Fonds Grothendieck, cote n° 81, pages 1–20

Cartes sphériques en général

ces mots sont de sa main, au crayon, en haut à droite du feuillet 1, par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; ils y sont précédés d'un « 0 »

Carte sphérique (orientée) avec repère (dans cat. isotopiques)

\simeq morphismes \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\ f\ } \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} “spécial” i.e. f(0)=0, f(1)=1, f(\infty)=\infty. f étale en dessus de \mathbb{P}^1 - \{0,1,\infty\}

\simeq fonctions rationnelles f(z) telles que f(0)=0, f(1)=1, f(\infty)=\infty et telles que pour z\in\mathbb{C} ~~telle que~~ avec f(z)\notin\{0,\infty\}, f'(z)=0, on ait f(z)=1 et de plus f''(z)\neq 0 (i.e. la ramification de f en un z est 2)….

\simeq [f=P/Q !] couples P,Q (de polynômes \in\mathbb{C}[z]) premiers entre eux (i.e. sans zéros communs) tels que P(0)=0 (donc Q(0)\neq 0) P(1)=Q(1) (donc \neq 0), \deg Q<\deg P (ces conditions expriment resp. ! f(0)=0 f(1)=1, f(\infty)=\infty) normalisés (par exemple) par P(1)=Q(1)=1, et tels que pour z\in\mathbb{C} avec [f(z)\notin\{0,\infty\}, f'(z)=0, i.e.] P(z)\neq 0, Q(z)\neq 0, \frac{P'(z)}{P(z)} - \frac{Q'(z)}{Q(z)} = 0 , on ait P(z)=Q(z), et de plus \dfrac{P''(z)}{P(z)} - \dfrac{Q''(z)}{Q(z)} \neq 0 i.e. P''(z)\neq Q''(z)… on pourrait aussi normaliser Q(0)=1

[NB on a Q(z)P'(z) - P(z)Q'(z) = (Q(z)-P(z))\,P'(z) + P(z)\,(P'(z)-Q'(z)) la ligne porte d'abord, biffé, le second membre ~~Q(z)\,[P'(z)-P(z)] + P(z)\,(Q(z)-Q'(z))~~ ; le bon est écrit au-dessus pour P(z), Q(z)\neq 0, donc si cette quantité est nulle (i.e. f'(z)=0), alors P(z)=Q(z) i.e. Q(z)-P(z)=0 implique P'(z)=Q'(z) et inversement si P'(z)=Q'(z) on a (Q(z)-P(z))\,P'(z)=0 donc si P'(z)\neq 0, on a P(z)=Q(z) donc P'(z)=Q'(z). Mais peut-on avoir P'(z)=0 (d'où aussi Q'(z)=0) sans avoir P(z)=Q(z) ?

~~Prenons Q(T)=~~ Prenons p.ex. Q=1, les conditions sur P deviennent (conséquences des deux précédentes) P(0)=0, P(1)=1, \deg P\geq 1, donc ~~P(T) =~~ P(T)=T\,P_0(T) où on a (pour P(z)\neq 0) P_0(1)=1, la question devient si on peut avoir P'(z)=0 sans avoir P(z)=1 contre-ex. p.ex. si P(T)=T(aT+b)=aT^2+bT, a+b=1, on a P'(T)=2aT+b, z=-\frac{b}{2a}, P\bigl(-\frac{b}{2a}\bigr) = -\frac{b}{2a}\bigl(-\frac{b}{2}+b\bigr) = -\frac{b^2}{4a} ; prenons une valeur (a\neq 0, b\neq 0) la phrase s'arrête au bord inférieur du feuillet, déchiré ; le calcul se poursuit, au crayon, le long de la marge gauche, écrit de bas en haut, et n'y est lu qu'en partie

feuillet barré de deux grands traits en croix, et sans rapport visible avec les cartes de la page précédente : relations dans une algèbre engendrée par des e_i, f_i et \eta, avec une dérivation \delta. Transcription condensée, des formules lisibles seulement

f_{d-2}\,e_1 = -e_{d-2}\,f_1 (=\eta_{d-1} = \eta)

\delta(\eta) = e_{d-2}

Encadré, pour 1\leq i\leq d-2 : e_i e_1 = 0, \qquad f_i f_1 = \begin{cases} 0 & \text{si } i \text{ impair}\\ f_{i+1} & \text{si } i \text{ pair}\end{cases}, \qquad f_i e_1 = e_{i+1}, \qquad e_i f_1 = \begin{cases} -e_{i+1} & \text{si } i \text{ impair}\\ 0 & \text{si } i \text{ pair}\end{cases}

\eta = e_{d-1}, \delta(e_{d-1}) = e_{d-2} ; x f_1 = f_1 x = 0 si \deg x pair ; (f_1+\lambda e_1)(f_1+\lambda e_1) = f_1f_1 + \lambda^2 e_1e_1 + \lambda(f_1e_1 + e_1f_1), \qquad e_2 = f_1e_1, \quad e_3 = f_2e_1 .

À droite, pour 1\leq i\leq d-2 : e_ie_1 = 0,\qquad f_if_1 = \begin{cases} 0 & i \text{ impair}\\ f_{i+1} & i \text{ pair}\end{cases},\qquad f_ie_1 = \eta_{i+1} = \alpha e_{i+1} + \beta f_{i+1}, e_if_1 = \begin{cases} -\eta_{i+1} = -\alpha e_{i+1} - \beta f_{i+1} & i \text{ impair}\\ -\eta_{i+1} + e_{i+1} = (1-\alpha)e_{i+1} - \beta f_{i+1} & i \text{ pair} \end{cases} f_1e_1 = -e_1f_1 = \eta_2 = \alpha e_2 + \beta f_2 ; pour 1\leq i\leq d-3, (e_if_1)e_1 = \begin{cases} -\eta_{i+1}e_1 = -\beta f_{i+1}e_1 = -\beta\eta_{i+2} & i \text{ impair}\\ -\eta_{i+1}e_1 + \ill{} = -\beta\eta_{i+2} & i \text{ pair}\end{cases} (e_if_1)e_1 = e_i(f_1e_1) = -e_i(e_1f_1) = -(e_ie_1)f_1 = 0 sur la page, la seconde chaîne d'égalités descend verticalement sous le premier membre donc \beta=0, \alpha=\pm 1, donc \delta\eta = \pm e_{d-2} ; \eta = f_{d-2}e_1, \delta\eta = \delta(f_{d-2})e_1 = f_{d-3}e_1.

NB Si \sigma est un automorphisme du corps des complexes, et si f est “spécial”, alors f^{\sigma} est également spécial — donc \mathrm{Aut}(\mathbb{C}) opère sur l'ens. des f spéciaux. Mais il opère par l'intermédiaire de \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}), car si f=P/Q spécial, les coeff. de P, Q sont des nbs algébriques. Il revient au même de dire que les zéros de P, Q sont des nbs algébriques, i.e. le diviseur de f est la phrase s'arrête là, au milieu du feuillet

feuillet de brouillon à deux couches, écrites tête-bêche, l'une barrée d'une croix ; transcription condensée des formules lisibles

Couche barrée, suite des calculs de la page 3 : \delta(e_1e_{d-2}) = -e_1\,\delta(e_{d-2}) = -e_1e_{d-3}, \qquad \delta(a\eta) = a\,\delta\eta = a\alpha e_{d-2} + a\beta f_{d-2}, \delta(e_1f_{d-2}) = -e_1f_{d-3} = b\alpha e_{d-2} + b\beta f_{d-2},\qquad \delta(f_1e_{d-2}) = \delta(f_1)e_{d-2} - f_1\delta(e_{d-2}) = e_{d-2} - f_1e_{d-3}, \delta(c\eta) = c\,\delta\eta = c\alpha e_{d-2} + c\beta f_{d-2} ; on en tire e_1e_{d-3}, f_1e_{d-3}, f_1f_{d-3} comme combinaisons linéaires de e_{d-1} et f_{d-1}, à coeff. polynômes en \alpha, \beta, a, b, c, d ; \delta(e_1x_i) = -e_1\,\delta(x_i) = -e_1x_{i-1} (2\leq i) ; \delta(\alpha e_{i+1} + \beta f_{i+1}) = \ill{} ; \det\begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix} = ad-bc.

Couche tête-bêche, sur f = P/Q : \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)' = \frac{f'g-g'f}{g^2}, \qquad (xy)'' = x''y + 2x'y' + xy'', \qquad \Bigl(\frac{P}{Q}\Bigr)' = \frac{P'}{Q} - P\frac{Q'}{Q^2} = \frac{P'Q-PQ'}{Q^2}, \Bigl(\frac{P}{Q}\Bigr)'' = \frac{P''}{Q} - 2P'\frac{Q'}{Q^2} + \ill{}, \qquad \frac{P''Q^2 - Q''PQ - 2P'QQ' + 2PQ'^2}{Q^3} .

feuillet de dessins, sans texte. Trois rangées de disques coupés par des cordes (droites ou arcs), parfois concourantes en un point marqué, une région parfois hachurée ; sous chaque disque ou groupe de disques réuni par une accolade, un petit graphe : un point, deux points, un segment, trois points, un segment et un point, un chemin à trois sommets, un triangle — apparemment le graphe dont les sommets sont les cordes et les arêtes leurs croisements. Plusieurs dessins sont marqués « ok » de sa main (le disque à trois cordes concourantes au-dessus d'un segment, le disque au triangle hachuré au-dessus du triangle, avec en variante « ou » un disque à cordes concourantes) ; sous une rangée de disques à quatre cordes parallèles, un « ? ». En bas à droite, des lignes brisées épaisses

\mathbb{P}(X) ; O\subset\mathbb{P}(X) à côté, un dessin : une droite verticale traversant un petit disque aux rayons marqués, d'où partent des boucles en pétales \mathbb{P}(X\times Z) \overset{?}{\simeq} \mathrm{Hom}(Z\times X,\ \mathcal{E}) = \mathrm{Hom}(X,\ \underline{\mathrm{Hom}}(Z,\mathcal{E})) dans le second membre, une première lettre surchargée en Z ; avant le troisième, ~~\underline{\mathrm{Hom}}(X)~~, biffé \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\ \underline{\mathrm{Hom}}(X,Z)) = \mathbb{P}(\underline{\mathrm{Hom}}(X,Z)) la première lettre de cette ligne, lue \mathcal{E}, est douteuse \underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)\subset\mathbb{P}(X\times Y), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}(Z\times X,\ Y)\subset\mathbb{P}(Z\times X\times Y) la lettre notée \mathcal{E} est une grande capitale bouclée, que la page ne définit pas. À droite, un croquis de flèches : P\times X\times Y \supset H, avec H\to P\times X (flèche oblique) et une flèche verticale P\times X\times Y\to P\times X, puis P\times X\to P ; à côté, U\times_V U et V\leftarrow U au-dessus d'un P. En bas, un polygone et des lignes brisées épaisses, et une ellipse traversée de courbes

feuillet de dessins de la même famille que la page 9 : disques coupés de cordes, une région triangulaire ou quadrangulaire hachurée, trois marqués « OK », des variantes introduites par « ou » ; sous eux les graphes : un triangle, un point, un tripode épais en « Y », un carré, un triangle surmonté d'un segment, un rectangle coupé d'une diagonale, un triangle à point intérieur. À droite, deux axes fléchés en équerre et, dans l'angle, des courbes qui se croisent et deux disques coupés d'arcs

Décompositions n-aires (et découpages) d'espaces topologiques

ces mots sont de sa main, au crayon, en haut à droite du feuillet 13, une chemise rose par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page ; « et découpages » y est ajouté en interligne

V Version I

Soient X un espace topologique, (E_i)_{i\in I} un ens. de parties fermées de X (indexé indiciellement), telles que l'on ait

(a)\forall i\in I, \operatorname{card}\pi_0(X\setminus E_i)=2 (b)\forall (i,j)\in I\times I, i\neq j, E_j est contenu dans l'une des deux composantes connexes de X\setminus E_i.

NB les comp. conn. \Sigma_i^+, \Sigma_i^- de X\setminus E_i sont ouvertes dans X NB cette condition (b) est vérifiée automatiquement si les E_i (i\in I) sont connexes, dès lors que les E_i sont supposés disjoints mutuellement.

On se propose d'étudier le “découpage” de X par la famille (E_i). Supposons de plus que pour comp. conn. \Sigma_i de X\setminus E_i, on ait \overline{\Sigma}_i\cap E_i\neq\emptyset i.e. \overline{\Sigma}_i\neq\Sigma_i, i.e. \Sigma_i n'est pas fermé dans X (ce qui est le cas si X est connexe)

Cas \operatorname{card}(I)=2 Soit \Sigma_i^+ la comp. conn. de X\setminus E_i qui ne contient pas E_j (j\neq i), alors on a (si I=\{1,2\}) à gauche, un dessin : un disque coupé de deux cordes horizontales E_1 (en haut) et E_2 (en bas) ; au-dessus de E_1, la calotte \Sigma_1^+, et une accolade à droite réunit tout ce qui est sous E_1 : \Sigma_1^- ; sous E_2, la calotte \Sigma_2^+, et une accolade à gauche réunit tout ce qui est au-dessus de E_2 : \Sigma_2^-

(1)\Sigma_1^+\cap\Sigma_2^+=\emptyset ce qui ~~résulte de~~ ~~\Sigma_1^-\supset\Sigma_2^+~~ équivaut à : ~~\Sigma_2^-\supset\Sigma_1^+~~ \Sigma_1^+\subset\Sigma_2^-\cup E_2, et comme \Sigma_1^+\cap E_2=\emptyset, cela équivaut ~~Si on avait~~ aussi à : (2)\Sigma_1^+\subset\Sigma_2^-

symétriquement, à :

(2')\Sigma_2^+\subset\Sigma_1^-

Comme \Sigma_2^-\supset E_1, ~~vois. ouvert~~ i.e. \Sigma_2^- est un vois. ouvert de E_1, ~~il contient les~~ on a : \Sigma_2^-\cap\Sigma_1^+\neq\emptyset car \overline{\Sigma_1^+}\cap E_1\neq\emptyset (sinon \Sigma_1^+, ouvert, serait fermé dans X, donc ~~\Sigma_1^+\neq\emptyset~~ X serait disconnexe), \overline{\Sigma_1^+}\cap E_1\neq\emptyset

et par suite \Sigma_2^-\cup\Sigma_1^+ serait un ouvert connexe de X donc de X\setminus E_2, contenant la comp. conn. \Sigma_2^- de X\setminus E_2, donc égal à \Sigma_2^-, donc \Sigma_1^+\subset\Sigma_2^-, cqfd

L'intersection des deux partitions X = \Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_1^-, \qquad X = \Sigma_2^+\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2^- de X est X = \Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2^+ une accolade au-dessus de \Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_{12} porte \Sigma_2^-, une accolade au-dessous de \Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup \Sigma_2^+ porte \Sigma_1^- avec \Sigma_{12} \overset{\mathrm{déf}}{=} \Sigma_1^-\cap\Sigma_2^- .

Dans cette partition, \Sigma_1^+, \Sigma_{12}, \Sigma_2^+ sont ouverts, E_1, E_2 sont fermés, et on a \Sigma_1^+ \subsetneq \overline{\Sigma_1^+} \subset \Sigma_1^+\cup E_1 \overline{\Sigma_{12}} \subset \overline{\Sigma_1^-}\cap \overline{\Sigma_2^-} \subset (\Sigma_1^-\cup E_1)\cap(\Sigma_2^-\cup E_2) \subset \Sigma_{12}\cup E_1\cup E_2 \Sigma_2^+ \subsetneq \overline{\Sigma_2^+} \subset \Sigma_2^+\cup E_2

Notons aussi que \overline{\Sigma_{12}}\cap E_1\neq\emptyset, \qquad \overline{\Sigma_{12}}\cap E_2\neq\emptyset Car si on avait p.ex. \overline{\Sigma_{12}}\cap E_1=\emptyset, on ~~alors \Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2~~ en considérant \overline{\Sigma_1^-}\cap E_1=\emptyset, [car \overline{\Sigma_1^-} = \overline{\Sigma_2^+\sqcup E_2\sqcup\Sigma_{12}} = \overline{\Sigma_2^+}\cup E_2\cup\overline{\Sigma_{12}} \subset \Sigma_1^-\cup\overline{\Sigma_{12}} sous \overline{\Sigma_2^+}, une accolade porte \subset\Sigma_2^+\cup E_2 ce qui n'est pas.

Cas particuliers

Supposons que \forall i\in I, ~~E_i soit rare dans X~~ on ait (où \Sigma_i^+ \Sigma_i^- sont les deux comp. conn. de X\setminus\Sigma_i) ~~Alors on trouve que~~ X\setminus\Sigma_i : sic, pour X\setminus E_i \overline{\Sigma_i^+} = \Sigma_i^+\cup E_i, \qquad \overline{\Sigma_i^-} = \Sigma_i^-\cup E_i . Alors je dis que \overline{\Sigma_{12}} = \Sigma_{12}\cup E_1\cup E_2

~~Supposons~~ Soit J\subset I tel que I=J\sqcup\{i\}. Considérons la partition \Pi_J de X ~~définie~~ définie par les E_j (j\in J), ~~intersection~~ intersection des partitions ternaires \Pi_j de X (j\in J) définies par les E_j (j\in J) X = E_j \sqcup \coprod_{\alpha\in\pi_0(X\setminus E_j)} \Sigma_j^{\alpha} — c'est aussi la partition définie par celle de \bigcup_{j\in J}E_j en les E_j, et la partition \Pi_J^0 de X\setminus\bigcup_{j\in J}E_j intersection des partitions binaires \Pi_{J,j}^0 (j\in J) (induites sur U_J = X\setminus\bigcup_{j\in J}E_j par les \Pi_j (j\in J)). Pour introduisons la partition \Pi_j = \{E_j, \Sigma_j^+, \Sigma_j^-\}

cette dernière, si \operatorname{card}J = \operatorname{card}I - 1 = n-1, on verra (par récurrence) que le cardinal de l'ens. des classes est (n-1)+1=n.

Ceci posé, on voit d'abord que E_i est dans l'une (unique) des classes, qui sont des ouverts. Soit U_{J,i} la classe (ou “composante”) qui contient E_i, et considérons les deux composantes \Sigma_i^+, \Sigma_i^- de X\setminus E_i.

Lemme Toute classe de \Pi_J^0, distincte de U_{J,i}, est contenue dans \Sigma_i^+ ou \Sigma_i^-.

C'est presque une tautologie : Dire qu'une la classe donnée U_\alpha de \Pi_J^0 un ne contient pas E_i i.e. est \neq U_{J,i}, signifie qu'il existe un j\in J tel que la \Sigma_j^+\in\pi_0(X\setminus E_j) ~~choisie~~ “composante” de cette classe ~~est~~ soit l'élément de \pi_0 qui ne contient pas E_i ; il est donc contenu dans l'un des éléments (soit \Sigma_i^-) de \pi_0(X\setminus\Sigma_i), d'après l'étude du cas \operatorname{card}I=2, et à fortiori U_\alpha\subset\Sigma_i^-, OK. X\setminus\Sigma_i : sic, pour X\setminus E_i

Dém. par récurrence, c'est trivial si \operatorname{card}I=0,1, le cas \operatorname{card}I=2 a été vu. Cas général \operatorname{card}I\geq 3, on choisit J comme dessus. Il suffit de voir que les ens. U_{J,i}\cap\Sigma_i^+, \qquad U_{J,i}\cap\Sigma_i^- ont la forme précédente, il suffit de le voir pour l'un des deux. Par hyp. de récurrence, on a U_{J,i} = X\setminus\coprod_{\alpha\in K_0}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ où \begin{cases} K_0\subset J\\ \Sigma_\alpha^+\in\pi_0(X\setminus E_\alpha) \quad (\forall\alpha\in K_0)\\ \widehat{\Sigma}_\alpha^+ = \Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha . \end{cases} « la forme précédente » est celle que donne le lemme de la page 19

On On a donc U = U_{J,i}\cap\Sigma_i^- = X\setminus\Bigl(\coprod_{\alpha\in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^+ \cup \widehat{\Sigma}_i^+\Bigr) ~~Soit~~ Au dernier =, dans la réunion \bigcup_{\alpha\in K_0}\widehat{\Sigma}_\alpha^+, il suffit de se borner : sur les ~~\Sigma~~ \alpha\in K_0 tels que \widehat{\Sigma}_\alpha^+\not\subset \widehat{\Sigma}_i^+ i.e. \Sigma_\alpha^+\not\subset\Sigma_i^+ soit K_1 cet ens., donc U = X\setminus\Bigl(\bigcup_{\alpha\in K_1}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \cup\widehat{\Sigma}_i^+\Bigr) la démonstration reprend en haut de la page 20

Ainsi les classes de \Pi_I^0 sont les classes de \Pi_J^0 distinctes de U_{J,i}, et de plus les deux parmi U_{J,i}\cap\Sigma_i^+, \qquad U_{J,i}\cap\Sigma_i^- qui sont non vides. Or les deux classes en question sont non vides, car U_{J,i} est un voisinage de E_i et \overline{\Sigma_i^+}\cap E_i\neq\emptyset, \overline{\Sigma_i^-}\cap E_i\neq\emptyset. On voit donc que le nb des classes est (n-1)+2 = n+1 = \operatorname{card}I+1 (ce qui achève aussi la dém. par récurrence sur le nb des classes). ce paragraphe prolonge le raisonnement de la page 17 ; le lemme qui suit est celui dont les pages 18 et 20 donnent la démonstration

Lemme Toute classe de \Pi_I^0 est de la forme X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}(\Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha) au-dessus de \Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha, il écrit \widehat{\Sigma}_\alpha^+ où K est une partie non vide de I, et \forall\alpha\in K, \Sigma_\alpha^+\in\pi_0(X\setminus E_\alpha), tels que \forall\alpha,\beta\in K, \alpha\neq\beta, on ait \widehat{\Sigma}_\alpha^+\cap\widehat{\Sigma}_\beta^+=\emptyset (\Longleftrightarrow \Sigma_\alpha^+\cap\Sigma_\beta^+=\emptyset). K est \neq\emptyset si I\neq\emptyset

Soit \alpha_0\in K_1, je dis que on a : \widehat{\Sigma}_{\alpha_0}\cap\widehat{\Sigma}_i^+ = \emptyset \quad \text{i.e.}\quad \Sigma_{\alpha_0}\cap\Sigma_i = \emptyset (ce qui achèvera la démonstration, car on aura U = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \qquad \bigl|\ K = K_1\cup\{i\}\ \struck{\ill{}} comme dans le lemme.

Or : E_i\subset U_{J,i} = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^+ ce qui implique que E_i\subset X\setminus\widehat{\Sigma}_{\alpha_0}^+ = \Sigma_{\alpha_0}^- i.e. à droite, un schéma vertical : de haut en bas \Sigma_i^+ ou \Sigma_i^-, E_i, \Sigma_\alpha, E_\alpha, \Sigma_{\alpha_0}^+, réunis par une accolade d'autre part \alpha_0\in K_1 signifie \Sigma_{\alpha_0}^+\not\subset\Sigma_i^+ ce qui ~~implique~~ signifie aussi que \Sigma_i^+\cap\Sigma_\alpha^+=\emptyset, cqfd.

Corollaire du lemme Pour une classe V de \Pi_I^0, son expression V = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ du lemme précédent est unique — on a \begin{cases} K = \{\alpha\in I \mid \overline{V}\cap E_\alpha\neq\emptyset \ \text{ i.e. }\ E_\alpha\cap\dot{V}\neq\emptyset\}\\ \Sigma_\alpha^+ \text{ est l'unique comp.\ de } X\setminus E_\alpha \text{ contenue dans } X\setminus V \end{cases} le corollaire, encadré d'un trait vertical, s'arrête au bas du feuillet ; la suite est au lot suivant