Fonds Grothendieck, cote n° 82, pages 21–40

la page poursuit l'exemple de la page 20 (batch 1) : E \simeq \mathfrak{sl}(2), E' \simeq \mathfrak{gp}(1), f, f', \rho_E ; elle appartient au cahier annoncé par la couverture de la page 1. Remarque. Si 2 inv. sur S, alors f est un isomorphisme d'algèbres de Lie, f permettant d'identifier E et E' (c'est aussi l'identification habituelle d'une quadratique et de son dual), et \rho_E est identifié à \rho_{E'} ou à \tilde{\rho}_E ou \tilde{\rho}_{E'} … ; f' (qui s'identifie à 2\,\mathrm{id}_E) n'a donc guère d'intérêt ! (Ces constatations s'appliquent plus généralement chaque fois que \Delta est inv.) avant « permettant », un symbole surchargé, lu f avec doute (on peut y voir \rho_E ou \varphi).

Si par contre 2 est nul sur S, alors f a comme noyau \mathcal{O}_S\cdot\tilde{H}, qui est donc le centre de E = \mathfrak{sl}(2). Quant à f', il a comme noyau \mathcal{O}_S X \oplus \mathcal{O}_S Y, qui est alors aussi l'Algèbre dérivée de E' = \mathfrak{gp}(1), qui est aussi l'image de f, alors que l'image de f' est le noyau \mathcal{O}_S\tilde{H} de f. [Par contre le centre de \mathfrak{gp}(1) est nul – c'est vrai sur toute base S, comme on vérifie facilement – tandis que le groupe dérivé de \mathfrak{sl}(2) est égal au centre \mathcal{O}_S\tilde{H}] Ici l'existence de f' (cf. plus bas un contexte général) pour avoir un intérêt… Il faudrait par la suite expliciter la structure des formes de \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathfrak{sl}(2) et \mathfrak{g} = \mathfrak{gp}(1) en car. 2, et la conclusion qu'elles sont trop triviales pour « qui » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « groupe dérivé » est la lecture de l'encre, là où l'on attend l'algèbre dérivée. La dernière ligne, serrée contre le bas de la feuille, se lit mal.

NB Également, sa connaissance permet les de qui multiple complexe note écrite en oblique dans la marge gauche, en face des lignes sur f' ; presque entièrement illisible.

un intérêt (contrairement aux formes de \mathrm{SL}(2)_S ou \mathrm{GP}(1)_S, qui sont équivalentes et équivalent aux formes de \mathbb{P}^1_S …).

Revenant au cas général, il peut être intéressant de calculer les formes ~~quadratiques~~ de Casimir de \mathfrak{g} = E' et \widetilde{\mathfrak{g}} = E, définies par

~~(73) \mathrm{Cas}_{E}(x, y) = \rho_{E'}, \mathrm{Tr}\,\rho_E~~ ~~(73)~~ \begin{cases} \mathrm{Cas}_{E'}(x') = \mathrm{Tr}\, \rho_{E'}(x')^2 \\ \mathrm{Cas}_{E}(x) = \mathrm{Tr}\, \tilde{\rho}_{E}(x)^2 \end{cases} (les formes bil. associées sont respectivement 2\,\mathrm{Tr}\, \rho_{E'}(x')\rho_{E'}(y') et 2\,\mathrm{Tr}\, \tilde{\rho}_E(x)\tilde{\rho}_E(y)). Le calcul donne : ~~(74)~~ \mathrm{Cas}_{E'}(x') = \Delta\, \varphi(x, x) d'où, en remplaçant (E, \omega, \varphi) par (E', \omega', \varphi') ~~(75)~~ \mathrm{Cas}_{E}(x) = \ldots tout ce qui précède, depuis la première ligne (73), est annulé par quatre grands traits obliques et par un trait qui contourne le bloc ; une première ligne (73) est en outre biffée à part, et la ligne (75) s'arrête sur le signe égal. Dans la première (73), l'indice de \mathrm{Cas} est surchargé (E sur E'). Au-dessus de \varphi dans (74) un mot est noirci. (73) \qquad \begin{cases} \mathrm{Cas}_{E'}(x', y') = \mathrm{Tr}\bigl(\rho_{E'}(x') \circ \rho_{E'}(y')\bigr) \\ \mathrm{Cas}_{E}(x, y) = \mathrm{Tr}\bigl(\tilde{\rho}_{E}(x) \circ \tilde{\rho}_{E}(y)\bigr) \end{cases} On trouve alors (74) \qquad \begin{cases} \mathrm{Cas}_{E'}(x', y') = 2\varphi'(x', y') \\ \mathrm{Cas}_{E}(x, y) = -2\Delta\, \varphi(x, y) \end{cases} le chiffre des unités du numéro (74) est surchargé ; le signe - de la seconde ligne est écrit par-dessus un premier signe. Pour le voir, on note d'abord que les formules , et la propriété d'homogénéité qu'il faut, quand on multiplie \omega par \lambda, \varphi par \mu : les les deux dernières lignes, en bas de page, se lisent mal ; un mot illisible est inséré au-dessus de « formules ».

deux membres de la 1^{\mathrm{re}} sont multipliés tous par (\mu\lambda)^2 = \mu^2\lambda^2, et les deux membres de la seconde par (\mu^2\lambda)^2 = \mu^4\lambda^2. On vérifie ensuite les formules dans le cas particulier (21). On peut se simplifier le travail en notant que pour l'une et l'autre formule, les deux membres sont des formes invariantes sous l'action des groupes spéciaux orthogonaux \underline{\mathrm{O}}(q, \omega) (sur \operatorname{Spec} \mathbf{Z} si on veut) or il n'y a (à un facteur près, – cela suffit – qu'une seule forme invariante sym., à scalaire près, ce qui montre la proportionnalité. Pour avoir le coefficient correctif, il suffit de calculer la valeur des 2 membres pour un couple d'arguments pour lesquels ils soient non nuls, p.ex. x' = y' = H, x = y = \tilde{H}. On trouve \begin{aligned} &\mathrm{Cas}_{E'}(H, H) = 1 + 1 + 0 = 2 \\ &\varphi'(H, H) = 1 \\ &\mathrm{Cas}_{E}(\tilde{H}, \tilde{H}) = \mathrm{Cas}_{E'}(2H, 2H) = 4\, \mathrm{Cas}_{E'}(H, H) = 8 \\ &\qquad (\ldots = 4 + 4 + 0) \\ &\varphi(\tilde{H}, \tilde{H}) = 2 \\ &\qquad \Delta = -2 \end{aligned} la ligne « (sur Spec \mathbf{Z} … qu'une seule forme invariante sym., à scalaire près » se lit mal entre les formules ; la parenthèse ouverte avant « à un facteur près » n'est pas refermée. Devant « = 4 + 4 + 0 », deux mots lus avec doute « ou encore ». On note qu'en vertu du bref principe de conservation des identités polynômiales, il suffit de prouver (74) sur un corps de car. 0 alg. clos, ~~avec f un iso i.e. \varphi …~~

à une forme quadratique non dég. – quitte (grâce aux Cas), pour une base convenable, multiplier par \lambda la forme xy + z^2 (quitte à multiplier \omega par un scalaire convenable inversible) on peut supposer que \omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3, ce qui nous ramène au cas déjà traité. les quatre premières lignes sont rapides et se lisent mal ; seules les formules sont sûres.

Lorsque \varphi est associé à une forme quadratique q, on tire de la deuxième formule (74), compte tenu de \varphi(x, x) = 2q(x) : (75) \qquad \mathrm{Cas}_E(x, x) = -2\Delta\, \varphi(x, x) = -4\Delta\, q(x) ce qui, dans le cas d'une forme q spéciale orthogonale (q, \omega), où \Delta = -2, donne (76) \qquad \mathrm{Cas}_E(x, x) = 8q(x) Donc dans ce cas, si 2 est inv. (ou plus généralement non div. de 0) q(x) se déduit de la structure d'Algèbre de Lie sur E, comme l'opér. de Casimir divisé par 8…

On trouve de même, par la première formule (77) \qquad \mathrm{Cas}_{E'}(x', x') = 2\varphi'(x', x') = 2q'(x') i.e. on retrouve la forme quadratique q'(x') (ou la forme bil. \varphi' dont elle provient) à l'aide de la structure d'Algèbre de Lie de E' = \mathfrak{g}. le numéro (77) est écrit au-dessus d'un numéro noirci ; dans la dernière ligne, E' est surchargé.

Remarques (devrait venir avec discussion après formule (42)). Le crochet [\ ,\ ]_{\varphi} = [\ ,\ ]_{\varphi, \omega} sur E' est multiplié par \lambda\mu si \omega est multiplié par \lambda, \varphi par \mu ; « = [\ ,\ ]_{\varphi, \omega} » est inséré au-dessus de la ligne, devant « sur E' ». (78) \qquad \begin{cases} [\ ,\ ]_{\lambda\omega, \mu\varphi} = \lambda\mu\, [\ ,\ ]_{\omega, \varphi} \\ [\ ,\ ]_{\lambda\omega, (\mu\varphi)'} = \lambda\mu^2\, [\ ,\ ]_{\omega, \varphi'} \end{cases} On en conclut que (79) \qquad [\ ,\ ]_{\omega, \varphi} = [\ ,\ ]_{\omega_1, \varphi_1} \iff \exists \lambda \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{*}),\ \omega_1 = \lambda\omega,\ \varphi_1 = \lambda^{-1}\varphi la condition à droite de (79) est écrite dans un encadré ouvert ; le \Gamma(\ldots) au-dessus porte un symbole mal formé, lu \mathcal{O}_S^{*} par le sens. ~~D'autre part~~ (compte tenu de ce que pour \omega fixé, la corr. entre \varphi et [\ ,\ ]_{\varphi} est biunivoque). D'autre part et pour \omega fixé, si \det(f) = \delta(\varphi) inversible i.e. f iso, alors f \mapsto f' = \alpha'_{\omega} \circ \Lambda^2 f \circ \alpha_{\omega}^{-1} est ~~bijectif~~ presque injectif, plus précisément si f, g : E \to E', on a (80) \qquad f' = g' \iff g = \varepsilon f , \quad \varepsilon \in \Gamma(S, \mu_2) \ \text{i.e.}\ \varepsilon^2 = 1 la ligne « D'autre part et pour \omega fixé » est une insertion interlinéaire ; au-dessus de « bijectif » biffé, un mot lu avec doute « presque ». [car f' = g' \Rightarrow \Delta(f) = \Delta(g) i.e. \Delta(f)^2 = \Delta(g)^2 i.e. \Delta(g) = \varepsilon\Delta(f), d'où compte tenu de f = \Delta(f)^{-1}(f')', g = \Delta(g)^{-1}(g')' … g = \varepsilon f ] On en déduit aisément que (81) \qquad [\ ,\ ]_{\omega_1, (\varphi_1)'} = [\ ,\ ]_{\omega, (\varphi)'} \iff \omega_1 = \lambda\omega ,\ \varphi_1 = \mu\varphi avec \lambda\mu^2 = 1 i.e. \mu une racine carrée de \lambda^{-1} (NB \lambda et \mu uniquement déterminés).

En car. 2, la catégorie des formes de \mathfrak{sl}(2) est équivalente à celle des couples (V, E) où V est un Module vectoriel de rang 2 et E une extension de V par \det V (NB pour V fixé, la donnée d'une telle extension équivaut à celle d'une extension de \det V^{-1} par \check{V} ou de \mathcal{O}_S par (\det V) \otimes \check{V} \simeq V, i.e. à la cat. des fibrés affines sur V…). La catégorie des formes de \mathfrak{gp}(1) équivaut à celle des couples (V', E') d'un Module vectoriel de rang 2, et d'une extension E' de \mathcal{O}_S par V' ; [pour V' fixé, la cat. équivaut à celle des fibrés affines sur V'). au-dessus de V' dans « couples (V', E') », un \check{V}' est écrit en interligne, qui peut corriger V'.

Disons que deux telles algèbres de Lie E, E' sont « couplées » si on a un accouplement dualisant entre E, E', dans lequel le sous-module \det V de E est l'orthogonal du sous-module V' de E'

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & \det V \arrow[r] & E \arrow[r] & V \arrow[r] & 0 \\ 0 & \mathcal{O}_S \arrow[l] & E' \arrow[l] & \check{V}' \arrow[l] & 0 \arrow[l] \end{tikzcd}

au-dessus de \det V, relié par \wr, est écrit \mathcal{O}_S ; sous \check{V}', relié par \wr, est écrit V. Le \mathcal{O}_S de la seconde ligne est surchargé. – V' est donc \check{V} – et donc le dual de \mathcal{O}_S, dual de V, est \det V^{-1} d'où de \mathcal{O}_S. Donc V est à équiv. fait muni d'un iso \det V \simeq \mathcal{O}_S d'une structure symplectique, et V' \simeq V. La catégorie des couples accouplés de formes de \mathfrak{sl}(2), \mathfrak{gp}(1) est donc équivalente à celle des triples (V, \varphi, E) d'un Module vectoriel V de rang 2, une structure symplectique \varphi et ext. de V par \mathcal{O}_S (ce qui revient à ext. de \mathcal{O}_S par \check{V} \simeq V, ou encore à un fibré affine sur V) : c'est donc équivalente les lignes qui suivent le diagramme sont très corrigées (insertions « à équiv. », « accouplés ») et leur prose se lit mal ; « Module vectoriel » est la lecture de la page 36, où il écrit « Module (fibré) vectoriel ».

à la donnée d'un fibré en « plans affines symplectiques » (en car. deux). Le schéma en groupes des automorphismes d'une telle structure est donc le produit semi-direct de \underline{\mathrm{SL}}(V) et de \mathbb{V} – lisse de dim 5 – isomorphe forme de \mathrm{GP}(1) ! Le groupe des forme de \mathfrak{sl}(2) ou des automorphismes d'une forme de \mathfrak{gp}(1) est \simeq groupe affine , lisse de dim rel. 6. la fin du premier paragraphe se lit mal ; au-dessus de « groupe » est inséré un mot lu avec doute « schéma en ». « \mathbb{V} » est un V souligné.

On déduit aisément, de la structure précédente, les applications f, f', \rho_{E'}. En effet, f est le composé E \xrightarrow{\mathrm{can}} V \xrightarrow{\varphi} V' \xrightarrow{\mathrm{can}} E', f' est le composé E' \xrightarrow{\mathrm{can}} \mathcal{O}_S \xrightarrow{\varphi} \det V \xrightarrow{\mathrm{can}} E, enfin \rho_{E'} (est l'opération qui V' = f(E) de E' … la représentation adjointe de E, qui est nulle sur \det V = \mathcal{O}_S \subset E, et qui par un H \in E' au-dessus de 1 donne l'opération \rho_{E'}(H) : E \to E qui (étant nulle sur \det V = \mathcal{O}_S) se factorise en symplectique) à partir de « enfin \rho_{E'} », tout le bas de la page est annulé par un trait qui l'encadre et deux grands traits obliques ; au-dessus de la ligne, « (op. de E' sur E) » est inséré après \rho_{E'}. Le reste de la feuille est blanc.

Soit q forme quadratique lisse sur E, \varphi la forme bilinéaire associée, \omega une base de \underline{\det} E telle que (82) \qquad \delta'(q) = -\omega^{\otimes(-2)} Posons (83) \qquad G = \underline{\mathrm{SO}}(q) = \underline{\mathrm{Aut}}(E, q, \omega) Soit \widetilde{G} le « revêtement simplement connexe » de G, ~~canoniquement~~ i.e. le noyau de \widetilde{G} \to G, canoniquement isomorphe à \mu_2 ~~des racines de l'unité~~, posons (84) \qquad 1 \to \mu_2 \to \widetilde{G} \xrightarrow{F} G \to 1 Soient (85) \qquad \begin{cases} \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G}) \\ \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}(G) \end{cases} Alors on a un hom. can. (épim. de noyau \mu_2) (86) \qquad F : \widetilde{G} \to G et une opération obtenue par passage au quotient dans la représentation adjointe de \widetilde{G} sur lui-même (87) \qquad G \xrightarrow{\ \rho\ } \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(\widetilde{G}) rendant commutatif le diagramme (88)

\begin{tikzcd} \widetilde{G} \arrow[r, "F"] \arrow[dr, "\mathrm{ad}_{\widetilde{G}}"'] & G \arrow[d, "\rho_{\widetilde{G}}"] \arrow[dr, "\mathrm{ad}_G"] & \\ & \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(\widetilde{G}) \arrow[r] & \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(G) \end{tikzcd}

la flèche horizontale du bas porte « pass. au quotient ». Dans (84), (87) et (88), G porte en exposant un petit signe surchargé, non interprété ; dans (84), après G, un second signe est biffé. Le noyau de \widetilde{G} \to G est dit « canoniquement isomorphe à \mu_2 » en interligne, au-dessus d'une ligne biffée.

ou ce qui revient au même, on a comm. dans (89) : diagramme à trois étages, numéroté (89).

\begin{tikzcd} \widetilde{G} \times \widetilde{G} \arrow[r, "\mathrm{ad}_{\widetilde{G}}"] \arrow[d, "F \times \mathrm{id}_{\widetilde{G}}"] & \widetilde{G} \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\ G \times \widetilde{G} \arrow[r, "\rho"] \arrow[d, "\mathrm{id}_G \times F"] & \widetilde{G} \arrow[d, "F"] \\ G \times G \arrow[r, "\mathrm{ad}_G"] & G \end{tikzcd}

les G de la colonne de gauche et de la dernière ligne portent le même petit exposant surchargé qu'à la page 28 ; la flèche de droite du haut est doublée d'un signe mal formé, lu \mathrm{id} avec doute.

En passant aux algèbres de Lie, on trouve (90) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \xrightarrow{\ \mathfrak{f}\ } \mathfrak{g} \qquad \text{hom.\ d'alg.\ de Lie} et une opération (91) \qquad \mathfrak{g} \xrightarrow{\ \rho_{\mathfrak{g}}\ } \underline{\mathrm{D\acute{e}r}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) la flèche de (90) porte une lettre gothique surchargée, lue \mathfrak{f} ; celle de (91) une lettre \rho d'indice mal formé. rendant commutatif le diagramme (92)

\begin{tikzcd} \widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \arrow[r, "\mathrm{ad}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}"] \arrow[d, "\mathfrak{f} \times \widetilde{\mathfrak{g}}"] & \widetilde{\mathfrak{g}} \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\ \mathfrak{g} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{\mathfrak{g}} \arrow[d, "\mathfrak{f}_{\widetilde{\mathfrak{g}}}"] \\ \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \arrow[r, "\mathrm{ad}_{\mathfrak{g}}"] & \mathfrak{g} \end{tikzcd}

devant la première ligne, un signe biffé. L'indice de la flèche de droite du bas est lu avec doute.

~~Remarques~~ Ceci posé, on va définir des isom. canoniques de Modules : (93) \qquad \begin{cases} E \xrightarrow[\sim]{\ i\ } \widetilde{\mathfrak{g}} \\ E' \xrightarrow[\sim]{\ j\ } \mathfrak{g} \end{cases} Transportant par ces isom. les lois [\ ,\ ] sur \widetilde{\mathfrak{g}} et \mathfrak{g}, et \mathfrak{f} : \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g} la seconde flèche de (93) porte une lettre lue j, comme à la page 30.

et \rho_{\mathfrak{g}} : \mathfrak{g} \to \underline{\mathrm{D\acute{e}r}}(\widetilde{\mathfrak{g}}), on trouve respectivement : la loi [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E, la loi [\ ,\ ]_{\varphi} sur E', l'application f (E \to E'), et l'hom. \rho_E. « (E \to E') » est écrit au-dessus de la ligne, relié à f par un trait. Enfin, l'hom. composé \mathfrak{g} \xrightarrow{\ \rho_{\mathfrak{g}}\ } \underline{\mathrm{D\acute{e}r}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \xrightarrow[(i)]{\ \sim\ } \underline{\mathrm{D\acute{e}r}}(E) \to \underline{\mathrm{End}}(E) n'est autre que la repr. linéaire de \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}(G) correspondant à la repr. ~~tautologique~~ linéaire de G sur E. au-dessus de la première flèche, un mot noirci ; « tautologique » est biffé et le mot qui le remplace se lit mal.

Construction. Considérons E' avec la loi [\ ,\ ]_{\varphi}, on sait que E' opère sur E par \rho_{E'} E' \longrightarrow \underline{\mathrm{D\acute{e}r}}(E, [\ ,\ ]_{\varphi'}) en fait on sait que E' s'envoie dans les endom. de E qui invariant infinitésimalement q (et qui invariant \omega), lesquels forment précisément l'algèbre de Lie \mathfrak{g} de G, d'où finalement un homom. E' \xrightarrow{\ j\ } \mathfrak{g} qui est compatible avec le crochet. Je dis que c'est un iso. Comme E' et \mathfrak{g} sont loc. libres de rang 3, il suffit de prouver que c'est injectif sur chaque fibre, point… « (et qui invariant \omega) » est écrit au-dessus de la ligne, entre parenthèses ; au-dessus de « fibre », un mot inséré lu avec doute.

encore que E' opère fidèlement sur E par \rho_{E'}, quand S = \operatorname{Spec} k, k corps alg. clos. Or dans ce cas on peut trouver une base e_1, e_2, e_3 p.r. à laquelle q se met sous la forme xy + z^2, \omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 (quitte au besoin à changer e_3 en -e_3…) et il suffit de prendre alors les (calculs de (72)) \rho_E(xX + hH + yY) : \begin{cases} \tilde{X} \mapsto h\tilde{X} - y\tilde{H} \\ \tilde{Y} \mapsto x\tilde{H} - h\tilde{Y} \\ \tilde{H} \mapsto -2x\tilde{X} + 2y\tilde{Y} \end{cases} \rho_E(xX + hH + yY) = 0 \Longrightarrow x = y = h = 0 \qquad \text{o.k.} dans la deuxième ligne de l'accolade, le signe devant h\tilde{Y} est surchargé (+ ou -) ; la formule (72) de la page 20 donne -. Il faut encore définir l'isom. E \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{g}} et prouver ses propriétés. Pour ceci il faut redéfinir avec précision, en termes élémentaires, la construction de \widetilde{G} sur G – il nous faut pour ceci ouvrir une parenthèse la page s'arrête ici, au premier tiers de la feuille ; le reste est blanc. C'est la trentième page depuis la page 2 : la mention « (29 p) » de la couverture de la page 1 couvre à une page près les pages 2 à 31, et la page 32 commence un autre texte.

la page 32 est une couverture rose, portant seulement, en haut à droite et au crayon, « (21 p) », d'une main qui n'est pas sûrement la sienne ; elle n'a pas de titre. Les pages 33 et 34 sont deux demi-feuilles, écrites dans le sens de la largeur. \begin{aligned} F_3 &= T \\ F_4 &= T - 1 \\ F_5 &= T^2 - T - 1 \\ F_6 &= T - 2 \end{aligned} On peut définir F_n comme le polynôme minimal (sur \mathbf{Q}) de 1 + 2\cos 2\pi/n, ou encore de 1 + \zeta + \zeta^{-1}, où \zeta est une racine primitive n-ième de l'unité. ce premier bloc est à l'encre noire ; la liste commence à F_3. Un trait horizontal le sépare de ce qui suit, à l'encre bleue.

\zeta_0 \xrightarrow[e_1]{} \zeta_1 \quad \zeta_2 \quad \zeta_3 \zeta_1 - \zeta_0 = e_1 , \qquad \zeta_2 - \zeta_1 = e_2 \begin{cases} u(\zeta_0) = \zeta_0 + e_1 \\ u(e_1) = \zeta_2 - \zeta_1 = e_2 \\ u(e_2) = \zeta_3 - \zeta_2 = -e_1 + (\alpha - 1)e_2 \end{cases} à droite, une figure : un cercle portant les points \zeta_{-1}, \zeta_0, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_{n-2} ; les vecteurs e_1 = \zeta_1 - \zeta_0, e_2 = \zeta_2 - \zeta_1, e_3 sont tracés comme côtés successifs d'un polygone régulier inscrit, et une flèche épaisse marquée \alpha va de \zeta_0 à \zeta_3 . u est la rotation qui envoie \zeta_i sur \zeta_{i+1}. Le bas de la demi-feuille est déchiré.

\mathrm{Alg\,Sp\acute{e}c}(\mathcal{M}) \simeq \mathbb{P}(\mathfrak{g}) \simeq \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \bigl[\check{P} = \mathrm{Dr}(P)\bigr] \simeq \mathrm{Div}_2^{+}(X) sous « \mathrm{Alg\,Sp\acute{e}c}(\mathcal{M}) », un petit \mathfrak{g} (?) ; au-dessus de \mathbb{P}(\mathfrak{g}) un tilde, qui fait peut-être lire \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}). Sous \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}), relié par \wr : « Ss-gpes lisses commut. de dim 1 dans G ». La feuille est déchirée en haut à droite.

\mathcal{T} \in \ldots(G) la lettre ronde de sa main est rendue \mathcal{T}, comme au batch 3 ; ce qui la suit (« \in », deux points, « (G) ») se lit mal.

\underline{\mathrm{Cent}}(\mathcal{T}) = \mathcal{T} – \underline{\mathcal{T}} le centralisateur dans … (à tester) des de \mathcal{T} telles que g^2 \neq 1 … \mathcal{T} U = X - Y torseur sous \mathcal{T} Dans \mathcal{T} N(\mathcal{T})/\mathcal{T} \subset \underline{\mathrm{Aut}}(\mathcal{T}) ~~il y a la section~~ … = -\mathrm{id}_{\mathcal{T}} est dans N(\mathcal{T})/\mathcal{T} … ~~les~~ Sont images inverses … de \overline{\mathcal{T}} dans N(\mathcal{T}) … \mathcal{T}-torseur X - Y est comme X - Y.

les quatre lignes sont tenues à gauche par une accolade ; dans la marge gauche, en oblique, une note illisible où se lisent « … \mathcal{T} … » et « … gp. … ». La colonne de droite est une note serrée qui court le long de ces lignes.

~~X - Y, on a :~~ qui (X - Y) \longrightarrow \overline{\mathcal{T}} \mathcal{T} \xrightarrow{\ 2\,\mathrm{id}_{\mathcal{T}}\ } \mathcal{T} les deux avant-dernières lignes sont biffées ; la barre verticale dans (X - Y) \to est un trait de séparation.

nouvelle numérotation des formules, qui repart de (1) ; c'est le début de la démonstration que les pages 41 à 44 (batch 3) achèvent. Soient S schéma, ~~u \in M_2(S) = M_2(\Gamma(\mathcal{O}_S)) supposons~~ V ~~fibré~~ Module vectoriel de rang 2, u \in \underline{\mathrm{End}}(V) (1) \qquad \forall s \in S , \quad u_s \notin k(s) \cdot 1 la ligne « V Module vectoriel de rang 2, u \in \underline{\mathrm{End}}(V) » est écrite au-dessus de la ligne biffée ; « Module » remplace « fibré ». Considérons le commutant de u dans \underline{\mathrm{End}}(V) (le foncteur). Je dis qu'il est égal au sous-fibré vectoriel \mathcal{O}_S\,\mathrm{id} + \mathcal{O}_S u de \underline{\mathrm{End}}(V) – donc le commutant dans \mathrm{GL}(V) est formé des \alpha\,\mathrm{id} + \beta u, avec (2) \qquad \det(\alpha\,\mathrm{id} + \beta u) = \alpha^2 + \alpha\beta\, \mathrm{Tr}\, u + \beta^2 \det u \quad \text{inv.} dans (2), devant \alpha\beta, un signe surchargé ; après \det u, un signe biffé. donc le commutant (ou stabilisateur) dans \underline{\mathrm{GP}}(V) s'identifie au C_{\underline{\mathrm{GP}}(V)}(u) \simeq \mathbb{P}^1 - Q_{\mathrm{Tr}\,u,\, \det u} où Q_{\tau, \delta} désigne, de façon générale, la « quadrique » du \mathbb{P}^1 définie par l'équation quadratique en \alpha, \beta \alpha^2 + \tau\,\alpha\beta + \delta\,\beta^2 après \beta^2, un mot biffé ; dans l'indice de Q_{\tau,\delta}, \tau est écrit sur un premier signe. Elle , un diviseur de degré 2 qui est étale ssi \tau^2 - 4\delta \quad \text{inv.} ce qui, dans le cas où \tau = \mathrm{Tr}\,u, \delta = \det u, signifie que les val. propres de u fibre par fibre sont distinctes, le début de cette phrase ne se lit pas ; le sens attendu est que Q_{\tau,\delta} est un diviseur de degré 2 de \mathbb{P}^1.

Ce sous-groupe H \subset \underline{\mathrm{GP}}(V) (lisse ) ne dépend que du sous-module \mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u de \underline{\mathrm{End}}(V), ou ce qui revient au même, de son image dans \underline{\mathrm{End}}(V)/\mathcal{O}_S \cdot 1 = \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{GP}}(V), laquelle image est un sous-fibré inversible qui n'est autre que \mathrm{Lie}\, H. Ceci précise relation entre sous-fibrés vectoriels \mathfrak{h} de rang 1 de \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{GP}}(V) = G et sous-groupes commutatifs H lisses de ~~rang~~ dim rel. 1 de G. les insertions (H \subset \underline{\mathrm{GP}}(V), \mathfrak{h}, H, « dim rel. ») sont interlinéaires ; « commutatifs » est souligné d'un trait ondulé. L'égalité « \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{GP}}(V) » est écrite telle quelle, là où l'on attend \mathrm{Lie}.

Est-il vrai que H est le centralisateur de \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}\,\mathfrak{h} et que de H forme une section unité, à fortiori de H lui-même ? « = \mathrm{Lie}\,\mathfrak{h} » est inséré au-dessus de \mathfrak{h}, par une flèche ; la ligne se lit mal. g h g^{-1} = \lambda h \qquad \text{OPS} \quad \det u = -1 sous « \det u = -1 », un mot souligné d'un trait ondulé, lu avec doute « unipotent ». \det h = \lambda^2 \det h, ~~\mathrm{Tr}\,h = \lambda\,\mathrm{Tr}\,h~~ \lambda^2 = 1 d'où \lambda = \pm 1 loc. alors si car. \neq 2, … le cas \pm 1 disjoint … vient le cas gug^{-1} = -u, il est possible que u soit (avec \det u = -1) soit de la forme \mathrm{diag}(1, -1) … de valeurs distinctes, … est conjugué à réflexions dans G donc u^2 = 1 car. rés. 2, à partir de « si car. \neq 2 », presque tout le bas de la page est annulé par des traits obliques et encadré ; à droite, en interligne, « \mathrm{Tr}\,u = 0, donc » et une matrice diagonale ; la matrice rendue \mathrm{diag}(1, -1) est écrite en tableau. Seule la dernière ligne, « donc u^2 = 1 … », est hors de la biffure.

ce début ne continue pas la page 37, dont la suite est la page 39 ; il semble prolonger la fin de la page 41 (batch 3), où N/N^{\circ} \subset (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S reste en suspens. Rattachement proposé par l'éditeur, non marqué par l'auteur. alors un s.-groupe étale ~~qui fibres est dans le centre de la des fibres~~ – il s'identifie à un sous-groupe ouvert ~~et fermé~~ de (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{*}_S, qui coïncide avec le sous-groupe ouvert \lbrace \pm 1\rbrace fibre par fibre, donc lui est égal. au-dessus de la première ligne, une insertion biffée : « et … …, donc … ».

La condition de normalisation, sur une section g \in G(S), grâce au régularité par changement de base, revient à la suivante : soit gug^{-1} = u (centralisateur), soit gug^{-1} = u^{-1} « sur une section g \in G(S) » est inséré au-dessus de la ligne ; « G(S) » se lit mal. Sous u^{-1}, un trait ondulé. u = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ~~ad - bc inv.~~ \mathrm{GL}(2) \subset M_2 devant \mathrm{GL}(2), un mot biffé ; \subset est écrit verticalement, M_2 sous \mathrm{GL}(2). v = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \qquad v \longmapsto [\underline{u}, v] \qquad M_2 \xrightarrow{\ \mathrm{fu}\ } M_2 devant v, un mot biffé ; les lettres de la seconde ligne de v sont lues avec doute. L'étiquette de la flèche, « fu », peut désigner f_u. ~~\mathcal{C}(u)~~ est de rang \leq 2 [mineurs d'ordre 3 tous nuls]

ssi est proj. de rang = 2 (mineurs d'ordre 2) devant ces deux lignes, un mot biffé ; au début de la seconde, un symbole surchargé.

u pas mult. scalaire \alpha + \beta u = ~~\alpha(\mathrm{id} + \alpha^{-1}\beta u)~~ \det(\alpha + \beta u) = \prod (\alpha + \beta\mu_i) = \alpha^2 + \alpha\beta\,\mathrm{Tr}\,u + \beta^2 \det u les \mu_i sont les valeurs propres de u ; la lettre est mal formée. Le reste de la page est blanc.

g h^2 g^{-1} = (\lambda h)^2 = \lambda^2 h^2 = h^2 donc g \in \mathcal{C}(h^2) donc OK. si h^2 \neq 1 i.e. h non une réflexion. le calcul prolonge celui de la page 37 (ghg^{-1} = \lambda h, \lambda^2 = 1) : la page 39 fait suite à la page 37, la page 38 s'intercalant hors de l'ordre de l'argument.

Mais cela ne fait une belle jambe dans le cas (typique de car. 2 !) où H lui-même est tel que h^2 = 1 \forall h \in \Gamma(U, H) … ! Mais alors est-il possible d'avoir g u g^{-1} = \lambda u^{-1} \qquad \forall \ \ldots pour g fixé, et u décrivant ~~fibré~~ formes \alpha + \beta u_0. Prenant la section « universelle » \alpha + \beta u_0, où donc \alpha, \beta indéterminées … dans la formule, l'exposant -1 est surchargé ; « \forall pour g fixé » est écrit tel quel. « décrivant » est inséré au-dessus de la ligne. \underbrace{g(\alpha + \beta u_0)g^{-1}}_{\alpha + \beta\, g u_0 g^{-1} = \alpha + \beta\lambda_0 u_0} = \lambda(\alpha, \beta)\,(\alpha + \beta u_0) ce qui implique, ~~gu_0g^{-1} = \lambda_0 u_0~~

\alpha\,\lambda(\alpha, \beta) \equiv 1 identité en \alpha, \beta dans \mathcal{O}_S[\alpha, \beta]_{\Delta(\alpha, \beta)} sous l'indice \Delta(\alpha, \beta), une flèche vers « localisation ». d'où \lambda(\alpha, \beta) = 1, ok.

Donc H est ~~son propre normalisateur~~ est-il son propre centralisateur de égal à 1). Est-il le centralisateur de \mathfrak{h} ? la ligne « Donc H est son propre normalisateur » est biffée d'un trait ondulé ; l'insertion au-dessous se lit mal.

\begin{aligned} &g u g^{-1} = u + \lambda \\ &\mathrm{Tr}\,u = \mathrm{Tr}\,u + 2\lambda \end{aligned} Si 2 inv. cela force \lambda = 0 – gagné.

Sinon, il y a contre-exemple, \det u = \det(u + \lambda) = \lambda^2 + (\mathrm{Tr}\,u)\lambda + \det u, donc \lambda(\mathrm{Tr}\,u + \lambda) = 0 … p.ex. la matrice diagonale u = (\zeta, \zeta + 1), \zeta^2 + \zeta + 1 = 0 … est équivalente à la matrice (\zeta + 1, \zeta) … sans être égale ! Ici le centralisateur de \mathfrak{h} dans G (car. 2) est lisse de dim relative 1 ! tout ce bloc est annulé par un encadrement et de grands traits croisés ; la ligne « \lambda^2(\ldots\mathrm{Tr}\,u + \lambda) = 0 » y est de plus biffée, et plusieurs mots entre les formules se lisent mal.

Si u est diagonalisable, soit u = (\zeta, \zeta') dans la translation par \zeta + \zeta' le transforme en (\zeta', \zeta), qui lui est conjugué. « \zeta + \zeta' » : lecture par le sens ; en car. 2, u + (\zeta + \zeta') échange les deux valeurs propres.

? Mais le centralisateur semble être donc H,

NB Dans \mathfrak{g}, algèbre de Lie de \mathrm{GP}(1) avec la base habituelle ~~le centralisateur de~~ [H, X] = X , \quad [H, Y] = -Y , \quad [X, Y] = 2H = 0 \ \text{(en car.~2)} le centralisateur de X ~~de X~~ est formé des xX + hH + yY tels que h = 0, donc est de dim trop grande – celui de H est OK… sous « = 0 » : « en car. 2 », lu avec doute. La page s'arrête ici ; la page 41 (batch 3) commence au milieu d'une démonstration sur un sous-groupe \mu d'ordre premier p impair.