Cote n° 83 · pages 1–221 · Lecture modernisée · [Icosaèdres, bi-icosaèdres et algèbres d'Azumaya de rang 4] : notes manuscrites (1982-1983, 1986, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1982-1986

Résumé

2–221

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'a pas de pagination continue de sa main. Il est fait de suites distinctes, dont plusieurs sont ouvertes par une couverture portant un titre et une date : « Rapport anharmonique, avril 1986 » (page 37), « Bi-icosaèdres et cartes de congruences, avril 1986 » (page 51), « Azumaya rang 4, avril 1986 » (page 74) ; puis des titres de sa main en tête de page : « Azumaya rang 4 (I) » (page 80), « (II) » (page 101), « (III) » (page 149), « (I bis) » (page 182, mai–juillet 1986). Les pages 2 à 20 sont plus anciennes (novembre 1982 et 19 juin 1983 aux pages 18 et 19). Des pages dactylographiées de ses textes non mathématiques sont mêlées aux feuillets ; elles ne sont pas transcrites, sauf la dernière (page 221), qui porte sa main.

Les stations

• Pages 2 à 15 : l'icosaèdre sur \(\mathbf{F}_4\). Les douze matrices de trace \(1\) et de déterminant \(\alpha\) ; la trace du produit distingue le même sommet, l'antipode, l'arête et la « coarête » ; les étoiles pentagonales.
• Pages 18 à 20 : la relation de tresses. Le groupe \(\langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1\rangle\), ses éléments \(\sigma\), \(\rho_i\), \(\rho_i'\), et son quotient \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\).
• Pages 21 à 28 : brouillons. Calculs dans \(\mathrm{SL}_2\) sur un anneau, mêlés de feuillets d'une autre suite (pages 22, 24, 26, 28) qui parlent la langue du § XI du dossier 79.
• Pages 29 à 36 : « Structure du groupe \(\mathrm{SL}(2, \Lambda)\) ». Tore déployé, unipotents, Borels, l'application \(\sigma_0\), transporteurs, et la caractérisation de l'accouplement \(L_0 \otimes L_1 \simeq \Lambda\) par la relation de tresses.
• Pages 38 à 50 : rapport anharmonique et \(n\)-alités. Trois puis quatre flèches de même source dont deux quelconques forment un produit ; les rapports anharmoniques qui en sortent ; la version ensembliste (structures d'incidence).
• Pages 52 à 60 : bi-icosaèdres et cartes de congruence. Les deux icosaèdres complémentaires sur douze sommets, leurs orientations, leurs groupes ; la réalisation des cartes de congruence dans le cône nilpotent de \(M_2(\mathbf{Z}/n)\).
• Pages 61 à 73 : le cône nilpotent d'une algèbre d'Azumaya. Ses classes \(C^{*}(e)\), la structure de graphe \(\operatorname{Tr}(uv) = -1\), les triangles et leur orientation canonique.
• Pages 75 à 77 : tentatives. Décrire \(M_2(k)\) par le groupe \(A^{*}/k^{*}\) et la fonction \(\delta(x) = (b^2 - 4c)/c\).
• Pages 80 à 99 : Azumaya rang 4 (I). Hamilton–Cayley ; l'algèbre \(M(b, c; b', c'; t)\) ; l'invariant anharmonique ; le théorème de la page 98.
• Pages 101 à 147 : Azumaya rang 4 (II). Sous-modules de rang \(3\) contenant \(1\) ; deux sous-algèbres quadratiques en position générale et l'invariant \(\rho_0\) ; la réalisation ; la théorie intrinsèque (« twists ») ; le produit contracté \(X \wedge X'\) des revêtements quadratiques.
• Pages 149 à 180 : Azumaya rang 4 (III). Produits d'espaces affines à involution ; le torseur \(Q(A)\) ; extensions \(\lambda\)-scindées et leur produit.
• Pages 182 à 200 : (I bis). La trace de \(xyz\) ; l'anneau des invariants de trois matrices ; quatre matrices et le cube.
• Pages 202 à 220 : le cube. Relations linéaires entre quantités portées par les arêtes ; paramétrage ; deux déterminants.
• Page 221 : un feuillet dactylographié (« L 19 ») de sa réflexion sur le milieu mathématique.

Les stations ne sont pas les chapitres d'un exposé suivi : les suites (I), (II), (III) et (I bis) d'avril à juillet 1986 forment le seul fil continu ; les stations antérieures en sont les sources. La « Structure du groupe \(\mathrm{SL}(2, \Lambda)\) » (pages 29 à 36) est une mise au propre des brouillons des pages 21 à 28, et ces deux stations restent distinctes.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(k\) est un anneau commutatif (les pages disent aussi \(\Lambda\) quand il est le coefficient d'un module de rang \(2\)). \(A\) est une algèbre d'Azumaya de rang \(4\) sur \(k\), c'est-à-dire localement isomorphe à \(M_2(k)\) ; les pages l'appellent tour à tour \(A\), \(M\) ou \(\mathcal{A}\). On note \(\operatorname{Tr}\) et \(\det\) sa trace et sa norme réduites, \(u' = \operatorname{Tr}(u)\,1 - u\) son involution canonique (de sorte que \(uu' = \det(u)\,1\)), et l'on a la relation de Hamilton–Cayley \(u^2 - \operatorname{Tr}(u)\,u + \det(u) = 0\). Deux formes bilinéaires symétriques reviennent partout : \[ \varphi(u, v) = \operatorname{Tr}(uv), \qquad \psi(u, v) = \operatorname{Tr}u\,\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv), \] la seconde étant la forme polaire de \(\det\) : \(\det(u+v) = \det u + \det v + \psi(u, v)\) et \(\psi(u, u) = 2\det u\). On note \(A^{\natural} = \{u \mid \operatorname{Tr}u = 0\}\), orthogonal de \(1\) pour l'une et l'autre forme.

Pour deux éléments \(u\), \(v\), on pose, comme la page 83, \[ b = \operatorname{Tr}u,\quad c = \det u,\quad b' = \operatorname{Tr}v,\quad c' = \det v,\quad t = \operatorname{Tr}(uv), \] \[ \delta = b^2 - 4c,\qquad \delta' = b'^2 - 4c',\qquad Q = t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc', \] et \(\rho_0 = \rho - 2 = \delta\delta'/Q\) (l'invariant anharmonique « rectifié »). Pour trois éléments \(x, y, z\), la page 183 renomme : \(b, b', b''\) les traces, \(c, c', c''\) les déterminants, \(t = \operatorname{Tr}yz\), \(t' = \operatorname{Tr}zx\), \(t'' = \operatorname{Tr}xy\) ; ce renommage ne vaut que dans la station (I bis).

Pour un module \(E\) libre de rang \(2\), \(E^{*}\) désigne, comme au dossier 79, l'ensemble des vecteurs qui font partie d'une base, et \(L^{*}\) l'ensemble des générateurs d'un module inversible \(L\) (et non un dual)¹ .

Noms partagés. La lettre \(\rho\) désigne sur les pages cinq objets : des éléments du groupe de tresses (page 18), l'élément \(\rho(\beta)\) de \(\mathrm{SL}_2\) (page 34), les rapports anharmoniques \(\rho_{ijkl}\) d'une quadralité (page 42), l'invariant \(\rho = \lambda + \lambda^{-1}\) de deux sous-algèbres quadratiques (page 86 et suivantes), et un élément d'ordre \(3\) (page 69). Seul le quatrième sert hors de sa station ; le cinquième est noté \(r\) ici. De même \(\delta\) est le discriminant \(b^2 - 4c\) à partir de la page 84, mais la fonction \((b^2 - 4c)/c\) sur \(A^{*}/k^{*}\) à la page 77, et des paramètres sur le cube aux pages 212 à 214. L'étoile \(*\) est réservée au produit des algèbres quadratiques et des espaces affines à involution (pages 142 à 180) ; le commutateur, qu'il note \(x * y\) à la page 77, est écrit \([x, y]\).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Une seule figure, trois réalisations. L'icosaèdre des pages 2 à 15 (traces dans \(M_2(\mathbf{F}_4)\)), celui des pages 52 à 60 (vecteurs de \((\mathbf{Z}/5)^2\) au signe près, comme au dossier 79) et celui des pages 61 à 73 (nilpotents de \(M_2(\mathbf{F}_5)\)) sont le même objet vu trois fois, et les pages le savent sans le dire en une phrase : la relation d'arête est chaque fois une valeur prescrite de \(\operatorname{Tr}(uv)\) : \(\alpha\) sur \(\mathbf{F}_4\) (page 11), \(-1\) pour les nilpotents (page 73). Les « coarêtes » de la page 11, où \(\operatorname{Tr}(uv) = \alpha'\), sont les arêtes de l'icosaèdre complémentaire des pages 54 et 55 : le « bi-icosaèdre » est déjà là en 1982² .

La relation de tresses relie trois stations. La relation \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1\) des pages 18 à 20, la formule (32) de la page 34, \(e_1(\gamma)e_0(\beta)e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta)\) pour \(\beta\gamma = -1\), et la caractérisation (38) de la page 35 sont un seul fait : dans \(\mathrm{SL}_2(\Lambda)\), deux unipotents opposés satisfont la relation de tresses si et seulement si leurs paramètres ont pour produit \(-1\), et c'est ce qui fait de \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\) un quotient du groupe de tresses \(B_3\), avec \(\sigma \mapsto \sigma_0(1)\). La « carte universelle » des pages 62 et 63, engendrée par un élément d'ordre \(4\) et un élément d'ordre \(3\), en est la version cartographique.

Deux rapports anharmoniques. Celui des pages 38 à 45 est un automorphisme \(\rho_{ijkl}\) d'un objet \(V_i\) (un scalaire quand les \(\operatorname{End}(V_i)\) sont commutatifs) ; celui des pages 86 et 111 est le birapport des deux paires de points fixes de deux sous-algèbres quadratiques sur la conique. Les deux sont datés d'avril 1986 ; le second peut se lire comme un cas particulier du premier (quatre droites isotropes du plan de \(A^{\natural}\)), mais les pages ne font pas le lien, qui est de nous.

Le dossier 84. Les pages 126 à 180 développent la même théorie que la deuxième partie du dossier 84 (« \(\chi\)-scindages et produits contractés », pages 42 à 121 de ce dossier, en particulier la « digression affine » de ses pages 65 à 79, et les \(\lambda\)-rétractions de ses pages 133 à 139). Les deux dossiers sont datés de la même période ; on ne sait lequel précède.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La fin du calcul de la page 20 ; la relation (70) de la page 24 ; l'usage de \(N' = T \sqcup N^{-}\) (page 36, où la rédaction s'arrête) ; la vérification de la relation (7) et la proposition des pages 43 et 44 sur les quadralités ; la description simple de leur catégorie (page 45) ; la « \(\lambda\)-orientation » des classes \(C^{*}(e)\) (page 67) ; le choix entre \(r\) et \(r^{-1}\) (page 70) ; le polynôme \(Q\) de la page 77 ; la suffisance du théorème de la page 98 ; l'implication (iii) \(\Rightarrow\) (i) de la page 108 sur une base non réduite ; la réalisabilité Zariski-locale de \(\rho_0\) (page 115) ; les produits contractés multiples (page 147) ; l'isomorphisme \(Q(A_1 * A_2) \simeq Q(A_1) * Q(A_2)\) (pages 168 à 170) ; l'unité de \(*_\lambda\) (page 180) ; la structure de l'anneau des invariants de quatre matrices et la relation entre ses quatorze générateurs (pages 192 et 193) ; les trente-deux relations du cube (page 206).

2–15

I. L'icosaèdre sur \(\mathbf{F}_4\) (pages 2 à 15)

2–7

Les douze matrices (pages 2 à 7)

Soit \(k = \mathbf{F}_4\), \(\alpha\) une racine de \(\alpha^2 + \alpha + 1 = 0\) et \(\alpha' = \alpha^2 = \alpha + 1\) l'autre ; on calcule en caractéristique \(2\). Soit \(V = k^2\), \(M = \operatorname{End}(V)\), et \[ S = \{u \in M \mid \operatorname{Tr}u = 1,\ \det u = \alpha\}. \] Le polynôme caractéristique \(T^2 + T + \alpha\) est irréductible sur \(k\), et la page 5 compte les \(u\) de trace \(1\) selon leur déterminant : \[ \det u = 0 : 20 \text{ (projecteurs de rang } 1),\quad \det u = 1 : 20,\quad \det u = \alpha : 12,\quad \det u = \alpha' : 12, \] soit \(64 = 4^3\) en tout³ . L'ensemble \(S\) a donc douze éléments, et le groupe \(M^{*}/k^{*} = \mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}_4) = \mathrm{PSL}_2(\mathbf{F}_4) \simeq \mathfrak{A}_5\) y opère par conjugaison ; la marge de la page 7 note qu'il y est transitif⁴ .

Pour \(u \in S\) on a \(u^2 = u + \alpha\), \(u^4 = u + 1 = u'\) et \(u^5 = uu' = \alpha\) (pages 2 et 7) : \(u\) engendre le corps \(k[u] \simeq \mathbf{F}_{16}\), il y est d'ordre multiplicatif \(15\), et son image engendre le groupe cyclique \(k[u]^{*}/k^{*}\) d'ordre \(5\). Le commutant de \(k[u]\) dans \(M\) est \(k[u]\), et \(k[u] \cap S = \{u, u'\}\) ; le groupe d'ordre \(5\) opère donc sans point fixe sur les dix autres éléments de \(S\), en deux orbites de cinq.

Traces des produits. Pour \(u, v \in S\), on a \(\operatorname{Tr}(u^2) = 1\) et \(\operatorname{Tr}(uu') = \operatorname{Tr}(\alpha\cdot 1) = 0\) ; et \(\operatorname{Tr}(uv') = \operatorname{Tr}(uv) + 1\). La formule de polarisation donne \[ \det(u + v) = \det u + \det v + \operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv) = 1 + \operatorname{Tr}(uv) \] en caractéristique \(2\)⁵ . La page 7 montre que, pour \(v\) fixé hors de \(\{u, u'\}\), \(\operatorname{Tr}(v\,u v u^{-1})\) ne prend qu'une valeur par orbite du groupe d'ordre \(5\), et pose la question de ces valeurs.

9–15

Arêtes et coarêtes (pages 9 à 15)

La page 9 choisit \(u = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ \alpha & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) et un \(v_0\) conjugué par une matrice diagonale ; la page 11 traite les \(v = u + \mu\) : \(\det v = \alpha + \mu^2 + \mu\), qui vaut \(\alpha\) pour \(\mu \in \{0, 1\}\) (c'est-à-dire \(v \in \{u, u'\}\)) et \(\alpha'\) pour \(\mu \in \{\alpha, \alpha'\}\). Le résultat est le tableau de la page 15 : \[ \begin{array}{c|cccc} & v = u & v = u' & \{u, v\} \text{ arête} & \{u, v\} \text{ coarête} \\ \hline \det(u - v) & 0 & 1 & \alpha' & \alpha \\ \operatorname{Tr}(uv) & 1 & 0 & \alpha & \alpha' \end{array} \]

Proposition (page 15). Soient \(u, v \in S\), \(v \notin \{u, u'\}\), et \(u^i(v) = u^i v u^{-i}\). Alors \(\operatorname{Tr}(v\,u^i(v)) = \alpha\) si \(i \equiv \pm 1 \pmod 5\), \(= \alpha'\) si \(i \equiv \pm 2 \pmod 5\) (et \(= 1\) si \(i \equiv 0\)).

Autrement dit : la relation « \(\operatorname{Tr}(uv) = \alpha\) » fait de \(S\) le graphe de l'icosaèdre, l'involution \(u \mapsto u' = u + 1\) en est l'antipodie⁶ , l'étoile d'un sommet \(u\) est le pentagone \(v_0, v_1 = u(v_0), \ldots, v_4\) parcouru par la rotation d'ordre \(5\), et la relation « \(\operatorname{Tr}(uv) = \alpha'\) » relie chaque sommet aux cinq sommets à distance \(2\) : c'est le graphe d'un second icosaèdre sur les mêmes sommets (le grand icosaèdre de Kepler–Poinsot)⁷ . Pour un triangle \((u, v, w)\), \[ \det(u + v + w) = 3\alpha + 3\psi(u, v) = \alpha + \alpha' = 1, \] puisque \(\psi(u, v) = 1 + \alpha = \alpha'\) sur une arête. La page 15 note enfin que \((\alpha u)^5 = 1\) et \(\det(\alpha u) = 1\) : \(\alpha u\) est un relèvement d'ordre \(5\) de la rotation dans \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_4)\).

13–13

Un calcul en caractéristique quelconque (page 13)

Entre deux pages sur \(\mathbf{F}_4\), la page 13 calcule avec des signes : pour \(u = \operatorname{diag}(\zeta, -\zeta)\) et \(v\) de trace nulle, elle trouve \(uv + vu = \operatorname{Tr}(uv)\cdot 1\). C'est le cas \(\operatorname{Tr}u = \operatorname{Tr}v = 0\) de l'identité générale (6') de la page 81 (voir la station IX).

18–20

II. La relation de tresses (pages 17 à 20)

La page 17 est une chemise qui ne porte qu'au crayon « \(\mathrm{sl}(2, \Lambda)\) » ; les pages 18 à 20 sont à l'encre brune, datées « Nov. 1982 » et « 19.6.83 ».

Soit \(H\) un groupe engendré par deux éléments \(\varepsilon_0\), \(\varepsilon_1\). On pose \[ \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0,\qquad \rho_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1},\quad \rho_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1},\qquad \rho_0' = \sigma\varepsilon_0,\quad \rho_1' = \sigma\varepsilon_1 . \] La page 20 vérifie que les relations \(\sigma(\varepsilon_0) = \varepsilon_1\), \(\sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_0\) (conjugaison) et \(\rho_0' = \rho_0^{-2}\) équivalent chacune à la relation de tresses \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1\), tandis que \(\rho_1' = \rho_1^{-2}\) est toujours vraie⁸ . Supposons donc \(H = B_3 = \langle \varepsilon_0, \varepsilon_1 \mid \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \rangle\), le groupe de tresses à trois brins⁹ . Alors :

• la conjugaison par \(\sigma\) échange \(\varepsilon_0\) et \(\varepsilon_1\), \(\rho_0\) et \(\rho_1\), \(\rho_0'\) et \(\rho_1'\) ; et \(\rho_0(\varepsilon_0) = \rho_0'(\varepsilon_0) = \varepsilon_1\), \(\varepsilon_0(\rho_0) = \rho_1\), etc. (points a) et a') de la page 18) ;
• \(\sigma^2 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^3\) est central (la marge de la page 18 le note), \(\rho_0^3 = \rho_1^3 = \sigma^{-2}\), et \(\rho_0' = \rho_0^{-2} = \sigma^2\rho_0\) ;
• \(B_3 \simeq \langle \rho, \sigma \mid \rho^{-3} = \sigma^2 \rangle \simeq \langle \rho, \varepsilon_0 \mid \rho\varepsilon_0\rho^{-1}\varepsilon_0\rho = 1\rangle\) (page 19, avec \(\rho = \rho_0\)) ;
• les listes h) à m) des pages 18 et 19 expriment les sept éléments en fonction de deux d'entre eux, et la note du 19 juin 1983 affirme que toute paire qui n'est pas formée de deux des quatre \(\rho\) engendre \(H\) (\(21 - 6 = 15\) paires), et que les quatre \(\rho\) ne l'engendrent pas.

Les relations c) à e) de la page 18 (\(\omega^2 = 1\) avec \(\omega = \sigma^{\pm 2}\), \(\rho_0'^3 = 1\), \(\rho_0^6 = 1\), \(\rho_0' = \omega\rho_0\)) ne valent pas dans \(B_3\) mais dans son quotient par \(\sigma^4\), et la marge le dit (« valables dans \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\) mais non dans … »)¹⁰ . C'est le fait classique : \(\varepsilon_0 \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)\), \(\varepsilon_1 \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)\) définit un épimorphisme \(B_3 \to \mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\) de noyau engendré par \(\sigma^4\), qui envoie \(\sigma\) sur \(\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)\) et \(\omega = \sigma^2\) sur \(-1\). La page 19 veut en déduire que \(\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z})\) est une extension de \(\mathbf{Z}/2\) par \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\), à partir d'une extension de \(\mathbf{Z}/2\) par \(B_3\) qu'« il faudrait expliciter »¹¹ .

Le paragraphe encadré en tête de la page 20 vient d'ailleurs : il parle d'un sous-groupe commutatif \(T_H\) de \(H\), normalisant un \(U_0\), avec \(T_H \cap U_0 = \{1\}\) et \(\sigma(t) = t^{-1}\), et dit que « la situation devient encore plus jolie si on suppose \(\zeta = 1\) ». C'est, mot pour mot, la situation « particulièrement jolie » du § XI du dossier 79 (ses pages 238 à 247), où un graphe homogène est décrit par un groupe \(H\), un \(U_0\), un \(\sigma\) et un \(T_H\) ; voir la station suivante.

21–28

III. Brouillons dans \(\mathrm{SL}_2\), et feuillets égarés (pages 21 à 28)

Les calculs. Les pages 21, 23, 25, 27 et le haut de la page 28 sont des feuilles de calcul dans \(H = \mathrm{SL}(M)\), \(M = L \oplus L'\) somme de deux modules inversibles sur \(\Lambda\) ; elles préparent la rédaction des pages 29 à 36, dont on reprend les notations à la station suivante : \(e(\alpha) = e_0(\alpha)\), \(e'(\beta) = e_1(\beta)\) unipotents supérieur et inférieur, \(u(\lambda) = \operatorname{diag}(\lambda, \lambda^{-1})\), \(N(c) = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & -c^{-1} \\ c & 0\end{smallmatrix}\bigr)\). On y trouve :

• la grosse cellule (page 23) : \(e(\alpha)u(\lambda)e'(\beta) = \bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\bigr)\) avec \(\lambda = d^{-1}\), \(\alpha = b/d\), \(\beta = c/d\), donc \(U_0 \times T \times U_1 \to H\) est injectif d'image \(\{d \in \Lambda^{*}\}\) ;
• la formule d'échange (page 25) : si \(1 + \alpha\beta \in \Lambda^{*}\), \[ e'(\beta)e(\alpha) = e\Bigl(\frac{\alpha}{1+\alpha\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{1}{1+\alpha\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\frac{\beta}{1+\alpha\beta}\Bigr), \] et si \(\alpha\beta = -1\), \(e'(\beta)e(-\beta^{-1})e'(\beta) = N(\beta)\) ; la cellule \(N^{-}B_1\) est \(\{d = 0\}\) ;
• le produit de deux éléments de la grosse cellule (page 27) : si \(1 + \alpha'\beta \in \Lambda^{*}\), \[ e(\alpha)u(\lambda)e'(\beta)\cdot e(\alpha')u(\lambda')e'(\beta') = e\Bigl(\alpha + \frac{\lambda^2\alpha'}{1+\alpha'\beta}\Bigr)\, u\Bigl(\frac{\lambda\lambda'}{1+\alpha'\beta}\Bigr)\, e'\Bigl(\beta' + \frac{\lambda'^{2}\beta}{1+\alpha'\beta}\Bigr), \] et si \(\alpha'\beta = -1\) le produit est \(N(\beta\lambda^{-1}\lambda')\, e'(\beta' - \lambda'^2\beta - \alpha\beta^2\lambda'^2\lambda^{-2})\), grâce à \(N(t)\,e(\alpha)\,N(t)^{-1} = e'(-t^2\alpha)\)¹² ;
• le commutateur (page 23) : pour \(\alpha\beta = 1\), \([e(\alpha), e'(\beta)] = \bigl(\begin{smallmatrix} 3 & -\alpha \\ \alpha^{-1} & 0\end{smallmatrix}\bigr)\), qui ne tombe dans \(N^{-}\) qu'en caractéristique \(3\).

Les feuillets égarés. Les pages 22 (tête-bêche), 24, 26 (numérotée « 114 » de sa main) et le bas de la page 28 (numéroté « 135 ») appartiennent à une autre suite, dont la numérotation des formules ((9) à (13), (64'), (70)) court hors du dossier. Elles parlent d'un groupe \(G\) opérant sur un ensemble de sommets \(S\), d'un groupe \(Z\) d'« homothéties », de sous-groupes \(G_0^{+} \subset G_0 \subset G\), d'un revêtement double \(\widetilde{Z} = G/G_0^{+}\) de \(Z\), d'une arête orientée origine \((s_0, t_0)\), et du diagramme de sous-groupes (13) : \[ \begin{gathered} B' = G_{s_0},\quad \widetilde{U} = B' \cap G_0,\quad U = B' \cap G_0^{+},\\ \widetilde{B}'' = \{g \in G_0 \mid gs_0 \in Z s_0\},\quad B'' = \widetilde{B}'' \cap G_0^{+},\quad B = B'B'', \end{gathered} \] avec les indices \(Z\), \(\mu_2\) des inclusions successives. La page 22 commence une « Remarque » sur un multigraphe \(\Gamma = (S, \check{S}, R \subset S \times \check{S})\) muni d'une opération libre d'un groupe commutatif \(Z\) ; la page 24 voudrait établir \(\tilde{\delta}(\lambda) = \tilde{\lambda}^2\) pour \(\tilde{\lambda} \in \widetilde{Z}\) d'image \(\lambda\) (sa relation (70)) et ne conclut pas ; la page 28 constate que \(T_0\), \(T_1\) et \(T_G\) ont même image dans \(\operatorname{Aut}(H)\), qui « mérite d'être notée \(\widetilde{Z}\) ». Ces notations sont celles du § XI du dossier 79 (pages 222 à 269 de ce dossier : multigraphes, homogénéité, le diagramme (64), \(T_0\), \(T_1\), \(T_G\), \(T_H\))¹³ . On ne les restitue pas davantage : elles supposent des définitions qui ne sont pas ici.

29–36

IV. Structure du groupe \(\mathrm{SL}(2, \Lambda)\) (pages 29 à 36)

Une rédaction suivie, paginée par lui de 1 à 4, formules (1) à (41) ; elle s'arrête au milieu de la page 36.

Données (pages 29 à 31). Soit \(M\) un module libre de rang \(2\) sur un anneau \(\Lambda\), muni d'une forme symplectique \(e_M \in (\bigwedge^2 M)^{\vee}\), de sorte que \(\mathrm{SL}(M) = \operatorname{Aut}(M, e_M)\). Un tore maximal déployé \(T\) de \(\mathrm{SL}(M)\) équivaut à une décomposition \(M = L'_0 \oplus L'_1\) en deux sous-modules de rang \(1\) (ses deux droites propres), avec \(L'_0 \otimes L'_1 \simeq \bigwedge^2 M \simeq \Lambda\) ; les caractères \(\chi_i : T \to \mathbb{G}_m\) par lesquels \(T\) opère sur les \(L'_i\) sont inverses l'un de l'autre, et choisir l'un d'eux revient (quand \(\operatorname{Spec}\Lambda\) est connexe) à ordonner les deux droites¹⁴ . On écrit alors \[ \begin{gathered} H = \mathrm{SL}(M) = \Bigl\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \Bigm| a, d \in \Lambda,\ b \in L_0,\ c \in L_1,\ ad - bc = 1\Bigr\},\\ L_0 = L_1'^{-1}L'_0,\qquad L_1 = L_0'^{-1}L'_1, \end{gathered} \] \(L_0\) et \(L_1\) étant inverses l'un de l'autre, \(bc \in \Lambda\). On note \(u(\lambda) = \operatorname{diag}(\lambda, \lambda^{-1})\) (\(\lambda \in \Lambda^{*}\)), \(T = u(\Lambda^{*})\), et \(e_0 : L_0 \to H\), \(e_1 : L_1 \to H\) les homomorphismes unipotents supérieur et inférieur, d'images \(U_0\), \(U_1\). Alors \(u(\lambda)e_0(\beta)u(\lambda)^{-1} = e_0(\lambda^2\beta)\) et \(u(\lambda)e_1(\gamma)u(\lambda)^{-1} = e_1(\lambda^{-2}\gamma)\)¹⁵ ; \(T \cap U_0 = T \cap U_1 = \{1\}\) ; les Borels \(B_0 = TU_0 = \{c = 0\}\) et \(B_1 = TU_1 = \{b = 0\}\) vérifient \(B_0 \cap B_1 = T\)¹⁶ .

L'application \(\sigma_0\) (pages 32 et 33). Supposons \(L_0\) libre (sinon \(L_0^{*}\) est vide et ce qui suit est sans objet, dit la marge). On pose \[ \sigma_0 : L_0^{*} \to H,\qquad \sigma_0(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & 0 \end{pmatrix}, \] qui n'est pas un homomorphisme. On a \(\sigma_0(\beta)^2 = u(-1) = \omega\), central ; \(\sigma_0(\beta)\) normalise \(T\) en y induisant \(u(\lambda) \mapsto u(\lambda^{-1})\) ; \(\sigma_0(\lambda\beta) = u(\lambda)\sigma_0(\beta) = \sigma_0(\beta)u(\lambda^{-1})\). Donc \(N^{-} = \sigma_0(L_0^{*}) = \{a = d = 0\}\) est une classe à gauche et à droite modulo \(T\), et \(\sigma_0\) un isomorphisme de \(\Lambda^{*}\)-torseurs. La « formule fondamentale » (25) est \[ \sigma_0(\beta)\,e_0(\beta)\,\sigma_0(\beta)^{-1} = e_1(-\beta^{-1}), \] d'où \(\sigma(U_0) = U_1\) et \(\sigma(U_1) = U_0\) pour tout \(\sigma \in N^{-}\).

Transporteurs (pages 33 et 34). La conjugaison d'un unipotent donne \[ g\,e_0(\beta)\,g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 - ac\beta & a^2\beta \\ -c^2\beta & 1 + ac\beta\end{pmatrix},\qquad g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, \] d'où \[ \begin{gathered} \operatorname{Transp}_H(U_0, U_1) = \{a = 0\},\qquad \operatorname{Transp}_H(U_1, U_0) = \{d = 0\},\\ N^{-} = \operatorname{Transp}(U_0, U_1) \cap \operatorname{Transp}(U_1, U_0), \end{gathered} \] et le transporteur est strict : si \(a = 0\), \(b\) et \(c\) sont inversibles et \(\operatorname{int}(g)\) induit un isomorphisme \(U_0 \simeq U_1\), linéaire pour les structures de module¹⁷ .

La relation de tresses (pages 34 à 36). Pour \(\beta \in L_0\), \(\gamma \in L_1\), \[ e_1(\gamma)\,e_0(\beta)\,e_1(\gamma) = \begin{pmatrix} 1 + \beta\gamma & \beta \\ \gamma(2 + \beta\gamma) & 1 + \beta\gamma\end{pmatrix}, \] de sorte que les conditions suivantes sont équivalentes (37) : a) \(\beta\gamma = -1\) ; b) ce produit est dans \(\operatorname{Transp}(U_0, U_1)\) ; c) dans \(\operatorname{Transp}(U_1, U_0)\) ; d) dans \(N^{-}\) ; e) il est égal à \(\sigma_0(\beta)\). Pour \(\beta\gamma = -1\), la formule (32) \(e_1(\gamma)e_0(\beta)e_1(\gamma) = \sigma_0(\beta)\) équivaut à \[ \rho(\beta)^3 = 1,\qquad \rho(\beta) = \sigma_0(\beta)\,e_0(\beta) = \begin{pmatrix} 0 & \beta \\ -\beta^{-1} & -1\end{pmatrix} = u(\beta)\,\rho(1), \] un élément de trace \(-1\) et de déterminant \(1\)¹⁸ . Il en sort une description de l'accouplement \(L_0 \otimes L_1 \simeq \Lambda\) en termes du seul groupe \(H\) et de ses sous-groupes \(U_0\), \(U_1\) (page 35) : pour \(u_0 = e_0(\beta) \in U_0^{*}\) et \(u_1 = e_1(\gamma) \in U_1\), \[ \beta\gamma = -1 \iff u_1u_0u_1 \in N^{-} \iff u_0u_1u_0 = u_1u_0u_1 , \] et l'on a alors \(\sigma_0(u_0) = u_1u_0u_1\)¹⁹ . La relation de tresses est donc le graphe d'une bijection \(u_0 \mapsto u_0^{\vee}\) de \(U_0^{*}\) sur \(U_1^{*}\), qui vérifie \((u_0^{\lambda})^{\vee} = (u_0^{\vee})^{\lambda^{-1}}\), alors que la conjugaison par un élément du transporteur est linéaire. La rédaction s'arrête sur la définition de \(N' = T \sqcup N^{-}\), encadrée (41).

38–50

V. Rapport anharmonique et \(n\)-alités (pages 37 à 50)

38–40

Trois flèches (pages 38 à 40)

La couverture (page 37) porte « Rapport anharmonique — avril 1986 » ; la rédaction est paginée par lui à partir de 1.

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie abélienne, \(I\) un ensemble à trois éléments, et \(\varphi_i : V \to V_i\) (\(i \in I\)) des flèches telles que pour toute partie \(J \subset I\) à deux éléments, \(V \to \prod_{i \in J} V_i\) soit un isomorphisme. Alors \(0 \to V \to \prod_i V_i \to D \to 0\) est exacte, chaque composé \(u_i : V_i \to \prod V_i \to D\) est un isomorphisme, et le système est isomorphe à \(0 \to K(D, I) \to D^I \xrightarrow{\Sigma} D \to 0\), où \(K(D, I)\) est l'ensemble des familles de somme nulle. La catégorie de ces systèmes équivaut donc à celle des paires \((D, I)\) : \(\mathrm{Ens}_3 \times \mathcal{C}\) (page 38)²⁰ .

Il y a une variante non commutative (pages 38 à 40) : les \(V_i\) sont des ensembles, chaque \(V_i\) porte une structure de bitorseur sous deux des trois groupes \(G_j\), définis à isomorphisme unique près, et \(V\) s'identifie aux triplets \((x_i, x_j, x_h)\) tels que \(x_i \wedge x_j \wedge x_h = \varepsilon\), pour un élément central \(\varepsilon\) du produit contracté \(V_i \wedge_{G_k} V_j \wedge_{G_i} V_h\), une fois choisie une orientation de \(I\). Si l'un des \(G_i\) est commutatif, tous le sont et l'on revient au cas précédent dès qu'on a choisi une origine. Le groupe des automorphismes se dévisse en \(\mathfrak{S}_I \simeq \mathfrak{S}_3\), en \(\operatorname{Aut}\operatorname{Ext}(G_i)\) et en \(G^I/Z\) (marge de la page 40)²¹ .

40–45

Quatre flèches et leurs rapports anharmoniques (pages 40 à 45)

Soit maintenant \(I\) à quatre éléments, avec la même condition sur les paires. Pour toute numérotation \(I = \{i_1, i_2, i_3, i_4\}\), l'isomorphisme canonique des trois flèches \(i_1, i_2, i_3\) (en oubliant \(\varphi_{i_4}\)) donne \(u_{(i_1 i_2)(i_3 i_4)} : V_{i_1} \simeq V_{i_2}\), avec les relations (2) et (3) de la page 41 ; \(V\) se reconstruit comme sous-objet de \(\prod V_i\) à partir du système des \(u\), à des conditions près que la page 41 annonce. On définit (page 42) le rapport anharmonique \[ \rho_{ijkl} = u_{ijlk}^{-1}\,u_{ijkl} \in \operatorname{Aut}(V_i), \] avec \(\rho_{ijlk} = \rho_{ijkl}^{-1}\), \(\rho_{jilk} = u_{ijkl}(\rho_{ijkl})\) (« invariance par double permutation »), et la relation \[ (7)\qquad \rho_{ikjl} = 1 - \rho_{ijkl}, \] que la marge demande de vérifier²² . La proposition des pages 43 et 44 énonce qu'un système de \(u\) vérifiant (2), (3) provient d'une « quadralité » \((V, (V_i), (\varphi_i))\) si et seulement si les vingt-quatre relations (7) ont lieu ; elle n'est pas démontrée. Quand les \(\operatorname{End}(V_i)\) sont commutatifs, ils s'identifient canoniquement à un même anneau \(k\), et les relations deviennent \[ \rho_{jikl} = \rho_{ijlk} = \rho_{ijkl}^{-1},\qquad \rho_{ikjl} = 1 - \rho_{ijkl} \qquad(\Rightarrow\ \rho_{jilk} = \rho_{ijkl}) : \] \((i, j, k, l) \mapsto \rho_{ijkl}\) est une application \(\mathfrak{S}_4\)-équivariante du torseur des numérotations de \(I\) dans \(U(k) = \{\lambda \mid \lambda,\ 1 - \lambda \in k^{*}\}\), où \(\mathfrak{S}_4\) opère par son quotient \(\mathfrak{S}_3\) (\(\lambda \mapsto \lambda^{-1}\), \(1 - \lambda\)). Autrement dit (page 45), \(\rho\) ne dépend que d'un « coin » (une partition de \(I\) en deux paires munie d'un ordre), et la donnée de \(\rho\) équivaut à une application du torseur des repères de l'ensemble à trois éléments des partitions de \(I\) dans \(U(k)\)²³ .

47–50

\(n\)-alités ensemblistes (pages 47 à 50)

Datée « Avril 86 ». Une \(n\)-alité dans une catégorie \(C\) est un système \((I, E, (E_i)_{i \in I}, (\varphi_i : E \to E_i))\), \(\operatorname{card} I = n\), tel que pour toute paire \(J \subset I\), \(E\) muni des \(\varphi_i\) (\(i \in J\)) soit un produit des \(E_i\) ; elles forment une catégorie fibrée sur le groupoïde des ensembles à \(n\) éléments. Pour \(C = \mathrm{Ens}\), hors du cas « impropre » (un \(E_i\) vide) et du cas « trivial » (tous réduits à un point), c'est un ensemble \(E\) muni de \(n\) partitions dont deux quelconques sont « orthogonales »²⁴ . La page 48 le traduit en structure d'incidence entre les « sommets » \(S = \coprod E_i\) et les points de \(E\), \(R \subset S \times E\), et dégage les axiomes : (i) deux sommets distincts sont incidents à au plus un \(x\) (condition symétrique en \(S\) et \(E\)) ; (ii) « ne pas être une arête » est une relation d'équivalence sur \(S\), dont les classes sont les \(E_i\) ; (iii) chaque \(R(x)\) rencontre chaque classe ; (iv) un \(R(x)\) au moins a deux éléments²⁵ .

52–60

VI. Bi-icosaèdres et cartes de congruence (pages 51 à 60)

La couverture (page 51) porte « Bi-icosaèdres et cartes de congruences, avril 1986 ». La lecture des pages 52 à 60 est rapide ; on n'en restitue que ce que la transcription porte sûrement.

52–55

Orientations (pages 52 à 55)

Une structure de bi-icosaèdre sur un ensemble \(S\) de douze sommets est une paire \(\{\mathcal{I}, \mathcal{I}'\}\) de structures d'icosaèdre mutuellement complémentaires : \(\{s, s'\}\) est une arête de \(\mathcal{I}'\) si et seulement si \(\{s, -s'\}\) en est une de \(\mathcal{I}\), où \(s \mapsto -s\) est l'antipodie (page 55). Autour d'un sommet \(s\), le groupe des rotations \(U_s\) est un \(\mathbf{F}_5\)-module libre de rang \(1\) ; ses générateurs forment un torseur sous \(\mathbf{F}_5^{*} \simeq \mathbf{Z}/4\), dont les deux classes modulo \(\pm 1\), \(\{u, -u\}\) et \(\{2u, -2u\}\), sont les deux orientations de l'étoile de \(s\) pour \(\mathcal{I}\) et pour \(\mathcal{I}'\) (page 52). L'application \(u \mapsto 2u\) identifie les revêtements d'orientation des deux icosaèdres au-dessus des sommets, mais l'aller-retour vaut \(u \mapsto 4u = -u\), l'antipodie : sur les sommets, l'identification dépend du choix de \(\mathcal{I}\) ou de \(\mathcal{I}'\). Sur les faces il n'y a pas d'ambiguïté (une face de \(\mathcal{I}\) et sa « complémentaire » se correspondent canoniquement, l'aller-retour est l'identité) ; sur les arêtes, une bijection entre arêtes orientées revient au choix d'une orientation de l'arête commune (page 53). D'où la conclusion de la page 53 : les dodécaèdres duaux \(D\), \(D'\) s'identifient canoniquement, les icosaèdres \(I\), \(I'\) ne le font qu'au produit près par l'antipodie. Un bi-icosaèdre orienté est défini (page 54) comme une paire d'icosaèdres orientés avec une paire \(\{\Theta, \Theta'\}\) de bijections de sommets compatibles aux antipodies, différant par l'antipodie, ou encore par des isomorphismes \(\vec{I}' \simeq \operatorname{compl}(\vec{I})\), \(\vec{I} \simeq \operatorname{compl}(\vec{I}')\) dont le composé est l'antipodie.

55–59

Les groupes (pages 55 à 59)

Le groupe des automorphismes d'un bi-icosaèdre s'envoie sur le groupe des permutations de \(\{\mathcal{I}, \mathcal{I}'\}\) : \[ 1 \to \operatorname{Aut}(\mathcal{I}) \to \operatorname{Aut}(\mathcal{I}, \mathcal{I}') \to \mathbf{Z}/2 \to 1,\qquad \operatorname{Aut}(\mathcal{I}) \simeq \operatorname{Aut}^{+}(\mathcal{I}) \times \{\pm 1\}, \] et le quotient de \(\operatorname{Aut}(\mathcal{I}, \mathcal{I}')\) par le sous-groupe qui respecte \(\mathcal{I}\), \(\mathcal{I}'\) et l'orientation est cyclique d'ordre \(4\), « sauf erreur » (page 56). La page 57 compare deux extensions de noyau \(\operatorname{Aut}(\vec{I})\), l'une par \(\mathbf{Z}/2\) (bi-icosaèdres orientés), l'autre par \(\mathbf{Z}/4\), et constate qu'il n'y a pas de flèche de l'une dans l'autre induisant l'identité sur le noyau. La page 58 réalise tout dans la théorie des cartes de congruence : \[ 1 \to \mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_5)/\{\pm 1\} \to \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_5)/\{\pm 1\} \xrightarrow{\det} \mathbf{F}_5^{*} \simeq \mathbf{Z}/4 \to 1 . \] Ici \(S\) est l'ensemble des vecteurs primitifs de \(\mathbf{F}_5^2\) modulo \(\pm 1\) ; les arêtes de \(\mathcal{I}\) sont les \(\{\dot{a}, \dot{b}\}\) avec \(\det(a, b) = \pm 1\), celles de \(\mathcal{I}'\) les \(\{\dot a, \dot b\}\) avec \(\det(a, b) = \pm 2\), et l'antipodie est l'homothétie de rapport \(2\)²⁶ . Le quotient d'ordre \(8\) de la page 58 opère sur les quatre orientations de \((\mathcal{I}, \mathcal{I}')\) comme le groupe des automorphismes d'un carré, et la page 59 lit les deux extensions comme les images réciproques de deux sous-groupes de ce groupe diédral.

59–60

Généralisation : le cône nilpotent (pages 59 et 60)

Pour \(n\) quelconque, la catégorie \(\mathrm{Congr}\) des cartes de congruence se réalise sur les paires \(\{a, -a\}\) de vecteurs primitifs d'un \(\mathbf{Z}/n\)-module symplectique \(E\) libre de rang \(2\) ; on envoie \(a\) sur \(a \otimes a \in \operatorname{End}(E) = M_2(\mathbf{Z}/n)\), l'endomorphisme \(x \mapsto (a \wedge x)\,a\) (via l'identification symplectique \(E \simeq \check{E}\)), qui est de trace et de carré nuls. On réalise ainsi \(S\) dans le cône des nilpotents, de façon compatible à \(\mathrm{SL}(E)/\{\pm 1\}\) mais non à \(\mathrm{GL}(E)\) ; pour \(n = p\) premier on n'obtient pas tous les nilpotents non nuls, mais une classe sur deux modulo \(\mathbf{F}_p^{*}/\mathbf{F}_p^{*2}\), l'homothétie par \(\lambda\) sur les vecteurs devenant l'homothétie par \(\lambda^2\) sur les nilpotents (page 60). La page note que cette division en classes a un sens pour toute algèbre d'Azumaya de rang \(4\) sur un corps, et s'interrompt sur « TSVP ».

61–73

VII. Le cône nilpotent d'une algèbre d'Azumaya (pages 61 à 73)

Les pages 61 à 73 sont très raturées et chargées de notes obliques en grande partie illisibles ; la lecture qui suit s'appuie sur les formules et les énoncés que la transcription donne sûrement, et elle est mince aux pages 61 à 63 et 68.

61–63

Classes de nilpotents et carte universelle (pages 61 à 63)

Soit \(A\) une algèbre d'Azumaya de rang \(4\) sur \(\mathbf{F}_p\), \(p\) impair, et \(C^{*}\) l'ensemble de ses nilpotents non nuls. Il se divise en deux classes \(C^{*}_i\) avec \(\lambda C^{*}_i = C^{*}_i\) si et seulement si \(\lambda \in k^{*2}\) ; chacune porte une structure canonique de carte orientée, et \(A^{*}/k^{*}\) opère en respectant la structure, le sous-groupe d'indice \(2\) préservant chaque classe (page 61). Pour \(p = 5\), \(\mathbf{F}_5^{*2} = \{\pm 1\}\) et l'on retrouve la structure de bi-icosaèdre (page 62)²⁷ .

La « carte universelle », définie sur \(\mathbf{Z}\), est réalisée dans l'algèbre engendrée par un \(\sigma\) de déterminant \(1\) et de trace \(0\) (d'ordre \(4\)) et un \(\rho_f\) de déterminant \(1\) et de trace \(-1\) (d'ordre \(3\)), avec \(\sigma\rho_f = \rho_s^{-1}\) unipotent ; on obtient une représentation fidèle de \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})/\{\pm 1\}\)²⁸ , qui se factorise modulo \(n\) par \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/n)/\{\pm 1\}\) et redonne la réalisation précédente (page 63). La marge de la page 63 en donne le dictionnaire : les sommets sont les unipotents, les arêtes les paires \((u, u')\) d'unipotents avec \(\operatorname{Tr}(uu') = -1\)²⁹ .

64–68

Les classes \(C^{*}(e)\) (pages 64 à 68)

Soit maintenant \(k\) un anneau et \(A \simeq \operatorname{End}(E)\), \(E\) projectif de rang \(2\), \(\underline{\omega} = \det E\). Un élément \(u\) de carré nul non dégénéré définit une droite \(D = ku \simeq L^{\otimes 2} \otimes \underline{\omega}^{-1}\), où \(L\) est son image³⁰ . Le choix d'une base \(e\) de \(\underline{\omega}\) (une structure symplectique sur \(E\)) donne \(\varphi^{e} : L^{\otimes 2} \simeq D\), avec \(\varphi^{\lambda e} = \lambda\varphi^{e}\) ; si \(L\) est libre, \(D^{*}\) contient une classe privilégiée modulo \(k^{*2}\), \(D^{*}(e) = \{\varphi^{e}(x \otimes x) \mid x \in L^{*}\}\), et \(D^{*}(\lambda e) = \lambda D^{*}(e)\). Explicitement, \(\varphi^{e}(x \otimes x)\) est l'endomorphisme \[ x \overset{e}{\otimes} x : y \longmapsto \frac{x \wedge y}{e}\,x , \] de trace et de carré nuls. Sous l'hypothèse \({}_2\mathrm{Pic}(k) = 0\), toutes les droites \(L_u\) sont libres, et l'on pose \(C^{*}(e) = \bigcup_D D^{*}(e)\) ; alors \[ C^{*} = \coprod_{e \in \underline{\omega}^{*}/k^{*2}} C^{*}(e), \] partition indexée par un torseur sous \(k^{*}/k^{*2}\), permutée transitivement par les homothéties, et qui ne dépend que de \(A\) (page 66). L'application \(\varphi^{e} : E^{*} \to C^{*}(e)\), \(x \mapsto x \overset{e}{\otimes} x\), est surjective, avec \(\varphi^{e}(\lambda x) = \lambda^2\varphi^{e}(x)\), et pour \(\Theta \in \mathrm{GL}(E)\) opérant par conjugaison, \[ \Theta\,\varphi^{e}(x)\,\Theta^{-1} = (\det\Theta)\,\varphi^{e}(\Theta x) \] (page 67, encadré) : la compatibilité n'a lieu que sur \(\mathrm{SL}(E)\). Chaque classe porte une structure triangulaire orientée canonique, indépendante de \(e\), et une « \(\lambda\)-orientation » qu'« il faudrait expliciter ». Les remarques de la page 68 : \(C^{*}\) n'est non vide que si \(A \simeq \operatorname{End}(k \oplus L)\) ; et il existe une arête (deux éléments de \(C^{*}\) avec \(\operatorname{Tr}(uv) = -1\)) si et seulement si \(A \simeq M_2(k)\), car un tel couple est conjugué au couple type de \(M_2\).

69–73

Triangles et orientation (pages 69 à 73)

Soient \(x, y, z \in E\) avec \(x + y + z = 0\) et \(x \wedge y = y \wedge z = z \wedge x = e\). Il existe un unique \(r \in \mathrm{SL}(E)\) tel que \(rx = y\), \(ry = z\), \(rz = x\) ; il est d'ordre \(3\), ne dépend que de \(\{\dot x, \dot y, \dot z\}\) et d'un ordre circulaire, et changer l'ordre change \(r\) en \(r^{-1}\). On a \(\det r = 1\) et \(\operatorname{Tr}r = -1\), donc \(r^{-1} = r' = -1 - r\)³¹ . L'élément \(\tau = x \overset{e}{\otimes} x + y \overset{e}{\otimes} y + z \overset{e}{\otimes} z\) commute à \(r\), a une trace nulle, et \[ \det\tau = 3\cdot 0 + \psi(u, v) + \psi(v, w) + \psi(w, u) = 3 \] puisque \(\psi = -\operatorname{Tr}(uv) = 1\) sur chaque arête ; donc \(\tau = a r + b\) avec \(a = 2b\), \(\det\tau = 3b^2\), \(b^2 = 1\) et \[ \tau = \pm(1 + 2r) \] (pages 69 et 70)³² . Comme \(1 + 2r^{-1} = -(1 + 2r)\), quand \(2\) n'est pas diviseur de zéro le signe fixé choisit l'un de \(r\), \(r^{-1}\) : il y a une seule rotation \(r\) telle que \(u + v + w = \varepsilon(1 + 2r)\) pour le signe \(\varepsilon\) de la convention, et elle définit l'orientation circulaire canonique du triangle \(\{u, v, w\}\) de \(C^{*}(e)\). La page ne tranche pas « lequel ! ».

Si \(\{\pm 1\} \simeq \mu_2(k)\) (et \({}_2\mathrm{Pic}(k) = 0\)), on a \(\varphi^{e}(x) = \varphi^{e}(y)\) si et seulement si \(y = \pm x\), et \(\psi^{e} : E^{*}/\{\pm 1\} \to C^{*}(e)\) est bijectif (page 71) ; il transporte sur \(C^{*}(e)\) la structure de bi-polyèdre orienté du dossier 79 : \(\{\dot x, \dot y\}\) est une arête si \(x \wedge y = \pm e\), les triangles sont les \(\{\dot x, \dot y, \dot z\}\) avec \(x + y + z = 0\), chaque arête est dans deux triangles qui l'orientent en sens opposés, et la translation \(T_\lambda(\dot y) = \overline{y + \lambda x}\) de l'étoile de \(\dot x\) est induite par la transvection \(1 + \lambda\varphi^{e}(x)\) (pages 72 et 73)³³ . Dans \(A\) : \[ (x \overset{e}{\otimes} x)(y \overset{e}{\otimes} y) = \frac{x \wedge y}{e}\,(x \overset{e}{\otimes} y),\qquad \operatorname{Tr}(uv) = -\Bigl(\frac{x \wedge y}{e}\Bigr)^2, \] de sorte que \(x \wedge y = \pm e \iff \operatorname{Tr}(uv) = -1\) : les arêtes de \(C^{*}(e)\) sont les paires de traces de produit \(-1\), les triangles les triplets deux à deux tels³⁴ . Le fil s'interrompt là.

75–77

VIII. Tentatives : \(A\) décrite par \(A^{*}/k^{*}\) (pages 74 à 77)

La page 74 est une couverture, « Azumaya rang 4 — avril 1986 ». Les pages 75 et 77 cherchent, titre de la page 77, une « description élémentaire de \(A \simeq M_2(k)\) (\(k\) corps) en termes de \(G = A^{*}/k^{*}\) ». Sur \(G\), la fonction \[ \delta(\bar x) = \frac{b^2 - 4c}{c},\qquad b = \operatorname{Tr}x,\ c = \det x, \] est bien définie (invariante par \(x \mapsto \lambda x\)), centrale (\(\delta(xy) = \delta(yx)\)), paire (\(\delta(x^{-1}) = \delta(x)\)), nulle en \(1\), et \(\delta(x^2) = \delta(x)^2 + 4\delta(x)\). La page propose \[ \delta(xy) + \delta(xy^{-1}) = \delta(x)\delta(y) + 2(\delta(x) + \delta(y)) \] avec en marge « si \(x, y\) commutent seulement ??? — À vérifier ! ». La relation exacte est \[ \delta(xy) + \delta(xy^{-1}) = \delta(x)\delta(y) + 2(\delta(x) + \delta(y)) + 2(\kappa - 2),\qquad \kappa = \operatorname{Tr}(xyx^{-1}y^{-1}), \] qui redonne celle de la page si et seulement si le commutateur a pour trace \(2\), par exemple quand \(x\) et \(y\) commutent, ou ont un vecteur propre commun³⁵ . La page demande aussi un polynôme \(P \in \mathbf{Z}[X, Y, Z]\) tel que \([x, y]^2 - P(\delta x, \delta y, \delta(xy))[x, y] + 1 = 0\), c'est-à-dire \(\kappa = P(\ldots)\) ; il n'existe pas : \(\kappa\) fait intervenir \(\operatorname{Tr}x\operatorname{Tr}y\operatorname{Tr}(xy)/(\det x\det y)\), dont seul le carré, \((\delta x + 4)(\delta y + 4)(\delta(xy) + 4)\), est polynomial en les \(\delta\)³⁶ . La page 75 tire de trois parenthésages de \(\delta(xyzt)\) deux relations entre dix quantités, puis se demande si \(\delta(\tau h) = \delta(\tau)\) pour \(\tau\) normalisant un sous-groupe commutatif \(H\) ; la marge répond « C'est idiot ! » (prendre \(\tau \in H\)).

80–99

IX. Azumaya rang 4 (I) : l'algèbre \(M(b, c; b', c'; t)\) (pages 80 à 99)

80–84

Hamilton–Cayley et l'algèbre engendrée par deux éléments (pages 80 à 84)

Soit \(A\) d'Azumaya de rang \(4\) sur un anneau \(k\). On a \(\operatorname{Tr}\) linéaire, \(\det\) multiplicatif et quadratique, Hamilton–Cayley \(u^2 - \operatorname{Tr}(u)u + \det(u) = 0\)³⁷ , la polarisation \[ (3)\qquad \det(u + v) = \det u + \det v + \operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v - \operatorname{Tr}(uv), \] et \(\operatorname{Tr}1 = 2\), \(\det 1 = 1\). La remarque de la page 80 : pour une algèbre projective de type fini où \(2\) est inversible, (1) et (2) entraînent (3), via \((\operatorname{Tr}u)^2 - \operatorname{Tr}(u^2) = 2\det u\). En polarisant Hamilton–Cayley : \[ (6')\qquad uv + vu = \operatorname{Tr}(v)\,u + \operatorname{Tr}(u)\,v + \bigl(\operatorname{Tr}(uv) - \operatorname{Tr}u\operatorname{Tr}v\bigr)\,1, \] en particulier \(vu \equiv -uv\) modulo \(k1 + ku + kv\)³⁸ .

Proposition (pages 81 et 82). Dans une algèbre vérifiant (1), (2), (3), le sous-module engendré par \(1, u, v, uv\) est une sous-algèbre. Il suffit de vérifier la stabilité par multiplication à gauche par \(u\) et \(v\), ce que donnent Hamilton–Cayley et (6').

On en tire (page 83) une algèbre \(M(b, c; b', c'; t)\) libre de base \(1, u, v, uv\) pour tout \((b, c, b', c', t) \in k^5\), définie sur \(\mathbf{Z}[B, C, B', C', T]\), de table de multiplication (page 92 ; facteur de gauche en ligne) \[ \begin{array}{c|ccc} & u & v & uv \\ \hline u & bu - c & uv & b\,uv - cv \\ v & (t - bb') + b'u + bv - uv & b'v - c' & -bc' + c'u + tv \\ uv & -b'c + tu + cv & b'uv - c'u & t\,uv - cc' \end{array} \] L'associativité, la multiplicativité de \(\det\) défini par (10) sur \(k[u] \oplus k[v]\), et les relations (2), (3) se « vérifient » ; la page 84 évite le calcul par prolongement des identités algébriques, en se plaçant sur l'ouvert où \(\delta\) et \(\delta'\) sont inversibles et en réalisant presque tout \(t\) dans \(M_2\)³⁹ .

85–91

L'invariant anharmonique (pages 85 à 91)

Lemme (page 85). Si \(u\), \(v \in A\) engendrent des sous-algèbres quadratiques étales, \(\Theta \mapsto \operatorname{Tr}(u\,\Theta v\Theta^{-1})\) est un morphisme dominant vers la droite affine.

Deux sous-algèbres étales \(A_1 = k[u]\), \(A_2 = k[v]\) définissent chacune un diviseur de degré \(2\) sur la conique associée à \(A\) ; si leurs supports sont disjoints, ces deux paires de points ont un rapport anharmonique \(\lambda\), défini localement et au remplacement près de \(\lambda\) par \(\lambda^{-1}\), d'où l'invariant \(\rho = \lambda + \lambda^{-1}\), défini sur \(k\), racine de \(\lambda^2 - \rho\lambda + 1 = 0\) (page 86). La page 87 le calcule : \[ (11)\qquad \rho = 2\,\frac{(2t - bb')^2 + \delta\delta'}{(2t - bb')^2 - \delta\delta'},\qquad \rho_0 = \rho - 2 = \frac{\delta\delta'}{Q}, \] avec \(Q = t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc'\), puisque \((2t - bb')^2 - \delta\delta' = 4Q\) ; en caractéristique \(2\), \(\rho = (bb')^2/(t^2 + bb't + b^2c' + b'^2c)\)⁴⁰ . Les valeurs exclues se lisent sur \(\lambda\) : \(\lambda = 1\) (soit \(\rho = 2\)) correspond à \(\delta\delta' = 0\), et \(\lambda \in \{0, \infty\}\) (soit \(\rho = \infty\)) à \(Q = 0\), une paire de points fixes commune⁴¹ .

Proposition (page 89). Si \(\delta\delta'Q\) est inversible, \(M(b, c; b', c'; t)\) est une algèbre d'Azumaya, et \(k[u]\), \(k[v]\) y sont des sous-algèbres étales en position générale ; dans tous les cas c'est une algèbre associative vérifiant (2), (3). La preuve (pages 88 à 90) réalise localement \(u\) et \(v\) dans \(M_2\) à partir de l'invariant \(\rho_0\) : \(\tau = \operatorname{Tr}(uv)\) est alors une racine de \(T^2 - bb'T + (b^2c' + b'^2c - 4cc' - \delta\delta'/\rho_0) = 0\), comme \(t\) ; si \(\tau \neq t\), \(\tau = bb' - t\), et l'on remplace \(u\) par \(u' = b - u\), pour lequel \(\operatorname{Tr}(u'v) = bb' - \tau = t\). « On gagne ! »

Remarque (pages 90 et 91). Si \(\delta\delta' \in k^{*}\) et si \(M\) est Azumaya, alors \(Q \in k^{*}\), car \(\rho_0 Q = \delta\delta'\) ; le discriminant de \(Q\) comme polynôme en \(t\) est \[ (13)\qquad \Delta(Q) = (bb')^2 - 4(b^2c' + b'^2c - 4cc') = \delta\delta', \] de sorte que \(2t - bb'\) est inversible et que le revêtement des racines de \(Q\) est étale. Le corollaire de la page 91, marqué « (?) » puis « Absurde », voudrait que \(Q(u, v) = 0\) force \(u\) et \(v\) dans une même sous-algèbre de Borel \(k \oplus ku \oplus kv\) ; il est barré.

92–99

Le critère (pages 92 à 99)

La matrice de la forme \(\varphi\) sur la base \(1, u, v, uv\) est \[ \begin{pmatrix} 2 & b & b' & t \\ b & b^2 - 2c & t & bt - b'c \\ b' & t & b'^2 - 2c' & b't - bc' \\ t & bt - b'c & b't - bc' & t^2 - 2cc' \end{pmatrix} \] (page 92)⁴² . Sur la base \(1, u, v\) de \(k1 + ku + kv\), le discriminant de \(\varphi\) vaut \(-2Q\), et le discriminant réduit de la forme quadratique \(\det\) vaut \(-Q\) (page 94, « Vérifier si c'est ça ? — Oui »). Si \(Q\) n'est pas inversible, il existe localement, sur une fibre, un \(\Theta \neq 0\) dans \(k1 + ku + kv\) orthogonal à \(1, u, v\) ; il est de trace nulle et isotrope, donc nilpotent, et les droites isotropes de l'hyperplan de trace nulle correspondent aux Borels : \(u\) et \(v\) sont dans un même Borel. Le cas \(\delta = \delta' = 0\) (sous-algèbres unipotentes) se ramène à \(u\), \(v\) nilpotents, où \(Q = t^2\) (pages 95 et 96)⁴³ .

Proposition (page 97). \(M(0, 0, 0, 0; t)\) est Azumaya si et seulement si \(t \in k^{*}\) ; on le réalise par \(u = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\bigr)\), \(v = t\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)\).

Théorème (page 98). Soient \(b, c, b', c', t \in k\) et \(M = M(b, c; b', c'; t)\). Pour que \(M\) soit une algèbre d'Azumaya, il faut et il suffit que la forme \(\det\) sur \(k \oplus ku \oplus kv\) soit non dégénérée, c'est-à-dire que \[ Q = t^2 - bb't + b^2c' + b'^2c - 4cc' \] soit inversible.⁴⁴ Intrinsèquement : si \(M\) est une algèbre localement libre de rang \(4\), munie de \(\operatorname{Tr}\) et \(\det\) avec les propriétés habituelles, et \(A_1\), \(A_2\) deux sous-algèbres de rang \(2\) transverses dont la somme est un sous-module de rang \(3\), \(M\) est Azumaya si et seulement si \(\det\) est non dégénérée sur \(A_1 + A_2\).

La démonstration de la page 99 se place sur un corps algébriquement clos. Nécessité : les cas « \(A_1\), \(A_2\) multiplicatifs » et « étales » sont acquis ; il reste une position relative, \(v\) unipotent et \(u\) projecteur, \(Q = t^2\), où l'on choisit \(u\) général. La suffisance n'est pas écrite (« Suffisance : … »). Quand \(2\) est inversible elle se déduit d'un calcul : le discriminant de la forme \(\varphi\) sur la base \(1, u, v, uv\) de \(M\) vaut \[ \det\bigl(\operatorname{Tr}(e_ie_j)\bigr) = -Q^2, \] de sorte que \(Q\) inversible rend la forme trace non dégénérée, ce qui (pour une algèbre de rang \(4\) dont tout élément satisfait Hamilton–Cayley) fait de \(M\) une algèbre d'Azumaya⁴⁵ .

101–147

X. Azumaya rang 4 (II) (pages 101 à 147)

Datée « Avril 86 ». La suite des pages 104 à 108 se lit à rebours de la numérotation : page 108 (proposition), 107 (démonstration), 106, 105, 104, chaque feuillet continuant la phrase laissée en suspens au bas du précédent⁴⁶ ; de même la page 134 se lit entre les pages 132 et 133, et la page 145 avant la page 144.

101–103

Les deux formes (pages 101 à 103)

Soit \(B \subset A\) un sous-fibré vectoriel ; si \(B\) est de rang \(3\), \(D = B^{\perp}\) est de rang \(1\), et \(B \leftrightarrow D\) est bijective, la forme \(\varphi\) étant non dégénérée. Pour \(B \ni 1\), les orthogonaux de \(B\) pour \(\varphi\) et pour \(\psi\) coïncident : \(\varphi(1, u) = \psi(1, u) = \operatorname{Tr}u\), donc \(B^{\perp} \subset A^{\natural}\), et pour \(\xi \in A^{\natural}\), \(\psi(u, \xi) = -\varphi(u, \xi)\) (page 102). Les discriminants, eux, coïncident au signe près : \[ \operatorname{disc}(\psi|_B) = (-1)^{\operatorname{rk}B - 1}\operatorname{disc}(\varphi|_B) \qquad (B \ni 1), \] égaux donc pour \(B\) de rang \(3\), le cas utilisé⁴⁷ . La page 103 voit dans \(B \mapsto \delta_B\) une section de \(\mathcal{O}(2)\) sur le plan projectif des hyperplans de \(A/k\), venue de la forme quadratique canonique \(\det\) sur \(A^{\natural} \simeq (A/k)^{\vee}\) : seuls interviennent \(\det\) et l'élément \(1\), non la multiplication.

104–109

Sous-modules de rang \(3\) (pages 104 à 109)

Pour \(B\) de rang \(3\) contenant \(1\), la multiplication induit une application alternée \(\mu : \bigwedge^2 B \to A/B\), \(u \wedge v \mapsto uv \bmod B\) (alternée par Hamilton–Cayley), nulle dès qu'un argument est dans \(k\), donc une section \(\mu\) de \((A/B)^{\otimes 2} \simeq D^{\otimes -2}\) ; et \(B\) est une sous-algèbre si et seulement si \(\mu = 0\). On pose \(\delta(B) = \operatorname{disc}'(\det|_B)\), le discriminant divisé, section de \((\det B)^{\otimes -2} \simeq D^{\otimes -2}\), avec \(\operatorname{disc}\varphi_B = \operatorname{disc}\psi_B = 2\,\delta(B)\) ; c'est aussi \(\det|_D\) (page 105). Le point est que \(\mu = \pm\delta(B)\), ce qu'il suffit de voir sur le cas universel \(\mathbb{P}^2_{\mathbf{Z}}\), où les deux sections ont les mêmes zéros (page 104).

Proposition (page 108). Sur un corps (ou fibre à fibre), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(D\) est isotrope ; (ii) \(\delta(B) = 0\) ; (iii) \(B\) est une sous-algèbre ; (iii') \(B\) est une sous-algèbre de Borel. Elles entraînent (iv) \(D \subset B\) et (ii') \(\operatorname{disc}\varphi_B = 0\), et leur sont équivalentes si \(2\) est inversible⁴⁸ .

Corollaire (page 109). Sont équivalentes : \(D\) anisotrope sur chaque fibre ; \(\delta(B)\) inversible, c'est-à-dire \(\det|_B\) non dégénérée ; \(B\) n'est une sous-algèbre sur aucune fibre ; \(B\) engendre \(A\) comme algèbre ; et, si \(2\) est inversible, \(D \not\subset B\) sur les fibres, \(\varphi|_B\) non dégénérée. Si \(1, u, v\) est une base de \(B\), elles équivalent aussi à : \(1, u, v, uv\) est une base de \(A\), ou \(uv \bmod B\) engendre \(A/B\). C'est le théorème de la page 98 sous forme intrinsèque.

109–120

Deux sous-algèbres quadratiques (pages 109 à 120)

Soient \(H\), \(H' \subset A\) deux sous-fibrés de rang \(2\) contenant \(1\) (ce sont des sous-algèbres, par Hamilton–Cayley), avec \(H \cap H' = k\) sur les fibres ; \(B = H + H'\) est de rang \(3\). Les orthogonaux \(V\), \(V'\) de \(H\), \(H'\) sont des plans de \(A^{\natural}\), et \(D = V \cap V'\). Dans le plan projectif de \(A^{\natural}\) il y a la conique des droites isotropes ; \(H\) est étale si et seulement si la droite projective \(\mathbb{P}(V)\) coupe la conique en deux points distincts, et un \(H\) quelconque correspond à un diviseur de degré \(2\) de la conique (page 110 et sa marge). On dit \(H\), \(H'\) en position générale si sur chaque fibre géométrique les deux paires de points sont disjointes : il n'y a alors pas de droite isotrope orthogonale à \(B\), et par la proposition \(\delta_B\) est inversible (page 111)⁴⁹ .

Le rapport anharmonique \(\lambda\) des deux paires (choisies localement) est inversible ainsi que \(1 - \lambda\), devient \(\lambda^{-1}\) quand on échange les points d'une paire, et ne dépend pas de l'ordre des deux paires ; \(\rho = \lambda + \lambda^{-1}\) est défini sur \(k\), et \(\rho_0 = \rho - 2\) y est inversible (page 112). Sur un corps algébriquement clos, deux paires étales en position générale sont conjuguées si et seulement si elles ont même \(\rho_0\), et tout \(\rho_0\) inversible est réalisé (pages 112 et 113). Sur une base, le stabilisateur de \((H, H')\) dans \(\underline{\operatorname{Aut}}(A)\) est \((\mathbf{Z}/2)_S\) quand \(\rho_0 + 4\) est inversible, l'élément non trivial induisant sur \(H\) et \(H'\) l'involution \(x \mapsto x'\) ; les isomorphismes de \((H, H')\) sur \((\overline{H}, \overline{H}')\) forment un torseur sous ce groupe, qui peut être non trivial : il faut aussi que les revêtements étales \(\varepsilon_H\), \(\varepsilon_{\overline{H}}\) soient isomorphes (page 114). Exemple (page 115) : pour \(H' = \overline{H}'\) donné par \(\{0, \infty\}\) et \(H\), \(\overline{H}\) par \(Z^2 - bZ + c\), \(Z^2 - \bar bZ + \bar c\), on a \(\rho = b^2/c - 2\) ; avec \(b = \bar b = 0\), \(\rho = \bar\rho = -2\) (le cas harmonique, exceptionnel) mais les extensions ne sont isomorphes que si \(\bar c/c\) est un carré. La question de la réalisation Zariski-locale de \(\rho_0\) reste ouverte (« je suppose que oui »).

Expression (pages 116 à 120). En base \(1, u, v\) : \[ \rho_0 = \frac{\delta_H\,\delta_{H'}}{Q},\qquad \delta_H = b^2 - 4c,\ \delta_{H'} = b'^2 - 4c',\qquad Q = -\delta_B , \] où \(\delta_H = \operatorname{disc}(\varphi|_H)\) relativement à la base \(1, u\), et \(\delta_B\) le discriminant divisé de \(\det|_B\) relativement à \(1, u, v\). Les trois sont des sections de \((\det B)^{\otimes -2} \simeq (H/k)^{\otimes -2} \otimes (H'/k)^{\otimes -2} \simeq D^{\otimes -2}\), isomorphisme qui ne dépend plus d'aucun signe, et \[ \rho_0 = -\,\frac{\delta_H\,\delta_{H'}}{\delta_B} \] est intrinsèque⁵⁰ . On peut le prendre pour définition dès que \(\delta_B\) est inversible, et plus généralement comme section de \(\mathbb{P}^1_k\) quand \(\delta_H\delta_{H'}\) et \(\delta_B\) ne s'annulent pas ensemble : \(\rho_0 = \infty\) là où \(H\), \(H'\) sont dans un Borel, \(\rho_0 = 0\) là où l'un n'est pas étale (page 119). Sur un corps, le seul cas où \(\rho_0\) n'est pas défini est celui d'un Borel \(B = B_D\) avec \(H = k \oplus D\) et \(H'\) un autre plan de \(B\) contenant \(k\), situation standard, « couple de Killing » (un Borel et un tore maximal dedans).

121–126

La réalisation (pages 121 à 126)

La page 120 annonce, pour tout \((b, c, b', c', t)\) avec \(Q\) inversible, une réalisation dans une forme de \(M_2\) par deux éléments en position relative générale (la marge : « sans doute il suffit de l'inversibilité de \(\delta\) »). Sur un corps, l'argument de la page 90 revient (pages 121 et 122) : \(Q(t) = Q(\tau)\), donc \(\tau \in \{t, bb' - t\}\), et l'on remplace au besoin \(u\) par \(u'\). Le cas \(\delta\delta' = 0\), « oublié », se ramène à trois cas types (page 123) : (1) \(u\), \(v\) idempotents, \(Q = t(t - 1)\) ; (2) \(u\) idempotent, \(v^2 = 0\) ; (3) \(u^2 = v^2 = 0\) ; dans les cas 2 et 3, \(Q = t^2\). Sur un corps algébriquement clos, avec \(A = \operatorname{End}(V)\), \(u = x' \otimes x\), \(v = y' \otimes y\), on a \(\operatorname{Tr}(uv) = \langle x, y'\rangle\langle y, x'\rangle\) (page 124), et chaque cas se résout à la main : par exemple dans le cas 1, \(y_1y'_1 = t\), \(y_2y'_2 = 1 - t\) (page 125). « Finalement, on n'a pas eu besoin de faire intervenir \(\rho\) dans la vérification, c'était une complication inutile » (page 126).

126–136

La théorie intrinsèque : twists (pages 126 à 136)

Soient \(H\), \(H'\) deux algèbres quadratiques sur \(k\) (formes tordues de \(k[u]\), \(k[v]\)), avec leurs normes \(\Delta_H\), traces \(T_H\) et unités. La page 126 note que la forme \(\varphi_H(u, v) = T_H(uv)\) se déduit de \(\Delta_H\) et \(T_H\) (\(\varphi_H + \psi_H = T_H \otimes T_H\)), et la marge de la page 127 que la structure d'algèbre de \(H\) résulte déjà de la forme quadratique \(\Delta_H\) et de l'élément \(1_H\) avec \(\Delta_H(1_H) = 1\). On forme \[ B = H \amalg_k H' = (H \oplus H')/k(1_H - 1_{H'}),\qquad P = H \otimes H', \] et l'on a une suite exacte \(0 \to B \to P \to L \otimes L' \to 0\), avec \(L = H/k\), \(L' = H'/k\) (page 134). Des plongements \(H, H' \subset A\) dans une algèbre d'Azumaya équivalent à une application linéaire \(f : P \to A\), \(u \otimes v \mapsto uv\), dont les restrictions à \(H\) et \(H'\) sont des homomorphismes (page 129 ; \(f\) n'est pas supposée bijective, et \(P\) n'est pas une algèbre). Elle transporte sur \(P\) une forme linéaire \(L_P = \operatorname{Tr} \circ f\), une forme quadratique \(\Delta_P = \det \circ f\) avec \(\Delta_P(u \otimes v) = \Delta_H(u)\Delta_{H'}(v)\), et les formes \(\psi_P\), \(\varphi_P\).

Proposition et théorème récapitulatif (pages 130 à 136). Les ensembles

• \(\underline{Q}_P\) des formes quadratiques sur \(P\) vérifiant \(\Delta_P(u \otimes v) = \Delta_H(u)\Delta_{H'}(v)\),
• \(\underline{Q}_B\) des formes quadratiques sur \(B\) prolongeant \(\Delta_H\), \(\Delta_{H'}\),
• \(\underline{\Psi}_B\), \(\underline{\Phi}_B\) des formes bilinéaires symétriques sur \(B\) prolongeant \(\psi_H, \psi_{H'}\), resp. \(\varphi_H, \varphi_{H'}\),
• \(\underline{L}_P\) des formes linéaires sur \(P\) prolongeant \(T_B\), c'est-à-dire des formes bilinéaires \(T\) sur \(H \times H'\) avec \(T(u, 1) = T_H(u)\), \(T(1, v) = T_{H'}(v)\),
• \(AZ_P\) des structures d'algèbre de Hamilton–Cayley sur \(P\) induisant les structures données sur \(H \otimes 1\) et \(1 \otimes H'\),

sont des torseurs sous \((L \otimes L')^{\vee}\), et les flèches naturelles \[ AZ_P \to \underline{Q}_P \to \underline{Q}_B \to \underline{\Psi}_B \to \underline{\Phi}_B \to \underline{L}_P \] (restriction, forme polaire, \(\varphi = T_B \otimes T_B - \psi\), \(\varphi \mapsto (x \otimes y \mapsto \varphi(x, y))\)) sont des isomorphismes de torseurs, le diagramme qu'elles forment avec \(AZ_P \to \underline{L}_P\), \(\alpha \mapsto \operatorname{Tr}_\alpha\), étant commutatif⁵¹ . Un élément \(T_P \in \underline{L}_P\) est appelé un twist des algèbres quadratiques \(H\), \(H'\) ; c'est l'objet le plus simple, et la structure d'algèbre qu'il définit sur \(P\) est « le plus fondamental ». En outre : la structure d'algèbre associée à un twist est d'Azumaya si et seulement si \(\Delta_B\) est non dégénérée, c'est-à-dire \(\operatorname{disc}'(\Delta_B) \in (L \otimes L')^{\otimes -2}\) inversible ; et \(\delta_{P,B} : \underline{L}_P \to (L \otimes L')^{\otimes -2}\) est une application polynomiale de degré \(2\) dont la partie quadratique est l'élévation au carré, donc un morphisme fini surjectif de degré \(2\).

En coordonnées, \(\underline{L}_P\) est l'axe des \(t\), l'algèbre associée à \(t\) est \(M(b, c; b', c'; t)\), et \(\delta_{P,B}\) est \(t \mapsto Q(t)\) au signe près : c'est la description intrinsèque de la station IX.⁵²

137–147

Le produit contracté \(X \wedge X'\) (pages 137 à 147)

Soient \(X = \operatorname{Spec}H\), \(X' = \operatorname{Spec}H'\) les revêtements quadratiques de \(S = \operatorname{Spec}k\). L'image réciproque \(\widetilde{S} = \delta_{P,B}^{-1}(0)\) est un revêtement quadratique de \(S\), et il y a un morphisme canonique \(X \times_S X' \to \widetilde{S}\) compatible aux involutions (page 137) ; si \(X\) et \(X'\) sont étales, \(\widetilde{S}\) est le produit contracté \(X \wedge X'\) des \((\mathbf{Z}/2)_S\)-torseurs. Le morphisme s'écrit : à deux caractères \(\varphi : H \to k\), \(\varphi' : H' \to k\) on associe le twist \[ t_{\varphi, \varphi'}(u, v) = \operatorname{Tr}(v)\varphi(u) + \operatorname{Tr}(u)\varphi'(v) - 2\varphi(u)\varphi'(v), \] qui est bien dans \(\underline{L}_P\) (\(t(u, 1) = \operatorname{Tr}u\), \(t(1, v) = \operatorname{Tr}v\)), et qui annule \(\delta\) : en coordonnées, avec \(z = \varphi(u)\), \(z' = \varphi'(v)\) racines de \(z^2 - bz + c\), \(z'^2 - b'z' + c'\), \(t = b'z + bz' - 2zz'\) est racine de \(Q\), l'autre racine étant \(bb' - t\) (pages 138 et 139)⁵³ . L'involution canonique \(T \mapsto T'\), \(T'(u, v) = T(u', v) = T(u, v')\), de \(\underline{L}_P\) (page 140 : \(\operatorname{Tr}(u'v) = \operatorname{Tr}(uv')\) dans l'algèbre associée) s'écrit \(t \mapsto bb' - t\) et induit l'involution canonique de \(\widetilde{S}\) (page 141).

Proposition (pages 141 et 142). Si \(2\), \(\delta\), \(\delta'\) engendrent l'idéal unité (en tout point où \(2\) est nul, \(X\) ou \(X'\) est étale), \(X \times_S X' \to X \wedge_S X'\) est fini localement libre de rang \(2\) et identifie \(X \wedge_S X'\) au quotient de \(X \times_S X'\) par \(\sigma_X \times \sigma_{X'}\) ; il est étale si et seulement si en tout point \(X\) ou \(X'\) l'est, et \(X \wedge X'\) est étale si et seulement si \(X\) et \(X'\) le sont. L'algèbre de \(X \wedge X'\) est la sous-algèbre \(H \wedge H' = (H \otimes H')^{\sigma_H \otimes \sigma_{H'}}\) de l'algèbre commutative \(H \otimes H'\), de base \(1\) et \[ u * v = \operatorname{Tr}(v)\,u + \operatorname{Tr}(u)\,v - 2\,u \otimes v, \] avec, dans l'algèbre quadratique \(H \wedge H'\), \[ \operatorname{Tr}(u * v) = bb',\qquad \det(u * v) = b^2c' + b'^2c - 4cc', \qquad \operatorname{disc}(u * v) = \delta\delta' , \] \(t_{\varphi, \varphi'} = (\varphi \otimes \varphi')(u * v)\), et \((u * v)' = u' * v = u * v'\)⁵⁴ . On récupère \(\underline{L}_P\) comme l'espace affine enveloppant de \(\widetilde{S}\), et \(\delta\) comme son discriminant (page 143).

Le cas unipotent (pages 144 à 146) : si \(H = k \oplus L\), \(H' = k \oplus L'\) avec \(L^2 = L'^2 = 0\), \(H \wedge H' \simeq k \oplus (L \otimes L')\) et \(X \times X' \to X \wedge X'\) est \((\xi, \eta) \mapsto \xi \otimes \eta\) ; on a \(u * v = -2uv\), nul en caractéristique \(2\), où \(H \wedge H'\) ne se plonge plus dans \(H \otimes H'\). Ainsi \(X_L \wedge X_{L'} \simeq X_{L \otimes L'}\) pour \(X_L = \operatorname{Spec}(k \oplus L)\), et \(X \wedge X\) n'est pas trivial : le produit contracté des revêtements quadratiques se comporte autrement que celui des torseurs, sauf dans le cas étale. Quand \(2\), \(b\), \(b'\) engendrent l'idéal unité, \(P = H \otimes H'\) contient trois sous-algèbres quadratiques \(H\), \(H'\), \(H'' = H \wedge H'\), fixées par trois involutions commutantes, deux à deux d'intersection \(k\) ; \(P\) est engendré par \(H\) et \(H'\), et aussi par \(H\) et \(H''\) et par \(H'\) et \(H''\) si et seulement si \(H\) et \(H'\) sont étales ; contre-exemple : \(u^2 = u\), \(v^2 = 0\), \(w = u * v = v - 2uv\), où \(v^2 = w^2 = vw = 0\) (page 145). La page 147 voudrait un produit contracté multiple \(\bigwedge_{i \in I} X_i\) décrit par des formes multilinéaires \(f\) avec \(f(1, u_2, u_3) = \operatorname{Tr}u_2\operatorname{Tr}u_3\), etc., formant un torseur sous \((L_1 \otimes L_2 \otimes L_3)^{-1}\), « satisfaisant à des conditions quadratiques convenables — mais lesquelles ?? ». C'est l'objet de la suite.

149–180

XI. Azumaya rang 4 (III) : espaces affines à involution (pages 149 à 180)

Datée « Avril 86 », ouverte par « Digression sur les produits tensoriels d'espaces affines à involution ».

149–160

Le produit \(*\) (pages 149 à 160)

Sur un module \(H\) muni d'une unité (\(k \to H\) injective), une application linéaire \(x \mapsto x'\) qui fixe \(1\) et induit \(-1\) sur \(H/k\) équivaut à une forme linéaire \(T\) avec \(T(1) = 2\), par \(x' = T(x)1 - x\). Dualement, un espace affine \(A = \varepsilon^{-1}(1)\) d'enveloppe \(\varepsilon : E \to k\) (module des translations \(A^0 = \ker\varepsilon\)), muni d'une involution induisant \(-\mathrm{id}\) sur \(A^0\), équivaut à un \(t \in E\) avec \(\varepsilon(t) = 2\), l'involution étant \(x \mapsto \varepsilon(x)t - x\). Si \(2\) est inversible elle a un unique point fixe et tout est trivial ; si \(2 = 0\), \(t \in A^0\) et l'involution est la translation par \(t\) (pages 149 et 150).

Une application \(f : A_1 \times A_2 \to B\) est \((\sigma_1, \sigma_2)\)-bilinéaire s'il existe \(f^0 : A_1^0 \times A_2^0 \to B^0\) bilinéaire avec \[ f(x_1 + \alpha_1, x_2) = f(x_1, x_2) + f^0(\alpha_1, \sigma_2x_2 - x_2),\qquad f(x_1, x_2 + \alpha_2) = f(x_1, x_2) + f^0(\sigma_1x_1 - x_1, \alpha_2), \] d'où \(f(x_1 + \alpha_1, x_2 + \alpha_2) = f(x_1, x_2) + f^0(\alpha_1, \tau_2) + f^0(\tau_1, \alpha_2) - 2f^0(\alpha_1, \alpha_2)\) en coordonnées (\(\tau_i = \sigma_ix_i - x_i\))⁵⁵ . Il y a une solution universelle \(A_1 * A_2\), espace affine sous \(A_1^0 \otimes A_2^0\), réalisée dans \(E_1 \otimes E_2\) par \[ x_1 * x_2 = t_1 \otimes x_2 + x_1 \otimes t_2 - 2\,x_1 \otimes x_2 = \sigma_1(x_1) \otimes x_2 + x_1 \otimes \sigma_2(x_2), \] avec \(\sigma_1(x_1) * x_2 = x_1 * \sigma_2(x_2) = t_1 \otimes t_2 - x_1 * x_2\) : les deux involutions induites coïncident, et \(A_1 * A_2\) est encore un espace affine à involution, solution du problème universel dans cette catégorie (page 153). L'opération est associative et commutative (page 154 et sa marge) ; son unité est la droite \(k\) avec l'involution \(x \mapsto 1 - x\) (et non \(x \mapsto -x\), triviale en caractéristique \(2\)), via \(x \mapsto e_0 * x\), \(e_0 = (1, 0)\). Pour \(n\) facteurs, le produit est défini par le problème universel analogue et réalisé dans \(\bigotimes E_i\) par \[ x_1 * \cdots * x_n = \sum_{\substack{J \subset \{1, \ldots, n\} \\ \operatorname{card}J \text{ impair}}} \ \bigotimes_{j \in J} x_j \otimes \bigotimes_{j \notin J} \sigma_j(x_j) \qquad (2^{n-1} \text{ termes}), \] l'involution du produit donnant la même somme sur les \(J\) de cardinal pair, et \(x_1 * \cdots * x_n + \sigma(x_1 * \cdots * x_n) = t_1\cdots t_n\,\varepsilon_1(x_1)\cdots\varepsilon_n(x_n)\) (page 156)⁵⁶ .

Si \(2\) est inversible, \(\bigotimes E_i\) se décompose selon les caractères de \((\mathbf{Z}/2)^n\), l'enveloppe du produit est le sous-espace propre du caractère \((1, \ldots, 1)\), et l'opération n'est que le produit tensoriel fait séparément sur \(E^-\) et \(E^+\) (« aucun mystère ! ») ; elle n'est « délicate et utile » que si \(2\) n'est pas inversible (pages 157 à 160). Pour des modules involutifs quelconques \((E_i, \sigma_i)\) avec \(E_i^0 \subset E_i\), le produit universel \(\mathop{*}(E_i, \sigma_i)\) est une extension de \(\bigotimes(E_i/E_i^0)\) par \(\bigotimes E_i^0\), et l'application \(\tau\) vers \(\bigotimes E_i\) n'est en général ni injective ni surjective (page 159).

160–170

Revêtements quadratiques et le torseur \(Q(A)\) (pages 160 à 170)

Une droite affine \(A\) sous un module inversible \(L\) et un diviseur quadratique de \(\check{\mathbb{V}}(A)\) transverse à l'infini équivalent à une forme quadratique \(q : E \to L^{\otimes 2}\) dont la partie homogène est \(u \mapsto u^{\otimes 2}\) ; c'est la donnée d'un revêtement quadratique de \(S\) (pages 160 et 161). Elle définit une involution de \(E\) compatible à l'augmentation, qui laisse le diviseur stable et y induit l'involution canonique (page 162)⁵⁷ . Les formes quadratiques compatibles avec une involution donnée forment un torseur sous \(L^{\otimes 2}\), identifié à \(A * A\) via \(\xi + q_\xi(x) = x * x\) (pages 163 et 164). La page 165 construit le torseur universel \(Q(A, \sigma)\) sous \(L^{\otimes 2}\) et la fonction sous-quadratique \(A \to Q(A)\), revêtement de degré \(2\), dont les sections correspondent aux revêtements quadratiques d'involution donnée.

Pour \(A = A_1 * A_2\), en coordonnées (origines \(o_i\), \(\sigma_i(x) = b_i - x\)), les formes compatibles s'écrivent \(q_{c_i}(x) = x^2 - b_ix + c_i\), et \[ q_{c_1} \otimes q_{c_2} = q_c,\qquad c = b_2^2c_1 + b_1^2c_2 - 4c_1c_2, \] le terme constant de \(Q\) ; d'où \((q_1 + \alpha) \otimes q_2 = q_1 \otimes q_2 + \alpha\,\delta(q_2)\) et \(\delta(q_1 \otimes q_2) = \delta(q_1)\delta(q_2)\), et un diagramme commutatif reliant \(A_1 \times A_2 \to A\), \(Q_1 \times Q_2 \to Q\) et les discriminants (pages 168 à 170). La page voudrait écrire \(Q(A_1 * A_2) \simeq Q(A_1) * Q(A_2)\), mais les \(Q(A_i)\) ne sont pas à involution : « il faudrait reprendre la formalisation de façon plus générale ».

171–180

Extensions \(\lambda\)-scindées (pages 171 à 180)

Soit \(0 \to E^{\circ} \to E \xrightarrow{\varepsilon} F \to 0\) une extension. Une involution de \(E\) induisant \(-1\) sur \(E^{\circ}\) et \(+1\) sur \(F\) s'écrit \(\sigma = \pi\varepsilon - \mathrm{id}\) avec \(\varepsilon\pi = 2\,\mathrm{id}_F\) : \(\pi\) est une « \(2\)-section ». Plus généralement, pour \(\lambda \in k\), une \(\lambda\)-section \(\pi : F \to E\), \(\varepsilon\pi = \lambda\,\mathrm{id}_F\), est un scindage de l'extension image réciproque par \(\lambda\) ; elle équivaut à une \(\lambda\)-rétraction \[ u^{\pi} : E \to E^{\circ},\qquad u^{\pi}(x) = \lambda x - \pi\varepsilon(x), \qquad u^{\pi}|_{E^{\circ}} = \lambda\,\mathrm{id}, \] et c'est \(u\) qui sert : pour \(\lambda = 2\) et \(F = k\), \(u(x) = 2x - t = -(\sigma(x) - x)\), l'expression qui jouait le rôle principal dans la construction de \(*\) (pages 171 à 174). Un \(\lambda\)-accouplement est un couple \((f, f^{\circ})\) d'applications multilinéaires avec \[ f(\ldots, x_i + \alpha_i, \ldots) = f(\ldots, x_i, \ldots) + f^{\circ}(u_1(x_1), \ldots, \alpha_i, \ldots, u_n(x_n)), \] d'où \(f(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = \lambda^{n-1}f^{\circ}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) ; la solution universelle \(\mathop{*}_{i, \lambda} E_i\) est un quotient de \(\bigotimes E_i \oplus \bigotimes E_i^{\circ}\), avec une suite exacte \(\bigotimes E_i^{\circ} \to \mathop{*}_{i,\lambda} E_i \to \bigotimes F_i \to 0\), injective à gauche si les \(F_i\) sont plats (pages 175 à 177). La \(\lambda\)-rétraction canonique du produit vient du \(\lambda\)-accouplement \(\bigotimes u_i\) (page 177). On obtient une opération interne dans les extensions \(\lambda\)-scindées (à quotients plats), associative et commutative « à vérifier » ; la question de l'unité (pages 179 et 180) : pour l'extension scindée \(E_\beta\) de \(k\) par \(k\) de \(\lambda\)-trivialisation \(\beta\), \(E_\beta *_\lambda E_2 \simeq {}^{\beta}E_2\), qui est une équivalence si et seulement si \(\beta\) est inversible, et l'identité pour \(\beta = 1\). La page 180 énonce trois conditions équivalentes pour qu'un \(M\) \(\lambda\)-trivialisé soit inversible pour \(*_\lambda\) (\(M^{\circ}\) et \(M/M^{\circ}\) inversibles, \(u : M \to M^{\circ}\) surjectif, …) et s'arrête⁵⁸ .

182–200

XII. (I bis) : la trace d'un produit de trois matrices (pages 182 à 200)

Titre cerclé « (I bis) », marge « Mai 1986 — Juillet 1986 ». Les pages 194, 196 et 198 à 200 sont écrites au verso de pages dactylographiées.

182–191

Trois variables (pages 182 à 191)

On veut expliciter la multiplication de \(A\) à partir de \(\det\), de \(1\) et de l'orientation \(e \in \bigwedge^4 A\) associée à \(\det\) (\(e \otimes e = \operatorname{disc}(\det)\), une « structure spéciale orthogonale »). Comme \(\psi\) est connue et non dégénérée, \(xy\) est déterminé par les \(\operatorname{Tr}(xyz)\) ; mais \(\det\), \(1\) et \(e\) ne fixent la multiplication qu'au passage près à l'opposée, c'est-à-dire à l'involution \(x \mapsto x'\) près, et l'on attend donc une ambiguïté. Avec les notations \(b, b', b''\), \(c, c', c''\), \(t = \operatorname{Tr}yz\), \(t' = \operatorname{Tr}zx\), \(t'' = \operatorname{Tr}xy\) et \(\tau = \operatorname{Tr}(xyz)\), \(\tau' = \operatorname{Tr}(zyx)\) (chacune invariante par permutation circulaire), (6') donne \[ \tau + \tau' = \Sigma = bt + b't' + b''t'' - bb'b'' . \] La différence \(\tau - \tau' = \operatorname{Tr}([x, y]z)\) est trilinéaire alternée en \(x, y, z\) et invariante par \(\underline{\operatorname{Aut}}(A)\) ; elle est donc de la forme \(\varepsilon\,(1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1}\) (page 185), et le triplet \(x_0 = E_{21}\), \(y_0 = E_{12}\), \(z_0 = [x_0, y_0]\) fixe \(\varepsilon\) : \[ \tau - \tau' = \varepsilon_0\,\Delta,\qquad \Delta = (1 \wedge x \wedge y \wedge z) \otimes e^{-1},\qquad \varepsilon_0 = \pm 1, \] le signe dépendant de la convention d'orientation⁵⁹ . Une première tentative d'écrire \(\Delta^2\) comme polynôme en les \(b\) et les \(t\) seuls échoue sur l'exemple (\(4 = \alpha\cdot 0\), « ce qui est fâcheux ! ») ; « une fois qu'on y pense », \(\Delta^2\) est le déterminant de Gram de \(\psi\) sur \(1, x, y, z\) : \[ \Delta^2 = \det\begin{pmatrix} 2 & b & b' & b'' \\ b & 2c & bb' - t'' & bb'' - t' \\ b' & bb' - t'' & 2c' & b'b'' - t \\ b'' & bb'' - t' & b'b'' - t & 2c'' \end{pmatrix} \] (page 187). D'où \(4\tau\tau' = \Sigma^2 - \Delta^2\) et \[ \tau\tau' = \Pi = tt't'' + (ct^2 + c't'^2 + c''t''^2) + (b^2c'c'' + b'^2c''c + b''^2cc') - (b'b''ct + b''bc't' + bb'c''t'') - 4cc'c'' \] (page 188)⁶⁰ .

À vérifier (pages 189 à 191) : l'anneau \(B\) des fonctions polynomiales \(G\)-invariantes de trois variables dans \(A\) (\(G = \underline{\operatorname{Aut}}(A) \simeq A^{*}/\mathbb{G}_m\)) serait libre de rang \(2\) sur l'anneau de polynômes \(k[\underline{b}, \underline{b}', \underline{b}'', \underline{c}, \underline{c}', \underline{c}'', \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'']\), engendré par \(\tau\) soumis à \(\tau^2 - \Sigma\tau + \Pi = 0\) ; son involution canonique est \(\tau \mapsto \tau' = \Sigma - \tau\), et \(\mathfrak{S}_3\) y opère, les permutations circulaires fixant \(\tau\), les transpositions échangeant \(\tau\) et \(\tau'\)⁶¹ . Si \(2\) est inversible on peut prendre \(\Delta = \tau - \tau'\) pour générateur, avec \(\Delta^2 = \Sigma^2 - 4\Pi\) ; en caractéristique \(2\), \(\Delta \equiv \tau + \tau' = \Sigma\) est dans l'anneau de base et n'engendre rien, donc pas non plus si \(k/2k \neq 0\) (page 191).

191–200

Quatre variables, et le cube (pages 191 à 200)

Pour quatre variables \(x_1, \ldots, x_4\), on a les \(b_i\), \(c_i\), \(t_{ij}\), soit \(4 + 4 + 6 = 14\) fonctions sur un quotient de dimension \(16 - 3 = 13\) : il doit y avoir une relation. Les \(t_{ijk} = \operatorname{Tr}(x_ix_jx_k)\) sont \(8\) distincts (invariance circulaire), groupés par paires \(t_{ijk}\), \(t_{jik}\) de somme \(\Sigma_{\{i,j,k\}}\) et de produit \(\Pi_{\{i,j,k\}}\) (page 192). La page 193 présume l'anneau des invariants fini et libre sur l'anneau \(A\) engendré par les \(b\), \(c\), \(t_{..}\), et voit la clef de la relation cherchée dans \(\operatorname{Tr}(x_1x_2x_3x_4)\). Les pages 196 et 198 notent que \(\operatorname{Tr}(u^n) = P_n(\operatorname{Tr}u, \det u)\), que \(\tau = \operatorname{Tr}(x_1x_2x_3x_4)\) satisfait, vu comme \(\operatorname{Tr}(x_1x_2(x_3x_4))\), une équation du second degré à coefficients dans les invariants de \(x_1, x_2, x_3x_4\), donc est entier de degré au plus \(8\) sur \(A\) ; la page 194 dessine le treillis des sous-anneaux fixes sous \(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\), la page 199 celui des degrés \(2\) et \(3\)⁶² .

C'est la page 198 qui dessine le cube. La rotation du cube par \(\mathfrak{S}_4\), qui permute ses quatre grandes diagonales, organise les quantités : la diagonale \(\delta(s)\) d'un sommet \(s\) porte \(b_s\), \(c_s\) ; une arête, dont les extrémités sont sur deux diagonales, porte \(t_a\) ; un sommet orienté porte un \(t_{ijk}\), une face orientée un \(\operatorname{Tr}(x_ix_jx_kx_l)\) (pages 198 et 204). La page 200 en tire des relations : pour deux faces \(f\), \(f'\) adjacentes le long d'une arête \(a\), \(\tau_f + \tau_{f'} = \Sigma_a\), d'où des relations linéaires \(\Sigma_a + \Sigma_{\bar a'} = \Sigma_{a'} + \Sigma_{\bar a}\), « douze relations » que \(\mathfrak{S}_4\) permute⁶³ .

202–220

XIII. Relations sur le cube (pages 202 à 220)

Ces pages alternent avec des pages dactylographiées de Récoltes et Semailles ; elles sont des calculs presque sans prose, et la lecture qui suit en donne la structure plus que le détail.

202–206

Variables et relations (pages 202 à 206)

Les sommets \(s\) du cube, ses arêtes \(a\), ses faces \(f\) portent (page 204) \[ b_s,\ c_s\ (s \in S),\qquad t_a\ (a \in A),\qquad \mathbb{T}_s = \operatorname{Tr}X_iX_jX_k,\qquad \mathbb{T}_f = \operatorname{Tr}X_iX_jX_kX_l, \] avec \(b_s = b_{\bar s}\), \(c_s = c_{\bar s}\), \(t_a = t_{\bar a}\) pour les éléments antipodaux (\(4 + 4 + 6\) quantités), \(\mathbb{T}_{\bar s}\) étant la trace du produit en ordre inverse (\(8\) quantités) et \(f \mapsto (i, j, k, l)\) la correspondance entre faces et ordres circulaires de \(I\) (\(6\) quantités). Les relations sont \[ (R_s)\quad \mathbb{T}_s + \mathbb{T}_{\bar s} = \sigma_s,\quad \mathbb{T}_s\mathbb{T}_{\bar s} = \pi_s ;\qquad (R_a)\quad \mathbb{T}_f + \mathbb{T}_{f'} = \sigma_a,\quad \mathbb{T}_f\mathbb{T}_{f'} = \pi_a , \] où \(\sigma_s\), \(\pi_s\) sont les \(\Sigma\), \(\Pi\) de la station précédente écrits sur les voisins de \(s\)⁶⁴ , et, pour \(f = (i, j, k, l)\), \(f' = (j, i, k, l)\) adjacentes le long d'une arête, \[ \sigma_a = \operatorname{Tr}(X_kX_l)\operatorname{Tr}(X_iX_j) + \operatorname{Tr}X_i \operatorname{Tr}(X_jX_kX_l) + \operatorname{Tr}X_j\operatorname{Tr}(X_kX_lX_i) - \operatorname{Tr}X_i\operatorname{Tr}X_j\operatorname{Tr}(X_kX_l) \] (c'est (6') appliqué à \(X_iX_j + X_jX_i\)). Bilan de la page 206 : \(28\) variables, \(32\) relations ; en marge de la page 202, « Trop lourd ».

202–220

Les relations linéaires entre les \(\Sigma_a\) (pages 202, 208 à 220)

Puisque \(\Sigma_a = \mathbb{T}_f + \mathbb{T}_{f'}\), les douze \(\Sigma_a\) sont les sommes, le long des douze arêtes du graphe d'adjacence des faces (un octaèdre), de six quantités portées par les faces ; elles vérifient donc six relations linéaires indépendantes⁶⁵ . La page 202 en écrit douze (deux groupes de six), observe que chacune des six dernières résulte des cinq autres, et note qu'il existe \(\sigma\) avec \(\sigma_a + \sigma_b + \sigma_c = \sigma\) pour tout « demi-hexagone » de trois arêtes deux à deux non coplanaires. Les pages 208 à 216 paramètrent les solutions : différences égales le long des faces (\(\gamma' - c = a' - \beta' = \ldots = \delta'\)), trois paramètres \(\delta, \delta', \delta''\) avec \[ \delta' + \delta'' = a' - a,\quad \delta'' + \delta = b' - b,\quad \delta + \delta' = c' - c, \] et les douze valeurs exprimées comme demi-sommes de \(a \pm a'\), \(b \pm b'\), \(c \pm c'\) (page 216). Les sommes \(\varphi\) sur les arêtes des faces donnent une application linéaire de \((a, b, c, a', b', c')\), dont la page 218 calcule le déterminant pour conclure qu'il est non nul et premier à \(3\). Ce déterminant vaut⁶⁶ \[ \det\begin{pmatrix} M & I_3 \\ I_3 & M\end{pmatrix} = \det(M^2 - I_3) = 2^9 = 512, \qquad M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1\end{pmatrix}. \] La page 220 pose \(\lambda = a + a'\), \(\mu = b + b'\), \(\nu = c + c'\), un paramètre par direction d'arêtes, et s'arrête.

221–221

XIV. Le feuillet « L 19 » (page 221)

Le dernier feuillet n'est pas de mathématiques : c'est une page dactylographiée de sa main, paginée « L 19 », corrigée à l'encre bleue, écrite autour de Récoltes et Semailles et de « l'écriture des Quatre Opérations ». Il y constate, depuis son départ de la scène mathématique, une « stupéfiante dégradation » de l'esprit du milieu, dont il se demande si son départ n'a pas été le catalyseur, et qu'il dit n'avoir pas su percevoir (« à la seule exception peut-être de Claude Chevalley ») ; il en isole un aspect : le mépris de « ce qui ne s'apparente pas au pur travail du marteau sur l'enclume » : l'inspiration, le rêve, la vision, et l'idée même tant qu'elle n'est pas un énoncé publié, « répertoriable ». Il reprend à Siegel le mot d'« aplatissement » de la pensée mathématique, privée de son « versant d'ombre », du « versant féminin », et craint une « époque de dessèchement ». La page commence et finit au milieu d'une phrase ; les renvois aux notes (*) à (****) visent des notes absentes du dossier.