Cote n° 83, pages 1–20

Cote n° 83 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1982-1986
Édition de démonstration

L'icosaèdre sur $\mathbb{F}_4$

2feuillet de calculs sans texte suivi. Dans tout ce qui suit jusqu'à la p. 15, $\alpha$ est une racine de $\alpha^2+\alpha+1=0$, $\alpha'$ l'autre, et l'on calcule en caractéristique $2$ ($-1=1$) ; $u'$ désigne le conjugué $\operatorname{Tr}u - u$.

Icosaèdre sur $\mathbb{F}_4$ — gribouillis

\[ \alpha^2 \text{\struck{$+$}}\, \alpha + 1 = 0 \qquad (\text{racines } \alpha,\ \alpha') \] \[ u^2 = u + \alpha \] \[ u^4 = u^2 + \alpha^2 = u^2 + \alpha' = u + \alpha + \alpha' = u + 1 = u' \] \[ u^5 = u u' = \alpha\, 1 \]

$u$ d'ordre $15$.

[…] $u \,/\, u'$

\[ u^3 = u^2 + \alpha u = u + \alpha + \alpha u = \alpha' u + \alpha \]

$u^3$ d'ordre cinq $\boxed{\alpha' u + \alpha}$ […] opérant […] sur $S \smallsetminus \{u, u'\}$ avec 2 orbites

$u^5$ d'ordre 3

[…] On veut $u$ […]

\[ \det(u-v) = 0 \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\det u}_{1} + \underbrace{\det v}_{1} + \operatorname{Tr} u v = 0 \]

i.e. $\operatorname{Tr} u v = 0$ $x \otimes x$

N.B. \[ \operatorname{Tr} u u' = 0 \] \[ \operatorname{Tr} u.u = \operatorname{Tr} u^2 = \operatorname{Tr}(u + \alpha.1) = \operatorname{Tr} u = 1 \neq 0 \] \[ \det(u+v) = \det u + \det v + \operatorname{Tr} u v = \operatorname{Tr} u v \qquad \text{\struck{$\det(u-v)$}} \] \[ \operatorname{Tr} u v = 0 \] \[ \operatorname{Tr} u v = 0 \qquad \operatorname{Tr}(u v') = \operatorname{Tr}(u(v+1)) = \operatorname{Tr} u v + \operatorname{Tr} u = 1 + \operatorname{Tr} u v \]

$\operatorname{Tr} u v$ et $\operatorname{Tr} u v'$ sont différents, donc $\operatorname{Tr} u v = 0 \Rightarrow \operatorname{Tr} u v' \neq 0$.

\[ \operatorname{Tr} u u' = 0, \qquad \operatorname{Tr} u^2 = 1 \]

3feuillet de calculs épars ; l'ordre de lecture adopté est celui du haut vers le bas.

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \text{\struck{\ill{}}} \quad \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc} \] \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix} \] seule la première ligne du produit est écrite.

\[ \boxed{\begin{aligned} u u' &= u' u = \det u \\ u + u' &= \operatorname{Tr} u . \mathrm{id} \end{aligned}} \qquad 2 \operatorname{Tr} u = 2R \] le second membre de « $2\operatorname{Tr}u = 2\ldots$ » est d'une lecture incertaine.

$2\operatorname{Tr}u =$ si $\operatorname{Tr} u = 0$ alors

\[ u' = -u \iff \operatorname{Tr} u = 0 \]

\[ u^2 - (\operatorname{Tr} u)\, u + \det u = 0 \] \[ \operatorname{Tr} u = 1 \qquad \det u = 0 \qquad \det u \overset{?}{=} 1 \qquad u = u' \] \[ 1 + a' \otimes a, \qquad \langle a, a' \rangle = 1 \] \[ u \longmapsto -u' \qquad u' u = 0 \] \[ \text{\struck{$u(x) \wedge y = x \wedge \ldots$}} \] \[ u(x) \wedge y = -u'(y) \wedge x \] \[ \text{\struck{$\boxed{u(x) \wedge y + x \wedge u'(y) = 0}$}} \] \[ \boxed{u(x) \wedge y = x \wedge u'(y)} \] \[ E \to \check{E} \simeq E \otimes \omega^{-1}, \qquad E \times E \to \omega, \qquad E \simeq \check{E} \otimes \omega, \qquad \check{E} \] \[ \lambda e + \mu f, \qquad x \wedge x, \qquad \text{\struck{$x' \otimes x$}} \] \[ 15 \cdot 4 = 60, \qquad 4 \cdot 5 = 20 \]

les projections

5\[ \operatorname{Tr} u = 1 \quad \begin{array}{|lll r} \det u = 0 & u^2 - u = 0 & u \text{ un projecteur} & 20 \\ \det u = 1 & u^2 - u + 1 = 0 & u \text{ val. propres } \alpha, \alpha' & 20 \\ \det u = \alpha & u^2 - u + \alpha = 0 & & 12 \\ \det u = \alpha' & u^2 - u + \alpha' = 0 & & 12 \\ & & & 64 \end{array} \] à la ligne $\det u = 1$, « $u = \mathrm{id} + \text{nilpotent}$ » est biffé et remplacé par « $u$ val. propres $\alpha, \alpha'$ » ; sous $u^2-u+1=0$ est amorcé « $(u+\alpha)(u+\ldots$ ». Les deux « 12 » sont cerclés.

N.B. Les $u \sim \alpha$ d'ordre 15.

\[ u^2 \text{\struck{$+$}}\, \lambda u + \mu = 0 \] \[ 1,\ u \qquad \alpha.1 \longmapsto \alpha 1 + u \qquad u \longmapsto \mu.1 + \lambda u \] \[ \begin{pmatrix} 0 & -\mu \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} \qquad 1,\ u,\ u' \]

\[ \operatorname{Tr} u = 1, \quad \operatorname{Tr} v = 1, \qquad \det u = \det v = \alpha \] \[ \operatorname{Tr}(u+v) = 0 \] \[ \det(u+v) = \underbrace{\det u}_{1} + \underbrace{\det v}_{1} + \operatorname{Tr} u v = \operatorname{Tr}(uv) \] les accolades « 1 » sous $\det u$, $\det v$ sont de la page ; elles ne s'accordent pas avec $\det u = \det v = \alpha$ écrit juste au-dessus.

\[ \operatorname{Tr} u v = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \alpha \\ \alpha' \end{array} \right. \qquad \begin{array}{|l} \lambda u + \mu \\ \lambda u' + \mu \\ \lambda^2 \alpha + \mu^2 + \lambda\mu \neq 0 \end{array} \]

un carré encadré : $u$ — $uv$ en haut, $1$ — $v$ en bas, avec deux diagonales parallèles $1$–$u$ et $v$–$uv$.

\[ u = u' \Longrightarrow \quad u \quad u' \quad 1 \]

\[ \lambda u + \mu \qquad \operatorname{Tr}(\lambda u + \mu) = \lambda \operatorname{Tr} u = \lambda = 1 \] \[ u + \mu \qquad \det(u+\mu) = \det u + \mu^2 + \mu \operatorname{Tr} u = \mu^2 + \mu + \alpha = \text{\struck{$\alpha$}} \] \[ u + u' = 1 \qquad u + 1 = u' \] \[ \text{\struck{$\mu^2 + \alpha\mu \ldots$}} \qquad \text{\struck{$\alpha^2 = \alpha + \alpha\alpha'$}} \qquad \alpha'^2 + \alpha\alpha' + 1 = 0 \] \[ \mu^2 + \mu + \alpha = \alpha, \qquad \mu^2 + \mu = 0 \] \[ \operatorname{Tr}(uv) = \qquad u \longmapsto u' = u + 1 \qquad u \longmapsto u' \ \text{antipodisme} \] \[ uv = \text{\struck{$u+$}}\ \lambda u + \mu, \qquad u(v - \lambda) = \mu \] \[ v - \lambda = \mu u^{-1} = (\mu\alpha')(u+1), \qquad v = \mu\alpha' u + \ldots \] \[ u' u = \alpha. 1, \qquad u^{-1} = \alpha' u' \] \[ \operatorname{Tr} u u' = 0, \qquad \operatorname{Tr} u w = 0, \qquad v = u' + w, \qquad \operatorname{Tr} w = 0, \qquad \operatorname{Tr} \text{\struck{$u$}}\, w = 0 \]

7\[ \operatorname{Tr} \text{\struck{$v$}}\, u v u^{-1} = 0 \text{ ou } 1 \] \[ \operatorname{Tr} v\, u(v) = \det(v - u(v)) \in \{0, 1\} \] ici et plus loin $u(v)$ désigne le conjugué $u v u^{-1}$.

$\operatorname{Tr}(uv) \in \{0,1\}$ $\forall u, v \in S$ N.B. $\operatorname{Tr} u^2 = 1$, $\operatorname{Tr} u u' = 0$.

Oh oui, $v = u$ ou $v = u'$ d'accord […], $\operatorname{Tr} u v' = \operatorname{Tr} u' v = \operatorname{Tr} u v + 1 \neq \operatorname{Tr} u v$. Pour les dix autres, avec […] formant […] sous le groupe $k[u]^*/k^*$ opérant […] or $k[u]^*$ est cyclique d'ordre $15$ ($4^2 - 1 = 15$), $k^*$ est son groupe d'ordre $3$, donc $k[u]^*/k^*$ est cyclique d'ordre $5$. On compare que $u^5 = \alpha.1$ donc $u$ est d'ordre $15$ ($\alpha$ étant d'ordre $3$) donc $u$ ⌜définit⌝ un générateur de $k[u]^*/k^*$. Ceci dit […] ⌜[…]⌝ les points fixes dans $\mathrm{End}(V) = M$ […] des $k[u]^*/k^*$, i.e. les commutants de $k[u]$ dans $M$, […] de $u$ est réduit à $k[u]$. On a vu que \[ k[u] \cap S = \{u, u'\} \] donc $u$ ne fixe aucun pt de $S \smallsetminus \{u, u'\}$, qui se décompose donc en deux orbites d'ordre $5$. Donc $\operatorname{Tr}(uv)$ pour $v \in S \smallsetminus \{u, u'\}$ ne peut prendre que deux valeurs au plus (une par orbite).

Cor. 1. $M^*/k^*$ est transitif […] — Cor. 2. […] sur $S$ […] transitif

9Soit l'un des $(u, v) \in S \times S$ tels que $v \neq u$, $\operatorname{Tr} u v = \beta \in I$ […] ⌜là où⌝ […] $\mathbb{P}_2(k)$ […] […] famille des $\operatorname{Tr} u v$ $u, v \in S$, $v \neq u, u'$ […] donné […] dans $\{0, 1\} = \mathbb{F}_2 \subset k$.

Je dis que $\beta \in$ … la phrase s'arrête là.

\[ u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix} \qquad u' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \] dans $u$ et $u'$, le « 1 » de la première ligne est écrit sur un « $-1$ ». \[ u^{-1} = \alpha' \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha' \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad e_1, \ e_2 \qquad \operatorname{Tr} u \] \[ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ \lambda^{-1}\alpha & 1 \end{pmatrix} \qquad v_0 = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda \\ \lambda^{-1}\alpha & 1 \end{pmatrix} \]

$\lambda \neq 1$ i.e. $\lambda \in \{\alpha, \alpha'\}$

\[ v \quad u v u^{-1}, \qquad v' \quad u v' u^{-1}, \qquad u' u = \det u = \alpha \] \[ v u v u^{-1} = v u v (\alpha' u'), \qquad u(u+1) = \alpha, \qquad u^{-1} = \alpha'(u+1), \qquad (vu)(vu) + vu \] \[ v u = \begin{pmatrix} \lambda\alpha & \lambda \\ \alpha & 1 + \lambda^{-1}\alpha \end{pmatrix} \qquad v u^{-1} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 + \lambda^{-1} & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \] dans $vu^{-1}$, le coefficient $\lambda$ est écrit sur un « $\alpha\lambda$ » biffé. \[ \lambda^2 \alpha + \lambda + 1 + \lambda^{-1} + \lambda^{-2}\alpha = \alpha(\lambda^2 + \lambda^{-2}) + (\lambda + \lambda^{-1}) + 1 \] \[ \text{\struck{$\lambda\alpha +$}} \quad \lambda + \lambda^{-1} \overset{?}{=} 1 \qquad \boxed{\alpha\sigma^2 + \sigma + 1} \qquad \alpha . \] $\sigma$ abrège ici, sans être défini sur la page, $\lambda + \lambda^{-1}$ (on a $\lambda^2 + \lambda^{-2} = \sigma^2$ en caractéristique $2$).

11\[ v = \lambda u + \mu \qquad \operatorname{Tr} v = 1 \quad \text{i.e. } \lambda = 1 \] \[ v = u + \mu, \qquad \det(v) = \underbrace{\det u}_{1} + \det \mu.1 + \operatorname{Tr} \mu u = \alpha + \mu^2 + \mu \]

La condition $\det(v) = \alpha$ équivaut à \[ \mu^2 + \mu = 0 \qquad \mu \in \{0, 1\} \quad \text{i.e.} \quad v \in \{u, u'\} \] La condition $\det(v) = \alpha'$ équivaut à \[ \mu^2 + \mu + 1 = 0 \qquad \text{i.e.} \quad \mu \in \{\alpha, \alpha'\} \] \[ v = u + \alpha, \qquad \underbrace{u + \alpha'}_{u' + \alpha} \in S' \qquad 0 \quad 1 \quad \alpha \quad \alpha' \ \ldots \quad \alpha^2 = \alpha' \] \[ \operatorname{Tr} u v = 0 \] \[ \operatorname{Tr}(u + \alpha)(v + \alpha) = \operatorname{Tr} u v + \text{\struck{\ill{}}} \qquad uv + \alpha u + \alpha v + \alpha^2 \] \[ \operatorname{Tr}(u + \alpha, v) = \operatorname{Tr} u v + \alpha \qquad v \quad u v u^{-1} \] \[ \text{\struck{$\operatorname{Tr} v (u v u^{-1}) = \operatorname{Tr}(v u)^2 u^{-2} v'$}} \qquad u(v)' = u(v') \]

\[ \begin{array}{c|cccc} \lambda & 0 & 1 & \alpha & \alpha' \\ \hline \sigma & & & & \end{array} \]

un triangle ; puis un pentagone de sommets reliés à un centre (l'étoile d'un sommet de l'icosaèdre), une face marquée $\alpha$.

\[ \boxed{\operatorname{Tr} v_0\, u(v_0) = \alpha} \Longrightarrow \operatorname{Tr} v\, u(v) = \alpha \] pour les cinq conjugués de $v$. \[ \operatorname{Tr} v'\, \underbrace{u(v')}_{u(v)'} = \alpha \] \[ \det(u + v) = \operatorname{Tr}(uv) = \left\{ \begin{array}{ll} \alpha & \text{si } \{u, v\} \text{ arête} \\ \alpha' & \text{si } \{u, v\} \text{ coarête} \\ 1 & \text{si } u = v \\ 0 & \text{si } u = u' \end{array} \right. \] les mots qualifiant la paire $\{u,v\}$ sont de lecture douteuse ; la valeur « 1 » est écrite sur un chiffre biffé, le « 0 » aussi.

13changement de cadre : la page calcule avec des signes, en caractéristique quelconque.

dans le plan, les vecteurs $e_1$, $e_2$, $e_3 = e_1 + e_2$ (diagonale du carré) et $e_4 = e_1 + \lambda e_2$.

\[ e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad e_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} \] \[ \boxed{u = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & -\zeta \end{pmatrix}} \qquad \operatorname{Tr} u = 0, \quad \det u = -\zeta^2; \qquad \operatorname{Tr} v = 0, \quad \det v = -\eta^2 \] \[ v = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad v(e_1) = a e_1 + c e_2 \] \[ v(e_3) = (a + b,\ c + d) = (\eta, \eta), \qquad v(e_4) = (a + \lambda b,\ c + \lambda d) = (-\eta, -\lambda\eta) \] \[ \begin{aligned} a + b &= \eta, & c + d &= \eta, \\ a + \lambda b &= -\eta, & c + \lambda d &= -\lambda\eta \end{aligned} \] \[ b = \eta - a, \quad d = \eta - c \] à gauche de ces deux égalités, une matrice $v = \left(\begin{smallmatrix} a & c \\ c & a \end{smallmatrix}\right)$ est biffée. \[ a + \lambda(\eta - a) = -\eta, \quad (1 - \lambda) a = -(1 + \lambda)\eta; \qquad c + \lambda(\eta - c) = -\lambda\eta, \quad (1 - \lambda) c = -2\lambda\eta \] \[ a = \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta, \qquad c = \frac{2\lambda\eta}{\lambda - 1} \] \[ b = \eta\Bigl(1 - \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\Bigr) = \frac{-2\eta}{\lambda - 1}, \qquad d = \eta\Bigl(1 - \frac{2\lambda}{\lambda - 1}\Bigr) = -\frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta = -a, \qquad c = -\lambda b \] \[ \boxed{v = \begin{pmatrix} a & b \\ -\lambda b & -a \end{pmatrix}} \qquad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\,\eta \\ b &= \frac{-2}{\lambda - 1}\,\eta \end{aligned} \right. \] \[ \det v = -a^2 + \lambda b^2 = -\eta^2 \underbrace{\Bigl[\Bigl(\frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}\Bigr)^2 - \lambda \frac{4}{(\lambda - 1)^2}\Bigr]}_{ \frac{(\lambda + 1)^2 - 4\lambda}{(\lambda - 1)^2} = 1} \] \[ \text{\struck{$uv + vu$}} \qquad u v = \begin{pmatrix} \zeta a & \zeta b \\ \lambda\zeta b & \zeta a \end{pmatrix} \qquad v u = \begin{pmatrix} \zeta a & -\zeta b \\ -\lambda\zeta b & \zeta a \end{pmatrix} \] le signe devant $\lambda\zeta b$ dans $uv$ est mal formé. \[ uv + vu = \begin{pmatrix} 2\zeta a & 0 \\ 0 & 2\zeta a \end{pmatrix} = \text{\struck{$2\zeta a \ldots$}}\ 2\zeta a . 1 \qquad 2\zeta a = \operatorname{Tr} u v \]

15\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} (u, v) & v = u & v = u' & \{u, v\} \in A_\alpha & \{u, v\} \in A'_\alpha \\ \hline \det(u - v) & 0 & 1 & \alpha' & \alpha \\ \hline \operatorname{Tr} u v & 1 & 0 & \alpha & \alpha' \end{array} \]

Prop. Soient $u, v \in S_\alpha$, avec $v \neq u, u'$. Alors \[ \begin{aligned} \operatorname{Tr} v\, u^i(v) &= \alpha & &\text{si } i \equiv 1 \text{ ou } -1 \ (5) \\ \operatorname{Tr} v\, u^i(v) &= \alpha' & &\text{si } i \equiv 2 \text{ ou } -2 \ (5) \\ (&= 1 & &\text{si } i \equiv 0 \ (5)) \end{aligned} \]

à gauche de l'énoncé, l'étoile pentagonale d'un sommet $u_0$, avec une arête épaissie vers $u_1$.

\[ \operatorname{Tr} u v_0 = 1 + \alpha(\lambda + \lambda^{-1}) = 1 + \alpha = \alpha' \qquad u^5 = \alpha \] \[ \operatorname{Tr} u v_0' = \alpha \qquad u v = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha' & \alpha' \end{pmatrix} \qquad u^{-1} v = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & \alpha' \end{pmatrix} \] \[ u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{pmatrix} \qquad u^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha' \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad v_0 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ v_1 = u v u^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha' & \alpha \\ 1 & \alpha' \end{pmatrix} \qquad v_{-1} = u^{-1} v u = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ \alpha' & \alpha' \end{pmatrix} \] plusieurs coefficients de ces matrices sont récrits sur d'autres ; on donne la dernière lecture.

l'étoile du sommet $u$ : un pentagone $v_0, v_1, \ldots, v_{-1} = v_4$, une flèche de rotation au centre.

\[ u^5 = \alpha, \qquad (\alpha u)^5 = \alpha^6 = 1, \qquad \det(\alpha u) = \alpha^3 = 1 \] v. l. propres de $u$ […] : $\alpha, \alpha'$ $\alpha u$

\[ \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 = 6 + 30 + 30, \qquad \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220 = 20 + 20 + 60 + 60 + 6 \cdot 10 \qquad 1 + \alpha = \alpha' \]

un réseau de faces de l'icosaèdre autour de $u$ et $u_0$, sommets marqués $v_1$, $v_3'$, $v_4'$, $v_2$, $v_6'$, $v_3$, $v_4$, $v_2'$, $v_1'$ ; une face hachurée.

\[ \operatorname{Tr} \text{\struck{$v$}}\, u w u^{-1} = \alpha \qquad \text{\struck{\ill{}}}\ u' \ \text{\struck{\ill{}}} \]

$(u, v, w)$ formant un triangle, \[ \det(u + v + w) = \underbrace{\det u + \det v + \det w}_{3\alpha = \alpha} + \underbrace{\varphi(u, v) + \varphi(v, w) + \varphi(w, u)}_{3\alpha' = \alpha'} = 1 \]

La relation $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1$

18la chemise orange qui précède (p. 17, non transcrite) porte seulement, au crayon, « $\mathrm{sl}(2, \Lambda)$ », d'une main qu'on ne peut attribuer avec certitude. Les pp. 18–20 sont à l'encre brune.

Nov. 1982

$\varepsilon_0, \varepsilon_1 \in H$ un groupe. OPS $\varepsilon_0, \varepsilon_1$ engendrant.

posons \[ \left\{ \begin{aligned} \sigma &= \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \quad (\text{dissymétrique}) \\ \rho_0' &= \sigma \varepsilon_0, \quad \rho_1' = \sigma \varepsilon_1 \\ \rho_0 &= \sigma^{-1} \varepsilon_0 = \varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} = (\varepsilon_1 \varepsilon_0)^{-1}, \quad \rho_1 = \varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1} \end{aligned} \right. \]

on a alors trivialement \[ \left\{ \begin{aligned} &\varepsilon_0 \rho_0 = \rho_1 \varepsilon_0 = \rho_0' \varepsilon_0^{-1} = \rho_1' \varepsilon_1^{-1}, \quad \text{donc } \rho_1 = \varepsilon_0(\rho_0) \\ &\rho_1' = \rho_1^{-2} \\ &\sigma(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0) \end{aligned} \right. \] la fin de la dernière ligne (« $= \rho_1(\varepsilon_0) = \ldots$ ») et une ligne au-dessous sont biffées ; à droite, le calcul « $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1} = \varepsilon_1$ » est suivi de « Où si l'on suppose $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1$ ».

la suite de la page est une liste de formules étiquetées a) à j), la colonne de gauche disant ce que chaque groupe exprime ; les étiquettes c) à g) sont récrites sur d'autres, décalées d'une lettre.

$(\rho_0, \rho_0')$ $(\rho_1, \rho_1')$ $\sigma$ $\varepsilon_0$ $\varepsilon_1$

a) symétrie : conj. par $\sigma$ \[ \sigma(\varepsilon_0) = \varepsilon_1, \quad \sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_0; \qquad \sigma(\rho_0) = \rho_1, \quad \sigma(\rho_1) = \rho_0, \quad \sigma(\rho_0') = \rho_1', \quad \sigma(\rho_1') = \rho_0' \]

a') conjug. \[ \begin{aligned} &\rho_0(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0) = \varepsilon_1, \qquad \rho_1(\varepsilon_1) = \rho_1'(\varepsilon_1) = \varepsilon_0, \\ &\varepsilon_0(\rho_0) = \rho_1, \quad \varepsilon_0(\rho_0') = \rho_1', \qquad \varepsilon_1(\rho_1) = \rho_0, \quad \varepsilon_1(\rho_1') = \rho_0' \end{aligned} \]

$\sigma^2$ commute à $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \rho_0, \rho_0', \rho_1, \rho_1'$, soit $\sigma^2 = \omega$ (au-dessus, biffé : $\sigma^2(\varepsilon_0) = \varepsilon_0$, $\sigma^2(\varepsilon_1) = \varepsilon_1$)

b) introduction des $\rho_i$ en termes des $\sigma$, $\varepsilon_i$ \[ \rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 = \varepsilon_1 \sigma^{-1}, \quad \rho_1 = \sigma^{-1}\varepsilon_1 = \varepsilon_0 \sigma^{-1}; \qquad \rho_0' = \sigma \varepsilon_0 = \varepsilon_1 \sigma, \quad \rho_1' = \sigma \varepsilon_1 = \varepsilon_0 \sigma \]

c) éléments d'ordre fini \[ \rho_0^3 = \rho_1^3 = \sigma^{-2} = \omega, \qquad \omega^2 = 1 \]

d) \[ \Bigl[\ \rho_0^6 = \rho_1^6 = \sigma^{-4} = 1, \qquad \rho_0'^3 = \rho_1'^3 = 1 \ \Bigr] \] $\rho_0' = \rho_0^{-2}$ … valables dans $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ mais non […] $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$

e) relations entre $\rho_i$, $\rho_i'$ \[ \rho_0' = \omega \rho_0, \quad \rho_1' = \omega \rho_1; \qquad \rho_0' = \rho_0^{-2}, \quad \rho_1' = \rho_1^{-2} \qquad \text{d'où } \rho_0 = \omega^{-1}\rho_0', \ \rho_1 = \omega^{-1}\rho_1' \] une ligne entre les deux est biffée et illisible.

f) expressions en $\varepsilon_0$, $\varepsilon_1$ \[ \begin{aligned} \sigma &= \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \ [= \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1] \\ \rho_0 &= \varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} = (\varepsilon_1 \varepsilon_0)^{-1}, & \rho_1 &= \varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1} = (\varepsilon_0 \varepsilon_1)^{-1} \\ \rho_0^{-1} &= \varepsilon_1 \varepsilon_0, & \rho_1^{-1} &= \varepsilon_0 \varepsilon_1 \end{aligned} \]

g) expressions en $\sigma$, $\varepsilon_0$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \sigma(\varepsilon_0) = \sigma \varepsilon_0 \sigma^{-1} \\ \rho_0 &= \sigma^{-1}\varepsilon_0, & \rho_0' &= \sigma \varepsilon_0 \\ \rho_1 &= \varepsilon_0 \sigma^{-1}, & \rho_1' &= \varepsilon_0 \sigma \end{aligned} \]

h) expressions en $(\sigma, \rho_0)$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_0 &= \sigma \rho_0, \qquad \varepsilon_1 = \rho_0 \sigma, \qquad \rho_0' = \rho_0^{-2} \\ \rho_1 &= \sigma(\rho_0) = \sigma \rho_0 \sigma^{-1}, \qquad \rho_1' = \sigma(\rho_0^{-2}) = \sigma \rho_0^{-2} \sigma^{-1} \end{aligned} \]

i) expressions en $(\sigma, \rho_0')$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_0 &= \sigma^{-1}\rho_0', \qquad \varepsilon_1 = \rho_0' \sigma^{-1}, \qquad \rho_0 = \sigma^{-2}\rho_0' = \rho_0' \sigma^{-2} \\ \rho_1 &= \sigma^{-1}\rho_0' \sigma^{-1}, \qquad \rho_1' = \sigma(\rho_0') = \sigma \rho_0' \sigma^{-1} \end{aligned} \]

j) expressions en $(\varepsilon_0, \rho_0)$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \rho_0(\varepsilon_0) = \rho_0 \varepsilon_0 \rho_0^{-1}, \qquad \sigma = \varepsilon_0 \rho_0^{-1}, \qquad \rho_0' = \rho_0^{-2} \\ \rho_1 &= \varepsilon_0(\rho_0) = \varepsilon_0 \rho_0 \varepsilon_0^{-1}, \qquad \rho_1' = \varepsilon_0(\rho_0^{-2}) = \varepsilon_0 \rho_0^{-2} \varepsilon_0^{-1} \end{aligned} \]

19k) expressions en $(\varepsilon_0, \rho_0')$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \rho_0'(\varepsilon_0) = \rho_0' \varepsilon_0 \rho_0'^{-1}, \qquad \sigma = \rho_0' \varepsilon_0^{-1}, \qquad \rho_0 = \varepsilon_0 \rho_0'^{-1} \varepsilon_0 \\ \rho_1 &= \varepsilon_0^2 \rho_0'^{-1}, \qquad \rho_1' = \varepsilon_0(\rho_0') = \varepsilon_0 \rho_0' \varepsilon_0^{-1} \end{aligned} \]

l) expressions en $(\varepsilon_0, \rho_1)$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \rho_1^{-1}(\varepsilon_0) = \rho_1^{-1} \varepsilon_0 \rho_1, \qquad \sigma = \rho_1^{-1} \varepsilon_0, \qquad \rho_0 = \varepsilon_0^{-1}(\rho_1) = \varepsilon_0^{-1} \rho_1 \varepsilon_0 \\ \rho_1' &= \rho_1^{-2}, \qquad \rho_0' = \varepsilon_0^{-1}(\rho_1^{-2}) = \varepsilon_0^{-1} \rho_1^{-2} \varepsilon_0 \end{aligned} \]

m) expressions en $(\varepsilon_0, \rho_1')$ \[ \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \rho_1'^{-1}(\varepsilon_0) = \rho_1'^{-1} \varepsilon_0 \rho_1', \qquad \sigma = \varepsilon_0^{-1} \rho_1', \qquad \rho_1 = \varepsilon_0 \rho_1'^{-1} \varepsilon_0 \\ \rho_0' &= \varepsilon_0^{-1}(\rho_1') = \varepsilon_0^{-1} \rho_1' \varepsilon_0, \qquad \rho_0 = \rho_1'^{-1} \varepsilon_0^2 \end{aligned} \]

19.6.83

N.B. parmi les sept éléments $\rho_i, \rho_i', \varepsilon_i, \sigma$, deux quelconques ⌜une⌝ paire quelconque qui n'est pas formée uniquement d'éléments parmi les 4 $\rho$ [ce qui fait $\binom{7}{2} - \binom{4}{2} = 21 - 6 = 15$ paires] engendrent $H$. D'autre part, les quatre éléments $\rho$ ($\rho_0, \rho_1, \rho_0', \rho_1'$) n'engendrent […] pas $H = \langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \rangle$, […] commutant […] …

Il faudrait aussi expliciter l'extension canonique de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par \[ \begin{aligned} S\mathcal{T}^{+}_{1,1} &= \langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \rangle \\ &\simeq \langle \rho, \sigma \mid \rho^{-3} = \sigma^2 \rangle \\ &\simeq \langle \rho, \varepsilon_0 \mid \rho \varepsilon_0 \rho^{-1} \varepsilon_0 \rho = 1 \rangle \end{aligned} \] le symbole lu $S\mathcal{T}^{+}_{1,1}$ est d'une forme incertaine (un $T$ cursif précédé d'un $S$). donnant ainsi (puis divisant par la relation $\omega = 1$) : $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})$ est ext. de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$.

20le paragraphe encadré en tête de page reprend une discussion qui ne figure pas dans ce lot : $U_0$, $T_H$, $T_0$ et $\zeta$ n'y sont pas définis. Elle vient d'ailleurs dans la chemise.

[…] non l'égalité — celle-ci est […] […]. La situation devient encore plus jolie si on suppose $\zeta = 1$, puisque alors la donnée supplémentaire devient : la donnée d'un sous-groupe ⌜(commutatif)⌝ $T_H$ de $H$, normalisant $U_0$, tel que $T_H \cap U_0 = \{1\}$, et que $\sigma(t) = t^{-1}$ pour $t \in T_H$. (eq)

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\widetilde{\mathbb{Z}} \arrow[r, "\varepsilon"] \arrow[d, "u_0"'] & \mathbb{Z} \arrow[d, "u"] \\
T_0 \arrow[r, "c_0"] & T_H
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent le signe $\wr$ (isomorphismes) ; l'étiquette de la flèche du haut est d'une lecture incertaine.

\[ \lambda^{-1} \quad \lambda^{-\ldots} \quad 1 \quad \lambda^2 \qquad\qquad \widetilde{\mathbb{Z}} \]

\[ \varepsilon_0, \ \varepsilon_1, \ \sigma, \ \rho_0, \ \rho_1, \ \rho_0', \ \rho_1', \ \omega \] \[ (*)\left\{ \begin{aligned} &\rho_0' = \sigma \varepsilon_0, \quad \rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 = (\varepsilon_1 \varepsilon_0)^{-1}, \quad \rho_0' = \rho_0^{-2}, \quad \rho_0'^3 = 1, \quad \rho_0^6 = 1 \\ &\rho_1' = \sigma \varepsilon_1, \quad \rho_1 = \sigma^{-1}\varepsilon_1 = (\varepsilon_0 \varepsilon_1)^{-1}, \quad \rho_1' = \rho_1^{-2}, \quad \rho_1'^3 = 1, \quad \rho_1^6 = 1 \\ &\varepsilon_1 = \sigma(\varepsilon_0) = \rho_0(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0) \quad [= \varepsilon_1(\varepsilon_0)] \\ &\varepsilon_0 = \sigma(\varepsilon_1) = \rho_1(\varepsilon_1) = \rho_1'(\varepsilon_1) \quad [= \varepsilon_0(\varepsilon_1)] \\ &\sigma = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \end{aligned} \right. \] les termes « $= \varepsilon_1(\varepsilon_0)$ », « $= \varepsilon_0(\varepsilon_1)$ » sont barrés par un long trait de crayon qui traverse la page en diagonale ; on ne sait s'il les annule.

\[ \begin{aligned} &\rho_0^3 = \rho_1^3 = \sigma^2 = \omega \\ &\omega^2 = 1, \ \omega \text{ commute à tout} \\ &\rho_0' = \omega \rho_0, \quad \rho_0 = \omega \rho_0' \\ &\rho_1' = \omega \rho_1, \quad \rho_1 = \omega \rho_1' \end{aligned} \]

Partons de $\varepsilon_0, \varepsilon_1$ [satisfaisant à (1) $\boxed{\varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0}$]; posons $\sigma = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0$ $[= \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1]$, $\rho_0' = \sigma \varepsilon_0$, $\rho_1' = \sigma \varepsilon_1$, $\rho_0^{-1} = \varepsilon_1 \varepsilon_0$, $\rho_1^{-1} = \varepsilon_0 \varepsilon_1$ ; je dis qu'on a bien examinons les formules $(*)$ qui restent à vérifier. On a ⌜effectivement⌝ \[ \underbrace{\sigma(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0)} = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1^{-1} \varepsilon_0^{-1} \overset{?}{=} \varepsilon_1 \] c'est-à-dire égal à $\varepsilon_1$ ssi $\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_0\varepsilon_1$ on a (1) ; \[ \sigma(\varepsilon_1) = \rho_1'(\varepsilon_1) = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0^{-1} \varepsilon_1^{-1} \varepsilon_0^{-1} \overset{?}{=} \varepsilon_0 \] égal à $\varepsilon_0$ ssi $\varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0$, i.e. (1) ; \[ \rho_0^2 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \overset{?}{=} \rho_0' = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 . \varepsilon_0 \quad \text{ssi on a (1)} \] \[ \rho_1^2 = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \overset{?}{=} \rho_1' = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_0 \varepsilon_1 \quad \text{toujours vrai} \] la page écrit $\rho_0^2$, $\rho_1^2$ là où les définitions qui précèdent ($\rho_0^{-1} = \varepsilon_1\varepsilon_0$, $\rho_0' = \rho_0^{-2}$) donneraient $\rho_0^{-2}$, $\rho_1^{-2}$ ; on transcrit tel quel. Le calcul se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.

L'icosaèdre sur \(\mathbb{F}_4\)

La relation \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1\)