Relations sur les arêtes d'un cube
Les calculs de ce lot portent sur un cube dont les sommets, arêtes et faces sont indexés ; le contexte (traces de matrices X_i, p. 204) est vraisemblablement celui des pages précédentes du dossier, hors de ce lot.
Un cube en perspective. Sommets nommés A, B', C', A', B, C ; deux sommets opposés marqués d'un point plein. Arêtes nommées a (verticale issue de A), b, c, a', b', c' ; les arêtes AB', C'–(sommet marqué) et a sont repassées en trait gras ; un « W » est écrit près de B.
Trop lourdencerclé, en haut à droite de la page.
\Sigma_a\quad \Sigma_b\quad \Sigma_c\quad \Sigma_{AB'}\quad \Sigma_{BC'}\quad \Sigma_{CB'}\quad \Sigma_{CA'}\quad \Sigma_{AC'}
\Sigma_{a'}\quad \Sigma_{b'}\quad \Sigma_{c'}
Dans \Sigma_{CB'} de la première ligne, l'indice C est écrit en surcharge d'une autre lettre (vraisemblablement A) ; même surcharge dans les relations ci-dessous.
\left\{
\begin{aligned}
\Sigma_a + \Sigma_{c'} &= \Sigma_{AB'} + \Sigma_{BC'}\\
\Sigma_a + \Sigma_{b'} &= \Sigma_{AC'} + \Sigma_{CB'}\\
\Sigma_b + \Sigma_{a'} &= \Sigma_{BC'} + \Sigma_{CA'}\\
\Sigma_b + \Sigma_{c'} &= \Sigma_{BA'} + \Sigma_{AC'}\\
\Sigma_c + \Sigma_{b'} &= \Sigma_{CA'} + \Sigma_{AB'}\\
\Sigma_c + \Sigma_{a'} &= \Sigma_{CB'} + \Sigma_{BA'}
\end{aligned}
\right.
Des accolades relient deux à deux, à droite, des lignes de ce premier groupe.
\left[
\begin{aligned}
\Sigma_a + \Sigma_{CA'} &= \Sigma_b + \Sigma_{CB'}\,.\\
\Sigma_{a'} + \Sigma_{AC'} &= \Sigma_{b'} + \Sigma_{BC'}\\
\Sigma_b + \Sigma_{AB'} &= \Sigma_c + \Sigma_{AC'}\,.\\
\Sigma_{b'} + \Sigma_{BA'} &= \Sigma_{c'} + \Sigma_{CA'}\,.\\
\Sigma_c + \Sigma_{BC'} &= \Sigma_a + \Sigma_{BA'}\,.\\
\Sigma_{c'} + \Sigma_{CB'} &= \Sigma_{a'} + \Sigma_{AB'}
\end{aligned}
\right.
Les indices AC' (deuxième ligne), BA' (quatrième) et CB' (dernière) sont écrits en surcharge ; le c' de la quatrième ligne aussi. La relation de la deuxième ligne est recopiée à droite : \Sigma_{a'} + \Sigma_{AC'} = \Sigma_{b'} + \Sigma_{BC'}.
En marge, à droite du premier groupe :
\exists\, \sigma avec \sigma_{\underline{a}} + \sigma_{\underline{b}} + \sigma_{\underline{c}} = \sigma \forall triple d'arêtes formant un « demi hexagone »
Petit cube au crayon, sur lequel trois arêtes deux à deux non coplanaires \underline{a}, \underline{b}, \underline{c} sont repassées à l'encre, formant une ligne brisée.
Chacune des six dernières relations est conséquence des cinq autres, comme on voit en sommant, ce qui donne 0=0 !
lecture d'ensemble d'une phrase rapide, en marge à droite du second groupe ; plusieurs mots sont à peine formés.
3\bigl(\Sigma_a - \Sigma_b + \Sigma_c + \Sigma_{a'} - \Sigma_{b'} + \Sigma_{c'}\bigr) + \bigl(\Sigma_{CA'} + \Sigma_{AC'} - \cdots\bigr)
= \bigl(\Sigma_a + \Sigma_b - \Sigma_c - \Sigma_{a'} - \Sigma_{b'} - \Sigma_{c'}\bigr) + 3\bigl(\Sigma_{CA'} + \Sigma_{AC'}\bigr)
Les signes à l'intérieur des deux premières parenthèses sont mal formés et leur lecture est incertaine ; la première ligne s'interrompt sur deux tirets.
Variables et relations : traces sur les sommets, arêtes et faces
Dans ce lot, une lettre T à hampe doublée, épaissie, désigne des traces de produits de trois ou quatre matrices ; elle est rendue \mathbb{T}. Le T simple (p. 206) est conservé tel quel.
(4) + (4) + (6)\qquad
\boxed{\begin{array}{ll} b_s\ \ c_s & (s\in S)\\ t_a & (a\in A)\end{array}}
\qquad\text{avec}\quad b_s = b_{\bar s},\ c_s = c_{\bar s},\ t_a = t_{\bar a}
Les nombres 4, 4, 6 sont cerclés. b_s et c_s sont écrits en surcharge de a_s, b_s ; chacune des trois variables est cerclée.
Un cube en perspective ; trois sommets marqués s_1, s_2, s_3 autour d'un sommet s cerclé ; chaque face visible porte une petite flèche circulaire (orientation).
Si \delta(s) \in I est la diagonale qui passe par s, on a
b_s = \operatorname{Tr} X_s,\qquad c_s = \det X_s .
Si \delta(a) \in \mathfrak{P}_2(I) est l'ensemble des deux diagonales qui passent par les
4 + 4 + (8)\qquad
\boxed{\sigma_s,\ \pi_s,\ \mathbb{T}_s}\qquad (s\in S)
s correspond à un triple (i,j,k) à permutation circulaire près
\mathbb{T}_s = \operatorname{Tr} X_i X_j X_k = \operatorname{Tr} X_j X_k X_i = \operatorname{Tr} X_k X_i X_j
\mathbb{T}_{\bar s} = \operatorname{Tr} X_k X_j X_i = \operatorname{Tr} X_j X_i X_k = \operatorname{Tr} X_i X_k X_j
Le deuxième terme de la première ligne est écrit en surcharge d'un premier essai.
(4 + 4 relations)encerclé.
(R_s)\ \sim\ (R_{\bar s})\qquad
\boxed{\begin{aligned}
\sigma_s &= \sigma_{\bar s} = \mathbb{T}_s + \mathbb{T}_{\bar s}\\
\pi_s &= \pi_{\bar s} = \mathbb{T}_s \cdot \mathbb{T}_{\bar s}
\end{aligned}}
\begin{align*}
\sigma_s = \sigma_{\bar s} &= b_i t_{jk} + b_j t_{ki} + b_k t_{ij} - b_i b_j b_k\\
&= b_{s_1} t_{ss_1} + b_{s_2} t_{ss_2} + b_{s_3} t_{ss_3} - b_{s_1} b_{s_2} b_{s_3}
\end{align*}
où s_1, s_2, s_3 sont les sommets adjacents à s
\begin{align*}
\pi_s = \pi_{\bar s} &= t_{ss_1} t_{ss_2} t_{ss_3}
+ \text{\struck{$(c_{s_1} t_{ss_1} + c_{s_2} t_{ss_2} + c_{s_3} t_{ss_3})$}}\\
&\quad + \bigl[c_{s_1} t_{ss_1}(t_{s_2 s_3} - b_{s_2} b_{s_3}) + c_{s_2} t_{ss_2}(t_{s_3 s_1} - b_{s_3} b_{s_1})\\
&\qquad + c_{s_3} t_{ss_3}(t_{s_1 s_2} - b_{s_1} b_{s_2})\bigr]\\
&\quad + \bigl(b_{ss_1}^2\, c_{ss_2} c_{ss_3} + b_{ss_2}^2\, c_{ss_3} c_{ss_1} + b_{ss_3}^2\, c_{ss_1} c_{ss_2}\bigr)
\end{align*}
Les indices des t entre parenthèses dans le crochet sont surchargés et leur lecture (t_{s_2s_3}, etc.) est incertaine ; les indices doubles de la dernière parenthèse sont transcrits tels qu'ils semblent écrits.
(6)\qquad
\boxed{\begin{array}{ll} \mathbb{T}_f & (f\in F)\\ \sigma_a,\ \pi_a & (a\in A)\end{array}}
Si f correspond à la permutation circulaire (i,j,k,l) de I, on a
\text{\struck{$\mathbb{T}_f =$}}\qquad
\mathbb{T}_f = \operatorname{Tr} X_i X_j X_k X_l = \operatorname{Tr} X_j X_k X_l X_i = \operatorname{Tr} X_k X_l X_i X_j = \operatorname{Tr} X_l X_i X_j X_k
Si f, f' sont adjacentes le long d'une arête a = (s,t)
Petit cube : la face f de sommets s, t, s', t' et la face f' de sommets t, s, t'', s'', adjacentes le long de l'arête a entre s et t ; arêtes a', a'' marquées, ainsi que la diagonale i.
f = (s, t, s', t'),\quad f' = (t, s, t'', s'')
Sous les sommets de f sont inscrits i, j, k, l, sous ceux de f' : j, i, k, l.
(R_a)cerclé. 12 + 12 relations
\boxed{\begin{aligned}
\mathbb{T}_f + \mathbb{T}_{f'} &= \sigma_a\\
\mathbb{T}_f\, \mathbb{T}_{f'} &= \pi_a
\end{aligned}}
avec
\begin{align*}
\sigma_a &= \operatorname{Tr} X_k X_l \operatorname{Tr} X_i X_j + \operatorname{Tr} X_i \operatorname{Tr} X_j X_k X_l + \operatorname{Tr} X_j \operatorname{Tr} X_k X_l X_i\\
&\qquad - \operatorname{Tr} X_i \operatorname{Tr} X_j \operatorname{Tr} X_k X_l\\
&\text{\struck{$= t_{s\ldots}\, t$}}\\
&= t_{a'a''}\, t_a + b_s \mathbb{T}_s + b_t T_t - b_s b_t t_{a',a''}
\end{align*}
Le premier facteur t_{a'a''} est écrit en surcharge et glosé dessous par « = t_{a''} » ; lecture incertaine.
\pi_a = \cdots expression un peu plus compliquée en \operatorname{Tr} X_i, … b_i, c_i, b_j, c_j, t_{kl}, c_k, c_l,
t_{ij}, \underbrace{T_{jkl}}_{T_s}, \underbrace{T_{kli}}_{T_t}
\overbrace{4\quad 4\quad 6}^{14}\qquad \overbrace{8\quad 6}^{14}
28 \text{ variables}\quad b_s,\ c_s,\ t_a,\ \mathbb{T}_s,\ \mathbb{T}_f
32 relations !
Paramétrage des arêtes
Deux cubes en perspective. Sur le petit, en haut à gauche, les arêtes portent a, b, c, d, a', b' et, en dessous, a+\alpha, b+\alpha, c+\alpha, d+\alpha. Sur le grand, les arêtes portent, cerclées, a, b, c, d, u, et a+\alpha = a' (cerclé a'), puis b+\alpha, c+\alpha, d+\alpha, u+c-a ; sur une face : v = u - (d-b) (signe surchargé).
v + (c-a) = u - (d-b) + (c-a)
\boxed{d - b = u - v} = d - b = u - v
i.e.
d + v = b + u,\qquad d - u = b - v
La seconde égalité ne découle pas de la première ; transcrite telle quelle.
a, b, c, d, \alpha, u
ou a + \alpha = a' !
a, b, c, d, a'
\begin{align*}
S_1 &= a + b + c + d\\
S'_1 &= a + b + c + d + 4(a'-a) = -3a + b + c + d + 4a'\\
S_2 &= a + u + a' + u + (d-b) = a - b + \cdot + d + a' + 2u\\
S'_2 &= c + u + c - a + c + (a'-a) + u - d + b + c - a\\
&= -3a + b + 4c - d + a' + 2u\\
S_3 &= u + d + a' - a + u + c - a + d = -2a + \cdot + c + 2d + a' + 2u\\
S'_3 &= b + u - d + b + b + a' - a + u - d + b + c - a\\
&= -2a + 4b + c - 2d + a' + 2u
\end{align*}
Dans S'_1, le terme « +\,d » est ajouté au-dessus de la ligne. Dans S'_2, « (a'-a) » est écrit au-dessus d'un terme surchargé ; dans la ligne finale de S'_2, le coefficient 4 de c est en surcharge. Les termes des sommes sont soulignés à mesure qu'ils sont comptés.
\begin{array}{cccccc}
a & b & c & d & a' & u
\end{array}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
-3 & 1 & 1 & 1 & 4 & 0\\
1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 2\\
-3 & 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\
-2 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\
-2 & 4 & 1 & -2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\Delta = \det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 4 & 0\\
-1 & 0 & 1 & 1 & 2\\
1 & 4 & -1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1 & 2\\
4 & 1 & -2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
- \det\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & 4 & 0\\
1 & 0 & 1 & 1 & 2\\
-3 & 4 & -1 & 1 & 2\\
-2 & 1 & 2 & 1 & 2\\
-2 & 1 & -2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
+ \det\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & 4 & 0\\
1 & -1 & 1 & 1 & 2\\
-3 & 1 & -1 & 1 & 2\\
-2 & 0 & 2 & 1 & 2\\
-2 & 4 & -2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
- \det\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & 4 & 0\\
1 & -1 & 0 & 1 & 2\\
-3 & 1 & 4 & 1 & 2\\
-2 & 0 & 1 & 1 & 2\\
-2 & 4 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
Développement selon la première ligne ; le calcul s'arrête là.
Les paramètres
\delta,
\delta',
\delta''
Un cube en perspective, sommets A, B', C, B, A' nommés, un sommet marqué d'un point plein à l'origine des arêtes a, b, c, un autre sommet marqué d'un point. Arêtes nommées a, b, c, a', b', c', \alpha, \alpha', \beta, \beta', \gamma, \gamma' ; l'arête \beta (AB') est doublée ; un petit arc près du sommet marqué.
\gamma' - c = a' - \beta' = c' - \beta = \alpha - a \;\Big|\; = \delta'
\left\{
\begin{aligned}
\gamma' &= \delta' + c\\
\beta' &= -\delta' + a'\\
\beta &= -\delta' + c'\\
\alpha &= \delta' + a
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{reste pour compte } \underline{\gamma, \alpha'}
b - \gamma = \underline{\alpha - a'} = \alpha' - b' = a - \beta' \;\Big|\; = -\delta''
\left\{
\begin{aligned}
\gamma &= \delta'' + b\\
\alpha' &= -\delta'' + b'
\end{aligned}
\right.
\qquad
\begin{aligned}
\alpha &= -\delta'' + a'\\
\beta' &= \delta'' + a
\end{aligned}
Dans la première ligne de l'accolade, un premier signe est surchargé ; de même devant \delta'' dans la dernière ligne.
\boxed{-\delta'' + a' = \delta' + a}\qquad \delta' + \delta'' = a' - a
La dernière relation est cerclée.
\boxed{+\delta'' + a = -\delta' + a'}
b - \alpha' = \gamma' - c' = \gamma - b' = c - \beta = -\delta
\begin{align*}
\alpha' &= \delta + b\\
\gamma' &= -\delta + c'\\
\gamma &= -\delta + b'\\
\beta &= \delta + c
\end{align*}
\boxed{\text{\struck{$\delta + b = -\delta'' + b'$}}}\qquad
\boxed{-\delta + c' = \delta' + c}
\boxed{\text{\struck{$-\delta + b' = \delta'' + b$}}}\qquad
\boxed{\delta + c = -\delta' + c'}
Les deux encadrés de gauche sont barrés d'un trait oblique ; dans le deuxième, c' et \delta' sont en surcharge.
En marge, cerclé :
\delta + \delta'' = b' - b,\qquad \delta + \delta' = c' - c
\begin{align*}
\delta' + \delta'' &= a' - a\\
\delta'' + \delta &= b' - b\\
\delta + \delta' &= c' - c
\end{align*}
\delta + \delta' + \delta'' = \tfrac12\bigl(a' + b' + c' - (a + b + c)\bigr)
= \tfrac12\bigl(\underbrace{(a'-a)}_{\varepsilon_1} + \underbrace{(b'-b)}_{\varepsilon_2} + \underbrace{(c'-c)}_{\varepsilon_2}\bigr)
Le troisième terme est indexé \varepsilon_2 sur la page ; l'encadré qui suit l'utilise comme \varepsilon_3.
\boxed{\left\{
\begin{aligned}
\delta &= \tfrac12(-\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3)\\
\delta' &= \tfrac12(\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3)\\
\delta'' &= \tfrac12(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 - \varepsilon_3)
\end{aligned}
\right.}
Ci-dessous, \bullet marque un signe surchargé d'une tache d'encre, illisible.
\begin{align*}
\alpha &= \sigma_{BC'} = \tfrac12\bigl((a'+a) \bullet (b'-b) + (c'-c)\bigr)\\
\beta &= \sigma_{AB'} = \tfrac12\bigl(-(a' \bullet a) + (b'-b) + (c'+c)\bigr)\\
\gamma &= \sigma_{CA'} = \tfrac12\bigl((a'-a) + (b'+b) - (c'-c)\bigr)\\
\alpha' &= \sigma_{AC'} = \tfrac12\bigl(-(a'-a) + (b'+b) + (c'-c)\bigr)\\
\beta' &= \sigma_{CB'} = \tfrac12\bigl((a'+a) + (b'-b) - (c'-c)\bigr)\\
\gamma' &= \sigma_{BA'} = \tfrac12\bigl((a'-a) \bullet (b'-b) + (c'+c)\bigr)
\end{align*}
Dans chaque ligne, la parenthèse où figure une somme x'+x est soulignée d'un trait ondulé. Des flèches courbes, à droite, relient \alpha, \beta et \gamma entre elles, puis \alpha', \beta' et \gamma' ; plusieurs signes (a'+a dans \beta', etc.) sont surchargés et de lecture incertaine.
En haut à droite :
-c' + c + 2c',\qquad -b' + b,\qquad -a' + a,\qquad c' - c
Sommation des \sigma_a sur les arêtes d'une face
\begin{align*}
\varphi_a &= (a'-a) + 2(b+c)\\
\varphi_b &= (b'-b) + 2(a+c)\\
\varphi_c &= (c'-c) + 2(a+b)
\end{align*}
Dans la première ligne, un début d'expression illisible est raturé devant (a'-a).
a - a' + (b'+c')
\begin{align*}
\varphi_{a'} &= (b'+c') \bullet (a'-a) + b' + c' = 2(b'+c') - (a'-a)\\
\varphi_{b'} &= a' + c' + a' - (b'-b) + c' = 2(c'+a') - (b'-b)\\
\varphi_{c'} &= (a'+b') + a' + b' - (c'-c) = 2(a'+b') - (c'-c)
\end{align*}
Sous ces lignes, un passage de deux lignes est entièrement raturé de traits en zigzag, terminé par un « ! » ; des flèches en montent vers les membres de droite.
\begin{array}{c}
\begin{array}{cccccc} a & b & c & a' & b' & c' \end{array}\\
\det\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\
2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\
2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\\
\hline
1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2 & 2 & -1
\end{array}\right)
\end{array}
= \det\begin{pmatrix} 27 & 1\\ 1 & 27\end{pmatrix}
= 27^2 - 1 \in \mathbb{Q}^*
= (3^3)^2 - 1 = 3^6 - 1 = 728 = 8\cdot 91 = \boxed{2^3\cdot 7\cdot 13}
premier à 3souligné, sous la matrice 2\times2.
-1 + 8 + 8 - (-4 - 4 - 4) = 16 + 12 - 1 = 27
Calcul du déterminant du bloc 3\times3 ; « 16 » est écrit en surcharge.
Ok
\begin{align*}
A &= a + a' = \lambda\\
B &= b + b' = \mu\\
C &= c + c' = \nu
\end{align*}
\beta
\begin{align*}
A' &= a' + a\\
B' &= b' + b\\
C' &= c' + c
\end{align*}
Le signe des trois dernières lignes est peu formé ; vu les pages précédentes on attendrait a'-a, etc., mais la page porte plutôt +.
\boxed{\lambda, \mu, \nu} correspondant aux trois directions d'arêtes
\underline{\lambda\ \mu\ \nu}
Trois petits segments verticaux parallèles et un quatrième oblique, figurant les directions d'arêtes.
\begin{align*}
a + a' &= \lambda\\
b + b' &= \mu\\
c + c' &= \nu
\end{align*}
\varphi_a + \varphi_{a'} = 2(b + b' + c + c') = 2(\mu + \nu)
Les indices des deux \varphi sont à peine formés ; la lecture \varphi_a + \varphi_{a'} est suggérée par la p. 216.