Cote n° 81 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Immersions du disque et de la circonférence : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

Cartes sphériques en général

ces mots sont de sa main, au crayon, en haut à droite du feuillet 1, par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; ils y sont précédés d'un « 0 »

2Carte sphérique [(orientée)] avec repère (dans cat. isotopiques)

\(\simeq\) morphismes \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\ f\ } \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) “spécial” i.e. \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(\infty)=\infty\). \(f\) étale en dessus de \(\mathbb{P}^1 - \{0,1,\infty\}\)

\(\simeq\) fonctions rationnelles \(f(z)\) telles que \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(\infty)=\infty\) et telles que pour \(z\in\mathbb{C}\) telle que avec \(f(z)\notin\{0,\infty\}\), \(f'(z)=0\), on ait \(f(z)=1\) […] [et de plus] \(f''(z)\neq 0\) (i.e. la ramification de \(f\) en un \(z\) est \(2\))….

\(\simeq\) [\(f=P/Q\) !] couples \(P,Q\) (de polynômes \(\in\mathbb{C}[z]\)) premiers entre eux [(i.e. sans zéros communs)] tels que \(P(0)=0\) (donc \(Q(0)\neq 0\)) \(P(1)=Q(1)\) (donc \(\neq 0\)), \(\deg Q<\deg P\) (ces conditions expriment resp. ! \(f(0)=0\) \(f(1)=1\), \(f(\infty)=\infty\)) normalisés (par exemple) par \(P(1)=Q(1)=1\), et tels que pour \(z\in\mathbb{C}\) avec [\(f(z)\notin\{0,\infty\}\), \(f'(z)=0\), i.e.] [\(P(z)\neq 0\),] \(Q(z)\neq 0\), \[ \frac{P'(z)}{P(z)} - \frac{Q'(z)}{Q(z)} = 0 , \] on ait \(P(z)=Q(z)\), et de plus \(\dfrac{P''(z)}{P(z)} - \dfrac{Q''(z)}{Q(z)} \neq 0\) i.e. \(P''(z)\neq Q''(z)\)… on pourrait aussi normaliser […] \(Q(0)=1\) […] […]

[NB on a \[ Q(z)P'(z) - P(z)Q'(z) = (Q(z)-P(z))\,P'(z) + P(z)\,(P'(z)-Q'(z)) \] la ligne porte d'abord, biffé, le second membre \(Q(z)\,[P'(z)-P(z)] + P(z)\,(Q(z)-Q'(z))\) ; le bon est écrit au-dessus pour \(P(z), Q(z)\neq 0\), donc si cette quantité est nulle (i.e. \(f'(z)=0\)), alors \(P(z)=Q(z)\) […] i.e. \(Q(z)-P(z)=0\) implique \(P'(z)=Q'(z)\) et inversement si \(P'(z)=Q'(z)\) on a \((Q(z)-P(z))\,P'(z)=0\) donc si \(P'(z)\neq 0\), on a \(P(z)=Q(z)\) [donc \(P'(z)=Q'(z)\)]. Mais peut-on avoir \(P'(z)=0\) (d'où aussi \(Q'(z)=0\)) […] sans avoir \(P(z)=Q(z)\) ?

Prenons \(Q(T)=\) Prenons p.ex. \(Q=1\), les conditions sur \(P\) deviennent [(conséquences des deux précédentes)] \(P(0)=0\), \(P(1)=1\), \(\deg P\geq 1\), donc \(P(T) =\) \(P(T)=T\,P_0(T)\) où on a [(pour \(P(z)\neq 0\))] \(P_0(1)=1\), la question devient si on peut avoir \(P'(z)=0\) sans avoir \(P(z)=1\) contre-ex. p.ex. si \(P(T)=T(aT+b)=aT^2+bT\), \(a+b=1\), on a \(P'(T)=2aT+b\), \(z=-\frac{b}{2a}\), \(P\bigl(-\frac{b}{2a}\bigr) = -\frac{b}{2a}\bigl(-\frac{b}{2}+b\bigr) = -\frac{b^2}{4a}\) ; prenons une valeur […] (\(a\neq 0\), \(b\neq 0\)) […] la phrase s'arrête au bord inférieur du feuillet, déchiré ; le calcul se poursuit, au crayon, le long de la marge gauche, écrit de bas en haut, et n'y est lu qu'en partie

3feuillet barré de deux grands traits en croix, et sans rapport visible avec les cartes de la page précédente : relations dans une algèbre engendrée par des \(e_i\), \(f_i\) et \(\eta\), avec une dérivation \(\delta\). Transcription condensée, des formules lisibles seulement

\(f_{d-2}\,e_1 = -e_{d-2}\,f_1\) (\(=\eta_{d-1} = \eta\))

\(\delta(\eta) = e_{d-2}\)

Encadré, pour \(1\leq i\leq d-2\) : \[ e_i e_1 = 0, \qquad f_i f_1 = \begin{cases} 0 & \text{si } i \text{ impair}\\ f_{i+1} & \text{si } i \text{ pair}\end{cases}, \qquad f_i e_1 = e_{i+1}, \qquad e_i f_1 = \begin{cases} -e_{i+1} & \text{si } i \text{ impair}\\ 0 & \text{si } i \text{ pair}\end{cases} \]

\(\eta = e_{d-1}\), \(\delta(e_{d-1}) = e_{d-2}\) ; \(x f_1 = f_1 x = 0\) si \(\deg x\) pair ; \[ (f_1+\lambda e_1)(f_1+\lambda e_1) = f_1f_1 + \lambda^2 e_1e_1 + \lambda(f_1e_1 + e_1f_1), \qquad e_2 = f_1e_1, \quad e_3 = f_2e_1 . \]

À droite, pour \(1\leq i\leq d-2\) : \[ e_ie_1 = 0,\qquad f_if_1 = \begin{cases} 0 & i \text{ impair}\\ f_{i+1} & i \text{ pair}\end{cases},\qquad f_ie_1 = \eta_{i+1} = \alpha e_{i+1} + \beta f_{i+1}, \] \[ e_if_1 = \begin{cases} -\eta_{i+1} = -\alpha e_{i+1} - \beta f_{i+1} & i \text{ impair}\\ -\eta_{i+1} + e_{i+1} = (1-\alpha)e_{i+1} - \beta f_{i+1} & i \text{ pair} \end{cases} \] \(f_1e_1 = -e_1f_1 = \eta_2 = \alpha e_2 + \beta f_2\) ; pour \(1\leq i\leq d-3\), \[ (e_if_1)e_1 = \begin{cases} -\eta_{i+1}e_1 = -\beta f_{i+1}e_1 = -\beta\eta_{i+2} & i \text{ impair}\\ -\eta_{i+1}e_1 + \ill{} = -\beta\eta_{i+2} & i \text{ pair}\end{cases} \] \[ (e_if_1)e_1 = e_i(f_1e_1) = -e_i(e_1f_1) = -(e_ie_1)f_1 = 0 \] sur la page, la seconde chaîne d'égalités descend verticalement sous le premier membre donc \(\beta=0\), \(\alpha=\pm 1\), donc \(\delta\eta = \pm e_{d-2}\) ; \(\eta = f_{d-2}e_1\), \(\delta\eta = \delta(f_{d-2})e_1 = f_{d-3}e_1\).

4NB Si \(\sigma\) est un automorphisme du corps des complexes, et si \(f\) est “spécial”, alors \(f^{\sigma}\) est également spécial — donc \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\) opère sur l'ens. des \(f\) spéciaux. Mais il opère par l'intermédiaire de \(\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})\), car si \(f=P/Q\) spécial, les coeff. de \(P\), \(Q\) sont des nbs algébriques. Il revient au même de dire que les zéros de \(P\), \(Q\) sont des nbs algébriques, i.e. le diviseur de \(f\) est la phrase s'arrête là, au milieu du feuillet

5feuillet de brouillon à deux couches, écrites tête-bêche, l'une barrée d'une croix ; transcription condensée des formules lisibles

Couche barrée, suite des calculs de la page 3 : \[ \delta(e_1e_{d-2}) = -e_1\,\delta(e_{d-2}) = -e_1e_{d-3}, \qquad \delta(a\eta) = a\,\delta\eta = a\alpha e_{d-2} + a\beta f_{d-2}, \] \[ \delta(e_1f_{d-2}) = -e_1f_{d-3} = b\alpha e_{d-2} + b\beta f_{d-2},\qquad \delta(f_1e_{d-2}) = \delta(f_1)e_{d-2} - f_1\delta(e_{d-2}) = e_{d-2} - f_1e_{d-3}, \] \[ \delta(c\eta) = c\,\delta\eta = c\alpha e_{d-2} + c\beta f_{d-2} ; \] on en tire \(e_1e_{d-3}\), \(f_1e_{d-3}\), \(f_1f_{d-3}\) comme combinaisons linéaires de \(e_{d-1}\) et \(f_{d-1}\), à coeff. polynômes en […] \(\alpha\), \(\beta\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ; \(\delta(e_1x_i) = -e_1\,\delta(x_i) = -e_1x_{i-1}\) (\(2\leq i\)) ; \(\delta(\alpha e_{i+1} + \beta f_{i+1}) = \ill{}\) ; \(\det\begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix} = ad-bc\).

Couche tête-bêche, sur \(f = P/Q\) : \[ \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)' = \frac{f'g-g'f}{g^2}, \qquad (xy)'' = x''y + 2x'y' + xy'', \qquad \Bigl(\frac{P}{Q}\Bigr)' = \frac{P'}{Q} - P\frac{Q'}{Q^2} = \frac{P'Q-PQ'}{Q^2}, \] \[ \Bigl(\frac{P}{Q}\Bigr)'' = \frac{P''}{Q} - 2P'\frac{Q'}{Q^2} + \ill{}, \qquad \frac{P''Q^2 - Q''PQ - 2P'QQ' + 2PQ'^2}{Q^3} . \]

9feuillet de dessins, sans texte. Trois rangées de disques coupés par des cordes (droites ou arcs), parfois concourantes en un point marqué, une région parfois hachurée ; sous chaque disque ou groupe de disques réuni par une accolade, un petit graphe : un point, deux points, un segment, trois points, un segment et un point, un chemin à trois sommets, un triangle — apparemment le graphe dont les sommets sont les cordes et les arêtes leurs croisements. Plusieurs dessins sont marqués « ok » de sa main (le disque à trois cordes concourantes au-dessus d'un segment, le disque au triangle hachuré au-dessus du triangle, avec en variante « ou » un disque à cordes concourantes) ; sous une rangée de disques à quatre cordes parallèles, un « ? ». En bas à droite, des lignes brisées épaisses

10\(\mathbb{P}(X)\) ; \(O\subset\mathbb{P}(X)\) à côté, un dessin : une droite verticale traversant un petit disque aux rayons marqués, d'où partent des boucles en pétales \[ \mathbb{P}(X\times Z) \overset{?}{\simeq} \mathrm{Hom}(Z\times X,\ \mathcal{E}) = \mathrm{Hom}(X,\ \underline{\mathrm{Hom}}(Z,\mathcal{E})) \] dans le second membre, une première lettre surchargée en \(Z\) ; avant le troisième, \(\underline{\mathrm{Hom}}(X)\), biffé \[ \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\ \underline{\mathrm{Hom}}(X,Z)) = \mathbb{P}(\underline{\mathrm{Hom}}(X,Z)) \] la première lettre de cette ligne, lue \(\mathcal{E}\), est douteuse \[ \underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)\subset\mathbb{P}(X\times Y), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}(Z\times X,\ Y)\subset\mathbb{P}(Z\times X\times Y) \] la lettre notée \(\mathcal{E}\) est une grande capitale bouclée, que la page ne définit pas. À droite, un croquis de flèches : \(P\times X\times Y \supset H\), avec \(H\to P\times X\) (flèche oblique) et une flèche verticale \(P\times X\times Y\to P\times X\), puis \(P\times X\to P\) ; à côté, \(U\times_V U\) et \(V\leftarrow U\) au-dessus d'un \(P\). En bas, un polygone et des lignes brisées épaisses, et une ellipse traversée de courbes

11feuillet de dessins de la même famille que la page 9 : disques coupés de cordes, une région triangulaire ou quadrangulaire hachurée, trois marqués « OK », des variantes introduites par « ou » ; sous eux les graphes : un triangle, un point, un tripode épais en « Y », un carré, un triangle surmonté d'un segment, un rectangle coupé d'une diagonale, un triangle à point intérieur. À droite, deux axes fléchés en équerre et, dans l'angle, des courbes qui se croisent et deux disques coupés d'arcs

Décompositions n-aires (et découpages) d'espaces topologiques

ces mots sont de sa main, au crayon, en haut à droite du feuillet 13, une chemise rose par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page ; « et découpages » y est ajouté en interligne

14V Version I

Soient \(X\) un espace topologique, \((E_i)_{i\in I}\) un ens. de parties [fermées] de \(X\) (indexé indiciellement), telles que l'on ait

NB les comp. conn. \(\Sigma_i^+\), \(\Sigma_i^-\) de \(X\setminus E_i\) sont ouvertes dans \(X\) NB cette condition (b) est vérifiée automatiquement […] si les \(E_i\) (\(i\in I\)) sont connexes, dès lors que les \(E_i\) sont supposés disjoints mutuellement.

On se propose d'étudier le “découpage” de \(X\) par la famille \((E_i)\). Supposons de plus que pour […] comp. conn. \(\Sigma_i\) de \(X\setminus E_i\), on ait \(\overline{\Sigma}_i\cap E_i\neq\emptyset\) i.e. \(\overline{\Sigma}_i\neq\Sigma_i\), i.e. \(\Sigma_i\) n'est pas fermé dans \(X\) (ce qui est le cas si \(X\) est connexe)

Cas \(\operatorname{card}(I)=2\) Soit \(\Sigma_i^+\) la comp. conn. de \(X\setminus E_i\) qui ne contient pas \(E_j\) (\(j\neq i\)), alors on a (si \(I=\{1,2\}\)) à gauche, un dessin : un disque coupé de deux cordes horizontales \(E_1\) (en haut) et \(E_2\) (en bas) ; au-dessus de \(E_1\), la calotte \(\Sigma_1^+\), et une accolade à droite réunit tout ce qui est sous \(E_1\) : \(\Sigma_1^-\) ; sous \(E_2\), la calotte \(\Sigma_2^+\), et une accolade à gauche réunit tout ce qui est au-dessus de \(E_2\) : \(\Sigma_2^-\)

symétriquement, à :

Comme \(\Sigma_2^-\supset E_1\), vois. ouvert i.e. \(\Sigma_2^-\) est un vois. ouvert de \(E_1\), il contient les on a : \(\Sigma_2^-\cap\Sigma_1^+\neq\emptyset\) car \(\overline{\Sigma_1^+}\cap E_1\neq\emptyset\) (sinon \(\Sigma_1^+\), [ouvert,] serait fermé dans \(X\), donc \(\Sigma_1^+\neq\emptyset\) \(X\) serait disconnexe), \(\overline{\Sigma_1^+}\cap E_1\neq\emptyset\) […]

15et par suite \(\Sigma_2^-\cup\Sigma_1^+\) serait un ouvert connexe de \(X\) donc de \(X\setminus E_2\), contenant [la comp. conn.] \(\Sigma_2^-\) [de \(X\setminus E_2\)], donc […] égal à \(\Sigma_2^-\), donc \(\Sigma_1^+\subset\Sigma_2^-\), cqfd

L'intersection des deux partitions \[ X = \Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_1^-, \qquad X = \Sigma_2^+\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2^- \] de \(X\) est \[ X = \Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2^+ \] une accolade au-dessus de \(\Sigma_1^+\sqcup E_1\sqcup\Sigma_{12}\) porte \(\Sigma_2^-\), une accolade au-dessous de \(\Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup \Sigma_2^+\) porte \(\Sigma_1^-\) avec \[ \Sigma_{12} \overset{\mathrm{déf}}{=} \Sigma_1^-\cap\Sigma_2^- . \]

Dans cette partition, \(\Sigma_1^+\), \(\Sigma_{12}\), \(\Sigma_2^+\) sont ouverts, \(E_1\), \(E_2\) sont fermés, et on a \[ \Sigma_1^+ \subsetneq \overline{\Sigma_1^+} \subset \Sigma_1^+\cup E_1 \] \[ \overline{\Sigma_{12}} \subset \overline{\Sigma_1^-}\cap \overline{\Sigma_2^-} \subset (\Sigma_1^-\cup E_1)\cap(\Sigma_2^-\cup E_2) \subset \Sigma_{12}\cup E_1\cup E_2 \] \[ \Sigma_2^+ \subsetneq \overline{\Sigma_2^+} \subset \Sigma_2^+\cup E_2 \]

Notons aussi que \[ \overline{\Sigma_{12}}\cap E_1\neq\emptyset, \qquad \overline{\Sigma_{12}}\cap E_2\neq\emptyset \] Car si on avait p.ex. \(\overline{\Sigma_{12}}\cap E_1=\emptyset\), on alors \(\Sigma_{12}\sqcup E_2\sqcup\Sigma_2\) [en considérant] \(\overline{\Sigma_1^-}\cap E_1=\emptyset\), [car \[ \overline{\Sigma_1^-} = \overline{\Sigma_2^+\sqcup E_2\sqcup\Sigma_{12}} = \overline{\Sigma_2^+}\cup E_2\cup\overline{\Sigma_{12}} \subset \Sigma_1^-\cup\overline{\Sigma_{12}} \] sous \(\overline{\Sigma_2^+}\), une accolade porte \(\subset\Sigma_2^+\cup E_2\) ce qui n'est pas.

16Cas particuliers

Supposons que \(\forall i\in I\), \(E_i\) soit rare dans \(X\) on ait (où \(\Sigma_i^+\) \(\Sigma_i^-\) sont les deux comp. conn. de \(X\setminus\Sigma_i\)) Alors on trouve que \(X\setminus\Sigma_i\) : sic, pour \(X\setminus E_i\) \[ \overline{\Sigma_i^+} = \Sigma_i^+\cup E_i, \qquad \overline{\Sigma_i^-} = \Sigma_i^-\cup E_i . \] Alors je dis que \[ \overline{\Sigma_{12}} = \Sigma_{12}\cup E_1\cup E_2 \]

Supposons Soit \(J\subset I\) tel que \(I=J\sqcup\{i\}\). Considérons la partition [\(\Pi_J\)] de \(X\) définie définie par les \(E_j\) (\(j\in J\)), intersection [intersection] des partitions [ternaires \(\Pi_j\)] de \(X\) (\(j\in J\)) définies par les \(E_j\) […] (\(j\in J\)) \[ X = E_j \sqcup \coprod_{\alpha\in\pi_0(X\setminus E_j)} \Sigma_j^{\alpha} \] — c'est aussi la partition définie par celle de \(\bigcup_{j\in J}E_j\) en les \(E_j\), et la partition [\(\Pi_J^0\)] de \(X\setminus\bigcup_{j\in J}E_j\) intersection des partitions binaires \(\Pi_{J,j}^0\) [(\(j\in J\))] (induites sur \(U_J = X\setminus\bigcup_{j\in J}E_j\) par les \(\Pi_j\) (\(j\in J\))). Pour introduisons la partition \(\Pi_j = \{E_j, \Sigma_j^+, \Sigma_j^-\}\) […]

17cette dernière, si \(\operatorname{card}J = \operatorname{card}I - 1 = n-1\), on verra (par récurrence) que le cardinal de l'ens. des classes est \((n-1)+1=n\).

Ceci posé, on voit d'abord que \(E_i\) est dans l'une [(unique)] des classes, qui sont des ouverts. Soit \(U_{J,i}\) la classe (ou “composante”) qui contient \(E_i\), et considérons les deux composantes \(\Sigma_i^+\), \(\Sigma_i^-\) de \(X\setminus E_i\).

Lemme Toute classe de \(\Pi_J^0\), distincte de \(U_{J,i}\), est contenue dans \(\Sigma_i^+\) ou \(\Sigma_i^-\).

C'est presque une tautologie : Dire [qu'une] la classe donnée [\(U_\alpha\) de \(\Pi_J^0\)] un ne contient pas \(E_i\) i.e. est \(\neq U_{J,i}\), signifie qu'il existe un \(j\in J\) tel que la \(\Sigma_j^+\in\pi_0(X\setminus E_j)\) choisie “composante” de cette classe est soit l'élément de \(\pi_0\) qui ne contient pas \(E_i\) ; il est donc contenu dans l'un des éléments [(soit \(\Sigma_i^-\))] de \(\pi_0(X\setminus\Sigma_i)\), d'après l'étude du cas \(\operatorname{card}I=2\), et à fortiori \(U_\alpha\subset\Sigma_i^-\), OK. \(X\setminus\Sigma_i\) : sic, pour \(X\setminus E_i\)

18Dém. par récurrence, c'est trivial si \(\operatorname{card}I=0,1\), le cas \(\operatorname{card}I=2\) a été vu. Cas général \(\operatorname{card}I\geq 3\), on choisit \(J\) comme dessus. Il suffit de voir que les ens. \[ U_{J,i}\cap\Sigma_i^+, \qquad U_{J,i}\cap\Sigma_i^- \] ont la forme précédente, il suffit de le voir pour l'un des deux. Par hyp. de récurrence, on a \[ U_{J,i} = X\setminus\coprod_{\alpha\in K_0}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \] où \[ \begin{cases} K_0\subset J\\ \Sigma_\alpha^+\in\pi_0(X\setminus E_\alpha) \quad (\forall\alpha\in K_0)\\ \widehat{\Sigma}_\alpha^+ = \Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha . \end{cases} \] « la forme précédente » est celle que donne le lemme de la page 19

On On a donc \[ U = U_{J,i}\cap\Sigma_i^- = X\setminus\Bigl(\coprod_{\alpha\in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^+ \cup \widehat{\Sigma}_i^+\Bigr) \] Soit Au dernier \(=\), dans la […] réunion \(\bigcup_{\alpha\in K_0}\widehat{\Sigma}_\alpha^+\), il suffit de se borner : […] sur les \(\Sigma\) \(\alpha\in K_0\) tels que \(\widehat{\Sigma}_\alpha^+\not\subset \widehat{\Sigma}_i^+\) i.e. \(\Sigma_\alpha^+\not\subset\Sigma_i^+\) soit \(K_1\) cet ens., donc \[ U = X\setminus\Bigl(\bigcup_{\alpha\in K_1}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \cup\widehat{\Sigma}_i^+\Bigr) \] la démonstration reprend en haut de la page 20

19Ainsi les classes de \(\Pi_I^0\) sont les classes de \(\Pi_J^0\) distinctes de \(U_{J,i}\), et de plus les deux parmi \[ U_{J,i}\cap\Sigma_i^+, \qquad U_{J,i}\cap\Sigma_i^- \] qui sont non vides. Or les deux classes en question sont non vides, car […] \(U_{J,i}\) est un voisinage de \(E_i\) et \(\overline{\Sigma_i^+}\cap E_i\neq\emptyset\), \(\overline{\Sigma_i^-}\cap E_i\neq\emptyset\). On voit donc que le nb des classes est […] \((n-1)+2 = n+1 = \operatorname{card}I+1\) (ce qui achève aussi la dém. par récurrence sur le nb des classes). ce paragraphe prolonge le raisonnement de la page 17 ; le lemme qui suit est celui dont les pages 18 et 20 donnent la démonstration

Lemme Toute classe de \(\Pi_I^0\) est de la forme \[ X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}(\Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha) \] au-dessus de \(\Sigma_\alpha^+\cup E_\alpha\), il écrit \(\widehat{\Sigma}_\alpha^+\) où \(K\) est une partie [non vide] de \(I\), et \(\forall\alpha\in K\), […] \(\Sigma_\alpha^+\in\pi_0(X\setminus E_\alpha)\), tels que \(\forall\alpha,\beta\in K\), \(\alpha\neq\beta\), on ait \(\widehat{\Sigma}_\alpha^+\cap\widehat{\Sigma}_\beta^+=\emptyset\) (\(\Longleftrightarrow \Sigma_\alpha^+\cap\Sigma_\beta^+=\emptyset\)). \(K\) est \(\neq\emptyset\) si \(I\neq\emptyset\)

20Soit \(\alpha_0\in K_1\), je dis que on a : \[ \widehat{\Sigma}_{\alpha_0}\cap\widehat{\Sigma}_i^+ = \emptyset \quad \text{i.e.}\quad \Sigma_{\alpha_0}\cap\Sigma_i = \emptyset \] (ce qui achèvera la démonstration, car on aura \[ U = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \qquad \bigl|\ K = K_1\cup\{i\}\ \struck{\ill{}} \] comme dans le lemme.

Or […] […] : \[ E_i\subset U_{J,i} = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^+ \] ce qui implique que \[ E_i\subset X\setminus\widehat{\Sigma}_{\alpha_0}^+ = \Sigma_{\alpha_0}^- \] i.e. à droite, un schéma vertical : de haut en bas \(\Sigma_i^+\) ou \(\Sigma_i^-\), \(E_i\), \(\Sigma_\alpha\), \(E_\alpha\), \(\Sigma_{\alpha_0}^+\), réunis par une accolade d'autre part \(\alpha_0\in K_1\) signifie \[ \Sigma_{\alpha_0}^+\not\subset\Sigma_i^+ \] ce qui implique signifie aussi que \(\Sigma_i^+\cap\Sigma_\alpha^+=\emptyset\), cqfd.

Corollaire du lemme Pour une classe \(V\) de \(\Pi_I^0\), son expression \[ V = X\setminus\bigcup_{\alpha\in K}\widehat{\Sigma}_\alpha^+ \] du lemme précédent est unique — on a \[ \begin{cases} K = \{\alpha\in I \mid \overline{V}\cap E_\alpha\neq\emptyset \ \text{ i.e. }\ E_\alpha\cap\dot{V}\neq\emptyset\}\\ \Sigma_\alpha^+ \text{ est l'unique comp.\ de } X\setminus E_\alpha \text{ contenue dans } X\setminus V \end{cases} \] le corollaire, encadré d'un trait vertical, s'arrête au bas du feuillet ; la suite est au lot suivant