Cote n° 81, pages 21–40

Cote n° 81 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Immersions du disque et de la circonférence : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

21Un procédé par récurrence sur $\operatorname{card} K$, pour prouver que On note d'abord que (si $V=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}$, les $\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}$ ($\alpha\in K$) étant disjoints) sous l'accolade qui souligne $X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}$, il écrit « $=\bigcap_{\alpha\in K}\Sigma_{\alpha}^{-}$ » \[ \left\{ \begin{array}{l} \overline{V}\cap E_{\alpha}\neq\emptyset\\ V\cap\Sigma_{\alpha}^{-}\neq\emptyset\quad\text{dès que}\quad V\cap\Sigma_{\alpha}^{+}=\emptyset \end{array} \right. \] trivial « trivial » est écrit à gauche de la seconde ligne, dont le $\neq$ remplace un $=$ biffé

De façon précise, je dis que \[ \overline{V}\cap E_{\alpha}=\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha} \qquad(\text{qui est donc}\neq\emptyset) \] au-dessous, une ligne biffée d'un trait : « $=\overline{V}\cap\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}$ » sous le membre de gauche, « $\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}$ » sous celui de droite

Comme $V\subset\Sigma_{\alpha}^{-}$, on a $V\cap E_{\alpha}\subset\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}$, prouvons l'inclusion inverse $\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}\subset \overline{V}\cap E_{\alpha}$. Soit $x\in\overline{\Sigma_{\alpha}^{-}}\cap E_{\alpha}$, prouvons $x\in\overline{V}\cap E_{\alpha}$ i.e. $x\in\overline{V}$, soit $W$ un voisinage de $x$, montrons qu'il rencontre […]. Or […] par construction cette égalité comme égalité dans l'espace $\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{-}=\Sigma_{\alpha}^{-}\cup E_{\alpha}$ dans laquelle on a deux parties fermées disjointes tout ce passage est encadré d'un trait et barré de plusieurs longues diagonales ; devant « $=\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{-}$ » un $X$ est biffé, et « égalité » remplace un mot biffé en début de ligne

Or dans $X$ on a les deux parties fermées disjointes \[ Y=\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+},\qquad Z=\bigcup_{\beta\in K\smallsetminus\{\alpha\}}\widehat{\Sigma}_{\beta}^{+} \] et on doit prouver \[ \overline{\bigl(X\smallsetminus(Y\cup Z)\bigr)}\cap Y =\overline{(X\smallsetminus Y)}\cap Y \] ce qui est immédiat.

22Soit maintenant $\beta\in I\smallsetminus K$, prouvons que l'on a \[ \overline{V}\cap E_{\beta}=\emptyset . \] En effet, $V$ contient ne rencontre aucun $E_{i}$ ($i\in I$) donc \[ E_{\beta}\subset X\smallsetminus V=\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+}, \] donc si […] je dis que si $\beta\in I\smallsetminus K$, on a en fait \[ E_{\beta}\subset\bigcup\Sigma_{\alpha}^{+}\qquad(\text{ouvert disjoint de }V) \] qui prouve l'assertion — mieux, je dis que $\exists\,\alpha\in K$ tel que $E_{\beta}\subset\Sigma_{\alpha}^{+}$. Cela résulte du c'est trivial, du fait que les $E_{i}$ ($i\in I$) sont disjoints

Lemme Soit $K\subset I$, tel que les et des $\Sigma_{\alpha}^{+}$ ($\alpha\in K$) tels que \[ \alpha\neq\beta\in K,\ \alpha\neq\beta\ \Rightarrow\ \Sigma_{\alpha}^{+}\cap\Sigma_{\beta}^{+}=\emptyset . \] Soit $i\in I\smallsetminus K$ tel que $E_{i}\subset\bigcup\Sigma_{\alpha}^{+}$, alors $E_{i}$ est contenu dans un $\exists\,\alpha\in K$, tel que $E_{i}\subset\Sigma_{\alpha}^{+}$.

Cela signifie que provient […] la phrase reste inachevée

Corollaire Avec les hyp. précédentes sur $(\Sigma_{i}^{\alpha})_{\alpha\in K}$, la partition $\Pi_{K}^{0}$ est formée des $\Sigma_{\alpha}^{+}$ ($\alpha\in K$) et de \[ V=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} . \] la réunion est écrite avec le signe de réunion disjointe

Immédiat par récurrence sur $\operatorname{card} K\geqslant0$.

23Considérons la partition $\Pi_{I}^{0}$ de $X\smallsetminus\bigcup_{i\in I}E_{i}$, soit $S$ l'ens. des classes, notées $U_{s}$ ($s\in S$). On Considérons la relation $R$ entre $\forall i\in I$, [relation $R$ entre] $S$ et $I$ \[ (s,i)\in R\ \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\ \overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset . \]

Lemme Cette relation fait de $(S,I,R)$ un graphe strict ayant $S$ comme ens. de sommets, $I$ comme ens. d'arêtes. Cette relation Ce graphe est un arbre.

Le fait que c'est un graphe strict signifie que a) $\forall i\in I$, il y a il y a exactement deux $U_{s}$ tels que $\overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset$, et b) $i$ est caractérisé par l'une de ces deux $U_{s}$.

Soient $\Sigma_{i}^{+}$, $\Sigma_{i}^{-}$ les deux comp. conn. de $X\smallsetminus E_{i}$, alors a) se précise ainsi : il y a exactement une une $U_{s_{+}}$ contenue dans $\Sigma_{i}^{+}$ telle que $\overline{U_{s_{+}}}\cap E_{i}\neq\emptyset$ (et de même pour $\Sigma_{i}^{-}$, […] définit une $U_{s_{-}}\subset\Sigma_{i}^{-}$ telle que $\overline{U_{s_{-}}}\cap E_{i}\neq\emptyset$),

24Soit en effet Si on a $U_{s}\subset\Sigma_{i}^{-}$, $\overline{U_{s}}\cap E_{i}\neq\emptyset$, ainsi alors on a \[ U_{s}=X\smallsetminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_{\alpha}^{+} \qquad\text{où } i\in K\subset I \] $\forall\alpha\in K$ $\Sigma_{\alpha}^{+}\in\pi_{0}(X\smallsetminus E_{\alpha})$ tel, et les $\Sigma_{\alpha}^{+}$ mut[uellemen]t disjoints. dans $U_{s}\subset\Sigma_{i}^{-}$, le $\Sigma$ est repassé et son exposant mal formé ; la réunion est écrite avec le signe de réunion disjointe

Il faut voir que $K$ $K\smallsetminus\{i\}$ et les $\Sigma_{\alpha}^{+}$ ($\alpha\in K\smallsetminus\{i\}$) sont déterminés en termes de $i$ et de $\Sigma_{i}^{+}$ i.e. $\Sigma_{i}^{-}$. Je dis que \[ K\smallsetminus\{i\}=\{\alpha\in I\mid E_{\alpha}\subset\Sigma_{\alpha}^{-}\} \] l'indice du dernier $\Sigma$ est bien un $\alpha$ sur la page ; on attendrait $\Sigma_{i}^{-}$. La page s'arrête là, les deux tiers inférieurs restent blancs

25Soit $X$ un ens. Une disposition binaire de $X$ est un ens. de deux parties de $X$ \[ (\Sigma^{\alpha})_{\alpha\in\omega}\qquad(\text{les “hémisphères”}) \] l'indice de la famille est mal formé ; on lit $\alpha\in\omega$ ou $\alpha\in\varepsilon$ dont la réunion est $X$, et dont l'intersection aucune n'est contenue dans l'autre — on désigne par $E$ (“équateur”) l'intersection (on n'exclut pas qu'elle soit vide). Quand $X$ est un espace topologique, on suppose […] […] que hémisphères les $\Sigma_{\alpha}$ sont fermés, (et [de] plus, le plus souvent, connexes […] et si $E\neq\emptyset$) ; si les $\Sigma^{\alpha}$ connexes et $E\neq\emptyset$, $X$ est connexe, […] si les $\Sigma^{\alpha,0}$ connexes, on conclut aussitôt que $\overline{\Sigma^{\alpha,0}}\cap E\neq\emptyset$ (car $\overline{\Sigma^{\alpha,0}}\cap E=\overline{\Sigma^{\alpha,0}} \smallsetminus\Sigma^{\alpha,0}$, et si $\Sigma^{\alpha,0}$ une partie à la fois ouverte et fermée $\neq\emptyset$ et $\neq X$) interligne, au-dessus de « le plus souvent » : « $\Sigma^{\alpha}$ et $\Sigma^{\alpha}\smallsetminus E=\Sigma^{\alpha,0}$ » ; la fin de la phrase, depuis « connexes », est entourée d'un trait qui la rattache à cette insertion

car $\Sigma^{\alpha,0}$ est un ouvert […] début de ligne laissé en suspens

diagramme […] : un segment, $\Sigma^{-}\supset E\subset\Sigma^{+}$ dans la marge gauche, en oblique : un segment entre deux points, avec dessous « $\Sigma^{-}\supset E\subset\Sigma^{+}$ »

Considérons deux dispositions binaires $\{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-}\}$, $\{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\}$ distinctes de $X$, on dit qu'elles sont non parallèles [si elles sont distinctes, et] si on peut trouver $\Sigma_{1}^{+}$ dans l'une, $\Sigma_{2}^{+}$ dans l'autre, tels que \[ \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset\qquad(\text{d'où }E_{1}\cap E_{2}=\emptyset) \] on a donc \[ \begin{array}{ll} \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-} & \text{i.e.}\ \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\\ \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} & \text{i.e.}\ \Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{+} \end{array} \] \[ \Sigma_{12}\overset{\text{déf}}{=}\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\supset E_{1}\cup E_{2},\qquad\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\neq\emptyset \] après $\Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}$, un « $\neq\emptyset$ » biffé

26cette dernière relation $\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}\neq\emptyset$ est vraie même si $E_{1}=E_{2}=\emptyset$, car […] si on avait de plus $\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}=\emptyset$, on en conclurait que les deux part. décompositions binaires sont (qui sont donc des partitions binaires) sont identiques, ce que l'on exclut. Cela montre que les $\Sigma_{1}^{+}$, $\Sigma_{2}^{+}$ sont uniquement déterminés.

On a donc le diagramme d'inclusions \[ \Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\hookrightarrow\Sigma_{12}\hookleftarrow E_{2}\hookrightarrow\Sigma_{2}^{+} \] qu'on exprime par un diagramme un segment, trois points marqués (les deux extrémités et le milieu), et dessous « $\Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\hookrightarrow\Sigma_{12}\hookleftarrow E_{2}\hookrightarrow\Sigma_{2}^{+}$ » NB $\left\{\begin{array}{l} \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{12}\amalg_{E_{2}}\Sigma_{2}^{+}\\ \Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{12}\amalg_{E_{1}}\Sigma_{1}^{+} \end{array}\right.$

Je me propose d'étudier les ensembles […] $(\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A}$ $\ill{}$, […] de décompositions binaires de $X$ […] deux à deux non parallèles. Voici une façon très générale [d'en] obtenir des exemples.

Ceci n'implique pas que les quatre ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$ soient distincts, car on peut avoir (bien que $\Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{2}^{+}$, ni $\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}$, mais) $\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{2}^{-}$, qui implique : $E_{1}=\Sigma_{12}$ et contraire $E_{2}=\emptyset$ […] (cela signifie, en termes de $(\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-})$, que $\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}$, $\Sigma_{2}^{+}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{1}^{-,0}$) […] symétrique. On demande […] en ce cas, i.e. on n'exige pas que les quatre ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$ soient distincts […] […] les ens. deux décompositions sont strict. non parallèles. longue note de sa main, écrite en oblique dans toute la marge gauche, d'une lecture très incertaine ; elle porte aussi un petit segment entre deux points marqué « $\Sigma_{1}^{+}\supset E_{1}\subset\Sigma_{12}$ » et, sur une ligne biffée, « $\Sigma^{+}_{i}\in\pi_{0}\ldots$ ». Vers la fin, la correction « strict. » est ajoutée devant « non parallèles », ce qui annonce la notion de la page 36

27Soit $\Gamma=(S,A,R)$ un arbre ayant $S$ comme ens. de sommets, $A$ comme ens. d'arêtes, $R$ comme relation d'incidence [définie par $A\hookrightarrow\mathfrak{P}_{2}(S)$, et $S\longrightarrow\mathfrak{P}(A)$, et cette application est injective sauf si $\Gamma$ est isomorphe au graphe $\bullet\!\!-\!\!\bullet$ ]. Soient $(U_{s})_{s\in S}$ et $(E_{a})_{a\in A}$ deux familles d'ensembles, et posons \[ X=\coprod_{s\in S}U_{s}\ \amalg\ \coprod_{a\in A}E_{a} . \] Pour tout $a_{0}\in A$, considérons les deux comp. conn. $\Gamma'$, $\Gamma''$ de l'arbre $\Gamma$ “coupé en $a_{0}$”, et considérons la décomposition binaire $X=X'\cup X''$ de $X$, où \[ X'=\coprod_{s\in S'}U_{s}\amalg\coprod_{a\in A'}E_{a},\qquad X''=\coprod_{s\in S''}U_{s}\amalg\coprod_{a\in A''}E_{a}, \] il n'est pas précisé si $A'$, $A''$ contiennent $a_{0}$ ; la formule suivante le demande donc \[ X'\cap X''=E_{a_{0}} . \] Cette décomposition est “propre” ssi $X'\neq E_{a_{0}}$, $X''\neq E_{a_{0}}$. Ceci est le cas, quel que soit le choix de $a_{0}\in A$, ssi on a la propriété suivante :

($*$) Si $s\in S$ est un sommet-bout, alors $U_{s}\neq\emptyset$

28De plus si $a_{1},a_{2}\in A$, $a_{1}\neq a_{2}$, on voit de suite que les décompositions $\Pi_{a_{1}}$, $\Pi_{a_{2}}$ sont non parallèles, à cela près qu'il faut exiger (**) si $s\in S$ […] […] sont […] elles […] d'ordre 2, alors un des trois ens. $U_{s}$, $E_{a}$, $E_{b}$ est $\neq\emptyset$ si $a$, $b$ sont les deux arêtes en $s$. si $a\neq b$ ensemble, donc $\Pi_{a}\neq\Pi_{b}$ la condition (**) est écrite en partie dans l'interligne et en partie dans la marge gauche, en oblique, où on lit « $E_{a}$, $E_{b}$ […] $\neq\emptyset$ […] $a$, $b$ sont deux arêtes en $s$ » ; une ligne biffée court sous l'interligne

Une façon de visualiser la construction est via un ensemble topologique \[ \mathcal{X}=(\boldsymbol{\Gamma},S) \] (tel que $\Gamma$ en soit une description combinatoire). On fixe un pt sur chaque arête, de façon à trouver un graphe topologique (subdivision barycentrique) \[ \mathcal{X}^{*}=(\boldsymbol{\Gamma}^{*},\underbrace{S\amalg A'}_{S^{*}}), \] où $A'\subset\boldsymbol{\Gamma}$ est en correspondance biunivoque canonique avec […] $A$. le $\mathcal{X}$ de la première formule remplace une lettre biffée, peut-être $\mathcal{A}$. Le $\Gamma$ qu'il souligne (le graphe comme espace topologique, par opposition à sa description combinatoire $\Gamma$) est transcrit $\boldsymbol{\Gamma}$ dans toute la page, pour ne pas le confondre avec le soulignement d'une lecture douteuse

[…] [NB $A'$ est formé de pts sommets d'ordre 2, et chaque arête de $\boldsymbol{\Gamma}^{*}$ a une et une seule des deux extrémités dans $A'$, l'autre […] $S$ — voici une description complète des propriétés particulières des $\Gamma^{*}$…]

Alors les points $a'$ de $A'$ coupent $\boldsymbol{\Gamma}$ en deux composantes connexes, dont les adhérences définissent une décomposition binaire de $\boldsymbol{\Gamma}$, d'équateur $\{a'\}$. Deux telles décompositions de $\boldsymbol{\Gamma}$, pour $a'\neq a''$, définissent des décompositions binaires strict[ement] non parallèles.

29Ici, si on regarde les traces de ces décompositions binaires sur $S^{*}=S\amalg A'$. Donc pour toute application surjective $X\longrightarrow S^{*}$, si on regarde les images inverses des décompositions binaires précédentes de $S^{*}$. Or la donnée d'une telle application revient à celle d'une famille $(X_{\sigma})_{\sigma\in S^{*}}$ [d'ensembles] deux à deux disjoints $\neq\emptyset$, i.e. à celle des deux familles $(U_{s})_{s\in S}$ et $(E_{a})_{a\in A}$ d'ens. non vides. la première phrase reste sans verbe principal ; « deux à deux $\neq\emptyset$ » est ajouté dans l'interligne et rattaché par un trait

Le cas où certains des ensembles $U_{s}$, $E_{a}$ pourraient être vides est à examiner un peu de plus près, il donne évidemment […] en général encore ssi on a les conditions ($*$) ($**$) ci-dessus, et la condition de non-parallélisme strict ssi on a aussi ($***$) (en plus que ($**$))

($***$) Si $s\in S$ est un sommet d'ordre 2 et, $a\in A$ une arête incidente, on a que $U_{s}=\emptyset$, et \[ U_{s}\neq\emptyset\quad\text{ou}\quad E_{a}\neq\emptyset . \]

Décompositions $n$-aires d'un espace topologique

Version II le titre est de sa main, en tête de la page 31 ; « Version II » est écrit en oblique dans le coin supérieur gauche, et souligné

1.1. Soit $X$ un espace topologique. On appelle décomposition binaire de $X$ une paire (notation indiciellement) \[ \Pi=(\Sigma^{\varepsilon})_{\varepsilon\in\omega}\qquad(\omega\text{ ens.\ à deux éléments}) \] de ensembles parties fermées (distinctes) de $X$, de réunion $X$ \[ X=\bigcup_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon} . \tag{1} \] On suppose que \[ \Sigma^{\varepsilon}\neq\emptyset\qquad(\forall\varepsilon\in\omega) \tag{2} \] ce qui signifie aussi que \[ \Pi\neq\{\emptyset,X\} \tag{2'} \] et implique que $X\neq\emptyset$, et même $\operatorname{card} X\geqslant2$, puisque l'on suppose \[ \Sigma^{\varepsilon}\neq\Sigma^{\varepsilon'}\quad\text{si}\quad \varepsilon,\varepsilon'\in\omega,\ \varepsilon\neq\varepsilon' . \tag{3} \] On n'exclut pas le cas où on aurait une inclusion \[ \Sigma^{\varepsilon'}\subset\Sigma^{\varepsilon} \] ce qui équivaut, par (1), à la relation \[ \Sigma^{\varepsilon}=X . \] Les $\Sigma^{\varepsilon}$ ($\varepsilon\in\omega$) s'appellent les hémisphères de la décomposition binaire, […] et l'ensemble \[ E=\bigcap_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon} \tag{4} \] s'appelle l'équateur de la décomposition binaire. dans (4) l'exposant est écrit $\omega$ au lieu de $\varepsilon$

On n'exclut pas le cas où l'on aurait $E=\emptyset$, ce qui indique que les $\Sigma^{\varepsilon}$ ($\varepsilon\in\omega$) complémentaires l'un de l'autre, donc sont à la fois fermés et ouverts — donc que $X$ est disconnexe. « ($\varepsilon\in\omega$) » et « complémentaires l'un de l'autre, donc » sont ajoutés dans l'interligne, le second d'une lecture incertaine

32Notons les implications \[ \left\{ \begin{array}{l} X\ \text{connexe}\ \Longrightarrow\ E\overset{\text{déf}}{=} \bigcap_{\varepsilon\in\omega}\Sigma^{\varepsilon}\neq\emptyset\\ \text{Si les }\Sigma^{\varepsilon}\text{ connexes, alors } X\ \text{connexe}\ \Longleftrightarrow\ E\neq\emptyset . \end{array} \right. \tag{5} \] Nous poserons \[ \Sigma^{0\varepsilon}=\Sigma^{\varepsilon}\smallsetminus E =\Sigma^{\varepsilon}\smallsetminus\Sigma^{\varepsilon}\cap \Sigma^{\varepsilon'}=X\smallsetminus\Sigma^{\varepsilon'} \qquad(\omega=\{\varepsilon,\varepsilon'\}) \tag{6} \] de sorte que l'on a la décomposition \[ X=\Sigma^{0\varepsilon_{1}}\cup E\cup\Sigma^{0\varepsilon_{2}} \qquad(\omega=\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\}) \tag{7} \] de $X$ en […] ens. mutuellement disjoints. dans (7) les indices sont d'abord écrits $\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$, puis corrigés en $\varepsilon'_{1}$, $\varepsilon'_{2}$ dans la parenthèse ; la lecture des indices est incertaine

Notons \[ \overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\cap E=\overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\cap \Sigma^{\varepsilon'}=\overline{\Sigma^{0\varepsilon}}\smallsetminus \Sigma^{0\varepsilon}=\dot{\Sigma}^{0,\varepsilon} , \tag{8} \] dans le cas on s'intéresse à la cond.

1.2. Deux décompositions binaires \[ \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{1}},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{2}} \tag{9} \] sont dites non parallèles, si elles sont distinctes, et s'il existe un $\Sigma_{1}^{+}\in\Pi_{1}$, et un $\Sigma_{2}^{+}\in\Pi_{2}$, tels que l'on ait \[ \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset \tag{10} \] condition qui équivaut à : \[ \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-} \tag{11} \] ou encore : \[ \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} \tag{11 bis} \] où $\Sigma_{1}^{-}$, $\Sigma_{2}^{-}$ sont définis par \[ \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-}\},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\} \tag{12} \] le numéro de la dernière formule, mal formé, se lit (12) ou (17) ; « si elles sont distinctes, et » est ajouté dans l'interligne

33Posons \[ \Sigma_{12}=\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-},\qquad E_{1}=\Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-},\qquad E_{2}=\Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-} \tag{13} \] alors on a le diagramme d'inclusions de parties fermées de $X$ c'est la formule (14) de la page ; les flèches sont les inclusions

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & X & & \\
 & \Sigma_{2}^{-} \arrow[ur] & & \Sigma_{1}^{-} \arrow[ul] & \\
 \Sigma_{1}^{+} \arrow[ur] & & \Sigma_{12} \arrow[ul] \arrow[ur] & &
 \Sigma_{2}^{+} \arrow[ul] \\
 & E_{1} \arrow[ul] \arrow[ur] & & E_{2} \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

sous $E_{1}$, une flèche hachurée d'un trait épais, et plus bas une lettre biffée, peut-être $E$ NB $\Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset$ donne $E_{1}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset$, $E_{2}\cap\Sigma_{1}^{+}=\emptyset$ i.e. $E_{1}\subset\Sigma_{2}^{0-}$, $E_{2}\subset\Sigma_{1}^{0-}$, $E_{1}\cap E_{2}=\emptyset$

où les trois carrés sont cartésiens et cocartésiens, i.e. \[ \left| \begin{array}{l} E_{1}=\Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{12},\quad \Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\cup\Sigma_{12} \end{array} \right. \] « cartésiens » est ajouté au-dessus de la ligne, après « cocartésiens » ; sous la formule, une lettre biffée et les deux relations analogues correspondant aux deux autres carrés \[ \left\{ \begin{array}{l} E_{2}=\Sigma_{12}\cap\Sigma_{2}^{+},\quad \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{12}\cup\Sigma_{2}^{+}\\[4pt] \Sigma_{12}\overset{(13)}{=}\Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-},\quad X=\Sigma_{2}^{-}\cup\Sigma_{1}^{-} . \end{array} \right. \tag{15} \] dans la première ligne de (15), les indices de $\Sigma_{12}$ sont récrits par-dessus d'autres

Notons que \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{a)} & \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{1}^{+}\neq\emptyset\\ \text{b)} & \Sigma_{2}^{+}\cap\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{+}\neq\emptyset\\ \text{c)} & \Sigma_{1}^{-}\cap\Sigma_{2}^{-}=\Sigma_{12}\neq\emptyset , \end{array} \right. \tag{16} \] Prouvons la dernière relation (les deux premières étant évidentes). Si on avait $\Sigma_{12}=\emptyset$, comme $E_{1},E_{2}\subset\Sigma_{12}$, on aurait $E_{1}=\emptyset$, $E_{2}=\emptyset$, de sorte que $\Pi_{1}$ et $\Pi_{2}$ sont deux partitions de $X$ en deux parties non vides, i.e. $\Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+}$ on aurait \[ \Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{1}^{+},\qquad \Sigma_{2}^{-}=X\smallsetminus\Sigma_{2}^{+} \]

34d'où \[ \Sigma_{12}=X\smallsetminus(\Sigma_{1}^{+}\cup\Sigma_{2}^{+}) \] donc $\Sigma_{12}=\emptyset$ signifierait que \[ X=\Sigma_{1}^{+}\amalg\Sigma_{2}^{+} \] et par suite \[ \Pi_{1}=\{\Sigma_{1}^{+},\underset{\Sigma_{1}^{-}=X\smallsetminus \Sigma_{1}^{+}}{\underset{\shortparallel}{\Sigma_{2}^{+}}}\},\qquad \Pi_{2}=\{\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{1}^{+}\} \] donc […] $\Pi_{1}=\Pi_{2}$ contrairement à l'hypothèse. sous $\Sigma_{2}^{+}$, l'indice de $\Sigma^{-}$ est récrit ; on lit $\Sigma_{1}^{-}$

On trouve donc Corollaire

Proposition Soient $\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$ deux décompositions binaires de $X$, mutuellement non parallèles. Alors il existe un unique couple \[ (\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{2}^{+})\in\Pi_{1}\times\Pi_{2} \] tel que l'on ait \[ \Sigma_{1}^{+}\cap\Sigma_{2}^{+}=\emptyset . \] « Proposition » est écrit au-dessus de « Corollaire », biffé ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Soit alors \[ C=\Pi_{1}\amalg\Pi_{2}=\omega_{1}\amalg\omega_{2} \tag{17} \] l'ensemble somme, qui a quatre éléments. On a une application canonique \[ C\longrightarrow\mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X) \tag{18} \] qui a comme image \[ \{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}\}, \tag{19} \] et laquelle on identifie si (18) est injective i.e. les numéros (17), (18), (19) sont récrits sur d'autres ; la phrase se poursuit à la page suivante

35si […] cardinal de l'ens. (18) est 4, i.e. si les quatre parties de $X$ \[ \Sigma_{1}^{+},\ \Sigma_{1}^{-},\ \Sigma_{2}^{+},\ \Sigma_{2}^{-} \] sont distinctes. A priori on sait que l'on sait déjà par hypothèse ($\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$ étant définition des déc. binaires \[ \Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{1}^{-},\qquad\Sigma_{2}^{+}\neq\Sigma_{2}^{-} \tag{$*$} \] et qu'on a \[ \Sigma_{1}^{+}\neq\Sigma_{2}^{+} \tag{$**$} \] puisque $\Sigma_{1}^{+}$ et $\Sigma_{2}^{+}$ sont des parties disjointes non vides. Notons donc qu'on lit sur le diagramme (14) \[ \left. \begin{array}{ll} \text{a)} & (\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{2}^{-})\Longleftrightarrow E_{1}=\Sigma_{12}\qquad(\Rightarrow E_{2}=\emptyset)\\ \text{b)} & (\Sigma_{2}^{+}=\Sigma_{1}^{-})\Longleftrightarrow E_{2}=\Sigma_{12}\qquad(\Rightarrow E_{1}=\emptyset) \end{array} \right. \tag{$*{*}*$} \] dans a), le signe entre $\Sigma_{1}^{+}$ et $\Sigma_{2}^{-}$, et entre $E_{1}$ et $\Sigma_{12}$, est un $=$ repassé en $\neq$ ou l'inverse ; b) et la suite de l'argument demandent $=$ et que les deux relations a), b) énergiques de ($*{*}*$) ne peuvent être satisfaites simultanément, puisque $\Sigma_{12}$ l'on aurait $\Sigma_{12}=E_{1}=E_{2}=\emptyset$ puisque $E_{1}\cap E_{2}=\emptyset$, ce qui contredit (16) (c).

Enfin \[ (\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-})\Longleftrightarrow (\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X)\quad\text{i.e.}\quad\Sigma_{12}=X \tag{$*{*}{*}*$} \] ce cas est mutuellement exclusif avec chacun des cas ($*{*}*$), […] on aurait […] $\Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X$ $\Sigma_{12}=X$ et $E_{1}=\Sigma_{12}$ on aurait $E_{1}=X$ donc $\Sigma_{1}^{+}=\Sigma_{1}^{-}=X$, […] ce qui contredit (3). deux lignes de ce passage sont en partie biffées et récrites dans l'interligne ; la lecture de leur enchaînement est incertaine

Proposition Pour que l'on ait $\operatorname{card}\{\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+}, \Sigma_{2}^{-}\}=4$, il faut et il suffit que l'on ne soit pas dans l'un des trois cas suivants, qui s'excluent mutuellement \[ \left\{ \begin{array}{lll} \text{a)} & E_{1}=\Sigma_{12} & (\Rightarrow E_{2}=\emptyset)\\ \text{a')} & E_{2}=\Sigma_{12} & (\Rightarrow E_{1}=\emptyset)\\ \text{b)} & \Sigma_{12}=X\ \text{i.e.}\ \Sigma_{1}^{-}=\Sigma_{2}^{-}=X & (\text{d'où }E_{1}=\Sigma_{1}^{+},\ E_{2}=\Sigma_{2}^{+}) \end{array} \right. \tag{20} \] auquel cas le cardinal de […] est égal à trois. cette dernière ligne est coupée par le bord inférieur de la feuille ; le numéro (20) est récrit sur un autre

36Cor[ollaire] Dans Dans le cas où $\operatorname{Card}\{\ \}=4$, et $\Sigma_{1}^{-}\neq X$, $\Sigma_{2}^{-}\neq X$, les seules relations d'inclusions entre les ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$ sont les relations \[ (*)\quad\left\{ \begin{array}{l} \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}\\ \Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-} . \end{array} \right. \] « Cor » est écrit au-dessus d'un « D » biffé ; « et $\Sigma_{1}^{-}\neq X$, $\Sigma_{2}^{-}\neq X$ » est ajouté au-dessus de la ligne Sous forme : Pour que les relations ci-dessus soient les seules relations d'inclusion non triviales entre les ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$, il faut et il suffit que ceux-ci soient distincts et que l'on ait $\Sigma_{1}^{-}\neq X$, $\Sigma_{2}^{-}\neq X$. note de sa main, en oblique dans la marge gauche, qui reformule le corollaire ; lecture incertaine par endroits

En effet, on n'a pas les inclusions inverses, […] par hypothèse. D'autre part, on n'a pas \[ \Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-}\quad\text{ou}\quad \Sigma_{1}^{-}\subset\Sigma_{1}^{+}, \] car on aurait $\Sigma_{1}^{+}$, $\Sigma_{1}^{-}$ $\Sigma_{1}^{-}=X$, de même on n'a pas $\Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}$ ni $\Sigma_{2}^{-}\subset\Sigma_{2}^{+}$, et on n'a pas $\Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{+}$ ni l'inclusion inverse, puisque $\Sigma_{1}^{+}$ et $\Sigma_{2}^{+}$ sont disjoints et $\neq\emptyset$. Il reste à voir que l'on n'a pas une inclusion $\Sigma_{1}^{-}\subset\Sigma_{2}^{-}$ ou l'inclusion inverse, or on lit sur le diagramme (14) que cela la première p. ex. signifierait que $\Sigma_{12}\simeq\Sigma_{1}^{-}$ et implique $\Sigma_{2}^{-}=X$, cas que l'on a exclu. les deux mots entre « la première p. ex. » et « $\Sigma_{2}^{-}=X$ » sont récrits sur la ligne biffée ; « la première p. ex. » est ajouté dans l'interligne

Déf On dit que $\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$ sont strictement non parallèles si elles sont non parallèles, et si les quatre ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$ sont distincts, et si de plus $\Sigma_{1}^{-}\neq X$, $\Sigma_{2}^{-}\neq X$ — i.e. si les seules relations d'inclusion entre ces ensembles $\Sigma_{1}^{+},\Sigma_{1}^{-},\Sigma_{2}^{+},\Sigma_{2}^{-}$ sont $\Sigma_{1}^{+}\subset\Sigma_{2}^{-}$, $\Sigma_{2}^{+}\subset\Sigma_{1}^{-}$ — ce qui signifie aussi que l'on a : \[ \Sigma_{1}^{-}\neq X,\ \Sigma_{2}^{-}\neq X\ \ (\text{on dit donc que }\Pi_{1},\Pi_{2}\text{ sont \emph{propres}}),\quad E_{1}\neq\Sigma_{12},\ E_{2}\neq\Sigma_{12} . \tag{21} \] la définition est marquée d'un trait vertical dans la marge ; « si elles sont non parallèles, et » est ajouté dans l'interligne

37Mais si cette condition n'est pas satisfaite pour $\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$ non parallèles, on écrit […], et on regarde l'ens. à quatre éléments \[ C=\Pi_{1}\amalg\Pi_{2}=\omega_{1}\amalg\omega_{2}=\{\varepsilon_{1}^{+}, \varepsilon_{1}^{-},\varepsilon_{2}^{+},\varepsilon_{2}^{-}\} \tag{17} \] et la relation d'ordre dessus, où les seules relations $<$ sont données par \[ \varepsilon_{1}^{+}<\varepsilon_{2}^{-},\qquad \varepsilon_{2}^{+}<\varepsilon_{1}^{-} \tag{22} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\varepsilon_{1}^{-} & \varepsilon_{2}^{-} \\
\varepsilon_{1}^{+} \arrow[ur] & \varepsilon_{2}^{+} \arrow[ul]
\end{tikzcd}

les quatre éléments sont des points ; sous $\varepsilon_{1}^{+}$ un mot biffé

1.3. Soit $(\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A}$ une famille \[ (\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A},\qquad \Pi_{\alpha}=\{\Sigma_{\alpha}^{\varepsilon}\}_{\varepsilon\in\omega_{\alpha}} \tag{23} \] une famille [un] ens. (notation indiciellement) de de décompositions binaires de $X$, on suppose parallèles \[ \forall\alpha,\beta\in A,\ \alpha\neq\beta,\quad\Pi_{\alpha},\Pi_{\beta} \text{ sont mut\add{uellemen}t non parallèles.} \tag{24} \] Déf On On dit alors que $(\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A}$ est non parallèle. (Terminologie analogue pour strictement non parallèle). c'est un élément de $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{2}(\mathfrak{P}(X)))$ […] On dit, si $\operatorname{card} A=n$, que l'on a une décomposition $n$-aire non parallèle de $X$ deux notes de sa main, en oblique dans la marge gauche ; la seconde porte le titre de la page 31

Considérons \[ C=\coprod_{\alpha\in A}\omega_{\alpha} \tag{25} \] avec l'involution sans pt fixe $\sigma$ qui sur chaque $\omega_{\alpha}$ induit une transposition, et sur $C$ la relation d'ordre, dans laquelle on a la page s'arrête sur ce « a », en bas de feuille ; l'ajout sur l'involution $\sigma$ est écrit dans l'interligne à droite de (25)

38\[ \Bigl(x<y,\ x\in\omega_{\alpha},\ y\in\omega_{\beta}\Bigr) \Longleftrightarrow \Bigl(\alpha\neq\beta,\ x\underset{\{\Pi_{\alpha},\Pi_{\beta}\}}{<}y\Bigr) \tag{26} \] dans le membre de gauche, « $x\in\omega_{\alpha}$ », « $y\in\omega_{\beta}$ » sont écrits verticalement, $\omega_{\alpha}$ sous $x$ et $\omega_{\beta}$ sous $y$, avec un $\in$ couché ; sous l'accolade du membre de droite : « i.e. $\Sigma_{\alpha}^{x}\cap\Sigma_{\beta}^{\sigma y}=\emptyset$ »

il faut vérifier que c'est transitif […] relation […] i.e. d'ordre note en oblique dans la marge gauche, sur le mot « Alors »

Alors $\sigma$ est un antiautomorphisme (involutif sans pt fixe) de $C$. L'application \[ \begin{array}{c} C\overset{\varphi}{\longrightarrow}\mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X)\\ (\alpha,x)\longmapsto\Sigma_{\alpha}^{x} \end{array} \tag{27} \] est une application croissante. Pour qu'elle soit injective, et définisse un isomorphisme d'ens. ordonnés de $C$ sur son image, il faut et il suffit que $(\Pi_{\alpha})_{\alpha\in A}$ soit strictement non parallèle.

Inversement on a :

Définition On appelle quartette ordonné [ordonné] (de décompositions $n$-aires) un ens. fini […] $C$, muni d'une involution $\sigma$ sans pt fixe, et d'une relation d'ordre, ayant les propriétés suivantes : « quartette » est souligné ; « ordonné » y est biffé puis, semble-t-il, récrit ; au-dessus de « un ens. » un mot ajouté, peut-être « fini »

a) Si $x,y\in C$ et $x<y$, alors $\sigma x$ et $\sigma y$ … Si $x,y\in C$, $\sigma x\neq y$, $x$ et $y$ … on n'a pas $x<y$ […] trois lignes biffées d'un trait chacune, et le numéro a) barré d'une grande croix

a) si $x,y\in C$, […] alors $\bigl\{$$x,y$ comparables $\sigma x,y$ et $x,\sigma y$ ssi $\sigma x,y$ non comparables, et $\sigma y<\sigma x$

b) si $x,y\in C$, alors $x<y\Rightarrow\sigma y<\sigma x$ b) est biffé d'un trait, mais son contenu est repris dans le NB qui suit ; la numérotation a), b) est corrigée plusieurs fois dans la marge

NB […] que $x<y$ ssi […] $x<y$ non comparables […] $\sigma$ note en oblique dans la marge gauche, en bas de page ; lecture très incertaine

NB Cela […] que $\sigma$ est un antiautomorphisme de l'ens. ordonné $C$ la dernière ligne de la page s'arrête là

39Proposition Soit $(C,\sigma,<)$ un […] quartette ordonné. Alors pour tout $x\in C$, les ens. \[ C_{\geqslant x}=\{y\in C\mid y\geqslant x\},\qquad C_{\leqslant x}=\{y\in C\mid y\leqslant x\} \] sont totalement ordonnés. l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; le mot souligné est abrégé « tot$^{t}$ »

Il suffit de prouver la première (par dualité), soit donc ce qui signifie aussi : \[ \text{si } x<y,\ x<z,\ \text{avec } y\neq z,\ \text{alors } (y,z)\ \text{comparables.} \] à gauche, un petit croquis : trois points $x$ (en bas), $y$ et $z$ (en haut), avec des flèches $x\to y$, $x\to z$ et deux traits croisés

[On note que $y$ et $z$ sont non conjugués mod $\sigma$, car ce serait contre (28 a),] Si $y$ et $z$ étaient incomparables, on aurait que $\sigma y$ et $z$ sont comparables, or on ne peut avoir $z\leqslant\sigma y$ car on aurait $x\leqslant\sigma y$, ce qui contredit $x<y$ par (28 a). On […] aurait donc $\sigma y<z$ d'où $\sigma z<$ la phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc. La référence (28 a) renvoie sans doute à la condition a) de la page 38, dont le numéro n'est pas lisible sur la page ; « $y$ et $z$ » après « Si » sont récrits sur d'autres lettres

Décompositions \(n\)-aires d'un espace topologique