Fonds Grothendieck, cote n° 81, pages 21–40

~~Un procédé par récurrence sur \operatorname{card} K, pour prouver que~~ On note d'abord que (si V=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}, les \widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} (\alpha\in K) étant disjoints) sous l'accolade qui souligne X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}, il écrit « =\bigcap_{\alpha\in K}\Sigma_{\alpha}^{-} » \left\{ \begin{array}{l} \overline{V}\cap E_{\alpha}\neq\emptyset\\ V\cap\Sigma_{\alpha}^{-}\neq\emptyset\quad\text{dès que}\quad V\cap\Sigma_{\alpha}^{+}=\emptyset \end{array} \right. trivial « trivial » est écrit à gauche de la seconde ligne, dont le \neq remplace un = biffé

De façon précise, je dis que \overline{V}\cap E_{\alpha}=\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha} \qquad(\text{qui est donc}\neq\emptyset) au-dessous, une ligne biffée d'un trait : « =\overline{V}\cap\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} » sous le membre de gauche, « \overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} » sous celui de droite

~~Comme V\subset\Sigma_{\alpha}^{-}, on a V\cap E_{\alpha}\subset\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}, prouvons l'inclusion inverse~~ ~~\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}\subset \overline{V}\cap E_{\alpha}.~~ ~~Soit x\in\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}, prouvons x\in\overline{V}\cap E_{\alpha} i.e. x\in\overline{V}, soit W un voisinage de x, montrons qu'il rencontre .~~ ~~Or par construction cette égalité comme égalité dans l'espace~~ ~~\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{-}=\Sigma_{\alpha}^{-}\cup E_{\alpha}~~ ~~dans laquelle on a deux parties fermées disjointes~~ tout ce passage est encadré d'un trait et barré de plusieurs longues diagonales ; devant « =\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{-} » un X est biffé, et « égalité » remplace un mot biffé en début de ligne

Or dans X on a les deux parties fermées disjointes Y=\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+},\qquad Z=\bigcup_{\beta\in K\smallsetminus\{\alpha\}}\widehat{\Sigma}_{\beta}^{+} et on doit prouver \overline{\bigl(X\smallsetminus(Y\cup Z)\bigr)}\cap Y =\overline{(X\smallsetminus Y)}\cap Y ce qui est immédiat.

Soit maintenant \beta\in I\smallsetminus K, prouvons que l'on a \overline{V}\cap E_{\beta}=\emptyset . En effet, V ~~contient~~ ne rencontre aucun E_{i} (i\in I) donc E_{\beta}\subset X\smallsetminus V=\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}, ~~donc si~~ je dis que si \beta\in I\smallsetminus K, on a en fait E_{\beta}\subset\bigcup\Sigma_{\alpha}^{+}\qquad(\text{ouvert disjoint de }V) qui prouve l'assertion — mieux, je dis que \exists\,\alpha\in K tel que E_{\beta}\subset\Sigma_{\alpha}^{+}. Cela résulte du c'est trivial, du fait que les E_{i} (i\in I) sont disjoints

Lemme Soit K\subset I, ~~tel que les~~ et des \Sigma_{\alpha}^{+} (\alpha\in K) tels que \alpha\neq\beta\in K,\ \alpha\neq\beta\ \Rightarrow\ \Sigma_{\alpha}^{+}\cap\Sigma_{\beta}^{+}=\emptyset . Soit i\in I\smallsetminus K tel que E_{i}\subset\bigcup\Sigma_{\alpha}^{+}, alors ~~E_{i} est contenu dans un~~ \exists\,\alpha\in K, tel que E_{i}\subset\Sigma_{\alpha}^{+}.

Cela ~~signifie que~~ provient la phrase reste inachevée

Corollaire Avec les hyp. précédentes sur (\Sigma_{i}^{\alpha})_{\alpha\in K}, la partition \Pi_{K}^{0} est formée des \Sigma_{\alpha}^{+} (\alpha\in K) et de V=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} . la réunion est écrite avec le signe de réunion disjointe

Immédiat par récurrence sur \operatorname{card} K\geqslant0.

Considérons la partition \Pi_{I}^{0} de X\smallsetminus\bigcup_{i\in I}E_{i}, soit S l'ens. des classes, notées U_{s} (s\in S). On Considérons la ~~relation R entre~~ ~~\forall i\in I,~~ relation R entre S et I (s,i)\in R\ \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\ \overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset .

Lemme Cette relation fait de (S,I,R) un graphe strict ayant S comme ens. de sommets, I comme ens. d'arêtes. ~~Cette relation~~ Ce graphe est un arbre.

Le fait que c'est un graphe strict signifie que a) \forall i\in I, ~~il y a~~ il y a exactement deux U_{s} tels que \overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset, et b) i est caractérisé par l'une de ces deux U_{s}.

Soient \Sigma_{i}^{+}, \Sigma_{i}^{-} les deux comp. conn. de X\smallsetminus E_{i}, alors a) se précise ainsi : il y a exactement ~~une~~ une U_{s_{+}} contenue dans \Sigma_{i}^{+} telle que \overline{U_{s_{+}}}\cap E_{i}\neq\emptyset (et de même pour \Sigma_{i}^{-}, définit une U_{s_{-}}\subset\Sigma_{i}^{-} telle que \overline{U_{s_{-}}}\cap E_{i}\neq\emptyset),

~~Soit en effet~~ Si on a U_{s}\subset\Sigma_{i}^{-}, \overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset, ~~ainsi~~ alors on a U_{s}=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} \qquad\text{où } i\in K\subset I \forall\alpha\in K \Sigma_{\alpha}^{+}\in\pi_{0}(X\smallsetminus E_{\alpha}) ~~tel~~, et les \Sigma_{\alpha}^{+} mutuellement disjoints. dans U_{s}\subset\Sigma_{i}^{-}, le \Sigma est repassé et son exposant mal formé ; la réunion est écrite avec le signe de réunion disjointe

Il faut voir que K K\smallsetminus\{i\} et les \Sigma_{\alpha}^{+} (\alpha\in K\smallsetminus\{i\}) sont déterminés en termes de i et de \Sigma_{i}^{+} i.e. \Sigma_{i}^{-}. Je dis que K\smallsetminus\{i\}=\{\alpha\in I\mid E_{\alpha}\subset\Sigma_{\alpha}^{-}\} l'indice du dernier \Sigma est bien un \alpha sur la page ; on attendrait \Sigma_{i}^{-}. La page s'arrête là, les deux tiers inférieurs restent blancs

Soit X un ens. Une disposition binaire de X est un ens. de deux parties de X (\Sigma^{\alpha})_{\alpha\in\omega}\qquad(\text{les “hémisphères”}) l'indice de la famille est mal formé ; on lit \alpha\in\omega ou \alpha\in\varepsilon dont la réunion est X, et dont ~~l'intersection~~ aucune n'est contenue dans l'autre — on désigne par E (“équateur”) l'intersection (on n'exclut pas qu'elle soit vide). Quand X est un espace topologique, on suppose que ~~hémisphères~~ les \Sigma_{\alpha} sont fermés, (et de plus, le plus souvent, connexes et si E\neq\emptyset) ; si les \Sigma^{\alpha} connexes et E\neq\emptyset, X est connexe, si ~~les \Sigma^{\alpha,0} connexes~~, on conclut ~~aussitôt~~ que \overline{\Sigma^{\alpha,0}}\cap E\neq\emptyset (car \overline{\Sigma^{\alpha,0}}\cap E=\overline{\Sigma^{\alpha,0}} \smallsetminus\Sigma^{\alpha,0}, et si \Sigma^{\alpha,0} une partie à la fois ouverte et fermée \neq\emptyset et \neq X) interligne, au-dessus de « le plus souvent » : « \Sigma^{\alpha} et \Sigma^{\alpha}\smallsetminus E=\Sigma^{\alpha,0} » ; la fin de la phrase, depuis « connexes », est entourée d'un trait qui la rattache à cette insertion

car \Sigma^{\alpha,0} est un ouvert début de ligne laissé en suspens

diagramme : un segment, \Sigma^{-}\supset E\subset\Sigma^{+} dans la marge gauche, en oblique : un segment entre deux points, avec dessous « \Sigma^{-}\supset E\subset\Sigma^{+} »

Considérons deux dispositions binaires \{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-}\}, \{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\} ~~distinctes~~ de X, on dit qu'elles sont non parallèles si elles sont distinctes, et si on peut trouver \Sigma_{1}^{+} dans l'une, \Sigma_{2}^{+} dans l'autre, tels que \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset\qquad(\text{d'où }E_{1}\cap E_{2}=\emptyset) on a donc \begin{array}{ll} \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-} & \text{i.e.}\ \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\\ \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} & \text{i.e.}\ \Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{+} \end{array} \Sigma_{12}\overset{\text{déf}}{=}\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\supset E_{1}\cup E_{2},\qquad\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\neq\emptyset après \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}, un « \neq\emptyset » biffé

cette dernière relation \Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\neq\emptyset est vraie même si E_{1}=E_{2}=\emptyset, car si on avait de plus \Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}=\emptyset, on en conclurait que les deux ~~part.~~ décompositions binaires ~~sont~~ (qui sont donc des partitions binaires) sont identiques, ce que l'on exclut. Cela montre que les \Sigma_{1}^{+}, \Sigma_{2}^{+} sont uniquement déterminés.

On a donc le diagramme d'inclusions \Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\hookrightarrow\Sigma_{12}\hookleftarrow E_{2}\hookrightarrow\Sigma_{2}^{+} qu'on exprime par un diagramme un segment, trois points marqués (les deux extrémités et le milieu), et dessous « \Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\hookrightarrow\Sigma_{12}\hookleftarrow E_{2}\hookrightarrow\Sigma_{2}^{+} » NB \left\{\begin{array}{l} \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{12}\amalg_{E_{2}}\Sigma_{2}^{+}\\ \Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{12}\amalg_{E_{1}}\Sigma_{1}^{+} \end{array}\right.

Je me propose d'étudier les ensembles (\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A} ~~\ill{},~~ de décompositions binaires de X deux à deux non parallèles. Voici une façon ~~très~~ générale d'en obtenir des exemples.

Ceci n'implique pas que les quatre ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-} soient distincts, car on peut avoir (bien que \Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{2}^{+}, ni \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}, mais) \Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{2}^{-}, qui implique : E_{1}=\Sigma_{12} et contraire E_{2}=\emptyset (cela signifie, en termes de (\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-}), que \Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}, \Sigma_{2}^{+}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{1}^{-,0}) symétrique. On demande en ce cas, i.e. on n'exige pas que les quatre ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-} soient distincts les ~~ens.~~ deux décompositions sont strict. non parallèles. longue note de sa main, écrite en oblique dans toute la marge gauche, d'une lecture très incertaine ; elle porte aussi un petit segment entre deux points marqué « \Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\subset\Sigma_{12} » et, sur une ligne biffée, « \Sigma^{+}_{i}\in\pi_{0}\ldots ». Vers la fin, la correction « strict. » est ajoutée devant « non parallèles », ce qui annonce la notion de la page 36

Soit \Gamma=(S,A,R) un arbre ayant S comme ens. de sommets, A comme ens. d'arêtes, R comme relation d'incidence [définie par A\hookrightarrow\mathfrak{P}_{2}(S), et S\longrightarrow\mathfrak{P}(A), et cette application est injective sauf si \Gamma est isomorphe au graphe \bullet\!\!-\!\!\bullet ]. Soient (U_{s})_{s\in S} et (E_{a})_{a\in A} deux familles d'ensembles, et posons X=\coprod_{s\in S}U_{s}\ \amalg\ \coprod_{a\in A}E_{a} . Pour tout a_{0}\in A, considérons les deux comp. conn. \Gamma', \Gamma'' de l'arbre \Gamma “coupé en a_{0}”, et considérons la décomposition binaire X=X'\cup X'' de X, où X'=\coprod_{s\in S'}U_{s}\amalg\coprod_{a\in A'}E_{a},\qquad X''=\coprod_{s\in S''}U_{s}\amalg\coprod_{a\in A''}E_{a}, il n'est pas précisé si A', A'' contiennent a_{0} ; la formule suivante le demande donc X'\cap X''=E_{a_{0}} . Cette décomposition est “propre” ssi X'\neq E_{a_{0}}, X''\neq E_{a_{0}}. Ceci est le cas, quel que soit le choix de a_{0}\in A, ssi on a la propriété suivante :

(*) Si s\in S est un sommet-bout, alors U_{s}\neq\emptyset

De plus si a_{1},a_{2}\in A, a_{1}\neq a_{2}, on voit de suite que les décompositions \Pi_{a_{1}}, \Pi_{a_{2}} sont non parallèles, à cela près qu'il faut exiger (**) si s\in S ~~sont elles~~ d'ordre 2, alors un des trois ens. U_{s}, E_{a}, E_{b} est \neq\emptyset si a, b sont les deux arêtes en s. si a\neq b ensemble, donc \Pi_{a}\neq\Pi_{b} la condition (**) est écrite en partie dans l'interligne et en partie dans la marge gauche, en oblique, où on lit « E_{a}, E_{b} \neq\emptyset a, b sont deux arêtes en s » ; une ligne biffée court sous l'interligne

Une façon de visualiser la construction est via un ensemble topologique \mathcal{X}=(\boldsymbol{\Gamma},S) (tel que \Gamma en soit une description combinatoire). On fixe un pt sur chaque arête, de façon à trouver un graphe topologique (subdivision barycentrique) \mathcal{X}^{*}=(\boldsymbol{\Gamma}^{*},\underbrace{S\amalg A'}_{S^{*}}), où A'\subset\boldsymbol{\Gamma} est en correspondance biunivoque canonique avec A. le \mathcal{X} de la première formule remplace une lettre biffée, peut-être \mathcal{A}. Le \Gamma qu'il souligne (le graphe comme espace topologique, par opposition à sa description combinatoire \Gamma) est transcrit \boldsymbol{\Gamma} dans toute la page, pour ne pas le confondre avec le soulignement d'une lecture douteuse

[NB A' est formé de ~~pts~~ sommets d'ordre 2, et chaque arête de \boldsymbol{\Gamma}^{*} a une et une seule des deux extrémités dans A', l'autre S — voici une description complète des propriétés particulières des \Gamma^{*}…]

Alors les points a' de A' coupent \boldsymbol{\Gamma} en deux composantes connexes, dont les adhérences définissent une décomposition binaire de \boldsymbol{\Gamma}, d'équateur \{a'\}. Deux telles décompositions de \boldsymbol{\Gamma}, pour a'\neq a'', définissent des décompositions binaires strictement non parallèles.

Ici, si on regarde les traces de ces décompositions binaires sur S^{*}=S\amalg A'. Donc pour toute application surjective X\longrightarrow S^{*}, si on regarde les images inverses des décompositions binaires précédentes de S^{*}. Or la donnée d'une telle application revient à celle d'une famille (X_{\sigma})_{\sigma\in S^{*}} d'ensembles deux à deux disjoints \neq\emptyset, i.e. à celle des deux familles (U_{s})_{s\in S} et (E_{a})_{a\in A} d'ens. non vides. la première phrase reste sans verbe principal ; « deux à deux \neq\emptyset » est ajouté dans l'interligne et rattaché par un trait

Le cas où certains des ensembles U_{s}, E_{a} pourraient être vides est à examiner un peu de plus près, il donne évidemment en général encore ssi on a les conditions (*) (**) ci-dessus, et la condition de non-parallélisme strict ssi on a aussi (***) (en plus que (**))

(***) Si s\in S est un sommet d'ordre 2 et, a\in A une arête incidente, on a ~~que U_{s}=\emptyset, et~~ U_{s}\neq\emptyset\quad\text{ou}\quad E_{a}\neq\emptyset .

Décompositions n-aires d'un espace topologique

Version II le titre est de sa main, en tête de la page 31 ; « Version II » est écrit en oblique dans le coin supérieur gauche, et souligné

1.1. Soit X un espace topologique. On appelle décomposition binaire de X une paire (notation indiciellement) \Pi=(\Sigma^{\varepsilon})_{\varepsilon\in\omega}\qquad(\omega\text{ ens.\ à deux éléments}) de ~~ensembles~~ parties fermées (distinctes) de X, de réunion X X=\bigcup_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon} . \tag{1} On suppose que \Sigma^{\varepsilon}\neq\emptyset\qquad(\forall\varepsilon\in\omega) \tag{2} ce qui signifie aussi que \Pi\neq\{\emptyset,X\} \tag{2'} et implique que X\neq\emptyset, et même \operatorname{card} X\geqslant2, puisque l'on suppose \Sigma^{\varepsilon}\neq\Sigma^{\varepsilon'}\quad\text{si}\quad \varepsilon,\varepsilon'\in\omega,\ \varepsilon\neq\varepsilon' . \tag{3} On n'exclut pas le cas où on aurait une inclusion \Sigma^{\varepsilon'}\subset\Sigma^{\varepsilon} ce qui équivaut, par (1), à la relation \Sigma^{\varepsilon}=X . Les \Sigma^{\varepsilon} (\varepsilon\in\omega) s'appellent les hémisphères de la décomposition binaire, et l'ensemble E=\bigcap_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon} \tag{4} s'appelle l'équateur de la décomposition binaire. dans (4) l'exposant est écrit \omega au lieu de \varepsilon

On n'exclut pas le cas où l'on aurait E=\emptyset, ce qui indique que les \Sigma^{\varepsilon} (\varepsilon\in\omega) complémentaires l'un de l'autre, donc sont à la fois fermés et ouverts — donc que X est disconnexe. « (\varepsilon\in\omega) » et « complémentaires l'un de l'autre, donc » sont ajoutés dans l'interligne, le second d'une lecture incertaine

Notons les implications \left\{ \begin{array}{l} X\ \text{connexe}\ \Longrightarrow\ E\overset{\text{déf}}{=} \bigcap_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon}\neq\emptyset\\ \text{Si les }\Sigma^{\varepsilon}\text{ connexes, alors } X\ \text{connexe}\ \Longleftrightarrow\ E\neq\emptyset . \end{array} \right. \tag{5} Nous poserons \Sigma^{0\varepsilon}=\Sigma^{\varepsilon}\smallsetminus E =\Sigma^{\varepsilon}\smallsetminus\Sigma^{\varepsilon}\cap \Sigma^{\varepsilon'}=X\smallsetminus\Sigma^{\varepsilon'} \qquad(\omega=\{\varepsilon,\varepsilon'\}) \tag{6} de sorte que l'on a la décomposition X=\Sigma^{0\varepsilon_{1}}\cup E\cup\Sigma^{0\varepsilon_{2}} \qquad(\omega=\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\}) \tag{7} de X en ens. mutuellement disjoints. dans (7) les indices sont d'abord écrits \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, puis corrigés en \varepsilon'_{1}, \varepsilon'_{2} dans la parenthèse ; la lecture des indices est incertaine

Notons \overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\cap E=\overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\cap \Sigma^{\varepsilon'}=\overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\smallsetminus \Sigma^{0\varepsilon}=\dot{\Sigma}^{0,\varepsilon} , \tag{8} ~~dans le cas~~ ~~on s'intéresse à la cond.~~

1.2. Deux décompositions binaires \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{1}},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{2}} \tag{9} sont dites non parallèles, si elles sont distinctes, et s'il existe un \Sigma_{1}^{+}\in\Pi_{1}, et un \Sigma_{2}^{+}\in\Pi_{2}, tels que l'on ait \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset \tag{10} condition qui équivaut à : \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-} \tag{11} ou encore : \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} \tag{11 bis} où \Sigma_{1}^{-}, \Sigma_{2}^{-} sont définis par \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-}\},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\} \tag{12} le numéro de la dernière formule, mal formé, se lit (12) ou (17) ; « si elles sont distinctes, et » est ajouté dans l'interligne

Posons \Sigma_{12}=\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-},\qquad E_{1}=\Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-},\qquad E_{2}=\Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-} \tag{13} alors on a le diagramme d'inclusions de parties fermées de X c'est la formule (14) de la page ; les flèches sont les inclusions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & X & & \\ & \Sigma_{2}^{-} \arrow[ur] & & \Sigma_{1}^{-} \arrow[ul] & \\ \Sigma_{1}^{+} \arrow[ur] & & \Sigma_{12} \arrow[ul] \arrow[ur] & & \Sigma_{2}^{+} \arrow[ul] \\ & E_{1} \arrow[ul] \arrow[ur] & & E_{2} \arrow[ul] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

sous E_{1}, une flèche hachurée d'un trait épais, et plus bas une lettre biffée, peut-être E NB \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset donne E_{1}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset, E_{2}\cap\Sigma_{1}^{+}=\emptyset i.e. E_{1}\subset\Sigma_{2}^{0-}, E_{2}\subset\Sigma_{1}^{0-}, E_{1}\cap E_{2}=\emptyset

où les trois carrés sont cartésiens et cocartésiens, i.e. \left| \begin{array}{l} E_{1}=\Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{12},\quad \Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\cup\Sigma_{12} \end{array} \right. « cartésiens » est ajouté au-dessus de la ligne, après « cocartésiens » ; sous la formule, une lettre biffée et les deux relations analogues correspondant aux deux autres carrés \left\{ \begin{array}{l} E_{2}=\Sigma_{12}\cap\Sigma_{2}^{+},\quad \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{12}\cup\Sigma_{2}^{+}\\[4pt] \Sigma_{12}\overset{(13)}{=}\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-},\quad X=\Sigma_{2}^{-}\cup\Sigma_{1}^{-} . \end{array} \right. \tag{15} dans la première ligne de (15), les indices de \Sigma_{12} sont récrits par-dessus d'autres

Notons que \left\{ \begin{array}{ll} \text{a)} & \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\neq\emptyset\\ \text{b)} & \Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{+}\neq\emptyset\\ \text{c)} & \Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{12}\neq\emptyset , \end{array} \right. \tag{16} Prouvons la dernière relation (les deux premières étant évidentes). Si on avait \Sigma_{12}=\emptyset, comme E_{1},E_{2}\subset\Sigma_{12}, on aurait E_{1}=\emptyset, E_{2}=\emptyset, de sorte que \Pi_{1} et \Pi_{2} sont deux partitions de X en deux parties non vides, i.e. ~~\Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+}~~ on aurait \Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+},\qquad \Sigma_{2}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{2}^{+}

d'où \Sigma_{12}=X\smallsetminus(\Sigma_{1}^{+}\cup\Sigma_{2}^{+}) donc \Sigma_{12}=\emptyset signifierait que X=\Sigma_{1}^{+}\amalg\Sigma_{2}^{+} et par suite \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{+},\underset{\Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus \Sigma_{1}^{+}}{\underset{\shortparallel}{\Sigma_{2}^{+}}}\},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{1}^{+}\} donc \Pi_{1}=\Pi_{2} contrairement à l'hypothèse. sous \Sigma_{2}^{+}, l'indice de \Sigma^{-} est récrit ; on lit \Sigma_{1}^{-}

On trouve donc ~~Corollaire~~

Proposition Soient \Pi_{1}, \Pi_{2} deux décompositions binaires de X, mutuellement non parallèles. Alors il existe un unique couple (\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{2}^{+})\in\Pi_{1}\times\Pi_{2} tel que l'on ait \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset . « Proposition » est écrit au-dessus de « Corollaire », biffé ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Soit alors C=\Pi_{1}\amalg\Pi_{2}=\omega_{1}\amalg\omega_{2} \tag{17} l'ensemble somme, qui a quatre éléments. On a une application canonique C\longrightarrow\mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X) \tag{18} qui a comme image \{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\}, \tag{19} et laquelle on identifie si (18) est injective i.e. les numéros (17), (18), (19) sont récrits sur d'autres ; la phrase se poursuit à la page suivante

si cardinal de l'ens. (18) est 4, i.e. si les quatre parties de X \Sigma_{1}^{+},\ \Sigma_{1}^{-},\ \Sigma_{2}^{+},\ \Sigma_{2}^{-} sont distinctes. A priori on sait que l'on sait déjà par ~~hypothèse~~ ~~(\Pi_{1}, \Pi_{2} étant~~ définition des déc. binaires \Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{1}^{-},\qquad\Sigma_{2}^{+}\neq\Sigma_{2}^{-} \tag{$*$} et qu'on a \Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{2}^{+} \tag{$**$} puisque \Sigma_{1}^{+} et \Sigma_{2}^{+} sont des parties disjointes non vides. Notons donc qu'on lit sur le diagramme (14) \left. \begin{array}{ll} \text{a)} & (\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{2}^{-})\Longleftrightarrow E_{1}=\Sigma_{12}\qquad(\Rightarrow E_{2}=\emptyset)\\ \text{b)} & (\Sigma_{2}^{+}=\Sigma_{1}^{-})\Longleftrightarrow E_{2}=\Sigma_{12}\qquad(\Rightarrow E_{1}=\emptyset) \end{array} \right. \tag{$*{*}*$} dans a), le signe entre \Sigma_{1}^{+} et \Sigma_{2}^{-}, et entre E_{1} et \Sigma_{12}, est un = repassé en \neq ou l'inverse ; b) et la suite de l'argument demandent = et que les deux relations a), b) énergiques de (*{*}*) ne peuvent être satisfaites simultanément, puisque ~~\Sigma_{12}~~ l'on aurait \Sigma_{12}=E_{1}=E_{2}=\emptyset puisque E_{1}\cap E_{2}=\emptyset, ce qui contredit (16) (c).

Enfin (\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-})\Longleftrightarrow (\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X)\quad\text{i.e.}\quad\Sigma_{12}=X \tag{$*{*}{*}*$} ce cas est mutuellement exclusif avec chacun des cas (*{*}*), ~~on aurait~~ ~~\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X~~ \Sigma_{12}=X et E_{1}=\Sigma_{12} on aurait E_{1}=X donc \Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{1}^{-}=X, ce qui contredit (3). deux lignes de ce passage sont en partie biffées et récrites dans l'interligne ; la lecture de leur enchaînement est incertaine

Proposition Pour que l'on ait \operatorname{card}\{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+}, \Sigma_{2}^{-}\}=4, il faut et il suffit que l'on ne soit pas dans l'un des trois cas suivants, qui s'excluent mutuellement \left\{ \begin{array}{lll} \text{a)} & E_{1}=\Sigma_{12} & (\Rightarrow E_{2}=\emptyset)\\ \text{a')} & E_{2}=\Sigma_{12} & (\Rightarrow E_{1}=\emptyset)\\ \text{b)} & \Sigma_{12}=X\ \text{i.e.}\ \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X & (\text{d'où }E_{1}=\Sigma_{1}^{+},\ E_{2}=\Sigma_{2}^{+}) \end{array} \right. \tag{20} auquel cas le cardinal de est égal à trois. cette dernière ligne est coupée par le bord inférieur de la feuille ; le numéro (20) est récrit sur un autre

Corollaire ~~Dans~~ Dans le cas où \operatorname{Card}\{\ \}=4, et \Sigma_{1}^{-}\neq X, \Sigma_{2}^{-}\neq X, les seules relations d'inclusions entre les ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-} sont les relations (*)\quad\left\{ \begin{array}{l} \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}\\ \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} . \end{array} \right. « Cor » est écrit au-dessus d'un « D » biffé ; « et \Sigma_{1}^{-}\neq X, \Sigma_{2}^{-}\neq X » est ajouté au-dessus de la ligne Sous forme : Pour que les relations ci-dessus soient les seules relations d'inclusion non triviales entre les ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}, il faut et il suffit que ceux-ci soient distincts et que l'on ait \Sigma_{1}^{-}\neq X, \Sigma_{2}^{-}\neq X. note de sa main, en oblique dans la marge gauche, qui reformule le corollaire ; lecture incertaine par endroits

En effet, on n'a pas les inclusions inverses, par hypothèse. D'autre part, on n'a pas \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-}\quad\text{ou}\quad \Sigma_{1}^{-}\subset\Sigma_{1}^{+}, car on aurait ~~\Sigma_{1}^{+}, \Sigma_{1}^{-}~~ \Sigma_{1}^{-}=X, de même on n'a pas \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-} ni \Sigma_{2}^{-}\subset\Sigma_{2}^{+}, et on n'a pas \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{+} ni l'inclusion inverse, puisque \Sigma_{1}^{+} et \Sigma_{2}^{+} sont disjoints et \neq\emptyset. Il reste à voir que l'on n'a pas une inclusion \Sigma_{1}^{-}\subset\Sigma_{2}^{-} ou l'inclusion inverse, or on lit sur le diagramme (14) que ~~cela~~ la première p. ex. ~~signifierait que \Sigma_{12}\simeq\Sigma_{1}^{-}~~ et implique \Sigma_{2}^{-}=X, cas que l'on a exclu. les deux mots entre « la première p. ex. » et « \Sigma_{2}^{-}=X » sont récrits sur la ligne biffée ; « la première p. ex. » est ajouté dans l'interligne

Déf On dit que \Pi_{1}, \Pi_{2} sont strictement non parallèles si elles sont non parallèles, et si les quatre ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-} sont distincts, et si de plus \Sigma_{1}^{-}\neq X, \Sigma_{2}^{-}\neq X — i.e. si les seules relations d'inclusion entre ces ensembles \Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-} sont \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}, \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} — ce qui signifie aussi que l'on a : \Sigma_{1}^{-}\neq X,\ \Sigma_{2}^{-}\neq X\ \ (\text{on dit donc que }\Pi_{1},\Pi_{2}\text{ sont \emph{propres}}),\quad E_{1}\neq\Sigma_{12},\ E_{2}\neq\Sigma_{12} . \tag{21} la définition est marquée d'un trait vertical dans la marge ; « si elles sont non parallèles, et » est ajouté dans l'interligne

Mais si cette condition n'est pas satisfaite pour \Pi_{1}, \Pi_{2} non parallèles, on écrit , et on regarde l'ens. à quatre éléments C=\Pi_{1}\amalg\Pi_{2}=\omega_{1}\amalg\omega_{2}=\{\varepsilon_{1}^{+}, \varepsilon_{1}^{-},\varepsilon_{2}^{+},\varepsilon_{2}^{-}\} \tag{17} et la relation d'ordre dessus, où les seules relations < sont données par \varepsilon_{1}^{+}<\varepsilon_{2}^{-},\qquad \varepsilon_{2}^{+}<\varepsilon_{1}^{-} \tag{22}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \varepsilon_{1}^{-} & \varepsilon_{2}^{-} \\ \varepsilon_{1}^{+} \arrow[ur] & \varepsilon_{2}^{+} \arrow[ul] \end{tikzcd}

les quatre éléments sont des points ; sous \varepsilon_{1}^{+} un mot biffé

1.3. Soit ~~(\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A} une famille~~ (\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A},\qquad \Pi_{\alpha}=\{\Sigma_{\alpha}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{\alpha}} \tag{23} ~~une famille~~ un ens. (notation indiciellement) de de décompositions binaires de X, on suppose ~~parallèles~~ \forall\alpha,\beta\in A,\ \alpha\neq\beta,\quad\Pi_{\alpha},\Pi_{\beta} \text{ sont mut\add{uellemen}t non parallèles.} \tag{24} Déf On On dit alors que (\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A} est non parallèle. (Terminologie analogue pour strictement non parallèle). c'est un élément de \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{2}(\mathfrak{P}(X))) On dit, si \operatorname{card} A=n, que l'on a une décomposition n-aire non parallèle de X deux notes de sa main, en oblique dans la marge gauche ; la seconde porte le titre de la page 31

Considérons C=\coprod_{\alpha\in A}\omega_{\alpha} \tag{25} avec l'involution sans pt fixe \sigma qui sur chaque \omega_{\alpha} induit une transposition, et sur C la relation d'ordre, dans laquelle on a la page s'arrête sur ce « a », en bas de feuille ; l'ajout sur l'involution \sigma est écrit dans l'interligne à droite de (25)

\Bigl(x<y,\ x\in\omega_{\alpha},\ y\in\omega_{\beta}\Bigr) \Longleftrightarrow \Bigl(\alpha\neq\beta,\ x\underset{\{\Pi_{\alpha},\Pi_{\beta}\}}{<}y\Bigr) \tag{26} dans le membre de gauche, « x\in\omega_{\alpha} », « y\in\omega_{\beta} » sont écrits verticalement, \omega_{\alpha} sous x et \omega_{\beta} sous y, avec un \in couché ; sous l'accolade du membre de droite : « i.e. \Sigma_{\alpha}^{x}\cap\Sigma_{\beta}^{\sigma y}=\emptyset »

il faut vérifier que c'est transitif relation i.e. d'ordre note en oblique dans la marge gauche, sur le mot « Alors »

Alors \sigma est un antiautomorphisme (involutif sans pt fixe) de C. L'application \begin{array}{c} C\overset{\varphi}{\longrightarrow}\mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X)\\ (\alpha,x)\longmapsto\Sigma_{\alpha}^{x} \end{array} \tag{27} est une application croissante. Pour qu'elle soit injective, et définisse un isomorphisme d'ens. ordonnés de C sur son image, il faut et il suffit que (\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A} soit strictement non parallèle.

Inversement on a :

Définition On appelle quartette ~~ordonné~~ ordonné (de décompositions n-aires) un ens. fini C, muni d'une involution \sigma sans pt fixe, et d'une relation d'ordre, ayant les propriétés suivantes : « quartette » est souligné ; « ordonné » y est biffé puis, semble-t-il, récrit ; au-dessus de « un ens. » un mot ajouté, peut-être « fini »

~~a) Si x,y\in C et x<y, alors \sigma x et \sigma y …~~ ~~Si x,y\in C, \sigma x\neq y, x et y …~~ ~~on n'a pas x<y~~ trois lignes biffées d'un trait chacune, et le numéro a) barré d'une grande croix

a) si x,y\in C, alors \bigl\{x,y comparables ~~\sigma x,y et x,\sigma y~~ ssi \sigma x,y non comparables, ~~et \sigma y<\sigma x~~

~~b) si x,y\in C, alors x<y\Rightarrow\sigma y<\sigma x~~ b) est biffé d'un trait, mais son contenu est repris dans le NB qui suit ; la numérotation a), b) est corrigée plusieurs fois dans la marge

NB que x<y ssi x<y non comparables \sigma note en oblique dans la marge gauche, en bas de page ; lecture très incertaine

NB Cela que \sigma est un antiautomorphisme de l'ens. ordonné C la dernière ligne de la page s'arrête là

Proposition Soit (C,\sigma,<) un quartette ordonné. Alors pour tout x\in C, ~~les ens.~~ C_{\geqslant x}=\{y\in C\mid y\geqslant x\},\qquad C_{\leqslant x}=\{y\in C\mid y\leqslant x\} sont totalement ordonnés. l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; le mot souligné est abrégé « tot^{t} »

Il suffit de prouver la première (par dualité), ~~soit donc~~ ce qui signifie aussi : \text{si } x<y,\ x<z,\ \text{avec } y\neq z,\ \text{alors } (y,z)\ \text{comparables.} à gauche, un petit croquis : trois points x (en bas), y et z (en haut), avec des flèches x\to y, x\to z et deux traits croisés

[On note que y et z sont non conjugués mod \sigma, car ce serait contre (28 a),] Si y et z étaient incomparables, on aurait que \sigma y et z sont comparables, or on ne peut avoir z\leqslant\sigma y car on aurait x\leqslant\sigma y, ce qui contredit x<y par (28 a). On aurait donc \sigma y<z d'où \sigma z< la phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc. La référence (28 a) renvoie sans doute à la condition a) de la page 38, dont le numéro n'est pas lisible sur la page ; « y et z » après « Si » sont récrits sur d'autres lettres