Fonds Grothendieck, cote n° 82, pages 1–20

Algèbres de Lie de rang 3 associées aux formes bil. symétriques de rang 3

titre écrit au crayon par Grothendieck sur la couverture rose (page 1), en haut à droite ; à sa gauche, d'un crayon plus pâle, « (29 p) ».

Formes quadratiques de rang trois et algèbres de Lie

titre encadré, en tête de la page.

S schéma, E, E' Modules vectoriels de rang 3 sur S, en dualité par accouplement (1) \qquad E \times E' \longrightarrow \mathcal{O}_S \qquad (x, x') \longmapsto \langle x, x' \rangle d'où accouplement (2) \qquad \underline{\det}(E) \otimes \underline{\det}(E') \simeq \mathcal{O}_S (où on pose \underline{\det} E \simeq \Lambda^3 E \quad ) Notons que les accouplements \begin{array}{ll} E \times \Lambda^2 E \longrightarrow \Lambda^3 E = \underline{\det} E & (x, \omega) \longmapsto x \wedge \varphi = \varphi \wedge x \\ E' \times \Lambda^2 E' \longrightarrow \Lambda^3 E' = \underline{\det} E' & (x', \varphi') \longmapsto x' \wedge \varphi' \; (= \varphi' \wedge x') \end{array} dans la première ligne, un premier couple entre parenthèses est biffé et remplacé au-dessus par (x, \omega), alors que l'image est écrite x \wedge \varphi. sont aussi dualisants, donc on a des isomorphismes (3) \qquad \begin{cases} \Lambda^2 E \overset{\alpha_0}{\simeq} \check{E} \otimes \underline{\det} E \simeq E' \otimes \underline{\det}(E) \\ \Lambda^2 E' \overset{\alpha'_0}{\simeq} \check{E}' \otimes \underline{\det} E' \simeq E \otimes \underline{\det}(E') \end{cases} Supposons maintenant E « spécial » i.e. muni d'une base (4) \qquad \omega \in \Gamma(S, \underline{\det}(E)) définissant donc un isomorphisme (5) \qquad \mathcal{O}_S \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\det}(E) \qquad \lambda \longmapsto \lambda\omega et une base duale (4') \qquad \omega' = \omega^{-1} \in \Gamma(S, \underline{\det}(E')) la lecture « \omega^{-1} » est douteuse : l'exposant est mal formé. définissant (5') \qquad \mathcal{O}_S \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\det}(E') \qquad \lambda \longmapsto \lambda\omega' Compte tenu des iso (5) (5'), les isom. (3) définissent des iso. (6) \qquad \begin{cases} \Lambda^2 E \xrightarrow[\sim]{\ \alpha\ } E' \\ \Lambda^2 E' \xrightarrow[\sim]{\ \alpha'\ } E \end{cases} définis donc par (7) \qquad \langle x, \alpha(\varphi) \rangle\, \omega = x \wedge \varphi , \qquad \langle \alpha'(\varphi'), x' \rangle\, \omega' = \varphi' \wedge x' avant la seconde formule de (7), une première rédaction est biffée.

Si E est muni d'une base (8) \qquad (e_1, e_2, e_3) \qquad (e_i \in \Gamma(S, E)) définissant la base duale (8') \qquad (e'_1, e'_2, e'_3) \qquad (e'_i \in \Gamma(S, E')) par \langle e_i, e'_j \rangle = \delta_{ij} \qquad (\text{symb.\ de Kronecker}) on a des bases de \Lambda^2 E, \Lambda^2 E' par (9) \qquad \begin{cases} \bar{e}_1 = e_2 \wedge e_3 ,\ \bar{e}_2 = e_3 \wedge e_1 ,\ \bar{e}_3 = e_1 \wedge e_2 & (\text{base de } \Lambda^2 E) \\ \bar{e}'_1 = e'_2 \wedge e'_3 ,\ \bar{e}'_2 = e'_3 \wedge e'_1 ,\ \bar{e}'_3 = e'_1 \wedge e'_2 & (\text{--- } \Lambda^2 E') \end{cases} et on a (10) \qquad \begin{cases} \alpha(\bar{e}_i) = e'_i \\ \alpha'(\bar{e}'_i) = e_i \end{cases} les numéros (9) et (10) sont surchargés ; (10) est confirmé par le renvoi de la page 5.

Notons

Observation. Si E est un Module vectoriel « spécial » de rang 3, alors on a ~~une~~ bijections canoniques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \text{Formes bilinéaires } E \times E \to \mathcal{O}_S \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "\sim"'] & & \text{structures d'algèbre alternée sur } E' \\ & \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S}(E, E') \arrow[ur, "\sim"'] & \end{tikzcd}

où \searrow associe à \varphi(x, y) l'application f : E \to E' définie par (11) f(x)(y) \; \bigl(= \langle y, f(x) \rangle\bigr) = \varphi(x, y) le numéro (11), serré contre la formule et relié par un trait à « l'application f : E \to E' », est douteux ; le numéro (11) sert de nouveau à la page 5. et où \nearrow est l'application qui à f associe la structure d'algèbre alternée (12) \qquad (x', y') \longmapsto [x', y']_{\varphi} = f\alpha'(x' \wedge y')

les pages 4 et 5 se suivent à rebours : la page 5 (formules (11) à (15)) précède la page 4 (formules (16) à (19)), qui commence au milieu de la phrase terminant la page 5. que l'effet d'une permutation circulaire des vecteurs de base sur la matrice \varphi s'obtient par une permutation circulaire sur les trois groupes de lettres (a, b, c), (p, q, r), (p', q', r'). Ceci posé, les formules (13), (13 bis) se récrivent (16) \qquad \begin{cases} [[e'_1 \wedge e'_2], e'_3] = (ap' - qr')e'_1 + (p'r - bq)e'_2 + (p'q' - pq)e'_3 \\ [[e'_2 \wedge e'_3], e'_1] = (q'r' - qr)e'_1 + (bq' - rp')e'_2 + (q'p - cr)e'_3 \\ [[e'_3, e'_1], e'_2] = (r'q - ap)e'_1 + (r'p' - rp)e'_2 + (cr' - pq')e'_3 \end{cases} d'où (17) \qquad \mathrm{Jac}(e_1, e_2, e_3) = [[e_1, e_2], e_3] + [[e_2, e_3], e_1] + [[e_3, e_1], e_2] = [a(p' - p) + (q'r' - qr)]e'_1 + [b(q' - q) + (r'p' - rp)]e'_2 + [c(r' - r) + (p'q' - pq)]e'_3 dans la première ligne de (17) les accents des e_i ne sont pas écrits. Donc, pour que l'algèbre E'_{\varphi} (le crochet de [\ ,\ ]_{\varphi}) soit une algèbre de Lie, il faut et il suffit qu'elle satisfasse les conditions (18) \qquad \begin{cases} a(p' - p) + (q'r' - qr) = 0 & \text{ou } (ap' - qr) - (ap - q'r') = 0 \\ b(q' - q) + (r'p' - rp) = 0 & \text{ou } (bq' - rp) - (bq - r'p') = 0 \\ c(r' - r) + (p'q' - pq) = 0 & \text{ou } (cr' - pq) - (cr - p'q') = 0 \end{cases} NB Avec la notation évidente pour les mineurs d'ordre 2 \mathrm{Min}^{ij}_{kl}(\varphi) d'une matrice \varphi, les premiers membres des équations (18), i.e. les coefficients de l'alternateur jacobien (17), sont (19) \qquad \begin{cases} \mathrm{Min}^{12}_{13}(\varphi) - \mathrm{Min}^{12}_{13}({}^{t}\varphi) \\ \mathrm{Min}^{23}_{21}(\varphi) - \mathrm{Min}^{23}_{21}({}^{t}\varphi) \\ \mathrm{Min}^{31}_{32}(\varphi) - \mathrm{Min}^{31}_{32}({}^{t}\varphi) \end{cases} la disposition des indices des mineurs (en haut et en bas) est lue sur l'encre et reste incertaine.

En termes des bases (8)/(8'), \varphi sera donnée par une matrice (notée ) (11) \qquad \varphi = (\varphi_{ij})_{1 \leq i, j \leq 3} \qquad \varphi_{ij} = \varphi(e_i, e_j) – la matrice de f est alors transposée de la matrice \varphi – et on trouve que la structure d'algèbre alternée correspondante est donnée par [e'_2, e'_3]_{\varphi} = \varphi\alpha'(e'_2 \wedge e'_3) = \varphi\alpha'(\bar{e}'_1) \underset{(10)}{=} \varphi(e_1) = \sum_j \varphi_{1j}\, e'_j et de même pour les deux autres crochets ~~produits~~ (12) \qquad \begin{cases} [e'_2, e'_3]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{1j}\, e'_j \\ [e'_3, e'_1]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{2j}\, e'_j \\ [e'_1, e'_2]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{3j}\, e'_j \end{cases} Ceci posé, on trouve (laissant tomber l'indice \varphi dans les crochets) (13) \qquad [[e'_1 \wedge e'_2], e'_3] = \sum_j (\varphi_{32}\varphi_{1j} - \varphi_{31}\varphi_{2j})\, e'_j et de même pour les expressions déduites par permutations circulaires (13\ \text{bis}) \qquad \begin{cases} [[e'_2 \wedge e'_3], e'_1] = \sum_j (\varphi_{13}\varphi_{2j} - \varphi_{12}\varphi_{3j})\, e'_j \\ [[e'_3 \wedge e'_1], e'_2] = \sum_j (\varphi_{21}\varphi_{3j} - \varphi_{23}\varphi_{1j})\, e'_j \end{cases} Les ~~coefficient~~ symétries des formules apparaissent mieux en posant ~~\varphi_{11} = a, \varphi~~ (14) \qquad \begin{cases} \varphi_{11} = a ,\ \varphi_{22} = b ,\ \varphi_{33} = c \\ \varphi_{23} = p ,\ \varphi_{31} = q ,\ \varphi_{12} = r \\ \varphi_{32} = p' ,\ \varphi_{13} = q' ,\ \varphi_{21} = r' \end{cases} i.e. en écrivant (15) \qquad \varphi = \begin{pmatrix} a & r & q' \\ r' & b & p \\ q & p' & c \end{pmatrix} de sorte que la matrice transposée de \varphi s'obtient en échangeant p avec p', q avec q', r avec r', et la phrase continue en tête de la page 4.

On trouve en particulier

Proposition. Les formes bilinéaires symétriques \varphi sur E définissent des structures d'algèbre de Lie sur E'.

Exemple identification (20) E \simeq \mathcal{O}_S^3. Prenons E muni de la base (8), d'où , dirons sur E la forme quadratique (21) \qquad q(x, y, z) = xy + z^2 correspondant à la forme bilinéaire associée (22) \qquad \varphi\bigl((x, y, z), (x', y', z')\bigr) = (xy' + yx') + 2zz' donc (23) \qquad \begin{cases} q(e_1) = q(e_2) = 0 ,\ q(e_3) = 1 \\ \varphi(e_1, e_2) = 1 ,\ \varphi(e_2, e_3) = \varphi(e_3, e_1) = 0 \\ \varphi(e_1, e_1) = \varphi(e_2, e_2) = 0 \qquad \varphi(e_3, e_3) = 2 \end{cases} NB \varphi(\xi, \xi) = 2q(\xi) (ou encore (23\ \text{bis}) \qquad \begin{cases} a = b = 0 ,\ c = 1 \\ p = p' = q = q' = 0 \quad r = r' = 1 \end{cases} , \quad \varphi = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} la matrice porte \varphi_{33} = 2 alors que la ligne précédente donne c = 1 ; laissé tel quel. Les formules (12) deviennent alors (24) \qquad \begin{cases} [e'_2, e'_3] = e'_2 \\ [e_3, e'_1] = e'_1 \\ [e'_1, e'_2] = 2e'_3 \end{cases} NB f(e_1) = e'_2, f(e_2) = e'_1, f(e_3) = 2e'_3 la note « NB » est encadrée à droite de (24) ; dans la deuxième ligne de (24), l'accent du premier e_3 n'est pas écrit. ou encore, posant (25) \qquad X = e'_1 ,\ Y = e'_2 ,\ H = e'_3 on reconnaît les formules familières (26) \qquad [H, X] = X ,\ [H, Y] = -Y ,\quad [X, Y] = 2H de l'algèbre de Lie de « universelle » (sur les entiers) de \mathrm{GP}(1).

Notons que pour une forme bilinéaire \varphi(x, y) = \sum_{1 \leq i, j \leq 3} \varphi_{ij}\, x_i y_j on a le discriminant de \varphi (ou de la forme quadratique q, si \varphi est associée à une telle forme) (27) \qquad \delta(\varphi) = \det(\varphi_{ij})\, \omega'^{\otimes 2} \qquad (\text{où } \omega' = e'_1 \wedge e'_2 \wedge e'_3) un trait horizontal précède « det » ; ce n'est vraisemblablement pas un signe moins, que le calcul de (30) exclut. et si \varphi est associée à une forme quadratique (28) \qquad q(x, y, z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + pyz + qzx + rxy de sorte que la matrice de \varphi est (29) \qquad \varphi = \begin{pmatrix} 2a & r & q \\ r & 2b & p \\ q & p & 2c \end{pmatrix} on a (30) \qquad \delta(q) = \delta(\varphi) = 2(4abc + pqr - ap^2 - bq^2 - cr^2)\, \omega'^{\otimes 2} et le « discriminant divisé » \delta'(q) de q est donné par (31) \qquad \delta'(q) = (4abc + pqr - ap^2 - bq^2 - cr^2)\, \omega'^{\otimes 2} , ~~ce qui~~ Dans le cas de la forme q de (21) d'où (23 bis), on trouve donc (32) \qquad \delta'(q) = -\omega'^{\otimes 2} \qquad (\omega' = e'_1 \wedge e'_2 \wedge e'_3) En s'inspirant de cette circonstance, on définit une structure spéciale orthogonale sur un Module ~~quadratique~~ vectoriel de rang 3, comme la donnée d'un couple (q, \omega), où q est une forme quadratique sur E, \omega une base de \underline{\det} E, satisfaisant

(33) \qquad \delta'(q) = -\omega^{\otimes(-2)} . NB Si E était de rang 2n ou 2n+1, on ~~satisferait~~ exigerait (34) \qquad \delta'(q) = (-1)^n \omega^{\otimes(-2)} de sorte que pour la forme standard sur \mathbf{Z} (35) \qquad q(x) = \sum_1^n x_{2i} x_{2i+1} \quad \text{resp.} \quad q(x) = \sum_1^n x_{2i} x_{2i+1} + x_{2n+1}^2 dont le discriminant resp. le discriminant divisé est (36) \qquad \delta'(q) = (-1)^n \omega^{\otimes(-2)} \qquad \omega = e_1 \wedge \cdots \wedge e_N (N = 2n ou 2n+1), on puisse trouver effectivement une structure spéciale orthogonale associée. On voit que, dans le cas général, il existe loc. une structure sp. orthogonale associée à q ssi q est lisse (i.e. \delta'(q) est une base de \underline{\det}(E)^{\otimes(-2)}), et que les structures en question, base variable, forment un torseur sous \mu_2.

Les développements précédents sur les structures d'algèbre alternées sur E' associées aux formes bilinéaires sur E (i.e. aux applications linéaires f : E \to E') peuvent s'appliquer en échangeant les rôles de E, E', de sorte qu'on associe une structure d'algèbre alternée sur E à toute forme bil. \varphi sur E' \times E', i.e. à toute appl. lin. f' : E' \to E.

Or, tirant parti de \varphi i.e. de (36) \qquad f : E \longrightarrow E' on peut lui associer (37) \qquad \Lambda^2 f : \Lambda^2 E \longrightarrow \Lambda^2 E' qui en vertu des isom. (6), définit une application linéaire (38) \qquad f' = \alpha \circ \Lambda^2 f \circ \alpha^{-1} : E' \longrightarrow E d'après (6) et (39) on attend \alpha' \circ \Lambda^2 f \circ \alpha^{-1} ; l'accent du premier \alpha ne se voit pas. ~~De sorte~~ Par définition, on a donc (39) \qquad f'\bigl(\alpha(x \wedge y)\bigr) = \alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr) \qquad x, y \in \Gamma(S, E) dans (39), un \varphi biffé devant x \wedge y. i.e. (40) \qquad \bigl\langle f'\bigl(\alpha(x \wedge y)\bigr), x' \bigr\rangle\, \omega' = f(x) \wedge f(y) \wedge x' \qquad (x' \in \Gamma(S, E')) En fait, en termes d'une base (8) et de sa duale, les coefficients de la matrice f' sont les 9 mineurs de la matrice de f – ce qui montre en particulier que si f ~~forme~~ bil. est associée à \varphi symétrique, il en est de même de la forme \varphi' associée à f'. Donc la structure d'algèbre de E associée [\ ,\ ]_{\varphi'} (qui n'est autre que (40\ \text{bis}) \qquad [x, y]_{\varphi'} = \alpha'\Lambda^2 f(x \wedge y) = \alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr) explicité par (40), qui s'écrit (40\ \text{ter}) \qquad \bigl\langle [x, y]_{\varphi'}, x' \bigr\rangle\, \omega' = f(x) \wedge f(y) \wedge x' \quad ) est encore une structure d'algèbre de Lie. « en termes d'une base (8) et de sa duale » : « (8) » et « et de sa duale » sont insérés, avec sous la ligne un mot, « exprimons », qui n'est pas rattaché ; « ter » est écrit au-dessus de « bis » biffé.

Remarques ~~Des formules de~~ (41) \qquad \underset{(\text{discriminant})}{\delta(\varphi)} = \Delta\, \omega^{\otimes -2} , \qquad \Delta \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S) et les formules de Kramer donnent alors (42) \qquad \begin{cases} f'f = \Delta\, \mathrm{id}_E \\ ff' = \Delta\, \mathrm{id}_{E'} \end{cases} On se gardera de croire que les relations entre f, f' sont symétriques. P.ex. si f est de rang \leq 1 (i.e. les mineurs de rang 2 de f sont nuls) f' est nul, et réciproquement, tandis que si f est nul, f' est de rang \leq 1)! la fin de la phrase se lit mal ; la parenthèse fermante et le point d'exclamation sont sûrs.

Notons que si \omega est multiplié par \lambda \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{*}) (\varphi donc f restant invariant) \Delta et f' sont multipliés l'un et l'autre par \lambda^2 – tandis que le crochet [\ ,\ ]_{\varphi} est multiplié par \lambda, et le crochet [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E', pour \varphi' fixée (indépendamment d'une \varphi sur E) est multiplié (comme \omega' = \omega^{\otimes -1}) par \lambda^{-1}. Mais si \varphi' est la forme associée à f via f', comme f' donc \varphi' est ~~multiplié~~ remplacé par \lambda^2\varphi', [\ ,\ ]_{\varphi'} est remplacé par \lambda [\ ,\ ]_{\varphi'} : Ainsi [\ ,\ ]_{\varphi} sur E et [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E', associés à un couple « sur E' » est écrit sous « \lambda^2 » dans la ligne « multipliés l'un et l'autre par \lambda^2 » ; les attributions « sur E », « sur E' » de cette page sont transcrites comme écrites, bien que (12) et (40 bis) placent [\ ,\ ]_{\varphi} sur E' et [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E. Un trait vertical dans la marge gauche marque le bas de la page et le haut de la suivante.

(\varphi, \omega) (\varphi forme bilinéaire sur E, \omega base de \underline{\det} E) se trouvent multipliés par un même facteur \lambda, quand \omega est multiplié par \lambda et \varphi restant fixée. D'autre part, pour \omega fixé et \varphi variable, le produit [\ ,\ ]_{\varphi} sur E' dépend linéairement de \varphi, tandis que le crochet [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E (déduit comme f' linéairement) dépend quadratiquement de \varphi ; ainsi, si \varphi est ~~multiplié~~ remplacé par \mu\varphi (\mu \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)) [\ ,\ ]_{\varphi} est multiplié par \mu, et [\ ,\ ]_{\varphi'} par \mu^2…

Échangeant les rôles de E, E', on voit de ce qui précède que f' : E' \to E est associée avec (f')' = f'' : E \to E' – mais en général celle-ci n'est pas f. De façon précise, si ~~\delta(\varphi')~~ (43) \qquad \delta(\varphi') = \Delta' . \omega'^{\otimes 2} \qquad \Delta' \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S) on aura (44) \qquad \begin{cases} f'f'' = \Delta'\, \mathrm{id}_E \\ f''f' = \Delta'\, \mathrm{id}_{E'} \end{cases} ce qui implique, si \Delta est une unité i.e. f un iso, donc \Lambda^2 f et f' aussi, donc \Delta' une unité [et inversement, car si f' est un iso les formules (42)

montrent que f l'est aussi…]), on trouve (45) \qquad f' = \Delta f^{-1} , \qquad f'' = \Delta' f'^{-1} = (\Delta'\Delta^{-1}) f ce qui s'écrit (45\ \text{bis}) \qquad \Delta f'' = \Delta' f (d'après le « principe de conservation des identités algébriques », cette identité reste vraie sans la condition \Delta une unité).

De plus, dans le cas de validité de (45) (\Delta unité) on tire \det(f') = \Delta^3 \det(f)^{-1} = \Delta^3 (\Delta\omega^{\otimes -2})^{-1} i.e. (47) \qquad \det f' = \Delta^2 \omega^{\otimes 2} \Delta' = \Delta^2 \quad \text{i.e.} le numéro (47) est surchargé (peut-être (46)) ; le numéro de la ligne \Delta' = \Delta^2 est biffé. de sorte que (45 bis) devient (48) \qquad f'' = \Delta f D'après le principe de conservation des identités algébriques, cette identité reste valable pour tout f (non seulement si f est un isomorphisme). Ceci ~~montre~~ … que si \Delta = 1 i.e. f un iso et \omega = \det f, alors la relation entre f et f' est symétrique. Mais nous,

nous intéresserons surtout au cas (21), où \Delta = 2, sans pour autant interdire de spécialiser en car. 2 i.e. au cas où \Delta = 0…

Revenons toujours à la situation (E, \omega, \varphi), donnant naissance à : f : E \to E', f' : E' \to E, d'où \varphi' : E' \times E' \to \mathcal{O}_S, enfin à [\ ,\ ]_{\varphi} sur E' et [\ ,\ ]_{\varphi'} sur E. On va montrer que f : E \to E' est un hom. d'algèbres, et (si \varphi symétrique) on va faire opérer l'algèbre de Lie E' sur E par dérivations d'algèbre qui invarient \varphi, de façon que f commute avec l'action de l'algèbre de Lie E' sur E et E'. Enfin, lorsque \varphi (ainsi que \varphi') est associé à une forme quadratique lisse spéciale, on trouvera une interprétation de la situation d'algèbres de Lie en termes d'un homomorphisme de schémas en groupes lisses G \to G' et d'une opération de G' sur G. ~~Prenons~~ Vérifions d'abord (49) \qquad f[x, y]_{\varphi'} = [f(x), f(y)]_{\varphi} ; ~~en prenant le produit scalaire des deux membres avec un z \in \Gamma(S, E), la formule à vérifier devient~~ ces deux lignes sont encadrées et barrées de traits obliques ; au-dessus, une insertion reliée au second membre de (49) : « \overset{\text{déf (12)}}{=} f\alpha'(f(x) \wedge f(y)) ».

En vertu de la déf. (12), le deuxième membre est f\alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr) , de sorte qu'il suffit de prouver (50) \qquad [x, y]_{\varphi'} = \alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr) devant \alpha', quelques signes biffés. ce qui n'est autre que la définition (40 bis).

NB En général, f' : E' \to E n'est pas compatible aux structures d'algèbres, sauf si f est un isomorphisme i.e. \Delta une unité. Dans ce cas, comme f' = \Delta f^{-1} (45), donc f^{-1} est isom. d'algèbres comme inverse d'un isomorphisme, i.e. on a f^{-1}\bigl([x', y']\bigr) = [f^{-1}(x'), f^{-1}(y')] Si f' = \Delta f^{-1} était un hom. d'algèbres, la formule précédente resterait valable en y remplaçant f^{-1} par \Delta f^{-1}, i.e. on aurait à la fois a = b et \Delta a = \Delta^2 bl'exposant de \Delta dans \Delta^2 b se lit aussi comme un accent, \Delta' b. i.e. a = \Delta b, donc \Delta a = a. Si On en conclut aisément (comme les [x', y'] engendrent E' localement…) que \Delta = 1, ~~Donc~~ i.e. f' = f^{-1}. Donc dès que \Delta \neq 1, \Delta inversible, f' n'est pas un hom. d'algèbres…

On se propose maintenant, à tout x' \in \Gamma_S(E') d'associer (51) \qquad \rho_E(x') : E \longrightarrow E ~~dérivation~~ endomorphisme de E qui invarie \varphi (donc [\ ,\ ]_{\varphi}) infinitésimalement : (52) \qquad \varphi\bigl(\rho_E(x')x, y\bigr) + \varphi\bigl(x, \rho_E(x')y\bigr) = 0 \qquad \text{ce qui implique} (53) \qquad \rho_E(x')[x, y]_{\varphi'} = [\rho_E(x')x, y]_{\varphi'} + [x, \rho_E(x')y]_{\varphi'} de sorte qu'on obtient un hom (54) \qquad E' \xrightarrow{\ \rho_E\ } \underline{\mathrm{Hom}}^{\varphi}(E, E) (endom. de E invariant infinitésimalement \varphi) qui en fait est un hom. d'algèbres de Lie (55) \qquad \rho_E\bigl([x', y']_{\varphi'}\bigr) = [\rho_E(x'), \rho_E(y')] . le second membre est souligné d'une accolade portant « crochet d'endomorphismes ». ~~(56)~~ et que l'on ait (56) \qquad f\bigl(\rho_E(x')x\bigr) = \mathrm{ad}_{[\ ,\ ]_{\varphi}}(x')\, f(x) \quad \Bigl(\overset{\text{déf}}{=} [x', f(x)]_{\varphi} \underset{(12)}{=} f\alpha'\bigl(x' \wedge f(x)\bigr)\Bigr) i.e. f : E \to E', en tant que hom. d'algèbres de Lie, commute aux ~~opérations~~ \rho_E et \mathrm{ad}_{[\ ,\ ]_{\varphi}} de l'algèbre de Lie E' sur l'une et l'autre.

NB Le fait que (52) – pour toute base – implique (53), est standard par « transport de structure » ; on interprète (52) comme la phrase continue en tête de la page 17.

On a oublié une formule naturelle, en introduisant l'opération adjointe \tilde{\rho}_E de E sur lui-même, et l'opération \tilde{\rho}_{E'} déduite de f : E \to E' et de l'op. adj. de E' sur E' (\tilde{\rho}_E(x).y = [x, y]_{\varphi'}, \tilde{\rho}_{E'}(x).x' = \rho_{E'}(f(x)).x' = [f(x), x']_{\varphi}). C'est la formule (56 bis) exprimant que \rho_E(f(x')) = \tilde{\rho}_E(x') évidente de E sur lui-même i.e. \rho_E « prolongeant » \tilde{\rho}_E note écrite en remontant le long du bord gauche, sur plusieurs colonnes, lue sur la marge redressée ; l'ordre des fragments et les accents de x' dans « \rho_E(f(x')) = \tilde{\rho}_E(x') » sont incertains.

cette page fait suite à la page 17 : elle commence par la fin, biffée, de la phrase qui clôt celle-ci (« La formule (56) s'écrit, en prenant le »). ~~produit scalaire avec z \in \Gamma_S(E), et posant z' = {}^{t}f(z) \langle \rho_E(\xi').x, z' \rangle = \langle f\alpha'(x' \wedge f(x)), z' \rangle~~ ce bloc est encadré et barré de quatre traits obliques. ~~on exige~~ f\bigl(\rho_E(\xi').x\bigr) = f\bigl(\alpha'(\xi' \wedge f(x))\bigr) elle résulte de la formule plus précise (56\ \text{bis}) \qquad \rho_E(\xi').x = \alpha'\bigl(\xi' \wedge f(x)\bigr) qui s'écrit, en prenant le produit scalaire avec x' dans E' et explicitant le premier membre grâce à (59 bis) : -\bigl\langle x, [\xi', x']_{\varphi'} \bigr\rangle = \bigl\langle \alpha'(\xi' \wedge f(x)), x' \bigr\rangle ~~on a encore~~ -\bigl\langle x, f\alpha'(\xi' \wedge x') \bigr\rangle = -\bigl\langle \alpha'(\xi' \wedge x'), {}^{t}f(x) \bigr\rangle entre les deux dernières lignes, une ligne entièrement biffée et illisible. ou en multipliant par \omega et utilisant la définition (7) de \alpha', et utilisant {}^{t}f = f i.e. ~~-\varphi(\alpha'(\xi' \wedge x'), x)~~ \varphi symétrique -\xi' \wedge x' \wedge f(x) = \xi' \wedge f(x) \wedge x' ce qui est bien vrai, hurrah ! Dans le formulaire (52) à (56), il reste à vérifier (52), qui s'écrit \bigl\langle y, f(\rho_E(\xi').x) \bigr\rangle + \bigl\langle \rho_E(\xi').y, f(x) \bigr\rangle = 0 Or on vient de prouver f(\rho_E(\xi')x) = \rho_{E'}(\xi')f(x), de sorte que la formule devient \bigl\langle y, \rho_{E'}(\xi')f(x) \bigr\rangle + \bigl\langle \rho_E(\xi')y, f(x) \bigr\rangle = 0 la phrase continue en tête de la page 18.

cette page fait suite à la page 15 : elle achève la phrase « on interprète (52) comme ». exprimant qu'un certain automorphisme de E_{\tilde{S}} (\tilde{S} = schéma des nombres duaux) défini par f(x) invarie \varphi_{\tilde{S}} – donc invarie [\ ,\ ]_{\varphi_{\tilde{S}}} – et en interprétant (53) de façon analogue.

Construction. L'algèbre de Lie \mathfrak{g} = E' opérant sur le module E' par représentation adjointe (57) \qquad \rho_{E'}(\xi')x' \overset{\text{déf}}{=} [\xi', x']_{\varphi'} , on la fait opérer sur E = \check{E}' par contragrédiente, (58) \qquad \rho_E(\xi') = -{}^{t}\rho_{E'}(\xi') dans (57) et (59 bis) l'indice du crochet est écrit \varphi suivi d'un signe épais, lu ici comme un accent ; il pourrait s'agir d'un astérisque. i.e. en exigeant (59) \qquad \bigl\langle \rho_E(\xi')x, x' \bigr\rangle + \bigl\langle x, \rho_{E'}(\xi')x' \bigr\rangle = 0 i.e. (59\ \text{bis}) \qquad \bigl\langle \rho_E(\xi')x, x' \bigr\rangle = -\bigl\langle x, \underbrace{[\xi', x']_{\varphi'}}_{f\alpha'(\xi' \wedge x')} \bigr\rangle = -\varphi\bigl(\alpha'(\xi' \wedge x'), x\bigr) Le fait que \mathfrak{g} opère sur E' de façon compatible avec les crochets implique qu'il opère sur E \simeq \check{E}', i.e. prouve (55).

La formule (56) s'écrit, ~~en prenant le~~ la suite est en tête de la page 16.

cette page fait suite à la page 16. ce qui n'est autre que la définition (58) explicitée par (59), (en posant f(x) = y').

Reprenons l'exemple de la forme quadratique (21) et la forme \varphi associée (22), d'où la structure d'algèbre de Lie (26) sur E' de base X = e'_1 ,\ Y = e'_2 ,\ H = e'_3 , \quad \text{et} (61) \qquad \omega' = -X \wedge H \wedge Y (Au lieu de \omega ~~on aurait~~ on aurait pu choisir \omega' = -\omega = X \wedge H \wedge Y sans inconvénient, on aurait toujours une structure orthogonale spéciale (q, \omega')…)

Explicitons dans ce cas toutes les opérations précédentes. On posera aussi (62) \qquad \tilde{X} = e_2 ,\ \tilde{Y} = e_1 ,\ \tilde{H} = e_3 et quand on regarde E (\simeq \mathcal{O}_S^3) comme une Algèbre de Lie, nous préférons les notations pour la base, qu'on prendra dans l'ordre (63) \qquad \tilde{X}, \tilde{H}, \tilde{Y} donc (64) \qquad \omega = \tilde{X} \wedge \tilde{H} \wedge \tilde{Y} (NB il y a un signe ici !) On trouve (65) \qquad f(\tilde{X}) = X ,\ f(\tilde{Y}) = Y ,\ f(\tilde{H}) = 2H Ici, en vertu de (32) \Delta = -2 d'où on trouve

NB Faisant x = y dans (52), on trouve 2\varphi(x, \rho_{E'}(\xi')x) = 0, en fait même (52 bis) \varphi(x, \rho_{E'}(\xi').x) = 0 (se déduit de la précédente, par principe de prolongement … une forme quadratique cette forme quadratique …) ; quand \varphi est associée (52 bis) signifie que l'action Notons enfin (60) \mathrm{Tr}\, \rho_E(\xi') = 0 (qui exprime que \rho_E(\xi') « invarie » \omega) (idem pour \rho_{E'}, \tilde{\rho}_E, …) deux notes écrites en remontant le long du bord gauche, lues sur la marge redressée ; la formule (60) n'existe que dans cette marge. Dans la première, l'indice de \rho (écrit E') et plusieurs mots entre les formules restent illisibles.

(66) \qquad f'(X) = 2\tilde{X} ,\ f'(Y) = 2(\tilde{Y}) ,\ f'(H) = \tilde{H} La forme bilinéaire \varphi' correspondante sur E' ~~associée~~ est donc définie par (67) \qquad \begin{cases} \varphi'(X, X) = \varphi'(Y, Y) = 0 & \varphi'(H, H) = 1 \\ \varphi'(X, H) = \varphi'(Y, H) = 0 & \varphi'(X, Y) = 2 \end{cases} i.e. en termes de \xi = xX + hH + yY , \qquad \xi' = x'X + h'H + y'Y la forme \varphi' s'explicite par (68) \qquad \varphi'(\xi, \xi') = \varphi\bigl((x, h, y); (x', h', y')\bigr) = hh' + 2(xy' + yx') la forme quadratique associée q' étant donnée par (69) \qquad q'(\xi) = \varphi'(\xi, \xi) = h^2 + 4xy « Si 2 non inversible sur S, \varphi' n'est pas associée à une forme quadratique, car en car. 2 la forme q'(\xi) se réduit à h^2, qui est non nulle… On entend que dans les coordonnées naturelles choisies, d'expressions q, \varphi, \varphi' à expressions polynomiales à coefficients entiers, aucune de ces expressions n'est divisible par un entier > 1 – i.e. les coeff. sont premiers entre eux. Cela signifie aussi que si S est le spectre d'un corps (de car. quelc.), ces quantités fonctions sont \neq 0.

Calculant la loi de crochet sur E, on trouve (70) \qquad [\tilde{H}, \tilde{X}] = 2\tilde{X} ,\ [\tilde{H}, \tilde{Y}] = -2\tilde{Y} ,\ [\tilde{X}, \tilde{Y}] = \tilde{H} qui est la loi bien connue du crochet de l'algèbre de Lie \mathfrak{sl}(2)_S spéciale linéaire, qui est l'algèbre de Lie de \mathrm{SL}(2)_S. Comme f, comme l'homomorphisme d'algèbres de Lie correspondant à l'~~homom.~~ isogénie bien connue (71) \qquad \mathrm{SL}(2)_S \longrightarrow \mathrm{GP}(1)_S ~~qui f~~ de noyau \mu_2 (qui est le centre de \mathrm{SL}(2)_S). Comme : l'opération de E' sur E, elle correspond à l'opération bien connue de \mathrm{GP}(1)_S sur \mathrm{SL}(2)_S, déduite par passage au quotient de la représentation adjointe de \mathrm{SL}(2) sur lui-même (qui est bien triviale sur le centre \mu_2…). En termes des bases précédentes, on a ~~(72) \rho_X = \tilde{\rho}~~ (72) \qquad \begin{cases} \rho_E(X) = \tilde{\rho}_E(\tilde{X}) : & \tilde{X} \mapsto 0 ,\ \tilde{Y} \mapsto \tilde{H} ,\ \tilde{H} \mapsto -2\tilde{X} \\ \rho_E(Y) = \tilde{\rho}_E(\tilde{Y}) : & \tilde{X} \mapsto -\tilde{H} ,\ \tilde{Y} \mapsto 0 ,\ \tilde{H} \mapsto 2\tilde{Y} \\ \rho_E(H)\ (= \tfrac{1}{2}\tilde{\rho}_{\tilde{H}}\ \text{sic}) : & \tilde{X} \mapsto \tilde{X} ,\ \tilde{Y} \mapsto -\tilde{Y} ,\ \tilde{H} \mapsto 0 \end{cases} (Ici le plus commode était d'utiliser la « formule oubliée » (56 bis)…) la « formule oubliée » est celle de la note marginale de la page 15.