Cote n° 81 · batch 3 · pages 41–54 · Transcription · Immersions du disque et de la circonférence : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

Relations d'équi. non parallèles

ces mots sont de sa main, au crayon, sur le feuillet 40 (dernier du lot précédent), par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page

41Soit \(S\) un ens. fini, [de] cardinal \(N\), avec une structure polygonale ou bi-circulation \(\{u,u^{-1}\}\) (\(\operatorname{card} S\geqslant 3\)).

[…] \(T\subset S\) [de cardinal \(i\)] est dit un […] segment de \(S\), si a) […] \(T\neq S\), \(T\neq\emptyset\) \(i\neq N\) i.e. \(0<i<N\) b) \(\exists\, s_{0}\in S\), \(i\in\mathbb{N}\), tel que \(T=\{s_{0},us_{0},\dots,u^{i-1}s_{0}\}\) (alors, posant \(t_{0}=u^{i-1}s_{0}\), on a aussi \(T=\{t_{0},vt_{0},\dots,v^{i-1}t_{0}\}\), où \(v=u^{-1}\)).

Ex. les parties réduites à un point. […] les parties-arêtes.

\(T\) est un segm. ssi \(S\smallsetminus T\) en est un.

Intersection de deux segments [contenus dans un segment] (en est un ssi il est \(\neq\emptyset\))

Réunion de deux segments qui se rencontrent et tels que \(T\cup T'\neq S\) [est un segment]

Extrémités d'un segment : \(s_{0}\), \(t_{0}\) (distinctes ssi \(i\neq1\) i.e. \(T\) non réduit à un point). Propr. : […], soit \(A\) […] i.e. […] de \(S\) […]

Origine, extrémité pour une orientation.

[NB Si \(u\) i.e. l'orientation choisi, le \(s_{0}\) est unique i.e. il y a corr. 1-1 entre l'ens. des segments de \(S\) et l'ens. \((S,[1,N-1]_{\mathbb{N}})\), via \[ (s_{0},i)\longmapsto\{s_{0},us_{0},\dots,u^{i-1}s_{0}\}. \] le crochet ouvert devant NB n'est pas refermé sur la page ; le couple \((S,[1,N-1]_{\mathbb{N}})\) est écrit tel quel, pour ce qui est visiblement le produit \(S\times[1,N-1]\)

Soit \(S'\subsetneq S\) une partie de \(S\). Alors les segments de \(S\) contenus deux segments de \(S\) contenus dans \(S'\), et qui se rencontrent, ont comme réunion un segment [de \(S\)] contenu dans \(S'\) — cela implique

42que pour tout segment \(I\) de \(S\), [\(I\subset S'\)], il existe un plus grand segment de \(S\) contenu dans \(S'\) le contenant. Les éléments maximaux de [\(\operatorname{Segm}_{S'}(S)\)] sont exactement les segments […] […] partition de \(S'\), […] d'une relation d'équivalence dans \(S'\). i.e. introduisant \(\operatorname{Segm}_{S'}(S)=\{I\subset S'\mid I\in\operatorname{Segm}(S)\}\) les éléments maximaux de \(\operatorname{Segm}(S,S')\) […] les segments composants de \(S'\) […] en corr. […] \(S\smallsetminus I\) […]

[…] d'une réalisation top. de \((S,\{u,u^{-1}\})\) par un polygone top. \((X,S)\), si \(S''=S\smallsetminus S'\), les classes segments de \(S'\) sont en corr. biunivoque [avec les] comp. conn. de \(X\smallsetminus S''\) qui rencontrent \(S'\) — ce sont les intersections de \(S'\) avec ces comp. connexes.

dans la marge gauche, un cercle portant une vingtaine de points, les uns pleins, les autres évidés ; légende en dessous : « \(S''\) marqué […] »

Proposition Soient \(A\), \(B\) deux parties disjointes non vides de \(S\), […] \(A\) et \(B\) \(A,B\neq\emptyset,S\), \(A\cap B=\emptyset\).

Conditions équivalentes :

a) Il existe des segments \(\overline{A}\), \(\overline{B}\) de \(S\), tels que \(\overline{A}\supset A\), \(\overline{B}\supset B\), \(\overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset\),

NB On […] […] \(\overline{A}\), \(\overline{B}\) [plus petits] […] segments […]

43b) Pour \(a,a'\in A\), \(b,b'\in B\), avec \(a\neq a'\), \(b\neq b'\), les […] \(a\), \(a'\) sont contigus adjacents [l'un à l'autre] pour la structure bi-circulaire sur \(\{a,a',b,b'\}\) induite par celle de \(S\), i.e. […] (\(\Longleftrightarrow\) \(\{b,b'\}\) sont adjacents)

\(\Longleftrightarrow\) \(\{a,a'\}\) ne sont pas opposés \(\Longleftrightarrow\) \(b\), \(b'\) ne sont […]

c) \(B\) est contenu dans un segment composant de \(S\smallsetminus A\)

c') \(A\) est contenu dans un segment composant de \(S\smallsetminus B\)

Quand il en est ainsi : Parmi les [couples de] segments \((\overline{A},\overline{B})\) satisfaisant les conditions de a), il existe un plus petit…

On dit que \(A\), \(B\) sont non parallèles (plus généralement si \(A\cap B\) est un segment). Ex. Si […] \(A\) ou \(B\) réduit à un pt. (de cardinal 1), cela signifie […] pour la bicirculation […] un côté du couvert \(A\cup B\) […] \(B\) est un côté). Donc, \(A\) et \(B\) sont non parallèles ssi \(\forall A'\in\mathfrak{P}_{2}(A)\), \(B'\in\mathfrak{P}_{2}(B)\), \(A'\) et \(B'\) sont non parallèles.

d) Quand \(S\) est réalisé comme partie [convexe] du bord d'un disque plan (dans un plan réel affine) : Soit \(P_{A}\) la réunion des segments affines joignant deux à deux les points de \(A\) (i.e. l'enveloppe convexe de \(A\)) […] \(\Longleftrightarrow\) \(P_{A}\cap P_{B}=\emptyset\) […] […] \(A\), \(B\) […] […] conditions […] \(A\cup B\) […] \(C\supset A\cup B\), […] les composantes […] longue note marginale en travers, écrite en rotation dans la marge gauche et en partie surchargée ; seuls les termes mathématiques ressortent

44Structure à étudier : Partitions de \(S\) en des \((S_{\alpha})_{\alpha\in J}\) mutuellement non parallèles. (On les appelle des partitions non parallèles) Ex. partitions […] (au moins deux) […] de \(S\)

Intuition À […] un ens. bicirculé [de cardinal \(N\),] muni d'une partition non parallèle, correspond (essentiellement pour les […]) un ens. bicirculé (d'ordre [pair] cardinal \(N'\leqslant N\)), avec une partition [non parallèle] de degré 2 (classes de cardinal 2)…

sous ce texte, un grand cercle tracé à la main, sans aucune marque ; le reste de la page est vide

45Soit \(\Sigma\) un ens. de segments de \(S\), satisfaisant [aux] les conditions suivantes :

(\(\sigma_{1}\)) […] Si \(A,B\in\Sigma\), et si \(A\cap B\neq\emptyset\), alors \(A\subset B\) ou \(B\subset A\).

[(\(\sigma_{2}\))] Si de plus \(A\neq B\) et \(A\subset B\), alors \(A\) est contenu dans l'intérieur de \(B\).

Posons alors, pour \(A\in\Sigma\) : \[ A^{*}=A\smallsetminus\bigcup_{\substack{B\in\Sigma\\ B\subset A,\ B\neq A}}B . \] On a (par \(\sigma_{2}\)) \(A^{*}\supset\partial A\) (ens. des extrémités de \(A\)), donc \(A^{*}\neq\emptyset\). Je dis que \(A\mapsto A^{*}\), \(\Sigma\to\mathfrak{P}(S)\) est injectif, i.e. que si \(A,B\in\Sigma\), alors \(A^{*}=B^{*}\Rightarrow A=B\) […] \(A\neq B\) distincts \(\Rightarrow A^{*}\neq B^{*}\). [Comme […] \(A^{*}\), \(B^{*}\) sont \(\neq\emptyset\), il suffit de voir que \(A^{*}\cap B^{*}=\emptyset\).]

En effet, si \(A\cap B=\emptyset\), alors \(A^{*}\cap B^{*}=\emptyset\), donc […] (puisque \(A^{*}\), \(B^{*}\) non vides). Si \(A\cap B\neq\emptyset\), […] (par \(\sigma_{1}\)) \(A\subset B\) ou \(B\subset A\), soit \(A\subset B\). Mais \(A\cap\partial B=\emptyset\) (donc par \(\sigma_{2}\)) \(A^{*}\cap\partial B=\emptyset\), donc \(A^{*}\not\supset B^{*}\) (comme […] \(\partial B\subset B^{*}\)) […] ce passage est encadré puis biffé

Comme \(A\neq B\), \(A\cap B^{*}=\emptyset\) par définition de \(B^{*}\), Je dis Ainsi \(A^{*}\), \(B^{*}\) […] \(A^{*}\subset A\) segment \(\subset S\smallsetminus B^{*}\).

Prop Si \(A,B\in\Sigma\), \(A\neq B\Rightarrow A^{*}\cap B^{*}=\emptyset\) (i.e. […] \(A^{*}\neq B^{*}\)). On a \(\bigcup_{A\in\Sigma}A=\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}\). Si \(x\in\bigcup A\), alors \(\Sigma(x)\) […] non vide […] \(A\in\Sigma(x)\) minimal […] \(x\in A^{*}\) […]

46Conséquences : Si \(\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}=S\), alors les \((A^{*})_{A\in\Sigma}\) est une partition dans par-dessus de \(S\). Si \(\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}\neq S\), alors posant […] \[ \begin{cases} R=S\smallsetminus\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*}, & \widehat{\Sigma}=\Sigma\cup\{R\}\\[2pt] R^{*}=R\smallsetminus\bigcup_{A\in\widehat{\Sigma},\ A\subsetneq R}A=R & \end{cases} \] alors \((A^{*})_{A\in\widehat{\Sigma}}\) est une partition par-dessus de \(S\). « par-dessus » est une lecture douteuse, ici comme deux lignes plus haut ; la page 44 dit, pour la même chose, « partition non parallèle »

NB Si \(R\) est lui-même un segment, alors […] \(\widehat{\Sigma}\) satisfait les conditions de \(\Sigma\) — et \(R\) est un élément « isolé » de \(\widehat{\Sigma}\), en ce sens que [pour] \(A\) […] élément de \(\widehat{\Sigma}\), […] \(R\cap A=\emptyset\) — i.e. […] minimal et […]

Considérons

(\(\sigma_{3}\)) \(R=S\smallsetminus\bigcup_{A\in\Sigma}A\) (\(=S\smallsetminus\bigcup A^{*}\)) n'est pas un segment

(NB précisément ce cas si \(R=\emptyset\) par ex.)

Seul Moyennant donc ce cas […] \(\Sigma\) est [[…]] défini […] connaît la partition \(\widehat{\Sigma}^{*}=\{A^{*}\mid A\in\widehat{\Sigma}\}\) \[ \widehat{\Sigma}= \begin{cases} \Sigma & \text{si } R=\emptyset\\ \Sigma\cup\{R\} & \text{si } R\neq\emptyset \end{cases} \]

47Je veux construire \(A\) en termes de \(\widehat{\Sigma}^{*}\), \(A^{*}\in\widehat{\Sigma}^{*}\) (dans le cas \(A\in\Sigma\)). Bien sûr, \(A\) est un segment qui contient \(A^{*}\), et comme \(A^{*}\supset\partial A\), il est minimal ([…]) parmi les segments qui contiennent \(A^{*}\) — mais cela ne suffit pas à le caractériser. Il a cependant la propriété supplémentaire, \(\forall B^{*}\in\widehat{\Sigma}^{*}\), ou \(B^{*}\cap A=\emptyset\), ou \(B^{*}\subset A\).

NB En fait, avec les seules conditions \(\sigma_{1}\) à \(\sigma_{3}\) sur \(\Sigma\), il n'est pas vrai que la connaissance de \(\widehat{\Sigma}^{*}\) redonne \(\Sigma\), exemple la relation d'équivalence \(R\) [[…]] avec trois classes \(\{a_{1},a_{1}'\}\), \(\{b,b'\}\), \(\{a_{2},a_{2}'\}\) (\(\Sigma_{1}\) formé des segments \(\{a_{i},a_{i}'\}\) (\(i\in\{1,2\}\)), et \(\{a_{1},a_{1}',b,b'\}\), et \(\Sigma_{2}\) défini de façon symétrique, […] la même \(R\)).

à droite, un cercle traversé de trois cordes verticales parallèles, d'extrémités notées \(a_{1}\), \(b\), \(a_{2}\) en haut et \(a_{1}'\), \(b'\), \(a_{2}'\) en bas

Exemple plus général : on part […] de façon unique […] donnons \(\Sigma\) de façon […] \(\widehat{\Sigma}^{*}=R\), et \(R\overset{\mathrm{def}}{=}S\smallsetminus\bigsqcup_{A\in\Sigma}A=S_{i}\), chaque donnée d'une classe de \(R\) si non un segment […] ce dernier paragraphe est barré de deux traits en diagonale

48Relation d'équivalence non parallèle sur \(S\). à partir d'ici, et jusqu'à la page 50, une encre brune et une main rapide

Segments [\(R\)-]saturés : saturés par \(R\) […] par passage au complémentaire, et par réunion et intersection de segments [p.ex. si] (\(A\cup B\neq S\), \(A\cap B\neq\emptyset\)).

Si \(S_{i}\in R\), alors les segments composants de \(S\smallsetminus S_{i}\) sont saturés, donc […] leurs complémentaires, i.e. les segments minimaux contenant \(S_{i}\) […] [segments] ([…] composants de \(S_{i}\)). Plus généralement Si \(T\subset S\) est une partie de \(S\) \(R\)-saturée, alors les segments composants de

Prop Les segments saturés minimaux sont les \(S_{i}\in R\) qui sont des segments. […] anglets […]

Il est évident que si \(S_{i}\in R\) est un segment, alors c'est un segment saturé, et il est minimal (car […] non vides). Inversement, soit \(A\) segment saturé minimal, […] soit \(S_{i}\in R\), \(S_{i}\subset A\), soit Je dis que \(S_{i}=A\), […] i.e. qu'il n'y a pas deux \(S_{i},S_{j}\in R\) distincts, \(\subset A\). En effet, si \(A_{i}\) (\(A_{j}\)) est le segment […] composant de […] qui contient \(S_{i}\) (\(S_{j}\)) […] \(\subset A\), alors la condition que \(S_{i}\), \(S_{j}\) sont […] se traduit par la condition […] que \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\), donc \(A_{i}\), \(A_{j}\) sont des segments saturés \(\subset A\) et \(\neq A\), absurde.

dans la marge gauche, un arc de cercle aux deux extrémités marquées d'un point, la moitié supérieure repassée à l'encre unicité des […] de la condition […]

49Cor Tout […] segment saturé contient un « anglet » — donc si \(R\) n'est pas la relation grossière, il existe au moins deux anglets (car il existe alors au moins deux segments saturés, complémentaires l'un de l'autre).

[\(\Sigma_{0}\) l'ens. des anglets de \(R\)] « anglet » est la lecture retenue pour un mot écrit ici six fois ; il désigne une classe de \(R\) qui est un segment

Soit […] la réunion des anglets, \(S_{1}\) son complémentaire. Alors, si \(S_{1}\neq\emptyset\), \(S_{1}\) a au moins deux composantes (\(\operatorname{card}\pi_{0}(S_{1})\geqslant2\)), sinon, \(R\), serait un segment contenant deux anglets, absurde. Si \(\operatorname{card}R_{1}=2\), alors \(R_{1}\in R\) […]

[…] de \(R\) consiste en les anglets et en \(R_{1}\) (car les \(S_{i}\subset R_{1}\) sont de card. \(\geqslant2\), […] […] 1 seulement aux anglets…)

Si \(\operatorname{card}R_{1}\geqslant3\), \(R_{1}\) est lui-même un polygone, et \(R_{1}=R\mid R_{1}\) est une relation d'équivalence non parallèle. De plus, […] \(S_{i}\subset R_{1}\) n'est contenu dans un segment composant de \(R_{1}\) — sinon il serait […] segment saturé contenu dans […] […] […]), lequel contiendrait un anglet \(\subset R\). — absurde. Si \(R_{1}\) est la relation grossière, on a fini — \(R\) est formé des anglets, et de \(R_{1}\). sur cette page, \(R_{1}\) désigne tantôt la relation induite sur \(S_{1}\), tantôt \(S_{1}\) lui-même ; transcrit tel qu'écrit

50Sinon, considérons l'ens. des [\(R_{1}\)-]anglets […] [[…]] — il y en a au moins deux. Ces anglets, […] c'est un cour. 1-1 […] un ens. de segments \(\Sigma_{2}\) de \(S\), qui sont […] contenant au moins un […] de \(S_{1}\), et dont les extrémités sont distinctes de \(S_{1}\), et qui sont mutuellement disjoints. Soit \(T_{2}\) […]

\[ \begin{array}{ccccc} \Sigma_{1} & \Sigma_{2} & \Sigma_{3} & \cdots & \Sigma_{i}\\ T_{1} & T_{2} & T_{3} & & T_{i} \end{array} \]

\(\Sigma_{i}\) est un ens. de segments (\(R\)-saturés), mutuellement disjoints ([…]), \(\operatorname{card}\Sigma_{i}\geqslant2\), [de réunion \(T_{i}\)] (NB les segments composants de \(T_{i}\) […] réunions partielles de \(\Sigma_{i}\), […]) \(i\geqslant1\) \(i\geqslant2\) […] tout élément \(A\in\Sigma_{i-1}\) est contenu dans un \(B\in\Sigma_{i}\), tel […] Tout \(B\in\Sigma_{i}\) contient au moins un [segment composant] \(B\in\Sigma_{i-1}\) de \(T_{i-1}\), et \(\partial B\subset S\smallsetminus T_{i-1}\).

\(\Sigma_{1}\) ens. de segments mutuellement disj. de \(S=S_{0}\), \(\operatorname{card}(\Sigma_{1})\geqslant2\) \[ T_{1}=\bigcup_{A\in\Sigma_{1}}A,\qquad S_{1}=S\smallsetminus T_{1} \] \(\operatorname{card}S_{1}\geqslant2\) les segm. comp. de \(S_{1}\) dans \(S\) ont au moins 2 […]

\(\Sigma_{2}'\) ens. de segments disjoints de \(S_{1}\) non contenus dans un des segments composants […], \(\operatorname{card}\Sigma_{1}\geqslant2\), \[ T_{2}=T_{1}\cup\bigcup_{A\in\Sigma_{2}'}A,\qquad S_{2}=S\smallsetminus T_{2},\qquad \operatorname{card}\pi_{0}(S_{2})\neq1 \]

51\(I\) quasi-segment (fini) ayant au moins deux sommets à partir d'ici une encre noire ; reprise, pour un « quasi-segment » \(I\), des notions des pages 41 à 47

Deux [parties] d'éléments \(\varepsilon,\varepsilon'\in\mathfrak{P}_{2}(I)\) sont dites non parallèles si [\(\varepsilon\cap\varepsilon'=\emptyset\) et si] \(I_{\varepsilon}\cap I_{\varepsilon'}=\emptyset\) [ou \(I_{\varepsilon}\subset I_{\varepsilon'}\) ou \(I_{\varepsilon'}\subset I_{\varepsilon}\)] (où \(I_{\varepsilon}\) est le segment déterminé par un ens. à deux éléments \(\varepsilon\)).

Deux parties \(A\), \(A'\) de \(I\), sont dites non parallèles si

a) \(A\cap A'=\emptyset\)

b) \(\forall\varepsilon\in\mathfrak{P}_{2}(A)\), \(\varepsilon'\in\mathfrak{P}_{2}(A')\), \(\varepsilon\), \(\varepsilon'\) non parallèles.

[…] Cela revient à dire que \(A'\) est contenu dans l'un des […] composants de \(I\smallsetminus A\) ou (si \(A\) ne contient pas d'extrémité de \(I\)) dans la réunion des deux composants extrêmes (i.e. ceux qui contiennent les deux extrémités). […] ou encore, que l'un des deux \(A\), \(A'\) est contenu dans un segment […] de \(I\) qui ne rencontre pas l'autre […] NB un segment […] une seule extrémité […]

Partitions non parallèles de \(I\)

\(\Sigma\) ens. de segments de \(I\) tel que :

a) Si \(A,B\in\Sigma\), ou \(A\cap B=\emptyset\), ou \(A\subset B\), ou \(B\subset A\)

b) Si \(A,B\in\Sigma\), \(B\subsetneq A\), alors \(B\cap\partial A=\emptyset\) le signe entre \(B\) et \(\partial A\) est surchargé ; la lecture \(B\cap\partial A=\emptyset\) est celle que demande la condition (\(\sigma_{2}\)) de la page 45

c) […] \(\partial I\subset\bigcup_{A\in\Sigma}A\) donc \(\partial I\subset\bigcup_{A\in\Sigma}\partial A\)

Pour un tel \(\Sigma\), posons pour \(A\in\Sigma\) \[ A^{*}=A\smallsetminus\bigcup_{\substack{B\in\Sigma\\ B\subsetneq A}}B \qquad(\supset\partial A\text{, donc }A^{*}\neq\emptyset) \] alors les \(A^{*}\) sont deux à deux pour \(A,B\in\Sigma\), \(A\neq B\), on a \(A^{*}\) et \(B^{*}\) non parallèles — posons […] alors \[ I'=\bigcup_{A\in\Sigma}A=\bigcup_{A\in\Sigma}A^{*},\qquad R=I\smallsetminus I',\qquad R^{*}=R \] \[ \widehat{\Sigma}= \begin{cases} \Sigma & \text{si } R=\emptyset\\ \Sigma\cup\{R\} & \text{si } R\neq\emptyset \end{cases} \]

52alors \[ \widehat{\Sigma}^{*}=\{A^{*}\mid A\in\widehat{\Sigma}\} \] est une partition non parallèle de \(I\).

NB Toute partition non parallèle peut s'obtenir ainsi, mais de plusieurs façons…

Soit \(\Sigma_{\max}\) l'ens. des éléments maximaux de \(\Sigma\). On voit de suite que deux élts distincts de \(\Sigma_{\max}\) sont disjoints, et que \[ I'=\bigcup_{A\in\Sigma_{\max}}A \] la page s'arrête ici ; le reste en est vide

53feuille carrée, d'un autre sujet : le recollement de deux cartes le long d'une arête. En tête, trois croquis au crayon, repassés à l'encre aux points de recollement : deux lobes accolés marqués « bi » et « bi », joints par un trait vertical dont les extrémités portent des flèches courbes ; deux lobes « mon » et « bi » séparés par une bande à deux traits parallèles, avec une double flèche en haut et en bas ; deux lobes « mon » et « mon », une double flèche au-dessus. En bas à droite, un cercle au crayon avec des cordes inscrites

Attachement de deux arêtes bipartites : on trouve [paire d']deux arêtes [\(a\), \(a'\)] binaires opposées (qui sont telles que \((a,\omega)\), \((a',\omega)\) et \((a,\overline{\omega})\), \((a',\overline{\omega})\) sont des [paires d'] paires associés, mais \[ f=f'+f''-2,\qquad g=g'+g'' \] 4 faces deviennent 2

Attachement de deux arêtes, l'une monaire, l'autre binaire. On trouve une paire d'arêtes \(\{a,a'\}\) ([monaires] binaires) incidentes : […] […] faces \[ f^{*}=f'+f''-2,\qquad g=g'+g'' \] trois faces deviennent 1

Attachement des deux arêtes monaires, on trouve deux paire d'arêtes monaires, incidentes à des faces distinctes \[ f=f'+f'',\qquad g=g'+g''-1 \] deux faces deviennent 2 chaque bilan est écrit à droite des formules, séparé d'elles par un trait vertical ; le \(g\) de la dernière ligne est souligné. Dans le deuxième cas il écrit \(f^{*}\) là où les deux autres ont \(f\)

54page sans texte : croquis au crayon d'une même opération de collage en volume — un disque vu en perspective relié par un tube court à une feuille rectangulaire ; un petit cercle traversé d'un trait entre deux arcs ; un grand rectangle à qui une bande est attachée par le haut ; une feuille en perspective portant deux petits cylindres dressés. En haut à droite, à l'encre, le trait vertical à extrémités recourbées du premier croquis de la page 53