Cote n° 84 · pages 1–192 · Lecture modernisée · [Formes quadratiques] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982-vers 1986]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

1. 0.Feuillets d'ouverture (pages 1 à 5) : un monoïde gradué par \(\mathbf{Z}/2\) fait de classes de revêtements quadratiques et de couples \((L, \delta)\) (pages 1 et 2) ; une algèbre triquadratique et ses quatorze sous-algèbres (page 3) ; les automorphismes d'une algèbre quadratique et ses éléments de norme \(1\) (page 5).
2. I.Formes binaires et revêtements quadratiques (pages 8 à 41) : structures de similitude (pages 8 à 11) ; en rang \(2\), l'anneau des homothéties (pages 11 à 18) ; l'algèbre \(A_Q\) d'une forme (pages 18 à 23) ; le théorème récapitulatif (pages 23 à 27) ; la reformulation par une algèbre d'Azumaya (pages 27 à 34) ; unicité de la conjugaison et symétries (pages 34 à 41).
3. II.\(\chi\)-scindages et produits contractés (pages 42 à 121) : description d'un revêtement quadratique par \((L, P_1, Q)\) et, quand \(2\) est régulier, par \((L, \delta, T_0)\) (pages 43 à 53) ; torseurs sous \(\mu_2\) et sous \(\mathbf{Z}/2\) (pages 53 à 55) ; caractéristique \(2\) (pages 56 et 57) ; quatre catégories équivalentes (pages 58 à 61) ; le produit, deviné en coordonnées (pages 62 à 65), puis construit par la « digression affine » (pages 65 à 79) ; le cas \(\chi = 2\) et le critère des coinvariants (pages 79 à 87) ; la forme quadratique du produit, \(\delta = \delta_1\delta_2\) (pages 88 à 92) ; dualité entre \(A\) et \(E\) (pages 93 à 97) ; trace et norme de \(A_1 \otimes A_2\) sur \(A_1 * A_2\) (pages 98 à 106) ; algèbres quasi-quadratiques et quasi-biquadratiques (pages 106 à 121).
4. III.Extensions \(\chi\)-scindées quelconques (pages 123 à 191) : coordonnées et cocycle (pages 123 à 131) ; \(\lambda\)-rétractions et produit des morphismes (pages 133 à 139) ; l'opérateur symétrique \(F_{11}\) et la condition \(\gamma\chi = 2\) (pages 141 à 157) ; produits poussé et tiré, dualité (pages 159 à 169) ; retour aux algèbres quadratiques : l'accouplement \(A \times E \to \mathcal{O}\) sur le produit (pages 171 à 191).

Conventions, valables pour tout le dossier

\(X\) est un schéma, ou plus généralement un topos localement annelé (c'est le cadre que pose la page 8), et \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_X\). Les Modules sont des \(\mathcal{O}\)-Modules ; \(\Gamma\) désigne les sections, \(\check{E} = E^{\vee}\) le dual. On note \[ \underline{\mathrm{Quad}}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}(\Gamma^{2}E, \mathcal{O}), \] le faisceau des formes quadratiques sur \(E\), où \(\Gamma^{2}\) est la puissance divisée ; pour \(E\) localement libre de type fini, \(\underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}^{2}(E^{\vee})\).

Une algèbre quadratique est une \(\mathcal{O}\)-algèbre commutative localement libre de rang \(2\) ; on note \(\mathrm{Tr}\) et \(N\) sa trace et sa norme, \(\sigma(x) = \bar{x} = \mathrm{Tr}(x) - x\) son involution canonique, et \(X' = \operatorname{Spec} A\) le revêtement quadratique correspondant. Le schéma en groupes des unités de \(A\) (restriction de Weil de \(\mathbb{G}_m\)) est \(\mathbb{W}(A)^{*}\), et \(\mathcal{U}_A \subset \mathbb{W}(A)^{*}\) le noyau de la norme¹ .

À partir de la deuxième partie, \(E = \check{A}\), et l'unité de \(A\) donne une extension \[ 0 \to L \to E \xrightarrow{\ \psi\ } \mathcal{O} \to 0, \qquad \psi(x) = x(1), \] où \(L \simeq (A/\mathcal{O})^{\vee}\) est inversible ; \(P_\lambda = \psi^{-1}(\lambda)\) est un torseur sous \(L\). La trace est une section \(T\) de \(P_2\), la norme une section \(N\) de \(\mathrm{Sym}^{2}E\). Le choix d'une section \(x_0\) de \(P_1\) (un scindage) écrit tout en coordonnées : \[ Q(x_0 + u) = u^{2} + bu + c, \qquad b = 2x_0 - T \in \Gamma L, \quad c \in \Gamma L^{\otimes 2}. \]

Discriminants. On note \(\delta = b^{2} - 4c = T^{2} - 4N\), section de \(L^{\otimes 2}\) ; c'est le \(\delta\) du dossier à partir de la page 43, qu'il appelle « le discriminant de \(N\) changé de signe ». Pour une forme binaire \(Q\) de la première partie, \(\mathrm{d}(Q)\) désigne le déterminant de sa forme polaire (son \(\delta(Q)\) de la page 18) ; pour \(Q = \alpha\lambda^{2} + \beta\lambda\mu + \gamma\mu^{2}\), \(\mathrm{d}(Q) = 4\alpha\gamma - \beta^{2}\). Ainsi \(\delta = -\mathrm{d}\) partout.

Produits. Le produit de deux extensions munies d'une \(\chi\)-trivialisation, qu'il note tour à tour \(\wedge\) (page 68), \(*\), \(\circledast\) (page 143) et \(\vee\) (troisième partie), est noté \(E_1 * E_2\) partout ; le « produit tiré » de la troisième partie, son \(\wedge\) des pages 167 à 169, est noté \(E_1 *^{\varpi} E_2\). Le produit des revêtements quadratiques est \(X_1 * X_2\), celui des algèbres \(A_1 * A_2\) (il écrit \(X_1 \wedge X_2\), \(X_1 \star X_2\), \(A_1 \wedge A_2\)).

Noms réservés. Dans la première partie, \(\Delta\) est le Module inversible d'une structure de similitude et \(\Delta' = \Delta^{\vee}\) ; \(\Lambda = \Delta \otimes L\). L'algèbre d'Azumaya de la section 4 est notée \(\mathcal{M}\) (son \(M\)), comme au dossier 82, et l'ensemble des \(\theta\) tels que \(\theta u = \bar{u}\theta\) est noté \(\mathcal{J}\) (son \(M\) de la page 39).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Les premiers feuillets viennent après. Les pages 1 et 2 manipulent deux applications \(\alpha : (L, \delta, T_0) \mapsto (L, \delta)\) et \(\beta : (L, \delta) \mapsto (L, 4\delta, 0)\), et constatent que \(\beta\) n'est pas multiplicative. Ce sont exactement les foncteurs \(\mathrm{Ass}'\) et \(\mathrm{Oub}'\) des pages 53 et 54, et le constat est celui de la page 54. Les pages 1 et 2 supposent donc la description des revêtements quadratiques par des triplets \((L, \delta, T_0)\), qui n'est établie qu'aux pages 47 à 53 ; elles sont une seconde tentative, à côté de la « catégorie monoïdale mixte » de la page 55, pour réparer ce défaut.

Trois régimes, un formalisme. La deuxième partie traite successivement trois cas : \(2\) inversible, où un revêtement quadratique est une racine carrée (pages 46 à 48, « la théorie est triviale », page 81) ; \(2\) non diviseur de zéro, où il est un triplet \((L, \delta, T_0)\) (pages 48 à 53) ; caractéristique \(2\), où il est un torseur sous un schéma en groupes d'ordre \(2\) (pages 56 et 57). La « digression affine » (pages 65 à 79) est ce qui les traite tous à la fois, sans hypothèse sur \(2\).

Un même signe. « Attention au signe » revient aux pages 17–18, 43, 96 et 133–135 (« signe étrange ! »). Aux pages 17–18 et 43, c'est la convention du discriminant (\(\delta = -\mathrm{d}\), ci-dessus). Aux trois autres endroits, il nous semble — ce n'est pas dit sur les pages — que c'est un seul et même signe : l'autodualité d'un Module \(E\) de rang \(2\), \(E \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(E, \det E)\), \(x \mapsto (y \mapsto x \wedge y)\), induit \(-\mathrm{id}\) sur un sous-module de rang \(1\), parce que \(x \wedge y = -y \wedge x\). On le rencontre page 13 dans \(\mathcal{O} \to \underline{\mathrm{End}}(E)\), page 96 comme le \(-\mathrm{id}_L\) de l'isomorphisme \(g\), pages 133 et 135 comme le \(-\mathrm{id}\) de \(\Phi\).

L'ordre des feuillets. Les pages 35 à 38 ne sont pas dans l'ordre de la rédaction : la page 38 achève la démonstration de la page 34, la page 37 ouvre le paragraphe 4.2, que continuent les pages 36 puis 35, et la page 39 suit. On lit dans cet ordre.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

L'explicitation des isomorphismes de transition de \(A_Q\) (page 23, « Je ne vais pas faire l'explicitation ici ») ; un invariant d'Arf pour les formes de rang quelconque, pair ou impair (page 23, esquissé page 1) ; l'isomorphisme canonique \(N_{A/\mathcal{O}}(C) \simeq \mathcal{O}\) de la page 32 ; les invariants d'Hasse–Stiefel–Whitney de la couverture (page 42) ; le produit modifié \(\wedge^{!}\) sans l'hypothèse « \(2\) régulier » (page 55) ; le programme de la page 91 ; la structure biquadratique sur \(\pi^{-1}(\varepsilon)\) sans hypothèse d'étalité (pages 120 et 121) ; la quatrième compatibilité de la page 177 ; le calcul des pages 189 à 191, qui s'arrête.

1–5

0. Les feuillets d'ouverture (pages 1 à 5)

1–2

Un monoïde gradué par \(\mathbf{Z}/2\) (pages 1 et 2)

Soient \(R_0\) l'ensemble des classes de triplets \((L, \delta, T_0)\) décrivant les revêtements quadratiques (pages 47 à 53 : \(L\) inversible, \(\delta \in \Gamma L^{\otimes 2}\), \(T_0\) une section de \(L\) sur \(V(2)\) avec \(T_0^{2} \equiv \delta\) modulo \(4\)), et \(R_1\) celui des classes de couples \((L, \delta)\), qui décrivent les \(\mu_2\)-torseurs quand \(\delta\) est inversible (page 53). Tous deux sont des monoïdes commutatifs unitaires pour le produit \[ (L, \delta, T_0)(L', \delta', T'_0) = (LL', \delta\delta', T_0T'_0), \qquad (L, \delta)(L', \delta') = (LL', \delta\delta'). \] L'oubli \(\alpha : R_0 \to R_1\), \((L, \delta, T_0) \mapsto (L, \delta)\), est un homomorphisme ; l'application \(\beta : R_1 \to R_0\), \((L, \delta) \mapsto (L, 4\delta, 0)\), qui fait d'un \(\mu_2\)-torseur \(z^{2} = \delta\) le revêtement quadratique qu'il est, ne l'est pas² .

Il pose \(R_* = R_0 \sqcup R_1\) et définit une loi \(\wedge\) compatible à la graduation par \(\mathbf{Z}/2\) : \[ x \wedge y = \begin{cases} xy & x, y \in R_0, \\ \beta(xy) & x, y \in R_1, \\ x\,\alpha(y) & x \in R_1,\ y \in R_0 . \end{cases} \] L'associativité se ramène, par l'examen des huit cas, à deux identités : \[ \text{(A)} \quad \beta(\alpha(x)u) = x\,\beta(u), \qquad \text{(B)} \quad \alpha\beta(v) = v\,\eta, \quad \eta = \alpha(\zeta), \ \zeta = \beta(1) = (\mathcal{O}, 4, 0), \] pour \(x \in R_0\), \(u, v \in R_1\). Toutes deux se vérifient sur les formules : \(\beta(\alpha(x)u) = (LL', 4\delta\delta', 0) = x\,\beta(u)\), et \(\alpha\beta(L, \delta) = (L, 4\delta) = (L, \delta)(\mathcal{O}, 4)\). Elles donnent la mesure exacte du défaut de multiplicativité : \[ \beta(x)\,\beta(y) = \zeta\,\beta(xy). \] Avec la loi \(\wedge\), le produit de \((L, \delta)\) par \((L', \delta', T'_0)\) est \((LL', \delta\delta')\)³ .

Dans un encadré, il en tire un homomorphisme. Notons \(R_*^{\mathbf{Z}}\) le monoïde des couples \((n, x)\), \(n \in \mathbf{N}\), \(x \in R_{n \bmod 2}\), avec \((n, x)(m, y) = (n + m, x \wedge y)\) ; posons \[ w(2\nu, x) = x\,\zeta^{\nu}, \qquad w(2\nu + 1, x) = \beta(x)\,\zeta^{\nu} . \] Alors \(w : R_*^{\mathbf{Z}} \to R_0\) est un homomorphisme : pour deux degrés impairs, \(w(x \wedge y) = \beta(xy)\zeta^{\nu + \mu + 1} = \beta(x)\beta(y)\zeta^{\nu+\mu}\) par la formule ci-dessus ; pour un degré pair et un impair, c'est (A)⁴ .

Pour une somme orthogonale \(E = \bigoplus_{i \le n}(L_i, \delta_i)\) de \(n\) formes de rang \(1\), il compare deux candidats invariants dans \(R_0\) : \(w_1(E) = \prod_i \beta(L_i, \delta_i) = (\bigotimes L_i, 4^{n}\prod\delta_i, 0)\), et un « invariant d'Arf » \((\bigotimes L_i, 2^{\nu}\prod\delta_i, 0)\) avec \(\nu\) pair voisin de \(n\), qui en diffère par une puissance de \(\zeta\). L'idée lisible est que, \(\zeta\) n'étant pas inversible dans \(R_0\) quand \(2\) ne l'est pas, l'invariant d'Arf détermine \(w_1\) sans réciproque⁵ .

3–3

Une algèbre triquadratique (page 3)

Soient \(A_i = \mathcal{O}[u_i]/(u_i^{2} + e_i)\), \(i = 1, 2, 3\), et \(A = A_1 \otimes A_2 \otimes A_3\), de base les huit monômes en \(u_1, u_2, u_3\). Les involutions canoniques \(\sigma_i\) engendrent une action de \(\mathbf{F}_2^{3}\) sur \(A\). Quand les \(A_i\) sont étales, c'est-à-dire quand les \(2e_i\) sont inversibles⁶ , la correspondance de Galois pour \(\mathbf{F}_2^{3}\) s'écrit en deux tableaux :

• les sept sous-algèbres quadratiques \(A_1, A_2, A_3\), \(B_1 = \langle u_2u_3\rangle\), \(B_2 = \langle u_3u_1\rangle\), \(B_3 = \langle u_1u_2\rangle\), \(B_0 = \langle u_1u_2u_3\rangle\), fixées chacune par un sous-groupe d'ordre \(4\), c'est-à-dire par un hyperplan de \(\mathbf{F}_2^{3}\) ;
• les sept sous-algèbres de rang \(4\), \(A'_1 = A_2 \otimes A_3\), …, \(B'_0 = \langle u_2u_3, u_3u_1\rangle\), fixées chacune par une involution, c'est-à-dire par un élément non nul de \(\mathbf{F}_2^{3}\)⁷ .

On a \(B_1 \simeq A_2 * A_3\), \(B_2 \simeq A_3 * A_1\), \(B_3 \simeq A_1 * A_2\), \(B_0 \simeq A_1 * A_2 * A_3\) — le produit des revêtements quadratiques, au sens de la deuxième partie, qui est ici celui des classes de Kummer : \((u_2u_3)^{2} = e_2e_3\) — et \(A_i \otimes A'_i \simeq A\), \(B_0 \otimes B'_0 \simeq A\). D'où « \(7 + 7 = 14\) situations biquadratiques typiques », chacune une sous-algèbre de rang \(4\) avec les trois sous-algèbres quadratiques qu'elle contient. Ce tableau est la situation modèle que les pages 110 à 121 axiomatiseront.

5–5

Automorphismes et éléments de norme \(1\) (page 5)

Soit \(A\) quadratique de base \((1, u)\). Un automorphisme qui induit \(-\mathrm{id}\) sur \(A/\mathcal{O}\) envoie \(u\) sur \(\bar{u} + \alpha\) ; conserver trace et norme impose \(2\alpha = 0\) et \(\alpha(\mathrm{Tr}\,\bar{u} + \alpha) = 0\), donc \(\alpha = 0\) si \(2\) est inversible. La question sans hypothèse sur \(2\) est reprise pages 34 et 38.

Les éléments de norme \(1\) sont les \(u\bar{u}^{-1}\) (théorème 90 de Hilbert pour l'algèbre \(A\)), et il le met en diagramme :

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{G}_m \arrow[r, "(\ )^{2}"] \arrow[d] & \mathbb{G}_m \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathcal{U}_A \arrow[r] & \mathbb{W}(A)^{*} \arrow[r, "N"] & \mathbb{G}_m \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

d'où, par le lemme du serpent, \(\mathcal{U}_A/\mu_2 \simeq \mathbb{W}(A)^{*}/\mathbb{G}_m\), comme faisceaux pour la topologie fppf⁸ . La composée \(\mathcal{U}_A \to \mathcal{U}_A/\mu_2 \simeq \mathbb{W}(A)^{*}/\mathbb{G}_m \xrightarrow{u \mapsto u\bar{u}^{-1}} \mathcal{U}_A\) est \(u \mapsto u^{2}\) ; on la retrouvera page 41.

8–41

I. Formes quadratiques binaires et revêtements quadratiques (pages 8 à 41)

8–11

1. Formes à un scalaire près : structures de similitude (pages 8 à 11)

Soit \(E\) un Module. Le groupe \(\mathcal{O}^{*}\) opère sur \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\)⁹ , et une section du faisceau quotient \[ \underline{\mathrm{Sim}}(E) = \underline{\mathrm{Quad}}(E)/\mathcal{O}^{*} \] est une structure de similitude sur \(E\) : localement une forme \(Q\), deux formes \(Q\) et \(Q' = aQ\), \(a\) inversible, définissant la même. Elle est fidèle si \(a \mapsto aQ\), \(\mathcal{O} \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)\), est injective — le scalaire \(a\) est alors unique, et la condition ne dépend que de la structure.

Une structure de similitude \(\Sigma\) est déterminée par le sous-Module \(\Delta_\Sigma \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) qu'elle engendre, et \(\Sigma \mapsto \Delta_\Sigma\) est une bijection sur les sous-Modules localement monogènes¹⁰ . Les structures fidèles correspondent aux sous-Modules inversibles ; les structures strictement (ou universellement) fidèles, celles pour lesquelles \(\Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) reste injectif sur chaque fibre résiduelle, aux sous-fibrés en droites de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\), c'est-à-dire aux sections du fibré projectif des droites de \(\underline{\mathrm{Quad}}(E)\)¹¹ .

La forme canonique (1.4). Soient \(\Delta\) inversible et \(i : \Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) un homomorphisme quelconque. La forme \(Q_E : E \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)^{\vee}\), \(\langle f, Q_E(x)\rangle = f(x)\), est quadratique, et sa composée avec \({}^{t}i\) est une forme \[ Q_i : E \longrightarrow \Delta^{\vee} = \Delta' \] à valeurs dans un Module inversible. Pour une structure fidèle, \((\Delta, i)\) est déterminé par \(\Sigma\) à isomorphisme unique près, d'où la notation \(Q_\Sigma\). Si l'on choisit une base de \(\Delta\), \(Q_\Sigma\) redevient une forme ordinaire. D'où (1.5, en marge) : une structure de similitude strictement fidèle équivaut à la donnée d'un Module inversible \(\Delta'\) et d'une forme quadratique \(Q : E \to \Delta'\) qui n'est nulle sur aucune fibre résiduelle¹² . C'est la notion de forme quadratique à valeurs dans un fibré en droites, sous laquelle on la trouve aujourd'hui.

11–16

2. En rang \(2\) : l'anneau des homothéties (pages 11 à 16)

Désormais \(E\) est localement libre de rang \(2\), et \(L = \det E = \bigwedge^{2}E\). L'accouplement \((x, y) \mapsto x \wedge y\) donne \(E \simeq \check{E} \otimes L\), d'où \[ \underline{\mathrm{Quad}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(\check{E}) \otimes L^{\otimes -2} \] et un isomorphisme canonique \(\underline{\mathrm{Sim}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Sim}}(\check{E})\), involutif, qui respecte fidélité, stricte fidélité et non-dégénérescence (2.1).

La clef (2.2). La suite exacte \(0 \to \bigwedge^{2}E \to E \otimes E \to \mathrm{Sym}^{2}E \to 0\), \(x \wedge y \mapsto x \otimes y - y \otimes x\), tensorisée par \(L^{\vee}\), s'écrit, puisque \(E \otimes L^{\vee} \simeq \check{E}\) et \(E \otimes \check{E} \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & L \otimes L^{\vee} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & E \otimes E \otimes L^{\vee} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Sym}^{2}E \otimes L^{\vee} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E) \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

Le sous-module \(L \otimes L^{\vee}\) va sur les homothéties \(\mathcal{O}\cdot 1_E\)¹³ , et l'on obtient \[ \underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O}\cdot 1_E \simeq \mathrm{Sym}^{2}E \otimes L^{\vee} \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E) \otimes L . \] Une structure de similitude sur \(E\) est donc la même chose qu'un sous-Module localement monogène de \(\underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O}\), c'est-à-dire qu'un sous-Module \(A \subset \underline{\mathrm{End}}(E)\) contenant \(\mathcal{O}\cdot 1_E\) avec \(A/\mathcal{O}\) localement monogène ; les structures strictement fidèles correspondent aux sous-fibrés de rang \(2\) contenant \(\mathcal{O}\cdot 1_E\).

Lemme 1. Un tel \(A\) est localement de la forme \(\mathcal{O} + \mathcal{O}u\) ; c'est une sous-algèbre commutative de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), finie sur \(\mathcal{O}\), puisque \(u^{2} - \mathrm{Tr}(u)u + \det(u) = 0\) (Cayley–Hamilton). On l'appelle l'anneau des homothéties (directes) de \(\Sigma\), et on le note \(A_\Sigma\)¹⁴ .

Lemme 2. Pour \(\Sigma\) de la forme \(A = \mathcal{O} + \mathcal{O}u\), sont équivalentes : \(\Sigma\) strictement fidèle ; \(A\) localement libre de rang \(2\) et \(A(s) \to \underline{\mathrm{End}}(E(s))\) injectif en tout point ; \(u(s)\) n'est scalaire en aucun point ; \(E\) est un \(A\)-Module inversible ; \(E\) est un \(A\)-Module localement monogène ; \(\underline{\mathrm{End}}(E)\) est un \(A\)-Module localement libre de rang \(2\)¹⁵ .

Corollaire 1. Alors \(\Delta \simeq (A/\mathcal{O}) \otimes L^{\vee}\), et la forme de définition est \[ Q_\Sigma : E \longrightarrow \Delta' \simeq (A/\mathcal{O})^{\vee} \otimes L. \]¹⁶ Pour une forme \(Q : E \to \Delta'\) et une section \(x\) de \(E\), sont équivalentes : \(a \mapsto ax\), \(A \to E\), est surjectif ; c'est un isomorphisme ; \(Q(x)\) est une base de \(\Delta'\) ; en tout point, \(x(s)\) n'est pas vecteur propre de \(u(s)\).

17–18

La forme \(Q_u\) et le discriminant (pages 17 et 18)

L'image d'un endomorphisme \(u\) dans \(\underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O} \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(E, L)\) est la forme \[ Q_u(x) = x \wedge u(x), \] nulle si et seulement si \(u\) est une homothétie. En coordonnées, pour \(u = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), \(Q_u(\lambda, \mu) = c\lambda^{2} + (d - a)\lambda\mu - b\mu^{2}\), et les \(u\) tels que \(Q_u = \alpha\lambda^{2} + \beta\lambda\mu + \gamma\mu^{2}\) sont les \[ u_a = \begin{pmatrix} a & -\gamma \\ \alpha & a + \beta \end{pmatrix}, \qquad a \text{ quelconque} \] — parmi lesquels \(u_0\), de trace \(\beta\) et de déterminant \(\alpha\gamma\)¹⁷ .

Pour une forme \(Q : E \to \Delta'\), la forme polaire \(\varphi_Q\) donne \(E \to \check{E} \otimes \Delta'\), dont le déterminant est une section \[ \mathrm{d}(Q) \in \Gamma\bigl((\Delta' \otimes L^{\vee})^{\otimes 2}\bigr), \] section de \(\mathcal{O}\) quand \(\Delta' = L\)¹⁸ . Et l'on a \[ \boxed{\ (\mathrm{Tr}\,u)^{2} - 4\det u = -\,\mathrm{d}(Q_u)\ } \] — « attention au signe » : avec \(\mathrm{d}(Q) = 4\alpha\gamma - \beta^{2}\), les deux membres valent \((a - d)^{2} + 4bc\). Dans les conventions de ce texte, le discriminant \(\delta\) de l'algèbre engendrée par \(u\) est celui, \(\beta^{2} - 4\alpha\gamma\), de la forme.

18–23

L'algèbre \(A_Q\) d'une forme (pages 18 à 23)

Soit \(Q : E \to \Delta'\) quelconque, nulle ou non. Elle équivaut à \(u_Q : \Lambda = \Delta \otimes L \to \underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O}\), et l'on définit \(A_Q\) comme l'image réciproque de l'extension des endomorphismes :

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & A_Q \arrow[r] \arrow[d, "u^{!}_Q"] & \Lambda \arrow[r] \arrow[d, "u_Q"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E) \arrow[r] & \underline{\mathrm{End}}(E)/\mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

\(A_Q\) est localement libre de rang \(2\), muni de la section \(1_Q\) et de la forme \(N_Q = \det \circ\, u^{!}_Q\), qui vaut \(1\) en \(1_Q\). Or un Module localement libre de rang \(2\) muni d'une section \(e\) et d'une forme quadratique \(N\) avec \(N(e) = 1\) porte une unique structure d'algèbre commutative d'unité \(e\) et de norme \(N\) : \(x^{2} = \varphi_N(x, e)\,x - N(x)\,e\) (c'est l'équivalence (1') \(\Leftrightarrow\) (2) de la page 58). \(A_Q\) est donc une algèbre quadratique, et \(u^{!}_Q\) un homomorphisme d'algèbres qui respecte trace, norme et involution canonique \(v \mapsto \bar{v} = \mathrm{Tr}(v) - v\) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\).

La construction est fonctorielle pour les isomorphismes et commute aux changements de base ; \(A_Q \simeq A_{\lambda Q}\) pour \(\lambda\) inversible, non pour \(\lambda = 0\). Sont équivalents : \(u^{!}_Q\) universellement injectif ; \(Q\) non nulle sur toute fibre résiduelle ; \(\Delta \to \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) universellement injectif ; \(\Sigma_Q\) strictement fidèle — et alors \(A_Q = A_\Sigma\)¹⁹ . Pour \(Q = 0\), \(A_Q = \mathcal{O} \oplus \Lambda\) avec \(\Lambda^{2} = 0\), l'algèbre des nombres duaux, et \(u^{!}_Q\) tue \(\Lambda\)²⁰ .

En coordonnées (2.6). Pour \(Q = \alpha\lambda^{2} + \beta\lambda\mu + \gamma\mu^{2}\), \[ A_Q = \mathcal{O}[u]/(u^{2} - \beta u + \alpha\gamma), \qquad u \longmapsto u_0 = \begin{pmatrix} 0 & -\gamma \\ \alpha & \beta \end{pmatrix}. \] C'est l'algèbre de Clifford paire de \(Q\) : dans \(C(Q)\), \(w = e_1e_2\) vérifie \(w^{2} = e_1(\beta - e_1e_2)e_2 = \beta w - \alpha\gamma\)²¹ . Les isomorphismes de transition quand on change de bases de \(E\) et de \(\Delta\) ne sont pas explicités : « Je ne vais pas faire l'explicitation ici ».

Le revêtement quadratique associé à \(A_Q\) « mérite de s'appeler l'invariant d'Arf de la forme binaire \(Q\) ». Il annonce un invariant d'Arf pour les formes scalaires de rang quelconque, en distinguant rang pair et rang impair ; le dossier ne le construit pas²² .

23–27

3. Le théorème récapitulatif (pages 23 à 27)

Théorème. Les catégories fibrées en groupoïdes suivantes, sur la catégorie des schémas, sont équivalentes :

1. (1)les couples \((E, \Delta)\), \(E\) localement libre de rang \(2\), \(\Delta \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E)\) un sous-fibré en droites (structures de similitude strictement fidèles) ;
2. (1')les triplets \((E, \Delta', Q)\), \(Q : E \to \Delta'\) nulle sur aucune fibre résiduelle ;
3. (2)les couples \((A, E)\), \(A\) algèbre quadratique, \(E\) un \(A\)-Module inversible ;
4. (2')les couples \((X', \Lambda')\), \(X'\) revêtement quadratique de \(X\), \(\Lambda'\) inversible sur \(X'\).

(1) \(\Leftrightarrow\) (1') est la section 1 ; (2) \(\Leftrightarrow\) (2') est le dictionnaire des spectres ; (1) \(\Rightarrow\) (2) est la section 2. Dans l'autre sens, pour \(p : X' \to X\), \[ E = p_{*}\Lambda', \qquad \Delta' = N_{X'/X}(\Lambda'), \qquad Q : p_{*}\Lambda' \to N_{X'/X}(\Lambda') \ \text{l'application norme}, \] la norme d'un Module inversible le long d'un morphisme fini localement libre²³ .

Corollaire 1. Ces catégories équivalent aussi à celle des couples \((A, P)\), \(P\) un torseur sous \(\mathbb{W}(A)^{*}\), schéma en groupes lisse de dimension relative \(2\). En termes de \((E, Q)\), \(P\) est le schéma des sections locales \(x\) de \(E\) telles que \(Q(x)\) soit une base de \(\Delta'\) ; inversement \(\Delta'\) est le fibré en droites déduit de \(P\) par la norme \(\mathbb{W}(A)^{*} \to \mathbb{G}_m\). Il revient au même de prendre des torseurs pour la topologie de Zariski ou fpqc, un module inversible sur une algèbre finie sur un anneau local étant libre.

Corollaire 2. Les couples \((E, Q)\), \(Q : E \to \mathcal{O}\) à valeurs scalaires et nulle sur aucune fibre, équivalent aux couples \((A, \Pi)\), \(\Pi\) un torseur sous \(\mathcal{U}_A\) ; \(\Pi\) est le schéma des \(x\) tels que \(Q(x) = 1\). Ici la topologie de Zariski ne suffit plus²⁴ .

Les racines de la forme. Le revêtement quadratique de \(Q\) est le sous-schéma \(Q = 0\) du fibré projectif des droites de \(E\) : à une section de \(\operatorname{Spec} A\), c'est-à-dire à un homomorphisme \(A \to \mathcal{O}\) de noyau \(J\), répond la droite \(D = J\cdot E\), sur laquelle \(Q\) est nulle, et toute droite isotrope est de cette forme. (On peut supposer \(E = A\) et \(Q\) la norme, et c'est immédiat.)

27–34

4. Le point de vue de l'algèbre d'Azumaya (pages 27 à 34)

La notion de structure de similitude, et ses variantes, « ne dépend que de \(E\) à tensorisation près par un Module inversible », donc seulement de l'algèbre d'Azumaya \(\mathcal{M} = \underline{\mathrm{End}}(E)\), de rang \(4\)²⁵ . Pour une algèbre d'Azumaya \(\mathcal{M}\) de rang \(4\) quelconque (une algèbre de quaternions), une structure de similitude est un sous-Module localement monogène de \(\mathcal{M}/\mathcal{O}\cdot 1\), qui « joue le rôle du Module des formes quadratiques » ; dans le cas strictement fidèle, le revêtement quadratique associé est l'intersection de \(\mathbb{P}(A) \subset \mathbb{P}(\mathcal{M})\) avec la quadrique de la norme réduite, \(\mathrm{Nrd}_{\mathcal{M}}(x) = 0\) — tautologiquement, puisque la norme réduite induit sur \(A\) sa norme²⁶ .

Que devient le \(A\)-Module \(E\) ? Il n'est plus défini qu'à un facteur près venu de la base, \(\Lambda \mapsto \Lambda \otimes p^{*}\Theta\) sur \(X'\). Mais \(\Lambda \otimes \sigma^{*}\Lambda^{-1}\) ne change pas, et sa norme est triviale. On s'attend donc à trouver un \(A\)-Module canonique, ou, ce qui revient au même, une réduction à \(\mathcal{U}_A\) du groupe structural \(\mathbb{W}(A)^{*}\).

Une hypothèse fausse (pages 29 à 31). Le candidat évident est \(\mathcal{M}/A\), inversible sur \(A\) dans le cas strictement fidèle. Pour \(\mathcal{M} = \underline{\mathrm{End}}(E)\), il cherche un isomorphisme canonique, à scalaire près, \(E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/A\). Le calcul des déterminants sur \(A\) des deux structures, gauche et droite, de \(\underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E \otimes \check{E}\) donne \[ \underline{\mathrm{End}}(E)/A \simeq \det\nolimits_A \underline{\mathrm{End}}(E) \simeq E^{\otimes_A 2} \otimes \check{L} \simeq \check{E}^{\otimes_A 2} \otimes L . \] Un isomorphisme \(E \simeq \underline{\mathrm{End}}(E)/A\) reviendrait à une base de \(E \otimes \check{L}\) sur \(A\), c'est-à-dire à une droite canonique dans \(E\) ; il n'y en a pas. « Donc la supposition du début est erronée. »²⁷

En rectifiant le tir (pages 32 et 33). Il pose, localement sur une base \((1, u)\) de \(A\), \[ \varphi_u : \mathcal{M} \to \mathcal{M}, \qquad \theta \longmapsto u\theta - \theta\bar{u}, \] \(A\)-linéaire pour la structure gauche, qui ne dépend que de l'image de \(u\) dans \(A/\mathcal{O}\) ; d'où une suite exacte de \(A\)-Modules à gauche \(\mathcal{M} \otimes \check{\Lambda} \to \mathcal{M} \to C \to 0\), \(C = \operatorname{Coker} \varphi_u\), et le Module cherché \(E \otimes_A \check{E}^{\otimes_A -1} \simeq C\)²⁸ . Il faudrait maintenant un isomorphisme canonique \(N_{A/\mathcal{O}}(C) \simeq \mathcal{O}\) ; il n'est pas construit. L'autodualité \(\langle\theta, \theta'\rangle = \mathrm{Trd}(\theta\bar{\theta}')\) de \(\mathcal{M}\) donne \({}^{t}\varphi_u = \varphi_{\bar{u}} = -\varphi_u\), donc le dual de \(\operatorname{Coker}\varphi_u\) est \(\operatorname{Ker}\varphi_u\), et à un Module inversible de la base près, \(C\) est le dual sur \(A\) de \(\operatorname{Ker}\varphi_u\).

Or les sections inversibles de ce noyau ont un sens clair : \[ \{\theta \in \mathcal{M}^{*} \mid \theta u = \bar{u}\theta\} = \{\theta \text{ qui normalise } A \text{ et y induit } \sigma\}, \] pseudo-torseur sous le centralisateur \(A^{*}\) de \(A\), et torseur puisque, dans \(\mathbb{M}_2(\mathcal{O})\), \(u\) et \(\bar{u}\), de même trace et même norme et nulle part scalaires, sont localement conjugués.

34–38

L'unicité de la conjugaison (pages 34 et 38)

Proposition (le corollaire de la page 35, précisé). Soit \(A\) une algèbre quadratique, étale en tout point de \(X_0 = V(2\cdot 1_X)\). Tout automorphisme d'algèbre \(\theta\) de \(A\) induisant \(-\mathrm{id}\) sur \(A/\mathcal{O}\) coïncide, au voisinage de chaque point, avec l'involution canonique \(\sigma\) ou avec l'identité, et le second cas ne se produit qu'au voisinage de points où \(2 = 0\). En particulier \(\sigma\) est le seul tel automorphisme qui ne soit l'identité au voisinage d'aucun point.

Démonstration (pages 34 et 38). Localement \(A = \mathcal{O}[u]/(u^{2} + bu + c)\) et \(\theta(u) = \bar{u} + \alpha\) ; trace et norme conservées donnent \(2\alpha = 0\) et \(\alpha(\alpha - b) = 0\). Hors de \(X_0\), \(\alpha = 0\). En \(s \in X_0\), \(b_s\) est inversible (étalité). Si \(\alpha_s\) est inversible, \(\alpha = b\) près de \(s\), donc \(2b = 0\), donc \(2 = 0\) près de \(s\), et \(\theta(u) = -b - u + b = u\) : \(\theta\) est l'identité près de \(s\). Sinon \(\alpha_s \in \mathfrak{m}_s\), \(\alpha_s - b_s\) est inversible, et \(\alpha = 0\) près de \(s\)²⁹ .

Sans étalité, l'unicité tombe : pour \(A = \mathcal{O}[u]/(u^{2})\), les automorphismes induisant \(-\mathrm{id}\) sur \(A/\mathcal{O}\) sont les \(u \mapsto -u + \alpha\) avec \(2\alpha = 0\), \(\alpha^{2} = 0\), et en caractéristique \(2\) les \(u \mapsto u + \alpha\), \(\alpha^{2} = 0\) — nombreux sur une base non réduite, réduits à l'identité sur une base réduite.

35–41

4.2. Symétries (pages 37, 36, 35, 39 à 41)

Soient \((E, \Delta', Q)\) strictement fidèle et \(D \subset E\) un sous-fibré en droites totalement non isotrope : \(Q|D\) non nulle sur chaque fibre. Quitte à tensoriser par \(D^{-1}\), on suppose \(D = \mathcal{O}e\), \(Q\) scalaire et \(Q(e) = 1\). Alors \(f : A \to E\), \(a \mapsto ae\), est un isomorphisme de modules quadratiques, puisque \(Q(ax) = N(a)\,Q(x)\) ; il transporte la structure d'algèbre de \(A\) en l'unique structure d'unité \(e\) et de norme \(Q\). On définit la symétrie \(\sigma_D\) en transportant l'involution canonique : \[ \sigma_D(ae) = \bar{a}\,e, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \sigma_D(x) = \varphi_Q(e, x)\,e - x . \] Elle induit \(\mathrm{id}\) sur \(D\), \(-\mathrm{id}\) sur \(E/D\), et \(\det\sigma_D = -1\). Si \(2\) est inversible, \(\sigma_D(x) = 2(e\cdot x)\,e - x\) : c'est la symétrie orthogonale d'axe \(D\) du plan, l'opposée de la réflexion d'hyperplan \(e^{\perp}\)³⁰ .

Proposition (page 35). Si \(A\) est étale en tout point de \(X_0\), \(\sigma_D\) est l'unique automorphisme de la structure de similitude qui induise \(\mathrm{id}\) sur \(D\), \(-\mathrm{id}\) sur \(E/D\), et ne soit l'identité au voisinage d'aucun point. C'est la proposition précédente, transportée par \(f\).

Lemme (page 39). \(\sigma_D\) normalise \(A \subset \underline{\mathrm{End}}(E)\) et y induit l'involution canonique : \(\sigma_D\,u\,\sigma_D^{-1} = \bar{u}\). Pour \(E = A\), \(D = \mathcal{O}\cdot 1\), c'est \(\overline{u\bar{x}} = \bar{u}x\).

Proposition (pages 39 et 40). Soient \[ \mathcal{J} = \{\theta \in \underline{\mathrm{End}}(E) \mid \theta u = \bar{u}\theta \ \text{pour } u \in A\}, \qquad \Pi = \{\theta \in \mathcal{J} \mid \det\theta = -1\}. \]

1. a)\(\mathcal{J}\) est un sous-fibré de rang \(2\) de \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), sous-\(A\)-Module à gauche et à droite, les deux structures liées par \(u\theta = \theta\bar{u}\) ; c'est un \(A\)-Module inversible.
2. b)\(\Pi\) est un torseur sous \(\mathcal{U}_A\) pour la multiplication, localement trivial pour Zariski, puisqu'il contient les \(\sigma_D\)³¹ .
3. c)Soit \(P^{*} = \mathbb{P}(E) - X'\) le schéma des droites totalement non isotropes de \(E\)³² . \(\mathbb{W}(A)^{*}\) y opère, à travers \(\mathbb{W}(A)^{*}/\mathbb{G}_m\), et \(D \mapsto \sigma_D\) est une application \(f : P^{*} \to \Pi\) telle que \[ f(u\cdot D) = u\bar{u}^{-1} f(D) \qquad (u \in \mathbb{W}(A)^{*}), \] compatible avec l'homomorphisme \(u \mapsto u\bar{u}^{-1}\) de la page 5 ; sur \(\mathcal{U}_A\), celui-ci est \(u \mapsto u^{2}\) (page 41). En effet \(\sigma_{uD} = u\sigma_Du^{-1} = u\bar{u}^{-1}\sigma_D\) par le lemme.

Le module \(\mathcal{J}\), inversible sur \(A\), et son torseur \(\Pi\) sous \(\mathcal{U}_A\), sont la réponse à la question de la page 28 que les pages 32 et 33 avaient approchée : \(\mathcal{J}\) est, au signe près de l'involution, le noyau de \(\varphi_u\)³³ . La page 41 s'arrête sur l'équivariance.

42–121

II. \(\chi\)-scindages, produits contractés, revêtements quadratiques (pages 42 à 121)

La feuille de couverture, sur papier à musique, numérotée « (79) », porte le titre : « \(\chi\)-scindages, produits contractés d'extensions \(\chi\)-scindées, produits contractés de revêtements quadratiques, invariants d'Hasse–Stiefel–Whitney généralisés, etc. »³⁴

43–47

Un revêtement quadratique comme fonction polynôme (pages 43 à 47)

Avec les conventions posées plus haut, \(N(1) = 1\) et \(T(1) = 2\) ; \(\mathrm{Sym}^{2}E\) a une suite de composition de quotients \(\mathcal{O}\), \(L\), \(L^{\otimes 2}\), et \[ \boxed{\ T^{2} - 4N = \delta\ }, \qquad \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}. \] Dans le cas décomposé \(A = \mathcal{O} \times \mathcal{O}\), les deux projections \(x', x''\) donnent \(T = x' + x''\), \(N = x'x''\), \(\delta = (x' - x'')^{2}\)³⁵ .

Ce cas suggère la fonction \(x \mapsto (x - x')(x - x'')\) sur \(P_1\), c'est-à-dire \(x \mapsto x^{2} - Tx + N\), et la forme quadratique sur \(E\) \[ Q(x) = x^{2} - \psi(x)\,Tx + \psi(x)^{2}N , \] définie sans supposer \(x', x''\), à valeurs dans \(\mathrm{Sym}^{2}E\) mais en fait dans \(L^{\otimes 2}\) (« argument universel »), et dont la restriction à \(L\) est \(u \mapsto u^{2}\). D'où une équivalence de catégories fibrées entre revêtements quadratiques et triplets \((L, P_1, Q)\), \(P_1\) un \(L\)-torseur et \(Q : P_1 \to L^{\otimes 2}\) une fonction polynôme de degré \(2\) de partie homogène \(u \mapsto u^{2}\) ; le revêtement est le schéma des zéros de \(Q\) dans le fibré affine \(P_1\).

La forme polaire de \(N\) donne \(\varphi_N : A \to E\), et \[ \boxed{\ Q(\varphi_N(x)) = -N(x)\,\delta\ } \] (vérifiable sur le cas décomposé, ou sur les formules de la page 52)³⁶ . Sont équivalents : \(X'\) étale sur \(X\) ; \(\varphi_N\) isomorphisme ; \(\delta\) inversible. Si \(\delta = 0\), \(Q \circ \varphi_N = 0\).

Le cas où \(2\) est inversible. L'application \(x \mapsto z = 2x - T\), \(P_1 \to L\), est un isomorphisme si \(2\) est inversible, et \[ Q(T + z) = z^{2} - \delta, \qquad 4Q(x) = Q(2x) = Q(T + z). \] Une section \(x\) de \(X'\) donne donc une racine carrée \(z\) de \(\delta\), et réciproquement quand \(2\) est inversible : c'est la théorie de Kummer. L'involution du revêtement est \(x \mapsto \bar{x} = \psi(x)T - x\), et \(\bar{z} = -z\)³⁷ .

Ce qui reste quand \(2\) ne l'est pas. Sur \(X_0 = V(2)\), \(\psi(T) = 2 = 0\), donc \(T\) y est une section \(T_0\) de \(L_0\), et \(T_0^{2} = \delta_0\). Mieux : tout relèvement local \(\tau\) de \(T_0\) en une section de \(L\) vérifie \(\tau^{2} \equiv \delta\) modulo \(4L^{\otimes 2}\), indépendamment du relèvement, puisque \((\tau + 2a)^{2} \equiv \tau^{2}\) modulo \(4\). Il l'écrit \[ \boxed{\ T_0^{2} \equiv \delta \pmod 4\ }. \] Si \(x\) est une section de \(X'\) et \(z = 2x - T\), alors \(z^{2} = \delta\) et \(z_0 = T_0\) : \(z\) est une racine carrée de \(\delta\) qui prolonge celle, \(T_0\), déjà donnée sur \(X_0\).

48–53

Quand \(2\) est régulier : les triplets \((L, \delta, T_0)\) (pages 48 à 53)

Le foncteur \(\mathfrak{X}'\) des racines carrées \(z\) de \(\delta\) telles que \(z_0 = T_0\) est un faisceau fpqc, non représentable en général ; il est torseur, si \(\delta\) est inversible, sous \(\mu'_2 = \{\lambda : \lambda^{2} = 1,\ \lambda_0 = 1\}\), et \(f : X' \to \mathfrak{X}'\), \(x \mapsto 2x - T\), est compatible à \((\mathbf{Z}/2)_X \to \mu'_2\) : \(f(\bar{x}) = -f(x)\)³⁸ .

Théorème. Supposons \(2\) non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_X\). La donnée d'un revêtement quadratique de \(X\) équivaut à celle d'un triplet \[ (L, \delta, T_0), \qquad L \text{ inversible}, \quad \delta \in \Gamma L^{\otimes 2}, \quad T_0 \in \Gamma(X_0, L_0), \qquad T_0^{2} \equiv \delta \pmod 4 . \] Puisque \(X - X_0\) est schématiquement dense, une section \(x\) est connue par \(z = 2x - T\), et l'on reconstruit tout en divisant par \(2\) ou \(4\) là où c'est permis. Pour \(\tau\) un relèvement local de \(T_0\) : \[ \Gamma E = \{(\lambda, \zeta) \mid \lambda \in \Gamma\mathcal{O},\ \zeta \in \Gamma(\lambda\tau + 2L)\}, \qquad \lambda = \psi(x),\ \zeta = 2x - \psi(x)T , \] \[ \Gamma A = \{(b, \gamma) \in \Gamma\mathcal{O} \times \Gamma\check{L} \mid b_0 = \gamma_0 T_0\}, \qquad b = \mathrm{Tr}(x), \] avec l'unité \((2, 0)\), la trace \(T(b, \gamma) = b\), la norme et le produit \[ N(b, \gamma) = \frac{b^{2} - \gamma^{2}\delta}{4}, \qquad (b, \gamma)(b', \gamma') = \Bigl(\frac{bb' + \gamma\gamma'\delta}{2}, \frac{b\gamma' + \gamma b'}{2}\Bigr), \] le couplage \(\langle (b, \gamma), (\lambda, \zeta)\rangle = \tfrac{1}{2}(\lambda b + \gamma\zeta)\), l'application \(\varphi_N(b, \gamma) = (b, -\gamma\delta)\), et la forme \[ Q(\lambda, \zeta) = \frac{\zeta^{2} - \lambda^{2}\delta}{4} . \] Chaque division est légitime : \(b \equiv \gamma T\) et \(\zeta \equiv \lambda T\) modulo \(2\), d'où \(b^{2} - \gamma^{2}\delta \equiv \gamma^{2}(T^{2} - \delta) \equiv 0\) modulo \(4\), et de même pour \(\zeta\) ; il le vérifie à chaque étape. La forme \(Q\) est proportionnelle à celle de la page 45, puisqu'elles ont les mêmes zéros sur \(P_1\), et le facteur est \(1\) : en \(y = T = (2, 0)\), les deux valent \(-\delta\)³⁹ .

Sur \(\mathbf{Z}\), où \(L = \mathcal{O}\), \(X_0 = \operatorname{Spec}\mathbf{F}_2\) et \(T_0 \in \mathbf{F}_2\), la condition \(T_0^{2} \equiv \delta\) modulo \(4\) dit exactement que \(\delta \equiv 0\) ou \(1\) modulo \(4\), et que \(T_0\) est déterminé par \(\delta\) : le théorème généralise la classification classique des anneaux quadratiques par leur discriminant, avec la congruence de Stickelberger⁴⁰ .

53–55

Torseurs sous \(\mu_2\) et sous \(\mathbf{Z}/2\) (pages 53 à 55)

L'homomorphisme \((\mathbf{Z}/2)_X \to \mu_{2,X}\) donne, si \(2\) est régulier, le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
\mathrm{Tors}(\mathbf{Z}/2) \arrow[r, "\mathrm{Ass}"] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Tors}(\mu_2) \arrow[r, "\mathrm{Oub}"] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{RevQuad}(X) \arrow[d, "\wr"] \\
\{(L, \delta, T_0),\ \delta \text{ inv.}\} \arrow[r, "\mathrm{Ass}'"] & \{(L, \theta),\ \theta \text{ inv.}\} \arrow[r, "\mathrm{Oub}'"] & \{(L, \delta, T_0)\}
\end{tikzcd}

avec \(\mathrm{Ass}'(L, \delta, T_0) = (L, \delta)\) et \(\mathrm{Oub}'(L, \theta) = (L, 4\theta, 0)\) : le \(\mu_2\)-torseur \(z^{2} = \theta\) vu comme revêtement quadratique, de discriminant \(4\theta\) et de trace nulle. \(\mathrm{Oub}'\) ne commute pas aux produits, même si \(2\) est inversible : \((LL', 16\theta\theta')\) n'est pas en général isomorphe à \((LL', 4\theta\theta')\) — sur \(\mathbf{Z}\), avec \(\theta = \theta' = 1\), il faudrait une unité de carré \(4\).

Les revêtements quadratiques forment au contraire une catégorie monoïdale symétrique pour \[ (L, \delta, T_0) * (L', \delta', T'_0) = (L \otimes L', \delta\delta', T_0T'_0), \] qui prolonge le produit contracté des \((\mathbf{Z}/2)\)-torseurs ; la condition \((T_0T'_0)^{2} \equiv \delta\delta'\) modulo \(4\) se vérifie aussitôt. C'est ce produit que la suite du dossier construit sans l'hypothèse « \(2\) régulier ».

Une catégorie mixte. Soit \(\mathrm{RevQuad}^{!}(X)\) la sous-catégorie pleine des revêtements de \(T_0 = 0\) : trace nulle sur \(X_0\), norme additive sur \(X_0\). Il définit une catégorie monoïdale des couples \((n, \mathfrak{X})\), \(n \in \mathbf{Z}/2\) une parité, \(\mathfrak{X} \in \mathrm{RevQuad}^{!}\) si \(n = 1\), avec le produit usuel si l'une des parités est paire, et, pour deux impaires, \[ (L, \delta, 0) *^{!} (L', \delta', 0) = (L \otimes L', \tfrac{1}{4}\delta\delta', 0) : \] \(T_0 = 0\) force \(\delta = 4\Delta\) localement, et \(\tfrac{1}{4}\delta\delta' := 4\Delta\Delta'\) ne dépend pas du choix de \(\Delta\) à un \(h\) près avec \(4h = 0\)⁴¹ . Il reste à « lui donner un sens indépendamment de la condition \(2\) régulier, exercice catégorique universel » ; le dossier ne le fait pas. C'est la même intention que celle des pages 1 et 2.

56–57

En caractéristique \(2\) (pages 56 et 57)

Si \(2 = 0\) sur \(X\), l'application \(f_T : L \to L^{\otimes 2}\), \(u \mapsto u^{2} + Tu\), est additive (et semi-linéaire pour le Frobenius) ; elle est étale si et seulement si \(T\) est inversible, et s'identifie alors à l'application d'Artin–Schreier \(u \mapsto u^{2} + u\). Son noyau \(G_T\) est un schéma en groupes fini localement libre d'ordre \(2\), étale si et seulement si \(T\) est inversible⁴² . Si \(x\) est une section de \(X'\), \(Q(x + u) = Q(x) + u^{2} + Tu\) ; donc \(X'\) est un torseur sous \(G_T\).

Théorème. Sur les schémas de caractéristique \(2\) (ou les topos localement annelés de caractéristique \(2\)), les revêtements quadratiques équivalent aux données \((L, P_1, T, \alpha)\) : \(L\) inversible, \(P_1\) un \(L\)-torseur, \(T \in \Gamma L\), \(\alpha\) une section du \(L^{\otimes 2}\)-torseur \(f_{T*}P_1\) déduit de \(P_1\) par \(f_T\). Le revêtement est la fibre en \(\alpha\) de l'application canonique \(P_1 \to f_{T*}P_1\), torseur sous \(G_T\) : « Plus de doute, c'est lui ! »⁴³

Le produit contracté s'y lit sans peine : \((u, u') \mapsto uT' + Tu'\) est un homomorphisme \(G_T \times G_{T'} \to G_{TT'}\), puisque \(f_{TT'}(uT') = T'^{2}f_T(u)\), et l'extension du groupe structural donne \(\mathfrak{X} * \mathfrak{X}'\), torseur sous \(G_{TT'}\).

58–61

Quatre catégories équivalentes (pages 58 à 61)

Sur les schémas, ou sur les topos localement annelés, sont canoniquement équivalentes :

1. (1)les revêtements quadratiques \(X'/X\) ; (1') les \(\mathcal{O}\)-algèbres commutatives localement libres de rang \(2\) ;
2. (2)les triplets \((A, N, e)\), \((A, N)\) un module quadratique localement libre de rang \(2\), \(e\) une section avec \(N(e) = 1\) ;
3. (3)les triplets \((L, P, Q)\), \(Q : P \to L^{\otimes 2}\) polynomiale de partie homogène \(u \mapsto u^{2}\), c'est-à-dire \(Q(x + u) = Q(x) + u^{2} + \ell_x(u)\) avec \(\ell_x\) affine en \(x\) ;
4. (3')les couples formés d'une extension \(0 \to L \to E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0\), \(L\) inversible, et d'une forme \(Q : E \to L^{\otimes 2}\) de restriction \(u \mapsto u^{2}\) à \(L\).

La fonction \(Q(x) - x^{2}\) sur \(P\) est affine (sa partie quadratique est nulle). Dans un scindage \(e \in \Gamma P_1\), \(Q(e + u) = u^{2} + bu + c\), et \[ Q(x) = x^{2} - xT + N, \qquad \boxed{T = 2e - b, \quad N = e^{2} + c - be}, \qquad \psi(T) = 2,\ N(e) = 1, \] indépendants du scindage. Le couple \((T, N)\) est un point d'un torseur sous \(L^{\otimes 2} \otimes \check{E} \simeq L \otimes E\) (pour \(E\) de rang \(2\), \(E \simeq \check{E} \otimes \det E\)), l'espace des applications affines \(P_1 \to L^{\otimes 2}\), celle définie par \(\xi \in L \otimes E\) étant \(x \mapsto x \wedge \xi\). Inversement, \((T, N)\) provient d'une \(Q\) si et seulement si \(\psi(T) = 2\), \(N(e) = 1\), et \(T(x) = \varphi_N(x, e)\) : « \(N\) détermine \(T\) ». La condition \(4N - T^{2} \in L^{\otimes 2}\) ne suffit pas ; en coordonnées, \(T = 2x_0 + t\) et \(N = x_0^{2} - bx_0 + c\) exigent \(t = -b\), et alors \[ Q(x_0 + u) = u^{2} + bu + c, \qquad \delta = T^{2} - 4N = b^{2} - 4c . \]

62–65

Le produit contracté, deviné (pages 62 à 65)

On veut un produit \(X_1 * X_2\) avec \(L(X_1 * X_2) = L_1 \otimes L_2\), \(\delta = \delta_1\delta_2\), et une application \((x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2\), \(P_{X_1} \times P_{X_2} \to P_{X_1 * X_2}\), qui envoie \(X_1 \times X_2\) dans \(X_1 * X_2\). Dans des scindages, il pose \(b = b_1b_2\) (« sauf erreur ») et en tire \(c\) par \(4c = b^{2} - \delta\) : \[ \boxed{\ c = c_1\delta_2 + c_2\delta_1 + 4c_1c_2 = b_2^{2}c_1 + b_1^{2}c_2 - 4c_1c_2\ } \] — expression qui, sous sa seconde forme, n'a plus de dénominateur⁴⁴ . Puis : « Je devine qu'on a » \[ (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + (u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2). \] Il le vérifie par l'identité, valable pour tous \(u_i \in \Gamma L_i\), où \(Q_i(u_i) = u_i^{2} + b_iu_i + c_i\) et \(u = u_1b_2 + u_2b_1 + 2u_1u_2\) : \[ u^{2} + bu + c = b_2^{2}Q_1(u_1) + b_1^{2}Q_2(u_2) + 4\bigl[Q_1(u_1)Q_2(u_2) - c_1Q_2(u_2) - c_2Q_1(u_1)\bigr], \] qui s'annule quand \(Q_1(u_1) = Q_2(u_2) = 0\)⁴⁵ . Il en retient, sous forme intrinsèque, \[ \boxed{\ Q(x_1 * x_2) = Q_1(x_1)\,\delta_2 + Q_2(x_2)\,\delta_1 + 4\,Q_1(x_1)Q_2(x_2)\ } . \] L'identité ci-dessus montre que cette formule, si elle vaut pour un couple de points de base, vaut pour tous : son second membre se réécrit \(Q_1\delta_2 + Q_2\delta_1 + 4Q_1Q_2\) avec \(Q_i = Q_i(x_i + u_i)\).

65–79

Digression affine : les torseurs \(\chi\)-trivialisés (pages 65 à 79)

Soit \(\chi \in \Gamma\mathcal{O}\) fixé. Il considère les extensions \(0 \to L \to E \xrightarrow{\psi} \mathcal{O} \to 0\) (c'est-à-dire les \(L\)-torseurs \(P = \psi^{-1}(1)\)) munies d'une \(\chi\)-trivialisation, donnée sous l'une des trois formes équivalentes :

• une section \(T\) de \(E\) avec \(\psi(T) = \chi\) (une trivialisation de \(P \wedge^{L}(L \xrightarrow{\chi} L)\)) ;
• une « \(\chi\)-section » \(\mathcal{O} \to E\), \(\lambda \mapsto \lambda T\) ;
• une « \(\chi\)-rétraction » \(\pi : E \to L\), \(\pi|_L = \chi\,\mathrm{id}_L\).

Elles se correspondent par \[ \boxed{\ \pi(x) = \chi x - \psi(x)\,T\ } ; \] en effet \(\psi(\chi x - \psi(x)T) = 0\), et réciproquement \(\chi x - \pi(x)\), nul sur \(L\), se factorise par \(E/L = \mathcal{O}\)⁴⁶ . Pour \(\chi = 2\) et \(E = \check{A}\), \(T\) est la trace, et \(b = \pi(x_0) = 2x_0 - T\) est le \(b\) des scindages.

Le produit. Pour deux telles extensions, soit \(E_1 \otimes_0 E_2 = L_1 \otimes E_2 + E_1 \otimes L_2 \subset E_1 \otimes E_2\), noyau de \(\psi_1 \otimes \psi_2\), et \(\mu : E_1 \otimes_0 E_2 \to L_1 \otimes L_2\) défini par \(\mathrm{id} \otimes \pi_2\) sur \(L_1 \otimes E_2\) et \(\pi_1 \otimes \mathrm{id}\) sur \(E_1 \otimes L_2\) — qui coïncident, égaux à \(\chi\), sur \(L_1 \otimes L_2\). Le produit \(E_1 * E_2\) est la somme amalgamée :

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\mu"] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r, "\psi_1 \otimes \psi_2"] \arrow[d] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 * E_2 \arrow[r, "\psi"] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

et sa \(\chi\)-rétraction est \[ \boxed{\ \pi(x_1 * x_2) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)\ } , \] bien définie sur la somme amalgamée parce que \(\pi_1 \otimes \pi_2\) et \(\chi\,\mathrm{id}_{L_1 \otimes L_2}\) coïncident sur \(E_1 \otimes_0 E_2\) à travers \(\mu\) (page 70 : « On y gagne ! »). Aucune division n'est nécessaire. Si \(\chi\) est régulier sur \(L_1 \otimes L_2\), la section correspondante est \(T = \tfrac{1}{\chi}\,T_1 * T_2\) ; en général on a \(\chi T = T_1 * T_2\), et, pour \(x_i \in \Gamma P_i\), \[ T = \chi\,(x_1 * x_2) - b_1 \otimes b_2, \qquad b_i = \pi_i(x_i). \]⁴⁷

Formulaire (pages 72 à 74). L'application \((x_1, x_2) \mapsto x_1 * x_2\) est bilinéaire, \(\psi(x_1 * x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\), donc elle envoie \(P_1 \times P_2\) dans \(P\), et \[ u_1 * x_2 = u_1 \otimes \pi_2(x_2), \qquad x_1 * u_2 = \pi_1(x_1) \otimes u_2, \qquad u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2, \] \[ (x_1 + u_1) * (x_2 + u_2) = x_1 * x_2 + u_1 \otimes \pi_2(x_2) + \pi_1(x_1) \otimes u_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 . \] Pour \(\chi = 2\), c'est la formule devinée page 63.

Propriété universelle (pages 75 et 76). Une application « bi-affine » compatible aux \(\chi\)-trivialisations, de \(P_1 \times P_2\) dans un torseur \(\Pi\) sous \(M\), est un couple \((f, \alpha)\), \(\alpha : L_1 \times L_2 \to M\) bilinéaire, avec \[ f(x_1 + u_1, x_2) = f(x_1, x_2) + \alpha(u_1, \pi_2(x_2)), \qquad f(x_1, x_2 + u_2) = f(x_1, x_2) + \alpha(\pi_1(x_1), u_2) ; \]⁴⁸ la donnée de \(\alpha\) n'est pas superflue, car \((E_1 \otimes L_2) \oplus (L_1 \otimes E_2) \to L_1 \otimes L_2\) n'est pas surjectif en général. \((P_1 * P_2, *)\) est universel pour ces applications, et le reste si l'on exige aussi \(\pi_\Pi(f(x_1, x_2)) = \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2)\). Un morphisme de torseurs \(\chi\)-trivialisés est un morphisme affine \(f\), de partie linéaire \(f_0\), avec \(\pi'(f(x)) = f_0(\pi(x))\) ; en termes d'extensions, \(f(T) = T'\).

Le cas scindé (pages 77 à 79). Un scindage est une section \(x_0\) de \(P\) ; la \(\chi\)-trivialisation équivaut alors à \(b = \pi(x_0) \in \Gamma L\), avec \(T = (-b, \chi)\) et \(\pi(u, \lambda) = \lambda b + \chi u\) dans \(E \simeq L \oplus \mathcal{O}\). Pour des scindages \(x_1, x_2\), \(P_1 * P_2\) est scindé par \(x_1 * x_2\) et \[ b = b_1 \otimes b_2 \] — « Il n'y a pas plus simple ! ». Les contraintes de commutativité et d'associativité sont caractérisées par \(x_1 * x_2 \mapsto x_2 * x_1\), \((x_1 * x_2) * x_3 \mapsto x_1 * (x_2 * x_3)\) et les isomorphismes correspondants des \(L_i\). L'unité est \(E_0 = \mathcal{O} \times \mathcal{O}\), \(x_0 = (0, 1)\), \(\pi(u, \lambda) = \lambda + \chi u\), \(T = (-1, \chi)\) : un scindage est unitaire si \(b\) est une base de \(L\), et \(P_0 * P_1 \simeq P_1\) par \(x_1 \mapsto x_0 * x_1\), \(u_1 \mapsto b_0 \otimes u_1\). Un objet est inversible pour \(*\) si et seulement si \(L\) est inversible et, sur \(X_0 = V(\chi)\), la section \(T_0 = -b_0\) de \(L_0\) est une base⁴⁹ . Pour \(\chi = 2\) : l'extension \(2\)-trivialisée d'un revêtement quadratique est inversible si et seulement si le revêtement est étale en tout point de caractéristique \(2\).

79–87

Le cas \(\chi = 2\) : involution et coinvariants (pages 79 à 87)

« Les revêtements quadratiques : à partir de maintenant \(\chi = 2\). » L'involution \(\sigma_E(x) = \bar{x} = \psi(x)T - x\) respecte \(\psi\), induit \(-\mathrm{id}\) sur \(L\) et \(\mathrm{id}\) sur \(\mathcal{O}\). Si \(2\) est inversible, \(x_0 = \tfrac{1}{2}T\) scinde canoniquement, \(b = 0\), et le produit \(*\) se réduit au produit tensoriel des \(L_i\) : « La théorie est tt. triviale pour \(2\) inversible ! […] Le cas intéressant est celui où \(2\) n'est pas inversible. » On a \[ \overline{x_1 * x_2} = \bar{x}_1 * x_2 = x_1 * \bar{x}_2, \qquad \bar{x}_1 * \bar{x}_2 = x_1 * x_2, \] par exemple \(\bar{x}_1 * x_2 = x_1 * x_2 - b_1 \otimes b_2 = T - x_1 * x_2\).

L'application \(E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2\) se factorise donc par les coinvariants de \(\sigma_1 \otimes \sigma_2\). Quand est-ce un isomorphisme ?

Proposition (page 85). Supposons \(L_1\), \(L_2\) inversibles. Pour que \(E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2\) induise un isomorphisme \[ (E_1 \otimes E_2)/\operatorname{Im}(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}) \xrightarrow{\ \sim\ } E_1 * E_2, \] il faut et il suffit qu'en tout point de \(X_0 = V(2)\), \(T_{1,0}\) ou \(T_{2,0}\) engendre \(L_{1,0}\), resp. \(L_{2,0}\) — c'est-à-dire que \(X_1\) ou \(X_2\) y soit étale. Avec des bases et des scindages, la condition s'écrit \(2\mathcal{O} + b_1\mathcal{O} + b_2\mathcal{O} = \mathcal{O}\).

La condition est celle de la surjectivité : l'image de \(\pi_i\) est \(\mathcal{O}b_i + 2L_i\), et le conoyau de \(E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2\) est \(\operatorname{Coker}\pi_1 \otimes \operatorname{Coker}\pi_2\). L'égalité du noyau et de l'image de \(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}\) s'en déduit. La page le vérifie au-dessus de \(X_0\) par un décompte de rangs ; on peut aussi le faire directement. Localement, \(L_i = \mathcal{O}e_i\), \(b_i = \beta_i e_i\), et près d'un point où \(\beta_1\) est inversible : dans la base \((e_1 \otimes e_2, e_1 \otimes x_2, x_1 \otimes e_2, x_1 \otimes x_2)\), le noyau est \(\{(a, a', a'', 0) : 2a + \beta_2a' + \beta_1a'' = 0\}\), de base \((1, 0, -2/\beta_1, 0)\) et \((0, 1, -\beta_2/\beta_1, 0)\), et l'image de \(\sigma_1 \otimes \sigma_2 - \mathrm{id}\) contient \((\beta_1, 0, -2, 0)\) et \((\beta_1\beta_2, -\beta_1, -\beta_2, 0)\), qui en sont, à des unités près, une base⁵⁰ .

Corollaire (page 86). Sous la même condition, et pour tout Module \(M\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(E_1 * E_2, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(E_1 \otimes E_2, M)^{\sigma_1 \otimes \sigma_2}\) ; en particulier, avec \(A_i = \check{E}_i\) et \(A = (E_1 * E_2)^{\vee}\), \[ A_1 * A_2 \xrightarrow{\ \sim\ } (A_1 \otimes A_2)^{\sigma_1 \otimes \sigma_2}, \] et réciproquement si cela reste vrai après tout changement de base. C'est la définition classique du produit des algèbres quadratiques étales ; elle reste valable dès qu'en chaque point de caractéristique \(2\) l'un des facteurs est étale⁵¹ .

Au-dessus de \(V(\chi)\) (pages 86 à 88). Si \(\chi = 0\) sur \(X\), une \(\chi\)-trivialisation n'est plus qu'une section \(T\) de \(L\), et \(\pi(x) = -T\) est constant. Alors \(u_1 * u_2 = 0\), \(E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2\) se factorise par \(E_1 \otimes E_2/L_1 \otimes L_2 \simeq E_1 \times_{\mathcal{O}} E_2\), l'extension du torseur produit \(P_1 \times P_2\), et \(E_1 * E_2\) s'en déduit par \((u_1, u_2) \mapsto u_1 \otimes b_2 + b_1 \otimes u_2\) : \(P_1 * P_2\) est poussé de \(P_1 \times P_2\) par cet homomorphisme, comme \(G_T \times G_{T'} \to G_{TT'}\) page 57⁵² .

88–92

La forme quadratique du produit (pages 88 à 92)

Soient maintenant sur \(E_1, E_2\) des formes \(Q_i : E_i \to L_i^{\otimes 2}\), de restriction \(u \mapsto u^{2}\) et de trace \(T_i\) (des revêtements quadratiques \(X_1, X_2\)), de discriminants \(\delta_i = b_i^{2} - 4c_i\), avec, dans des scindages, \(Q_i(\lambda x_i + u_i) = u_i^{2} + \lambda b_iu_i + \lambda^{2}c_i\).

Théorème (page 89). Il existe sur \(E = E_1 * E_2\) une unique forme quadratique \(Q\) à valeurs dans \(L^{\otimes 2}\), \(L = L_1 \otimes L_2\), admissible — de restriction \(u \mapsto u^{2}\) à \(L\) et de trace la section \(T\) de la \(2\)-trivialisation de \(E\) — telle que, pour \(x_i \in \Gamma P_i\), \[ Q(x_1 * x_2) = Q_1(x_1)\,\delta_2 + Q_2(x_2)\,\delta_1 + 4\,Q_1(x_1)Q_2(x_2), \] et, pour \(x_i \in \Gamma E_i\) quelconques, avec des facteurs \(\psi_2(x_2)^{2}\), \(\psi_1(x_1)^{2}\) devant les deux premiers termes. Dans les scindages \(x_1, x_2\), \(x_1 * x_2\) : \[ \boxed{\ b = b_1b_2, \qquad c = c_1b_2^{2} + c_2b_1^{2} - 4c_1c_2\ } . \] Corollaire. \(\delta = \delta_1\delta_2\) : \(b_1^{2}b_2^{2} - 4(c_1b_2^{2} + c_2b_1^{2} - 4c_1c_2) = (b_1^{2} - 4c_1)(b_2^{2} - 4c_2)\).

Les deux formules simples sont \(b = b_1b_2\) et \(\delta = \delta_1\delta_2\) ; celle de \(c\) s'en déduit « heuristiquement » en divisant \(4c = b^{2} - \delta\) par \(4\), et se démontre localement par l'identité de la page 64, « un petit calcul délicat, que j'ai pratiquement déjà fait plus haut »⁵³ . En termes de la page 46 : \(b = \pi(x) = 2x - T\) est la « racine carrée » \(z\) de \(\delta\) attachée au point \(x\) ; la formule \(b = b_1 \otimes b_2\) dit que le produit des revêtements multiplie les racines carrées, \(z = z_1z_2\), et le reste est l'arithmétique qui rend cela vrai sans diviser par \(2\)⁵⁴ .

Un programme (pages 91 et 92). Définir \(X_1 * X_2\) et \(X_1 \times X_2 \to X_1 * X_2\) ; les contraintes de commutativité, d'associativité, d'unité ; décrire \(X_1 * X_2\) quand \(X_1\) est étale comme \(X_2\) « tordu » par le \((\mathbf{Z}/2)\)-torseur \(X_1\) ; étudier quand \(X_1 * X_2\) est étale ; et l'énoncé « \(X_1 \times X_2 \to X_1 * X_2\) est fid. plat », dont la suite est illisible. Tel quel, ce dernier est faux : en caractéristique \(2\), pour \(X_1 = X_2 = \operatorname{Spec}\mathcal{O}[u]/(u^{2})\), on a \(b_1 = b_2 = 0\), l'application est \(u \mapsto 2u_1u_2 = 0\), et \(\mathcal{O}[u_1, u_2]/(u_1^{2}, u_2^{2})\) n'est pas plat sur \(\mathcal{O}[u]/(u^{2})\) ; il est vrai sous la condition de la proposition de la page 85⁵⁵ .

93–97

Dualité entre l'algèbre et l'extension (pages 93 à 97)

Un scindage \(x_0\) donne \(E \simeq L \oplus \mathcal{O}x_0\) et \(A \simeq \mathcal{O} \oplus L^{\vee}\), où \(L^{\vee} = \operatorname{Ker}(x_0)\). Pour \(u \in L^{\vee}\), \(\langle u, b\rangle = -\mathrm{Tr}(u)\), \(N(u) = \langle u^{\otimes 2}, c\rangle\), d'où l'équation minimale \(u^{2} + \langle u, b\rangle u + \langle u^{\otimes 2}, c\rangle = 0\)⁵⁶ , et \(N = x_0^{2} - x_0b + c\). Une section \(x = x_0 + v\) de \(P_1\) est un homomorphisme d'algèbres \(A \to \mathcal{O}\) si et seulement si \(v^{2} + bv + c = 0\), c'est-à-dire \(Q(v) = 0\).

L'isomorphisme \(g\). Pour \(E\) de rang \(2\), \(x \mapsto (y \mapsto x \wedge y)\) donne \(E \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(E, \det E)\), et \(\alpha(u) = x_0 \wedge u\), \(L \simeq \det E\), ne dépend pas de \(x_0\). D'où \(g : E \xrightarrow{\sim} A \otimes L\), \(g(x) = f_x\), \[ f_x(y) = \psi(x)\,y - \psi(y)\,x , \] vérifié en évaluant sur \(x = u\), \(y = x_0\). Et \(g\) est un isomorphisme d'extensions

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & L \arrow[r] \arrow[d, "-\mathrm{id}_L"'] & E \arrow[r, "\psi"] \arrow[d, "g"] & \mathcal{O} \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L \arrow[r] & A \otimes L \arrow[r] & \mathcal{O} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

— « attention au signe » : sur \(L\), \(g\) induit \(-\mathrm{id}_L\). Par \(g\), \(\underline{\mathrm{Quad}}(E, L^{\otimes 2}) \simeq \underline{\mathrm{Quad}}(A, \mathcal{O})\), et \(Q\) et \(N\) se correspondent ; le signe de \(-\mathrm{id}_L\) change celui du terme en \(b\) : \(Q(u + \lambda x_0) = u^{2} + \lambda\langle u, b\rangle + \lambda^{2}c\) et \(N(v + \lambda) = \lambda^{2} - \lambda\langle v, b\rangle + \langle v^{2}, c\rangle\). La formule \(Q(\varphi_N(x)) = -N(x)\,\delta\) est une identité entre formes sur le module générique de rang \(2\) muni d'une forme quadratique⁵⁷ .

98–106

Trace et norme de \(A_1 \otimes A_2\) sur \(A_1 * A_2\) (pages 98 à 106)

Transposé, \(E_1 \otimes E_2 \to E_1 * E_2\) donne \(i : A = A_1 * A_2 \to A_1 \otimes A_2\), et la somme amalgamée devient, côté algèbres : \[ A = (A_1 \otimes A_2) \amalg_{A_1 \oplus_{\mathcal{O}} A_2} \mathcal{O}, \qquad \tau = (\mathrm{Tr}_1, \mathrm{Tr}_2) : A_1 \oplus_{\mathcal{O}} A_2 \to \mathcal{O}, \] extension de \(L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee}\) par \(\mathcal{O}\) (\(\mathrm{Tr}_1(1) = \mathrm{Tr}_2(1) = 2\) rend \(\tau\) bien défini). En bases \((1, U_i)\), \(U_i^{2} + b_iU_i + c_i = 0\) : \[ A \simeq \mathcal{O}[\mathcal{U}]/(\mathcal{U}^{2} + b\,\mathcal{U} + c), \qquad i(\mathcal{U}) = 2U_1U_2 + b_1U_2 + b_2U_1, \] avec \(b, c\) comme au théorème de la page 89 ; que \(i(\mathcal{U})\) vérifie l'équation est l'identité de la page 64, dans l'anneau \(A_1 \otimes A_2\).

Proposition (pages 104 et 105). 1) L'homomorphisme canonique \(\mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/A} : A_1 \otimes A_2 \to A\) (le transposé de \(i\)), qu'il note aussi \(x_1 \otimes x_2 \mapsto x_1 * x_2\), vérifie \[ i\bigl(\mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/A}(\xi)\bigr) = \xi + \bar{\xi}, \qquad \bar{\xi} = (\sigma_1 \otimes \sigma_2)(\xi); \] sur la base : \(1 \mapsto 2\), \(U_i \mapsto -b_i\), \(x_1 * 1 = \mathrm{Tr}_1(x_1)\), et \(U_1 * U_2 = \mathcal{U} + b_1b_2\), puisque \(U_1U_2 + \bar{U}_1\bar{U}_2 = i(\mathcal{U}) + b_1b_2\). 2) Il existe une unique application quadratique \(N_{A_1 \otimes A_2/A} : A_1 \otimes A_2 \to A\) avec \(N(x_1 \otimes x_2) = N_1(x_1)N_2(x_2)\) et \(\varphi_N(\xi, \eta) = \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/A}(\xi\bar{\eta})\) ; elle vérifie \(i(N(\xi)) = \xi\bar{\xi}\), \(N(\bar{\xi}) = N(\xi)\), \(N((\sigma_1 \otimes \mathrm{id})\xi) = N((\mathrm{id} \otimes \sigma_2)\xi) = \overline{N(\xi)}\), \(N(i(\eta)) = \eta^{2}\), et la transitivité \[ N_{A/\mathcal{O}} \circ N_{A_1 \otimes A_2/A} = N_{A_1 \otimes A_2/\mathcal{O}}, \qquad \mathrm{Tr}_{A/\mathcal{O}} \circ \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/A} = \mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/\mathcal{O}}. \]⁵⁸ Pour la transitivité de la norme, avec \(\sigma_1 = \sigma_{A_1} \otimes \mathrm{id}\), \(\sigma_2 = \mathrm{id} \otimes \sigma_{A_2}\), \(\sigma_3 = \sigma_1\sigma_2\) et \(\xi_j = \sigma_j(\xi)\), on a \(N_{A_1 \otimes A_2/\mathcal{O}}(\xi) = \xi\xi_1\xi_2\xi_3\) (norme de \(A_1 \otimes A_2\) sur \(A_1\), puis de \(A_1\) sur \(\mathcal{O}\)), et ce produit est \(N\bar{N}\) pour \(N = N_{A_1 \otimes A_2/A}(\xi)\). Si \(A \to A_1 \otimes A_2\) n'est pas injectif, l'argument est générique⁵⁹ .

106–109

Algèbres quasi-quadratiques (pages 106 à 109)

« Quand on axiomatise la situation » de \(\mathrm{Tr}_{A_1 \otimes A_2/A}\) et \(N_{A_1 \otimes A_2/A}\), on aboutit à une \(k\)-algèbre \(A\) « qui se comporte comme si c'était une algèbre quadratique sur \(k\) », sans être supposée localement libre de rang \(2\), ni même avoir \(\alpha : k \to A\) injectif. Une algèbre quasi-quadratique sur \(k\) est la donnée de \(A\), \(\alpha\), d'une application \(k\)-linéaire \(t : A \to k\) et d'une application \(n : A \to k\), avec, en posant \(\tau = \alpha \circ t\), \(\nu = \alpha \circ n\), \(\bar{x} = \tau(x) - x\) :

1. (1)\(t(1_A) = 2\) ;
2. (2)\(x \mapsto \bar{x}\) est un automorphisme d'algèbre, c'est-à-dire \(2xy = \tau(xy) - \tau(x)\tau(y) + \tau(y)x + \tau(x)y\) ;
3. (3)\(n\) est quadratique, de forme polaire \(\varphi_n(x, y) = t(x\bar{y})\) ;
4. (4)\(n(1) = 1\), ce qui, avec (3), redonne \(t(1) = 2\) ;
5. (5)\(\nu(x) = x\bar{x}\), ce qui implique (3) et (4) si \(\alpha\) est injectif ;
6. (6)facultatif : si \(k\) est fini localement libre de rang \(n\) sur \(k_0\) et \(A\) de rang \(2n\), \(\mathrm{Tr}_{k/k_0} \circ t = \mathrm{Tr}_{A/k_0}\) et \(N_{k/k_0} \circ n = N_{A/k_0}\).

L'involution est involutive par (1) ; \(n(\bar{x}) = n(x)\) par (3). La page 107 inscrit aussi la multiplicativité \(n(xy) = n(x)n(y)\), que le récapitulatif de la page 109 omet ; avec (5) et \(\alpha\) injectif, elle en découle⁶⁰ .

110–121

La situation quasi-biquadratique (pages 110 à 121)

Données : \(k\) ; des \(k\)-algèbres quasi-quadratiques \(A_1, A_2, A_3\) ; une \(k\)-algèbre \(A\) avec des homomorphismes \(\alpha_i : A_i \to A\), non nécessairement injectifs ; et sur \(A\) des structures quasi-quadratiques \((T_i, N_i)\) au-dessus de chaque \(A_i\), d'involutions \(\sigma_i(x) = T_i(x) - x\). Compatibilités :

1. (1)la situation est, pour les traces, celle d'un changement de base : \(T_2\) est \(t_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2}\) sur l'image de \(A_1 \otimes_k A_2\), ce qui exige que \(t_1 \otimes \mathrm{id}\) s'annule sur le noyau de \(A_1 \otimes A_2 \to A\) ; donc \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\) induisent sur \(A_1\) son involution ;
2. (2)de même pour les normes, \(N_2 \circ \alpha_1 = n_1\), ce qui entraîne que \(N_2\) est \(n_1 \otimes \mathrm{id}_{A_2}\) sur l'image de \(A_1 \otimes A_2\) (vérifié sur les \(x_1 \otimes x_2\), où les deux membres valent \(n_1(x_1)x_2^{2}\), puis sur les formes polaires) ; et (2) entraîne (1)⁶¹ ;
3. (3)\(\sigma_1\sigma_2\sigma_3 = 1\), qui force les \(\sigma_i\) à commuter (deux involutions commutent si et seulement si leur produit est une involution) et à former un groupe de Klein. Explicitement, \(2x = T_1(x) + T_2(x) + T_3(x) - t_1T_1(x)\), et, par symétrie, \(t_1T_1 = t_2T_2 = t_3T_3 =: T_{A/k}\) quand \(k \to A\) est injectif, d'où \[ 2x = T_1(x) + T_2(x) + T_3(x) - T_{A/k}(x). \]

Les relations entre normes en découlent : avec \(x_0 = x\), \(x_j = \sigma_j(x)\), \(n_i(N_i(x)) = x_0x_1x_2x_3 = N_{A/k}(x)\) pour chaque \(i\), et \(N_1(x)N_2(x)N_3(x) = x^{2}N_{A/k}(x)\)⁶² .

L'action du groupe pair. Sur \(A_1 \otimes A_2 \otimes A_3\) opère \(\mathbf{F}_2^{3}\), mais il n'y a pas en général d'action compatible sur \(A\) : un \(\tau_1\) qui fixe \(A_2\) et \(A_3\) fixe \(A\) tout entier si \(A_2\), \(A_3\) l'engendrent. Le sous-groupe \(\Gamma = \operatorname{Ker}(\mathbf{F}_2^{3} \xrightarrow{\Sigma} \mathbf{F}_2)\), lui, opère, \(\tau_i\) agissant sur \(A\) par \(\sigma_i\). Si les \(A_i\) sont les algèbres de revêtements \(X_i\), de produit \(B = A_1 * A_2 * A_3\), on a \(B \to (A_1 \otimes A_2 \otimes A_3)^{\Gamma}\), isomorphisme hors des points de caractéristique \(2\) où deux au moins des \(A_i\) ne sont pas étales. La composée \(f : B \to A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 \to A\) tombe dans \(A^{\Gamma}\) ; si \(A^{\Gamma} = k\cdot 1_A\), elle définit une section \(\varepsilon\) de \(X_1 * X_2 * X_3\). Et si \(2\) est inversible, \(A^{\Gamma} = k\) : \(\sigma_i(x) = x\) pour tout \(i\) donne \(6x = 2x + T_{A/k}(x)\), donc \(x = \tfrac{1}{4}T_{A/k}(x)\). C'est la version intrinsèque du fait que, dans \(k(\sqrt{a}, \sqrt{b})\), les trois sous-extensions \(k(\sqrt{a})\), \(k(\sqrt{b})\), \(k(\sqrt{ab})\) ont un produit trivial.

Proposition (page 118). Si les \(A_i\) sont étales, \(k \to A\) injectif, \(A_1 \otimes A_2 \otimes A_3 \to A\) surjectif et \(A^{\Gamma} = k\), alors \(\mathcal{X} = \operatorname{Spec} A \to X_i \times X_j\) est un isomorphisme pour chaque couple, \(\mathcal{X}\) est fini étale sur \(X\), et la situation se déduit par torsion de la situation standard : trois ensembles à deux éléments \(I_1, I_2, I_3\), une trivialisation \(\varepsilon\) de \(I_1 * I_2 * I_3\), et \(J = \{(a_i) : a_1 * a_2 * a_3 = \varepsilon\}\). Réciproquement une telle situation tordue est biquadratique étale, avec \(A^{\Gamma} = k\).

Lemme (pages 119 et 120). Soient \(\Gamma\) opérant transitivement sur un ensemble \(J\), et \(\mathcal{X} \subset X_J\) un sous-schéma fermé stable par \(\Gamma\) tel que \(k \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) soit injectif. Alors \(\mathcal{X} = X_J\). En effet \(\mathcal{X} \cap X_j\) est défini par un idéal \(\mathfrak{J}_j\) de \(k\), indépendant de \(j\) par transitivité, et \(\bigcap_j \mathfrak{J}_j\) est le noyau de \(k \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O})\), nul⁶³ .

« Ce résultat vaut sans restrictions de caractéristiques, mais il concerne la situation standard étale, très restrictive. » Il veut montrer que pour trois revêtements quadratiques quelconques et une section \(\varepsilon\) de \(X_1 * X_2 * X_3\), \(\mathcal{X} = \pi^{-1}(\varepsilon) \subset X_1 \times_X X_2 \times_X X_3\) porte une structure biquadratique au-dessus des \(X_i\), ce qui généraliserait celle de \(X_1 \times X_2\) au-dessus de \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3 = X_1 * X_2\). La page 121 en esquisse la variante universelle — au-dessus de \(\mathfrak{X}_0 = X_1 * X_2 * X_3\), l'algèbre \(A_1 \otimes A_2 \otimes A_3\) est de rang \(4\) sur \(B_0 = A_1 * A_2 * A_3\) — et bute : la multiplication n'est ni finie localement libre ni plate. Le dossier n'y revient pas⁶⁴ .

123–191

III. Extensions \(\chi\)-scindées quelconques (pages 123 à 191)

La troisième partie reprend le formalisme pour des extensions \(0 \to L \xrightarrow{\alpha} E \xrightarrow{\psi} M \to 0\) dont le quotient \(M\) n'est plus \(\mathcal{O}\). Ce sont des calculs rapides, sur les rectos de feuillets dont les versos sont dactylographiés ; la prose de liaison est rare et souvent illisible, les formules portent l'argument.

123–131

\(\chi\)-scindages et coordonnées (pages 123 à 131)

Un \(\chi\)-scindage d'une telle extension est un couple \((\pi, \varpi)\), \(\pi : E \to L\), \(\varpi : M \to E\), avec \[ \pi\alpha = \chi\,\mathrm{id}_L, \qquad \psi\varpi = \chi\,\mathrm{id}_M, \qquad \alpha\pi + \varpi\psi = \chi\,\mathrm{id}_E \] (page 169) ; pour \(M = \mathcal{O}\), c'est la \(\chi\)-trivialisation de la deuxième partie. Un scindage ordinaire \(p : E \to L\) donne \(E \simeq M \oplus L\), et \(b = \pi - \chi p\), nul sur \(L\), est un homomorphisme \(b : M \to L\). Pour deux extensions, le produit est \(\mathcal{E}_p = (M_1 \otimes M_2) \oplus (L_1 \otimes L_2)\) en coordonnées, avec la \(\chi\)-rétraction \((\eta, \xi) \mapsto \chi\xi + (b_1 \otimes b_2)(\eta)\). Changer de scindage, \(p'_i = p_i - u_i\) avec \(u_i : M_i \to L_i\), change \(b_i\) en \(b_i + \chi u_i\), et l'identification \(\mathcal{E}_p \to \mathcal{E}_{p'}\) est la transvection \((\eta, \xi) \mapsto (\eta, \xi - u\eta)\) avec \[ u = b_1 \otimes u_2 + u_1 \otimes b_2 + \chi\, u_1 \otimes u_2 ; \] on a bien \(b'_1 \otimes b'_2 = b_1 \otimes b_2 + \chi u\). Pour que ces identifications se recollent, il faut la relation de cocycle \(u'' = u + u'\) pour deux changements successifs, \(u'\) étant calculé avec les \(b'_i\). La page 131 l'entreprend et s'arrête ; elle est vraie : \[ u'' = u + (b_1 + \chi u_1) \otimes u'_2 + u'_1 \otimes (b_2 + \chi u_2) + \chi\, u'_1 \otimes u'_2 = u + u'. \]⁶⁵ Le produit \(E_1 * E_2\) existe donc par recollement.

Le produit tiré (pages 125 et 127). Une seconde construction, duale, donne en coordonnées la même extension, mais avec le \(\chi\)-scindage défini par \(-b\) au lieu de \(b\) ; un isomorphisme de l'une sur l'autre est une transvection \(T_v\) avec \(b + \chi v = -b\), c'est-à-dire \(v = -\tfrac{2}{\chi}b\). Il existe donc, canonique, dès qu'il y a \(\gamma \in k\) avec \(\gamma\chi = 2\) : \(v = -\gamma b\), et le carré de la page 125 commute (« commute ! »). Pour \(\chi = 2\), \(\gamma = 1\)⁶⁶ .

133–139

\(\lambda\)-rétractions et produit des morphismes (pages 133 à 139)

Les signes « étranges » qui apparaissent page 133 (\(u_1 * u_2 = -\chi\, u_1 \otimes u_2\) quand on passe aux morphismes) « sont dus au signe \(-\mathrm{id}\) » de l'autodualité. Notons \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(E, L)\) le Module des \(f : E \to L\) dont la restriction à \(L\) est une homothétie \(\lambda\,\mathrm{id}_L\) — des « \(\lambda\)-rétractions » ; c'est une extension de \(\mathcal{O}\) par \(L\), et pour \(M = \mathcal{O}\), \[ \Phi : E \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(E, L), \qquad \Phi(x)(y) = \psi(x)\,y - \psi(y)\,x , \] est l'isomorphisme \(g\) de la page 95, qui induit \(-\mathrm{id}_L\) (pages 133 et 135). Le produit s'étend aux \(\lambda\)-rétractions : pour \(f_i\) une \(\lambda_i\)-rétraction de \(E_i\), la \(\lambda_1\lambda_2\)-rétraction \(f_1 * f_2\) de \(E_1 * E_2\) est donnée par \[ \boxed{\ (f_1 * f_2)(x_1 * x_2) = \lambda_1\pi_1(x_1) \otimes f_2(x_2) + f_1(x_1) \otimes \lambda_2\pi_2(x_2) - \chi\, f_1(x_1) \otimes f_2(x_2)\ } \] et \((f_1 * f_2)|_{L_1 \otimes L_2} = \lambda_1\lambda_2\,\mathrm{id}\). Pour \(f_i = \pi_i\) (\(\lambda_i = \chi\)), on retrouve \(\pi_1 * \pi_2 = \chi\,\pi\) ; sur \(x_i = u_i \in L_i\), le second membre vaut \(\chi\lambda_1\lambda_2\, u_1 \otimes u_2\), ce qui est bien la valeur de \(f_1 * f_2\) sur \(u_1 * u_2 = \chi\, u_1 \otimes u_2\)⁶⁷ . La page 139 retrouve aussi la rétraction \(p\) de \(E_1 * E_2\) déduite de scindages \(p_1, p_2\) : \(p(x_1 * x_2) = x_1 * p_2(x_2) + p_1(x_1) * x_2 - p_1(x_1) * p_2(x_2)\).

141–157

L'opérateur \(F_{11}\) et la condition \(\gamma\chi = 2\) (pages 141 à 157)

Il cherche à identifier les deux produits par un endomorphisme \(F\) de \(E_1 \otimes E_2\), dont il connaît deux restrictions : sur \(E_1 \otimes_0 E_2\), \(F_{11}\) doit se factoriser par \(\pi : E_1 \otimes_0 E_2 \to L_1 \otimes L_2\) ; et sa composée avec la projection sur \(E_1 \otimes^{\circ} E_2\) doit se factoriser par \(\psi_1 \otimes \psi_2\). Il pose \(\pi'_1 = \pi_1 \otimes \mathrm{id}\), \(\pi'_2 = \mathrm{id} \otimes \pi_2\) (relevés dans \(E_1 \otimes E_2\)), cherche \(F_{11}\) de la forme \[ F_{11} = \alpha + \beta(\pi'_1 + \pi'_2) + \gamma\,\pi'_1 \pi'_2, \] et trouve, par la table de \(\pi'_i\) sur les quatre morceaux \(L_1 \otimes L_2\), \(L_1 \otimes M_2\), \(M_1 \otimes L_2\), \(M_1 \otimes M_2\) (pages 153 et 163), les conditions \[ \beta = 1 - \gamma\chi, \qquad \alpha = -\chi(1 - \gamma\chi) \] (pages 157 et 163, où la constante s'appelle tour à tour \(\gamma\) et \(\delta\)). Les deux conditions connues sont compatibles et laissent une indétermination, un homomorphisme \(M_1 \otimes M_2 \to L_1 \otimes L_2\) : « C'est normal […] on a l'indétermination des choix ». La normalisation qui fait de \(\sigma_i = \mathrm{id} - \gamma\pi_i\) une involution est \(\gamma\chi = 2\) : comme \(\pi_i^{2} = \chi\pi_i\) (page 149), \((\mathrm{id} - \gamma\pi_i)^{2} = \mathrm{id} + \gamma(\gamma\chi - 2)\pi_i\). Alors \(\beta = -1\), \(\alpha = \chi\), et pour \(\chi = 2\), \(\gamma = 1\) : \[ F_{11}(x_1 \otimes x_2) = 2\,x_1 \otimes x_2 - \pi_1(x_1) \otimes x_2 - x_1 \otimes \pi_2(x_2) + \pi_1(x_1) \otimes \pi_2(x_2) = x_1 \otimes x_2 + \bar{x}_1 \otimes \bar{x}_2 , \] avec \(\bar{x}_i = x_i - \pi_i(x_i)\) : c'est l'opérateur \(\xi \mapsto \xi + \bar{\xi}\) des pages 98 à 104, « o.k. » (page 155)⁶⁸ .

159–169

Produits poussé et tiré ; dualité (pages 159 à 169)

La page 169 met en place les deux constructions. Le produit poussé \(E_1 * E_2\) est la somme amalgamée de \(E_1 \otimes E_2\) et de \(L_1 \otimes L_2\) le long de \((\pi_1 \otimes \mathrm{id}, \mathrm{id} \otimes \pi_2) : E_1 \otimes_0 E_2 \to L_1 \otimes L_2\), où \(E_1 \otimes_0 E_2\) est la somme amalgamée de \(E_1 \otimes L_2\) et \(L_1 \otimes E_2\) le long de \(L_1 \otimes L_2\). Le produit tiré \(E_1 *^{\varpi} E_2\) est le produit fibré de \(E_1 \otimes E_2\) et de \(M_1 \otimes M_2\) au-dessus de \(E_1 \otimes^{\circ} E_2 = (E_1 \otimes M_2) \times_{M_1 \otimes M_2} (M_1 \otimes E_2)\), le long de \((\varpi_1 \otimes \mathrm{id}, \mathrm{id} \otimes \varpi_2)\). Ce sont deux extensions de \(M_1 \otimes M_2\) par \(L_1 \otimes L_2\), munies de \(\chi\)-scindages, et il y a un isomorphisme canonique de l'une sur l'autre, sous la condition \(\gamma\chi = 2\) de la page 127 :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
0 \arrow[r] & E_1 \otimes_0 E_2 \arrow[r] \arrow[d] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & E_1 * E_2 \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & E_1 *^{\varpi} E_2 \arrow[r] \arrow[d] & M_1 \otimes M_2 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & L_1 \otimes L_2 \arrow[r] & E_1 \otimes E_2 \arrow[r] & E_1 \otimes^{\circ} E_2 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

La composée verticale du milieu est l'opérateur \(F_{11}\)⁶⁹ . Les deux constructions se correspondent par transposition (page 159) : le dual d'une extension \(0 \to L \to E \to M \to 0\) est \(0 \to M^{\vee} \to E^{\vee} \to L^{\vee} \to 0\), la transposée d'une \(\chi\)-rétraction est une \(\chi\)-section, et, pour \(M_i\) localement libres de rang fini, \(E_1^{\vee} *^{\varpi} E_2^{\vee} \simeq (E_1 * E_2)^{\vee}\). Pour \(M = \mathcal{O}\) et \(\chi = 2\), c'est la dualité entre l'algèbre \(A_1 * A_2\), poussée le long de la trace (pages 99 et 100), et l'extension \(E_1 * E_2\)⁷⁰ .

171–191

Retour aux algèbres quadratiques : l'accouplement (pages 171 à 191)

Pour des algèbres quadratiques \(A_i\) et leurs duaux \(E_i\), il récrit les deux constructions côte à côte : \[ A = (A_1 \otimes A_2) \amalg_{A_1 \otimes_0 A_2} \mathcal{O}, \qquad E = (E_1 \otimes E_2) \amalg_{E_1 \otimes_0 E_2} (L_1 \otimes L_2), \] la première le long de \((\mathrm{Tr}_1, \mathrm{Tr}_2)\), la seconde le long de \((\pi_1 \otimes \mathrm{id}, \mathrm{id} \otimes \pi_2)\), avec les flèches \(A_1 \otimes A_2 \to A \to A_1 \otimes A_2\) et \(E_1 \otimes E_2 \to E \to E_1 \otimes E_2\) dont les composées sont \(f \mapsto f + \bar{f}\), \(x \mapsto x + \bar{x}\), transposées l'une de l'autre : \({}^{t}(\mathrm{id} + \sigma_1 \otimes \sigma_2) = \mathrm{id} + {}^{t}\sigma_1 \otimes {}^{t}\sigma_2\). L'application \(A \to A_1 \otimes A_2\) est injective sauf en caractéristique \(2\) là où \(b_1 = b_2 = 0\) (page 171).

L'accouplement \(A \times E \to \mathcal{O}\) sur les deux sommes amalgamées est donné (pages 179 et 183) par \[ \langle\lambda, u\rangle = 0, \qquad \langle f, u\rangle = \varphi(f)\cdot u, \qquad \langle\lambda, x\rangle = \lambda\,\psi(x), \] pour \(\lambda \in \mathcal{O}\), \(u \in L_1 \otimes L_2\), \(f \in A_1 \otimes A_2\) d'image \(\varphi(f)\) dans \(L_1^{\vee} \otimes L_2^{\vee}\), \(x \in E_1 \otimes E_2\), et par l'accouplement produit sur \((A_1 \otimes A_2) \times (E_1 \otimes E_2)\) ; il faut quatre compatibilités pour qu'il passe aux sommes amalgamées. La page 177 en écrit trois et conclut « OK » ; la quatrième n'est pas écrite⁷¹ .

Le générateur (pages 175 et 191). Avec les bases duales \((1, u)\) de \(A\) et \((x, e)\) de \(E\), \(x = x_1 * x_2\), \(e = e_1 \otimes e_2\), \(\langle 1, x\rangle = \langle u, e\rangle = 1\), \(\langle 1, e\rangle = \langle u, x\rangle = 0\), les coordonnées de \(u_1 * u_2\) sont \(\langle u_1 * u_2, x\rangle = b_1b_2\) et \(\langle u_1 * u_2, e\rangle = 1\), d'où \[ \boxed{\ u_1 * u_2 = u + b_1b_2\ }, \qquad i(u) = 2u_1u_2 + b_2u_1 + b_1u_2 , \] ce qui est la formule de la page 102, retrouvée par la dualité. Les pages 189 à 191 recommencent le calcul en coordonnées — \(e_i\) base de \(L_i\), \(b_i = \beta_ie_i\), \(c_i = \gamma_ie_i^{\otimes 2}\), \(u_i^{2} + \beta_iu_i + \gamma_i = 0\) —, notent \(\mathrm{Tr}(\lambda u + \mu) = -\lambda\beta + 2\mu\) et \(N(\lambda u + \mu) = \lambda^{2}c - \lambda\mu\beta + \mu^{2}\), et posent l'équation \(u^{2} + \beta u + \gamma = 0\) du générateur du produit. Le dossier s'arrête là, sans conclusion visible⁷² .