Cote n° 83, pages 101–120

Cote n° 83 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

Azumaya rang 4 (II)

Titre de sa main en tête de la p. 101, souligné.

101

Avril 86 Date écrite en haut à droite de la p. 101.

Soit $A$ Alg. d'Azumaya rang 4 sur schéma $S$ ⌜anneau $k$ (disons)⌝, et $B\subset A$ un sous-Module loc. libre de ⌜fibré vectoriel de⌝ rang 3. Alors $B^{\perp}$ est un sous-vectoriel ⌜fibré vectoriel⌝ de rang 1, soit $D$. On a corr. 1-1 entre les $B$, et les $D$, car la forme quadratique canonique $\operatorname{Tr}(uv)$ sur $A$ est non dégénérée.

À vrai dire, il y a deux formes bil. sym. non dégénérées intéressantes sur $A$, savoir \[ \varphi(u,v)=\operatorname{Tr}(uv) \quad\text{et}\quad \psi(u,v)=\varphi_{\det}(u,v)=\operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v-\operatorname{Tr}(uv), \] « $\psi(u,v)=$ » est ajouté au-dessus de $\varphi_{\det}$. donnant ayant des discriminants qui […]

Je dis que pour le fibré vectoriel $B$ (de rang quelconque) qui contient $1$, les deux formes induites sur $B$ ont même discriminant. En effet, il suffit de le voir dans un cas universel d'un tel $B$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, ce qui nous permet de supposer $2$ inversible, donc \[ A\simeq k.1\oplus A^{\natural}, \qquad B=k.1\oplus V,\quad V\subset A^{\natural}, \] \[ A^{\natural}\overset{\mathrm{def}}{=}\{u\in A \mid \operatorname{Tr}u=0\} = 1^{\perp} \] (NB L'orthogonal de $1$ pour l'une ou l'autre forme est le même !)L'exposant de $A^{\natural}$ est un signe en forme d'éclair (ou de « 4 » couché) ; il est rendu partout par $\natural$.

102et $\xi$ on est ramené à prouver l'assertion pour analogue pour $k.1$ et $V$ (régularité du disc.). Or sur $k1$ les deux formes bil. quadr. ass. prennent la valeur $2$, OK. Sur $V$, c'est elles sont égales ! On gagne !

Proposition

NB Soit $B$ sous-module de $A$ tel que $B\ni 1$, alors \[ B^{\perp(\varphi)}=B^{\perp(\psi)} . \] En effet, les deux $B^{\perp}$ […] orthogonaux c'est une $B^{\perp}$ est […] de on a \[ \varphi(1,u)=\psi(1,u)=\operatorname{Tr}u \] donc les orthogonaux de $1$ sont les mêmes (c'est $A^{\natural}=\{u\in A\mid \operatorname{Tr}u=0\}$), et $B^{\perp}\subset A^{\natural}$. Or si $\xi\in A^{\natural}$, on a : pour $\varphi$ […] $u\in A$ \[ \psi(u,\xi)=-\varphi(u,\xi) \] donc dire que $\xi$ est orth. à $B$ pour $\varphi$, ou pour $\psi$, est pareil, cqfd.

103Ça peut être plus explicité encore. Plaçons Les $\delta_{B}$ pour $B$ variable forment une section du fibré $\underline{\mathcal{O}}_{P}(2)$ ⌜$=\underline{\mathcal{O}}_{P}(1)^{\otimes 2}$⌝ sur le fibré projectif (de dimension relative 2) \[ \mathbb{P}(\dot{A}/k) \] des (hyper)plans dans $A$, donc provenant d'un élément canonique de \[ \Gamma(\underline{\mathcal{O}}_{P}(2))\simeq \operatorname{Sym}^{2}_{k}(A/k)\simeq \text{espace des formes quadratiques sur } (A/k)^{\vee}\simeq A^{\natural} . \] Or il y a une telle forme canonique sur $A^{\natural}$, savoir $\det$. Et on vérifie que $\delta_{B}$ est bien défini par cet élément. (Cela n'a rien à voir avec la structure multiplicative de $A$, qui intervient pour définir les $\delta_{B}$, il suffit de la forme quadratique ⌜non dég.⌝ $\det$, et l'élément $1$ de $A$ […] injection…)Le point sur le $A$ de $\mathbb{P}(\dot{A}/k)$ est lu tel quel ; lecture incertaine.

104La p. 104 commence au milieu d'un raisonnement. L'ordre de lecture semble être, à rebours de la numérotation des archivistes : p. 108 (Proposition), p. 107 (Dém.), p. 106, p. 105, p. 104, chaque feuillet continuant la phrase laissée en suspens au bas du précédent. \[ \mu:\underbrace{\textstyle\bigwedge^{2}B/k}_{=\ \det B/k}\longrightarrow A/B \] Or on a un iso. can. \[ \det B\simeq \underbrace{\det k}_{k}\otimes\det B/k\simeq \det B/k \] attention à convention de signes donc on peut interpréter $\mu$ comme un \[ \mu:\det B\longrightarrow A/B \] Ici comme dans quelques autres formules hors ligne de ce lot (p. 105, 106, 114, 117), un court fragment biffé et illisible a été omis de la formule. avec $\det B\simeq (A/B)^{\otimes -1}$, soit encore \[ \mu\in A/B^{\otimes 2}\simeq D^{-\otimes 2}. \] Ceci dit, il est clair que \[ B \text{ sous-algèbre} \iff \mu=0 . \] Il suffit de voir que \[ \mu=\pm\delta \] (le signe dépendant des conventions de signes). Or il suffit de le voir dans le cas universel $S=\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Z}}$, et pour ceux-ci […] $\underline{\mu}$ et $\underline{\delta}$ […] universels, et les […] zéros, […] ont des zéros, – gagné !

105laquelle disparaît quand on passe au carré : \[ (\det B)^{\otimes 2}\otimes (A/B)^{\otimes 2}\simeq \underline{1} \] qui donne \[ (\det B)^{\otimes -2}\simeq (A/B)^{\otimes 2}. \] Ainsi, on peut ici voir \[ \delta_{\det B}\in (A/B)^{\otimes 2}\simeq D^{\otimes -2} \] [et en fait, c'est simplement donné par la restriction de la forme quadratique $\det$ : $D$ : $\delta_{\det B}=\det|_{D}$]

Or on a une application bilin. can. \[ \begin{aligned} B\times B &\longrightarrow A/B\\ (u,v)&\longmapsto uv \bmod B \end{aligned} \] et celle-ci est alternée, puisque pour H.C., on a pour $u\in B$ \[ u^{2}\equiv 0 \bmod B \] (car $u^{2}=(\operatorname{Tr}u)u-\det u.1$, et $1,u\in B$). Ainsi, on trouve \[ \textstyle\bigwedge^{2}B\xrightarrow{\ \mu\ }A/B . \] On sait que \[ \mu(u\wedge v)=uv \bmod B . \] D'ailleurs […] la forme bil. $uv \bmod B$ est nulle quand l'un ou l'autre des […] est dans $k$, donc on peut considère $\mu$ commeAprès la deuxième occurrence de « $uv \bmod$ », un signe ressemblant à « $1\cdot$ » précède le $B$ ; lecture incertaine.

106correspondant \[ B_{D}=D^{\perp} \] (= normalisateur de $D$ dans l'alg. de Lie $A$ i.e. ens. des $x\in A$ tels que $[u,x]\in D$ pour […] $x\in D$ $\operatorname{ad}_{\mathrm{Lie}}(x)(D)\subset D$)

($B_{D}^{*}$ = normalisateur de $D$ dans $A^{\times}$)

D'où équivalence de (i) avec (i'). D'autre part, (ii') $\Longrightarrow$ (ii) trivialement, il reste à voir que (iii) $\Longrightarrow$ (i) – je ne suis pas si sûr que c'est vrai, (sauf sur un corps (ou un anneau […] réduit) le cas […] décisif est celui où $k=k_{0}[t]/t^{2}$ … (l'histoire des […] d'une algèbre de Borel…)L'argument sur (i), (i'), (ii), (ii'), (iii) renvoie à des énoncés qui ne figurent pas dans ce lot.

Conclusion. Notons que $\delta_{B}=\operatorname{disc}'_{\det B}$ est une section de \[ \delta_{B}\in(\det B)^{\otimes -2}\Bigl[\underset{\text{iso can}}{\simeq} A/B^{\otimes 2}\Bigr] \] compte tenu que l'on a un iso can \[ \det(A)\simeq k \] \[ \det B\otimes A/B\simeq\det A\ (\simeq k) \] Cet iso dépend d'une convention de signes,

107Dém. L'équivalence de (ii) et (ii') est évidente, du fait que puisque $A$ a une forme quadratique (vg quelc.) non dégénérée, et qu'on regarde les ⌜des⌝ […] sous-fibrés vectoriels de codim 1 (on suppose […] pair) […] si $2$ inv. dans $k$ – quand […] dans ce dernier cas, […] de polar. du disc. divisé, le discriminant ordinaire ([…] $(A)$), \[ \operatorname{disc}_{\varphi_{B}}=\operatorname{disc}_{\varphi_{D}}=2\operatorname{disc}'_{\det}(B) \] L'indice du deuxième discriminant est lu $\varphi_{D}$ sans certitude. […] en vertu du disc., la condition (ii) implique (ii'), et la réciproque est vraie si $2$ inv.

[…] Si $D$ est isotrope, il est orthogonal à lui-même, donc \[ D\subset D^{\perp}=B . \] L'inverse est vrai si $2$ est inv. (NB si $2=0$ dans $k$, donc on a tjrs $D\subset B$ !) En effet, $D\subset B$ signifie que $D$ est orthogonal à lui-même, et donc \[ 2d(x)=\varphi_{d}(x,x)=0 . \] Cela veut dire que $2d(x)=0$ ou $d(x)=0$ pour $x\in D$ i.e. $D$ est isotrope.

On sait que les sous-alg. de Borel sont en corr. 1-1 avec les […] $D$ isotropes ⌜dans $A^{\natural}$⌝, à […] une telle $D$

108Les sous-fibrés vectoriels $B$ de $A$, (de rang 3, ⌜contenant 1,⌝) correspondent par orthogonalité (pour $\varphi$ ou $\psi$, c'est kif kif) aux sous-fibrés vectoriels de rang 1 $D$ de $A^{\natural}$.

D'autre part, pour un tel $B$, considérons \[ \det_{B}=\det|B , \] forme quadratique sur $B$, elle a donc un discriminant divisé \[ \operatorname{disc}'(\det_{B}) \quad\text{tel que}\quad 2\operatorname{disc}'(\det_{B})=\operatorname{disc}\psi_{B} \] où $\psi_{B}$ est la restriction de $\psi$ à $B$. Ainsi \[ \operatorname{disc}\psi_{B}=\operatorname{disc}\varphi_{B}=2\underbrace{\operatorname{disc}'(\det_{B})}_{\overset{\mathrm{def}}{=}\ \delta(B)} \]

Proposition Les ⌜trois⌝ conditions suivantes sont équivalentes

(i)$D$ est isotrope i.e. $\det|D=0$
(ii)$\delta(B)=0$ (NB $\delta(B)\in$ […] $\det(B)^{\otimes(-2)}$)
[…](iii)$B$ est une sous-algèbre de $A$
(iii')[…] $B$ est une « sous-alg. de Borel » de $A$

Si $S$ est le spectre d'un corps, […] (iii) […]Note marginale à gauche, barrée, reliée par une flèche à (iii). Ces […] conditions impliquent les deux suivantes, et si $2.1_{k}$ est inv., elles en sont équivalentes aux précédentes

(iv)$D\subset B$
(ii')disc $\operatorname{disc}(\varphi_{B})=0$ ($\Longleftrightarrow \operatorname{disc}_{\psi_{B}}=0$)

109Cor. Conditions équivalentes

(i)$D$ est anisotrope i.e. $\det_{A}|D$ est non nulle sur chaque fibre
(ii)$\delta(B)$ ($=\delta(D)$) est un élément inv. de $(\det B)^{\otimes -2}$ […] i.e. $\det_{A}|D$ est partout non nulle i.e. $\det_{B}=\det_{A}|B$ est non dégénérée
(iii)$B$ n'est une sous-alg. sur aucune fibre
(iv)$B$ ⌜fibre⌝ engendre $A$ comme algèbre (pour chaque fibre bien sûr)
(v)$D\not\subset B$ sur les fibres
(vi)$\varphi|B$ est non dégénérée

si $2$ inv. sur $S$La note marginale, reliée par une accolade, porte sur (v) et (vi).

En effet, si $u,v$ sont deux éléments de $B$ tels que $1,u,v$ forment une base, les conditions équivalent à :

(v)$1,u,v,uv$ forment une base de $A$
(v')$uv \bmod B$ est un […] ⌜élément⌝ inversible de $A/B$

Supposons

Nous regardons maintenant deux sous-[…] ⌜fibrés⌝ […] $H,H'$ de rang 2, contenant 1 (ce sont nécess. des sous-algèbres, par H.C.) et supposons \[ H\cap H'=k \] donc \[ H\oplus H'\overset{\mathrm{déf}}{=}B \quad\text{sur la fibre sous-fibré de rang 3} \] Lecture de la dernière ligne incertaine : « sur la fibre » semble se rattacher à la condition $H\cap H'=k$.

110[…], Un $H$ ⌜$\ni 1$⌝ est défini aussi par son orthogonal, et de même pour $H'$ \[ V\subset A^{\natural},\quad V'\subset A^{\natural} \] sous-fibrés vectoriels de rang 2, qui satisfont donc \[ V+V'=A^{\natural} \] donc \[ V\cap V'\overset{\mathrm{def}}{=}D \] est un sous-fibré vect. de rang 1.

Dire que $H$ est […] que $H$ est

Les $H$ correspondent ⌜sur $k$ ou $k$-points⌝ […] aux sections ⌜des⌝ […] ⌜plans⌝ du […] ⌜projectif⌝ $\check{\mathbb{P}}(A/k)$, et les $V$ aux droites dans le plan projectif dual, dans lequel il y a une conique canonique, celle des droites isotropes dans $A^{\natural}$. Alors $H$ est déployé sur $k$ (les $H$ qui agissent sur $k$) […] ⌜géométriquement⌝ ssi elle définit un point fibre, la droite (plaine) $D_{H}=D_{V}$ est […] tangente à la conique, i.e. […] découpe une diviseur […] non réduit : un pt. Si cette condition est vérifiée pour

NB Les $H$ […] correspondent 1-1 aux […] […] […] […] […] […] corr. diviseur […] […]Note marginale oblique en bas à gauche, en grande partie illisible ; elle semble porter sur les $H$ en correspondance 1-1 avec des diviseurs (« diviseurs de degré 2 » ?).

111$H$ et $H'$, on dit qu'ils sont en position générale si sur chaque fibre géométrique, les deux paires de points sur la conique isotrope sont disjointes. Mais cela signifie qu'il n'y a pas de […] droites isotropes (sur la fibre) orth. à la fois à $H$ et $H'$, i.e. à $B$. Donc par la même proposition, cela signifie que $\delta_{B}$ est inv. ici, que $\det|D$ est inversible. […] Dans ce cas, élucidé p. ex. le choix (possible localement) de $H,H'$ […] Spin […] ⌜droites isotropes⌝ disjointes \[ D_{1},D_{2}\subset V\cap \underset{\substack{\parallel\\ \text{con.\ isotrope}}}{C},\qquad D_{1}',D_{2}'\subset V'\cap C \] Le $V$ de $V\cap C$ est écrit sur un autre symbole. on a un rapport anharmonique \[ \lambda=\lambda_{(D_{1},D_{2})}(D_{1}',D_{2}')\in k \qquad \lambda \text{ partout } \neq 0,1 \text{ i.e. } \lambda \text{ et } 1-\lambda \text{ inv.} \] qui se transforme en $1/\lambda$ si on échange $D_{1}$ et $D_{2}$ ([…] $D_{1}'$ et $D_{2}'$), et qui se dispose

112pas de l'ordre dans chaque paire prise les deux paires couples $(D_{1},D_{2})$, $(D_{1}',D_{2}')$.

On a un rapport plus intrinsèque, qui ne dépend pas de permutations \[ D_{1}\longleftrightarrow D_{2} \qquad\text{ou}\qquad D_{1}'\longleftrightarrow D_{2}' \] \[ \rho=\lambda+\lambda^{-1} \] qui est défini sur $k$ (sans localiser). On retrouve $\lambda$, au signe près : $\lambda^{-1}$ puis, comme une solution de \[ \lambda^{2}-\lambda\rho+1=0 . \] Le $\rho$ est pour On a ici \[ \rho\neq 2 \quad\text{sur chaque fibre,} \] i.e. \[ \rho_{0}=\rho-2 \quad\text{est }\neq 0\text{ sur chaque fibre i.e.\ est inv.} \] On voit que aisément que les classes de paires dans $(H,H')$ ⌜(H, H' étales sur $k$, $H,H'$ en pos. gén.)⌝ dans $A_{4}$ ⌜modulo conjugaison local⌝ correspondent aux diff. $\rho_{0}$ inv. i.e. si deux telles paires $(H,H')$ avec inv. $\rho_{0}=\rho_{0}(H,H')$, $(\overline{H},\overline{H}')$ avec inv. $\overline{\rho_{0}}$,

113alors $\exists$ ⌜localt⌝ ⌜$\Theta$⌝ automorphisme […] de $A$, tel que \[ \Theta(H)=\overline{H} \qquad \Theta(H')=\overline{H'} \] ssi \[ \overline{\rho_{0}}=\rho_{0} \] D'autre part, si on se donne $\rho_{0}$, ⌜(inv.)⌝ il existe localt une paire $(H,H')$ qui le réalise.

D'ailleurs, […] il existe un automorphisme de $A$ […] […] […] loc. […] ($\mathrm{Pic}(k)=0$), et pour $H$ il existe loc. […] ⌜propre⌝ loc. […], il fixe $H$ (il est […]… propre auto. […] dans $A$) ou […] provient d'un $\Theta\in$ […] de $k$ […] […] $x\mapsto x'=\operatorname{Tr}x\,1-x$ […] […] certain posantPassage barré par trois longs traits obliques et par des traits horizontaux ; seuls quelques mots se lisent.

Dans $G=\underline{\mathrm{Aut}}(A)\simeq\underline{\mathrm{Aut}}(P)$, le groupe qui stabilise $H$ et $H'$ est un sous-gr schéma […] isom. : $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{S}$, […] dont […] […] est un […] […] […] $H$ et sur $H'$ […]

Si $\rho\neq -2$ partout, […] […] $\rho_{0}\neq -4$ partout, […] […] $\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ […] $\overline{C}$ […] […]Note marginale oblique en bas à gauche, partiellement lisible.

114induit sur $H$ et $H'$ l'automorphisme \[ x\longmapsto x'=\operatorname{Tr}(x).1-x \] En tout cas, les isom. qui envoient $(H,H')$ sur $(\overline{H},\overline{H}')$ forment un torseur sous le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (si $\rho_{0}+4$ inv.) chaque torseur peut (je pense […]) être un trivial ([…] […]) un le torseur associé du groupe \[ \underline{\mathrm{Aut}}(A)\simeq \check{V}(A)^{*}/\mathbb{G}_{m} \quad\text{est trivial} \]

[…] Écrit plutôt : [Si $P$ est un ⌜$\mathbb{Z}/2$-⌝torseur sur $\operatorname{Spec}k$, on a un homom. \[ P\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Isom}(\varepsilon_{H},\varepsilon_{\overline{H}})\ (=\varepsilon_{H}\wedge\varepsilon_{\overline{H}}) \] \[ \text{\struck{$P\times\varepsilon_{H}\longrightarrow\varepsilon_{\overline{H}}$}} \] qui définit et donc \[ P\xrightarrow{\ \sim\ }\varepsilon_{H'}\wedge\varepsilon_{\overline{H}'} \quad ] \] $\varepsilon_{H}$ désigne le revêt. étale de $S=\operatorname{Spec}k$ défini par $H$

[…] $P$ muni de sections ⌜$\varepsilon_{H'}\simeq\varepsilon_{\overline{H}'}$⌝ pas si $\varepsilon_{H}\simeq\varepsilon_{\overline{H}}$ ; prenant par exemple \[ H'=\overline{H}' \quad\text{correspondant : la bisection} \] $\{0,\infty\}$ de $\mathbb{P}^{1}$, et $H,\overline{H}$ étant les bisections définies resp. par \[ \begin{aligned} Z^{2}-bZ+c&=0 \qquad b^{2}-4c\neq 0\\ Z^{2}-\overline{b}Z+\overline{c}&=0 \qquad \overline{b}^{2}-4\overline{c}\neq 0 \end{aligned} \] sur un corps…

115on a ici \[ \rho=\frac{b^{2}}{c}-2,\qquad \overline{\rho}=\frac{\overline{b}^{2}}{\overline{c}}-2 \] la condition $\rho=\overline{\rho}$ s'écrit \[ \frac{b^{2}}{c}=\frac{\overline{b}^{2}}{\overline{c}}, \] qui n'implique pas l'isom. des deux extensions ! P. ex. en car. $\neq 2$, si on prend $b=\overline{b}=0$ la condition $(\rho=-2)$ (il est vrai que cas exceptionnel ($\rho=-2$)) est satisfaite par l'existence dans le cas d'isom. entre les deux, mais les […] ne sont pas isom. […] $\varepsilon_{H}$ et $\varepsilon_{\overline{H}}$ quand si $\overline{c}/c$ est un non carré. […] Etc.…

Il serait nécessaire de voir si tant $\rho_{0}$ inv. peut être réalisé loc. Zar tel un seulement […] ([…]) passage peu sûr.

Je suppose que oui ; un point d'un $H$, et un pour un $H'=$ $\operatorname{int}(u)H$ pour $u\in A^{*}$ convenable…

NB Vérification immédiate dans le cas où $A$ est scindée…

116Je vais donner une expression de $\rho$. D'abord on trouve d'une base \[ 1,u,v \qquad\text{base de } B=H+H' \] posant \[ \begin{cases} b=\operatorname{Tr}u,\ c=\det u & \delta_{H}=b^{2}-4c\\ b'=\operatorname{Tr}v,\ c'=\det v & \delta_{H'}=b'^{2}-4c'\\ t=\operatorname{Tr}uv=\operatorname{Tr}vu \end{cases} \] NB La condition $H$ étale $\Leftrightarrow\delta_{H}$ inv., $H'$ étale $\Leftrightarrow\delta_{H'}$ inv.

on trouve l'expression \[ \boxed{\rho_{0}=\frac{P}{Q}} \] où \[ \begin{aligned} P&=P(b,c,b',c',t)=(b^{2}-4c)(b'^{2}-4c')=\delta_{H}\delta_{H'}\\ Q&=Q(b,c,b',c',t)=t^{2}-bb't+(b^{2}c'+b'^{2}c-4cc') \end{aligned} \] Après la parenthèse de $Q$, un signe raturé en marge droite. et d'autre part on a \[ Q=\tfrac{1}{2}\delta_{\varphi|B} \text{ pour la base } 1,u,v =\tfrac{1}{2}\det\begin{pmatrix}\operatorname{Tr}1&\operatorname{Tr}u&\operatorname{Tr}v\\ \operatorname{Tr}u&\operatorname{Tr}u^{2}&\operatorname{Tr}uv\\ \operatorname{Tr}v&\operatorname{Tr}vu&\operatorname{Tr}v^{2}\end{pmatrix} \] \[ =\text{discr.\ divisé de la forme } \det_{|B} \text{ p.r.\ à la base } 1,u,v \] Devant $\tfrac12$ et devant « discr. » un signe (« $-$ » ?) est noirci. (matrice ⌜de $\varphi|B$⌝ égale : \[ \begin{pmatrix}2&b&b'\\ b&b^{2}-2c&t\\ b'&t&b'^{2}-2c'\end{pmatrix}\ ) \] Le coefficient $b^{2}-2c$ est écrit sur un premier chiffre raturé. donc par hyp. ($H,H'$ en position générale) donc on a bien $Q$ inversible, donc $\rho_{0}$ est défini, et non nul.

Je voudrais donner : cette formule pour $\rho_{0}$ une forme intrinsèque, indépendante du choix de bases.

117Regardons d'abord un sous-fibré vect. de rg. 2 quelconque, $H$, et regardons […] la forme det quadratique \[ \det|H \] Donc on peut considérer son discriminant ⌜$\delta_{H}$⌝, est aussi égal à celui de la forme bilinéaire ⌜sym.⌝ $\varphi|H$ ($\operatorname{Tr}uv$) (car $H\ni 1$). C'est une section de \[ \det H^{\otimes(-2)}\simeq (H/k)^{\otimes -2} \] Par rapport à une base $1,u$, d'où la base $1\wedge u$ de $\det H\simeq H/k$, et $(1\wedge u)^{\otimes -2}$ de $(\det H)^{\otimes -2}$, on trouve le discriminant \[ \det\begin{pmatrix}\operatorname{Tr}1&\operatorname{Tr}u\\ \operatorname{Tr}u&\operatorname{Tr}u^{2}\end{pmatrix}=b^{2}-4c \] donc \[ \delta_{H}=(b^{2}-4c)(1\wedge u)^{\otimes -2} \] Si on a $H,H'$ tels que $H\cap H'=k$ (sous-coch. de rang 2 en position transversale p.r. $k.1$), et posant \[ B=H+H' \] comme dessus, on a \[ B/k\simeq H/k+H'/k \] d'où isom. (défini à un signe près, si on précise les conventions) \[ \det B\simeq \underbrace{\det k}_{k}\otimes\det B/k\simeq H/k\otimes H'/k \] Donc […] \[ (\det B)^{\otimes -2}\simeq (H/k)^{\otimes -2}\otimes(H'/k)^{\otimes -2} \]

118isom. qui ne dépend plus des signes. Ceci On peut donc considérer \[ \begin{cases} \delta_{H}\delta_{H'}\in(\det B)^{\otimes -2}\simeq D^{\otimes -2}\\ \delta_{B}\in(\det B)^{\otimes -2}\simeq D^{\otimes -2} \end{cases} \] Je rappelle que la […] condition que […] $H,H'$ soient « en position générale » i.e. engendrent l'algèbre $A$, est que $\delta_{B}$ est section inversible de $(\det B)^{\otimes -2}\simeq D^{\otimes -2}$ i.e. $D$ anisotrope. Ceci dit, on \[ \boxed{\rho_{0}=\frac{\delta_{H}\delta_{H'}}{\delta_{B}}} \] trouve : si $H,H'$ ét. sur $k$ i.e. $\delta_{H}\delta_{H'}$ section inversible Cette formule n'est définie que si $H,H'$ sont étales $/S$ et en position générale ($\delta_{B}$ ⌜inv.⌝). Mais on peut la prendre comme définition de $\rho_{0}$ dès que $\delta_{B}$ inv. i.e. $H,H'$ en position générale (pas nécess. étales). On peut définir $\rho_{0}$ encore plus généralement, dès que $\delta_{H}\delta_{H'}$ et $\delta_{B}$ ne

119s'annulent pas simultanément, i.e. ils engendrent $D^{\otimes -2}$ : on trouve alors pour $\rho_{0}$ une section de $\mathbb{P}^{1}_{k}$ prenant la valeur $\infty$ aux pts où $\delta_{B}$ s'annule, la valeur i.e. $H,H'$ contiennent une ⌜(mais $H,H'$ étales)⌝ Borel, et la valeur $0$ aux les pts où $H$ ou $H'$ n'est pas étale.

NB Le seul cas sur un corps où $\rho_{0}$ n'est pas défini, est celui où $B=B_{D}$ est une sous-alg. de Borel, pour droite $D\subset$ […] $B$ isotr. ) et $H$ (disons, i.e. un des deux rôles) est $k\oplus D$, et enfin $H'$ est un ⌜plan de $B$⌝ […] qui contient $k$ et est distinct de $H$ ⌜sans plus⌝. Cette situation Deux telles situations sont conjuguées loc. […] i.e. ce type de situation est fixé au choix d'une Borel seulement [correspond maximal […] drapeau, i.e. Borel et d'un tore i.e. couple de Killing.] Fin de page : la phrase entre crochets se lit mal ; « maximal » et « drapeau » sont peu sûrs.

120Revenons à l'expression explicite \[ -\delta_{B=H+H'}=Q=t^{2}-bb't+(b^{2}c'+b'^{2}c-4cc') \] Devant le premier et le second signe « $=$ », des lettres raturées. Je dis que pour un syst. de 5 constantes $(b,c,b',c',t)\in k^{5}$ tels que cette quantité soit inversible*, il existe toujours, ⌜une forme⌝ loc. […] […] $\operatorname{Spec}k$, des les réalisations dans une algèbre d'Azumaya $A$ par deux éléments $u,v$, Pour les tels que $H=k\oplus ku$ et $H'=k\oplus kv$ soient des sous-fibrés vect. de rg 2 en position relative générale. En fait on connaît déjà $(H,u)$ […] comme donnée à isom. près près par $b,c$, et itou pour $(H',v')$ par $b',c'$. Si $(b^{2}-4c)(b'^{2}-4c')$ ⌜$\delta\delta'$⌝ est inversible, on trouve une quantité $\rho_{0}\neq 0$, qui correspond à deux une position relative dans $\mathbb{M}_{2\,k}$ disons à condition de faire extension de la base vers les solutions de \[ \lambda^{2}-(\rho_{0}+2)\lambda+1=0 \] * Sans doute il suffit que $\delta$ soit inversible ; on fait une vérif. plus loin… À partir d'ici, nous supposons $\delta$ inversible, sans […] […] […] […] Deux notes marginales obliques à gauche, la seconde en grande partie illisible. L'argument se poursuit au-delà de ce lot.