Bi-icosaèdres
gauches et orientations
Avril 86
Soit (S,\{\mathcal I,\mathcal I'\}) un bi-icosaèdre gauche orienté, et soit \widetilde S_{\mathcal I}, \widetilde A_{\mathcal I}, \widetilde F_{\mathcal I} le revêtement des orienté de (S,\mathcal I) (i.e. ens. des icos. « droits » orientés), \widetilde S_{\mathcal I'}, \widetilde A_{\mathcal I'}, \widetilde F_{\mathcal I'} celui de (S,\mathcal I'). (On va définir des bijections
\begin{aligned}
\varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde S_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde S_{\mathcal I'}\\
\varepsilon^A_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde A_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde A_{\mathcal I'}\\
\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde F_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde F_{\mathcal I'}
\end{aligned}
(pour vérification, il faut orientées) comme suit.
structures pentagonales sur S(s) associées l'une à \mathcal I, l'autre à \mathcal I', et qui se correspondent. isomorphe qui est un espace aff. \mathbb F_5-module libre de rang 1, et U_s^* (ens. des générateurs) est un torseur sous
L'application i.e. dérivée
\varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I}(s) : \widetilde S_{\mathcal I}(s) \longrightarrow \widetilde S_{\mathcal I'}(s)
est donnée par
u \longmapsto 2u .
On aura
\varepsilon^S_{\mathcal I,\mathcal I'}(s)\,\varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I}(s) = u\longmapsto 4u = -u = a_{\mathcal I'}u
(a_{\mathcal I'} l'antipodisme de \mathcal I'), et de même en sens inverse. (Si on avait choisi u\mapsto 3u (=-2u), ça aurait été pareil, car 3^2 = (-2)^2 \equiv -1\ (5)) 4\equiv -1\ (5). Donc
\text{(1)}\qquad
\begin{cases}
\varepsilon_{\mathcal I',\mathcal I}\,\varepsilon_{\mathcal I,\mathcal I'} = a_{\mathcal I'}\\
\varepsilon_{\mathcal I,\mathcal I'}\,\varepsilon_{\mathcal I',\mathcal I} = a_{\mathcal I}
\end{cases}
\qquad\text{et de même.}
donc l'identification entre \widetilde S_{\mathcal I} et \widetilde S_{\mathcal I'} dépend du choix de \mathcal I ou de \mathcal I' dans \{\mathcal I,\mathcal I'\}
On a choisi \mathcal I dans \{\mathcal I,\mathcal I'\} a_{\mathcal I} (ou a_{\mathcal I'})
Soit une face t de \mathcal I, t' sa complémentaire, face de \mathcal I'. On a une bijection canonique
\alpha_{\mathcal I',\mathcal I} : t_{\mathcal I} \simeq t'_{\mathcal I'}
(et \alpha_{\mathcal I,\mathcal I'} est l'inverse !) d'où
\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} : \underset{\textstyle\widetilde A_{\mathcal I,t}}{\omega(t_{\mathcal I})} \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\textstyle\widetilde A_{\mathcal I',t'}}{\omega(t'_{\mathcal I'})}
sous chacun des deux membres, un signe d'égalité vertical renvoie à \widetilde A_{\mathcal I,t} et \widetilde A_{\mathcal I',t'} ; on attendrait \widetilde F, mais la lettre lue est \widetilde A
d'où \varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I}. Cette fois on aura
\begin{cases}
\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I}\circ\varepsilon^F_{\mathcal I,\mathcal I'} = \mathrm{id}_{F_{\mathcal I'}}\\
\varepsilon^F_{\mathcal I,\mathcal I'}\circ\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} = \mathrm{id}_{F_{\mathcal I}}
\end{cases}
\qquad\text{et de même.}
Soit enfin a une arête commune à \mathcal I, \mathcal I', i.e. a\in\mathfrak P_2(S). Alors S\smallsetminus\{a\} = \alpha_{\mathcal I}\sqcup\alpha_{\mathcal I'}, où \alpha_{\mathcal I} est formé des deux éléments
Donc choisir une bijection entre \widetilde A_{\mathcal I,a} et \widetilde A_{\mathcal I',a},
En résumé : Pour les dodécaèdres D, D' des duaux des icosaèdres (S,A,\mathcal I) = I et (S,A,\mathcal I') = I',
et est remplacé par son produit par l'antipodisme (ce dernier, on le voit, kif kif) si on remplace \mathcal I par \mathcal I'.
On appellera bi-icosaèdre orienté un système formé de deux objets \{I,I'\} de la de un polyèdre comb. orienté deux comp. connexes I, I', qui sont des icosaèdres, et la donnée d'une paire \{\Theta,\Theta'\} classe de deux bijections (= correspondances) entre S(I) et S(I') compatibles aux antipodismes, et transforme la bijection sur l'un comme une structure icosaédrale gauche complémentaire !
(et les bijections définies par \varepsilon^S_{\mathcal I,\mathcal I'} et \varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I})
Il revient au même de dire que l'on se donne une donnée d' une paire d'iso orientés
\begin{cases}
\vec I' \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{I'}\ } \mathrm{compl.}(\vec I)\\
\vec I \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_I\ } \mathrm{compl.}(\vec I')
\end{cases}
I' avec l'icos. complémentaire icos. « complémentaire » de \vec I, avec l'orient. et les orientations canoniques déduites
dont les composés soient les antipodismes
\mathrm{compl}(\alpha_{I'})\,\alpha_I : I \longrightarrow \underbrace{\mathrm{compl}\,\mathrm{compl}(I)}_{\textstyle -I}
(-I, i.e. I avec l'orientation opposée) soit l'antipodisme, qui est un iso de I avec -I.
Si on a deux bi-icosaèdres orientés \{I_1,I'_1\} et \{I_2,I'_2\}, le choix d'une icos. orient. composante connexe des premiers, et d'un iso de celle-ci avec une comp. conn. de l'autre, se prolonge de façon unique en un iso de bi-icosaèdres orientés.
La paire complémentaires, est un bi-icos. orienté, et son groupe des automorphismes est celui du groupe bi-icosaèdre gauche de départ.
Une autre façon de dire les choses bi-icosaèdre droit celle-ci. Considérons un icosaèdre orienté I. On lui associe l'icosaèdre complémentaire I^\circ, tel que pour s,s'\in S = S(I), \{s,s'\} soit arête de I^\circ ssi \{s,-s'\} est arête de I (où - est l'antipodisme). On a I = I^{\circ\circ}. On le groupe des Une structure de bi-icosaèdre sur S (ensemble de douze sommets) est une paire de structures icosaédrales \{I,I'\} sur S, mutuellement complémentaires. Le groupe des automorphismes s'envoie dans le groupe () le groupe des permutations de \{I,I'\}, d'où
1 \longrightarrow \underset{\substack{\simeq\,\mathrm{Aut}(I')\\ \simeq\,\mathrm{Aut}^+(I)\times\pm1\\ \simeq\,\mathrm{Aut}^+(I')\times\pm1}}{\mathrm{Aut}(I)} \longrightarrow \mathrm{Aut}(I,I') \longrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z \longrightarrow 1
Le groupe quotient
\mathrm{Aut}(I,I')\,/\,\underbrace{\mathrm{Aut}^{0+}(I,I')}_{\substack{\text{automorphismes qui respectent } I,\ I'\\ \text{et l'orientation de } I \text{, i.e. de } I'}}
est isomorphe à \underline{\mathbb Z/4\mathbb Z} sauf erreur. Mais si on veut se donner une bi-icosaèdre orienté orientation de I et chacun de I' (pour définir une notion de bi-icosaèdre orienté) définie une notion \vec I et \vec I',
Par contre, il y a un groupe \mathbb Z/4\mathbb Z qui opère sur la catégorie des icosaèdres orientés, dont le générateur est le passage le passage de \vec I à \vec I^\circ. (Le carré du générateur est le passage de I à -I — correspondant à l'ext. triviale de \mathbb Z/2\mathbb Z\subset\mathbb Z/4\mathbb Z par \mathrm{Aut}(\vec I)^+, savoir le groupe des automorphismes de \mathrm{Aut} I lui respectant l'orientation)
Ainsi, il y a deux extensions, à iso près indépendantes, comme du groupe de l'icosaèdre orienté
\begin{gathered}
0 \longrightarrow \mathrm{Aut}(\vec I) \longrightarrow \mathrm{Aut}(\underbrace{\{\vec I,\vec I^\circ\}}_{\text{bicos. or.}}) \longrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z \longrightarrow 0\\
0 \longrightarrow \mathrm{Aut}(\vec I) \longrightarrow \mathrm{Aut}(\{I,I^\circ\}) \longrightarrow \mathbb Z/4\mathbb Z \longrightarrow 0
\end{gathered}
Je n'y pige pas grand-chose, d'ailleurs dans un sens ou dans l'autre, i.e. lorsque l'identité de \mathrm{Aut}(\vec I). De haut en bas, le gén. de \mathbb Z/2\mathbb Z (qui définit la classe d'ext. triviale de \mathrm{Aut}(\vec I)) devrait aller sur l'un des deux gén. de \mathbb Z/4\mathbb Z, impossible ! Dans l'autre sens, un devrait dans \mathrm{Aut}(I,I') est un sous-groupe d'ordre 2 — l'antipodisme ! Et en fait, je vois maintenant que \mathrm{Aut}(\vec I,\vec I^\circ) \xrightarrow{\sim} le quotient au quotient de \mathrm{Aut}(I,I') par l'antipodisme. Mais cela semblerait indiquer qu'il y aurait un foncteur
\text{bi-icosaèdres (droits) non orienté} \longmapsto \text{bi-icosaèdre orienté}
et en effet, on passe par bi-icosaèdres gauches, et bi-icosaèdres orientés via rev. des orientations.
La théorie générale des cartes de congruence nous donne
1 \longrightarrow \underbrace{\mathrm{Sl}(2,\mathbb F_5)/\pm1}_{\mathrm{Aut}(\vec I)} \longrightarrow \mathrm{Gl}(2,\mathbb F_5)/\pm1 \longrightarrow \underset{\textstyle\mathbb Z/4\mathbb Z\ !!!}{\mathbb F_5^*} \longrightarrow 1
sous \mathbb F_5^*, un signe \simeq vertical
Le groupe \mathrm{Gl}(2,\mathbb F_5) permute entre elles l'une des 4 structures d'icos. orienté portées par l'ens. S à 12 éléments, et on voit le groupe cyclique \mathbb Z/4\mathbb Z.
On doit pouvoir plonger les deux extensions (de \mathbb Z/4\mathbb Z, et de \mathbb Z/2\mathbb Z) par \mathrm{Aut}^+(\vec I^\circ), dans le groupe produit polyèdre doubles bi-icosaèdre I\sqcup I', mais en respectant la structure supplémentaire donnée par un iso I/\text{antip.}\simeq I'/\text{antip.} (\simeq J i.c.g.) ! Choisissons une orientation sur I, une autre sur I' (ce qui fournit d'ailleurs \vec I, \vec I' relevant deux au rev. universel orienté de J) on trouve le sous-groupe respectant ces orientations : \mathrm{Aut}^+(I) = \mathrm{Aut}^+(\vec I). Le quotient (d'ordre 8) opère sur l'ens. des quatre orientations de (I,I'), et les
N.B. ce nouveau groupe groupe droits orientations
c'est le groupe des automorphismes du carré combin. orienté permute entre elles (\mathfrak S_5), . L'ext. de \mathbb Z/2\mathbb Z par \mathrm{Aut}^+(\vec I) est l'image inverse du des \{\pm1\} de \mathbb F_5^* ( de l'antipodisme des côtés) correspondant au choix des deux orientations (mais qui permute les des systèmes, respectant la paire d'orientations ( ) permute ses deux extrémités). L'ext. de \mathbb Z/4\mathbb Z par \mathrm{Aut}^+(\vec I) s'obtient en prenant l'image inverse du groupe des rotations du carré. L'intersection de ces deux sous-groupes de G est \mathrm{Aut}^+(\vec I) ( le groupe des automorphismes du carré). Le groupe engendré est formé des produits, et c'est G tout entier…
Généralisation aux cartes de congruence
La cat. \mathrm{Congr} est réalisée avec l'ens. des sommets primitifs sommets qui sont des paires \{a,-a\} d'éléments d'un \mathbb Z/n\mathbb Z-module symplectique E libre de rang 2, formant base, on prend
a\otimes a \in \mathrm{End}(E) = M_2(\mathbb Z/n\mathbb Z)
qui sont des éléments du cône isotrope C de M^0 (éléments de trace nulle) i.e. formé des nilpotents. On trouve ainsi une réalisation
si \mathbb Z/n\mathbb Z corps, ?
(compatible avec les op. du groupe G_n = \mathrm{Sl}(2,\mathbb Z) \mathrm{Sl}(E)/\pm1, mais pas du groupe \mathrm{Gl}(E) tout entier) de S dans ledit cône. On ne trouve pas tous les éléments non dégénérés dudit cône, mais seulement ceux dans une orbite \mathcal I_\lambda (\lambda\in\mathbb F_p^*) classe mod \mathbb F_p^*/\mathbb F_p^{*2}. Les opérations de \mathbb F_p^* = \mathbb Z/n\mathbb Z^* sur S, se transforment en les opérations d'homothétie par les \lambda^2. Mais les homothéties par les \lambda\in\mathbb F_p^*\smallsetminus\mathbb F_p^{*2} échangent entre elles les deux composantes connexes de l'un des pts nuls indexées par liée à k, l'une des classes formant un torseur sous k^*/k^{*2}, a un sens pour tt alg. d'Azumaya de rang 4 sur un corps quelconque k — si k est fini
TSVP
l'argument continue au-delà de ce lot