Relations d'équi. non parallèles
ces mots sont de sa main, au crayon, sur le feuillet 40 (dernier du lot
précédent), par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page
Soit S un ens. fini, de cardinal N, avec une structure
polygonale ou bi-circulation \{u,u^{-1}\} (\operatorname{card} S\geqslant
3).
segment de S, si
a) i\neq N i.e.
0<i<N
b) \exists\, s_{0}\in S, i\in\mathbb{N}, tel que
T=\{s_{0},us_{0},\dots,u^{i-1}s_{0}\} (alors, posant
t_{0}=u^{i-1}s_{0}, on a aussi T=\{t_{0},vt_{0},\dots,v^{i-1}t_{0}\},
où v=u^{-1}).
Ex. les parties réduites à un point.
T est un segm. ssi S\smallsetminus T en est un.
Intersection de deux segments contenus dans un segment (en est un
ssi il est \neq\emptyset)
Réunion de deux segments qui se rencontrent et tels que T\cup T'\neq S
est un segment
Extrémités d'un segment : s_{0}, t_{0} (distinctes ssi i\neq1 i.e. T
non réduit à un point).
Propr. : , soit A
i.e. de S
Origine, extrémité pour une orientation.
[NB Si u i.e. l'orientation choisi, le s_{0} est unique i.e. il
y a corr. 1-1 entre l'ens. des segments de S et l'ens.
(S,[1,N-1]_{\mathbb{N}}), via
(s_{0},i)\longmapsto\{s_{0},us_{0},\dots,u^{i-1}s_{0}\}.
le crochet ouvert devant NB n'est pas refermé sur la page ; le
couple (S,[1,N-1]_{\mathbb{N}}) est écrit tel quel, pour ce qui est
visiblement le produit S\times[1,N-1]
Soit S'\subsetneq S une partie de S. Alors les segments de S
contenus deux segments de S contenus dans S', et qui se rencontrent, ont
comme réunion un segment de S contenu dans S' — cela implique
que pour tout segment I de S, I\subset S', il existe un plus grand
segment de S contenu dans S' le contenant. Les éléments maximaux de
\operatorname{Segm}_{S'}(S) sont exactement les
segments partition de S', d'une relation
d'équivalence dans S'.
i.e. introduisant
\operatorname{Segm}_{S'}(S)=\{I\subset S'\mid
I\in\operatorname{Segm}(S)\}
les éléments maximaux de \operatorname{Segm}(S,S') les
segments composants de S' en corr.
S\smallsetminus I
d'une réalisation top. de (S,\{u,u^{-1}\}) par un polygone top.
(X,S), si S''=S\smallsetminus S', les classes segments de S'
sont en corr. biunivoque avec les comp. conn. de X\smallsetminus
S'' qui rencontrent S' — ce sont les intersections de S' avec ces comp.
connexes.
dans la marge gauche, un cercle portant une vingtaine de points, les
uns pleins, les autres évidés ; légende en dessous : « S''
marqué »
Proposition Soient A, B deux parties disjointes
non vides de S, A et B A,B\neq\emptyset,S,
A\cap B=\emptyset.
Conditions équivalentes :
a) Il existe des segments \overline{A}, \overline{B} de S, tels que
\overline{A}\supset A, \overline{B}\supset B,
\overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset,
NB On \overline{A}, \overline{B}
plus petits
b) Pour a,a'\in A, b,b'\in B, avec a\neq a', b\neq b',
les a, a' sont contigus adjacents
l'un à l'autre pour la structure bi-circulaire sur \{a,a',b,b'\}
induite par celle de S, i.e. (\Longleftrightarrow
\{b,b'\} sont adjacents)
\Longleftrightarrow \{a,a'\} ne sont pas
opposés \Longleftrightarrow b, b' ne sont
c) B est contenu dans un segment composant de S\smallsetminus A
c') A est contenu dans un segment composant de S\smallsetminus B
Quand il en est ainsi : Parmi les couples de segments
(\overline{A},\overline{B}) satisfaisant les conditions de a), il existe
un plus petit…
On dit que A, B sont non parallèles (plus généralement si
A\cap B est un segment). Ex. Si
d) Quand S est réalisé comme partie convexe du
bord d'un disque plan (dans un plan réel affine) : Soit P_{A}
la réunion des segments affines joignant deux à deux les points de A (i.e.
l'enveloppe convexe de A) \Longleftrightarrow P_{A}\cap
P_{B}=\emptyset A, B conditions
A\cup B C\supset A\cup B, les composantes
longue note marginale en travers, écrite en rotation dans la marge
gauche et en partie surchargée ; seuls les termes mathématiques ressortent
Structure à étudier : Partitions de S en des
(S_{\alpha})_{\alpha\in J} mutuellement non parallèles. (On les appelle
des partitions non parallèles)
Ex. partitions (au moins deux) de S
Intuition À
sous ce texte, un grand cercle tracé à la main, sans aucune marque ; le
reste de la page est vide
Soit \Sigma un ens. de segments de S, satisfaisant aux les
conditions suivantes :
(\sigma_{1})
(\sigma_{2}) Si de plus A\neq B et A\subset B, alors A est
contenu dans l'intérieur de B.
Posons alors, pour A\in\Sigma :
A^{*}=A\smallsetminus\bigcup_{\substack{B\in\Sigma\\ B\subset A,\ B\neq A}}B .
On a (par \sigma_{2}) A^{*}\supset\partial A (ens. des extrémités de
A), donc A^{*}\neq\emptyset. Je dis que A\mapsto A^{*},
\Sigma\to\mathfrak{P}(S) est injectif, i.e. que si A,B\in\Sigma, alors
A^{*}=B^{*}\Rightarrow A=B distincts
\Rightarrow A^{*}\neq B^{*}. Comme A^{*}, B^{*} sont
\neq\emptyset, il suffit de voir que A^{*}\cap B^{*}=\emptyset.
En effet, si A\cap B=\emptyset, alors A^{*}\cap B^{*}=\emptyset,
donc (puisque A^{*}, B^{*} non vides). Si A\cap B\neq\emptyset,
(par \sigma_{1}) A\subset B ou B\subset A, soit A\subset B.
Mais A\cap\partial B=\emptyset (donc par \sigma_{2})
A^{*}\cap\partial B=\emptyset, donc A^{*}\not\supset B^{*} (comme
\partial B\subset B^{*})
ce passage est encadré puis biffé
Comme A\neq B, A\cap B^{*}=\emptyset par définition de B^{*},
Je dis Ainsi A^{*}, B^{*} A^{*}\subset A segment
\subset S\smallsetminus B^{*}.
Prop Si A,B\in\Sigma, A\neq B\Rightarrow A^{*}\cap
B^{*}=\emptyset (i.e. A^{*}\neq B^{*}).
On a \bigcup_{A\in\Sigma}A=\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}. Si
x\in\bigcup A, alors \Sigma(x) non vide A\in\Sigma(x)
minimal x\in A^{*}
Conséquences : Si \bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}=S, alors
les (A^{*})_{A\in\Sigma} est une partition dans
par-dessus de S. Si \bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}\neq S, alors
posant
NB Si R est lui-même un segment, alors
Considérons
(\sigma_{3}) R=S\smallsetminus\bigcup_{A\in\Sigma}A
(=S\smallsetminus\bigcup A^{*}) n'est pas un segment
(NB précisément ce cas si R=\emptyset par ex.)
Seul
Moyennant donc ce cas défini connaît la partition
\widehat{\Sigma}^{*}=\{A^{*}\mid A\in\widehat{\Sigma}\}
\widehat{\Sigma}=
\begin{cases}
\Sigma & \text{si } R=\emptyset\\
\Sigma\cup\{R\} & \text{si } R\neq\emptyset
\end{cases}
Je veux construire A en termes de \widehat{\Sigma}^{*},
A^{*}\in\widehat{\Sigma}^{*} (dans le cas A\in\Sigma). Bien sûr, A est
un segment qui contient A^{*}, et comme A^{*}\supset\partial A, il est
minimal () parmi les segments qui contiennent A^{*} — mais cela ne
suffit pas à le caractériser. Il a cependant la propriété supplémentaire,
\forall B^{*}\in\widehat{\Sigma}^{*}, ou B^{*}\cap A=\emptyset, ou
B^{*}\subset A.
NB En fait, avec les seules conditions \sigma_{1} à \sigma_{3} sur
\Sigma, il n'est pas vrai que la connaissance de \widehat{\Sigma}^{*}
redonne \Sigma, exemple la relation d'équivalence R avec
trois classes \{a_{1},a_{1}'\}, \{b,b'\}, \{a_{2},a_{2}'\} (\Sigma_{1}
formé des segments \{a_{i},a_{i}'\} (i\in\{1,2\}), et
\{a_{1},a_{1}',b,b'\}, et \Sigma_{2} défini de façon symétrique,
la même R).
à droite, un cercle traversé de trois cordes verticales parallèles,
d'extrémités notées a_{1}, b, a_{2} en haut et a_{1}', b',
a_{2}' en bas
Exemple plus général : on part de façon unique
donnons \Sigma de façon \widehat{\Sigma}^{*}=R, et
R\overset{\mathrm{def}}{=}S\smallsetminus\bigsqcup_{A\in\Sigma}A=S_{i},
chaque donnée d'une classe de R si non un segment
Relation d'équivalence non parallèle sur S.
à partir d'ici, et jusqu'à la page 50, une encre brune et une main
rapide
Segments R-saturés : saturés par R par
passage au complémentaire, et par réunion et intersection de segments
p.ex. si (A\cup B\neq S, A\cap B\neq\emptyset).
Si S_{i}\in R, alors les segments composants de S\smallsetminus S_{i}
sont saturés, donc leurs complémentaires, i.e. les segments
minimaux contenant S_{i} segments (
composants de S_{i}). Plus généralement
Si T\subset S est une partie de S R-saturée, alors les
segments composants de
Prop Les segments saturés minimaux sont les S_{i}\in R qui sont des
segments.
anglets
Il est évident que si S_{i}\in R est un segment, alors c'est un segment
saturé, et il est minimal (car non vides). Inversement, soit A
segment saturé minimal, soit Je dis que S_{i}=A,
dans la marge gauche, un arc de cercle aux deux extrémités marquées
d'un point, la moitié supérieure repassée à l'encre
unicité des de la condition
Cor Tout
\Sigma_{0} l'ens. des anglets de R
« anglet » est la lecture retenue pour un mot écrit ici six fois ; il
désigne une classe de R qui est un segment
Soit la réunion des anglets, S_{1} son complémentaire. Alors, si
S_{1}\neq\emptyset, S_{1} a au moins deux composantes
(\operatorname{card}\pi_{0}(S_{1})\geqslant2), sinon, R, serait
un segment contenant deux anglets, absurde. Si \operatorname{card}R_{1}=2,
alors R_{1}\in R
Si \operatorname{card}R_{1}\geqslant3, R_{1} est lui-même un
polygone, et R_{1}=R\mid R_{1} est une relation d'équivalence
non parallèle. De plus,
Sinon, considérons l'ens. des R_{1}-anglets
\begin{array}{ccccc}
\Sigma_{1} & \Sigma_{2} & \Sigma_{3} & \cdots & \Sigma_{i}\\
T_{1} & T_{2} & T_{3} & & T_{i}
\end{array}
\Sigma_{i} est un ens. de segments (R-saturés), mutuellement disjoints
(), \operatorname{card}\Sigma_{i}\geqslant2,
de réunion T_{i} (NB les segments composants de T_{i}
réunions partielles de \Sigma_{i}, )
i\geqslant1
i\geqslant2
tout élément A\in\Sigma_{i-1} est contenu dans un
B\in\Sigma_{i}, tel Tout B\in\Sigma_{i} contient au moins un
segment composant B\in\Sigma_{i-1} de T_{i-1}, et
\partial B\subset S\smallsetminus T_{i-1}.
\Sigma_{1} ens. de segments mutuellement disj. de S=S_{0},
\operatorname{card}(\Sigma_{1})\geqslant2
T_{1}=\bigcup_{A\in\Sigma_{1}}A,\qquad S_{1}=S\smallsetminus T_{1}
\operatorname{card}S_{1}\geqslant2
les segm. comp. de S_{1} dans S ont au moins 2
\Sigma_{2}' ens. de segments disjoints de S_{1} non contenus
dans un des segments composants ,
\operatorname{card}\Sigma_{1}\geqslant2,
T_{2}=T_{1}\cup\bigcup_{A\in\Sigma_{2}'}A,\qquad
S_{2}=S\smallsetminus T_{2},\qquad
\operatorname{card}\pi_{0}(S_{2})\neq1
I quasi-segment (fini) ayant au moins deux
sommets
à partir d'ici une encre noire ; reprise, pour un « quasi-segment »
I, des notions des pages 41 à 47
Deux parties d'éléments \varepsilon,\varepsilon'\in\mathfrak{P}_{2}(I)
sont dites non parallèles si
\varepsilon\cap\varepsilon'=\emptyset et si
I_{\varepsilon}\cap I_{\varepsilon'}=\emptyset ou
I_{\varepsilon}\subset I_{\varepsilon'} ou I_{\varepsilon'}\subset
I_{\varepsilon} (où I_{\varepsilon} est le segment déterminé par un ens.
à deux éléments \varepsilon).
Deux parties A, A' de I, sont dites non parallèles si
a) A\cap A'=\emptyset
b) \forall\varepsilon\in\mathfrak{P}_{2}(A),
\varepsilon'\in\mathfrak{P}_{2}(A'), \varepsilon, \varepsilon' non
parallèles.
NB un segment une seule extrémité
Partitions non parallèles de I
\Sigma ens. de segments de I tel que :
a) Si A,B\in\Sigma, ou A\cap B=\emptyset, ou A\subset B, ou B\subset A
b) Si A,B\in\Sigma, B\subsetneq A, alors B\cap\partial A=\emptyset
le signe entre B et \partial A est surchargé ; la lecture
B\cap\partial A=\emptyset est celle que demande la condition (\sigma_{2})
de la page 45
c)
Pour un tel \Sigma, posons pour A\in\Sigma
A^{*}=A\smallsetminus\bigcup_{\substack{B\in\Sigma\\ B\subsetneq A}}B
\qquad(\supset\partial A\text{, donc }A^{*}\neq\emptyset)
alors les A^{*} sont deux à deux pour A,B\in\Sigma, A\neq B,
on a A^{*} et B^{*} non parallèles — posons
alors
\widehat{\Sigma}^{*}=\{A^{*}\mid A\in\widehat{\Sigma}\}
est une partition non parallèle de I.
NB Toute partition non parallèle peut s'obtenir ainsi, mais de
plusieurs façons…
Soit \Sigma_{\max} l'ens. des éléments maximaux de \Sigma. On voit de
suite que deux élts distincts de \Sigma_{\max} sont disjoints, et que
I'=\bigcup_{A\in\Sigma_{\max}}A
la page s'arrête ici ; le reste en est vide
feuille carrée, d'un autre sujet : le recollement de deux cartes le long
d'une arête. En tête, trois croquis au crayon, repassés à l'encre aux
points de recollement : deux lobes accolés marqués « bi » et « bi », joints
par un trait vertical dont les extrémités portent des flèches courbes ; deux
lobes « mon » et « bi » séparés par une bande à deux traits parallèles, avec
une double flèche en haut et en bas ; deux lobes « mon » et « mon », une
double flèche au-dessus. En bas à droite, un cercle au crayon avec des
cordes inscrites
Attachement de deux arêtes bipartites : on trouve
paire d'deux arêtes a, a' binaires
opposées (qui sont telles que (a,\omega), (a',\omega) et
(a,\overline{\omega}), (a',\overline{\omega}) sont des paires d'
paires associés, mais
f=f'+f''-2,\qquad g=g'+g''
4 faces deviennent 2
Attachement de deux arêtes, l'une monaire, l'autre binaire. On trouve une
paire d'arêtes \{a,a'\} (monaires binaires) incidentes :
faces
f^{*}=f'+f''-2,\qquad g=g'+g''
trois faces deviennent 1
Attachement des deux arêtes monaires, on trouve
deux paire d'arêtes monaires, incidentes à des faces distinctes
f=f'+f'',\qquad g=g'+g''-1
deux faces deviennent 2
chaque bilan est écrit à droite des formules, séparé d'elles par un
trait vertical ; le g de la dernière ligne est souligné. Dans le deuxième
cas il écrit f^{*} là où les deux autres ont f
page sans texte : croquis au crayon d'une même opération de collage
en volume — un disque vu en perspective relié par un tube court à une
feuille rectangulaire ; un petit cercle traversé d'un trait entre deux
arcs ; un grand rectangle à qui une bande est attachée par le haut ; une
feuille en perspective portant deux petits cylindres dressés. En haut à
droite, à l'encre, le trait vertical à extrémités recourbées du premier
croquis de la page 53