Cote n° 82 · pages 1–78 · Lecture modernisée · SO(3) ≃ GP(1) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–78

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier est fait de trois suites, ouvertes chacune par une couverture rose, et il n'y a de sa main aucune pagination. Les nombres au crayon des couvertures sont des comptes de pages : « (29 p) » sur la première couvre, à une page près, les pages 2 à 31 ; « (21 p) » sur la deuxième (page 32) tombe juste pour les pages 33 à 55 une fois écartées les deux pages blanches 35 et 45. Les numéros de formules sont repris tels que les pages les donnent ; ils forment trois suites : (1) à (93) aux pages 2 à 29, (1) à (25) aux pages 36 et 46 à 54 (la page 36 ouvre sa propre suite (1)–(2)), (1) à (61) aux pages 60 à 78.

Les stations

• I. Algèbres de Lie de rang \(3\) (pages 2 à 31). Une forme bilinéaire \(\varphi\) sur un module \(E\) de rang \(3\) muni d'une base \(\omega\) de \(\det E\) définit un crochet sur le dual \(E'\) ; \(\varphi\) symétrique donne une algèbre de Lie. L'application cofacteur \(f' = \Lambda^2 f\) donne un crochet sur \(E\), \(f : E \to E'\) est un homomorphisme, \(E'\) opère sur \(E\). L'exemple \(xy + z^2\) donne \(\mathfrak{sl}_2 \to \mathfrak{pgl}_2\). Formes de Casimir, changements d'échelle, caractéristique \(2\). Puis \(G = \mathrm{SO}(q)\), son revêtement \(\widetilde{G}\), et l'isomorphisme \(E' \simeq \mathrm{Lie}\, G\). La suite s'arrête sur une parenthèse qu'elle n'ouvre pas.
• II. Le deuxième cahier (pages 33 à 55). Une rotation d'un polygone régulier (page 33) ; la chaîne algèbres spéciales \(=\) droites du plan \(=\) diviseurs de degré \(2\) de la conique \(=\) sous-groupes commutatifs lisses de dimension \(1\) (page 34) ; commutants et centralisateurs dans \(\mathrm{PGL}(V)\), avec les contre-exemples de caractéristique \(2\) (pages 36 à 44) ; algèbres de quaternions, la conique \(X \simeq \check{\mathbb{P}}(V)\), l'involution canonique, les sous-groupes « jacobiens » (pages 46 à 55).
• III. Dictionnaire lié à \(\mathrm{GP}(1) \simeq \mathrm{SO}(3)\) (pages 57 à 78). Neuf catégories fibrées, qui sont des gerbes ; leurs représentants typiques sur \(\mathbf{Z}\) ; les opérations de \(G_0 = \mathrm{PGL}_2\) ; les foncteurs du dictionnaire (III à V) ; enfin (VI) l'algèbre de quaternions comme clef de tous les objets. Le dossier s'arrête au milieu de VI, sur le morphisme de Frobenius.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(S\) est un schéma ; « Module » veut dire \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini, et un fibré vectoriel est identifié à son Module de sections. \(E\) et \(E'\) sont de rang \(3\), en dualité par \(\langle\ ,\ \rangle\) ; \(\omega\) est une base de \(\det E = \Lambda^3 E\), \(\omega'\) la base duale de \(\det E'\). Une forme bilinéaire \(\varphi\) sur \(E\) et l'application \(f : E \to E'\) se déterminent l'une l'autre par \(\langle y, f(x) \rangle = \varphi(x, y)\). Le crochet construit sur \(E'\) est noté \([\ ,\ ]_{\varphi}\), celui construit sur \(E\) est noté \([\ ,\ ]_{\varphi'}\), comme sur les pages. Une forme quadratique \(q\) et sa forme polaire \(\varphi\) sont liées par \(q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y)\), d'où \(\varphi(x, x) = 2q(x)\).

Pour un Module \(F\), \(\check{\mathbb{P}}(F)\) est le schéma des sous-fibrés de rang \(1\) de \(F\) et \(\mathbb{P}(F)\) celui de ses hyperplans (sous-fibrés de corang \(1\)), de sorte que \(\mathbb{P}(F) = \check{\mathbb{P}}(F^{\vee})\) ; c'est la convention des pages, que celles-ci ne tiennent pas toujours (page 34). En rang \(2\) les deux coïncident.

\(\mathrm{GP}(1)\) est le groupe projectif \(\mathrm{PGL}_2\), \(\mathfrak{gp}(1)\) son algèbre de Lie \(\mathfrak{pgl}_2 = \mathfrak{gl}_2/\mathcal{O}\cdot 1\) ; on garde la notation des pages quand on les cite. \(G = \mathrm{SO}(q)\) est le groupe des automorphismes de \((E, q, \omega)\), \(\widetilde{G}\) son revêtement simplement connexe, \(\mathfrak{g}\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) leurs algèbres de Lie. Pour une algèbre de quaternions \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{M}^{\times}\) est son groupe des unités (les pages écrivent \(\check{\mathbb{V}}(\mathcal{M})^{*}\) ou \(\mathcal{L}(\mathcal{M})\)), \(\det\) et \(\mathrm{Tr}\) ses norme et trace réduites.

Deux homonymies. Les lettres \(X, Y, H\) désignent, dans la première suite et à la page 40, une base de \(\mathfrak{gp}(1)\) ; à partir de la page 34, \(X\) est une conique et \(Y\) un diviseur de degré \(2\) sur elle. Les deux usages ne se croisent jamais dans une même section. D'autre part, les pages 36 à 43 nomment \(H\) un sous-groupe commutatif lisse de dimension relative \(1\) ; c'est le même objet que le sous-groupe « jacobien » \(\mathcal{T}\) de la page 54, et on l'écrit \(\mathcal{T}\) partout ici. De même \(\Delta\) est, dans la première suite, le scalaire déterminant de \(f\) ; la forme \(u \mapsto -\det u\) sur une algèbre de quaternions, que la page 47 nomme aussi \(\Delta\), est écrite ici \(Q_{\mathcal{M}}\), et la quadrique qu'elle définit \(\mathcal{Q}\).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

• La page 31 annonce un isomorphisme \(E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) et dit qu'il faut pour cela « redéfinir avec précision, en termes élémentaires, la construction de \(\widetilde{G}\) ». La section VI du Dictionnaire (pages 68 à 75) le fait en substance : \(\widetilde{G}\) est le noyau de la norme réduite d'une algèbre de quaternions, \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) ses éléments de trace nulle, \(q = -\det\), et \((E, q, \omega) = (\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega)\) par définition (50), le signe de \(\omega\) étant fixé par (52).
• Le signe de la page 19 (\(f'(X) = 2\widetilde{X}\), etc.) est contredit par le dossier lui-même : la page 75 trouve \(ff' = -2\), ce que donne aussi la formule de Cramer avec \(\Delta = -2\). La relation de Casimir (74), qui en dépendait, se corrige en conséquence, et sa seconde moitié est la relation avec la forme de Killing que la page 72 énonce indépendamment.
• La dimension \(6\) du groupe des automorphismes d'une forme de \(\mathfrak{sl}(2)\) en caractéristique \(2\) (page 27) est la raison de la restriction \((*)\) des pages 57 à 59 : le foncteur « algèbre de Lie » n'est une équivalence qu'au-dessus de \(\mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\).
• Le sous-groupe \(H\) des pages 36 et 37, image de \((\mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u)^{\times}\), est le sous-groupe jacobien \(\mathcal{T}\) attaché à l'algèbre spéciale \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u\) à la page 54 ; et le contre-exemple de caractéristique \(2\) de la page 40 limite l'affirmation de la page 55 selon laquelle \(\mathcal{T}\) est le centralisateur de son algèbre de Lie.
• La chaîne d'isomorphismes de la page 34 est le Corollaire (21)–(22) des pages 52 et 53, écrit avant sa démonstration dans l'ordre des feuillets.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

L'isomorphisme \(E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) pour un module spécial quadratique quelconque, avec ses propriétés (page 31) ; les équivalences de la page 46 et les isomorphismes (7) de la page 62, admis « pour ne pas nous éterniser » ; le dictionnaire complet de la page 58 ; la démonstration de l'énoncé sur les sous-groupes d'ordre premier (pages 41 à 43) ; la question de savoir si un sous-groupe lisse de dimension \(1\) sur une base est automatiquement commutatif, et le normalisateur (pages 43 et 44, qui s'interrompent) ; la question en marge de la page 77. Le dossier s'arrête à la page 78, au milieu de VI.

2–31

I. Algèbres de Lie de rang \(3\) associées aux formes bilinéaires (pages 1 à 31)

2–3

La donnée, et les deux isomorphismes \(\alpha\), \(\alpha'\) (pages 2 et 3)

Soient \(E\), \(E'\) deux Modules de rang \(3\) sur \(S\) en dualité parfaite \(E \times E' \to \mathcal{O}_S\) ; d'où \(\det E \otimes \det E' \simeq \mathcal{O}_S\). Les accouplements \(E \times \Lambda^2 E \to \det E\) et \(E' \times \Lambda^2 E' \to \det E'\) sont parfaits, d'où des isomorphismes \(\Lambda^2 E \simeq E' \otimes \det E\) et \(\Lambda^2 E' \simeq E \otimes \det E'\). On suppose \(E\) spécial, c'est-à-dire muni d'une base \(\omega\) de \(\det E\) ; soit \(\omega'\) la base duale de \(\det E'\). Les isomorphismes précédents deviennent \[ \alpha : \Lambda^2 E \xrightarrow{\ \sim\ } E', \qquad \alpha' : \Lambda^2 E' \xrightarrow{\ \sim\ } E, \] caractérisés par \[ (7) \qquad \langle x, \alpha(\psi) \rangle\, \omega = x \wedge \psi , \qquad \langle \alpha'(\psi'), x' \rangle\, \omega' = \psi' \wedge x' \] pour \(x \in E\), \(\psi \in \Lambda^2 E\), \(x' \in E'\), \(\psi' \in \Lambda^2 E'\)¹ . Si \((e_1, e_2, e_3)\) est une base de \(E\) avec \(\omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\), et \((e'_i)\) la base duale, on pose \(\bar{e}_1 = e_2 \wedge e_3\), \(\bar{e}_2 = e_3 \wedge e_1\), \(\bar{e}_3 = e_1 \wedge e_2\), de même \(\bar{e}'_i\), et \[ (10) \qquad \alpha(\bar{e}_i) = e'_i , \qquad \alpha'(\bar{e}'_i) = e_i . \] En coordonnées, \(\alpha\) et \(\alpha'\) ne sont autres que le produit vectoriel : \(\alpha(x \wedge y) = x \times y\) quand on identifie \(E\) et \(E'\) à \(\mathcal{O}_S^3\) par des bases duales.

Observation. On a des bijections canoniques entre les formes bilinéaires \(\varphi\) sur \(E\), les applications linéaires \(f : E \to E'\) (par \(\langle y, f(x) \rangle = \varphi(x, y)\)) et les structures d'algèbre alternée sur \(E'\), la dernière associant à \(f\) le crochet \[ (12) \qquad [x', y']_{\varphi} = f\bigl(\alpha'(x' \wedge y')\bigr) . \] La bijection est celle de \(\mathrm{Hom}(E, E') \simeq \mathrm{Hom}(\Lambda^2 E', E')\) déduite de \(\alpha'\) : toute algèbre alternée sur un module de rang \(3\) s'écrit ainsi, et c'est l'énoncé moderne qu'une algèbre de Lie de dimension \(3\) est codée par un tenseur de type \((1,1)\)² .

5–6

L'identité de Jacobi (pages 5, 4 et 6)

Les pages 4 et 5 se lisent à rebours : la page 5 précède la page 4, qui commence au milieu de sa dernière phrase. Dans les bases précédentes, notons \(\varphi_{ij} = \varphi(e_i, e_j)\) ; la matrice de \(f\) est la transposée de \((\varphi_{ij})\), et (12) donne \[ (12) \qquad [e'_2, e'_3]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{1j}\, e'_j , \quad [e'_3, e'_1]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{2j}\, e'_j , \quad [e'_1, e'_2]_{\varphi} = \sum_j \varphi_{3j}\, e'_j . \] Les symétries apparaissent en écrivant \[ (15) \qquad (\varphi_{ij}) = \begin{pmatrix} a & r & q' \\ r' & b & p \\ q & p' & c \end{pmatrix}, \] de sorte que la transposition échange \(p \leftrightarrow p'\), \(q \leftrightarrow q'\), \(r \leftrightarrow r'\) et qu'une permutation circulaire de la base permute circulairement \((a, b, c)\), \((p, q, r)\), \((p', q', r')\). On trouve \[ (17) \qquad \sum_{\text{circ}} [[e'_1, e'_2], e'_3] = \bigl[a(p' - p) + q'r' - qr\bigr] e'_1 + \bigl[b(q' - q) + r'p' - rp\bigr] e'_2 + \bigl[c(r' - r) + p'q' - pq\bigr] e'_3 , \] et \(E'\) est une algèbre de Lie si et seulement si les trois coefficients sont nuls — conditions (18) —, c'est-à-dire si trois différences de mineurs d'ordre \(2\) de \((\varphi_{ij})\) et de sa transposée s'annulent (19)³ .

Proposition (page 6). Si \(\varphi\) est symétrique, \([\ ,\ ]_{\varphi}\) est une structure d'algèbre de Lie sur \(E'\). En effet \(p = p'\), \(q = q'\), \(r = r'\) annulent (17)⁴ .

6–6

L'exemple : \(xy + z^2\) et l'algèbre de Lie de \(\mathrm{PGL}_2\) (page 6)

Prenons \(E = \mathcal{O}_S^3\), \(\omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\) et \[ (21) \qquad q(x, y, z) = xy + z^2 , \qquad \varphi\bigl((x, y, z), (x', y', z')\bigr) = xy' + yx' + 2zz' , \] donc \(a = b = 0\), \(c = 2\), \(p = p' = q = q' = 0\), \(r = r' = 1\)⁵ , et \(f(e_1) = e'_2\), \(f(e_2) = e'_1\), \(f(e_3) = 2e'_3\). Les formules (12) donnent \([e'_2, e'_3] = e'_2\), \([e'_3, e'_1] = e'_1\), \([e'_1, e'_2] = 2e'_3\), c'est-à-dire, avec \(X = e'_1\), \(Y = e'_2\), \(H = e'_3\), \[ (26) \qquad [H, X] = X , \qquad [H, Y] = -Y , \qquad [X, Y] = 2H , \] les formules de l'algèbre de Lie de \(\mathrm{GP}(1) = \mathrm{PGL}_2\) sur \(\mathbf{Z}\), « universelle » au sens où elle est définie sur \(\mathbf{Z}\)⁶ .

7–8

Discriminant et structure spéciale orthogonale (pages 7 et 8)

Le discriminant d'une forme bilinéaire \(\varphi\) sur \(E\) est \(\delta(\varphi) = \det(\varphi_{ij})\, \omega'^{\otimes 2}\), section de \((\det E^{\vee})^{\otimes 2} = (\det E)^{\otimes -2}\), indépendante de la base⁷ . Pour la forme polaire d'une forme quadratique \(q = ax^2 + by^2 + cz^2 + pyz + qzx + rxy\), de matrice \(\begin{pmatrix} 2a & r & q \\ r & 2b & p \\ q & p & 2c \end{pmatrix}\), \[ (30) \qquad \delta(\varphi) = 2\,(4abc + pqr - ap^2 - bq^2 - cr^2)\, \omega'^{\otimes 2} , \] et l'on pose \(\delta'(q) = (4abc + pqr - ap^2 - bq^2 - cr^2)\, \omega'^{\otimes 2}\), le discriminant divisé (aujourd'hui : demi-discriminant), qui garde un sens en caractéristique \(2\). Pour \(q = xy + z^2\), \(\delta'(q) = -\omega'^{\otimes 2}\).

D'où la définition : une structure spéciale orthogonale sur un Module \(E\) de rang \(3\) est un couple \((q, \omega)\), \(q\) forme quadratique et \(\omega\) base de \(\det E\), tel que \[ (33) \qquad \delta'(q) = -\,\omega^{\otimes(-2)} . \] En rang \(2n\) ou \(2n + 1\), on demanderait \(\delta'(q) = (-1)^n \omega^{\otimes(-2)}\) (où \(\delta'\) est le discriminant en rang pair), normalisation choisie pour que la forme standard \(\sum_{i=1}^{n} x_{2i-1}x_{2i}\), resp. cette forme plus \(x_{2n+1}^2\), l'admette avec \(\omega = e_1 \wedge \cdots \wedge e_N\)⁸ . Une structure spéciale orthogonale associée à \(q\) existe localement si et seulement si \(q\) est lisse, c'est-à-dire \(\delta'(q)\) inversible, et ces structures forment un torseur sous \(\mu_2\) (\(\omega \mapsto -\omega\))⁹ .

La construction précédente s'applique en échangeant \(E\) et \(E'\) : une forme bilinéaire sur \(E'\), c'est-à-dire une application \(E' \to E\), définit une algèbre alternée sur \(E\).

9–13

L'application cofacteur \(f'\) et le crochet sur \(E\) (pages 9 à 13)

À \(f : E \to E'\) on associe \(\Lambda^2 f\), d'où \[ (38) \qquad f' = \alpha' \circ \Lambda^2 f \circ \alpha^{-1} : E' \longrightarrow E , \qquad f'\bigl(\alpha(x \wedge y)\bigr) = \alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr) \] ¹⁰ . Dans des bases duales, la matrice de \(f'\) est formée des neuf mineurs d'ordre \(2\) de celle de \(f\) : c'est la comatrice, et \(f'\) est symétrique avec \(f\). La forme \(\varphi'\) sur \(E'\) associée à \(f'\) définit donc, par la construction échangée, une structure d'algèbre de Lie sur \(E\) : \[ (40\ \text{bis}) \qquad [x, y]_{\varphi'} = f'\alpha(x \wedge y) = \alpha'\bigl(f(x) \wedge f(y)\bigr), \qquad \bigl\langle [x, y]_{\varphi'}, x' \bigr\rangle\, \omega' = f(x) \wedge f(y) \wedge x' . \]

Cramer. Écrivons \(\delta(\varphi) = \Delta\, \omega^{\otimes -2}\), \(\Delta \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) ; \(\Delta\) est le déterminant de \(f\) relativement à \(\omega\), \(\omega'\). Les formules de Cramer donnent \[ (42) \qquad f'f = \Delta\, \mathrm{id}_E , \qquad ff' = \Delta\, \mathrm{id}_{E'} . \] La relation entre \(f\) et \(f'\) n'est pas symétrique : \(f' = 0\) si et seulement si \(f\) est de rang \(\leq 1\) en chaque point, alors que \(f\) de rang \(2\) donne \(f'\) de rang \(1\)¹¹ . Plus précisément, avec \(\delta(\varphi') = \Delta' \omega'^{\otimes 2}\), on a \(f'f'' = \Delta'\,\mathrm{id}\), \(f''f' = \Delta'\,\mathrm{id}\), et lorsque \(\Delta\) est inversible \[ (45) \qquad f' = \Delta f^{-1} , \qquad \det f' = \Delta^2 , \qquad \Delta' = \Delta^2 , \] d'où \[ (48) \qquad f'' = \Delta\, f , \] identité qui, par le « principe de conservation des identités algébriques », vaut pour tout \(f\) : c'est l'identité classique \(\mathrm{adj}(\mathrm{adj}\, M) = (\det M)^{n-2} M\) en dimension \(n = 3\)¹² . Si \(\Delta = 1\), \(f\) et \(f'\) sont inverses l'un de l'autre et la relation redevient symétrique. Mais ce qui intéressera, dit la page 13, c'est l'exemple (21), où \(\Delta = -2\), sans s'interdire de spécialiser en caractéristique \(2\), où \(\Delta = 0\)¹³ .

Changements d'échelle (pages 10 et 11). Si \(\omega\) est remplacé par \(\lambda\omega\), \(\lambda\) inversible, \(\varphi\) fixé, alors \(\alpha\) est divisé et \(\alpha'\) multiplié par \(\lambda\) ; \(\Delta\) et \(f'\) sont multipliés par \(\lambda^2\), le crochet \([\ ,\ ]_{\varphi}\) sur \(E'\) par \(\lambda\) ; le crochet sur \(E\) défini par une \(\varphi'\) fixée serait multiplié par \(\lambda^{-1}\), mais comme \(\varphi'\) est elle-même multipliée par \(\lambda^2\), le crochet \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) sur \(E\) est multiplié par \(\lambda\). Les deux crochets attachés à \((\varphi, \omega)\) varient donc du même facteur \(\lambda\)¹⁴ . À \(\omega\) fixé, \(\varphi \mapsto \mu\varphi\) multiplie \([\ ,\ ]_{\varphi}\) par \(\mu\) et \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) par \(\mu^2\) : le premier crochet dépend linéairement de \(\varphi\), le second quadratiquement.

13–14

\(f\) est un homomorphisme ; \(f'\) ne l'est pas (pages 13 et 14)

Programme (page 13). On va montrer que \(f : E \to E'\) est un homomorphisme d'algèbres, faire opérer (si \(\varphi\) est symétrique) l'algèbre de Lie \(E'\) sur \(E\) par dérivations qui préservent \(\varphi\), de façon que \(f\) commute aux actions de \(E'\) sur \(E\) et sur \(E'\), et, lorsque \(\varphi\) provient d'une forme quadratique lisse spéciale, interpréter le tout par un homomorphisme de schémas en groupes lisses \(\widetilde{G} \to G\) et une opération de \(G\) sur \(\widetilde{G}\).

\(f\) est un homomorphisme. Pour tout \(\varphi\), symétrique ou non, \[ (49) \qquad f[x, y]_{\varphi'} = [f(x), f(y)]_{\varphi} : \] le second membre vaut \(f\alpha'(f(x) \wedge f(y))\) par (12), et \([x, y]_{\varphi'} = \alpha'(f(x) \wedge f(y))\) est (40 bis).

\(f'\) n'en est pas un, sauf si \(\Delta = 1\). Supposons \(\Delta\) inversible. Alors \(f^{-1}\) est un isomorphisme d'algèbres, et \(f' = \Delta f^{-1}\) ; si \(f'\) était un homomorphisme, on aurait à la fois \(f^{-1}[x', y'] = [f^{-1}x', f^{-1}y']\) et \(\Delta f^{-1}[x', y'] = \Delta^2 [f^{-1}x', f^{-1}y']\), donc \((\Delta^2 - \Delta)[f^{-1}x', f^{-1}y'] = 0\) ; comme les crochets engendrent \(E\) (le crochet \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) est surjectif, \(f'\) et \(\alpha\) l'étant), \(\Delta^2 = \Delta\), soit \(\Delta = 1\)¹⁵ .

15–18

L'action de \(E'\) sur \(E\) (pages 15, 17, 16 et 18)

L'argument court de la page 15 à la page 17, puis 16, puis 18 : chaque page commence au milieu de la phrase qui achève la précédente dans cet ordre. On suppose désormais \(\varphi\) symétrique.

L'énoncé (page 15). À tout \(\xi' \in E'\) on veut associer un endomorphisme \(\rho_E(\xi')\) de \(E\) qui préserve \(\varphi\) infinitésimalement, \[ (52) \qquad \varphi\bigl(\rho_E(\xi')x, y\bigr) + \varphi\bigl(x, \rho_E(\xi')y\bigr) = 0 , \] qui soit une dérivation du crochet \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) de \(E\) (53), tel que \(\rho_E : E' \to \underline{\mathrm{End}}(E)\) soit un homomorphisme d'algèbres de Lie, \[ (55) \qquad \rho_E\bigl([\xi', \eta']_{\varphi}\bigr) = [\rho_E(\xi'), \rho_E(\eta')] , \] et que \(f\) entrelace \(\rho_E\) et la représentation adjointe de \(E'\) : \[ (56) \qquad f\bigl(\rho_E(\xi')x\bigr) = [\xi', f(x)]_{\varphi} \] ¹⁶ . Que (52) entraîne (53) est un « transport de structure » : \(1 + \varepsilon\rho_E(\xi')\) est un automorphisme de \(E\) sur les nombres duaux \(S[\varepsilon]\), et le crochet \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) est fonctoriel en \((\varphi, \omega)\). Il faut pour cela que cet automorphisme préserve aussi \(\omega\), c'est-à-dire \[ (60) \qquad \mathrm{Tr}\, \rho_E(\xi') = 0 , \] que la page ne note qu'en marge de la page 18 ; c'est vrai ici, parce qu'une algèbre de Lie de la forme (12) avec \(\varphi\) symétrique est unimodulaire (\(\mathrm{Tr}\, \mathrm{ad}\, \xi' = 0\))¹⁷ .

La construction (page 17). \(E'\) opère sur lui-même par la représentation adjointe \(\rho_{E'}(\xi')x' = [\xi', x']_{\varphi}\) ; on la fait opérer sur \(E = (E')^{\vee}\) par la contragrédiente, \[ (58) \qquad \rho_E(\xi') = -\,{}^{t}\rho_{E'}(\xi'), \] c'est-à-dire \[ (59\ \text{bis}) \qquad \bigl\langle \rho_E(\xi')x, x' \bigr\rangle = -\bigl\langle x, f\alpha'(\xi' \wedge x') \bigr\rangle = -\varphi\bigl(\alpha'(\xi' \wedge x'), x\bigr). \] La contragrédiente d'une représentation est une représentation : c'est (55).

La formule précise (page 16). On a \[ (56\ \text{bis}) \qquad \rho_E(\xi')x = \alpha'\bigl(\xi' \wedge f(x)\bigr). \] En effet, multipliant (59 bis) par \(\omega'\) et utilisant (7) et la symétrie de \(\varphi\), il s'agit de voir \(-\,\xi' \wedge x' \wedge f(x) = \xi' \wedge f(x) \wedge x'\), ce qui est vrai — « hurrah ! », écrit la page. Appliquant \(f\), on obtient (56). Enfin (52) s'écrit \(\langle y, f(\rho_E(\xi')x) \rangle + \langle \rho_E(\xi')y, f(x) \rangle = 0\), soit, grâce à (56), \(\langle y, \rho_{E'}(\xi')f(x) \rangle + \langle \rho_E(\xi')y, f(x) \rangle = 0\), ce qui est la définition (58)–(59) appliquée à \(x' = f(x)\) (page 18).

La formule « oubliée » (marge de la page 15). Soit \(\tilde{\rho}_E\) la représentation adjointe de \(E\) sur lui-même, \(\tilde{\rho}_E(x)y = [x, y]_{\varphi'}\). Alors \[ \rho_E\bigl(f(x)\bigr) = \tilde{\rho}_E(x) , \] c'est-à-dire que l'action de \(E'\), restreinte à \(E\) à travers \(f\), est l'action adjointe : par (56 bis) et (40 bis), \(\rho_E(f(x))y = \alpha'(f(x) \wedge f(y)) = [x, y]_{\varphi'}\)¹⁸ .

La forme quadratique (marge de la page 18). Faisant \(x = y\) dans (52), on trouve \(2\varphi(x, \rho_E(\xi')x) = 0\) ; en fait \(\varphi(x, \rho_E(\xi')x) = 0\) (52 bis), par prolongement à partir du cas universel sur \(\mathbf{Z}\), où \(2\) n'est pas diviseur de zéro. Cela signifie que \(\rho_E(\xi')\) préserve infinitésimalement la forme quadratique \(q\), et non seulement sa forme polaire — distinction qui n'a de contenu qu'en caractéristique \(2\)¹⁹ .

18–21

L'exemple explicité : \(\mathfrak{sl}_2 \to \mathfrak{pgl}_2\) (pages 18 à 21)

Revenons à (21) : \(E'\) a la base \(X, Y, H\) de (26), et \(\omega' = e'_1 \wedge e'_2 \wedge e'_3 = -X \wedge H \wedge Y\)²⁰ . Posons \[ (62) \qquad \widetilde{X} = e_2 , \quad \widetilde{Y} = e_1 , \quad \widetilde{H} = e_3 , \qquad \text{d'où} \qquad \omega = \widetilde{X} \wedge \widetilde{H} \wedge \widetilde{Y} \] (« il y a un signe ici ! »), et \[ (65) \qquad f(\widetilde{X}) = X , \quad f(\widetilde{Y}) = Y , \quad f(\widetilde{H}) = 2H , \qquad \Delta = -2 . \] Alors \[ (66) \qquad f'(X) = -2\widetilde{X} , \quad f'(Y) = -2\widetilde{Y} , \quad f'(H) = -\widetilde{H} , \] conformément à \(f'f = \Delta = -2\)²¹ . La forme \(\varphi'\) sur \(E'\) est donc, pour \(\xi = xX + hH + yY\) et \(\xi' = x'X + h'H + y'Y\), \[ (68) \qquad \varphi'(\xi, \xi') = -\bigl(hh' + 2(xy' + yx')\bigr) , \qquad \varphi'(\xi, \xi) = -(h^2 + 4xy) . \] Comme \(\varphi'(H, H) = -1\) est impair, \(\varphi'\) n'est la forme polaire d'aucune forme quadratique quand \(2\) n'est pas inversible : en caractéristique \(2\), \(\varphi'(\xi, \xi) = h^2\) n'est pas nul, alors qu'une forme polaire y est alternée. La page ajoute que, dans ces coordonnées, \(q\), \(\varphi\) et \(\varphi'\) sont à coefficients entiers premiers entre eux, donc non nulles sur tout corps.

Le crochet de \(E\) est \[ (70) \qquad [\widetilde{H}, \widetilde{X}] = 2\widetilde{X} , \quad [\widetilde{H}, \widetilde{Y}] = -2\widetilde{Y} , \quad [\widetilde{X}, \widetilde{Y}] = \widetilde{H} , \] celui de \(\mathfrak{sl}(2)\), algèbre de Lie de \(\mathrm{SL}(2)_S\), et \(f\) est l'homomorphisme d'algèbres de Lie de l'isogénie \[ (71) \qquad \mathrm{SL}(2)_S \longrightarrow \mathrm{GP}(1)_S \] de noyau \(\mu_2\), centre de \(\mathrm{SL}(2)\). L'action de \(E'\) sur \(E\) est la différentielle de l'action de \(\mathrm{GP}(1)\) sur \(\mathrm{SL}(2)\) déduite par passage au quotient de l'action adjointe, qui est triviale sur le centre. Avec (56 bis), le plus commode : \[ (72) \qquad \begin{cases} \rho_E(X) = \tilde{\rho}_E(\widetilde{X}) : & \widetilde{X} \mapsto 0 ,\ \widetilde{Y} \mapsto \widetilde{H} ,\ \widetilde{H} \mapsto -2\widetilde{X} \\ \rho_E(Y) = \tilde{\rho}_E(\widetilde{Y}) : & \widetilde{X} \mapsto -\widetilde{H} ,\ \widetilde{Y} \mapsto 0 ,\ \widetilde{H} \mapsto 2\widetilde{Y} \\ \rho_E(H) : & \widetilde{X} \mapsto \widetilde{X} ,\ \widetilde{Y} \mapsto -\widetilde{Y} ,\ \widetilde{H} \mapsto 0 \end{cases} \] où \(\rho_E(H)\) est « \(\tfrac{1}{2}\tilde{\rho}_E(\widetilde{H})\) (sic) » : la moitié d'un endomorphisme à coefficients pairs, bien défini sur \(\mathbf{Z}\).

Remarque (page 21). Si \(2\) est inversible, \(f\) est un isomorphisme d'algèbres de Lie, qui identifie \(E\) à \(E'\) (l'identification usuelle d'un espace quadratique avec son dual), \(\rho_E\) à l'action adjointe, et \(f' = \Delta f^{-1}\) à \(-2\,\mathrm{id}_E\), sans grand intérêt²² ; de même chaque fois que \(\Delta\) est inversible. Si \(2\) est nul sur \(S\), \(f\) a pour noyau \(\mathcal{O}_S\widetilde{H}\), qui est le centre de \(\mathfrak{sl}(2)\) et aussi son algèbre dérivée²³ ; \(f'\) a pour noyau \(\mathcal{O}_S X \oplus \mathcal{O}_S Y\), qui est l'algèbre dérivée de \(\mathfrak{gp}(1)\) et l'image de \(f\), et l'image de \(f'\) est le noyau \(\mathcal{O}_S\widetilde{H}\) de \(f\). Le centre de \(\mathfrak{gp}(1)\) est nul sur toute base. Il faudrait, dit la page, expliciter les formes de \(\mathfrak{sl}(2)\) et de \(\mathfrak{gp}(1)\) en caractéristique \(2\) — ce que fait la page 26 — « contrairement aux formes de \(\mathrm{SL}(2)_S\) ou \(\mathrm{GP}(1)_S\), qui sont équivalentes et équivalent aux formes de \(\mathbb{P}^1_S\) ».

22–24

Formes de Casimir (pages 22 à 24)

Posons \[ (73) \qquad \mathrm{Cas}_{E'}(x', y') = \mathrm{Tr}\bigl(\rho_{E'}(x')\rho_{E'}(y')\bigr), \qquad \mathrm{Cas}_E(x, y) = \mathrm{Tr}\bigl(\tilde{\rho}_E(x)\tilde{\rho}_E(y)\bigr), \] les formes de Killing de \(E'\) et de \(E\)²⁴ . Alors \[ (74) \qquad \mathrm{Cas}_{E'}(x', y') = -2\,\varphi'(x', y') , \qquad \mathrm{Cas}_E(x, y) = -2\Delta\, \varphi(x, y) . \] ²⁵ La page en donne une démonstration par réduction : les deux membres de chaque identité ont le même comportement quand \(\omega \mapsto \lambda\omega\) et \(\varphi \mapsto \mu\varphi\) (facteurs \(\lambda^2\mu^2\) et \(\lambda^2\mu^4\)) ; par conservation des identités polynomiales il suffit de les vérifier sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\) pour une forme non dégénérée, que l'on ramène, au prix de ces changements d'échelle, à (21) ; là, les deux membres sont des formes symétriques invariantes sous le groupe spécial orthogonal, donc proportionnelles, et il suffit de les comparer en un point : \(\mathrm{Cas}_{E'}(H, H) = 1 + 1 + 0 = 2\) et \(\varphi'(H, H) = -1\) ; \(\mathrm{Cas}_E(\widetilde{H}, \widetilde{H}) = 4 + 4 + 0 = 8\) et \(-2\Delta\,\varphi(\widetilde{H}, \widetilde{H}) = -2 \cdot (-2) \cdot 2 = 8\)²⁶ .

Pour une structure spéciale orthogonale \((q, \omega)\), \(\Delta = -2\) et \(\varphi(x, x) = 2q(x)\), d'où \[ (75)\text{--}(76) \qquad \mathrm{Cas}_E(x, x) = -4\Delta\, q(x) = 8\, q(x) . \] Donc, si \(2\) est inversible (ou seulement non diviseur de zéro), \(q\) se déduit de la structure d'algèbre de Lie de \(E\) : c'est la forme de Killing divisée par \(8\). De même, la première formule redonne \(\varphi'\) à partir du crochet de \(E'\), \(\mathrm{Cas}_{E'}(x', x') = -2\varphi'(x', x')\) (77). C'est la relation que la page 72 énonce, dans le langage des quaternions, entre \(q = -\det\) et la forme de Killing de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\).

25–25

Quand deux données donnent les mêmes crochets (page 25)

La page se présente comme un complément à la discussion de (42). On note \([\ ,\ ]_{\omega, \varphi}\) le crochet (12) sur \(E'\) et \([\ ,\ ]_{\omega, \varphi'}\) le crochet (40 bis) sur \(E\). D'après ce qui précède, \[ (78) \qquad [\ ,\ ]_{\lambda\omega, \mu\varphi} = \lambda\mu\, [\ ,\ ]_{\omega, \varphi} , \qquad [\ ,\ ]_{\lambda\omega, (\mu\varphi)'} = \lambda\mu^2\, [\ ,\ ]_{\omega, \varphi'} . \] Comme, à \(\omega\) fixé, \(\varphi \mapsto [\ ,\ ]_{\varphi}\) est bijectif, \[ (79) \qquad [\ ,\ ]_{\omega, \varphi} = [\ ,\ ]_{\omega_1, \varphi_1} \iff \omega_1 = \lambda\omega ,\ \varphi_1 = \lambda^{-1}\varphi \ \text{pour un}\ \lambda \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\times}). \] Pour le crochet de \(E\), on suppose \(\Delta\) inversible. Alors, à \(\omega\) fixé, \[ (80) \qquad f' = g' \iff g = \varepsilon f , \quad \varepsilon \in \Gamma(S, \mu_2) : \] si \(f' = g'\), \(\det f' = \det g'\) donne \(\Delta(f)^2 = \Delta(g)^2\), donc \(\Delta(g) = \varepsilon\Delta(f)\) avec \(\varepsilon^2 = 1\), et \(f = \Delta(f)^{-1}f''\), \(g = \Delta(g)^{-1}g''\) donnent \(g = \varepsilon f\)²⁷ . On en déduit, toujours pour \(\Delta\) inversible, \[ (81) \qquad [\ ,\ ]_{\omega_1, \varphi_1'} = [\ ,\ ]_{\omega, \varphi'} \iff \omega_1 = \mu^{-2}\omega ,\ \varphi_1 = \mu\varphi \ \text{pour un}\ \mu \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\times}), \] \(\mu\) étant alors uniquement déterminé par \(\varphi_1\)²⁸ .

26–27

Caractéristique \(2\) : algèbres couplées et plans affines symplectiques (pages 26 et 27)

Supposons \(2 = 0\) sur \(S\). D'après la page 21, \(\mathfrak{sl}(2)\) a un centre \(\mathfrak{z} = \mathcal{O}\widetilde{H}\) égal à son algèbre dérivée, le quotient \(V = \mathfrak{sl}(2)/\mathfrak{z}\) est de rang \(2\) et le crochet induit un isomorphisme \(\Lambda^2 V \simeq \mathfrak{z}\) : c'est l'algèbre de Heisenberg de dimension \(3\). Une forme de \(\mathfrak{sl}(2)\) est donc la même chose qu'un couple \((V, E)\), \(V\) de rang \(2\) et \(E\) une extension de \(V\) par \(\det V\), le crochet étant \([x, y] = \bar{x} \wedge \bar{y}\) ; pour \(V\) fixé, une telle extension revient à une extension de \(\mathcal{O}_S\) par \((\det V) \otimes V^{\vee} \simeq V\), c'est-à-dire à un fibré affine sous \(V\). De même \(\mathfrak{gp}(1)\) a l'idéal abélien \(V' = \mathcal{O}X \oplus \mathcal{O}Y\), de quotient \(\mathcal{O}_S\), et tout relèvement de \(1\) opère sur \(V'\) par l'identité ; une forme de \(\mathfrak{gp}(1)\) est un couple \((V', E')\), \(E'\) extension de \(\mathcal{O}_S\) par \(V'\)²⁹ .

Disons que deux telles algèbres \(E\), \(E'\) sont couplées s'il y a entre elles une dualité parfaite pour laquelle \(\det V \subset E\) est l'orthogonal de \(V' \subset E'\). Alors \(V' \simeq V^{\vee}\) et \(\det V \simeq \mathcal{O}_S\) : \(V\) reçoit une structure symplectique et \(V' \simeq V\). Les couples couplés équivalent donc aux triples \((V, \varphi, E)\), \(\varphi\) forme symplectique sur \(V\) et \(E\) fibré affine sous \(V\) : un fibré en plans affines symplectiques. Le schéma en groupes de leurs automorphismes est le groupe affine symplectique \(\mathrm{SL}(V) \ltimes V\), lisse de dimension relative \(5\), tandis que le groupe des automorphismes d'une forme de \(\mathfrak{sl}(2)\), ou de \(\mathfrak{gp}(1)\), est une forme du groupe affine \(\mathrm{GL}(V) \ltimes V\), lisse de dimension relative \(6\)³⁰ .

Les applications \(f\) et \(f'\) s'en déduisent : \(f\) est le composé \(E \to V \xrightarrow{\varphi} V' \to E'\), et \(f'\) le composé \(E' \to \mathcal{O}_S \simeq \det V \to E\). Une description de \(\rho_{E'}\) est commencée puis barrée.

28–31

Le groupe \(G = \mathrm{SO}(q)\), son revêtement, et \(E' \simeq \mathfrak{g}\) (pages 28 à 31)

Soient \(q\) une forme quadratique lisse sur \(E\), \(\varphi\) sa forme polaire, et \(\omega\) une base de \(\det E\) avec \(\delta'(q) = -\omega^{\otimes(-2)}\) (82). Posons \[ (83) \qquad G = \mathrm{SO}(q) = \underline{\mathrm{Aut}}(E, q, \omega) , \] et soit \(\widetilde{G} \xrightarrow{F} G\) son revêtement simplement connexe, de noyau canoniquement isomorphe à \(\mu_2\) : \[ (84) \qquad 1 \longrightarrow \mu_2 \longrightarrow \widetilde{G} \xrightarrow{\ F\ } G \longrightarrow 1 . \] Aujourd'hui, \(\widetilde{G}\) est le groupe \(\mathrm{Spin}(q)\), le groupe des éléments de norme \(1\) de l'algèbre de Clifford paire de \(q\), qui est une algèbre de quaternions³¹ . Le noyau étant central, l'action adjointe de \(\widetilde{G}\) sur lui-même passe au quotient en une action \[ (87) \qquad \rho : G \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(\widetilde{G}) , \] caractérisée par \(\rho(F(a))(b) = aba^{-1}\) et \(F(\rho(g)(b)) = g\,F(b)\,g^{-1}\) (diagrammes (88) et (89)). Sur les algèbres de Lie on obtient un homomorphisme \(\mathfrak{f} : \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}\) (90) et une action \(\rho_{\mathfrak{g}} : \mathfrak{g} \to \underline{\mathrm{Der}}(\widetilde{\mathfrak{g}})\) (91), avec \(\rho_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{f}(a)) = \mathrm{ad}(a)\) et \(\mathfrak{f}(\rho_{\mathfrak{g}}(x)b) = [x, \mathfrak{f}(b)]\) (92).

L'énoncé. Il existe des isomorphismes canoniques \[ (93) \qquad i : E \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{g}} , \qquad j : E' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{g} \] qui transportent les crochets de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et \(\mathfrak{g}\) en \([\ ,\ ]_{\varphi'}\) sur \(E\) et \([\ ,\ ]_{\varphi}\) sur \(E'\), l'homomorphisme \(\mathfrak{f}\) en \(f\), et \(\rho_{\mathfrak{g}}\) en \(\rho_E\) ; et le composé \(\mathfrak{g} \to \underline{\mathrm{Der}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \underline{\mathrm{Der}}(E) \subset \underline{\mathrm{End}}(E)\) est la représentation de \(\mathfrak{g}\) déduite de la représentation linéaire de \(G\) sur \(E\).

La moitié démontrée : \(j\). \(\rho_E\) envoie \(E'\) dans les endomorphismes de \(E\) qui préservent infinitésimalement \(q\) (marge de la page 18) et \(\omega\) (60), lesquels forment exactement \(\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}\, \mathrm{SO}(q)\) ; d'où \(j : E' \to \mathfrak{g}\), compatible aux crochets par (55). C'est un isomorphisme : \(E'\) et \(\mathfrak{g}\) étant localement libres de rang \(3\), il suffit que \(j\) soit injectif sur chaque fibre, ce qui se voit après extension à un corps \(k\) algébriquement clos. Là, on trouve une base où \(q = xy + z^2\) et \(\omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\) (quitte à changer \(e_3\) en \(-e_3\)), et (72) donne \[ \rho_E(xX + hH + yY) : \widetilde{X} \mapsto h\widetilde{X} - y\widetilde{H} , \quad \widetilde{Y} \mapsto x\widetilde{H} - h\widetilde{Y} , \quad \widetilde{H} \mapsto -2x\widetilde{X} + 2y\widetilde{Y} , \] qui n'est nul que pour \(x = y = h = 0\), en toute caractéristique³² .

La moitié annoncée : \(i\). « Il faut encore définir l'isom. \(E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) et prouver ses propriétés. Pour ceci il faut redéfinir avec précision, en termes élémentaires, la construction de \(\widetilde{G}\) sur \(G\) — il nous faut pour ceci ouvrir une parenthèse. » La page s'arrête là, au premier tiers de la feuille. La parenthèse n'est pas ouverte dans cette suite ; elle l'est, en substance, par la section VI du Dictionnaire (pages 68 à 75), où \(\widetilde{G}\) est le noyau de la norme réduite d'une algèbre de quaternions et où l'on pose \(E = \widetilde{\mathfrak{g}}\).

33–55

II. Le deuxième cahier (pages 32 à 55)

La couverture (page 32) ne porte que « (21 p) ». Le cahier n'est pas une suite continue : une page de calcul sur les polygones, une page de résumé, une étude des commutants dans \(\mathrm{PGL}(V)\) en rang \(2\), enfin les algèbres de quaternions.

33–33

La rotation d'un polygone régulier (page 33)

En tête, à l'encre noire : \[ F_3 = T , \quad F_4 = T - 1 , \quad F_5 = T^2 - T - 1 , \quad F_6 = T - 2 , \] \(F_n\) étant le polynôme minimal sur \(\mathbf{Q}\) de \(1 + 2\cos(2\pi/n) = 1 + \zeta + \zeta^{-1}\), \(\zeta\) racine primitive \(n\)-ième de l'unité. Puis un polygone régulier à \(n\) sommets \(\zeta_0, \zeta_1, \ldots\) inscrit dans un cercle, ses côtés \(e_1 = \zeta_1 - \zeta_0\), \(e_2 = \zeta_2 - \zeta_1\), et la rotation affine \(u\) qui envoie \(\zeta_i\) sur \(\zeta_{i+1}\) : \[ u(\zeta_0) = \zeta_0 + e_1 , \qquad u(e_1) = e_2 , \qquad u(e_2) = -e_1 + (\alpha - 1)e_2 . \] La partie linéaire de \(u\) a pour polynôme caractéristique \(T^2 - 2\cos(2\pi/n)\,T + 1\), donc \(\alpha - 1 = 2\cos(2\pi/n)\) ; et la flèche marquée \(\alpha\) que la figure trace de \(\zeta_0\) à \(\zeta_3\) s'explique : \(\zeta_3 - \zeta_0 = e_1 + e_2 + u(e_2) = \alpha\, e_2\). Ainsi \(\alpha = 1 + 2\cos(2\pi/n)\) est le rapport de la diagonale \(\zeta_0\zeta_3\) au côté, racine de \(F_n\) — le nombre d'or pour le pentagone, \(2\) pour l'hexagone — et c'est aussi la trace de la rotation d'angle \(2\pi/n\) de l'espace à trois dimensions³³ .

34–34

Algèbres spéciales, droites, diviseurs, sous-groupes (page 34)

La page aligne : \[ \begin{aligned} \text{AlgSpéc}(\mathcal{M}) &\simeq \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \check{\mathbb{P}}(\mathfrak{g}) \simeq \check{P} = \mathrm{Dr}(P) \simeq \mathrm{Div}_2^{+}(X) \\ &\simeq \{\text{sous-groupes commutatifs lisses de dimension } 1 \text{ de } G\} , \end{aligned} \] c'est-à-dire : les sous-algèbres spéciales d'une algèbre de quaternions, les droites du plan \(P\), les diviseurs effectifs de degré \(2\) de la conique \(X \subset P\), et les sous-groupes commutatifs lisses de dimension relative \(1\) de \(G\). C'est l'énoncé que les pages 50 à 55 démontrent, auxquelles on renvoie³⁴ . Pour un tel sous-groupe \(\mathcal{T}\), la page note : \(\mathcal{T}\) est son propre centralisateur ; \(X - Y\) (\(Y\) le diviseur de degré \(2\) correspondant) est un torseur sous \(\mathcal{T}\) ; \(N(\mathcal{T})/\mathcal{T}\) s'injecte dans \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathcal{T})\) et contient \(-\mathrm{id}_{\mathcal{T}}\)³⁵ .

36–40

Commutant d'un endomorphisme en rang \(2\) (pages 36 à 40)

Soient \(V\) un Module de rang \(2\) sur \(S\) et \(u \in \underline{\mathrm{End}}(V)\) nulle part scalaire : \(u_s \notin k(s)\cdot 1\) pour tout \(s \in S\). Le commutant de \(u\) dans \(\underline{\mathrm{End}}(V)\) est le sous-fibré \(\mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u\) : c'est le noyau de \(v \mapsto [u, v]\), dont le rang est \(2\) en tout point (page 38), et il contient \(\mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u\), qui est de rang \(2\). Le commutant dans \(\mathrm{GL}(V)\) est formé des \(\alpha + \beta u\) avec \[ (2) \qquad \det(\alpha + \beta u) = \alpha^2 + \alpha\beta\, \mathrm{Tr}\, u + \beta^2 \det u \] inversible, et son image \(\mathcal{T}\) dans \(\mathrm{GP}(V) = \mathrm{PGL}(V)\) est \[ \mathcal{T} = C_{\mathrm{PGL}(V)}(u) \simeq \mathbb{P}^1 - Q_{\mathrm{Tr}\,u,\ \det u} , \] où \(Q_{\tau, \delta} \subset \mathbb{P}^1\) est le diviseur de degré \(2\) d'équation \(\alpha^2 + \tau\alpha\beta + \delta\beta^2 = 0\), étale si et seulement si \(\tau^2 - 4\delta\) est inversible, c'est-à-dire si les valeurs propres de \(u\) sont distinctes en chaque point. \(\mathcal{T}\) est un tore si ce diviseur est étale, une forme de \(\mathbb{G}_a\) en un point où il est double³⁶ .

\(\mathcal{T}\) ne dépend que de \(\mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u\), ou de son image \(\mathfrak{h}\) dans \(\underline{\mathrm{End}}(V)/\mathcal{O}_S = \mathrm{Lie}\,\mathrm{PGL}(V)\), sous-fibré de rang \(1\) qui est \(\mathrm{Lie}\,\mathcal{T}\). D'où une correspondance entre sous-fibrés \(\mathfrak{h}\) de rang \(1\) de \(\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}\,\mathrm{PGL}(V)\) et sous-groupes commutatifs lisses de dimension relative \(1\) de \(\mathrm{PGL}(V)\)³⁷ .

\(\mathcal{T}\) est-il le centralisateur de \(\mathfrak{h}\) ? Deux questions se mêlent sur les pages 37, 39 et 40.

Le centralisateur d'un élément \(h\) de \(\mathcal{T}\) (pages 37 et 39). Si \(g h g^{-1} = \lambda h\) dans \(\mathrm{GL}(V)\), le déterminant donne \(\lambda^2 = 1\), donc \(g h^2 g^{-1} = h^2\) et \(g\) commute à \(h^2\) ; si \(h^2\) n'est pas scalaire, c'est-à-dire si \(h\) n'est pas une « réflexion », \(g \in \mathcal{T}\). Mais en caractéristique \(2\) il peut arriver que \(h^2 = 1\) pour tout \(h \in \mathcal{T}\) (le cas unipotent : \(h = 1 + tv\), \(v^2 = 0\)). La page passe alors à la section universelle \(\alpha + \beta u_0\), \(\alpha, \beta\) indéterminées : si \(g u_0 g^{-1} = \lambda_0 u_0\) et \(g(\alpha + \beta u_0)g^{-1} = \lambda(\alpha, \beta)(\alpha + \beta u_0)\), la comparaison des coefficients de \(1\) donne \(\lambda(\alpha, \beta)\alpha = \alpha\) dans l'anneau localisé \(\mathcal{O}_S[\alpha, \beta]_{\det(\alpha + \beta u_0)}\), d'où \(\lambda = 1\)³⁸ .

Le centralisateur de \(\mathfrak{h}\) (page 40). Si \(g\) centralise \(\mathfrak{h}\), alors \(gug^{-1} = u + \lambda\) ; la trace donne \(2\lambda = 0\). Si \(2\) est inversible, \(\lambda = 0\) et \(g \in \mathcal{T}\) : « gagné ». En caractéristique \(2\), non : le déterminant donne \(\lambda(\mathrm{Tr}\,u + \lambda) = 0\), et \(\lambda = \mathrm{Tr}\,u\) convient. Par exemple \(u = \mathrm{diag}(\zeta, \zeta + 1)\) avec \(\zeta^2 + \zeta + 1 = 0\) est conjugué à \(u + 1 = \mathrm{diag}(\zeta + 1, \zeta)\) sans lui être égal : le centralisateur de \(\mathfrak{h}\) contient l'élément qui échange les deux droites propres, et contient strictement \(\mathcal{T}\), tout en restant lisse de dimension relative \(1\) (c'est le normalisateur du tore)³⁹ . La même chose se lit dans l'algèbre de Lie : en caractéristique \(2\), dans \(\mathfrak{gp}(1)\) où \([H, X] = X\), \([H, Y] = Y\), \([X, Y] = 0\), le centralisateur de \(X\) est \(\{h = 0\}\), de dimension \(2\), « trop grande », celui de \(H\) est \(\mathcal{O}H\).

41–44

Sous-groupes d'ordre premier impair (pages 41 à 44, et le haut de la page 38)

La page 41 commence au milieu d'une démonstration dont l'énoncé est à la page 42, et le haut de la page 38 semble en être la fin⁴⁰ .

Énoncé (page 42). Soient \(G\) une forme de \(\mathrm{PGL}_2\) sur \(S\), \(p\) un nombre premier impair, \(\mu \subset G\) un sous-groupe fini étale de rang \(p\).

• a)Le centralisateur \(\mathcal{T}\) de \(\mu\) est lisse, commutatif, de dimension relative \(1\).
• b)Si \(p\) est inversible sur \(S\), soit \(N\) le normalisateur de \(\mu\) ; alors \(\mathcal{T} = N^{\circ}\), et \(N/\mathcal{T} \simeq \{\pm 1\}_S\) opère sur \(\mathcal{T}\) par \(h \mapsto h^{-1}\).

⁴¹

Démonstration (pages 42, 41, 38). Localement \(G = \widetilde{G}/\mu_2\) avec \(\widetilde{G} = \mathrm{SL}(V)\) ; comme \(p\) est impair, \(\mu\) se relève de façon unique en \(\widetilde{\mu} \simeq \mu\) dans \(\widetilde{G}\), et il suffit de voir que l'image du centralisateur de \(\widetilde{\mu}\) est le centralisateur de \(\mu\). Sur un corps \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(\neq p\), un générateur de \(\widetilde{\mu}\) a des valeurs propres \(\zeta, \zeta^{-1}\), \(\zeta\) racine primitive \(p\)-ième, distinctes puisque \(p\) est impair ; le commutant est le tore diagonal, le normalisateur est formé des matrices diagonales et de leurs produits par une « symétrie », d'où \(N/\mathcal{T} \simeq \{\pm 1\} \subset (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}\). En caractéristique \(p\), \(u = 1 + v\), \(v^2 = 0\), \(v \neq 0\), et le commutant dans \(\mathrm{SL}\) est formé des \(\alpha + \beta v\) avec \(\alpha^2 = 1\), \(\alpha = \pm 1\) ; son image dans \(\mathrm{PGL}\) est \(\mathbb{G}_a\), lisse et connexe. Dans le cas général, l'image inverse par \(N \to \underline{\mathrm{Aut}}(\mu) = (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S\) de la section unité est un sous-groupe ouvert de \(N\) qui coïncide fibre à fibre avec \(N^{\circ}\), donc lui est égal ; et \(N/N^{\circ}\) est un sous-groupe étale ouvert de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}_S\) qui coïncide fibre à fibre avec \(\{\pm 1\}\), donc lui est égal (haut de la page 38) — sous l'hypothèse de b)⁴² .

Une question (page 43). Tout sous-groupe lisse \(\mathcal{T}\) de dimension relative \(1\) de \(G\) est-il de la forme \(C(\mathfrak{h})\), déterminé par son algèbre de Lie ? Oui s'il est commutatif et si les caractéristiques résiduelles sont \(\neq 2\), car il est contenu dans \(C(\mathfrak{h})\), qui a les mêmes fibres. Mais la commutativité est-elle automatique ? Sur un corps oui — tout groupe lisse connexe de dimension \(1\) est commutatif — ; sur une base, c'est une question de déformation de sous-groupes, « liée à un \(H^2\) de Hochschild ». Le normalisateur de \(\mathcal{T}\), qui est aussi celui de \(\mathfrak{h}\), n'est pas en général de dimension relative \(1\) : sur un corps, quand \(\mathcal{T}\) est unipotent, c'est un Borel. La phrase s'arrête au haut de la page 44 sur « une structure décrite par … rigidifiée »⁴³ .

46–55

Algèbres de quaternions (pages 46 à 55)

Le programme (page 46). À une algèbre de quaternions \(\mathcal{M}\) sur \(S\) — une algèbre d'Azumaya de rang \(4\) — on associe une forme \(G\) de \(\mathrm{PGL}_2\), une forme \(\widetilde{G}\) de \(\mathrm{SL}_2\), leurs algèbres de Lie \(\mathfrak{g}\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), un module spécial quadratique \((E, q, \omega)\) de rang \(3\) avec \(E = \widetilde{\mathfrak{g}}\), une conique lisse \(X\) dans un fibré en plans projectifs \(P = \check{\mathbb{P}}(E)\), \(X = \mathrm{Var}(q)\), et \(X\) seule, fibré en droites projectives⁴⁴ . Les foncteurs \(\mathcal{M} \mapsto G, \widetilde{G}, (E, q, \omega), (P \supset X), X\) sont des équivalences de catégories fibrées, et \(\mathcal{M} \mapsto \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}\) en sont au-dessus de \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\). C'est affirmé, non démontré ; c'est aujourd'hui le dictionnaire classique entre algèbres de quaternions, formes quadratiques ternaires (par l'algèbre de Clifford paire) et coniques⁴⁵ .

On se place dans le cas trivial \(\mathcal{M} = V^{\vee} \otimes V \simeq \underline{\mathrm{End}}(V)\), \(V\) de rang \(2\) (1).

La conique (page 46). À un sous-fibré en droites \(L \subset V\) on associe \(L^{\perp} \otimes L \subset V^{\vee} \otimes V = \mathcal{M}\) : ce sont les endomorphismes d'image dans \(L\) et nuls sur \(L\), de trace et de déterminant nuls, et \(L^{\perp} \otimes L\) est une droite isotrope de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\). D'où un isomorphisme canonique \[ (2) \qquad \check{\mathbb{P}}(V) \xrightarrow{\ \sim\ } X , \qquad L \longmapsto L^{\perp} \otimes L , \] où \(\check{\mathbb{P}}(V) \simeq \mathbb{P}(V)\), puisque \(V\) est de rang \(2\)⁴⁶ .

La quadrique des endomorphismes de rang \(1\) (pages 47 et 48). Soient \(Q_{\mathcal{M}}(u) = -\det u\), forme quadratique non dégénérée sur \(\mathcal{M}\), et \(\mathcal{Q} = \mathrm{Var}(Q_{\mathcal{M}}) \subset \check{\mathbb{P}}(\mathcal{M})\)⁴⁷ . Les points de \(\mathcal{Q}\) sont les droites \(\mathcal{O}_S u\) engendrées par un \(u\) nulle part nul de déterminant nul, c'est-à-dire strictement de rang \(1\) : \(u\) se factorise en \(V \twoheadrightarrow I \hookrightarrow V\), \(I\) inversible, et se donner \(\mathcal{O}_S u\) revient à se donner indépendamment \(\mathrm{Ker}\,u\) et \(\mathrm{Im}\,u\). D'où l'isomorphisme \[ (6)\text{--}(7) \qquad \mathcal{Q} \xrightarrow{\ \sim\ } \check{\mathbb{P}}(V) \times \check{\mathbb{P}}(V) \simeq X \times X , \qquad u \longmapsto (\mathrm{Ker}\,u, \mathrm{Im}\,u) , \] d'inverse \((L, M) \mapsto L^{\perp} \otimes M\) : c'est le plongement de Segre de \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) comme quadrique de \(\mathbb{P}^3\). Les droites \(\underline{L} = L^{\perp} \otimes L\), \(\underline{M} = M^{\perp} \otimes M\) sont dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et isotropes, et la droite \(J = \mathcal{O}_S u\) vérifie \(J \circ \underline{L} = 0\) et \(\underline{M} \circ J = 0\) (8)–(9)⁴⁸ .

Algèbres spéciales (page 48). Pour \(J \in \mathcal{Q}(S)\), de générateur local \(u\), on a \(u^2 = (\mathrm{Tr}\,u)\,u\), donc \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_S \oplus J\) est une sous-algèbre de rang \(2\) de \(\mathcal{M}\), contenant \(1\) — une sous-algèbre spéciale —, et \(J\) en est un idéal de quotient \(\mathcal{O}_S\). Se donner \(J\) revient à se donner \(\mathcal{A}\) et un homomorphisme d'algèbres \(\rho : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_S\), celui de noyau \(J\). D'où \[ (12) \qquad \mathcal{Q} \simeq \bigl\{ (\mathcal{A}, \rho) : \mathcal{A} \subset \mathcal{M} \ \text{sous-algèbre spéciale},\ \rho : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_S \ \text{homomorphisme d'algèbres} \bigr\} \] ⁴⁹ .

L'involution canonique (page 49). La symétrie des deux facteurs de \(X \times X\) est induite par un anti-automorphisme canonique de \(\mathcal{M}\) : le choix d'une base de \(\det V\) donne \(\alpha : V \simeq V^{\vee}\), et \(u' = \alpha^{-1}\,{}^{t}u\,\alpha\) ne dépend pas de ce choix. On a \((uv)' = v'u'\) et \[ (16)\text{--}(17) \qquad u' = (\mathrm{Tr}\,u)\cdot 1 - u , \qquad u + u' = \mathrm{Tr}\,u , \qquad uu' = \det u : \] c'est la conjugaison des quaternions, l'adjugée en termes de matrices. Elle échange noyau et image des \(u\) de rang \(1\) (\(Q_{\mathcal{M}}(u) = 0\), \(u\) nulle part nul)⁵⁰ . En termes de (12), elle envoie \((\mathcal{A}, \rho)\) sur \((\mathcal{A}, \rho')\), \(\rho'(u) = \rho(u')\) : \(\mathcal{A}' = \mathcal{A}\), et sur \(\mathcal{A}\) commutative l'involution est un automorphisme, l'automorphisme non trivial de l'algèbre de rang \(2\).

Le schéma des algèbres spéciales (page 50). Une algèbre spéciale \(\mathcal{A}\) est déterminée par la droite \(\mathcal{A}/\mathcal{O}_S\) de \(\mathfrak{g} = \mathcal{M}/\mathcal{O}_S\) ; le schéma \(\Sigma\) des algèbres spéciales est donc \(\check{\mathbb{P}}(\mathfrak{g}) = \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}})\), et \((\mathcal{A}, \rho) \mapsto \mathcal{A}\) est un épimorphisme \(\mathcal{Q} \to \Sigma\) qui identifie \(\mathcal{Q}\) au spectre de l'algèbre spéciale universelle \(\mathcal{A}_{\Sigma}\) (20). La page esquisse ensuite, puis barre, une liste de conditions équivalentes, reprise à la page suivante.

Proposition (page 51). Soient \(\mathcal{A}\) une sous-algèbre spéciale, \(L \subset V\) un sous-fibré en droites, \(\underline{L} = L^{\perp} \otimes L\). Sont équivalentes :

• a)\(\underline{L} \subset \mathcal{A}^{\perp}\) (orthogonal pour \(\mathrm{Tr}(uv)\)) ;
• b)\(\mathcal{A}\) stabilise \(L\) ;
• c)il existe un idéal \(J\) de \(\mathcal{A}\), sous-fibré de rang \(1\), avec \(J \cdot L = 0\) ;
• d)il existe un sous-fibré en droites \(M \subset V\) avec \(L^{\perp} \otimes M \subset \mathcal{A}\).

Alors \(J\) et \(M\) sont uniques, \(J = L^{\perp} \otimes M\) est le noyau de l'homomorphisme \(\mathcal{A} \to \underline{\mathrm{End}}(L) = \mathcal{O}_S\) déduit de b), et, pour \(\mathcal{A}\) fixée, \(L \mapsto (\mathcal{A} \to \mathcal{O}_S)\) est une bijection entre les \(L\) vérifiant a) et les homomorphismes d'algèbres \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_S\).

Démonstration (pages 51 et 52). Si \(L = \mathcal{O}x\) et \(L^{\perp} = \mathcal{O}x'\), \(\mathrm{Tr}(u \cdot x' \otimes x) = \langle ux, x' \rangle\), nul si et seulement si \(u(L) \subset L\) : a) \(\Leftrightarrow\) b). Le noyau \(J\) de \(\mathcal{A} \to \underline{\mathrm{End}}(L)\) annule \(L\) : b) \(\Rightarrow\) c) ; réciproquement, \(\mathcal{A}/J \simeq \mathcal{O}_S\), donc \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_S + J\) stabilise \(L\), et \(J\) est déterminé comme ce noyau. Sous ces conditions, un générateur local \(u\) de \(J\) est de rang \(1\) avec \(\mathrm{Ker}\,u = L\) ; posant \(M = \mathrm{Im}\,u\), on a \(L^{\perp} \otimes M = J \subset \mathcal{A}\) : d). Réciproquement, si \(L^{\perp} \otimes M \subset \mathcal{A}\), c'est un idéal de rang \(1\) qui annule \(L\), donc \(J\), et \(M = \mathrm{Im}\,u\) est déterminé ; et d) \(\Rightarrow\) b) directement.

Corollaire (pages 52 et 53). Se donner une sous-algèbre spéciale \(\mathcal{A}\) — un sous-fibré de rang \(2\) contenant \(\mathcal{O}_S\cdot 1\), nécessairement commutatif — revient à se donner son orthogonal \(\mathcal{A}^{\perp} = \mathcal{H} \subset \widetilde{\mathfrak{g}}\), hyperplan de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) : \[ (21) \qquad \text{AlgSpéc}(\mathcal{M}) \simeq \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \check{\mathbb{P}}(\mathfrak{g}) . \] Comme \(P = \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}})\), un hyperplan \(\mathcal{H}\) de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) est une droite \(D\) du plan \(P\), et \[ (22) \qquad \check{P} = \mathrm{Dr}(P) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Div}_2^{+}(X), \qquad D \longmapsto D \cap X = Y , \] est un isomorphisme : une droite du plan coupe la conique lisse en un diviseur de degré \(2\), et tout diviseur de degré \(2\) s'obtient ainsi d'une seule façon⁵¹ . Le diviseur \(Y\) est formé des droites isotropes \(\underline{L}\) contenues dans \(\mathcal{H}\), et l'on trouve un isomorphisme canonique \[ (23) \qquad Y \simeq \operatorname{Spec} \mathcal{A} . \] Dans \(X \simeq \check{\mathbb{P}}(V)\), \(Y\) est formé des \(L\) stables par \(\mathcal{A}\), ou, si \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_S + \mathcal{O}_S u\), par \(u\) : si \(u\) est inversible, \(Y = X^{u}\), le sous-schéma des points fixes de \(u\) (24).

Le stabilisateur, et les sous-groupes jacobiens (pages 53 à 55). \(G = \mathcal{M}^{\times}/\mathbb{G}_m\) opère sur tout cela. Proposition (page 54) : \(g \in G(S)\) stabilise \(Y\) si et seulement si \(g\mathcal{A} g^{-1} = \mathcal{A}\) ; alors son action sur \(Y\) est, via (23), son action sur \(\operatorname{Spec}\mathcal{A}\), triviale si et seulement si \(g\) est (localement l'image d'un élément) de \(\mathcal{A}^{\times}\). À \(\mathcal{A}\) on associe \[ (25) \qquad \mathcal{T} = \mathcal{A}^{\times}/\mathbb{G}_m \subset G , \] sous-groupe commutatif, lisse, à fibres connexes, de dimension relative \(1\) — un tore si \(\mathcal{A}\) est étale, \(\mathbb{G}_a\) là où \(\mathcal{A}\) est \(\mathcal{O}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)\). La correspondance \(\mathcal{A} \mapsto \mathcal{T}\) est injective, \(\mathcal{A}\) étant engendrée par les sections de \(\mathcal{A}^{\times}\), image inverse de \(\mathcal{T}\) dans \(\mathcal{M}^{\times}\). La page appelle ces sous-groupes « jacobiens »⁵² : ce sont les \(\mathcal{T}\) des pages 36 et 37.

Enfin (page 55), si \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}\,\mathcal{T}\) et si \(\widetilde{\mathcal{T}}\) est le centralisateur de \(\mathfrak{h}\) dans \(G\), alors \(\mathcal{T} \subset \widetilde{\mathcal{T}}\) puisque \(\mathcal{T}\) est commutatif ; la page conclut à l'égalité, \(\widetilde{\mathcal{T}}\) étant connexe et les deux lisses de dimension relative \(1\). C'est juste lorsque \(2\) est inversible sur \(S\) ; en caractéristique \(2\), la page 40 a montré que le centralisateur de \(\mathfrak{h}\) peut contenir strictement \(\mathcal{T}\) et n'être pas connexe⁵³ .

III. Dictionnaire lié à \(\mathrm{GP}(1) \simeq \mathrm{SO}(3)\) (pages 56 à 78)

Le titre est inscrit sur la couverture rose de la page 56.

57–59

Les neuf catégories (pages 57 à 59)

Soit \(S\) un schéma. On va définir des équivalences entre les catégories suivantes, qui, pour \(S\) variable, sont des catégories fibrées sur \(\mathrm{Sch}_{/S}\), en fait des gerbes pour la topologie fppf, formant « un système transitif d'équivalences » :

• \(C_0\)\(\mathrm{Tors}(\mathrm{PGL}_{2,S})\), les torseurs à droite sous \(\mathrm{PGL}_2\) ;
• \(C_1\)\(\mathrm{Fo}(\mathrm{PGL}_{2,S})\), les formes \(G\) de \(\mathrm{PGL}_2\) ;
• \(C'_1\)\(\mathrm{Fo}(\mathrm{SL}_{2,S})\), les formes \(\widetilde{G}\) de \(\mathrm{SL}_2\) ;
• \(C_2\)\((*)\) \(\mathrm{Fo}(\mathfrak{pgl}_{2,S})\), les formes \(\mathfrak{g}\) de l'algèbre de Lie \(\mathfrak{gp}(1)\) ;
• \(C'_2\)\((*)\) \(\mathrm{Fo}(\mathfrak{sl}_{2,S})\), les formes \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) de \(\mathfrak{sl}(2)\) ;
• \(C_3\)\(\mathrm{Quat}(S)\), les algèbres d'Azumaya \(\mathcal{M}\) de rang \(4\) ;
• \(C_4\)\(\mathrm{Modspquad}(S)\), les modules spéciaux quadratiques \((E, q, \omega)\) de rang \(3\) ;
• \(C_5\)\(\mathrm{Drpr}(S)\), les fibrés en droites projectives \(X\) ;
• \(C'_5\)\(\mathrm{Quad}(S)\), les couples \((P, X)\) d'un fibré en plans projectifs et d'une conique lisse \(X \subset P\).

⁵⁴

Le signe \((*)\) marque les deux catégories dont l'équivalence avec les autres ne vaut que si \(2\) est inversible sur \(S\) ; en général on n'a que des foncteurs des autres vers elles, qui ne sont pas pleinement fidèles — ce que la dimension \(6\) de la page 27 rendait inévitable. Un dictionnaire complet comprendrait la description explicite des \(9 \times 8 = 72\) équivalences et des \(9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\) isomorphismes de transitivité. « On fera un peu moins, mais on essaiera de donner une image claire de la situation. »

Principe général. Sur \(S_0 = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\), on choisit dans chaque catégorie un objet typique \(\mathfrak{X}_0\) et une opération de \(G_0 = \mathrm{PGL}_2\) sur lui, et l'on établit que \(G_0 \to \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)\) est un isomorphisme — sauf dans les deux cas \((*)\), où l'opération est fidèle mais l'homomorphisme n'est pas un épimorphisme, et où l'on se borne à \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\). Comme les catégories envisagées sont des gerbes, chacune est alors canoniquement équivalente à celle des torseurs sous \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0)\), donc sous \(G_0\) : c'est l'existence d'un « multi-dictionnaire », qui ne dispense pas de le développer⁵⁵ .

59–62

Représentants typiques et opérations de \(G_0\) (pages 59 à 62)

I. Représentants typiques. Sur \(S_0 = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) : le torseur trivial \(G_0\) ; \(G_0 = \mathrm{PGL}_2\) et \(\widetilde{G}_0 = \mathrm{SL}_2\) ; \(\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{pgl}_2\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}_2\) ; \(\mathcal{M}_0 = \mathrm{M}_2(\mathcal{O})\) ; \(E_0 = \mathcal{O}^3\) avec \(q_0 = xy + z^2\) et \(\omega = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\) ; \(X_0 = \mathbb{P}^1\) ; \(P_0 = \mathbb{P}^2 = \check{\mathbb{P}}(E_0)\) avec la conique \(C_0 = \mathrm{Var}(q_0)\).

II. Opérations de \(G_0\). 1) Les translations (la ligne s'arrête sur « gauche… »). 2) \(G_0\) opère sur lui-même par automorphismes intérieurs ; ceux de \(\widetilde{G}_0\) passent au quotient par le centre \(\mu_2\), et \(\mathrm{SL}_2/\mu_2 \simeq \mathrm{PGL}_2\) (1) donne une action de \(G_0\) sur \(\widetilde{G}_0\). 3) D'où des actions sur \(\mathfrak{g}_0\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}_0\). 4) L'action de \(\mathrm{GL}_2 = \mathcal{M}_0^{\times}\) sur \(\mathcal{M}_0\) par conjugaison est triviale sur le centre \(\mathbb{G}_m\) et passe au quotient \(\mathrm{GL}_2/\mathbb{G}_m = \mathrm{PGL}_2\) (2).

5) (page 61) La forme \(\xi \mapsto -\det\xi\) sur \(\mathcal{M}_0\), restreinte aux matrices de trace nulle \[ (3)\text{--}(4) \qquad \xi = \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix}, \qquad q_0(\xi) = -\det\xi = xy + z^2 , \] est invariante par conjugaison, et l'identification \[ (6) \qquad E_0 = \mathcal{O}^3 \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{g}}_0 = \mathfrak{sl}_2 , \qquad (x, y, z) \longmapsto \begin{pmatrix} z & x \\ y & -z \end{pmatrix} \] donne une action de \(G_0\) sur \((E_0, q_0)\). Elle préserve aussi \(\omega\), car \(G_0\) opère trivialement sur tout Module inversible, \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{PGL}_2, \mathbb{G}_m) = 0\) (page 62). 6) \(\mathrm{GL}_2\) opère sur \(\mathbb{P}^1\), \(\mathbb{G}_m\) trivialement, d'où l'action de \(G_0\) ; et l'action sur \((E_0, q_0)\) en donne une sur \((P_0, C_0)\).

« Nous admettrons (pour ne pas nous éterniser…) que tous les homomorphismes \[ (7) \qquad G_0 = \mathrm{PGL}_2 \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_0) \] sont des isomorphismes », en dehors des cas \((*)\), et en marge : « Expliciter le théorème d'isomorphie »⁵⁶ .

63–65

Les foncteurs : torsion, torseur des isomorphismes, automorphismes (pages 63 à 65)

III. De \(C_0\) vers les autres. C'est la torsion \[ (8) \qquad R \longmapsto R \overset{\mathrm{PGL}_{2,S}}{\wedge} \mathfrak{X}_{0,S} , \] et le théorème d'isomorphie (7) dit que ces foncteurs sont des équivalences (sur \(\mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\) pour les cas \((*)\)). Vers \(C_5\) : \[ (9) \qquad R \longmapsto R/B_{0,S} , \] où \(B_0 \subset G_0\) est le Borel type, image dans \(\mathrm{PGL}_2\) du groupe \(\widetilde{B}_0\) des matrices \(\begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}\) de \(\mathrm{SL}_2\), stabilisateur de la droite \(\mathcal{O} e_1\) de \(\mathcal{O}^2\) (10). Le point correspondant \(s_0\) de \(X_0 = \mathbb{P}^1\) a pour stabilisateur \(B_0\), et \(g \mapsto g\cdot s_0\) induit un isomorphisme \(G_0/B_0 \simeq X_0\) compatible aux translations (13) ; tordant par \(R\), on obtient \(R \wedge X_{0,S} \simeq R/B_{0,S}\) (14)⁵⁷ .

Des autres vers \(C_0\). C'est \[ (15)\text{--}(17) \qquad \mathfrak{X} \longmapsto \underline{\mathrm{Isom}}(\mathfrak{X}_{0,S}, \mathfrak{X}) , \] torseur à droite sous \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}_{0,S}) \simeq \mathrm{PGL}_{2,S}\) par (7)⁵⁸ .

IV. Vers \(C_1\). C'est \(\mathfrak{X} \mapsto \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X})\) (18), avec deux descriptions plus terre à terre : \(\widetilde{G} \mapsto \widetilde{G}/\mathrm{Cent}(\widetilde{G})\) (19), le centre étant toujours isomorphe à \(\mu_2\), de façon unique car \(\underline{\mathrm{Aut}}(\mu_2) = 1\) ; et \(\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}^{\times}/\mathbb{G}_m\) (20).

66–68

Revêtement, algèbres de Lie, sous-groupes de Borel (pages 66 à 68)

De \(C_1\) vers les autres. Ou bien l'on tord \(\mathfrak{X}_{0,S}\) par le torseur \(\underline{\mathrm{Isom}}(G_{0,S}, G)\) (21) — torseur sous \(\underline{\mathrm{Aut}}(G_0) = G_0\), puisque \(\mathrm{PGL}_2\) est adjoint —, ou bien l'on a des descriptions directes :

• \(G \mapsto \widetilde{G}\), le revêtement simplement connexe, schéma en groupes lisse à fibres géométriquement connexes et simplement connexes muni d'une isogénie centrale \(\widetilde{G} \to G\), unique à isomorphisme unique près (22) ;
• \(G \mapsto \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Lie}}(G)\) et \(G \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}} = \underline{\mathrm{Lie}}(\widetilde{G})\), équivalences \(\mathrm{Fo}(\mathrm{PGL}_2) \to \mathrm{Fo}(\mathfrak{pgl}_2)\), \(\mathrm{Fo}(\mathfrak{sl}_2)\) au-dessus de \(\mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\) (23)–(24)⁵⁹ ;
• \(G \mapsto (E, q, \omega)\), qui se factorise par \(G \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}}\) (« cf plus bas » : c'est (50), page 74) ;
• \(G \mapsto X = \underline{\mathrm{Bor}}(G)\), le schéma des sous-groupes de Borel de \(G\), c'est-à-dire des \(B\) tels que \((G, B)\) soit localement isomorphe à \((G_0, B_0)\) (25) ; si \(G\) et \(X\) se correspondent, \(X \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Bor}}(G)\) associe à une section locale de \(X\) son stabilisateur (26).

V. Vers les formes de \(\mathrm{SL}_2\). Ou bien par \(C_0\) (27), ou bien, plus naturellement, \(\mathfrak{X} \mapsto \underline{\mathrm{Aut}}(\mathfrak{X}) \mapsto\) son revêtement simplement connexe (28) ; depuis \(C_3\), \[ (29) \qquad \mathcal{M} \longmapsto \widetilde{G} = \mathrm{Ker}\bigl(\mathcal{M}^{\times} \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_m\bigr), \] \(\det\) étant la norme réduite. Inversement, \(\widetilde{G} \mapsto \widetilde{\mathfrak{g}}\) (30) et \(\widetilde{G} \mapsto X \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(\widetilde{G})\) (31). Pour comprendre ensemble \(G\), \(\widetilde{G}\), \(\mathfrak{g}\), \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), \((E, q, \omega)\), \(X\) et \((P, C)\), « c'est \(\mathcal{M}\) qui donne peut-être la meilleure clef » ; on verra en particulier que \(\mathfrak{g}\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) sont duaux l'un de l'autre, et que \(E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) canoniquement.

69–73

VI. L'algèbre de quaternions comme clef (pages 69 à 73)

Soit \(\mathcal{M}\) une algèbre de quaternions sur \(S\), localement (fppf) isomorphe à \(\mathrm{M}_2(\mathcal{O}_S)\)⁶⁰ . Son centre est \(\mathcal{O}_S\), celui de \(\mathcal{M}^{\times}\) est \(\mathbb{G}_m\) (32), et l'on a la norme réduite \(\det\) et la trace réduite \(\mathrm{Tr}\), définies par localisation à partir de \(\mathrm{M}_2\), où elles sont invariantes par automorphismes (33). En marge : \(\det(uv) = \det u \det v\), \(\mathrm{Tr}\) est linéaire, \(\det\) quadratique, \(\det(u + \lambda) = \lambda^2 + \lambda\,\mathrm{Tr}\,u + \det u\), et la différentielle de \(\det\) en \(1\) est \(\mathrm{Tr}\). On a des suites exactes \[ (34) \qquad 1 \to \mathbb{G}_m \to \mathcal{M}^{\times} \to G \to 1 , \qquad (35) \qquad 1 \to \widetilde{G} \to \mathcal{M}^{\times} \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_m \to 1 , \] \[ (34') \qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\ \lambda \mapsto \lambda\cdot 1\ } \mathcal{M} \to \mathfrak{g} \to 0 , \qquad (35') \qquad 0 \to \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathcal{M} \xrightarrow{\ \mathrm{Tr}\ } \mathcal{O}_S \to 0 , \] qui déterminent \(G\), \(\widetilde{G}\), \(\mathfrak{g} = \mathcal{M}/\mathcal{O}_S\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}} = \mathcal{M}^{\mathrm{Tr} = 0}\) directement à partir de \(\mathcal{M}\) ; les homomorphismes canoniques sont les composés \[ (37)\text{--}(38) \qquad \widetilde{G} \hookrightarrow \mathcal{M}^{\times} \to G , \qquad f : \widetilde{\mathfrak{g}} \hookrightarrow \mathcal{M} \to \mathfrak{g} . \]

La forme trace (pages 70 et 71). La forme \[ (39) \qquad \Phi(u, v) = \mathrm{Tr}(uv) \] est symétrique et non dégénérée en chaque point — y compris en caractéristique \(2\) —, d'où \(\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^{\vee}\) (40). L'orthogonal de \(\mathcal{O}_S\cdot 1\) est \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), d'où un accouplement parfait \(\widetilde{\mathfrak{g}} \times \mathfrak{g} \to \mathcal{O}_S\) (41) et \[ (42) \qquad \widetilde{\mathfrak{g}} \simeq \mathfrak{g}^{\vee} , \qquad \mathfrak{g} \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}^{\vee} . \] La forme quadratique \(Q_{\mathcal{M}}(u) = -\det u\) sur \(\mathcal{M}\) est lisse (hyperbolique de rang \(4\)), de forme polaire \[ (43) \qquad \Phi_1(u, v) = \det u + \det v - \det(u + v) = \mathrm{Tr}(uv) - \mathrm{Tr}\,u\,\mathrm{Tr}\,v , \] elle aussi parfaite. \(\Phi_1(1, u) = -\mathrm{Tr}\,u\), donc l'orthogonal de \(\mathcal{O}_S\cdot 1\) pour \(\Phi_1\) est encore \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), et \(\Phi\), \(\Phi_1\) ont la même restriction \(\varphi\) à \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), \(\varphi(u, v) = \mathrm{Tr}(uv)\). L'accouplement \(\mathfrak{g} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathcal{O}_S\) déduit de \(\Phi_1\) est égal à (41), puisque \(\mathrm{Tr}\,v = 0\) pour \(v \in \widetilde{\mathfrak{g}}\)⁶¹ .

La forme \(q\) et la forme de Killing (page 72). Sur \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), \[ (43) \qquad q(u) = -\det u , \qquad (44) \qquad q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y) , \quad \varphi(x, x) = 2q(x) ; \] \(q\) est lisse, \(\varphi\) parfaite sauf en caractéristique \(2\). En coordonnées (6), \(q = xy + z^2\) : c'est \(q_0\). Et \[ (45) \qquad \mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}(u)\,\mathrm{ad}(v)\bigr) = 4\varphi(u, v) , \qquad \mathrm{Tr}\bigl(\mathrm{ad}(u)^2\bigr) = 8\,q(u) , \] la forme de Killing de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) ; c'est (74)–(76) de la page 24, avec \(\Delta = -2\).

La base \(\omega\) (pages 72 et 73). Localement \(\mathcal{M} \simeq V^{\vee} \otimes V\), et \[ (47) \qquad \det(V^{\vee} \otimes V) \simeq (\det V^{\vee})^{\otimes 2} \otimes (\det V)^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}_S \] ⁶² ; cet isomorphisme est stable par \(\mathrm{GL}(V)\), donc par \(\mathrm{PGL}(V)\), et descend : d'où une base de \(\det\mathcal{M}\), donc, par (35'), une base \(\omega\) de \(\det\widetilde{\mathfrak{g}}\). Il y a dans ces identifications une convention de signe à faire — sur \(\mathbf{Z}\), un Module inversible trivial a exactement deux bases, opposées —, mais \(\omega^{\otimes 2}\) n'en dépend pas, et \[ (48)\text{--}(49) \qquad \delta'(q) = -\,\omega^{\otimes(-2)} , \qquad \delta(\varphi) = -2\,\omega^{\otimes(-2)} \] ⁶³ : \((\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega)\) est un module spécial quadratique.

74–75

\((E, q, \omega) = (\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega)\) ; les applications \(f\) et \(f'\) (pages 74 et 75)

On pose \[ (50) \qquad (E, q, \omega) = (\widetilde{\mathfrak{g}}, q, \omega) . \] C'est, en substance, l'isomorphisme \(i : E \simeq \widetilde{\mathfrak{g}}\) que la page 31 laissait à faire, pris ici comme définition. L'homomorphisme \(f : \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}\) de (38) n'est autre que l'application \(\widetilde{\mathfrak{g}} \to \widetilde{\mathfrak{g}}^{\vee}\) associée à \(\varphi\), compte tenu de \(\widetilde{\mathfrak{g}}^{\vee} \simeq \mathfrak{g}\) (42) : \(\langle u, f(v) \rangle = \mathrm{Tr}(uv) = \varphi(u, v)\). C'est le \(f\) de la première suite. Les crochets de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et de \(\mathfrak{g}\) se déduisent alors de \((\varphi, \omega)\) par les constructions des pages 2 à 9 ; c'est ici que la convention de signe compte, et l'on prend \[ (52) \qquad \omega = \widetilde{X} \wedge \widetilde{H} \wedge \widetilde{Y} , \] avec \(\widetilde{X} = E_{12}\), \(\widetilde{Y} = E_{21}\), \(\widetilde{H} = \mathrm{diag}(1, -1)\) — en marge : « Sans garantie — il faut vérifier… ». C'est le bon signe : c'est celui de (64), page 18, et avec lui le crochet (40 bis) construit à partir de \((\varphi, \omega)\) est exactement le commutateur de \(\mathfrak{sl}_2\), (70), tandis que le crochet (12) sur \(E' = \mathfrak{g}\) est le commutateur de \(\mathfrak{gl}_2/\mathcal{O}\)⁶⁴ .

L'application cofacteur s'explicite : \[ (53)\text{--}(55) \qquad f' : \mathfrak{g} \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} , \qquad f'(\bar{u}) = (\mathrm{Tr}\,u)\cdot 1 - 2u , \qquad ff' = -2\,\mathrm{id}_{\mathfrak{g}} , \quad f'f = -2\,\mathrm{id}_{\widetilde{\mathfrak{g}}} , \] où \(\bar{u}\) est l'image dans \(\mathfrak{g}\) de \(u \in \mathcal{M}\) : comme \(\mathrm{Tr}\,1 = 2\), \(u \mapsto \mathrm{Tr}(u) - 2u\) est à valeurs dans \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) et nulle sur \(\mathcal{O}_S\cdot 1\) ; pour \(u \in \widetilde{\mathfrak{g}}\), \(f'f(u) = -2u\), et \(ff'(\bar{u}) = -2\bar{u}\). On retrouve \(\Delta = -2\) et le signe corrigé de (66) : \(f'(\bar{E}_{12}) = -2E_{12}\), \(f'(\bar{E}_{11}) = 1 - 2E_{11} = -\widetilde{H}\). La page dit \(f'\) « s'identifiant à \(\Lambda^2 f\) » ; avec le signe (52), c'est exact.

Enfin le plan et la conique : \[ (56) \qquad P = \check{\mathbb{P}}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \simeq \mathbb{P}(\mathfrak{g}) , \qquad X = \mathrm{Var}(q) \subset P . \]

76–77

La conique et les sous-groupes de Borel (pages 76 et 77)

La description \(X = \mathrm{Var}(q)\) et la description \(X \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(G) \simeq \underline{\mathrm{Bor}}(\widetilde{G})\) se raccordent ainsi.

Proposition (page 76). Les sous-groupes de Borel \(B\) de \(G\), \(B_1\) de \(\mathcal{M}^{\times}\) et \(\widetilde{B}\) de \(\widetilde{G}\) se correspondent bijectivement par image inverse. Un sous-groupe de Borel est connu par son algèbre de Lie : celle \(\mathfrak{L}\) de \(B\), sous-fibré de corang \(1\) de \(\mathfrak{g}\), ou celle \(\mathfrak{L}_1\) de \(B_1\), sous-fibré de corang \(1\) de \(\mathcal{M}\), image inverse de \(\mathfrak{L}\), qui est une sous-algèbre ; et, si \(2\) est inversible, celle \(\widetilde{\mathfrak{L}} = \mathfrak{L}_1 \cap \widetilde{\mathfrak{g}}\) de \(\widetilde{B}\), puisque \(f\) est alors un isomorphisme. Explicitement \[ (57) \qquad B_1 = \mathfrak{L}_1^{\times} = \mathbb{V}(\mathfrak{L}_1) \cap \mathcal{M}^{\times} , \qquad B = B_1/\mathbb{G}_m , \qquad \widetilde{B} = B_1 \cap \widetilde{G} . \] ⁶⁵

Critère (page 77). Si \(2\) est inversible, un sous-fibré \(\mathfrak{L} \subset \widetilde{\mathfrak{g}}\) de corang \(1\) est l'algèbre de Lie d'un Borel si et seulement si son orthogonal \(\mathfrak{L}^{\perp}\) (pour \(\varphi\)), de rang \(1\), est isotrope pour \(q\) : localement, le Borel triangulaire supérieur a pour algèbre de Lie les \(\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -a \end{pmatrix}\), d'orthogonal \(\mathcal{O} E_{12}\), d'élément de carré nul. La droite isotrope \(\mathfrak{L}^{\perp}\) est le point de la conique qui correspond au Borel : c'est le raccord cherché. La page ajoute que cela caractérise \(q\) à un scalaire inversible près, et pose en marge la question : « suffit-il, pour \(\mathfrak{L}\), d'être une sous-algèbre ? », qu'elle laisse ouverte⁶⁶ .

77–78

Caractéristique \(2\) : le Frobenius (pages 77 et 78)

Supposons \(2 = 0\) sur \(S\). Alors \(\mathrm{Tr}\,1 = 2 = 0\), donc \[ (58) \qquad \mathcal{O}_S\cdot 1 \subset \widetilde{\mathfrak{g}} , \] et c'est le noyau de \(\varphi\), c'est-à-dire de \(f\). Le morphisme \[ (59) \qquad X \longrightarrow \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}) , \] qui envoie un Borel sur son algèbre de Lie — c'est-à-dire une droite isotrope \(L \subset \widetilde{\mathfrak{g}}\) sur son orthogonal pour \(\varphi\) —, prend ses valeurs dans les hyperplans qui contiennent \(\mathcal{O}_S\cdot 1\), et se factorise donc par un morphisme de fibrés en droites projectives \[ (60) \qquad X \longrightarrow \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\mathcal{O}_S) . \] Ce n'est pas un monomorphisme : s'il l'était, ce serait un isomorphisme, et \(X\) serait banal dès qu'on est en caractéristique \(2\), alors qu'il existe des fibrés en droites projectives non banals en caractéristique \(2\). En fait il y a un isomorphisme canonique \[ (61) \qquad \mathbb{P}(\widetilde{\mathfrak{g}}/\mathcal{O}_S) \simeq X^{(2)} \] avec le « frobénisé » de \(X\), et (60) est le morphisme de Frobenius relatif \(X \to X^{(2)}\), épimorphisme radiciel, fini et localement libre de rang \(2^d = 2\), nullement un monomorphisme⁶⁷ . La page, et le dossier, s'arrêtent là.