Cote n° 83 · batch 11 · pages 201–220 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

Relations sur les arêtes d'un cube

202Les calculs de ce lot portent sur un cube dont les sommets, arêtes et faces sont indexés ; le contexte (traces de matrices \(X_i\), p. 204) est vraisemblablement celui des pages précédentes du dossier, hors de ce lot.

Un cube en perspective. Sommets nommés \(A\), \(B'\), \(C'\), \(A'\), \(B\), \(C\) ; deux sommets opposés marqués d'un point plein. Arêtes nommées \(a\) (verticale issue de \(A\)), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\), \(c'\) ; les arêtes \(AB'\), \(C'\)–(sommet marqué) et \(a\) sont repassées en trait gras ; un « \(W\) » est écrit près de \(B\).

Trop lourdencerclé, en haut à droite de la page.

\[ \Sigma_a\quad \Sigma_b\quad \Sigma_c\quad \Sigma_{AB'}\quad \Sigma_{BC'}\quad \Sigma_{CB'}\quad \Sigma_{CA'}\quad \Sigma_{AC'} \] \[ \Sigma_{a'}\quad \Sigma_{b'}\quad \Sigma_{c'} \] Dans \(\Sigma_{CB'}\) de la première ligne, l'indice \(C\) est écrit en surcharge d'une autre lettre (vraisemblablement \(A\)) ; même surcharge dans les relations ci-dessous.

\[ \left\{ \begin{aligned} \Sigma_a + \Sigma_{c'} &= \Sigma_{AB'} + \Sigma_{BC'}\\ \Sigma_a + \Sigma_{b'} &= \Sigma_{AC'} + \Sigma_{CB'}\\ \Sigma_b + \Sigma_{a'} &= \Sigma_{BC'} + \Sigma_{CA'}\\ \Sigma_b + \Sigma_{c'} &= \Sigma_{BA'} + \Sigma_{AC'}\\ \Sigma_c + \Sigma_{b'} &= \Sigma_{CA'} + \Sigma_{AB'}\\ \Sigma_c + \Sigma_{a'} &= \Sigma_{CB'} + \Sigma_{BA'} \end{aligned} \right. \] Des accolades relient deux à deux, à droite, des lignes de ce premier groupe.

\[ \left[ \begin{aligned} \Sigma_a + \Sigma_{CA'} &= \Sigma_b + \Sigma_{CB'}\,.\\ \Sigma_{a'} + \Sigma_{AC'} &= \Sigma_{b'} + \Sigma_{BC'}\\ \Sigma_b + \Sigma_{AB'} &= \Sigma_c + \Sigma_{AC'}\,.\\ \Sigma_{b'} + \Sigma_{BA'} &= \Sigma_{c'} + \Sigma_{CA'}\,.\\ \Sigma_c + \Sigma_{BC'} &= \Sigma_a + \Sigma_{BA'}\,.\\ \Sigma_{c'} + \Sigma_{CB'} &= \Sigma_{a'} + \Sigma_{AB'} \end{aligned} \right. \] Les indices \(AC'\) (deuxième ligne), \(BA'\) (quatrième) et \(CB'\) (dernière) sont écrits en surcharge ; le \(c'\) de la quatrième ligne aussi. La relation de la deuxième ligne est recopiée à droite : \(\Sigma_{a'} + \Sigma_{AC'} = \Sigma_{b'} + \Sigma_{BC'}\).

En marge, à droite du premier groupe :

\(\exists\, \sigma\) avec \(\sigma_{\underline{a}} + \sigma_{\underline{b}} + \sigma_{\underline{c}} = \sigma\) \(\forall\) triple d'arêtes formant un « demi hexagone »

Petit cube au crayon, sur lequel trois arêtes deux à deux non coplanaires \(\underline{a}\), \(\underline{b}\), \(\underline{c}\) sont repassées à l'encre, formant une ligne brisée.

Chacune des six dernières relations est conséquence des cinq autres, comme on voit en sommant, ce qui donne \(0=0\) ! lecture d'ensemble d'une phrase rapide, en marge à droite du second groupe ; plusieurs mots sont à peine formés.

\[ 3\bigl(\Sigma_a - \Sigma_b + \Sigma_c + \Sigma_{a'} - \Sigma_{b'} + \Sigma_{c'}\bigr) + \bigl(\Sigma_{CA'} + \Sigma_{AC'} - \cdots\bigr) \] \[ = \bigl(\Sigma_a + \Sigma_b - \Sigma_c - \Sigma_{a'} - \Sigma_{b'} - \Sigma_{c'}\bigr) + 3\bigl(\Sigma_{CA'} + \Sigma_{AC'}\bigr) \] Les signes à l'intérieur des deux premières parenthèses sont mal formés et leur lecture est incertaine ; la première ligne s'interrompt sur deux tirets.

Variables et relations : traces sur les sommets, arêtes et faces

204Dans ce lot, une lettre \(T\) à hampe doublée, épaissie, désigne des traces de produits de trois ou quatre matrices ; elle est rendue \(\mathbb{T}\). Le \(T\) simple (p. 206) est conservé tel quel.

\[ (4) + (4) + (6)\qquad \boxed{\begin{array}{ll} b_s\ \ c_s & (s\in S)\\ t_a & (a\in A)\end{array}} \qquad\text{avec}\quad b_s = b_{\bar s},\ c_s = c_{\bar s},\ t_a = t_{\bar a} \] Les nombres 4, 4, 6 sont cerclés. \(b_s\) et \(c_s\) sont écrits en surcharge de \(a_s\), \(b_s\) ; chacune des trois variables est cerclée.

Un cube en perspective ; trois sommets marqués \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\) autour d'un sommet \(s\) cerclé ; chaque face visible porte une petite flèche circulaire (orientation).

Si \(\delta(s)\) ⌜\(\in I\)⌝ est la diagonale qui passe par \(s\), on a \[ b_s = \operatorname{Tr} X_s,\qquad c_s = \det X_s . \] Si \(\delta(a) \in \mathfrak{P}_2(I)\) est l'ensemble des deux diagonales qui passent par les […] extrémités de \(a\), on a \[ t_a = \operatorname{Tr} X_i X_j \;=\; \operatorname{Tr} X_j X_i \quad\text{si } \delta(a) = \{i,j\}. \]

\[ 4 + 4 + (8)\qquad \boxed{\sigma_s,\ \pi_s,\ \mathbb{T}_s}\qquad (s\in S) \]

\(s\) correspond à un triple \((i,j,k)\) à permutation circulaire près \[ \mathbb{T}_s = \operatorname{Tr} X_i X_j X_k = \operatorname{Tr} X_j X_k X_i = \operatorname{Tr} X_k X_i X_j \] \[ \mathbb{T}_{\bar s} = \operatorname{Tr} X_k X_j X_i = \operatorname{Tr} X_j X_i X_k = \operatorname{Tr} X_i X_k X_j \] Le deuxième terme de la première ligne est écrit en surcharge d'un premier essai.

(4 + 4 relations)encerclé. \[ (R_s)\ \sim\ (R_{\bar s})\qquad \boxed{\begin{aligned} \sigma_s &= \sigma_{\bar s} = \mathbb{T}_s + \mathbb{T}_{\bar s}\\ \pi_s &= \pi_{\bar s} = \mathbb{T}_s \cdot \mathbb{T}_{\bar s} \end{aligned}} \] \[\begin{align*} \sigma_s = \sigma_{\bar s} &= b_i t_{jk} + b_j t_{ki} + b_k t_{ij} - b_i b_j b_k\\ &= b_{s_1} t_{ss_1} + b_{s_2} t_{ss_2} + b_{s_3} t_{ss_3} - b_{s_1} b_{s_2} b_{s_3} \end{align*}\] où \(s_1, s_2, s_3\) sont les sommets adjacents à \(s\) \[\begin{align*} \pi_s = \pi_{\bar s} &= t_{ss_1} t_{ss_2} t_{ss_3} + \text{\struck{$(c_{s_1} t_{ss_1} + c_{s_2} t_{ss_2} + c_{s_3} t_{ss_3})$}}\\ &\quad + \bigl[c_{s_1} t_{ss_1}(t_{s_2 s_3} - b_{s_2} b_{s_3}) + c_{s_2} t_{ss_2}(t_{s_3 s_1} - b_{s_3} b_{s_1})\\ &\qquad + c_{s_3} t_{ss_3}(t_{s_1 s_2} - b_{s_1} b_{s_2})\bigr]\\ &\quad + \bigl(b_{ss_1}^2\, c_{ss_2} c_{ss_3} + b_{ss_2}^2\, c_{ss_3} c_{ss_1} + b_{ss_3}^2\, c_{ss_1} c_{ss_2}\bigr) \end{align*}\] Les indices des \(t\) entre parenthèses dans le crochet sont surchargés et leur lecture (\(t_{s_2s_3}\), etc.) est incertaine ; les indices doubles de la dernière parenthèse sont transcrits tels qu'ils semblent écrits.

\[ (6)\qquad \boxed{\begin{array}{ll} \mathbb{T}_f & (f\in F)\\ \sigma_a,\ \pi_a & (a\in A)\end{array}} \] Si \(f\) correspond à la permutation circulaire \((i,j,k,l)\) de \(I\), on a \[ \text{\struck{$\mathbb{T}_f =$}}\qquad \mathbb{T}_f = \operatorname{Tr} X_i X_j X_k X_l = \operatorname{Tr} X_j X_k X_l X_i = \operatorname{Tr} X_k X_l X_i X_j = \operatorname{Tr} X_l X_i X_j X_k \]

Si \(f\), \(f'\) sont adjacentes le long d'une arête \(a = (s,t)\)

Petit cube : la face \(f\) de sommets \(s, t, s', t'\) et la face \(f'\) de sommets \(t, s, t'', s''\), adjacentes le long de l'arête \(a\) entre \(s\) et \(t\) ; arêtes \(a'\), \(a''\) marquées, ainsi que la diagonale \(i\).

\[ f = (s, t, s', t'),\quad f' = (t, s, t'', s'') \] Sous les sommets de \(f\) sont inscrits \(i, j, k, l\), sous ceux de \(f'\) : \(j, i, k, l\).

[…] […] \(\mathbb{T}_f = \operatorname{Tr} X_i X_j (X_k X_l)\), \(\mathbb{T}_{f'} = \operatorname{Tr} X_j X_i (X_k X_l)\), on a

206\((R_a)\)cerclé. 12 + 12 relations \[ \boxed{\begin{aligned} \mathbb{T}_f + \mathbb{T}_{f'} &= \sigma_a\\ \mathbb{T}_f\, \mathbb{T}_{f'} &= \pi_a \end{aligned}} \] avec \[\begin{align*} \sigma_a &= \operatorname{Tr} X_k X_l \operatorname{Tr} X_i X_j + \operatorname{Tr} X_i \operatorname{Tr} X_j X_k X_l + \operatorname{Tr} X_j \operatorname{Tr} X_k X_l X_i\\ &\qquad - \operatorname{Tr} X_i \operatorname{Tr} X_j \operatorname{Tr} X_k X_l\\ &\text{\struck{$= t_{s\ldots}\, t$}}\\ &= t_{a'a''}\, t_a + b_s \mathbb{T}_s + b_t T_t - b_s b_t t_{a',a''} \end{align*}\] Le premier facteur \(t_{a'a''}\) est écrit en surcharge et glosé dessous par « \(= t_{a''}\) » ; lecture incertaine.

\(\pi_a = \cdots\) expression ⌜un peu⌝ plus compliquée en \(\operatorname{Tr} X_i\), … \(b_i, c_i, b_j, c_j, t_{kl}, c_k, c_l\), \(t_{ij}\), \(\underbrace{T_{jkl}}_{T_s}\), \(\underbrace{T_{kli}}_{T_t}\)

\[ \overbrace{4\quad 4\quad 6}^{14}\qquad \overbrace{8\quad 6}^{14} \] \[ 28 \text{ variables}\quad b_s,\ c_s,\ t_a,\ \mathbb{T}_s,\ \mathbb{T}_f \]

32 relations !

Paramétrage des arêtes

208Deux cubes en perspective. Sur le petit, en haut à gauche, les arêtes portent \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(a'\), \(b'\) et, en dessous, \(a+\alpha\), \(b+\alpha\), \(c+\alpha\), \(d+\alpha\). Sur le grand, les arêtes portent, cerclées, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(u\), et \(a+\alpha = a'\) (cerclé \(a'\)), puis \(b+\alpha\), \(c+\alpha\), \(d+\alpha\), \(u+c-a\) ; sur une face : \(v = u - (d-b)\) (signe surchargé).

\[ v + (c-a) = u - (d-b) + (c-a) \] \[ \boxed{d - b = u - v} = d - b = u - v \] i.e. \[ d + v = b + u,\qquad d - u = b - v \] La seconde égalité ne découle pas de la première ; transcrite telle quelle.

\(a, b, c, d, \alpha, u\)

ou \(a + \alpha = a'\) !

210\(a, b, c, d, a'\) […] ; \(u\) \[ \alpha = a' - a \] Sommes […] sur les arêtes des six facesen haut, au centre de la page ; lecture incertaine.

\[\begin{align*} S_1 &= a + b + c + d\\ S'_1 &= a + b + c + d + 4(a'-a) = -3a + b + c + d + 4a'\\ S_2 &= a + u + a' + u + (d-b) = a - b + \cdot + d + a' + 2u\\ S'_2 &= c + u + c - a + c + (a'-a) + u - d + b + c - a\\ &= -3a + b + 4c - d + a' + 2u\\ S_3 &= u + d + a' - a + u + c - a + d = -2a + \cdot + c + 2d + a' + 2u\\ S'_3 &= b + u - d + b + b + a' - a + u - d + b + c - a\\ &= -2a + 4b + c - 2d + a' + 2u \end{align*}\] Dans \(S'_1\), le terme « \(+\,d\) » est ajouté au-dessus de la ligne. Dans \(S'_2\), « \((a'-a)\) » est écrit au-dessus d'un terme surchargé ; dans la ligne finale de \(S'_2\), le coefficient \(4\) de \(c\) est en surcharge. Les termes des sommes sont soulignés à mesure qu'ils sont comptés.

\[ \begin{array}{cccccc} a & b & c & d & a' & u \end{array} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 1 & 1 & 4 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 2\\ -3 & 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\ -2 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\ -2 & 4 & 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

\[ \Delta = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 & 0\\ -1 & 0 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\ 4 & 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} - \det\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2\\ -3 & 4 & -1 & 1 & 2\\ -2 & 1 & 2 & 1 & 2\\ -2 & 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] \[ + \det\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 4 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2\\ -3 & 1 & -1 & 1 & 2\\ -2 & 0 & 2 & 1 & 2\\ -2 & 4 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} - \det\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 4 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 2\\ -3 & 1 & 4 & 1 & 2\\ -2 & 0 & 1 & 1 & 2\\ -2 & 4 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Développement selon la première ligne ; le calcul s'arrête là.

Les paramètres \(\delta\), \(\delta'\), \(\delta''\)

212Un cube en perspective, sommets \(A\), \(B'\), \(C\), \(B\), \(A'\) nommés, un sommet marqué d'un point plein à l'origine des arêtes \(a\), \(b\), \(c\), un autre sommet marqué d'un point. Arêtes nommées \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\), \(c'\), \(\alpha\), \(\alpha'\), \(\beta\), \(\beta'\), \(\gamma\), \(\gamma'\) ; l'arête \(\beta\) (\(AB'\)) est doublée ; un petit arc près du sommet marqué.

\[ \gamma' - c = a' - \beta' = c' - \beta = \alpha - a \;\Big|\; = \delta' \] \[ \left\{ \begin{aligned} \gamma' &= \delta' + c\\ \beta' &= -\delta' + a'\\ \beta &= -\delta' + c'\\ \alpha &= \delta' + a \end{aligned} \right. \qquad \text{reste pour compte } \underline{\gamma, \alpha'} \]

\[ b - \gamma = \underline{\alpha - a'} = \alpha' - b' = a - \beta' \;\Big|\; = -\delta'' \] \[ \left\{ \begin{aligned} \gamma &= \delta'' + b\\ \alpha' &= -\delta'' + b' \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} \alpha &= -\delta'' + a'\\ \beta' &= \delta'' + a \end{aligned} \] Dans la première ligne de l'accolade, un premier signe est surchargé ; de même devant \(\delta''\) dans la dernière ligne.

\[ \boxed{-\delta'' + a' = \delta' + a}\qquad \delta' + \delta'' = a' - a \] La dernière relation est cerclée. \[ \boxed{+\delta'' + a = -\delta' + a'} \]

214\[ b - \alpha' = \gamma' - c' = \gamma - b' = c - \beta = -\delta \] \[\begin{align*} \alpha' &= \delta + b\\ \gamma' &= -\delta + c'\\ \gamma &= -\delta + b'\\ \beta &= \delta + c \end{align*}\]

\[ \boxed{\text{\struck{$\delta + b = -\delta'' + b'$}}}\qquad \boxed{-\delta + c' = \delta' + c} \] \[ \boxed{\text{\struck{$-\delta + b' = \delta'' + b$}}}\qquad \boxed{\delta + c = -\delta' + c'} \] Les deux encadrés de gauche sont barrés d'un trait oblique ; dans le deuxième, \(c'\) et \(\delta'\) sont en surcharge.

En marge, cerclé : \[ \delta + \delta'' = b' - b,\qquad \delta + \delta' = c' - c \]

\[\begin{align*} \delta' + \delta'' &= a' - a\\ \delta'' + \delta &= b' - b\\ \delta + \delta' &= c' - c \end{align*}\] \[ \delta + \delta' + \delta'' = \tfrac12\bigl(a' + b' + c' - (a + b + c)\bigr) = \tfrac12\bigl(\underbrace{(a'-a)}_{\varepsilon_1} + \underbrace{(b'-b)}_{\varepsilon_2} + \underbrace{(c'-c)}_{\varepsilon_2}\bigr) \] Le troisième terme est indexé \(\varepsilon_2\) sur la page ; l'encadré qui suit l'utilise comme \(\varepsilon_3\). \[ \boxed{\left\{ \begin{aligned} \delta &= \tfrac12(-\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3)\\ \delta' &= \tfrac12(\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3)\\ \delta'' &= \tfrac12(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 - \varepsilon_3) \end{aligned} \right.} \]

216Ci-dessous, \(\bullet\) marque un signe surchargé d'une tache d'encre, illisible. \[\begin{align*} \alpha &= \sigma_{BC'} = \tfrac12\bigl((a'+a) \bullet (b'-b) + (c'-c)\bigr)\\ \beta &= \sigma_{AB'} = \tfrac12\bigl(-(a' \bullet a) + (b'-b) + (c'+c)\bigr)\\ \gamma &= \sigma_{CA'} = \tfrac12\bigl((a'-a) + (b'+b) - (c'-c)\bigr)\\ \alpha' &= \sigma_{AC'} = \tfrac12\bigl(-(a'-a) + (b'+b) + (c'-c)\bigr)\\ \beta' &= \sigma_{CB'} = \tfrac12\bigl((a'+a) + (b'-b) - (c'-c)\bigr)\\ \gamma' &= \sigma_{BA'} = \tfrac12\bigl((a'-a) \bullet (b'-b) + (c'+c)\bigr) \end{align*}\] Dans chaque ligne, la parenthèse où figure une somme \(x'+x\) est soulignée d'un trait ondulé. Des flèches courbes, à droite, relient \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) entre elles, puis \(\alpha'\), \(\beta'\) et \(\gamma'\) ; plusieurs signes (\(a'+a\) dans \(\beta'\), etc.) sont surchargés et de lecture incertaine.

En haut à droite : \[ -c' + c + 2c',\qquad -b' + b,\qquad -a' + a,\qquad c' - c \]

Sommation des \(\sigma_a\) sur les arêtes d'une face \[\begin{align*} \varphi_a &= (a'-a) + 2(b+c)\\ \varphi_b &= (b'-b) + 2(a+c)\\ \varphi_c &= (c'-c) + 2(a+b) \end{align*}\] Dans la première ligne, un début d'expression illisible est raturé devant \((a'-a)\).

\(a - a' + (b'+c')\) \[\begin{align*} \varphi_{a'} &= (b'+c') \bullet (a'-a) + b' + c' = 2(b'+c') - (a'-a)\\ \varphi_{b'} &= a' + c' + a' - (b'-b) + c' = 2(c'+a') - (b'-b)\\ \varphi_{c'} &= (a'+b') + a' + b' - (c'-c) = 2(a'+b') - (c'-c) \end{align*}\] Sous ces lignes, un passage de deux lignes est entièrement raturé de traits en zigzag, terminé par un « ! » ; des flèches en montent vers les membres de droite. […] !

218\[ \begin{array}{c} \begin{array}{cccccc} a & b & c & a' & b' & c' \end{array}\\ \det\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & -1 \end{array}\right) \end{array} = \det\begin{pmatrix} 27 & 1\\ 1 & 27\end{pmatrix} = 27^2 - 1 \in \mathbb{Q}^* \] \[ = (3^3)^2 - 1 = 3^6 - 1 = 728 = 8\cdot 91 = \boxed{2^3\cdot 7\cdot 13} \] premier à \(3\)souligné, sous la matrice \(2\times2\).

\[ -1 + 8 + 8 - (-4 - 4 - 4) = 16 + 12 - 1 = 27 \] Calcul du déterminant du bloc \(3\times3\) ; « \(16\) » est écrit en surcharge.

[…] \[ \begin{array}{r} 27\\ 27\\ \hline 189\\ 54\phantom{0}\\ \hline 729 \end{array} \]

Ok

220\[\begin{align*} A &= a + a' = \lambda\\ B &= b + b' = \mu\\ C &= c + c' = \nu \end{align*}\] \(\beta\) \[\begin{align*} A' &= a' + a\\ B' &= b' + b\\ C' &= c' + c \end{align*}\] Le signe des trois dernières lignes est peu formé ; vu les pages précédentes on attendrait \(a'-a\), etc., mais la page porte plutôt \(+\).

\(\boxed{\lambda, \mu, \nu}\) correspondant aux trois directions d'arêtes

\(\underline{\lambda\ \mu\ \nu}\)

Trois petits segments verticaux parallèles et un quatrième oblique, figurant les directions d'arêtes.

\[\begin{align*} a + a' &= \lambda\\ b + b' &= \mu\\ c + c' &= \nu \end{align*}\] \[ \varphi_a + \varphi_{a'} = 2(b + b' + c + c') = 2(\mu + \nu) \] Les indices des deux \(\varphi\) sont à peine formés ; la lecture \(\varphi_a + \varphi_{a'}\) est suggérée par la p. 216.