Fonds Grothendieck, cote n° 82, pages 41–60

la page commence au milieu d'une démonstration, commencée sur la page précédente (batch 2). mais il est facile de le vérifier, en choisissant un générateur de \mu, et en introduisant les valeurs propres \zeta, \zeta^{-1} de u \lbrace \zeta^{p} = 1 racines de p \geq 2, primitives insertion interlinéaire au-dessus de la ligne, en partie soulignée ; lecture très incertaine. donc \zeta \neq \zeta^{-1} car p impair p \neq \pm 1\rbrace puisque fid. de \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) le commutant de u est formé des (\lambda, \lambda^{-1}), le normalisateur est formé des matrices qui sont ou de cette forme diagonale, ou le produit d'une telle par une symétrie … D'où N/H \simeq \lbrace \pm 1 \rbrace_{S} \subset (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_{S} . après (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times} un petit signe raturé.

Si p = \operatorname{car} k, alors u est de la forme u = \mathrm{id}_V + v avec v^2 = 0, \quad v \neq 0 , et le commutant est formé des matrices unipotentes de la forme \alpha\,\mathrm{id} + \beta v ~~il faut et \alpha^2 = 1 donc~~ la condition unipotente signifie \alpha^2 = 1 (condition \alpha = \pm 1, puisque p \neq 2 !) « \alpha = \pm 1 » est inséré au-dessus de la ligne ; le signe entre \alpha et \pm 1 peut être aussi \neq. et on a encore la lissité, la connexité de U, etc. ~~fait que~~

b) Cas général (il s'agit de prouver que N est lisse et N^{\circ} commutatif) – Comme ~~N/N^{\circ} est un groupe étale~~ l'image inverse par N \to \underline{\mathrm{Aut}}(\mu) = (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S de la section unité est un sous-groupe ouvert de N qui coïncide avec N^{\circ} en chaque fibre, N égal : N^{\circ} ; de plus N/N^{\circ} \subset (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S la page s'arrête ici ; la suite n'est pas à la page 42, qui commence un nouvel énoncé.

Soit G une forme de \mathrm{GP}(1), p un nb premier, impair, et \mu un sous-groupe fini étale de G de rang p. Je dis que

a)Le centralisateur H de \mu est lisse (de dim relative 1 commutatif), à fibres connexes hors car. rés. \neq p. « H » et « commutatif » sont insérés au-dessus de la ligne ; « à fibres connexes … \neq p » est écrit en interligne sous la ligne. b)Soit N le normalisateur de \mu. Alors H = N^{\circ} ; N/H \simeq \lbrace \pm 1\rbrace_S et opère sur H par h \mapsto h^{-1}) ~~donc N/H \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(\mu) \simeq (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S = \mathbf{F}^{\times}_{p\,S}~~ la ligne « N/H \simeq \lbrace\pm1\rbrace_S et opère sur H par … h \mapsto h^{-1}) » est écrite en interligne au-dessus de la ligne biffée.

c) Il existe une section unique \sigma de N/H dont l'image dans \Gamma(S, (\mathbf{F}_p^{\times})_S) est la section constante de valeur -1. Son image par N/H \hookrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(H) est également la symétrie h \mapsto h^{-1}. tout ce paragraphe est encadré et barré de grands traits en diagonale ; devant « Il existe » un début raturé ; dans « l'image dans … » les mots \underline{\mathrm{Aut}} et \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} sont biffés au profit de \Gamma(S, (\mathbf{F}_p^{\times})_S).

Dém. OPS G = \overbrace{\mathrm{SL}(\underline{V})}^{\widetilde{G}}/\mu_2, \underline{V} fibré vectoriel. Comme p impair, on ~~peut~~ remonter \mu en \widetilde{\mu} \simeq \mu dans \widetilde{G}, de façon unique. Soit \widetilde{H} son centralisateur dans \widetilde{G}, il suffit de voir que H = \widetilde{H}/\mu_2 est son centralisateur dans G. On a prouvé que H est lisse commutatif de dim relative 1.

a) S = \operatorname{Spec} k, k corps alg. clos. Si p premier à la car, le résultat de lissité est connu pour tt sous-groupe de type mult. dans un groupe lisse,

Tout sous-groupe lisse rel. commutatif ~~de rang~~ de dim rel. 1 dans G est-il de la forme C(\mathfrak{h}) – i.e. est-il déterminé par Lie H ? Oui s'il est commutatif et si les car. résiduelles sont \neq 2, car il est contenu alors dans C(\mathfrak{h}) qui a les mêmes fibres, donc lui est égal. Mais on se demande si la condition de commutativité est automatiquement satisfaite ? « rel. commutatif » et « s'il est commutatif et » sont des insertions interlinéaires ; « de rang » est barré d'un trait ondulé.

Question infinitésimale . On sait que c'est le cas sur un corps – tt groupe lisse connexe de dim 1 est commutatif – donc la question est une question de déformations de sous-groupes, liée à un H^2 de Hochschild.

Considérons le normalisateur de H – qui est aussi celui de \mathfrak{h}, puisque la corr. entre H et \mathfrak{h} est 1-1. J'ai envie de prouver qu'il est (dans le cas car. rés. \neq 2) lisse de dim relative 1 – mais c'est faux sur un corps, quand H est unipotent, le normalisateur devient un Borel ! C'est ici qu'il faut finalement

une structure décrite par rigidifiée … le reste de la page est blanc ; la phrase commencée en bas de la page 43 s'arrête ici.

À l'Algèbre de quaternions \mathcal{M}, on associe

forme G de \mathrm{GP}(1)_S ; – \widetilde{G} – \mathrm{SL}(2)_S ; – \mathfrak{g} de \mathfrak{gp}(1)_S ; – \widetilde{\mathfrak{g}} – \ill{}(1)_S ; (E, q, \omega) (E = \widetilde{\mathfrak{g}}) module spécial quadratique de rg 2 ; P \supset X quadrique dans plan projectif (P = \check{\mathbb{P}}(E), X = \mathrm{Var}(q)) ; X fibré en droites projectives.

la liste est tenue par une grande accolade ; les tirets répètent « forme … de ». Les deux premières lignes (G, \widetilde{G}) et les deux suivantes (\mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}) sont regroupées par de petites accolades, avec une flèche verticale entre les deux groupes. Le modèle de \widetilde{\mathfrak{g}} est surchargé et illisible ; on attend \mathfrak{sl}(2)_S (cf. page 59). « rg 2 » est la lecture de l'encre, alors que E = \widetilde{\mathfrak{g}} est de rang 3.

On trouve que \mathcal{M} \mapsto G, \quad \mathcal{M} \mapsto \widetilde{G}, \quad \mathcal{M} \mapsto (E, q, \omega), \quad \mathcal{M} \mapsto (P \supset X), \quad \mathcal{M} \mapsto X sont des équivalences de catégories fibrées, et que \mathcal{M} \mapsto \mathfrak{g}, \mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}} sont des équiv. de cat. fibrées au-dessus de \operatorname{Spec} \mathbf{Z}(\tfrac{1}{2}).

Considérons maintenant le cas où un fibré vect. de rang 2 V, et (1) \qquad \mathcal{M} = \check{V} \otimes V \simeq \underline{\mathrm{End}}(V) On va d'abord définir un iso can. (2) \qquad X \overset{\varphi}{\simeq} \mathbb{P}(V) \;\bigl(\simeq \mathbb{P}(\check{V})\bigr) « orth. » est écrit au-dessus du second \simeq, et relié par un trait à l'encadré de la ligne suivante. Pour cela, si L \subset V est un sous-fibré vectoriel inv. de V, L' \subset V' son orthogonal (L' = L^{\perp}), on lui associe (3) \qquad \varphi(L) = L' \otimes L = L^{\perp} \otimes L \subset \check{V} \otimes V = \mathcal{M} et on trouve bien un iso …

Soit (4) \qquad Q = \mathrm{Var}(\Delta) \subset \check{\mathbb{P}}(\mathcal{M}) où \Delta est la forme quadratique (5) \qquad \Delta(u) = -\det u sur \mathcal{M} – qui est non dégénérée. On va définir un isomorphisme canonique (6) \qquad Q \xrightarrow[\sim]{\ \psi\ } \mathbb{P}(V) \times \mathbb{P}(V) \quad (\simeq X \times X) avant \mathbb{P}(V) \times \mathbb{P}(V), un premier « X \times X » est biffé.

En effet, Q correspond aux ~~u \in \Gamma(\mathcal{M})~~ u : V \to V (non nuls sur chaque fibre) tels que u soit strictement de rang 1 i.e. se factorise canoniquement en V \twoheadrightarrow I \hookrightarrow V les deux flèches portent « épi » et « mono ». avec I inversible, et il est connu multipl.. Se donner u équivaut à se donner le quotient I de V, ou encore le noyau de u ; et l'image I de V i.e. \mathrm{Im}\, u. Comme ceux-ci peuvent être pris indépendamment. D'où (6), qui est induit par (7) \qquad u \longmapsto (\underbrace{\mathrm{Ker}\, u}_{L}, \underbrace{\mathrm{Im}\, u}_{M}) u non nul sur ch. fibre, \Delta(u) = 0 écrit sous le u de (7). La mise en mots de l'avant-dernière phrase (« Se donner … Im u ») est très incertaine ; les formules sont sûres. NB L'iso inverse encore plus simplement (L, M) \mapsto L^{\perp} \otimes M \subset \check{V} \otimes V note écrite en diagonale à droite de (7).

Soient \underset{L^{\perp} \otimes L}{\underline{L}}, \ \underset{M^{\perp} \otimes M}{\underline{M}} \subset \mathcal{M} = \underline{\mathrm{End}}(V) correspondant à L, M, ~~ils sont caractérisés~~ par la condition de correspondre à des sections de X, i.e. (8) \qquad \begin{cases} \underline{L} \subset \bar{\mathfrak{g}}, \ q \mid \underline{L} = 0 \\ \underline{M} \subset \mathfrak{g}, \ q \mid \underline{M} = 0 \end{cases} i.e. \mathrm{Tr}, \det \mid \underline{L} = 0, resp. \mathrm{Tr}, \det \mid \underline{M} = 0 les deux « i.e. » sont écrits à droite de chacune des deux lignes de (8). au-dessus de \underline{L} et \underline{M}, reliés par des signes d'égalité verticaux, L^{\perp} \otimes L et M^{\perp} \otimes M. Le premier \mathfrak{g} de (8) porte un trait au-dessus, le second non ; c'est vraisemblablement le même objet (\widetilde{\mathfrak{g}}, les endomorphismes de trace nulle), noté de façon hâtive. et que de plus on ait, posant (9) \qquad \begin{cases} J = \underline{O}_S \cdot u \subset \mathcal{M} & (J \in \Gamma(Q/S)) \\ J \circ L = 0 \\ \underline{M} \circ J = 0 \end{cases} un double trait horizontal sépare ce qui suit.

Notons que la condition J \in \Gamma(Q/S) implique que (10) \qquad \mathcal{A} = \underline{O}_S \oplus J \hookrightarrow \mathcal{M} = \underline{\mathrm{End}}(V) « unité » est écrit sous la flèche d'inclusion. est un sous-fibré vectoriel de rang 2, la donnée de J équivaut à la donnée de \mathcal{A}, et d'un homomorphisme d'Algèbres (11) \qquad \mathcal{A} \xrightarrow{\ \rho\ } \underline{O}_S (savoir l'unique hom d'Alg. de noyau J). explicitement note marginale à gauche, en face de (10)–(11), qu'un trait vertical rattache à ces lignes.

Ainsi on a un iso

(12) Q \simeq ens des couples \mathcal{A}, \rho,

\mathcal{A} \subset \mathcal{M} sous-Algèbre spéciale, \rho : \mathcal{A} \to \underline{O}_S hom d'Alg.

Mais il y a dans Q une automorphie involutive canonique, qui correspond à la symétrie des deux facteurs X \times X dans (6). Elle est induite par un anti-automorphisme can. de l'Algèbre \mathcal{M} ~~obtenu (d'ailleurs )~~ ~~en choisissant une base~~ base ou de \det \check{V} = \Lambda^2 \check{V}, d'où un isom (13) \qquad V \xrightarrow[\sim]{\ \alpha\ } \check{V} \quad \bigl(V \to \check{V} \otimes \det V \xrightarrow{\sim} \check{V}\bigr) entre \check{V} et la parenthèse, il écrit « composé de ». ce qui permet de définir (14) \qquad u \longmapsto u' = \alpha^{-1}\, ({}^{t}u)\, \alpha la ligne « obtenu … base » est surchargée de biffures et d'insertions ; seules les formules sont sûres. Mais changer de \alpha revient à multiplier \alpha par une section unité \lambda \in \mathbb{G}_m(S), donc \alpha^{-1} devient \lambda^{-1}\alpha^{-1} et u' ne change pas. Par construction (15) \qquad (uv)' = v' u' En fait, la formule donne (16) \qquad u' = \mathrm{Tr}\, u \cdot 1 - u plus précisément … (17) \qquad \begin{cases} u + u' = (\mathrm{Tr}\, u)\, 1 \\ u u' = (\det u)\, 1 \end{cases} et il est immédiat que u \mapsto u' échange Ker et Im pour les u tels que \Delta(u) = 0, u non nul sur les fibres … « \Delta(u) = 0 » : l'encre donne plutôt \Gamma(u) = 0 ; la forme quadratique de (5) est \Delta.

Quand on voit ce que devient cette involution de \mathcal{M} et Q en termes de (12), on voit que : le couple (\mathcal{A}, \rho) lui associe \mathcal{A} (= \mathcal{A}' !) et \rho' défini par (18) \qquad \rho'(u) = \rho(u') (NB u \mapsto u' est un automorphisme , car \mathcal{A} est commutatif)

Considérons l'hom (19) \qquad Q \longrightarrow \check{\mathbb{P}}(\mathfrak{g}) = \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \quad \bigl(= \Sigma\bigr) la parenthèse porte : « = schéma des s-Algèbres spéciales de \mathcal{M} », avec \Sigma écrit dessous et relié par un signe d'égalité vertical. C'est évidemment un épi, et si \mathcal{A}_{\Sigma} est « la sous-Algèbre spéc. universelle » de \mathcal{M}_{\Sigma} – on trouve donc un iso. can. (20) \qquad Q \simeq \operatorname{Spec}(\mathcal{A}_{\Sigma}) un double trait horizontal sépare ce qui suit.

Ceci étant, \mathcal{A} étant fixée, et \underline{L}, \underline{M} des sous-fibrés inv. de \widetilde{\mathfrak{g}} correspondant à des sections de X (i.e. sur lesquels q s'annule) = L^{\perp} \otimes M, à quelle condition le J \subset \mathcal{M} section de Q qui leur correspond est-elle \subset \mathcal{A} ? (Les couples \underline{L}, \underline{M} en question correspondent donc exactement aux sections de Y = (\ldots). la fin de la phrase est « sections de Y = (pour \mathcal{A} sur S.) » ; l'insertion « = L^{\perp} \otimes M » est écrite au-dessus de J.

~~Je dis qu'il et suffit que \underline{L} \subset \mathcal{A}^{\perp}~~

~~Les conditions équivalentes, pour \mathcal{A}, L, M donnés, \mathcal{A} s-Alg. spéciale de \mathcal{M}, L, M ss-fibrés de rang 1 de V :~~

~~a) \underline{L} \subset \mathcal{A}^{\perp} (i.e. \mathrm{Tr}\, \underline{L} J = 0 si \mathcal{A} = \underline{O}_S \oplus J)~~

~~b) \underline{M} \subset \mathcal{A}^{\perp} (i.e. \mathrm{Tr}\, \underline{M} J = 0 …)~~

~~c) L^{\perp} \otimes M \subset \mathcal{A}~~

~~De plus, pour \mathcal{A} et L \in X(S) satisfaisant L \subset \mathcal{A}^{\perp}, il existe un et un seul M \in X(S) satisfaisant c) [donc~~ tout ce bloc est barré de deux grands traits obliques et d'un trait horizontal en tête ; « satisfaisant \mathrm{Tr}, \det \mid L, M = 0 » y est lui-même biffé. Les étiquettes « a) » « b) » sont surchargées et se lisent mal ; la page s'arrête sur « [donc ».

Proposition. Soient \mathcal{A} une ss-Alg. spéciale, et L un sous-fibré droite de V, \underline{L} = L^{\perp} \otimes L \subset \mathcal{M} le sous-fibré isotrope de \widetilde{\mathfrak{g}} associé. Conditions équivalentes

a)\underline{L} \subset \mathcal{A}^{\perp} b)\mathcal{A} invarie la droite L (NB si \mathcal{A} = \underline{O}_S + J, cela revient à dire que J \cdot L \subset L) c)\exists et unique ss-fibré inv. J de \mathcal{A} tel que J \cdot L = 0 d)\exists\, M \subset V ss fibré vectoriel droite tel que L^{\perp} \otimes M \subset \mathcal{A}

la proposition est marquée d'un trait vertical dans la marge gauche ; « d) » est précédé d'un signe raturé.

De plus, sous ces conditions, le M dans c) est unique, et l'unique hom \mathcal{A} \to \underline{O}_S de noyau L^{\perp} \otimes M est aussi l'hom \mathcal{A} \xrightarrow{u} \underline{O}_S \simeq \underline{\mathrm{End}}(L) déduit de b). Enfin, si J est comme dans c), le noyau est aussi égal à J. Et pour \mathcal{A} fixé, la corr. L \mapsto u est une bijection entre l'ensemble des L satisfaisant a), et l'ensemble des homomorphismes d'Algèbres \mathcal{A} \to \underline{O}_S. les deux dernières lignes de ce paragraphe sont serrées en interligne et se lisent mal ; « … \mathcal{A} \to \underline{O}_S » est suivi de « DES L » et d'une fin illisible soulignée.

Dém. a), c) Ecrivons L^{\perp} au moyen de bases x, x' Si u est un endom de V i.e. section de \mathcal{M}, on a \mathrm{Tr}\, u \, x' \otimes x = \langle ux, x' \rangle la ligne d'entrée « Écrivons … bases x, x' » est lue sous toutes réserves ; l'insertion « si u est un endom de V … » est écrite au-dessus. qui est nulle ssi ux est proportionnel à x i.e. u(L) \subset L, d'où a) \Leftrightarrow b). Évidemment si u : \mathcal{A} \to \underline{O}_S \simeq \underline{\mathrm{End}}(L) est l'hom correspondant, il est clair que son noyau J est un ss-fibré ann. par J \cdot \underline{L} = 0, donc b) \Rightarrow c). Dans pour un tel J, on a (nécessairement) \underline{O}_S \xrightarrow{\sim} \mathcal{A}/J car \mathcal{A}/J \underline{O}_S-Alg. libre de rg 1) donc \mathcal{A} \simeq J + \underline{O}_S et L est stable sous \mathcal{A}, donc b) \Leftrightarrow c) la fin de la page est très cursive ; seules les formules et les implications sont sûres.

De plus, cet argument montre aussi que J est uniquement déterminé comme \mathrm{Ker}\bigl(\mathcal{A} \to \underline{\mathrm{End}}(L)\bigr). De plus, sous les conditions équivalentes a) b) c) ~~c'est dire \det \mid \underline{J} = 0 donc J~~ sont loc. nulles que base de \underline{J}, ~~donc est sur~~ ~~de la forme \underline{L} \otimes~~ de sorte que L = \mathrm{Ker}\, u, soit M = \mathrm{Im}\, u, c'est un ss-fibré vectoriel dans V tel que ~~L^{\perp} \otimes M~~ L^{\perp} \otimes M = \underline{O}_S u = \underline{J} \subset \mathcal{A}, d'où d). Réciproquement, si M est un ss-fibré inv. de V tel que \check{L} \otimes M \subset \mathcal{A}, évidemment \check{L} \otimes M est un ss-fibré inv. de \mathcal{A} annulant L, donc c'est J, ce qui montre à la fois que M est uniquement déterminé comme \mathrm{Im}\, u (u base locale de J).

Remarque : prouvons d) \Rightarrow b), car implique \mathcal{A} = \underline{O}_S + J (si on pose J = L^{\perp} \otimes M) et J étant nul sur \underline{L} à fortiori l'invarie.

cqfd.

Corollaire. Se donner une \mathcal{A} (ss-fibré vectoriel de rg 2 de \mathcal{M} contenant i.e. \underline{O}_S \cdot 1 – alors tel \mathcal{A} est une ss-Alg. commutative !) ou se donner \mathcal{A}^{\perp} = \mathcal{H} \subset \widetilde{\mathfrak{g}}, un sous-fibré vectoriel de rang 2 i.e. corang 1 de \widetilde{\mathfrak{g}}, revient au même (21) \qquad \mathrm{AlgSpec}(\mathcal{M}) \simeq \underbrace{\mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}})}_{P} \ \bigl(\simeq \check{\mathbb{P}}(\mathfrak{g})\bigr) \simeq \lbrace \ldots \rbrace l'accolade finale de (21) contient : « solutions des (fibrés en droites) dans P = \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) = \mathbb{P}(\mathfrak{g}) », lecture incertaine (peut-être « schéma des droites … »). « Corollaire » est surchargé et souligné.

(Il y a ~~application~~ un morphisme) D \longmapsto D \cap X = Y (22) \qquad \check{P} = \mathrm{Dr}(P) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Div}_2^{+}(X) est un iso, qui associe : à \mathcal{H} \subset \widetilde{\mathfrak{g}} le diviseur Y \subset X des ~~droites~~ ss-fibrés inv. de \widetilde{\mathfrak{g}} qui sont dans \mathcal{H}, et satisfont q \mid \underline{L} = 0. ~~C'est donc~~ Comme solution sur S, il s'exprime dans le sous-schéma de \check{\mathbb{P}}(\mathcal{H}) = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{H}) défini par l'annulation de q. On trouve donc, par un iso. can. (23) \qquad Y \simeq \operatorname{Spec} \mathcal{A} la première égalité de la ligne « \check{\mathbb{P}}(\mathcal{H}) = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{H}) » est ainsi sur la page ; l'un des deux \mathbb{P} porte peut-être une autre marque.

Dans l'iso précédent X \simeq \mathbb{P}(V), via L \mapsto \underline{L}, on vient que Y est le sous-schéma de \mathbb{P}(V) formé des L tels que \mathcal{A} L \subset L ou encore (si \mathcal{A} = \underline{O}_S 1 + \underline{O}_S u) tels que u L \subset L, ou encore, si u est inv. i.e. section de \check{\mathbb{V}}(\mathcal{M}^{*}) (24) \qquad Y = X^{u} sous-schéma des invariants sous u. l'accent et l'étoile de \check{\mathbb{V}}(\mathcal{M}^{*}) sont surchargés.

En retournant réciproquement \mathcal{A} pour un diviseur vérifiant Y, on que ~~l'opération~~ l'isomorphisme (23) est fonctoriel, donc compatible avec les automorphismes de u \in \Gamma(\mathcal{M}^{*}) (i.e. ici u : V \to V), on fait opérer u par automorphisme sur \mathcal{M}^{*}, et de G de façon évidente sur X …

On trouve, en notant que \mathcal{A} se déduit de l'action correspondante de G = \check{\mathbb{V}}(\mathcal{M}^{*})/\mathbb{G}_m :

Prop. Pour que g \in G(S) invarie Y, il faut et suffit qu'il invarie \mathcal{A} i.e. que \operatorname{int}(u)\, \mathcal{A} \ \bigl(\overset{\mathrm{def}}{=} u \mathcal{A} u^{-1}\bigr) = \mathcal{A} la proposition est marquée d'un trait vertical dans la marge.

Quand il en est ainsi, l'opération de g sur Y s'identifie via (23) à l'op. de g () sur \operatorname{Spec}(\mathcal{A}) – donc elle est triviale ssi g opère trivialement sur \mathcal{A} i.e. ssi u \in \Gamma(S, \mathcal{A}).

Bien entendu, ceci caractérise \mathcal{A} comme engendré comme sous-fibré vectoriel par les sections locales de \mathcal{A}^{*} …).

À \mathcal{A}, associons le ss-groupe (25) \qquad \mathcal{T} = \check{\mathbb{V}}(\mathcal{A})^{*}/\mathbb{G}_m \subset G la lettre de (25) est une majuscule ronde, lue \mathcal{T} ; le quotient \check{\mathbb{V}}(\mathcal{A})^{*}/\mathbb{G}_m est écrit sous elle, relié par un signe d'égalité vertical. c'est un sous-groupe commutatif lisse connexe de dimension relative 1. Bien entendu, la correspondance \mathcal{A} \mapsto \mathcal{T} est injective, \mathcal{A} étant engendré par les sections de \check{\mathbb{V}}(\mathcal{A})^{*}, qui est l'image inverse de \mathcal{T} par l'hom can si 2 est inv. sur S \check{\mathbb{V}}(\mathcal{M})^{*} \to G. D'autre part, ~~donc~~ \mathcal{T} s'y voit les propriétés communes (sauf la connexité …) ~~– Signalons les ss-groupes jacobiens de G provenant de tels \mathcal{A}~~ – i.e. des ss-fibrés inv. … la fin de la page, avec la boucle qui déplace « donc » et l'encadré « (sauf la connexité…) », est surchargée ; la lecture de ces dernières lignes est incertaine.

… sont de la forme \check{\mathbb{V}}(\mathcal{A}^{*})/\mathbb{G}_m – i.e. sont des sous-groupes « jacobiens ». cette ligne, qui achève la dernière phrase de la page 54, est écrite serrée en haut du feuillet. ~~de \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}\, G +~~ ~~Soit~~ , considérons \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}\, \mathcal{T}, qui est un tel ss-fibré, (\mathcal{T} lisse de dim. rel. 1) considérons le sous-groupe \widetilde{\mathcal{T}} ~~qu'il définit~~ jacobien qu'il définit, qui est donc aussi le centralisateur de \mathfrak{h} dans G. Comme \mathcal{T} est commutatif il centralise \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}\, \mathcal{T}, donc \mathcal{T} \subset \widetilde{\mathcal{T}}, d'où égalité puisque \widetilde{\mathcal{T}} est connexe et \mathcal{T}, \widetilde{\mathcal{T}} sont lisses de dimension rel. 1 … ~~il faut~~ cor. p. 52 note marginale à gauche, écrite en oblique et soulignée de deux traits ; en face d'un trait vertical qui tient la phrase « donc aussi le centralisateur … » ; « il faut » y est biffé, et le renvoi final (lu « p. 52 ») est incertain. Le reste de la page est blanc.

Dictionnaire lié à \mathrm{GP}(1) \simeq \mathrm{SO}(3)

inscrit en haut à droite du feuillet de garde rose (page 56), qui ne porte rien d'autre ; ces mots sont de sa main et deviennent l'intitulé de la suite.

S schéma. On va définir des équivalences entre les neuf catégories suivantes attachées à S – et pour S variable, on aura des équivalences mutuelles de catégories fibrées sur \mathrm{Sch}_{/S} (en fait, des gerbes fppf sur \mathrm{Sch}_{/S}), formant un « système transitif d'équivalences à isom. compris » :

C_{0_S} = \mathrm{Tors}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) catégorie des torseurs à droite sous \mathrm{GP}(1)_S

C_{1_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GP}(1)_S\bigr) catégorie des « formes » G (fppf … f(ét)) du GP(1), schéma en groupes \mathrm{GP}(1)

C'_{1_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{SL}(2)_S\bigr) catégorie des formes \widetilde{G} de \mathrm{SL}(2)_S

~~C''_{1_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathrm{GL}(2)_S\bigr) catégorie des formes~~

C_{2_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{gp}(1)_S\bigr) (*) catégorie des formes \mathfrak{g} de l'Algèbre de Lie \mathfrak{gp}(1)_S de \mathrm{GP}(1)_S

C'_{2_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{sl}(2)_S\bigr) (*) ~~catégorie des formes~~ … \widetilde{\mathfrak{g}} de \mathfrak{sl}(2)_S \simeq \mathrm{Lie}\, \mathrm{SL}(2)_S

~~C''_{2_S} = \mathrm{Fo}\bigl(\mathfrak{gl}(2)_S\bigr) (**) catégorie des formes … \mathfrak{gl}(2)_S …~~

C_{3_S} = \mathrm{Quat}(\underline{O}_S) catégorie des Algèbres d'Azumaya \mathcal{M} de rang 4 sur S (ou Algèbres de Quaternions)

C_{5_S} = \mathrm{Drpr}(S) catégorie des fibrés en droites projectives X sur S

C'_{5_S} = \mathrm{Quad}(S) catégorie des couples (P, X) d'un fibré en plans projectifs sur S et d'une quadrique lisse X \subset P

C_{4_S} = \mathrm{Modspquad}(S) catégorie des « Modules spéciaux quadratiques de rang 3 sur S » (E, q, \omega), E fibré vect. de rg 3, \omega … la liste est disposée en deux colonnes (le symbole, sa description) ; des accolades regroupent C_1, C'_1, C''_1, puis C_2, C'_2, C''_2, puis C_5, C'_5, et une flèche courbe relie C_4 à C_3. Les lignes C''_1 et C''_2 sont biffées ; les astérisques (*) et (**) sont dans la marge gauche. Le nom de C_3 surcharge un premier mot illisible ; celui de C_4 surcharge un premier nom (peut-être « \mathrm{Spect}(S)^3 »). Le dernier alinéa se poursuit à la page 58.

Ici le signe (*), en marge indique que l'équivalence des 3 catégories en question avec les 6 autres n'est valable que si S est premier à 2 – en général on a seulement des foncteurs qui vont de chacune des six autres catégories vers chacune des trois marquées du signe (*), mais ce ne sont pas des foncteurs pl. fidèles … le nombre des « autres » catégories est mal formé ; il peut aussi se lire 8.

Un dictionnaire complet devrait comprendre, avec la description explicite des 9 \times 8 = 72 équivalences de catégories sus- compter les 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 isomorphismes de transitivité (qui seraient être vérifiés …) On fera un peu moins, mais on essaiera de donner une image claire de la situation. « = 72 » est inscrit au-dessus de 9 \times 8 ; « 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 » remplace un premier nombre biffé.

Principe général. On va définir des représentants typiques dans chaque catégorie dans le cas où S = S_0 = \operatorname{Spec} \mathbf{Z}, et on définira une opération de G_0 = \mathrm{GP}(1) sur chacun. On établira que ceci établit une isom. \mathrm{GP}(1) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0) de \mathrm{GP}(1) avec le schéma des automorphismes de chacun des objets \mathfrak{X} envisagés – la lettre gothique de \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0) est lue \mathfrak{X} ; l'indice de G_0 est surchargé d'une tache.

bornant cependant à S'_0 = S - \lbrace 2 \rbrace dans les trois cas (*) où l'opération sur S_0 est fidèle, mais l'hom. de groupes associé n'est pas épi. Comme les 11 catégories fibrées envisagées sont des gerbes (fppf disons, ou (ét)), il s'ensuit que chacune d'elles est can. équiv. à la cat. des torseurs à droite sous le \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0) correspondant, donc aussi à la cat. des torseurs à dr. sous G_0 (… à la précision de sel … *). Ceci établira l'existence d'un multi-dictionnaire, mais on ne dispensera pas de le développer en détail. « 11 » est net sur la page, alors que la liste de la page 57, une fois biffées les lignes C''_1 et C''_2, en compte neuf ; la fin de la parenthèse « (… *) » est illisible.

I Représentants typiques des onze cat. fibrées.

1) C_{0_{S_0}} : le torseur trivial P_0 = (G_{S_0})_d sous \mathrm{GP}(1)_{S_0} = G_{S_0}

2) C_{1_{S_0}} : la forme triviale G_0 = G_{S_0} \overset{\mathrm{GP}(1)}{=} G_{S_0}

C'_{1_{S_0}} … \widetilde{G}_0 = \mathrm{SL}(2)_0 de \mathrm{SL}(2)

~~C''_{1_{S_0}} … = \mathrm{GL}(2)_0 de \mathrm{GL}(2)~~

3) C_{2_{S_0}} … \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{gp}(1) de \mathfrak{gp}(1)

C'_{2_{S_0}} … \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}(2) de \mathfrak{sl}(2)

~~C''_{2_{S_0}} … \mathfrak{g}''_0 = \mathfrak{gl}(2) de \mathfrak{gl}(2)~~

4) C_{3_{S_0}} : l'Algèbre d'Azumaya triviale \mathcal{M}_0 = \mathrm{M}_2(\underline{O}_{S_0})

~~5) C_{4_{S_0}} : X_0 = \mathbb{P}^1_{S_0} = \mathbb{P}^1(\underline{O}^2_{S_0}) = \check{\mathbb{P}}(\underline{O}^2_{S_0})~~ les lignes C''_1, C''_2 et le 5) sont biffés (le 5) de hachures obliques) ; sous le 5) biffé, un second indice « C_{4_{S_0}} ». Les numéros 3) et 5) surchargent d'autres chiffres. Le torseur trivial porte la lettre P_0, lue sous un \mathbb{R} ou P surchargé ; l'indice « d » est « à droite ».

5) C_{4_{S_0}} : E_0 = \underline{O}^3_{S_0}, q_0(x, y, z) = xy + z^2, \omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 où (e_1, e_2, e_3) est la base canonique ( (x, y, z) pour x e_1 + y e_2 + z e_3)

6) C_{5_{S_0}} : X_0 = \mathbb{P}^1_{S_0} = \mathbb{P}(\underline{O}^2_{S_0}) = \check{\mathbb{P}}(\underline{O}^2_{S_0})

C'_{5_{S_0}} : P_0 = \mathbb{P}^2_{S_0} = \check{\mathbb{P}}(E_0), C_0 = \mathbb{V}(q_0) (quadrique définie par la forme q. de 5°). \mathbb{V}(q_0) : la lettre est la même que dans « \mathrm{Var}(q) » de la page 46, notée ici par un \mathbb{V} ajouré.

II Opérations de G_0

1) Translations : gauche …

~~2) G_0 opère sur \mathfrak{g}_0 = \underline{\mathrm{Lie}}(G_0) par repr. adjointe les op. de \widetilde{G}_0 et \mathcal{L}_0 sur leurs Algèbres de Lie respectives~~ ces deux lignes sont barrées et en partie encadrées ; le numéro, d'abord 3), est surchargé en 2).

2) G_0 opère sur lui-même par automorphismes intérieurs ; les op. de \widetilde{G}_0 sur lui-même se factorisent par le quotient \widetilde{G}_0/\mathfrak{z}_0 du ~~en général~~ par le centre, \mathfrak{z}_0 … les iso can (1) \qquad \widetilde{G}_0/\mathfrak{z}_0 = \mathrm{SL}(2)/\mu_2 \simeq \mathrm{GP}(1) = G_0 ~~\mathrm{GL}(2)/\mathbb{G}_m \simeq \mathrm{GP}(1) = G_0~~ d'où opérations de G_0 sur \widetilde{G}_0 . le centre est noté par un \mathfrak{z} en forme de 3 (cf. hand.md, § 4) ; l'ordre des mots de la ligne qui le précède est incertain.

3) Les op. de G_0 sur G_0 et \widetilde{G}_0 définissent des op. sur \mathfrak{g}_0 = \underline{\mathrm{Lie}}(G_0) et \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathrm{Lie}(\widetilde{G}_0).

4) L'opération régulière de \check{\mathbb{V}}(\mathrm{M}_0)^{*} \simeq \mathrm{GL}(2) sur \mathrm{M}_0 est triviale sur le centre \simeq \mathbb{G}_m \subset \mathrm{GL}(2), donc passe au quotient, en une opération de (2) \mathrm{GL}(2)/\mathbb{G}_m \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathrm{GP}(1) sur \mathrm{M}_0. « sur » est inscrit sous le \simeq de la ligne 4) ; « triviale » remplace un mot biffé. La page s'arrête ici.