Fonds Grothendieck, cote n° 83, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-10)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-10
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)83
[Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1982-1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/83.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
L'icosaèdre sur \mathbb{F}_4
feuillet de calculs sans texte suivi. Dans tout ce qui suit jusqu'à la p. 15, \alpha est une racine de \alpha^2+\alpha+1=0, \alpha' l'autre, et l'on calcule en caractéristique 2 (-1=1) ; u' désigne le conjugué \operatorname{Tr}u - u.
u^3 = u^2 + \alpha u = u + \alpha + \alpha u = \alpha' u + \alpha
u^3 d'ordre cinq \boxed{\alpha' u + \alpha}opérant sur S \smallsetminus \{u, u'\} avec 2 orbites
u^5 d'ordre 3
On veutu
\det(u-v) = 0 \quad \text{i.e.} \quad
\underbrace{\det u}_{1} + \underbrace{\det v}_{1} + \operatorname{Tr} u v = 0
i.e. \operatorname{Tr} u v = 0x \otimes x
N.B.
\operatorname{Tr} u u' = 0\operatorname{Tr} u.u = \operatorname{Tr} u^2 = \operatorname{Tr}(u + \alpha.1)
= \operatorname{Tr} u = 1 \neq 0\det(u+v) = \det u + \det v + \operatorname{Tr} u v = \operatorname{Tr} u v
\qquad \text{\struck{$\det(u-v)$}}\operatorname{Tr} u v = 0\operatorname{Tr} u v = 0 \qquad
\operatorname{Tr}(u v') = \operatorname{Tr}(u(v+1))
= \operatorname{Tr} u v + \operatorname{Tr} u = 1 + \operatorname{Tr} u v
\operatorname{Tr} u v et \operatorname{Tr} u v' sont différents, donc
\operatorname{Tr} u v = 0 \Rightarrow \operatorname{Tr} u v' \neq 0.
\operatorname{Tr} u u' = 0, \qquad \operatorname{Tr} u^2 = 1
feuillet de calculs épars ; l'ordre de lecture adopté est celui du haut vers le bas.
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\quad \text{\struck{\ill{}}} \quad
\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix}seule la première ligne du produit est écrite.
\boxed{\begin{aligned}
u u' &= u' u = \det u \\
u + u' &= \operatorname{Tr} u . \mathrm{id}
\end{aligned}}
\qquad 2 \operatorname{Tr} u = 2Rle second membre de « 2\operatorname{Tr}u = 2\ldots » est d'une lecture incertaine.
2\operatorname{Tr}u = si \operatorname{Tr} u = 0 alors
u' = -u \iff \operatorname{Tr} u = 0
u^2 - (\operatorname{Tr} u)\, u + \det u = 0\operatorname{Tr} u = 1 \qquad \det u = 0 \qquad \det u \overset{?}{=} 1
\qquad u = u'1 + a' \otimes a, \qquad \langle a, a' \rangle = 1u \longmapsto -u' \qquad u' u = 0\text{\struck{$u(x) \wedge y = x \wedge \ldots$}}u(x) \wedge y = -u'(y) \wedge x\text{\struck{$\boxed{u(x) \wedge y + x \wedge u'(y) = 0}$}}\boxed{u(x) \wedge y = x \wedge u'(y)}E \to \check{E} \simeq E \otimes \omega^{-1}, \qquad
E \times E \to \omega, \qquad
E \simeq \check{E} \otimes \omega, \qquad \check{E}\lambda e + \mu f, \qquad x \wedge x, \qquad
\text{\struck{$x' \otimes x$}}15 \cdot 4 = 60, \qquad 4 \cdot 5 = 20
les projections
\operatorname{Tr} u = 1 \quad
\begin{array}{|lll r}
\det u = 0 & u^2 - u = 0 & u \text{ un projecteur} & 20 \\
\det u = 1 & u^2 - u + 1 = 0 & u \text{ val. propres } \alpha, \alpha' & 20 \\
\det u = \alpha & u^2 - u + \alpha = 0 & & 12 \\
\det u = \alpha' & u^2 - u + \alpha' = 0 & & 12 \\
& & & 64
\end{array}à la ligne \det u = 1, « u = \mathrm{id} + \text{nilpotent} » est biffé et remplacé par « uval. propres\alpha, \alpha' » ; sous u^2-u+1=0 est amorcé « (u+\alpha)(u+\ldots ». Les deux « 12 » sont cerclés.
N.B. Les u \sim \alpha d'ordre 15.
u^2 \text{\struck{$+$}}\, \lambda u + \mu = 01,\ u \qquad \alpha.1 \longmapsto \alpha 1 + u \qquad
u \longmapsto \mu.1 + \lambda u\begin{pmatrix} 0 & -\mu \\ 1 & \lambda \end{pmatrix}
\qquad 1,\ u,\ u'
\operatorname{Tr} u = 1, \quad \operatorname{Tr} v = 1, \qquad
\det u = \det v = \alpha\operatorname{Tr}(u+v) = 0\det(u+v) = \underbrace{\det u}_{1} + \underbrace{\det v}_{1}
+ \operatorname{Tr} u v = \operatorname{Tr}(uv)les accolades « 1 » sous \det u, \det v sont de la page ; elles ne s'accordent pas avec \det u = \det v = \alpha écrit juste au-dessus.
un carré encadré : u — uv en haut, 1 — v en bas, avec deux diagonales parallèles 1–u et v–uv.
u = u' \Longrightarrow \quad u \quad u' \quad 1
\lambda u + \mu \qquad
\operatorname{Tr}(\lambda u + \mu) = \lambda \operatorname{Tr} u = \lambda = 1u + \mu \qquad
\det(u+\mu) = \det u + \mu^2 + \mu \operatorname{Tr} u
= \mu^2 + \mu + \alpha = \text{\struck{$\alpha$}}u + u' = 1 \qquad u + 1 = u'\text{\struck{$\mu^2 + \alpha\mu \ldots$}} \qquad
\text{\struck{$\alpha^2 = \alpha + \alpha\alpha'$}} \qquad
\alpha'^2 + \alpha\alpha' + 1 = 0\mu^2 + \mu + \alpha = \alpha, \qquad \mu^2 + \mu = 0\operatorname{Tr}(uv) = \qquad u \longmapsto u' = u + 1
\qquad u \longmapsto u' \ \text{antipodisme}uv = \text{\struck{$u+$}}\ \lambda u + \mu, \qquad
u(v - \lambda) = \muv - \lambda = \mu u^{-1} = (\mu\alpha')(u+1), \qquad
v = \mu\alpha' u + \ldotsu' u = \alpha. 1, \qquad u^{-1} = \alpha' u'\operatorname{Tr} u u' = 0, \qquad \operatorname{Tr} u w = 0, \qquad
v = u' + w, \qquad \operatorname{Tr} w = 0, \qquad
\operatorname{Tr} \text{\struck{$u$}}\, w = 0
\operatorname{Tr} \text{\struck{$v$}}\, u v u^{-1} = 0 \text{ ou } 1\operatorname{Tr} v\, u(v) = \det(v - u(v)) \in \{0, 1\}ici et plus loin u(v) désigne le conjugué u v u^{-1}.
\operatorname{Tr}(uv) \in \{0,1\}\forall u, v \in S
N.B. \operatorname{Tr} u^2 = 1, \operatorname{Tr} u u' = 0.
Oh oui, v = u ou v = u'd'accord,
\operatorname{Tr} u v' = \operatorname{Tr} u' v = \operatorname{Tr} u v + 1 \neq \operatorname{Tr} u v.
Pour les dix autres, avecformant sous le groupe k[u]^*/k^* opérant or k[u]^* est cyclique d'ordre 15 (4^2 - 1 = 15), k^* est son groupe d'ordre 3, donc k[u]^*/k^* est cyclique d'ordre 5. On compare que u^5 = \alpha.1 donc u est d'ordre 15 (\alpha étant d'ordre 3) donc udéfinit un générateur de k[u]^*/k^*. Ceci dit les points fixes dans\mathrm{End}(V) = M des k[u]^*/k^*, i.e. les commutants de k[u] dans M, de u est réduit àk[u]. On a vu que
k[u] \cap S = \{u, u'\}
donc u ne fixe aucun pt de S \smallsetminus \{u, u'\}, qui se décompose donc en deux orbites d'ordre 5. Donc \operatorname{Tr}(uv) pour v \in S \smallsetminus \{u, u'\} ne peut prendre que deux valeurs au plus (une par orbite).
Cor. 1. M^*/k^*est transitif — Cor. 2. sur Stransitif
Soit l'un des (u, v) \in S \times S tels que v \neq u, \operatorname{Tr} u v = \beta \in Ilà où\mathbb{P}_2(k)famille des \operatorname{Tr} u vu, v \in S, v \neq u, u'donné dans
\{0, 1\} = \mathbb{F}_2 \subset k.
Je dis que \beta \in …
la phrase s'arrête là.
u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix}
\qquad
u' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 0 \end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}dans u et u', le « 1 » de la première ligne est écrit sur un « -1 ».u^{-1} = \alpha' \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha' \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\qquad e_1, \ e_2 \qquad \operatorname{Tr} u\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ \lambda^{-1}\alpha & 1 \end{pmatrix}
\qquad
v_0 = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda \\ \lambda^{-1}\alpha & 1 \end{pmatrix}
\lambda \neq 1 i.e. \lambda \in \{\alpha, \alpha'\}
v \quad u v u^{-1}, \qquad v' \quad u v' u^{-1}, \qquad
u' u = \det u = \alphav u v u^{-1} = v u v (\alpha' u'), \qquad
u(u+1) = \alpha, \qquad u^{-1} = \alpha'(u+1),
\qquad (vu)(vu) + vuv u = \begin{pmatrix} \lambda\alpha & \lambda \\ \alpha & 1 + \lambda^{-1}\alpha \end{pmatrix}
\qquad
v u^{-1} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 + \lambda^{-1} & \lambda^{-1} \end{pmatrix}dans vu^{-1}, le coefficient \lambda est écrit sur un « \alpha\lambda » biffé.\lambda^2 \alpha + \lambda + 1 + \lambda^{-1} + \lambda^{-2}\alpha
= \alpha(\lambda^2 + \lambda^{-2}) + (\lambda + \lambda^{-1}) + 1\text{\struck{$\lambda\alpha +$}} \quad \lambda + \lambda^{-1} \overset{?}{=} 1
\qquad \boxed{\alpha\sigma^2 + \sigma + 1} \qquad \alpha .\sigma abrège ici, sans être défini sur la page, \lambda + \lambda^{-1} (on a \lambda^2 + \lambda^{-2} = \sigma^2 en caractéristique 2).
v = \lambda u + \mu \qquad \operatorname{Tr} v = 1 \quad \text{i.e. } \lambda = 1v = u + \mu, \qquad
\det(v) = \underbrace{\det u}_{1} + \det \mu.1 + \operatorname{Tr} \mu u
= \alpha + \mu^2 + \mu
La condition \det(v) = \alpha équivaut à
\mu^2 + \mu = 0 \qquad \mu \in \{0, 1\} \quad \text{i.e.} \quad v \in \{u, u'\}
La condition \det(v) = \alpha' équivaut à
\mu^2 + \mu + 1 = 0 \qquad \text{i.e.} \quad \mu \in \{\alpha, \alpha'\}v = u + \alpha, \qquad \underbrace{u + \alpha'}_{u' + \alpha} \in S'
\qquad 0 \quad 1 \quad \alpha \quad \alpha' \ \ldots \quad \alpha^2 = \alpha'\operatorname{Tr} u v = 0\operatorname{Tr}(u + \alpha)(v + \alpha) = \operatorname{Tr} u v
+ \text{\struck{\ill{}}}
\qquad uv + \alpha u + \alpha v + \alpha^2\operatorname{Tr}(u + \alpha, v) = \operatorname{Tr} u v + \alpha
\qquad v \quad u v u^{-1}\text{\struck{$\operatorname{Tr} v (u v u^{-1}) = \operatorname{Tr}(v u)^2 u^{-2} v'$}}
\qquad u(v)' = u(v')
un triangle ; puis un pentagone de sommets reliés à un centre (l'étoile d'un sommet de l'icosaèdre), une face marquée \alpha.
\boxed{\operatorname{Tr} v_0\, u(v_0) = \alpha}
\Longrightarrow
\operatorname{Tr} v\, u(v) = \alpha
pour les cinq conjugués de v.
\operatorname{Tr} v'\, \underbrace{u(v')}_{u(v)'} = \alpha\det(u + v) = \operatorname{Tr}(uv) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\alpha & \text{si } \{u, v\} \text{ arête} \\
\alpha' & \text{si } \{u, v\} \text{ coarête} \\
1 & \text{si } u = v \\
0 & \text{si } u = u'
\end{array}
\right.les mots qualifiant la paire \{u,v\} sont de lecture douteuse ; la valeur « 1 » est écrite sur un chiffre biffé, le « 0 » aussi.
changement de cadre : la page calcule avec des signes, en caractéristique quelconque.
dans le plan, les vecteurs e_1, e_2, e_3 = e_1 + e_2 (diagonale du carré) et e_4 = e_1 + \lambda e_2.
e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad
e_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix}\boxed{u = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & -\zeta \end{pmatrix}}
\qquad \operatorname{Tr} u = 0, \quad \det u = -\zeta^2;
\qquad \operatorname{Tr} v = 0, \quad \det v = -\eta^2v = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad
v(e_1) = a e_1 + c e_2v(e_3) = (a + b,\ c + d) = (\eta, \eta), \qquad
v(e_4) = (a + \lambda b,\ c + \lambda d) = (-\eta, -\lambda\eta)\begin{aligned}
a + b &= \eta, & c + d &= \eta, \\
a + \lambda b &= -\eta, & c + \lambda d &= -\lambda\eta
\end{aligned}b = \eta - a, \quad d = \eta - cà gauche de ces deux égalités, une matrice v = \left(\begin{smallmatrix} a & c \\ c & a \end{smallmatrix}\right) est biffée.a + \lambda(\eta - a) = -\eta, \quad (1 - \lambda) a = -(1 + \lambda)\eta;
\qquad
c + \lambda(\eta - c) = -\lambda\eta, \quad (1 - \lambda) c = -2\lambda\etaa = \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta, \qquad
c = \frac{2\lambda\eta}{\lambda - 1}b = \eta\Bigl(1 - \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\Bigr) = \frac{-2\eta}{\lambda - 1},
\qquad
d = \eta\Bigl(1 - \frac{2\lambda}{\lambda - 1}\Bigr)
= -\frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta = -a,
\qquad c = -\lambda b\boxed{v = \begin{pmatrix} a & b \\ -\lambda b & -a \end{pmatrix}}
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
a &= \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta \\
b &= \frac{-2}{\lambda - 1}\,\eta
\end{aligned}
\right.\det v = -a^2 + \lambda b^2
= -\eta^2 \underbrace{\Bigl[\Bigl(\frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\Bigr)^2
- \lambda \frac{4}{(\lambda - 1)^2}\Bigr]}_{
\frac{(\lambda + 1)^2 - 4\lambda}{(\lambda - 1)^2} = 1}\text{\struck{$uv + vu$}} \qquad
u v = \begin{pmatrix} \zeta a & \zeta b \\ \lambda\zeta b & \zeta a \end{pmatrix}
\qquad
v u = \begin{pmatrix} \zeta a & -\zeta b \\ -\lambda\zeta b & \zeta a \end{pmatrix}le signe devant \lambda\zeta b dans uv est mal formé.uv + vu = \begin{pmatrix} 2\zeta a & 0 \\ 0 & 2\zeta a \end{pmatrix}
= \text{\struck{$2\zeta a \ldots$}}\ 2\zeta a . 1
\qquad 2\zeta a = \operatorname{Tr} u v
\begin{array}{c|c|c|c|c}
(u, v) & v = u & v = u' & \{u, v\} \in A_\alpha & \{u, v\} \in A'_\alpha \\ \hline
\det(u - v) & 0 & 1 & \alpha' & \alpha \\ \hline
\operatorname{Tr} u v & 1 & 0 & \alpha & \alpha'
\end{array}
Prop. Soient u, v \in S_\alpha, avec v \neq u, u'. Alors
\begin{aligned}
\operatorname{Tr} v\, u^i(v) &= \alpha & &\text{si } i \equiv 1 \text{ ou } -1 \ (5) \\
\operatorname{Tr} v\, u^i(v) &= \alpha' & &\text{si } i \equiv 2 \text{ ou } -2 \ (5) \\
(&= 1 & &\text{si } i \equiv 0 \ (5))
\end{aligned}
à gauche de l'énoncé, l'étoile pentagonale d'un sommet u_0, avec une arête épaissie vers u_1.
\operatorname{Tr} u v_0 = 1 + \alpha(\lambda + \lambda^{-1}) = 1 + \alpha = \alpha'
\qquad u^5 = \alpha\operatorname{Tr} u v_0' = \alpha
\qquad
u v = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha' & \alpha' \end{pmatrix}
\qquad
u^{-1} v = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & \alpha' \end{pmatrix}u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix}
\qquad
u^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha' \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\qquad
v_0 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 0 \end{pmatrix}v_1 = u v u^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha \\ 1 & \alpha' \end{pmatrix}
\qquad
v_{-1} = u^{-1} v u = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ \alpha' & \alpha' \end{pmatrix}plusieurs coefficients de ces matrices sont récrits sur d'autres ; on donne la dernière lecture.
l'étoile du sommet u : un pentagone v_0, v_1, \ldots, v_{-1} = v_4, une flèche de rotation au centre.
u^5 = \alpha, \qquad (\alpha u)^5 = \alpha^6 = 1, \qquad
\det(\alpha u) = \alpha^3 = 1v. l. propres de u : \alpha, \alpha'\alpha u
un réseau de faces de l'icosaèdre autour de u et u_0, sommets marqués v_1, v_3', v_4', v_2, v_6', v_3, v_4, v_2', v_1' ; une face hachurée.
\operatorname{Tr} \text{\struck{$v$}}\, u w u^{-1} = \alpha
\qquad \text{\struck{\ill{}}}\ u' \ \text{\struck{\ill{}}}
(u, v, w) formant un triangle,
\det(u + v + w) = \underbrace{\det u + \det v + \det w}_{3\alpha = \alpha}
+ \underbrace{\varphi(u, v) + \varphi(v, w) + \varphi(w, u)}_{3\alpha' = \alpha'}
= 1
La relation \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1
la chemise orange qui précède (p. 17, non transcrite) porte seulement, au crayon, « \mathrm{sl}(2, \Lambda) », d'une main qu'on ne peut attribuer avec certitude. Les pp. 18–20 sont à l'encre brune.
Nov. 1982
\varepsilon_0, \varepsilon_1 \in H un groupe. OPS \varepsilon_0, \varepsilon_1 engendrant.
on a alors trivialement\left\{
\begin{aligned}
&\varepsilon_0 \rho_0 = \rho_1 \varepsilon_0 = \rho_0' \varepsilon_0^{-1}
= \rho_1' \varepsilon_1^{-1}, \quad \text{donc } \rho_1 = \varepsilon_0(\rho_0) \\
&\rho_1' = \rho_1^{-2} \\
&\sigma(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0)
\end{aligned}
\right.la fin de la dernière ligne (« = \rho_1(\varepsilon_0) = \ldots ») et une ligne au-dessous sont biffées ; à droite, le calcul « \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1} = \varepsilon_1 » est suivi de « Où si l'on suppose\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 ».
la suite de la page est une liste de formules étiquetées a) à j), la colonne de gauche disant ce que chaque groupe exprime ; les étiquettes c) à g) sont récrites sur d'autres, décalées d'une lettre.
N.B. parmi les sept éléments \rho_i, \rho_i', \varepsilon_i, \sigma, deux quelconquesune paire quelconque qui n'est pas formée uniquement d'éléments parmi les 4 \rho [ce qui fait \binom{7}{2} - \binom{4}{2} = 21 - 6 = 15 paires] engendrent H. D'autre part, les quatre éléments \rho (\rho_0, \rho_1, \rho_0', \rho_1') n'engendrent pas H = \langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \rangle, commutant …
Il faudrait aussi expliciter l'extension canonique de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par
\begin{aligned}
S\mathcal{T}^{+}_{1,1}
&= \langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid
\varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \rangle \\
&\simeq \langle \rho, \sigma \mid \rho^{-3} = \sigma^2 \rangle \\
&\simeq \langle \rho, \varepsilon_0 \mid
\rho \varepsilon_0 \rho^{-1} \varepsilon_0 \rho = 1 \rangle
\end{aligned}le symbole lu S\mathcal{T}^{+}_{1,1} est d'une forme incertaine (un T cursif précédé d'un S).
donnant ainsi (puis divisant par la relation \omega = 1) : \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z}) est ext. de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z}).
le paragraphe encadré en tête de page reprend une discussion qui ne figure pas dans ce lot : U_0, T_H, T_0 et \zeta n'y sont pas définis. Elle vient d'ailleurs dans la chemise.
non l'égalité — celle-ci est . La situation devient encore plus jolie si on suppose \zeta = 1, puisque alors la donnée supplémentaire devient : la donnée d'un sous-groupe (commutatif)T_H de H, normalisant U_0, tel que T_H \cap U_0 = \{1\}, et que \sigma(t) = t^{-1} pour t \in T_H.
(eq)