{!} \colon A_Q \to \underline{\mathrm{End}}(E) \] est défini ⌜déterminé⌝ par la condition que de s'annuler sur $\Lambda$, i.e. c'est $(a, \lambda) \mapsto a$. Elle Il n'a rien d'injectif.

2.6. Quand on a donné une base de $E$ et de $\Delta$, donc $Q$ est donnée par \[ Q(\lambda, \mu) = \alpha \lambda^{2} + \beta \lambda \mu + \gamma \mu^{2}, \qquad \alpha, \beta, \gamma \in \Gamma(\underline{\mathcal{O}}), \] et on peut prendre a une base $(1, u)$ de $A_Q$, où \[ \left|\begin{array}{l} u^{2} - \beta u + \alpha\gamma = 0 \\ \mathrm{Tr}\, u = \beta \\ \mathrm{N}\, u = \alpha\gamma \end{array}\right. \] i.e. $\beta = \mathrm{Tr}\, u$. L'image de $u$ dans $\underline{\mathrm{End}}(E) \simeq \mathbb{M}_2(\underline{\mathcal{O}})$ est la matrice déjà envisagée \[ u_Q = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} . \]

Pour achever de déterminer $A_Q$ comme foncteur en $(E, \Delta, Q)$, il faut encore expliciter l'isom. de \[ A_{\alpha, \beta, \gamma} = A[u]/(u^{2} - \beta u + \alpha\gamma) \] avec \[ A_{\alpha', \beta', \gamma'} = A[u]/(u^{2} - \beta' u + \alpha'\gamma'), \] quand on passe d'un syst. de bases de $(A, \Delta)$sic, pour $(E, \Delta)$ sans doute à un autre, par des matrices $\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{pmatrix}$ et $v$…

23Je ne vais pas faire l'explicitation ici.

2.6. L'exten. quadratique ⌜de $X$⌝ associée à $A_Q$ mérite de s'appeler l'invariant d'Arf de la forme quadratique binaire $Q$. On définit un inv. d'Arf pour les formes quadratiques scalaires sur un module loc. libre de rang donné (mais en distinguant les cas du rang pair et du rang impair, pour la notion de cet invariant…).deux paragraphes portent le numéro 2.6, p. 22 et ici

3. Théorème récapitulatif

Équivalences entre […] catégories fibrées sur ⌜la catégorie⌝ Sch des schémas $X$ :

① Structures de similitude binaires ⌜(str. fidèles)⌝ sur $X$, i.e. des systèmes \[ (E, \Delta), \] où $E$ est un Module loc. libre de rang 2 sur $X$, et \[ \Delta \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E) \] un sous-Module ⌜fibré⌝ ⌜vectoriel⌝ […] inversible de $\underline{\mathrm{Quad}}(E)$, i.e. un sous-module inversible et loc. facteur direct (ou encore, tel que $\Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}\, E$ soit univ. injectif).

24①$'$ Systèmes \[ (E, \Delta', Q), \] où $E$ est comme dessus, $\Delta'$ un Module inv., \[ Q \colon E \to \Delta' \] une forme quadratique, telle que $Q$ soit non ⌜(identiquement)⌝ nulle sur toute fibre résiduelle.

② Systèmes […] $(A, E)$ d'une alg. quadratique $A$ sur $\underline{\mathcal{O}}$, et d'un $A$-module inversible i.e. loc. libre de rang 1.

②$'$ Systèmes $(X', \Lambda')$ d'un rev. quadratique $X'$ de $X$, et d'un Module inversible $\Lambda'$ sur $X'$.

NB $1 \Leftrightarrow 1'$ trivial, $2 \Leftrightarrow 2'$ est standard par dictionnaire des spectres d'Anneaux quasi-coh. $(1, 1') \Rightarrow 2$ a été vu plus haut. Il faut expliciter ②$'$ $\to$ ①$'$. On prend \[ \left\{\begin{array}{l} E = p_{*}(\Lambda'), \quad \text{où } p \colon X' \to X \text{ morph.\ struct.} \\ \Delta' = \mathrm{N}_{X'/X}\, \Lambda' \\ Q \colon p_{*}(\Lambda') \to \Delta' = \mathrm{N}_{X'/X}(\Lambda') \end{array}\right. \] l'application norme.

25« 30 » cerclé en haut à droite, sans doute la pagination de l'auteur Cor. 1 Ces catégories équivalent aussi à celle des systèmes \[ (A, P), \] où $A$ est une alg. quadratique sur $X$, et où $P$ est un torseur* sous le schéma en groupes lisse sur $S$ ⌜de dimension relative 2⌝ \[ W(A)^{*} = \{ S/X \mapsto \Gamma(S, A_S^{*}) \} \] (où $A_S$ désigne l'image inverse de $A$ sur $S$). * torseur pour la top. fpqc, ou pour (Zar), et cela revient au même […], pour toute top. intermédiaire […].

En termes des $(E, Q)$, $P$ est le En termes des schéma sur $X$ des sections locales de $E$, telles que $Q(x)$ soit une base de $\Delta'$. D'autre part, $\Delta'$ s'explicite en termes de $(A, P)$ comme le fibré en droites déduit du fibré principal associé \[ P \overset{W(A)^{*}}{\wedge} \mathbb{G}_m , \] via l'hom. norme \[ W(A)^{*} \xrightarrow{\mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}} \mathbb{G}_m , \] qui s'insère dans la suite exacte \[ 1 \to \mathcal{U}_A \to W(A)^{*} \xrightarrow{\mathrm{N}} \mathbb{G}_m \to 1, \] $\mathcal{U}_A$ = schéma en groupes « unitaire » des éléments de norme 1 de $A$.

26Cor. 2 Équiv. de cat. fibrées entre

1°) $(E, Q)$, $Q$ une forme quadratique binaire qui n'est nulle sur aucune fibre résid.

2°) Systèmes $(A, \Pi)$, où $A$ est une alg. quadratique sur $S$, et où $\Pi$ est un torseur* sous le groupe unitaire $\mathcal{U}_A$. * Torseur sous […] fpqc ou sous (ét), cela revient au même, mais la top. (Zar) n'est plus assez fine…

$\Pi$ est le sous-schéma de $\mathbb{E}$un $E$ surmonté d'un signe, sans doute le fibré vectoriel associé à $E$ des sections locales $x$ telles que $Q(x) = 1$, qui forment ⌜est bien⌝ un torseur sous $\mathcal{U}_A$.

NB Le rev. quadratique associé à la forme quadratique $Q \colon E \to \Delta'$ (non nulle sur toute fibre) peut s'expliciter comme ⌜le⌝ sous-schéma de $\mathbb{P}^{1}(E)$ défini par l'équation $Q(x) = 0$. Si $E$ est considéré comme Module inv. sur l'Algèbre quadratique $A$, le morphisme \[ \mathrm{Spec}(A) \hookrightarrow \mathbb{P}^{1}(E) \] correspondant […] s'explicite ainsi : pour toute section locale $x$ de $\mathrm{Spec}(A)$ sur $A$ i.e.

27pour tout hom. d'algèbres $A \to \underline{\mathcal{O}}$, le noyau $J \subset A$ est un sous-fibré vectoriel ⌜de rang 1⌝ ([…] suppl. de $\underline{\mathcal{O}} \cdot 1_A$) ⌜(cet inconvénient)⌝lecture très douteuse de cet ajout interlinéaire ⌜sur lequel $\mathrm{N}_{A/\mathcal{O}}$ est nulle⌝, et $D = J.E$ est donc un sous-fibré en droites de $E$ tel que $Q \,|\, D = 0$. Inversement, tout sous-fibré en droites de $E$ ayant cette propriété provient d'une section unique de $X'$ sur $X$. (Pour le vérifier, OPS $E = A$, et $Q$ la norme, et c'est alors immédiat.)

4. La notion de structure de similitude sur $E$, et la distinction de celles qui sont fidèles, str. fidèles, ⌜non⌝ dégénérées, « ne dépend que de $E$ modulo tensorisation par un module inv. », donc ne dépend que de l'algèbre d'Azumaya $M$ associée, \[ M = \underline{\mathrm{End}}(E), \] de rang 4 sur $E$. Si on part d'une telle $M$, la donnée d'une structure de similitude équivaut relatif : un Module à celle d'un sous-Module loc. monogène ⌜$\Delta$⌝ de \[ M / \underline{\mathcal{O}}\, 1_M \overset{\mathrm{df}}{=} \Sigma(M), \] (qui joue le rôle du Module des formes quadratiques).

28Le cas […] fidèle (resp. str. fidèle) est celui où ce sous-Module est un Module inversible, resp. un sous-fibré en droites. Dans ce dernier cas, il […] y a un fibré ⌜rev.⌝ quadratique associé de $X$, qui peut s'interpréter comme l'intersection de \[ \check{\mathbb{P}}(A) \hookrightarrow \check{\mathbb{P}}(M) \] (où $A \supset \underline{\mathcal{O}}.1_M$ est le sous-Anneau de $M$ image inverse de $\Delta$) avec la quadrique \[ Q \subset \check{\mathbb{P}}(M) \] définie par l'équation $\mathrm{Nr}_{M/\mathcal{O}}(x) = 0$, où $\mathrm{Nr}$ désigne la norme réduite. (C'est tautologique, la norme réduite induit sur $A$ celle de $A$.)

Que devient le $A$-Module inv. ⌜$E$⌝, i.e. le $\underline{\mathcal{O}}_{X'}$-Module inversible $\Lambda$, de la théorie précédente ? Il D'abord, qu'il ne soit plus défini que modulo remplacement de $E$ par $E \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_X} \Theta$, $\Theta$ inv. sur $X$, i.e. que $\Lambda$ sera défini modulo changement en \[ \Lambda \otimes p^{*}(\Theta), \] où $p \colon X' \to X$ le morphisme structural. Mais si $\sigma$ désigne l'inv. can. de $X'/X$, alors $\Lambda \otimes \sigma^{*}(\Lambda)^{-1}$ reste invariant, par changement de $\Lambda$ en $\Lambda \otimes p^{*}(\Theta)$. D'autre part,

29on a \[ \mathrm{N}(\Lambda \sigma(\Lambda)^{-1}) \simeq \mathrm{N}(\Lambda)\bigl(\mathrm{N}(\sigma(\Lambda))\bigr)^{-1} \simeq \underline{\mathcal{O}} , \] pour ce dernier fait que \[ \mathrm{N}(\sigma(\Lambda)) \simeq \mathrm{N}(\Lambda) \quad \text{canoniquement.} \] Donc on s'attend : trouver un $A$-Module loc. libre, une restriction du groupe structural de $W(A)^{*}$ à $\mathcal{U}(A)$, ⌜schéma en⌝ groupes des sections locales de $A$ de norme 1.

Les $A$-Modules qui se proposent à la vue est évidemment $M/A$, lequel est bien loc. libre de rang 1 sur $A$, si $A$ est un sous-fibré de $M$ ⌜vect. de rang 2⌝ (cas « str. fidèle »). Mais Dans le cas où $M = \underline{\mathrm{End}}(E)$, il faudrait voir qu'on a un « iso. à scalaire près » canonique \[ E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/A \] (iso. de $A$-modules, mais le « scalaire près » réfère à une section de $\underline{\mathcal{O}}_X^{*}$…), on trouve bien nos deux schémas \[ \text{\struck{$\check{\mathbb{P}}(E) \simeq \mathbb{P}(\underline{\mathrm{End}}(E)^{+}/A)$}} \] on trouve (comme \[ \text{\struck{$\mathbb{P}(E) \simeq \{$droites vect.\ $D$ dans $\underline{\mathrm{End}}(E)^{+}$ telles que $\mathrm{N}(D) = 0\}$,}} \] \[ \text{\struck{$D \mapsto D^{\perp} \otimes D$),}} \] où $\underline{\mathrm{End}}^{+}$ désigne le sous-Module des endom. de trace nulle la fin de la page, depuis « on trouve », est barrée de traits obliques, la note marginale comprise ; un trait vertical en pointillés court le long de la marge gauche

30il s'agit de dire une iso. can. \[ \mathbb{P}(\underline{\mathrm{End}}(E)/A) \simeq C, \] […] ⌜$C$ conique can. dans $\mathbb{P}(\underline{\mathrm{End}}^{+}(M))$⌝le membre de droite, d'abord écrit puis biffé, est remplacé par $C$ en interligne (NB en termes de $E$ cependant, mais en termes de $A \subset M$ seulement, un […] $C$ n'est pas en général iso. à un $\mathbb{P}(\text{fibré vect.\ de rang } 2)$…)

Or on a sur $\underline{\mathrm{End}}(E)$ deux structures de $A$-module, la gauche et la droite, échangées par l'antiinvolution canonique \[ u \mapsto \mathrm{Tr}(u) - u \qquad (\mathrm{Tr} = \text{trace réduite}) \] et on a donc égalité des modules déterminants, […] $\underline{\mathrm{End}}(E)$ […] ⌜$\underline{\mathrm{End}}(E)/A$⌝ sur $A$, lesquels sont égaux can. : \[ \underline{\mathrm{End}}(E)/A \simeq \det\nolimits_A \underline{\mathrm{End}}(E) . \] Mais l'iso \[ \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E \otimes \check{E} \] transforme la structure de $A$-module gauche en celle définie par l'application $u_E \otimes \mathrm{id}_{\check{E}}$ dans, et la droite en $\mathrm{id}_E \otimes {}^{t}u_E$. Donc dans le cas de $A$-modules à gauche \[ \det\nolimits_A \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E^{\otimes_A 2} \otimes (\underbrace{\det\nolimits_h \check{E}}_{\check{L}})^{2} \] et à droite \[ \det\nolimits_A \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq (\underbrace{\det\nolimits_h(E)}_{L})^{2} \otimes \check{E}^{\otimes_A 2}, \] d'où un iso de $A$-modules \[ \underline{\mathrm{End}}(E)/A \simeq E^{\otimes_A 2} \otimes_h \check{L} \simeq \check{E}^{\otimes_A 2} \otimes_h L \] la dernière formule est encadrée ; l'indice $h$ est lu tel quel, sans doute pour la base $\underline{\mathcal{O}}_X$

31On dérive que l'iso \[ \check{E}^{\otimes_A 2} \otimes_h \check{L} \simeq \check{E}^{\otimes_A 2} \otimes_h L \] i.e. \[ \check{E}^{\otimes_A 2} \simeq E^{\otimes_A 2} \otimes_h L^{\otimes_h (-2)} \] la première formule est lue telle quelle ; le membre de gauche porte une surcharge, et la comparaison avec p. 30 suggère $E^{\otimes_A 2}$ est déduit de l'iso can. (qui respecte les structures de $A$-modules) \[ \check{E} \simeq E \otimes_h L^{\otimes_h (-1)} \] en […]élevant par carrés tensoriels sur $A$. L'iso de $A$-modules cherché (mod scalaire provenant de $\underline{\mathcal{O}}_X^{*}$) \[ E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/A \qquad (\simeq E^{\otimes_A 2} \otimes_h \check{L}) \] équivaut à la donnée d'une section de \[ E \otimes_h \check{L}, \] base de ce $A$-module mod. sections provenant de $\mathcal{O}^{*}$. Or il n'y a pas de canonique, visiblement, […] ⌜i.e. il⌝ n'y a pas de sous-fibrés en droites canoniques $D \subset E$ associés à la structure de similitude de départ sur $E$. Donc la supposition du début est erronée — $\underline{\mathrm{End}}(E)/A$ est, modulo Module inversible provenant de la base, un Module inversible connu, et c'est le seul connu qu'il faudrait envisager à savoir…

32En rectifiant le tir, on trouve le $A$-module \[ E \otimes_A (\check{E})^{\otimes_A -1} \simeq M/\text{\struck{\ill{}}}\,M^{\natural} \] le signe en exposant de $M$ ressemble à un bécarre ; il est transcrit $M^{\natural}$ qui est inv. sur $\underline{\mathcal{O}}$, où $M^{\natural}$ est défini localement sur $X$ par le choix d'une base $(1, u)$ de $A$, via \[ \varphi_u \colon M \to M, \qquad \text{\struck{$\theta$}}\ \theta \mapsto u\theta - \theta\bar{u}, \] NB $\varphi_u$ est $A$-linéaire pour les structures de $A$-modules sur $M$ la note marginale est écrite en biais dans la marge gauche (NB${}_2$ $\varphi_u$ dépend linéairement de $u$, et $\varphi_1 = 0$, donc on $\varphi_u$ ne dépend que de la section image de $u$ dans $\check{\Lambda} \simeq A/\underline{\mathcal{O}}$ […] $M$ défini par $u$…), […] posant \[ M^{\natural} = \mathrm{Im}\, \varphi_u, \quad \text{donc } M/M^{\natural} = \mathrm{Coker}\, \varphi_u . \] De façon plus intrinsèque, […] suite exacte \[ M \otimes \check{\Lambda} \to M \to \Delta \to 0 \] la flèche de gauche a deux pointes ; le terme du milieu porte une rature visiblement exacte de $A$-modules, pour la structure de $A$-Module gauche de $M$). Il faudrait maintenant définir sur $\Delta$ une forme quadratique ⌜non triviale⌝ canonique, plus précisément un iso. \[ \mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}(\Delta) \simeq \underline{\mathcal{O}} . \]

Notons sur $M$ l'autodualité donnée par \[ \langle \theta, \theta' \rangle \overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{Tr}\, \theta\bar{\theta}' = \mathrm{Tr}\, \theta'\bar{\theta} \] donc, si $\lambda_u$, $\gamma_u$ sont les opérations de la multiplication par $u$ à g. et à dr. \[ \lambda_u \theta = u.\theta, \qquad \gamma_u \theta = \theta u, \] on a \[ {}^{t}\lambda_u = \lambda_{\bar{u}}, \qquad {}^{t}\gamma_u = \gamma_{\bar{u}} \]

33donc la transposée de […] \[ \varphi_u \colon \theta \mapsto u\theta - \theta\bar{u} \] est \[ {}^{t}\varphi_u = \varphi_{\bar{u}} \colon \theta \mapsto \bar{u}\theta - \theta u , \] le signe devant le second $\varphi$ est peu net ; lu ${}^{t}\varphi_u = \varphi_{\bar{u}}$ mais : \[ \varphi_{\bar{u}} = -\varphi_u \quad \text{car } \bar{u} \equiv -u \bmod \underline{\mathcal{O}}.1 \text{ et } \varphi_{\mathcal{O}} = 0 . \] Ceci dit, on voit donc que le dual sur $h$ de $\mathrm{Coker}\, \varphi_u$ s'identifie à $\mathrm{Ker}\, {}^{t}\varphi_u$ $= \mathrm{Ker}\, \varphi_{\bar{u}}$ $= \mathrm{Ker}\, (-\varphi_u)$ $(= \mathrm{Ker}\, \varphi_u)$. Donc modulo Module inv. sur $\underline{\mathcal{O}}$, $\mathrm{Coker}\, \varphi_u$ s'identifie, en tant que $A$-Modules, au dual ⌜sur $A$⌝ de $\mathrm{Ker}\, \varphi_u$.

Soit \[ B \subset M, \qquad B = \{\theta \in \Gamma M \mid \bar{u}\theta - \theta u = 0\} \] pour une section locale de $A$ qui forme base de $A$ avec 1, donc pour toute section de $A$ On a \[ B \cap M^{*} = \{\theta \in \Gamma M^{*} \mid \theta \text{ normalise } A^{*} \text{ (ou $A$), et induit sur $A$ l'invol.\ can.\ } \sigma\} \] On voit donc que \[ B \cap M^{*} \text{ est un \add{pseudo-}torseur sous } \mathrm{Cent}_{M^{*}}(A) = A^{*} ; \] l'égalité $\mathrm{Cent}_{M^{*}}(A) = A^{*}$ est écrite en exposant puis répétée en dessous Et c'est un torseur ssi $\exists$ section loc. partout. Mais […] OPS $M = \mathbb{M}_2(\mathcal{O})$, et […] $A = \mathcal{O}[u]$, avec $u^{2} + bu + c = 0$, et comme \[ \mathrm{Tr}\,\bar{u} = \mathrm{Tr}\, u = b, \qquad \mathrm{N}(\bar{u}) = \mathrm{N}(u) = c, \] le signe de $\mathrm{Tr}\, u$ diffère de celui de p. 34 ($-b$) ; transcrit tel quel on sait que $\exists\, \theta \in M^{*}$ tel que $\struck{\ill{}}\ \mathrm{int}(\theta).u = \bar{u}$.

34Dém. OPS $A = \mathcal{O}[u]/(u^{2} + bu + c)$, et un automorphisme $\theta$ de la forme envisagée. Doit transformer $u$ en \[ u' = \bar{u} + \alpha.1_A \qquad \alpha \in \Gamma\underline{\mathcal{O}} \] (puisque $u' \equiv \bar{u} \equiv -u \bmod \underline{\mathcal{O}}.1_A$), avec \[ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{Tr}(u') = \mathrm{Tr}(u) \ (= -b) \\ \mathrm{N}(u') = \mathrm{N}(u) \ (= c) \end{array}\right. \] Sauf la condition que $\theta$ soit autre que l'identité […] sur un […] de $X$, qui […] $\theta$ […], […] point, […] $s \in X_0$… note marginale écrite en biais dans la marge gauche, en grande partie illisible ; un trait la rattache au paragraphe suivant […] la question correspondante bien posée : existe-t-il $u'$ (sous condition sur $A$)*. […] En termes de $\alpha$, les conditions s'écrivent \[ \left\{\begin{array}{l} 2\alpha = 0 \\ \alpha(\alpha - b) = 0 \end{array}\right. \qquad (\text{car } \mathrm{Tr}\, \alpha.1_A = 2\alpha) \] […] Sur les pts de $X - X_0$, […] ⌜$2\alpha = 0$⌝ implique $\alpha = 0$. Reste : regarder en un point $s$ de $X_0$. […] […] que $\alpha_s \in \mathfrak{m}_s = $ rad $\underline{\mathcal{O}}_{X,s}$ — disons, […] le corps résiduel $k(s)$, […] […]

donc $\alpha(s)(\alpha(s) - b(s)) = 0$, mais par hypothèse $A(s)$ étale i.e. $b(s) \neq 0$, donc on doit avoir ou bien $\alpha(s) = 0$, ou bien $\alpha(s) = b(s)$; ce passage est barré de traits obliques ; un trait le relie à la suite, qui le remplace $\alpha_s$ serait inversible, et on aurait, à cause de ⌜la relation⌝ $\alpha(\alpha - b) = 0$, $\alpha_s - b_s = 0$ i.e. $\alpha_s = b_s$, Mais i.e. $\alpha = b$ au voisinage de $s$, donc et comme $2\alpha = 0$ on aurait $2b = 0$, donc comme $b_s$ est inversible (car $A$ étale en $s$, et $s \in X_0$), 2. serait $1_X$ serait nul au voisinage de $s$ i.e. $X$ de car. 2.

35la symétrie $\sigma_e$ dont parle cette page est définie p. 36 ; les deux feuillets semblent intervertis, ou la page reprend un argument antérieur au lot Définition $\sigma_e$ s'appelle symétrie p.r. à la droite $D$, comme $\sigma$ est un automorphisme de $A$ pour la structure qu'il définit par la norme, $\sigma_e$ est un automorphisme de la structure quadratique de $E_x$ par $Q$, a fortiori un automorphisme de la structure de similitude.

Prop. Supposons qu'en tout point de $X_0 = V(2.1_{\mathcal{O}_X})$, i.e. tout pt de car. résid. 2, la structure de similitude donnée sur $E$ soit non dég. (i.e. $A$ soit étale sur $\underline{\mathcal{O}}$ en ce point). Alors pour toute droite totalement non isotrope $D \subset E$, $\sigma_D$ est l'unique automorphisme $\theta$ de la structure de similitude $\Sigma$ (ou, ce qui revient au même, de la structure quadratique, quand $\Sigma$ est donnée par une forme quadratique $Q$) telle qui induise $\mathrm{id}$ sur $D$, $-\mathrm{id}$ sur $E/D$, et ⌜qui⌝ NB ⌜soit⌝ […] ⌜l'identité au voisinage⌝ […] $A_x$ […] […] $s \in S$. (Cette dernière condition n'est nécessaire qu'en points de $X - X_0$.)* […] […] […] identité […] […] […] […]. […] […] * Ceci équivaut aussi […] (car $\det \theta = -1$ […] $\theta \,|\, D = \mathrm{id}_D$)

Cor. Soit $A$ algèbre quadratique sur $X$, supposons qu'en tout $x \in X_0$, $A$ soit étale en $x$. Alors l'involution canonique est le seul automorphisme ⌜d'alg.⌝ de $A$ qui induise $-\mathrm{id}$ sur $A/\underline{\mathcal{O}}.1_A$.

36Alors \[ f \colon A \to E, \qquad u \mapsto u.e \] est un iso respectant les structures quadratiques \[ Q(f(u)) = Q(u.e) = \mathrm{N}(u)\, \underbrace{Q(e)}_{1} = \mathrm{N}(u) \] Plus généralement, $Q(u.x) = \mathrm{N}(u)\, Q(x)$ ($u \in \Gamma A$, $x \in \Gamma(E)$) la note marginale est écrite en biais à gauche, reliée par un trait à $Q$ ; « Alors », écrit au-dessus, semble remplacé par quoi la structure d'alg. de $A$ est transformée ⌜quadratique⌝ en l'unique str. d'Alg. sur $\underline{\mathcal{O}}$, admettant $e$ pour section unité, et $Q$ comme fonction quadratique Norme. La symétrie cherchée $\sigma_D$ peut être définie, par transport de structure, comme déduite de l'inv. canonique $\sigma$ de $A$ \[ \sigma \colon A \to A, \qquad \sigma(u) = \mathrm{Tr}(u) - u . \] Donc on aura, par définition (posant $\sigma_e = \sigma_{\underline{\mathcal{O}}e} = \sigma_D$) \[ \sigma_e(ue) = \bar{u}.e \] On va donner une description équivalente, par \[ \sigma_e(x) = \varphi_Q(e, x)\,e - x \] où $\varphi_Q$ est la forme bil. ⌜symétrique⌝ associée à $Q$. Cette formule ne fait que traduire celle pour $A$, $\sigma(u) = \mathrm{Tr}(u) - u$, compte tenu que \[ \mathrm{Tr}(u) = \varphi_{\mathrm{N}}(u, 1) . \] Avec la notation du « produit scalaire » (quand 2 est inversible sur $X$), on aura $\varphi_Q(e, x) = (e.x)$, et on peut écrire \[ \sigma_e(x) = 2(e.x)\,e - x \] le membre de gauche est surchargé ; le « 2 » devant $(e.x)$ est repassé à l'encre plus épaisse

37cette page et la suivante ne continuent pas p. 36 ; la fin de p. 37 (« telle que $Q(e) = 1$ ») est reprise en tête de p. 36, et p. 38 achève la démonstration de p. 34 : l'ordre des feuillets du fonds n'est pas celui de la rédaction J'ai dit Le torseur en question provient d'un torseur $\Pi$ sous […] $\mathcal{U}_A \subset A^{*}$, sous-schéma en groupes des sections de norme 1, en posant \[ \Pi = \{\theta \in \Gamma\, \underbrace{\mathrm{S}M^{*}}_{\substack{\text{sections de}\\ \text{Norme } 1\\ (\mathrm{N}(\theta) = 1)}} \mid \theta \text{ \struck{\ill{}} normalise } A \text{ et y induit } u \mapsto \bar{u}\} \]

4.2. Relation avec les symétries.

Soit $(E, \Delta', Q)$, $Q \colon E \to \Delta'$, une structure de similitude str. fidèle. Soit $D$ un sous-fibré en droites de $E$, tot. non isotrope i.e. $Q \,|\, D$ est non nul sur chaque fibre. Je vais définir un automorphisme \[ \sigma_D \colon E \xrightarrow{\sim} E \] de $E$ (pour sa structure de similitude), induisant $\mathrm{id}_D$ sur $D$, $-\mathrm{id}$ sur $E/D$. Quitte à tensoriser $E$ par $D^{-1}$, OPS $D$ muni d'une section base $e$, et profiter de celle-ci pour prendre une base $Q(e)$ dans $\Delta'$, donc OPS que $Q$ est défini par une fonction quadratique scalaire \[ Q \colon E \to \underline{\mathcal{O}} \] telle que \[ Q(e) = 1 . \]

38suite de la démonstration de p. 34 au voisinage de $s$. Donc, au voisinage \[ u' = \underbrace{\bar{u}}_{-b-u} + b = \text{\struck{$(\mathrm{Tr}(u)1 - u)$}}\ -u = u \] et donc on aurait $\theta = \mathrm{id}$ au voisinage de $s$, contrairement à l'hypothèse.

Donc on conclut $\alpha_s \in \mathfrak{m}_s$, mais alors, comme $b_s \notin \mathfrak{m}_s$, […] on aurait $\alpha_s - b_s \notin \mathfrak{m}_s$ i.e. $\alpha_s - b_s \in \mathcal{O}_s^{*}$, d'où (comme $\alpha_s(\alpha_s - b_s) = 0$) $\alpha_s = 0$, donc $\alpha$ nul au voisinage de $s$, cqfd.

NB En car. 2, dans le cas non étale, l'exemple typique est $A = \underline{\mathcal{O}}[u]/(u^{2})$. Les automorphismes de $A$ ⌜(induisant $-\mathrm{id}$ sur $A/\underline{\mathcal{O}}.1$)⌝ donnés ⌜(i.e. $\mathrm{id}$ en car. 2)⌝ sont donnés par \[ \theta_{\lambda, \alpha} \colon u \mapsto \lambda u + \alpha \qquad \lambda \in \Gamma\, \mathcal{O}^{*},\ \alpha \in \Gamma\, \underline{\mathcal{O}} \] avec \[ \left\{\begin{array}{l} 2\alpha = 0 \\ \alpha^{2} = 0 \end{array}\right. \] en car. 2, se réduit à : \[ \alpha^{2} = 0 . \] Les automorphismes qui induisent $-\mathrm{id}_{A/\mathcal{O}.1}$ sont ceux de la forme \[ u \mapsto -u + \alpha \qquad (\text{avec } 2\alpha = 0,\ \underline{\underline{\alpha^{2} = 0}}), \] donc en car. 2 ceux de la forme $u \mapsto u + \alpha$ avec $\alpha^{2} = 0$. Donc l'involution […] […] est la seule […] qui […] identité […] […] […] […] […] $2,0$ […] […] […] $-1$ […] […] $\mathrm{id}$ […] note marginale écrite en biais dans la marge gauche, sur plusieurs lignes, en grande partie illisible

Soit $(E, \Delta, Q)$ une str. de similitude str. fid., $D \subset E$ droite tot^t non isotrope, d'où l'automorphisme $\sigma_D \in \Gamma\, \underline{\mathrm{End}}(E)^{*}$. Le fait que $\sigma_D$ soit un automorphisme de la structure de similitude signifie

39signifie que \[ \underbrace{\mathrm{int}(\sigma_D)}_{\substack{\text{autom.\ de } \underline{\mathrm{End}}(E)\\ \theta \mapsto \sigma_D \theta \sigma_D^{-1}}} \text{ transforme } \underset{\underline{\mathrm{End}}(E)}{\overset{}{A}} \text{ en lui-même}, \] sous $A$ est écrit $\cap\ \underline{\mathrm{End}}(E)$ : $A$ est vu comme sous-Algèbre de $\underline{\mathrm{End}}(E)$ et y est l'inv., plus précisément \[ \boxed{\sigma_D u \sigma_D^{-1} = \bar{u}} \qquad \text{pour } u \in \Gamma A . \] Pour le prouver, OPS $E = A$, ⌜$\Delta = \underline{\mathcal{O}}$, $Q = \mathrm{N}_{A/\underline{\mathcal{O}}}$⌝, $D = \underline{\mathcal{O}}.1$, et on est ramené à prouver que \[ \sigma \mu_u \sigma^{-1} = \mu_{\bar{u}} \] où $\mu_u \in \Gamma\, \underline{\mathrm{End}}(A)$ est défini par $\mu_u x = ux$. La formule équivaut alors : \[ \overline{u\bar{x}} = \bar{u}\, x \qquad \text{OK.} \]

Proposition $(E, \Delta, Q)$, ou encore $(E, A \subset \underline{\mathrm{End}}(E))$ similitude str. fid. Soit \[ \Pi = W(\underline{\mathrm{End}}(E))^{*} \] \[ \overset{\shortparallel}{\{}\theta \text{ sections locales de } \underline{\mathrm{End}}(E) \text{ dans } \mathrm{Sch}_{/X} \mid \theta \text{ normalise } A, \text{ induit } \sigma \text{ sur } A \text{ et } \det\theta = -1\}, \] Alors ⌜et soit⌝ […] \[ M = W(\underline{\mathrm{End}}(E)) \] \[ \overset{\shortparallel}{\{}\theta \mid \theta u = \bar{u}\theta \text{ pour toute section } u \text{ de } A\} \] (ou pour une section qui engendre $A/\underline{\mathcal{O}}.1_A$ …) dans la première accolade, l'étoile de $W(\underline{\mathrm{End}}(E))^{*}$ porte un renvoi qui ne semble pas résolu sur la page

40Alors

a) $M$ est un sous-fibré vectoriel de rang 2 de $\underline{\mathrm{End}}(E)$, qui est un sous-$A$-Module à gauche et à droite. Les deux structures gauche et droite sont reliées par \[ u\theta = \theta\bar{u}, \qquad \text{pour } \theta \in \Gamma M,\ u \in \Gamma A \] (elles se déterminent ⌜donc⌝ mutuellement …). Le $A$-Module $M$ (à gauche ⌜ou à droite⌝) est loc. libre inv. (comme […]).

b) $\Pi$ est formé des sections $\theta$ de $M$ telles que \[ \mathrm{N}(\theta) = -1 . \] Il forme un torseur* sous $\mathrm{S}W(A) \subset W(A)^{*}$, le groupe schéma en groupes des $x \in \Gamma A$ telles que $\mathrm{N}(x) = 1$, par l'opération de multiplication : g. (ou à droite, par celle à droite). * NB Ce torseur est […] trivial (Zar.)

Dém. OPS $E = A = \underline{\mathcal{O}}[u]/(u^{2} + bu + c)$. Alors $W$ est défini comme le […] de […] $\underline{\mathrm{End}}$ […] les trois lignes de cette démonstration sont barrées de traits obliques

c) Considérons \[ \underset{\overset{\cup}{X'}}{P} = \mathbb{P}(E), \qquad P^{*} = P - \underset{\mathrm{Spec}(A)}{\overset{\shortparallel}{X'}} \] le fibré des droites tot^t non isotropes de $A$. $W(A)^{*}$ opère sur $P^{*}$ grâce à son opération sur $E$, où $u \in \Gamma\, W(A)^{*}$ définit la transformation $D \mapsto u.D$ (NB $\mathbb{G}_m = W(\underline{\mathcal{O}})^{*} \subset A^{*}$ opère trivialement donc c'est $W(A)^{*}/\mathbb{G}_m$ qui opère…), d'où application une application équivariante canonique \[ \begin{array}{rcl} P^{*} & \xrightarrow{f} & \Pi \\ D & \longmapsto & \sigma_D \end{array} \] l'argument se poursuit au-delà du lot