Cote n° 83, pages 41–60

Cote n° 83 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

41p. 4 de l'auteur. L'argument vient du lot précédent (pp. 1–3 de l'auteur) : il y est question d'objets $V_i$ indexés par un ensemble $I$ à quatre éléments, d'isomorphismes $u$ entre eux et d'un sous-objet $V$ de $\prod V_i$ ; les relations (1) et la définition des $u$ ne sont pas sur ces pages.

\[ \text{(2)}\qquad u_{(i_2,i_1)(i_3,i_4)} = u_{(i_1,i_2)(i_3,i_4)}^{-1} \] 12 relations, reste à fixer 12 quantités

$u_{(i_2,i_1)(i_3,\ldots)}$une première écriture de (3), biffée et en partie illisible

(3) $u_{i_2 i_1}$ ⌜$u_{(i_1,i_3)(i_2,i_4)}$⌝ \[ \text{(3)}\qquad u_{(i_3,i_2)(i_1,i_4)}\,u_{(i_2,i_1)(i_3,i_4)} = \mathrm{id} \] le premier facteur de (3) est biffé ; le facteur $u_{(i_1,i_3)(i_2,i_4)}$ écrit au-dessus semble pris dans le même trait, et la lecture des indices des deux derniers facteurs est douteuse

$V$ est connu en tant que sous-objet de $\prod V_i$, quand on connaît le système des $u$, comme étant formé des $(x_i)_{i\in I}$ tels que pour tout $i\in I$ donné les $x_j$ ($j\in I\smallsetminus\{i\}$) soient « de somme nulle » pour la structure tautologique d'iso entre les $V_j$ ($j\in J$) définie par l'une ou l'autre (c'est la même $=$) des deux permutations circulaires etc. Mais il faut des conditions pour que le $W$ ainsi défini (qui a priori serait tel que $W\to V_i\times V_j = V_J$ soit soit injectif) soit « assez gros » pour que ce soit bijectif. On va écrire des conditions pour ceci.

42p. 5 de l'auteur On va définir, pour un système d'iso $u_{ijkl}$, un système de « rapports anharmoniques » \[ \text{(4)}\qquad \rho_{ijkl} \in \mathrm{Aut}\,V_i \qquad (\{i,j,k,l\} = I). \] On a \[ u_{ijkl} : V_i \xrightarrow{\ \sim\ } V_j, \qquad u_{ijlk} : V_i \xrightarrow{\ \sim\ } V_j, \] d'où \[ \text{(4)}\qquad \rho_{ijkl} = u_{ijlk}^{-1}\,u_{ijkl} \] le numéro (4) est répété, écrit sur un autre chiffre 24 quantités

Donc on aura \[ \text{(5)}\qquad \rho_{ijlk} = (\rho_{ijkl})^{-1} \] 12 relations, restent 12 quantités, correspondant aux arêtes orientées de $I$

On aura d'ailleurs \[ \text{(6)}\qquad \rho_{jikl} = \text{\struck{$\ldots$}} \begin{cases} u_{ijkl}(\rho_{ijkl}^{-1})\ \text{\struck{$\ldots$}}\\ u_{ijlk}(\rho_{ijkl}^{-1}) \end{cases} \qquad \rho_{jikl} = u_{jilk}^{-1}\,u_{jikl} \] la seconde égalité, $\rho_{jikl}=u_{jilk}^{-1}u_{jikl}$, est écrite verticalement sous le membre de gauche

N.B. On pose $\beta(\alpha) = \beta\alpha\beta^{-1}$.

[Ce qui donne \[ \rho_{ji,lk} = u_{ijkl}(\rho_{ijkl}) = u_{ijlk}(\rho_{ijkl}) \] Invariance par double permutation

43p. 6 de l'auteur Donc il reste à contrôler […] 6 quantités, i.e. pour il suffit, pour toute partition ([…]) […] de $I$ ; des $I'\sqcup I''$ partie à deux éléments $I'\subset I$, $I'=\{i'_1,i'_2\}$, $I''=\{i''_1,i''_2\}$, de déterminer l'une des quatre quantités \[ \rho_{i'_1 i'_2\, i''_1 i''_2} \] sous chacune des deux paires d'indices, une flèche double indique l'échange des deux éléments Nous allons […] donner une formule pour relier \[ \rho_{ijkl} \quad\text{et}\quad \rho_{ikjl} \] (ce qui permettra de se passer d'un repère : un repère quelconque) \[ \rho_{ijkl} + \rho_{ikjl} = 1 \] i.e. \[ \text{(7)}\qquad \boxed{\rho_{ikjl} = 1 - \rho_{ijkl}} \] [Faire vérification

Prop. Soit un système de $u_{ijkl} : V_i \to V_j$, satisfaisant les relations (2) (3) ; d'où (4) des $\rho_{ijkl}\in\mathrm{Aut}(V_i)$, satisfaisant (5)(6). Pour que ce corresponde à une quadralité […] $(V,(V_i),(\varphi_i))$, […] $V\subset\prod V_i$, il

44p. 7 de l'auteur faut et il suffit qu'on ait aussi les 24 relations (7). Quand ⌜les⌝ $\mathrm{End}(V_i)$ sont commutatifs (rappelons qu'ils sont iso entre eux) donc les […] ⌜les seules⌝ $\mathrm{Aut}\,V_i$ relations (2), (3) impliquent que les ⌜syst. transitifs⌝ d'iso entre les $\mathrm{End}(V_i)$, sont […] canoniques. Alors les relations 5, 6, 7 s'interprètent comme des relations dans […] $k$ \[ \text{(8)}\qquad \begin{cases} \rho_{jikl} = \rho_{ijlk} = \rho_{ijkl}^{-1}\\ \rho_{ikjl} = 1 - \rho_{ijkl} \end{cases} \qquad (\Rightarrow\ \rho_{jilk} = \rho_{ijkl}) \] le premier symbole de (8) est surchargé ; la lecture $\rho_{jikl}$ est douteuse

En d'autres termes, faisons opérer $\mathfrak S_3$ sur l'ens. ⌜$U(k)$⌝ des des $\lambda\in k$ tels que $\lambda$ et $1-\lambda$ soient inversibles, par \[ \sigma_{12}(\lambda) = \sigma_{34}(\lambda) = \lambda^{-1}, \qquad \sigma_{23}(\lambda) = 1-\lambda \] donc $\mathfrak S_4$ opère par l'intermédiaire du quotient $\mathfrak S_3$ de $\mathfrak S_4$ l'application […] $\rho_{ijkl}$ $(i,j,k,l)\mapsto\rho_{ijkl}$, \[ \underbrace{\mathrm{Rep}(I)}_{\text{torseur sous }\mathfrak S_4} \longrightarrow U(k) \] est compatible avec $\mathfrak S_4$. le nom de l'ensemble cible, ici et p. 45 (feuillet 45), est lu $U(k)$ sans certitude

45p. 8 de l'auteur Autre façon de le dire : $\rho_{ijkl}$ ne dépend que du « coin » $(i,j)(k,l)$ muni d'un élément du produit contracté des […] codiagonales, i.e. d'une codiagonale, car \[ \text{(9)}\qquad \rho_{(i,j)(k,l)} = \rho_{(k,l)(i,j)} \] un carré dont les sommets sont joints par les deux diagonales en pointillé, marqué $Q_1$ et $Q_2$, avec une flèche vers $Q_1$ ; à côté : « On a le troisième coin » (N.B. Cette relation n'a de sens que parce que $\mathrm{End}(W)$ est supposé commutatif)

Si on se donne une coin str. coin sur une codiag. de $I$, on se donne […] repère de l'ens. $\mathrm{Cor}(I)$ des structures coin, et la donnée de $\rho$ équivaut à une application de \[ \underbrace{\mathrm{Rep}\,\mathrm{Cor}(I)}_{\text{torseur sous }\mathfrak S_3} \longrightarrow U(k) \] vérifier […] la compatibilité ! il faut […] […] […] $\mathfrak S_3$ …

Il reste à décrire la catégorie des quadralités dans $C$, […] de façon plus simple que par un système de 24 flèches $(u_{ijkl})$ données à deux isomorphismes près.

47Avril 86 Trialités. Soit $C$ catégorie, $n$ entier naturel $\geq$ $2$. On appelle $n$-alité (trialité, quadralité, pentalité si $n=3,4,5$) un système (le cas $n=2$ trivial) \[ \{I, E, \{E_i\}_{i\in I}, (\varphi_i)_{i\in I}\} \] où $I$ ens. de cardinal $n$, \[ \varphi_i : E \to E_i \qquad i\in I \] flèches de $C$, satisfaisant :

$\forall J\subset I$ avec $\mathrm{card}\,J = 2$, l'application \[ \text{(1)}\qquad E \xrightarrow{\ \varphi_J\ } E_J = \prod_{i\in J} E_i \] on suppose que ce produit existebiffé, sous le produit, qu'une accolade désigne est un iso (dans $\widehat C$) $\forall J\in\mathfrak P_2(I)$, i.e. $E$ muni des $\varphi_i$ ($i\in J$) est un produit des $E_i$ dans $C$.

[Les $n$-alités forment une catégorie $n\text{-al}(C)$, fibrée ⌜sur⌝ […] le groupoïde $\mathrm{Ens}_n$.

Je m'intéresse surtout aux deux cas

1°) $C$ catégorie additive

2°) $C = \mathrm{Ens}$

Dans le cas 2 Je vais ici regarder le cas 2°). Si un des $E_i$ est vide, donc ⌜$E$ l'est⌝ (tous sauf au plus un le sont). On va exclure ce cas, ⌜dit⌝ « […] impropre ». Dans tous les autres cas les $E_i$ peuvent être considérés comme des quotients de $E$. Ainsi, la structure peut être considérée comme une partie par $E$, ⌜$I$⌝ munie d'une, i.e. une application $I\to\mathrm{Quot}(E)$. Cette application est d'ailleurs injective, sauf quand ⌜dans⌝

48le cas où tous les $E_i$ sont réduits à un élément […] ([…] un des $E_i$ l'est $\Leftrightarrow$ $E$ l'est), qu'on dit « trivial ». Donc une $n$-alité non triviale peut être considérée comme un ens. $E$ muni d'une partie $I\subset\mathrm{Quot}(E)$, avec $\mathrm{card}\,I = n$, et satisfaisant l'axiome évident traduisant (1).

Autre version : Soit […] \[ \text{(2)}\qquad S = \coprod_{i\in I} E_i \] (« sommets ») et […] soit \[ \text{(3)}\qquad R\subset S\times E \] défini par \[ (s, x)\in R \iff s = \varphi_i(x) \qquad (s = (i\in I,\ s\in E_i),\ x\in E). \] Alors on a ceci

Considérons \[ E \longrightarrow \mathfrak P(S), \qquad x \longmapsto R(x)\subset S ; \] les parties de $R(x)$ la forme $R(x)$ sont appelés $n$-uples de $S$. On dit que $E\to\mathfrak P(S)$ est […] $a\in\mathfrak P_2(S)$ est une arête si elle est contenue dans un $n$-uple, i.e. $\{s,t\}$ est une arête ssi $s\neq t$ et $\exists x\in E$ tel que $\{s,t\}\subset R(x)$ i.e.

49$(s,x), (t,x)\in R$. On a

(i) $\forall s,t\in S$, $s\neq t$, existe au plus un $x\in E$ tel que $(s,x),(t,x)\in R$ i.e. $s,t\in R(x)$ i.e. $\{s,t\}\subset R(x)$.

[N.B. cette condition est symétrique […] $S$, $R$ […] signifie […] : si $s\neq t$, $x\neq y$ ($s,t\in S$, $x,y\in R$) alors il existe au plus un […] $\{s,t\}$ […]]

(ii) La relation dans

N.B. Cette relation ⌜condition⌝ est symétrique en $S$, $R$. Elle signifie que si $a\in\mathfrak P_2(S)$, $u\in\mathfrak P_2(R)$, alors $\exists s\in a$, $x\in u$ tels que $(s,x)\notin R$. toute arête est contenue dans un seul $n$-uple

Si on suppose que les $R(x)$ $\mathrm{card}\,R(x)\geq 2$ […] (ce qui est le cas ⌜auquel cas $\mathrm{card}\,R(x) = n$⌝ pourvu qu'on ait une […] $n$-alité, non impropre), alors $R\to\mathfrak P(S)$ est injectif. De même, si on suppose que pour tt $s\in S$, $R(s)\subset R$ est de cardinal $\geq 2$ (ce qui est le cas si on part d'une $n$-alité propre non triviale) alors $S\to\mathfrak P(R)$ injectif)

(ii) La relation dans $S$ : « $\{s,t\}$ n'est pas une arête » (i.e. $s=t$ ou $\nexists\, x\in E$ tel que $\{s,t\}\subset R(x)$) est une relation d'équivalence dans $S$, i.e. pour une […] arête $\{s,t\}$, tout sommet de $S$ est lié soit à $s$, soit à $t$.

Cette La condition (ii) implique que $S = \coprod E_i$ de telle façon que […] $a\in\mathfrak P_2(S)$, la est une

50arête ssi $a$ n'est contenue dans aucun des $S_i$. D'autre part, si $u$ est un $n$-uple, alors \[ u \longrightarrow I \qquad (\text{i.e. } u\cap E_i \text{ de card} \leq 1 \text{ pour tt } i) \] est injectif ([…] qu'il est aussi surjectif ce qui est vérifié dans le cas d'une $n$-alité) signifie ceci

(iii) $\forall s\in S$, $x\in R$, existe $s'\in S$ tel que $\{s,s'\}$ ne soit pas une arête (p.ex. $s'=s$) et $(s',x)\in R$ (N.B. en vertu de (ii) cet $s'$ est unique). implique que tous les $R(x)$ ont même cardinal $n = \mathrm{card}\,I$

Alors on a \[ \varphi_i : E \longrightarrow E_i \] en associant : tout $x\in E$ l'unique à $\varphi_i(x)\in E_i$ tel que $\{\varphi_i(x)\} = S(x)\cap E_i$.

(iv) […] $\exists x\in E$ tel que $R(x)$ de card $\geq 2$. ($\Longleftrightarrow \mathrm{card}\,I\geq 2$)

N.B. Dans le cas contraire, tous les $R(x)$ sont de cardinal 1 (on suppose $S\neq\emptyset$) et $R$ est le graphe d'une application $E\to S$.

Bi-icosaèdres et cartes de congruences

titre pris sur la feuille de garde (page 51 du fonds), de sa main : « Bi-icosaèdres et cartes de congruences, avril 1986 »

Bi-icosaèdres ⌜gauches et⌝ orientations

Avril 86

Soit $(S,\{\mathcal I,\mathcal I'\})$ un bi-icosaèdre ⌜gauche⌝ orienté, et soit $\widetilde S_{\mathcal I}, \widetilde A_{\mathcal I}, \widetilde F_{\mathcal I}$ le revêtement des orienté de $(S,\mathcal I)$ ⌜(i.e. ens. des icos. « droits » orientés)⌝, $\widetilde S_{\mathcal I'}, \widetilde A_{\mathcal I'}, \widetilde F_{\mathcal I'}$ celui de $(S,\mathcal I')$. (On va définir des bijections \[ \begin{aligned} \varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde S_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde S_{\mathcal I'}\\ \varepsilon^A_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde A_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde A_{\mathcal I'}\\ \varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} &: \widetilde F_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde F_{\mathcal I'} \end{aligned} \] (pour vérification, il faut […] remplacer $\widetilde A_{\mathcal I}, \widetilde A_{\mathcal I'}$ par $\overline A_{\mathcal I}$ et $\overline A_{\mathcal I'}$, ens. des arêtes orientées) comme suit.

[…] La fibre de $\widetilde S_{\mathcal I}$ et $\widetilde S_{\mathcal I'}$ en un point $s\in S$ sont les ⌜deux orientations des⌝ deux structures pentagonales sur $S(s)$ associées l'une à $\mathcal I$, l'autre à $\mathcal I'$, et qui se correspondent. […] Associé au groupe des rotations $U_s$, isomorphe qui est un espace aff. $\mathbb F_5$-module libre de rang 1, et $U_s^*$ (ens. des générateurs) est un torseur sous […] le groupe cyclique $\mathbb F_5^*$ isomorphe à $\mathbb Z/4\mathbb Z$, […] ; $\widetilde S_{\mathcal I,s}$ est l'une des classes modulo le sous-groupe $\pm1$, soit $\{u,-u\}$, et $\widetilde S_{\mathcal I',s}$ est l'autre classe, donc $\{2u,-2u\}$. un pentagone avec son étoile de diagonales intérieures, en marge On verrait […] […] […]

L'application ⌜i.e. dérivée⌝ \[ \varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I}(s) : \widetilde S_{\mathcal I}(s) \longrightarrow \widetilde S_{\mathcal I'}(s) \] est donnée par \[ u \longmapsto 2u . \] On aura \[ \varepsilon^S_{\mathcal I,\mathcal I'}(s)\,\varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I}(s) = u\longmapsto 4u = -u = a_{\mathcal I'}u \] ($a_{\mathcal I'}$ l'antipodisme de $\mathcal I'$), et de même en sens inverse. (Si on avait choisi $u\mapsto 3u$ ($=-2u$), ça aurait été pareil, car $3^2 = (-2)^2 \equiv -1\ (5)$) $4\equiv -1\ (5)$. Donc \[ \text{(1)}\qquad \begin{cases} \varepsilon_{\mathcal I',\mathcal I}\,\varepsilon_{\mathcal I,\mathcal I'} = a_{\mathcal I'}\\ \varepsilon_{\mathcal I,\mathcal I'}\,\varepsilon_{\mathcal I',\mathcal I} = a_{\mathcal I} \end{cases} \qquad\text{et de même.} \] donc l'identification entre $\widetilde S_{\mathcal I}$ et $\widetilde S_{\mathcal I'}$ dépend du choix de $\mathcal I$ ou de $\mathcal I'$ dans $\{\mathcal I,\mathcal I'\}$ On a […] choisi $\mathcal I$ dans $\{\mathcal I,\mathcal I'\}$ […] […] $a_{\mathcal I}$ (ou $a_{\mathcal I'}$) […]

Soit une face $t$ de $\mathcal I$, $t'$ sa complémentaire, face de $\mathcal I'$. On a une bijection canonique \[ \alpha_{\mathcal I',\mathcal I} : t_{\mathcal I} \simeq t'_{\mathcal I'} \] (et $\alpha_{\mathcal I,\mathcal I'}$ est l'inverse !) d'où \[ \varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} : \underset{\textstyle\widetilde A_{\mathcal I,t}}{\omega(t_{\mathcal I})} \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\textstyle\widetilde A_{\mathcal I',t'}}{\omega(t'_{\mathcal I'})} \] sous chacun des deux membres, un signe d'égalité vertical renvoie à $\widetilde A_{\mathcal I,t}$ et $\widetilde A_{\mathcal I',t'}$ ; on attendrait $\widetilde F$, mais la lettre lue est $\widetilde A$

53d'où $\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I}$. Cette fois on aura \[ \begin{cases} \varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I}\circ\varepsilon^F_{\mathcal I,\mathcal I'} = \mathrm{id}_{F_{\mathcal I'}}\\ \varepsilon^F_{\mathcal I,\mathcal I'}\circ\varepsilon^F_{\mathcal I',\mathcal I} = \mathrm{id}_{F_{\mathcal I}} \end{cases} \qquad\text{et de même.} \]

Soit enfin $a$ une arête commune à $\mathcal I$, $\mathcal I'$, i.e. $a\in\mathfrak P_2(S)$. Alors $S\smallsetminus\{a\} = \alpha_{\mathcal I}\sqcup\alpha_{\mathcal I'}$, où $\alpha_{\mathcal I}$ est formé des deux éléments […] $u$ de $S\smallsetminus\{a\}$ tels que $(S\smallsetminus\{a\})\cup\{u\}\in\mathcal I$, et itou pour $\alpha_{\mathcal I'}$. On a bij. can. la lecture « $S\smallsetminus\{a\}$ » est celle de la page ; on attendrait, pour la seconde occurrence, la face $a\cup\{u\}$ un losange formé de deux triangles ayant l'arête $a$ en commun, avec une flèche courbe au-dessus : « carré $Q_{\mathcal I}$ » \[ \begin{aligned} \widetilde A_{\mathcal I,a} &\simeq a\wedge\alpha_{\mathcal I} \quad (\simeq\omega(Q_{\mathcal I})) \quad\text{et de même}\\ \widetilde A_{\mathcal I',a} &\simeq a\wedge\alpha_{\mathcal I'} \end{aligned} \] donc \[ \widetilde A_{\mathcal I,a}\wedge\widetilde A_{\mathcal I',a} \simeq \alpha_{\mathcal I}\wedge\alpha_{\mathcal I'} \simeq a \] (N.B. on a $a\wedge\alpha_{\mathcal I}\wedge\alpha_{\mathcal I'} \overset{\text{can}}{=} 1$ à cause de l'orientation canonique des […] d'un $S$ contenu dans $\{\mathcal I,\mathcal I'\}$)

Donc choisir une bijection entre $\widetilde A_{\mathcal I,a}$ et $\widetilde A_{\mathcal I',a}$, […] i.e. choisir un élément de $a$ ⌜i.e. une orientation de l'arête $a$⌝. Donc on […] […] pas naturellement ici de bijection canonique au niveau de $\widetilde A_{\mathcal I}$ et $\widetilde A_{\mathcal I'}$ comme ci-dessus. Ainsi, on a une bijection \[ \varepsilon^{\vec A}_{\mathcal I',\mathcal I} : \vec{\widetilde A}_{\mathcal I} \xrightarrow{\ \sim\ } \vec{\widetilde A}_{\mathcal I'} \] et de même en sens inverse, satisfaisant cette fois \[ \begin{cases} \varepsilon^{\vec A}_{\mathcal I',\mathcal I}\,\varepsilon^{\vec A}_{\mathcal I,\mathcal I'} = \mathrm{id}_{\vec{\widetilde A}_{\mathcal I'}}\\ \varepsilon^{\vec A}_{\mathcal I,\mathcal I'}\,\varepsilon^{\vec A}_{\mathcal I',\mathcal I} = \mathrm{id}_{\vec{\widetilde A}_{\mathcal I}} \end{cases} \qquad\text{et de même.} \] N.B. $\vec{\widetilde A}_{\mathcal I}\simeq\mathrm{Rep}^+(S,A,\mathcal I)$, $\vec{\widetilde A}_{\mathcal I'}\simeq\mathrm{Rep}^+(S,A,\mathcal I')$

En résumé : Pour les dodécaèdres ⌜$D$, $D'$⌝ des duaux des icosaèdres $(S,A,\mathcal I) = I$ et $(S,A,\mathcal I') = I'$, […] on peut considérer $D$, $D'$ précisés par la […] […] des sommets (le choix de l'identification ne dépendant pas d'un choix d'un $\mathcal I\in\{\mathcal I,\mathcal I'\}$), mais l'analogue pour les icosaèdres $I$, $I'$ n'est pas vrai : le choix d'une identification des sommets $S(I)\simeq S(I')$ dépend du choix de $I$ ou $I'$

54et est remplacé par son produit par l'antipodisme (ce dernier, on le voit, kif kif) si on remplace $\mathcal I$ par $\mathcal I'$.

On appellera bi-icosaèdre orienté un système formé de deux objets $\{I,I'\}$ de la […] de un polyèdre comb. orienté […] deux comp. connexes $I$, $I'$, qui sont des icosaèdres, et la donnée d'une ⌜paire $\{\Theta,\Theta'\}$⌝ classe de deux bijections ⌜($=$ correspondances)⌝ entre $S(I)$ et $S(I')$ compatibles aux antipodismes, et […] ⌜tel que⌝ $\Theta'$ et $\Theta$ se déduisent l'un de l'autre par comp. avec l'antipodisme, et tel que, en prenant en quotient ⌜de⌝ $\Theta$ et $\Theta'$ modulo antipodismes, la bijection qu'on obtient entre $S(I)/\pm$ et $S(I')/\pm$ transforme la bijection […] […] sur l'un comme une structure icosaédrale gauche […] complémentaire ! (et les bijections […] définies […] par $\varepsilon^S_{\mathcal I,\mathcal I'}$ et $\varepsilon^S_{\mathcal I',\mathcal I}$)

Il revient au même de dire que l'on se donne une donnée d'[…] ⌜une paire d'iso orientés⌝ \[ \begin{cases} \vec I' \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{I'}\ } \mathrm{compl.}(\vec I)\\ \vec I \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_I\ } \mathrm{compl.}(\vec I') \end{cases} \] $I'$ avec l'icos. complémentaire icos. « complémentaire » de $\vec I$, avec l'orient. et les orientations canoniques déduites dont les composés soient les antipodismes \[ \mathrm{compl}(\alpha_{I'})\,\alpha_I : I \longrightarrow \underbrace{\mathrm{compl}\,\mathrm{compl}(I)}_{\textstyle -I} \] ($-I$, i.e. $I$ avec l'orientation opposée) soit l'antipodisme, qui est un iso de $I$ avec $-I$.

55Si on a deux bi-icosaèdres orientés $\{I_1,I'_1\}$ et $\{I_2,I'_2\}$, le choix d'une icos. orient. composante connexe des premiers, et d'un iso de celle-ci avec une comp. conn. de l'autre, se prolonge de façon unique en un iso de bi-icosaèdres orientés.

La paire […] $(\widetilde I_{\mathcal I}, \widetilde I_{\mathcal I'})$ des rev. orientés des deux structures icosaédrales ⌜gauches⌝ complémentaires, est un bi-icos. orienté, et son groupe des automorphismes est celui du groupe bi-icosaèdre gauche de départ.

Une autre façon de dire les choses […] bi-icosaèdre droit […] celle-ci. Considérons un icosaèdre orienté $I$. On lui associe l'icosaèdre complémentaire $I^\circ$, tel que pour $s,s'\in S = S(I)$, $\{s,s'\}$ soit arête de $I^\circ$ ssi $\{s,-s'\}$ est arête de $I$ (où $-$ est l'antipodisme). On a $I = I^{\circ\circ}$. On […] le groupe des Une structure de bi-icosaèdre sur $S$ (ensemble de douze sommets) est une paire de structures icosaédrales $\{I,I'\}$ sur $S$, mutuellement complémentaires. Le groupe des automorphismes s'envoie dans le groupe ⌜([…]) le groupe des⌝ permutations de $\{I,I'\}$, d'où \[ 1 \longrightarrow \underset{\substack{\simeq\,\mathrm{Aut}(I')\\ \simeq\,\mathrm{Aut}^+(I)\times\pm1\\ \simeq\,\mathrm{Aut}^+(I')\times\pm1}}{\mathrm{Aut}(I)} \longrightarrow \mathrm{Aut}(I,I') \longrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z \longrightarrow 1 \]

56Le groupe quotient \[ \mathrm{Aut}(I,I')\,/\,\underbrace{\mathrm{Aut}^{0+}(I,I')}_{\substack{\text{automorphismes qui respectent } I,\ I'\\ \text{et l'orientation de } I \text{, i.e. de } I'}} \] est isomorphe à $\underline{\mathbb Z/4\mathbb Z}$ sauf erreur. Mais si on veut se donner une […] bi-icosaèdre orienté orientation de $I$ et chacun de $I'$ (pour définir une notion de bi-icosaèdre orienté) définie une notion […] $\vec I$ et $\vec I'$, […] on ne peut pas […] ⌜d'[…]⌝ de choisir […] une des icos. de la structure bi-icosaédrale de façon canonique — comme celui pour laquelle l'orientation de l'autre soit « induite ». Donc on ne trouve pas la bonne notion !

Par contre, il y a un groupe $\mathbb Z/4\mathbb Z$ qui opère sur la catégorie des icosaèdres orientés, dont le générateur est le passage […] le passage de $\vec I$ à $\vec I^\circ$. (Le carré du générateur est le passage de $I$ à $-I$ — correspondant à l'ext. triviale de $\mathbb Z/2\mathbb Z\subset\mathbb Z/4\mathbb Z$ par $\mathrm{Aut}(\vec I)^+$, savoir le groupe des automorphismes de $\mathrm{Aut}$ $I$ lui respectant l'orientation)

57Ainsi, il y a deux extensions, à iso près indépendantes, […] comme […] du groupe de l'icosaèdre orienté \[ \begin{gathered} 0 \longrightarrow \mathrm{Aut}(\vec I) \longrightarrow \mathrm{Aut}(\underbrace{\{\vec I,\vec I^\circ\}}_{\text{bicos. or.}}) \longrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z \longrightarrow 0\\ 0 \longrightarrow \mathrm{Aut}(\vec I) \longrightarrow \mathrm{Aut}(\{I,I^\circ\}) \longrightarrow \mathbb Z/4\mathbb Z \longrightarrow 0 \end{gathered} \]

Je n'y pige pas grand-chose, d'ailleurs dans un sens ou dans l'autre, i.e. lorsque l'identité de $\mathrm{Aut}(\vec I)$. De haut en bas, le gén. de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ (qui définit la classe d'ext. triviale de $\mathrm{Aut}(\vec I)$) devrait aller sur l'un des deux gén. de $\mathbb Z/4\mathbb Z$, impossible ! Dans l'autre sens, un […] $\mathbb Z/4\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ devrait être surjectif (ça va) et le noyau devrait dans $\mathrm{Aut}(I,I')$ est un sous-groupe d'ordre 2 — l'antipodisme ! Et en fait, je vois maintenant que $\mathrm{Aut}(\vec I,\vec I^\circ) \xrightarrow{\sim}$ le quotient au quotient de $\mathrm{Aut}(I,I')$ par l'antipodisme. Mais cela semblerait indiquer qu'il y aurait un foncteur \[ \text{bi-icosaèdres (droits) non orienté} \longmapsto \text{bi-icosaèdre orienté} \] et en effet, on passe par bi-icosaèdres gauches, et bi-icosaèdres orientés via rev. des orientations.

58La théorie générale des cartes de congruence nous donne \[ 1 \longrightarrow \underbrace{\mathrm{Sl}(2,\mathbb F_5)/\pm1}_{\mathrm{Aut}(\vec I)} \longrightarrow \mathrm{Gl}(2,\mathbb F_5)/\pm1 \longrightarrow \underset{\textstyle\mathbb Z/4\mathbb Z\ !!!}{\mathbb F_5^*} \longrightarrow 1 \] sous $\mathbb F_5^*$, un signe $\simeq$ vertical Le groupe $\mathrm{Gl}(2,\mathbb F_5)$ permute entre elles l'une des 4 structures d'icos. orienté portées par l'ens. $S$ à 12 éléments, et on voit le groupe cyclique $\mathbb Z/4\mathbb Z$.

On doit pouvoir plonger les deux extensions (de $\mathbb Z/4\mathbb Z$, et de $\mathbb Z/2\mathbb Z$) par $\mathrm{Aut}^+(\vec I^\circ)$, dans le groupe produit […] $\mathrm{PGl}(2,\mathbb F_5)$ $\times\,\mathbb F_5^*$ ($\simeq\mathfrak S_5$, ordre 120), biunivoquement (et canoniquement) dans \[ G = \mathrm{Aut}(I)\times\underset{\textstyle\simeq\mathbb Z/4\mathbb Z}{\mathbb F_5^*} . \] Ce groupe est réalisé comme un groupe d'automorphismes des polyèdre ⌜doubles⌝ […] bi-icosaèdre $I\sqcup I'$, mais en respectant la structure supplémentaire donnée par un iso $I/\text{antip.}\simeq I'/\text{antip.}$ ($\simeq J$ i.c.g.) ! Choisissons une orientation sur $I$, une autre sur $I'$ (ce ⌜qui⌝ fournit d'ailleurs $\vec I$, $\vec I'$ relevant ⌜deux […]⌝ au rev. universel ⌜orienté⌝ de $J$) on trouve le sous-groupe respectant ces orientations : $\mathrm{Aut}^+(I) = \mathrm{Aut}^+(\vec I)$. Le quotient ⌜(d'ordre 8)⌝ opère sur l'ens. des quatre orientations de $(I,I')$, et les N.B. ce nouveau groupe […] […] […] groupe […] droits […] orientations

59c'est le groupe des automorphismes du carré combin. orienté permute entre elles […] ($\mathfrak S_5$), […] […] […] […]. L'ext. de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ par $\mathrm{Aut}^+(\vec I)$ est l'image inverse du […] sous-groupe d'ordre 2 des $\{\pm1\}$ de $\mathbb F_5^*$ ([…] de l'antipodisme des côtés) correspondant au choix des deux orientations (mais qui permute les […] des systèmes, respectant la paire d'orientations ([…] […]) ⌜permute⌝ ses deux extrémités). L'ext. de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ par $\mathrm{Aut}^+(\vec I)$ s'obtient en prenant l'image inverse du groupe des rotations du carré. L'intersection de ces deux sous-groupes de $G$ est $\mathrm{Aut}^+(\vec I)$ ([…] le groupe des automorphismes du carré). Le groupe engendré est formé des produits, et c'est $G$ tout entier…

Généralisation aux cartes de congruence

La cat. $\mathrm{Congr}$ est réalisée avec ⌜l'ens. des sommets⌝ ⌜primitifs⌝ sommets qui sont des paires $\{a,-a\}$ d'éléments d'un $\mathbb Z/n\mathbb Z$-module ⌜symplectique $E$⌝ libre de rang 2, formant base, on prend \[ a\otimes a \in \mathrm{End}(E) = M_2(\mathbb Z/n\mathbb Z) \] qui sont des éléments du cône isotrope $C$ de $M^0$ (éléments de trace nulle) i.e. formé des nilpotents. On trouve ainsi une réalisation […] […] si $\mathbb Z/n\mathbb Z$ […] corps, […] ?

60(compatible avec les op. du groupe $G_n = $ $\mathrm{Sl}(2,\mathbb Z)$ $\mathrm{Sl}(E)/\pm1$, mais pas du groupe $\mathrm{Gl}(E)$ tout entier) de $S$ dans ledit cône. On ne trouve pas tous les éléments non dégénérés dudit cône, mais seulement […] ⌜ceux dans une orbite⌝ ⌜$\mathcal I_\lambda$ ($\lambda\in\mathbb F_p^*$)⌝ classe mod $\mathbb F_p^*/\mathbb F_p^{*2}$. Les opérations de $\mathbb F_p^* = \mathbb Z/n\mathbb Z^*$ sur $S$, se transforment en les opérations d'homothétie par les $\lambda^2$. Mais les homothéties par les $\lambda\in\mathbb F_p^*\smallsetminus\mathbb F_p^{*2}$ échangent entre elles les deux composantes connexes de l'un des pts ⌜nuls⌝ […] des cônes (cette division en classes, indexées par ⌜liée⌝ à $k$, l'une des classes formant un torseur sous $k^*/k^{*2}$, a un sens pour tt alg. d'Azumaya de rang 4 sur un corps quelconque $k$ — si $k$ est fini […] $\mathbb F_q$ de car $\neq 2$, $k^*/k^{*2}$ est cyclique d'ordre pair, $k^*/k^{*2}$ est d'ordre 2 …) Ainsi on trouve une « bi-structure » par quotient de $\mathrm{Gl}(E)$ $\times\,\mathbb F_p^*$ dans un…

TSVP l'argument continue au-delà de ce lot